Найти все токи в цепи. ДЗ - Расчёт сложной цепи постоянного тока

Решение любой задачи по расчету электрической цепи следует начинать с выбора метода, которым будут произведены вычисления. Как правило, одна и таже задача может быть решена несколькими методами. Результат в любом случае будет одинаковым, а сложность вычислений может существенно отличаться. Для корректного выбора метода расчета следует сначала определится к какому классу относится данная электрическая цепь: к простым электрическим цепям или к сложным.

К простым относят электрические цепи, которые содержат либо один источник электрической энергии, либо несколько находящихся в одной ветви электрической цепи. Ниже изображены две схемы простых электрических цепей. Первая схема содержит один источник напряжения, в таком случае электрическая цепь однозначно относится к простым цепям. Вторая содержит уже два источника, но они находятся в одной ветви, следовательно это также простая электрическая цепь.

Расчет простых электрических цепей обычно производят в такой последовательности:

Описанная методика применима для расчета любых простых электрических цепей, типовые примеры приведены в примере №4 и в примере №5. Иногда расчеты подобным методом могут оказатся довольно объемыми и длительными. Поэтому после нахождения решения будет нелишним провести проверку правильности ручных расчетов с применением специализированных программ или составлением баланса мощностей. Расчет простой электрической цепи в сочетании с составлением баланса мощностей приведен в примере №6.

Сложные электрические цепи

К сложным электрическим цепям относят цепи, содержащие несколько источников электрической энергии, включенных в разные ветви. Ниже на рисунке изображены примеры таких цепей.


Для сложных электрических цепей неприменима методика расчета простых электрических цепей. Упрощение схем невозможно, т.к. нельзя выделить на схеме участок цепи с последовательным или параллельным соединением однотипных элементов. Иногда, преобразование схемы с ее последующим расчетом все-таки возможно, но это скорее исключение из общего правила.

Для полного расчета сложных электрических цепей обычно используют следующее методы:

1. Применение законов Кирхгофа (универсальный метод, сложные расчеты системы линейных уравнений).
2. Метод контурных токов (универсальный метод, расчеты немного проще чем в п.1)
3. Метод узловых напряжений (универсальный метод, расчеты немного проще чем в п.1)
4. Принцип наложения (универальный метод, несложные расчеты)
5. Метод эквивалентного источника (удобен когда необходимо произвести не полный расчет электрической цепи, а найти ток в одной из ветвей).
6. Метод эквивалентного преобразования схемы (применим довольно редко, простые расчеты).

Особенности применения каждого метода расчета сложных электрических цепей более подробно изложены в соответсвующих подразделах.

Суть расчетов заключается, как правило, в том, чтобы по известным значениям всех сопротивлений цепи и параметров источников (ЭДС или тока) определить токи во всех ветвях и напряжения на всех элементах (сопротивлениях) цепи.

Для расчета электрических цепей постоянного тока могут применяться различные методы. Среди них основными являются:

– метод, основанный на составлении уравнений Кирхгофа;

– метод эквивалентных преобразований;

– метод контурных токов;

– метод наложения;

– метод узловых потенциалов;

– метод эквивалентного источника;

Метод, основанный на составлении уравнений Кирхгофа, является универсальным и может применяться как для одноконтурных, так и для многоконтурных цепей. При этом количество уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, должно быть равно количеству внутренних контуров схемы.

Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше количества узлов в схеме.

Например, для данной схемы

составляется 2 уравнения по 1-му закону Кирхгофа и 3 уравнения по 2-му закону Кирхгофа.

Рассмотрим остальные методы расчета электрических цепей:

Метод эквивалентных преобразований применяется для упрощения схем и расчетов электрических цепей. Под эквивалентным преобразованием понимается такая замена одной схемы другой, при которой электрические величины схемы в целом не меняются (напряжение, ток, потребляемая мощность остаются неизменными).

Рассмотрим некоторые виды эквивалентных преобразований схем.

а). последовательное соединение элементов

Общее сопротивление последовательно соединенных элементов равно сумме сопротивлений этих элементов.

R Э =Σ R j (3.12)

R Э =R 1 +R 2 +R 3

б). параллельное соединение элементов.

Рассмотрим два параллельно соединенных элемента R1 и R 2 . Напряжение на этих элементах равны, т.к. они подключены к одним и тем же узлам а и б.

U R1 = U R2 = U АБ

Применяя закон Ома получим

U R1 =I 1 R 1 ; U R2 =I 2 R 2

I 1 R 1 =I 2 R 2 или I 1 / I 2 =R 2 / R 1

Применим 1-й закон Кирхгофа к узлу (а)

I – I 1 – I 2 =0 или I=I 1 +I 2

Выразим токи I 1 и I 2 через напряжения получим

I 1 = U R1 / R 1 ; I 2 = U R2 / R 2

I= U АБ / R 1 + U АБ / R 2 = U АБ (1 / R 1 +1/R 2)

В соответствии с законом Ома имеем I=U АБ / R Э; где R Э – эквивалентное сопротивление

Учитывая это, можно записать

U АБ / R Э = U АБ (1 / R 1 +1 / R 2),

1/R Э =(1 / R 1 +1/R 2)

Введем обозначения: 1/R Э =G Э – эквивалентная проводимость

1/R 1 =G 1 – проводимость 1-го элемента

1/R 2 =G 2 – проводимость 2-го элемента.

Запишем уравнение (6) в виде

G Э =G 1 +G 2 (3.13)

Из этого выражения следует, что эквивалентная проводимость параллельно соединенных элементов равна сумме проводимостей этих элементов.

На основе (3.13) получим эквивалентное сопротивление

R Э =R 1 R 2 / (R 1 +R 2) (3.14)

в). Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратное преобразование.

Соединение трех элементов цепи R 1 , R 2 , R 3 , имеющее вид трех лучевой звезды с общей точкой (узлом), называется соединением “звезда”, а соединение этих же элементов, при котором они образуют стороны замкнутого треугольника – соединением “треугольник”.

Рис.3.14. Рис.3.15.

соединение – звезда () соединение – треугольник ()

Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду проводится по следующим правилу и соотношениям:

Сопротивление луча эквивалентной звезды равно произведению сопротивлений двух примыкающих сторон треугольника, деленному на сумму всех трех сопротивлений треугольника.

Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник производится по следующим правилу и соотношениям:

Сопротивление стороны эквивалентного треугольника равно сумме сопротивлений двух примыкающих лучей звезды плюс произведение этих двух сопротивлений, деленное на сопротивление третьего луча:

г). Преобразование источника тока в эквивалентный источник ЭДС Если в схеме имеется один или несколько источников тока, то часто для удобства расчетов следует заменить источники тока на источники ЭДС

Пусть источник тока имеет параметры I К и G ВН.

Рис.3.16. Рис.3.17.

Тогда параметры эквивалентного источника ЭДС можно определить из соотношений

E Э =I К / G ВН; R ВН.Э =1 / G ВН (3.17)

При замене источника ЭДС эквивалентным источником тока необходимо использовать следующие соотношения

I К Э =E / R ВН; G ВН, Э =1 / R ВН (3.18)

Метод контурных токов.

Этот метод применяется, как правило, при расчетах многоконтурных схем, когда число уравнений, составленных по 1-му и 2-му законам Кирхгофа, равно шести и более.

Для расчета по методу контурных токов в схеме сложной цепи определяются и нумеруются внутренние контуры. В каждом из контуров произвольно выбирается направление контурного тока, т.е. тока, замыкающегося только в данном контуре.

Затем для каждого контура составляется уравнение по 2-му закону Кирхгофа. При этом, если какое-либо сопротивление принадлежит одновременно двум смежным контурам, то напряжение на нем определяется как алгебраическая сумма напряжений, создаваемых каждым из двух контурных токов.

Если количество контуров n , то и уравнений будет n. Решая данные уравнения (методом подстановки или определителей), находят контурные токи. Затем, используя уравнения, записанные по 1-му закону Кирхгофа, находят токи в каждой из ветвей схемы.

Запишем контурные уравнения для данной схемы.

Для 1-го контура:

I 1 R 1 +(I 1 +I 2)R 5 +(I I +I III)R 4 =E 1 -E 4

Для 2-го контура

(I I +I II)R 5 + I II R 2 +(I II -I III)R 6 =E 2

Для 3-го контура

(I I +I III)R 4 +(I III -I II)R 6 +I III R 3 =E 3 -E 4

Производя преобразования запишем систему уравнений в виде

(R 1 +R 5 +R 4)I I +R 5 I II +R 4 I III =E 1 -E 4

R 5 I I +(R 2 +R 5 +R 6) I II -R 6 I III =E 2

R 4 I I -R 6 I II +(R 3 +R 4 +R 6) I III =E 3 -E 4

Решая данную систему уравнений, определяем неизвестные I 1 , I 2 , I 3 . Токи в ветвях определяются, используя уравнения

I 1 = I I ; I 2 = I II ; I 3 = I III ; I 4 = I I + I III ; I 5 = I I + I II ; I 6 = I II – I III

Метод наложений.

Этот метод основан на принципе наложения и применяется для схем с несколькими источниками электроэнергии. Согласно этому методу при расчете схемы, содержащей несколько источников э.д.с. , поочередно полагаются равными нулю все ЭДС, кроме одной. Производится расчет токов в схеме, создаваемой одной этой ЭДС. Расчет производится отдельно для каждой ЭДС, содержащейся в схеме. Действительные значения токов в отдельных ветвях схемы определяются как алгебраическая сумма токов, создаваемых независимым действием отдельных ЭДС.

Рис.3.20. Рис.3.21.

На рис. 3.19 исходная схема, а на рис.3.20 и рис.3.21 схемы замещается с одним источником в каждой.

Производится расчет токов I 1 ’ , I 2 ’ , I 3 ’ и I 1 ” , I 2 ” , I 3 ” .

Определяются токи в ветвях исходной схемы по формулам;

I 1 =I 1 ’ -I 1 ” ; I 2 = I 2 ” -I 2 ’ ; I 3 =I 3 ’ +I 3 ”

Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений до У – 1, где У – число узлов схемы замещения цепи. Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и заключается в следующем:

1. Один узел схемы цепи принимаем базисным с нулевым потенциалом. Такое допущение не изменяет значения токов в ветвях, так как – ток в каждой ветви зависит только от разностей потенциалов узлов, а не от действительных значений потенциалов;

2. Для остальных У - 1 узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, выражая токи ветвей через потенциалы узлов.

При этом в левой части уравнений коэффициент при потенциале рассматриваемого узла положителен и равен сумме проводимостей сходящихся к нему ветвей.

Коэффициенты при потенциалах узлов, соединенных ветвями с рассмат- риваемым узлом, отрицательны и равны проводимостям соответствующих ветвей. Правая часть уравнений содержит алгебраическую сумму токов ветвей с источниками токов и токов короткого замыкания ветвей с источниками ЭДС, сходящихся к рассматриваемому узлу, причем слагаемые берутся со знаком плюс (минус), если ток источника тока и ЭДС направлены к рассматриваемому узлу (от узла).

3. Решением составленной системы уравнений определяем потенциалы У-1 узлов относительно базисного, а затем токи ветвей по обобщен- ному закону Ома.

Рассмотрим применение метода на примере расчета цепи по рис. 3.22.

Для решения методом узловых потенциалов принимаем
.

Система узловых уравнений: число уравнений N = N y – N B -1,

где: N y = 4 – число узлов,

N B = 1 – число вырожденных ветвей (ветви с 1-м источником ЭДС),

т.е. для данной цепи: N = 4-1-1=2.

Составляем уравнения по первому закону Кирхгоф для (2) и (3) узлов;

I2 – I4 – I5 – J5=0; I4 + I6 –J3 =0;

Представим токи ветвей по закону Ома через потенциалы узлов:

I2 = (φ2 − φ1) / R2 ; I4 = (φ2 +E4 − φ3) / R4

I5 = (φ2 − φ4) / R5 ; I6 = (φ3 – E6 − φ4) / R6;

где,

Подставив эти выражения в уравнения токов узлов, получим систему;

где
,

Решая систему уравнений численным методом подстановки или определи- телей находим значения потенциалов узлов, а по ним значения напряжений и токов в ветвях.

Метод Эквивалентного источника (активного двухполюсника)

Двухполюсником называется цепь, которая соединяется с внешней частью через два вывода – полюса. Различают активные и пассивные двухполюсники.

Активный двухполюсник содержит источники электрической энергии, а пас- сивный их не содержит. Условные обозначения двухполюсников прямоугольни- ком с буквой А для активного и П для пассивного (рис. 3.23.)

Для расчета цепей с двухполюсниками последние представляют схемами заме -щения. Схема замещения линейного двухполюсника определяется его вольт-амперной или внешней характеристикой V (I). Вольт-амперная характеристика пассивного двухполюсника – пря мая. Поэтому его схема замещения представ- ляется резистивным элементом с сопротивлением:

rвх = U/I (3.19)

где: U – напряжение между выводами, I-ток и rвх – входное сопротивление.

Вольт-амперную характеристику активного двухполюсника (рис. 3.23, б) можно построить по двум точкам, соответствующим режимам холостого хода, т. е. при г н = °°, U = U х, I = 0, и короткого замыкания, т. е. при г н =0, U = 0, I =Iк. Эта характеристика и ее уравнение имеет вид:

U = U х – г эк I = 0 (3.20)

г эк = U х / Iк (3.21)

где: г эк – эквивалентное или выходное сопротивление двухполюсника, совпа-

дают с одноименными характеристикой и уравнением источника электроэнер- гии, представляемого схемами замещения на рис. 3.23.

Итак, активный двухполюсник представляется эквивалентным источником с ЭДС – Е эк = U х и внутренним сопротивлением – г эк = г вых (рис. 3.23, а) Пример активного двухполюсника.- гальванический элемент. При изменении тока в пределах 0

Если приемник с сопротивлением нагрузки г н подключен к активному двух- полюснику, то его ток определяется по методу эквивалентного источника:

I = Е эк / (г н + г эк) = U х / (г н + г вых) (3.21)

В качестве примера рассмотрим расчет тока I в цепи на рис 3.24, а методом эквивалентного источника. Для расчета напряжения холостого хода U х между выводами а и Ъ активного двухполюсника разомкнем ветвь с резистивным элементом г н (рис. 3.24, б).

Применяя метод наложения и учитывая симметрию схемы, находим:

U х =J г / 2 + Е / 2

Заменив источники электрической энергии (в этом примере источники ЭДС и тока) активного двухполюсника резистивными элементами с сопротивлениями, равными внутренним сопротивлениям соответствующих источников (в этом примере нулевым для источника ЭДС и бесконечно большим для источника тока сопротивлениями), получим выходное сопротивление (сопротивление измеренное на выводах а и б) г вых = г/2 (рис.3.24, в). По (3.21) искомый ток:

I = (J г / 2 + Е / 2) / (г н + r / 2) .

Определение условий передачи приемнику максимальной энергии

В устройствах связи, в электронике, автоматике и т. д. часто желательно передать от источника к приемнику (исполнительному механизму) наибольшую энергию, причем КПД передачи имеет второстепенное значение в силу малости энергии. Рассмотрим общий случай питания приемника от активного двухполюсника, на рис. 3.25 последний представлен эквива- лентным источником с ЭДС Е эк и внутренним сопротивлением г эк.

Определим мощности Рн,РЕ и КПД передачи энергии:

Рн = U н I = (Е эк – г эк I) I ; РЕ = Е эк I = (г н – г эк I) I 2

η= Рн / РЕ 100% = (1 – г эк I / Е эк) 100%

При двух предельных значениях сопротивления г н = 0 и г н = °° мощность приемника равна нулю, так как в первом случае равно нулю напряжение между выводами приемника, а во втором случае – ток в цепи. Следовательно, некоторому определенному значению г н соответствует наибольшее возможное (при данных е эк и г эк) значение мощности приемника. Чтобы определить это значение сопротивления, приравняем нулю первую производную от мощности р н по г н и получим:

(г эк – г н) 2 – 2 г н г эк -2 г н 2 = 0

откуда следует, что при условии

г н = г эк (3.21)

мощность приемника будет максимальна:

Рн max = г н (Е 2 эк / 2 г н) 2 = Е 2 эк / 4 г н I (3.22)

Равенство (1.38) называется условием максимальной мощности приемника, т.е. передачи максимальной энергии.

На рис. 3.26 приведены зависимости Рн,РЕ, U н и η от тока I.

ТЕМА 4: ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО

Переменным называется периодически изменяющийся по направлению и амплитуде электрический ток. При этом, если переменный ток изменяется по синусоидальному закону – он называется синусоидальным, а если нет – несинусоидальым. Электрическая цепь с таким током называется цепью переменного (синусоидального или несинусоидального) тока.

Электротехнические устройства переменного тока находят широкое приме- нение в различных областях народного хозяйства, при генерировании, передаче и трансформировании электрической энергии, в электроприводе, бытовой тех- нике, промышленной электронике, радиотехнике и т. д.

Преимущественное распространение электротехнических устройств пере- менного синусоидального тока обусловлено рядом причин.

Современная энергетика основана на передаче энергии на дальние расстояния при помощи электрического тока. Обязательным условием такой передачи является возможность простого и с малыми потерями энергии преобразова- ния тока. Такое преобразование осуществимо лишь в электротехнических устройствах переменного тока - трансформаторах. Вследствие громадных преимуществ трансформирования в современной электроэнергетике приме- няется прежде всего синусоидальный ток.

Большим стимулом для разработки и развития электротехнических уст- ройств синусоидального тока является возможность получения источников электрической энергии большой мощности. У современных турбогенераторов тепловых электростанций мощность равна100-1500 МВт на один агрегат, большие мощности имеют и генераторы гидростанций.

К наиболее простым и дешевым электрическим двигателям относятся асин- хронные двигатели переменного синусоидального тока, в которых отсутствуют движущиеся электрические контакты. Для электроэнергетических установок (в частности, для всех электрических станций) в России и в большинстве стран мира принята стандартная частота 50 Гц (в США – 60 Гц). Причина такого выбора простые: понижение частоты неприемлемо, так как уже при частоте тока 40 Гц лампы накаливания заметно для глаза мигают; повышение часто- ты нежелательно, так как пропорционально частоте растет ЭДС само индукции, отрицательно влияющая на передачу энергии по проводам” и работу многих электротехнических устройств. Эти соображения, однако, не ограничивают при- менение переменного тока других частот для решения различных технических и научных задач. Например, частота переменного синусоидального тока элек- три ческих печей для выплавки тугоплавких металлов составляет до 500Гц.

В радиоэлектроннике применяются высокочастотные (мегогерцовые) устрой- ства, так на таких частотах повышается излучение электромагнитных волн.

В зависимости от числа фаз электрические цепи переменного с тока под- разделяются на однофазные и трехфазные.

3.1. Модель цепи постоянного тока

Если в электрической цепи действуют постоянные напряжения и протекают постоянные токи, то модели реактивных элементов L и C существенно упрощаются.

Модель сопротивления остается прежней и связь между напряжением и током определяется законом Ома в виде

В идеальной индуктивности мгновенные значения напряжения и тока связаны соотношением

Аналогично в емкости связь между мгновенными значениями напряжения и тока определяется в виде

Таким образом, в модели цепи постоянного тока присутствуют только сопротивления (модели резисторов) и источники сигнала, а реактивные элементы (индуктивности и емкости) отсутствуют.

3.2. Расчет цепи на основе закона Ома

Этот метод удобен для расчета сравнительно простых цепей с одним источником сигнала . Он предполагает вычисление сопротивлений участков цепи, для которых известна величина тока (или напряжения), с последующим определением неизвестного напряжения (или тока). Рассмотрим пример расчета цепи, схема которой приведена на рис. 3.1, при токе идеального источника А и сопротивлениях Ом, Ом, Ом. Необходимо определить токи ветвей и , а также напряжения на сопротивлениях , и .

Известен ток источника , тогда можно вычислить сопротивление цепи относительно зажимов источника тока (параллельного соединения сопротивления и последовательно соединен-

Рис. 3.1. ных сопротивлений и ),

Тогда напряжение на источнике тока (на сопротивлении ) равно

Затем можно найти токи ветвей

Полученные результаты можно проверить с помощью первого закона Кирхгофа в виде . Подставляя вычисленные значения, получим А, что совпадает с величиной тока источника.

Зная токи ветвей, нетрудно найти напряжения на сопротивлениях (величина уже найдена)

По второму закону Кирхгофа . Складывая полученные результаты, убеждаемся в его выполнении.

3.3. Общий метод расчета цепи на основе законов Ома

и Кирхгофа

Общий метод расчета токов и напряжений в электрической цепи на основе законов Ома и Кирхгофа пригоден для расчета сложных цепей с несколькими источниками сигнала.

Расчет начинается с задания обозначений и положительных направлений токов и напряжений для каждого элемента (сопротивления) цепи.

Система уравнений включает в себя подсистему компонентных уравнений, связывающих по закону Ома токи и напряжения в каждом элементе (сопротивлении) и подсистему

топологических уравнений, построенную на основе первого и второго законов Кирхгофа.

Рассмотрим расчет простой цепи из предыдущего примера, показанной на рис. 3.1, при тех же исходных данных.

Подсистема компонентных уравнений имеет вид

В цепи имеется два узла () и две ветви, не содержащие идеальных источников тока (). Следовательно, необходимо записать одно уравнение () по первому закону Кирхгофа,

и одно уравнение второго закона Кирхгофа (),

которые и образуют подсистему топологических уравнений.

Уравнения (3.4)-(3.6) являются полной системой уравнений цепи. Подставляя (3.4) в (3.6), получим

а, объединив (3.5) и (3.7), получим два уравнения с двумя неизвестными токами ветвей,

Выражая из первого уравнения (3.8) ток и подставляя его во второе, найдем значение тока ,

а затем найдем А. По вычисленным токам ветвей из компонентных уравнений (3.4) определим напряжения. Результаты расчета совпадают с полученными ранее в подразделе 3.2.

Рассмотрим более сложный пример расчета цепи в схеме, показанной на рис. 3.2, с параметрами Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом,

Цепь содержит узла (их номера указаны в кружках) и ветвей, не содержащих идеальные источники тока. Система компонентных уравнений цепи имеет вид

По первому закону Кирхгофа необходимо записать уравнения (узел 0 не используется),

По второму закону Кирхгофа составляется уравнения для трех независимых контуров, отмеченных на схеме окружностями со стрелками (внутри указаны номера контуров),

Подставляя (3.11) в (3.13), совместно с (3.12) получим систему шести уравнений вида

Из второго и третьего уравнений выразим

а из первого , тогда подставив и , получим . Подставляя токи , и в уравнения второго закона Кирхгофа, запишем систему из трех уравнений

которую после приведения подобных запишем в виде

Обозначим

и из третьего уравнения системы (3.15) запишем

Подставляя полученное значение в первые два уравнения (3.15), получим систему из двух уравнений вида

Из второго уравнения (3.18) получим

тогда из первого уравнения найдем ток

Вычислив , из (3.19) найдем , из (3.17) вычислим , а затем из уравнений подстановки найдем токи , , .

Как видно, аналитические вычисления достаточно громоздки, и для численных расчетов целесообразней использовать современные программные пакеты, например, MathCAD2001. Пример программы показан на рис. 3.3.

Матрица - столбец содержит значения токов А, А, А. Остальные

токи вычисляются согласно уравнениям (3.14) и равны

А, А, А. Вычисленные значения токов совпадают с полученными по приведенным выше формулам.

Общий метод расчета цепи по уравнениям Кирхгофа приводит к необходимости решения линейных алгебраических уравнений. При большом числе ветвей возникают математические и вычислительные трудности. Это означает, что целесообразно искать методы расчета, требующие составления и решения меньшего числа уравнений .

3.4. Метод контурных токов

Метод контурных токов базируется науравнениях второго закона Кирхгофа и приводит к необходимости решения уравнений, - число всех ветвей, в том числе и содержащих идеальные источники тока.

В цепи выбираются независимых контуров и для каждого -го из них вводится кольцевой (замкнутый) контурный ток (двойная индексация позволяет отличать кон-

турные токи от токов ветвей). Через контурные токи можно выразить все токи ветвей и для каждого независимого контура записать уравнения второго закона Кирхгофа. Система уравнений содержит уравнений, из которых определяются все контурные токи. По найденным контурным токам находятся токи или напряжения ветвей (элементов).

Рассмотрим пример цепи на рис. 3.1. На рис 3.4 приведена схема с указанием обозначений и положительных направлений двух контурных токов и ( , , ).

Рис. 3.4 Через ветвь проте-

кает только контурный ток и его направление совпадает с , поэтому ток ветви равен

В ветви протекают два контурных тока, ток совпадает по направлению с , а ток имеет противоположное направление, следовательно

Для контуров, не содержащих идеальные источники тока , составляем уравнения второго закона Кирхгофа с использованием закона Ома, в данном примере записывается одно уравнение

Если в контур включен идеальный источник тока , то для него

уравнение второго закона Кирхгофа не составляется , а его контурный ток равен току источника с учетом их положительных направлений, в рассматриваемом случае

Тогда система уравнений принимает вид

В результате подстановки второго уравнения в первое получим

тогда ток равен

а ток А. Из (3.21) А, а из (3.22) соответственно А, что полностью совпадает с полученными ранее результатами. При необходимости по найденным значениям токов ветвей по закону Ома можно вычислить напряжения на элементах цепи.

Рассмотрим более сложный пример цепи на рис. 3.2, схема которой с заданными контурными токами показана на рис. 3.5. В этом случае число ветвей , количество узлов , тогда число независимых контуров и уравнений по методу контурных токов равно . Для токов ветвей можно записать

Первые три контура не содержат идеальных источников тока, тогда с учетом (3.28) и использованием закона Ома для них можно записать уравнения второго закона Кирхгофа,

В четвертом контуре присутствует идеальный источник тока, поэтому для него уравнение второго закона Кирхгофа не составляется, а контурный ток равен току источника (они совпадают по направлению),

Подставляя (3.30) в систему (3.29), после преобразования получим три уравнения для контурных токов в виде

Систему уравнений (3.31) можно решить аналитически (например, методом подстановки – проделайте это ), получив формулы для контурных токов, а затем из (3.28) определить токи ветвей. Для численных расчетов удобно использовать пакет программ MathCAD, пример программы показан на рис. 3.6. Результаты вычислений совпадают с расчетами, приведенными на рис. 3.3. Как видно, метод контурных токов требует составления и решения меньшего числа уравнений по сравнению с общим методом расчета по уравнениям Кирхгофа.

3.5. Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений базируется на первом законе Кирхгофа, при этом число уравнений равно .

В цепи выделяются все узлов и один из них выбирается в качестве базисного , которому присваивается нулевой потенциал. Потенциалы (напряжения) … остальных узлов отсчитываются от базисного, их положительные направления обычно выбираются стрелкой в базисный узел. Через узловые напряжения с использованием закона Ома и второго закона Кирхгофа выражаются токи всех ветвей

и для узлов записываются уравнения первого закона Кирхгофа.

Рассмотрим пример цепи, показанной на рис. 3.1, для метода узловых напряжений ее схема показана на рис. 3.7. Нижний узел обозначен как базисный (для этого используется символ «земля» - точка нулевого потенциала), напряжение верхнего узла относительно базисного обо-

Рис. 3.7 значено как . Выразим через

него токи ветвей

По первому закону Кирхгофа с учетом (3.32) запишем единственное уравнение метода узловых напряжений (),

Решая уравнение, получим

а из (3.32) определим токи ветвей

Полученные результаты совпадают с полученными рассмотренными ранее методами.

Рассмотрим более сложный пример цепи, показанной на рис. 3.2 при тех же исходных данных, ее схема показана на рис. 3.8. В цепи узла, нижний выбран базисным, а три остальные обозначены номерами в кружках. Введены

положительные на- Рис. 3.8

правления и обозна-

чения узловых напряжений , и .

По Закону Ома с использованием второго закона Кирхгофа определим токи ветвей,

По первому закону Кирхгофа для узлов с номерами 1, 2 и 3 необходимо составить три уравнения,

Подставляя (3.36) в (3.37), получим систему уравнений метода узловых напряжений,

После преобразования и приведения подобных получим

Программа расчета узловых напряжений и токов ветвей приведена на рис. 3.9. Как видно, полученные результаты совпадают с полученными ранее другими методами расчета.

Проведите аналитический расчет узловых напряжений, получите формулы для токов ветвей и вычислите их значения.

3.6. Метод наложения

Метод наложения заключается в следующем.

Расчет проводится следующим образом. В цепи, содержащей несколько источников, поочередно выбирается каждый из них, а остальные отключаются. При этом образуются цепи с одним источником, число которых равно количеству источников в исходной цепи. В каждой из них проводится расчет искомого сигнала, а результирующий сигнал определяется их суммой. В качестве примера рассмотрим расчет тока в цепи, показанной на рис. 3.2, ее схема показана на рис. 3.10а.

При выключении идеального источника тока (его цепь разрывается) получается цепь, показанная на рис. 3.9б, в которой любым из рассмотренных методов определяется ток . Затем выключается идеальный источник напряжения (он заменяется коротким замыканием) и получается цепь, показанная

на рис. 3.9а, в которой находится ток . Искомый ток равен

Проведите аналитические и численные расчеты самостоятельно , сравните с полученными ранее результатами, например, (3.20).

3.7. Сравнительный анализ методов расчета

Метод расчета, основанный на законе Ома, пригоден для сравнительно простых цепей с одним источником. Его нельзя использовать для анализа цепей сложной структуры, например, мостового типа вида рис.3.9.

Общий метод расчета цепи на основе уравнений законов Ома и Кирхгофа универсален, но требует составления и решения системы из уравнений, которая легко преобразуется в систему из уравнений. При большом числе ветвей резко возрастают вычислительные затраты, особенно при необходимости аналитических расчетов.

Методы контурных токов и узловых напряжений более эффективны, так как приводят к системам с меньшим числом уравнений, равным соответственно и . При условии

метод контурных токов эффективнее, а иначе целесообразно применять метод узловых напряжений.

Метод наложения удобен, когда при отключении источников происходит резкое упрощение цепи.

Задание 3.5. Общим методом расчета, методами контурных токов и узловых напряжений определите в цепи рис. 3.14 напряжение при мА кОм, кОм, кОм, кОм, кОм. Проведите сравнительный анализ

методов расчета. Рис. 3.14

4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ТОКИ И НАПРЯЖЕНИЯ

В электротехнике принято считать, что простая цепь – это цепь, которая сводится к цепи с одним источником и одним эквивалентным сопротивлением. Свернуть цепь можно с помощью эквивалентных преобразований последовательного, параллельного и смешанного соединений. Исключением служат цепи, содержащие более сложные соединения звездой и треугольником. Расчет цепей постоянного тока производится с помощью закона Ома и Кирхгофа.

Пример 1

Два резистора подключены к источнику постоянного напряжения 50 В, с внутренним сопротивлением r = 0,5 Ом. Сопротивления резисторов R 1 = 20 и R 2 = 32 Ом. Определить ток в цепи и напряжения на резисторах.

Так как резисторы подключены последовательно, эквивалентное сопротивление будет равно их сумме. Зная его, воспользуемся законом Ома для полной цепи, чтобы найти ток в цепи.

Теперь зная ток в цепи, можно определить падения напряжений на каждом из резисторов.

Проверить правильность решения можно несколькими способами. Например, с помощью закона Кирхгофа, который гласит, что сумма ЭДС в контуре равна сумме напряжений в нем.

Но с помощью закона Кирхгофа удобно проверять простые цепи, имеющие один контур. Более удобным способом проверки является баланс мощностей .

В цепи должен соблюдаться баланс мощностей, то есть энергия отданная источниками должна быть равна энергии полученной приемниками.

Мощность источника определяется как произведение ЭДС на ток, а мощность полученная приемником как произведение падения напряжения на ток.

Преимущество проверки балансом мощностей в том, что не нужно составлять сложных громоздких уравнений на основании законов Кирхгофа, достаточно знать ЭДС, напряжения и токи в цепи.

Пример 2

Общий ток цепи, содержащей два соединенных параллельно резистора R 1 =70 Ом и R 2 =90 Ом, равен 500 мА. Определить токи в каждом из резисторов.

Два последовательно соединенных резистора ничто иное, как делитель тока . Определить токи, протекающие через каждый резистор можно с помощью формулы делителя, при этом напряжение в цепи нам не нужно знать, потребуется лишь общий ток и сопротивления резисторов.

Токи в резисторах

В данном случае удобно проверить задачу с помощью первого закона Кирхгофа, согласно которому сумма токов сходящихся, в узле равна нулю.

Если вы не помните формулу делителя тока, то можно решить задачу другим способом. Для этого необходимо найти напряжение в цепи, которое будет общим для обоих резисторов, так как соединение параллельное. Для того чтобы его найти, нужно сначала рассчитать сопротивление цепи

А затем напряжение

Зная напряжения, найдем токи, протекающие через резисторы

Как видите, токи получились теми же.

Пример 3

В электрической цепи, изображенной на схеме R 1 =50 Ом, R 2 =180 Ом, R 3 =220 Ом. Найти мощность, выделяемую на резисторе R 1 , ток через резистор R 2 , напряжение на резисторе R 3 , если известно, что напряжение на зажимах цепи 100 В.

Чтобы рассчитать мощность постоянного тока, выделяемую на резисторе R 1 , необходимо определить ток I 1 , который является общим для всей цепи. Зная напряжение на зажимах и эквивалентное сопротивление цепи, можно его найти.

Эквивалентное сопротивление и ток в цепи

Отсюда мощность, выделяемая на R 1

Изложение методов расчета и анализа электрических цепей, как правило, сводится к нахождению токов ветвей при известных значениях ЭДС и сопротивлений.

Рассматриваемые здесь методы расчета и анализа электрических цепей постоянного тока пригодны и для цепей переменного тока.

2.1 Метод эквивалентных сопротивлений

(метод свертывания и развертывания цепи).

Этот метод применяется только для электрических цепей содержащих один источник питания. Для расчета, отдельные участки схемы, содержащие последовательные или параллельные ветви, упрощают, заменяя их эквивалентными сопротивлениями. Таким образом, цепь свертывается до одного эквивалентного сопротивления цепи подключенного к источнику питания.

Затем определяется ток ветви, содержащий ЭДС, и схема разворачивается в обратном порядке. При этом вычисляются падения напряжений участков и токи ветвей. Так, например, на схеме 2.1 А Сопротивления R 3 и R 4 включены последовательно. Эти два сопротивления можно заменить одним, эквивалентным

R 3,4 = R 3 + R 4

После такой замены получается более простая схема(Рис.2.1Б ).

Здесь следует обратить внимание на возможные ошибки в определении способа соединений сопротивлений. Например сопротивления R 1 и R 3 нельзя считать соединенными последовательно, также как сопротивления R 2 и R 4 нельзя считать соединенными параллельно, т. к. это не соответствует основным признакам последовательного и параллельного соединения.

Рис 2.1 К расчету электрической цепи методом

Эквивалентных сопротивлений.

Между сопротивлениями R 1 и R 2 , в точке В , имеется ответвление с током I 2 .поэтому ток I 1 Не будет равен току I 3 , таким образом сопротивления R 1 и R 3 нельзя считать включенными последовательно. Сопротивления R 2 и R 4 с одной стороны присоединены к общей точке D , а с другой стороны — к разным точкам В и С. Следовательно, напряжение, приложенное к сопротивлению R 2 и R 4 Нельзя считать включенными параллельно.

После замены сопротивлений R 3 и R 4 эквивалентным сопротивлением R 3,4 и упрощением схемы (Рис. 2.1 Б ), более наглядно видно, что сопротивления R 2 и R 3,4 соединены параллельно и их можно заменить одним эквивалентным, исходя из того, что при параллельном соединении ветвей общая проводимость равна сумме проводимостей ветвей:

GBD = G 2 + G 3,4 , Или = + Откуда

RBD =

И получить еще более простую схему (Рис 2.1,В ). В ней сопротивления R 1 , RBD , R 5 соединены последовательно. Заменив эти сопротивления одним, эквивалентным сопротивлением между точками A и F , получим простейшую схему (Рис 2.1, Г ):

RAF = R 1 + RBD + R 5 .

В полученной схеме можно определить ток в цепи:

I 1 = .

Токи в других ветвях нетрудно определить переходя от схемы к схеме в обратном порядке. Из схемы на рисунке 2.1 В Можно определить падение напряжения на участке B , D цепи:

UBD = I 1 ·RBD

Зная падение напряжения на участке между точками B и D можно вычислить токи I 2 и I 3 :

I 2 = , I 3 =

Пример 1. Пусть (Рис 2.1 А ) R 0 = 1 Ом; R 1 =5 Ом; R 2 =2 Ом; R 3 =2 Ом; R 4 =3 Ом; R 5 =4 Ом; Е =20 В. Найти токи ветвей, составить баланс мощностей.

Эквивалентное сопротивление R 3,4 Равно сумме сопротивлений R 3 и R 4 :

R 3,4 = R 3 + R 4 =2+3=5 Ом

После замены (Рис 2.1 Б ) вычислим эквивалентное сопротивление двух параллельных ветвей R 2 и R 3,4 :

RBD = ==1,875 Ом,

И схема еще упростится (Рис 2.1 В ).

Вычислим эквивалентное сопротивление всей цепи:

R Экв = R 0 + R 1 + RBD + R 5 =11,875 Ом.

Теперь можно вычислить общий ток цепи, т. е. вырабатываемый источником энергии:

I 1 = =1,68 А.

Падение напряжения на участке BD будет равно:

UBD = I 1 · RBD =1,68·1,875=3,15 В.

I 2 = = =1,05 А; I 3 ===0,63 А

Составим баланс мощностей:

Е· I1= I12 · (R0+ R1+ R5) + I22 · R2+ I32 · R3,4 ,

20·1,68=1,682·10+1,052·3+0,632·5 ,

33,6=28,22+3,31+1,98 ,

Минимальное расхождение обусловлено округлением при вычислении токов.

В некоторых схемах нельзя выделить сопротивлений включенных между собой последовательно или параллельно. В таких случаях лучше воспользоваться другими универсальными методами, которые можно применить для расчета электрических цепей любой сложности и конфигурации.

2.2 Метод законов Кирхгофа.

Классическим методом расчета сложных электрических цепей является непосредственное применение законов Кирхгофа. Все остальные методы расчета электрических цепей исходят из этих фундаментальных законов электротехники.

Рассмотрим применение законов Кирхгофа для определения токов сложной цепи (Рис 2.2) если ее ЭДС и сопротивления заданы.

Рис. 2.2. К расчету сложной электрической цепи для

Определения токов по законам Кирхгофа.

Число независимых токов схемы равно числу ветвей (в нашем случае m=6). Поэтому для решения задачи необходимо составить систему из шести независимых уравнений, совместно по первому и второму законам Кирхгофа.

Количество независимых уравнений составленных по первому закону Кирхгофа всегда на единицу меньше чем узлов, Т. к. признаком независимости является наличие в каждом уравнении хотя бы одного нового тока.

Так как число ветвей M всегда больше, чем узлов К , То недостающее количество уравнений составляется по второму закону Кирхгофа для замкнутых независимых контуров, Т. е. чтобы в каждое новое уравнение входила хотя бы одна новая ветвь.

В нашем примере количество узлов равно четырем – A , B , C , D , следовательно, составим только три уравнения по первому закону Кирхгофа, для любых трех узлов:

Для узла A: I1+I5+I6=0

Для узла B: I2+I4+I5=0

Для узла C: I4+I3+I6=0

По второму закону Кирхгофа нам нужно составить также три уравнения:

Для контура A , C ,В, А: I 5 · R 5 — I 6 · R 6 — I 4 · R 4 =0

Для контура D ,A ,В, D : I 1 · R 1 — I 5 · R 5 — I 2 · R 2 =Е1-Е2

Для контура D ,В, С, D : I 2 · R 2 + I 4 · R 4 + I 3 · R 3 =Е2

Решая систему из шести уравнений можно найти токи всех участков схемы.

Если при решении этих уравнений токи отдельных ветвей получатся отрицательными, то это будет указывать, что действительное направление токов противоположно произвольно выбранному направлению, но величина тока будет правильной.

Уточним теперь порядок расчета:

1) произвольно выбрать и нанести на схему положительные направления токов ветвей;

2) составить систему уравнений по первому закону Кирхгофа – количество уравнений на единицу меньше чем узлов;

3) произвольно выбрать направление обхода независимых контуров и составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа;

4) решить общую систему уравнений, вычислить токи, и, в случае получения отрицательных результатов, изменить направления этих токов.

Пример 2 . Пусть в нашем случае (рис. 2.2.) R 6 = ∞ , что равносильно обрыву этого участка цепи (рис. 2.3). Определим токи ветвей оставшейся цепи. вычислим баланс мощностей, если E 1 =5 В, E 2 =15 B, R 1 =3 Ом, R 2 = 5 Ом, R 3 =4 Ом, R 4 =2 Ом, R 5 =3 Ом.

Рис. 2.3 Схема к решению задачи.

Решение. 1. Выберем произвольно направление токов ветвей, их у нас три: I 1 , I 2 , I 3 .

2. Составим только одно независимое уравнение по первому закону Кирхгофа, т. к. в схеме лишь два узла В и D .

Для узла В : I 1 + I 2 — I 3 =О

3. Выберем независимые контуры и направление их обхода. Пусть контуры ДАВД и ДВСД будем обходить по часовой стрелке:

E1-E2=I1(R1 + R5) — I2·R2,

E2=I2 · R2 + I3 · (R3 + R4).

Подставим значения сопротивлений и ЭДС.

I 1 + I 2 — I 3 =0

I 1 +(3+3)- I 2 · 5=5-15

I 2 · 5+ I 3 (4+2)=15

Решив систему уравнений, вычислим токи ветвей.

I 1 =- 0,365А; I 2 = I 22 — I 11 = 1,536А; I 3 =1,198А.

Как проверку правильности решения составим баланс мощностей.

Σ EiIi= Σ Iy2·Ry

E1·I1 + E2·I2 = I12·(R1 + R5) + I22·R2 + I32·(R3 + R4);

5(-0,365) + 15·1,536 = (-0,365)2·6 + 1,5632·5 + 1,1982·6

1,82 + 23,44 = 0,96 + 12,20 + 8,60

21,62 ≈ 21,78.

Расхождения незначительны, следовательно решение верно.

Одним из главных недостатков этого метода является большое количество уравнений в системе. Более экономичным при вычислительной работе является Метод контурных токов .

2.3 Метод контурных токов.

При расчете Методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет свой (условный) Контурный ток . Уравнения составляют относительно контурных токов по второму закону Кирхгофа. Таким образом количество уравнений равно количеству независимых контуров.

Реальные токи ветвей определяют как алгебраическую сумму контурных токов каждой ветви.

Рассмотрим, например, схему рис. 2.2. Разобьем ее на три независимых контура: СВАС ; АВ D А ; ВС D В и условимся, что по каждому из них проходит свой контурный ток, соответственно I 11 , I 22 , I 33 . Направление этих токов выберем во всех контурах одинаковым по часовой стрелке, как показано на рисунке.

Сопоставляя контурные токи ветвей, можно установить, что по внешним ветвям реальные токи равны контурным, а по внутренним ветвям они равны сумме или разности контурных токов:

I1 = I22, I2 = I33 — I22, I3 = I33,

I4 = I33 — I11, I5 = I11 — I22, I6 = — I11.

Следовательно, по известным контурным токам схемы легко можно определить действительные токи ее ветвей.

Для определения контурных токов данной схемы достаточно составить только три уравнения для каждого независимого контура.

Составляя уравнения для каждого контура необходимо учесть влияние соседних контуров токов на смежные ветви:

I11(R5 + R6 + R4) — I22·R5 — I33·R4 = O,

I22(R1 + R2 + R5) — I11·R5 — I33·R2 = E1 — E2,

I 33 (R 2 + R 3 + R 4 ) — I 11 · R 4 — I 22 · R 2 = E 2 .

Итак, порядок расчета методом контурных токов выполняется в следующей последовательности:

1. установить независимые контуры и выбрать направления в них контурных токов;

2. обозначить токи ветвей и произвольно дать им направления;

3. установить связь действительных токов ветвей и контурных токов;

4. составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа для контурных токов;

5. решить систему уравнений, найти контурные токи и определить действительные токи ветвей.

Пример 3. Решим задачу (пример 2) методом контурных токов, исходные данные те же.

1. В задаче возможны только два независимых контура: выберем контуры АВ D А и ВС D В , и примем направления контурных токов в них I 11 и I 22 по часовой стрелке (рис. 2.3).

2. Действительные токи ветвей I 1 , I 2, I 3 и их направления также показаны на (рис 2.3).

3. связь действительных и контурных токов:

I 1 = I 11 ; I 2 = I 22 — I 11 ; I 3 = I 22

4. Составим систему уравнений для контурных токов по второму закону Кирхгофа:

E1 — E2 = I11·(R1 + R5 + R2) — I22·R2

E2 = I22·(R2 + R4 + R3) — I11·R2;

5-15=11·I 11 -5·I 22

15=11·I 22 -5·I 11 .

Решив систему уравнений получим:

I 11 = -0,365

I 22 = 1,197, тогда

I 1 = -0,365; I 2 = 1,562; I 3 = 1,197

Как видим реальные значения токов ветвей совпадают с полученными значениями в примере 2.

2.4 Метод узлового напряжения (метод двух узлов).

Часто встречаются схемы содержащие всего два узла; на рис. 2.4 изображена одна из таких схем.

Рис 2.4. К расчету электрических цепей методом двух узлов.

Наиболее рациональным методом расчета токов в них является Метод двух узлов.

Под Методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое напряжение (с его помощью затем определяют токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами А и В схемы – U АВ .

Напряжение U АВ может быть найдено из формулы:

U АВ =

В числителе формулы знак «+», для ветви содержащей ЭДС, берется если направление ЭДС этой ветви направлено в сторону повышения потенциала, и знак «-» если в сторону понижения. В нашем случае, если потенциал узла А принять выше потенциала узла В (потенциал узла В принять равным нулю), Е1 G 1 , берется со знаком «+», а Е2· G 2 со знаком «-»:

U АВ =

Где G – проводимости ветвей.

Определив узловое напряжение, можно вычислить токи в каждой ветви электрической цепи:

I К =(Ек- U АВ ) G К .

Если ток имеет отрицательное значение, то действительное его направление является противоположным обозначенным на схеме.

В этой формуле, для первой ветви, т. к. ток I 1 совпадает с направлением Е1 , то ее значение принимается со знаком плюс, а U АВ со знаком минус, т. к. направлено навстречу току. Во второй ветви и Е2 и U АВ направлены навстречу току и берутся со знаком минус.

Пример 4 . Для схемы рис. 2.4 если Е1= 120В, Е2=5Ом, R1=2Ом, R2=1Ом, R3=4Ом, R4=10Ом.

UАВ=(120·0,5-50·1)/(0,5+1+0,25+0,1)=5,4 В

I1=(E1-UАВ)·G1= (120-5,4)·0,5=57,3А;

I2=(-E2-UАВ)·G2 = (-50-5,4)·1 = -55,4А;

I3=(О-UАВ)·G3 = -5,4·0,25 = -1,35А;

I4=(О-UАВ)·G4 = -5,4·0,1 = -0,54А.

2.5. Нелинейные цепи постоянного тока и их расчет.

До сих пор мы рассматривали электрические цепи, параметры которых (сопротивления и проводимости) считались не зависящими от величины и направления проходящего по ним тока или приложенного к ним напряжения.

В практических условиях большинство встречающихся элементов имеют параметры зависящие от тока или напряжения, вольт-амперная характеристика таких элементов имеет нелинейный характер (рис. 2.5),такие элементы называются Нелинейными . Нелинейные элементы широко используются в различных областях техники (автоматики, вычислительной техники и других).

Рис. 2.5. Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов:

1 — полупроводникового элемента;

2 — термосопротивления

Нелинейные элементы позволяют реализовать процессы которые невозможны в линейных цепях. Например, стабилизировать напряжение, усиливать ток и другие.

Нелинейные элементы бывают управляемыми и неуправляемыми. Неуправляемые нелинейные элементы работают без влияния управляющего воздействия (полупроводниковые диоды, термосопротивления и другие). Управляемые элементы работают под влиянием управляющего воздействия (тиристоры, транзисторы и другие). Неуправляемые нелинейные элементы имеют одну вольт-амперную характеристику; управляемые – семейство характеристик.

Расчет электрических цепей постоянного тока чаще всего производят графическими методами, которые применимы при любом виде вольт-амперных характеристик.

Последовательное соединение нелинейных элементов.

На рис. 2.6 приведена схема последовательного соединения двух нелинейных элементов, а на рис. 2.7 их вольтамперные характеристики – I (U 1 ) и I (U 2 )

Рис. 2.6 Схема последовательного соединения

Нелинейных элементов.

Рис. 2.7 Вольтамперные характеристики нелинейных элементов.

Построим вольт-амперную характеристику I (U ), выражающую зависимость тока I в цепи от приложенного к ней напряжения U . Так как ток обоих участков цепи одинаков, а сумма напряжений на элементах равна приложенному (рис. 2.6) U = U 1 + U 2 , то для построения характеристики I (U ) достаточно просуммировать абсциссы заданных кривых I (U 1 ) и I (U 2 ) для определенных значений тока. Пользуясь характеристиками (рис. 2.6) можно решить различные для этой цепи задачи. Пусть, например, задана величина приложенного к току напряжения U и требуется определить ток в цепи и распределение напряжений на ее участках. Тогда на характеристике I (U ) отмечаем точку А соответствующую приложенному напряжению U и проводим от нее горизонталь пересекающую кривые I (U 1 ) и I (U 2 ) до пересечения с осью ординат (точка D ), которая показывает величину тока в цепи, а отрезки В D и С D величину напряжения на элементах цепи. И наоборот по заданному току можно определить напряжения как общее, так и на элементах.

Параллельное соединения нелинейных элементов.

При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 2.8) с заданными вольт-амперными характеристиками в виде кривых I 1 (U ) и I 2 (U ) (рис. 2.9) напряжение U является общим, а ток I в неразветвленной части цепи равен сумме токов ветвей:

I = I 1 + I 2

Рис. 2.8 Схема параллельного соединения нелинейных элементов.

Поэтому для получения общей характеристики I(U) достаточно для произвольных значений напряжения U на рис. 2.9 просуммировать ординаты характеристик отдельных элементов.

Рис. 2.9 Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов.