Для того, чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми искажениями (погрешностями), необходимо рационально выбрать шаг дискретизации. Поэтому при преобразовании ана­логового сигнала в дискретный обязательно возникает вопрос о величине шага дискретизации . Интуитивно нетрудно понять следующую идею. Ес­ли аналоговый сигнал обладает низкочастотным спектром, ограниченным некоторой верхней частотойF e , (т.е. функцияu(t) имеет вид плавно изме­няющейся кривой, без резких изменений амплитуды), то вряд ли на некото­ром небольшом временном интервале дискретизацииэта функция может существенно изменяться по амплитуде. Совершенно очевидно, что точность восстановления аналогового сиг­нала по последовательности его отсчетов зависит от величины интервала дискретизации. Чем он короче, тем меньше будет отличаться функция u(t) от плавной кривой, проходящей через точки отсчетов. Однако с уменьшени­ем интервала дискретизациисущественно возрастает сложность и объем обрабатывающей аппаратуры. При достаточно большом интервале дискре­тизациивозрастает вероятность искажения или потери информации при восстановлении аналогового сигнала.

Оптимальная величина интервала дискретизации устанавливается тео­ремой Котельникова (другие названия - теорема отсчетов, теорема К. Шеннона, теорема X. Найквиста: впервые теорема была открыта в мате­матике О. Коши, а затем описана повторно Д. Карсоном и Р. Хартли), дока­занной им в 1933 г. Теорема В. А. Котельникова имеет важное теоретическое и практическое значение: дает возмож­ность правильно осуществить дискре­тизацию аналогового сигнала и опреде­ляет оптимальный способ его восста­новления на приемном конце по отсчетным значениям.

Рис.14.1. Представление спектральной плотности

Согласно одной из наиболее из­вестных и простых интерпретаций тео­ремы Котельникова, произвольный сиг­нал u(t), спектр которого ограничен некоторой частотой F e может - быть полностью восстановлен по последо­вательности своих отсчетных значений, следующих с интервалом времени

Интервал дискретизации и частотуF e (1) в радиотехнике часто называют соответственно интервалом и частотой Найквиста. Аналитически теорема Котельникова представляется рядом

(2)

где k - номер отсчета; - значение сигнала в точках отсчета;- верхняя частота спектра сигнала.

Для доказательства теоремы Котельникова рассмотрим произвольный непрерывный сигнал и(t), спектральная плотность которого сосредото­чена в полосе частот(сплошная линия на рис.14.1).

Мысленно дополним график спектральной плотности симметрично значениям, повторяющимся с периодом, (штриховые линии на рис.14.1). Полученную таким образом периодическую функцию разложим в ряд Фу­рье, заменив в формуле

аргумент t на с, частотунаи (фор­мально)п наk . Тогда

(3)

Полагая, что в соотношении

период - это , а интервал дис­кретизациизапишем

(4)

Воспользуемся формулой обратного преобразования Фурье и представим исходный непрерывный сигнал в следующем виде:

(5)

Таким же образом запишем значение дискретизированного сигнала для некоторого k-то отсчета времени. Поскольку время , то

Сравнив это выражение с формулой для C k , замечаем, чтоС учетом этого соотношения спектральная функция (3), после несложных преобра­зований, примет вид:

Затем проделаем следующее: подставим выражение в соотношение, изменим порядок интегрирования и суммирования, представим отно­шение как, и вычислим интеграл.

В результате получим такую фор­мулу:

Из этого соотношения следует, что непрерывная функция u(t) дейст­вительно определяется совокупностью ее дискретных значений амплиту­ды в отсчетные моменты времени , что и доказывает теорему Ко­тельникова.

Простейшие сигналы вида ортогональные друг другу на интерва­ле времени -,, называются функ­циями отсчетов, базисными функция­ми, или функциями Котельникова. График k-й функции Котельникова представлен на рис. 2. Каждая из ба­зисных функцийs k (t) сдвинута относи­тельно подобной ближайшей функцииs k-1 (t) илиs k+1 (t) на интервал дискрети­зации. Элементарный анализ фор­мулы (10) и графика на рис. 14.3 пока­зывает, что сигналs k (t) отражается

Рис. 14.2. График базисной функции Котельникова

Рис.14.3. Аппроксимация непрерывного сигнала рядом Котельникова функцией sinx/x, которая также характеризует огибающую спектральной плотности прямоугольного импульса.

Представление (точнее, аппроксимация) заданного непрерывного сигнала u(t) рядом Котельникова (2) иллюстрируется диаграммами на рис. 14.3. графике (здесь базисные функции для упрощения показаны без аргумента t построены четыре первых члена ряда, соответствующие отсчетам сигнала в моменты времени 0,, 2и 3, взятым в соответствии с теоремой Котельникова. При суммировании этих членов ряда в любые отсчетные моменты времени kDt, непрерывный сигнал абсолютно точно аппроксимируется независимо от числа выбранных отсчетов. В интервале же между любыми отсчетами сигнал u(t) аппроксимируется тем точнее, чем больше суммируется членов ряда Котельникова (2).

Оценим возможность применения теоремы Котельникова к импульсному сигналу u(t) конечной длительности T х . Как известно, такие сигналы теоретически обладают бесконечно широким спектром. Однако на практике можно ограничиться некоторой верхней частотойF в за пределами которой в спектре содержится пренебрежительно малая доля энергии по сравнению с энергией всего исходного сигнала. В радиотехнике таким критерием является содержание 90% средней мощности сигнала в границах спектра. В этом случае сигнал u(t) длительностьюT х с верхней граничной частотой спектраF в может быть представлен рядом Котельникова с определенным, ограниченным числом отсчетов

(10)

Здесь - число отсчетов.

Рис.14.4. Представление прямоугольного импульса отсчетами.

Теорема Котельникова (теорема отсчетов)

Проблема дискретизации сигналов с ограниченным спектром широко освещена в литературе, и основой ее служит теорема Котельникова (теорема Найквиста - Шеннона, или теорема отсчетов). Считается, что первыми фундаментальными трудами в этой области были работа В. А. Котельникова «О пропускной способности “эфира” и проволоки в электросвязи» (1933) и статья К. Шеннона «Связь при наличии шума» (1949). Статья К. Шеннона была написана на основе работы Е. Т. Уттакера «Функции, представляемые распространением теории интерполяции» (1915). Проблема представления функции отдельными значениями и восстановления ее при помощи интерполяции начала решаться в XVIII в. в работах О. Коши, П.-С. Лапласа и т.д., а позднее описана повторно Д. Карсоном и Р. Хартли.

Для того чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми погрешностями, необходимо рационально выбрать шаг дискретизации. Поэтому при преобразовании аналогового сигнала в дискретный обязательно возникает вопрос о величине шага дискретизации At. Интуитивно нетрудно понять следующую разумную идею. Если аналоговый сигнал обладает низкочастотным спектром, ограниченным некоторой верхней частотой F B (т.е. функция u(t) имеет вид плавно изменяющейся кривой без резких изменений амплитуды), то вряд ли на некотором небольшом временном интервале дискретизации At эта функция может существенно изменяться но амплитуде.

Точность восстановления аналогового сигнала по его отсчетам зависит от интервала дискретизации At. Чем он короче, тем меньше будет отличаться функция u(t) от кривой, проходящей через точки отсчетов. Однако с уменьшением интервала At существенно возрастают сложность и объем обрабатывающей аппаратуры. При большом интервале дискретизации At возрастает вероятность искажения или потери информации при восстановлении аналогового сигнала.

Оптимальное значение интервала дискретизации устанавливается теоремой Котельникова. Согласно одной из наиболее известных и простых интерпретаций этой теоремы произвольный сигнал u(t ), спектр которого ограничен некоторой частотой F B , может быть полностью восстановлен по последовательности своих отсчетных значений , следующих с интервалом времени

Интервал дискретизации At и частоту F d = F n в теории связи иногда называют соответственно интервалом и частотой Найквиста.

Аналитически теорема Котельникова представляется рядом

где k - номер отсчета; u(kAt) - значения непрерывного сигнала u(t) в точках отсчета; со в = 2nF n = к/At - верхняя частота спектра сигнала.

Для доказательства теоремы рассмотрим аналоговый сигнал u(f), спектральная плотность 5(со) которого сосредоточена в полосе -оо в t на со, частоту co t = со в на At и п на k. Тогда

Рис. 6.2. Представление спектральной плотности периодической функцией

Полагая в формуле (2.21) период 2со в, а интервал дискретизации At = л/со п, получим

Используя обратное преобразование Фурье (2.30), запишем сигнал как

Таким же образом запишем значение дискретизированного сигнала для некоторого k-vo отсчета времени. Поскольку t = kAt = kn/ со в, то

Сравнив эту формулу с формулой (6.4), замечаем, что C k = Atu(kAt). С учетом этого соотношения спектральная функция (6.3) после преобразований примет вид

Подставим соотношение (6.6) в формулу (6.5), изменим порядок интегрирования и суммирования, представим n/At =

Из этой формулы следует, что непрерывная функция u(t) действительно определяется совокупностью ее дискретных значений амплитуды в отсчетные моменты времени t = kAt, что и доказывает теорему Котельникова. Сигналы

ортогональные на интервале [-°°, +°°], называются функциями отсчетов или функциями Котельникова. График k- функции Котельникова представлен на рис. 6.3. Каждая из функций s k (t) сдвинута относительно ближайшей s k ,(?) или s k + l (t) на интервал дискретизации At. Анализ формулы

(6.7) и графика на рис. 6.3 показывает, что сигнал s k (t) отражается функцией sinx/x y которая характеризует огибающую спектральной плотности прямоугольного импульса.

Рис. 6.3.

Представление сигнала u(t) рядом Котельникова (6.3) иллюстрируется диаграммами на рис. 6.4. На графике построены четыре первых члена ряда, соответствующие отсчетам сигнала в моменты 0, At, 2At и ЗД?, взятым в соответствии с теоремой Котельникова. При суммировании этих членов ряда в любые отсчетные моменты kAt непрерывный сигнал абсолютно точно восстанавливается независимо от числа выбранных отсчетов. В интервале же между любыми отсчетами сигнал u(t) восстанавливается тем точнее, чем больше суммируется членов ряда (6.3). Заметим, что соединить дискретные отсчеты сигнала на графике прямыми линиями было бы не совсем верно, так как при восстановлении непрерывного сигнала по дискретному используют более сложные интерполирующие функции.

На практике эта теорема имеет огромное значение. Например, большинство звуковых сигналов можно с некоторой степенью точности считать сигналами с ограниченным спектром. Их спектр лежит ниже 20 кГц. Это значит, что при дискретизации с частотой не менее 40 кГц мы можем потом более или менее точно восстановить исходный аналоговый звуковой сигнал по его цифровым отсчетам.

Рис. 6.4.

Пример 6.1

Сигнал звукового сопровождения в телевизионном канале ограничен верхней частотой /„ = 12 кГц. Определим интервал At между отсчетами, необходимый для неискаженного воспроизведения дискретизированного сигнала. Решение

Определяем интервал дискретизации: At = 1/(2/ в) = 1/(2 12 -10 ’) ~ 42 10 6 с.

Впоследствии было предложено много различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчетов:

• для функций, отсчеты которых берутся в произвольные моменты времени;
• для многомерных функций (например, для телевизионных сигналов);
• для функций, у которых берутся отсчеты и самой функции, и ее производной.

Оценим возможность применения теоремы Котельникова к импульсному сигналу u(t) конечной длительности Т п. Такие сигналы теоретически обладают бесконечно широким спектром. Однако всегда можно ограничиться верхней частотой F B , за пределами которой в спектре содержится малая доля энергии по сравнению с энергией всего сигнала. В теории связи таким критерием является содержание 90% средней мощности сигнала в границах спектра. В этом случае сигнал u(t) длительностью Т И с верхней граничной частотой спектра F B может быть представлен рядом Котельникова с ограниченным числом отсчетов

Здесь Л г = TJAt - число отсчетов.

Пример 6.2

Представим рядом Котельникова прямоугольный импульс напряжения единичной амплитуды и длительности т„ для двух случаев: спектр аппроксимирующей функции ограничен значениями верхней частоты F Bl = 1/(2т и) и F d2 = 1/т„.

Решение

Для первого случая интервал дискретизации At = 1/(2F B) = т и, а значит, импульс будет представлен всего двумя отсчетными значениями - в начале и концс импульса. Подставив в формулу (6.8) значения амплитуды и длительности импульса, запишем математическую модель аппроксимирующей функции:

Во втором случае импульс дискретизируют тремя равными отсчетами, производимыми в моменты t = 0, т (1 /2 и т и, т.е. в начале, середине и конце импульса. Тогда

Временные диаграммы аппроксимирующих функций u 2 (t) и u 3 (t) и образующие их члены ряда Котельникова представлены на рис. 6.5.

Рис. 6.5. Представление прямоугольного импульса отсчетами:

а - двумя; 6 - тремя

Пример б.З

Определим минимальную частоту дискретизации по Котельникову, при которой гармонический сигнал u(t) = cos(2nF 0 t +

Решение

При выборе интервала дискретизации At = 1/(2F B), где F B - верхняя граничная частота спектра, непрерывный сигнал u(t) можно восстановить по отсчетам (рис. 6.6, а). Если соотношение частот F 0 щ = = cos (knF 0 /F B + %).

В предельном случае, когда частота сигнала F 0 стремится к частоте дискретизации F B слева, т.е. F 0 = lim (F n - р), на каждом периоде исходного сигнала долж-

но осуществляться два отсчета.

Восстановление функции зависит от фазы отсчетов сигнала относительно выборок. Если максимум синусоиды приходится на середину интервала между отсчетами, то погрешность наибольшая, если же на отсчет, то - наименьшая.

Рис. 6.6.

а - при F 0 по двум отсчетам

Очевидно, что выборки могут попадать на нулевые значения синусоиды, экстремумы или промежуточные значения. Так как априорно фаза выборок относительно дискретизируемой синусоиды неизвестна, то после восстановления сигнала фильтром синусоиду можно не увидеть. В этом примере самая высокая точность восстановления синусоиды будет тогда, когда обе выборки взяты в ее максимальных значениях. Колебание на входе ФНЧ имеет пилообразную форму той же частоты, что и частота синусоиды (штриховые линии на рис. 6.6, б).

Если отсчеты производят недостаточно часто и условия теоремы Котельникова нарушаются, то однозначное восстановление гармонического сигнала невозможно. В этих случаях через отсчетные моменты времени можно провести бесчисленное множество кривых, спектральные плотности которых отличны от нуля вне полосы -F n F Можно утверждать, что погрешность восстановления синусоиды при частоте выборок 2F 0 может составлять 100%. Уже этого достаточно для подтверждения правильности изложенных выводов.

Пример 6.4

Дискретизированный в соответствии с теоремой Котельникова непрерывный сигнал u(t) имеет два отсчета на временной оси (рис. 6.7). Вычислим мгновенное значение исходного сигнала в момент времени t = 1 мкс.

Рис. 6.7.

Решение

По рис. 6.7 определяем, что интервал дискретизации = 210 (, си верхняя частота спектра исходного сигнала со в = к/ At = 1,57- 10 f> с -1 . Согласно формуле

(6.8) ряд Котельникова в этом случае примет вид

Из этого соотношения находим мгновенное значение аналогового сигнала в момент времени t = 1 мкс: u(t = 1 мкс) = 22,3 В.

Ниже будет сформулирована и доказана теорема Котельникова (теорема отсчётов) - основополагающая теорема для систем цифровой обработки сигналов, телекоммуникаций, а также теории связи. Теорема была сформулирована и доказана советским академиком В. А. Котельниковым в 30-х годах 20 века. Суть теоремы состоит в том, что вместо передачи непрерывного аналогового сигнала можно передавать соответствующий ему дискретный сигнал.

Формулировка теоремы: непрерывный сигнал, спектр которого не содержит частот больших fm может быть однозначно представлен своими мгновенными значениями (выборками), разделёнными одинаковыми интервалами времени, длина которых не должна превышать 1/2fm.

Другими словами период дискретизации должен хотя бы в два раза меньше периода наивысшей частотной составляющей спектра непрерывного сигнала, т.е. на каждый период наивысшей частотной составляющей должно приходиться по крайней мере два отсчёта (выборки). Таким образом, частота следования отсчётов должна по крайней мере в два раза превышать наивысшую частоту в спектре непрерывного сигнала. Полученный дискретный сигнал может быть передан по каким-либо линиям связи и из него фильтром нижних частот на стороне приёмника может быть однозначно восстановлен исходный аналоговый сигнал.

С другой стороны, непрерывный сигнал может иметь бесконечный спектр частот, но так как гармоники этого сигнала могут монотонно уменьшаться по амплитуде при увеличении номера гармоники, то с некоторой степенью точности можно считать спектр такого сигнала ограниченным.

Точность воспроизведения непрерывного сигнала во многом определяется характеристиками фильтра нижних частот и не оказывает влияния на корректность теоремы Котельникова в данном случае. Также, точность воспроизведения непрерывного сигнала определяется количеством уровней квантования в процессе получения отсчётов. Однако, если выбрать количество уровней квантования в соответствии с динамическим диапазоном и чувствительностью конкретной системы, то точность воспроизведения непрерывного сигнала не будет ухудшаться процессом получения отсчётов. Это утверждение, в частности, может быть до определённой степени справедливым, когда уровень шумов, присутствующий в исходном сигнале больше шага квантования. В этом случае не имеет смысла увеличивать количество уровней квантования, так как к повышению точности получения отсчётов это не приведёт.

Теорема Котельникова определяет также, что в непрерывном сигнале и соответствующем ему дискретном сигнале, полученном по приведённым выше правилам, содержится одинаковая информация, поэтому представление одного из этих двух сигналов другим является взаимно-однозначным.

Доказательство теоремы начнём с рассмотрения абстрактного вспомогательного непрерывного сигнала, представленного бесконечной последовательностью импульсов с некоторым периодом повторения (рис. 1). Исследуемый непрерывный сигнал и его спектр показан на рис. 2. Цель введения вспомогательного сигнала: показать, что и в нём после некоторых преобразований и в дискретном сигнале, полученном в соответствии с теоремой Котельникова, содержится одинаковая информация.

Далее, для восстановления исходного непрерывного сигнала из сигнала, полученного перемножением исходного и вспомогательного сигналов требуется пропустить полученный сигнал через фильтр нижних частот, который подавит все частоты, выше fm. Однако такой подход требует пояснения для дискретного сигнала. Дело в том, что на выходе ЦАП формируется не последовательность импульсов бесконечно малой ширины, а ступенчатый сигнал. Это объясняется самим принципом работы ЦАП. Если исследовать спектр полученного на выходе ЦАП сигнала, то окажется, что он довольно сильно искажён по сравнению со спектром полученного сигнала в доказательстве теоремы. Это можно объяснить тем, что сигнал на выходе ЦАП представляет собой свёртку полученного в доказательстве теоремы сигнала и сигнала в виде прямоугольного импульса длительностью, соответствующей длительности периода дискретизации. Опять же, по теории операционного исчисления, изображение свёртки оригиналов двух функций равно произведению их изображений.

Получаемый на выходе ЦАП сигнал и его спектр показаны на рис. 5. Пунктиром отмечен спектр прямоугольного импульса. Дублированные части спектра показаны не перемноженными на функцию вида sin(x)/x. Спектр любого прямоугольного импульса задаётся функцией, подобной sin(x)/x. Для восстановления непрерывного исходного сигнала в таком случае нужно рассчитать импульсную характеристику фильтра нижних частот таким образом, чтобы после применения этого фильтра в спектре полученного сигнала производилась ещё и операция деления на соответствующим образом подобранную функцию вида sin(x)/x.

Так как в практических случаях не удаётся достичь точной рассчитанной импульсной характеристики фильтра, может возникнуть скат спектра импульсной характеристики в области частоты среза фильтра. Ширина ската зависит от типа используемого аналогового фильтра. Например, при использовании фильтра Бесселя, ширина ската довольно значительна, а при использовании фильтра Чебышева ширина ската гораздо меньше, но фильтр Чебышева имеет ряд других недостатков, которые обсуждаются в главе «Применение цифровых фильтров». Из-за ската в области частоты среза, некоторая часть спектра в окрестностях частоты среза является неиспользуемой и тогда используют фильтр с частотой среза, превышающей fm на ширину ската.

В заключение следует отметить, что рассмотренный при доказательстве теоремы Котельникова вспомогательный сигнал является чисто абстрактным и в природе существовать не может, так как невозможно получить бесконечно малую ширину импульса. Однако, можно сделать некоторое упрощение, основанное на следующем факте. Любая линейная система имеет конечное быстродействие, т. е. работает в конечном временном интервале. Если это электрическая схема, то быстродействие, как правило, определяется величинами ёмкостей, входящих в состав схемы. Если на вход такой системы подать импульс, имеющий единичную амплитуду и длина которого будет намного меньше нижней границы временного интервала работы схемы, то этот импульс будет воспринят так же как и идеальный (т. е. имеющий бесконечно малую ширину и единичную площадь). Таким образом, в практических случаях существует приближение вспомогательного сигнала, использованного при доказательстве теоремы.

Цифрова?я обрабо?тка сигна?лов (ЦОС, DSP — англ. digital signal processing) — преобразование сигналов, представленных в цифровой форме.

Любой непрерывный (аналоговый) сигнал может быть подвергнут дискретизации по времени и квантованию по уровню (оцифровке), то есть представлен в цифровой форме. Если частота дискретизации сигнала не меньше, чем удвоенная наивысшая частота в спектре сигнала (то есть ), то полученный дискретный сигнал эквивалентен сигналу по методу наименьших квадратов (МНК) (см.: Теорема Котельникова).

При помощи математических алгоритмов преобразуется в некоторый другой сигнал , имеющий требуемые свойства. Процесс преобразования сигналов называется фильтрацией, а устройство, выполняющее фильтрацию, называется фильтр. Поскольку отсчёты сигналов поступают с постоянной скоростью , фильтр должен успевать обрабатывать текущий отсчет до поступления следующего (чаще — до поступления следующих n отсчётов, где n — задержка фильтра), то есть обрабатывать сигнал в реальном времени. Для обработки сигналов (фильтрации) в реальном времени применяют специальные вычислительные устройства — цифровые сигнальные процессоры.

Всё это полностью применимо не только к непрерывным сигналам, но и к прерывистым, а также к сигналам, записанным на запоминающие устройства. В последнем случае скорость обработки непринципиальна, так как при медленной обработке данные не будут потеряны.

Различают методы обработки сигналов во временной (англ. time domain ) и в частотной (англ. frequency domain ) области. Эквивалентность частотно-временных преобразований однозначно определяется через преобразование Фурье.

Обработка сигналов во временной области широко используется в современной электронной осциллографии и в цифровых осциллографах. Для представления сигналов в частотной области используются цифровые анализаторы спектра. Для изучения математических аспектов обработки сигналов используются пакеты расширения (чаще всего под именем Signal Processing) систем компьютерной математики MATLAB, Mathcad, Mathematica, Maple и др.

В последние годы при обработке сигналов и изображений широко используется новый математический базис представления сигналов с помощью «коротких волночек» — вейвлетов. С его помощью могут обрабатываться нестационарные сигналы, сигналы с разрывами и иными особенностями и сигналы в виде пачек.

Цифровая обработка сигналов - некоторые основные понятия.

Физические величины, если только не опускаться на квантовый уровень, изменяются непрерывно. Однако цифровая обработка сигналов работает исключительно с дискретными величинами, причем дискретность проявляется двояко - при квантовании по времени и при квантовании по амплитуде сигнала. Это видимое усложнение вполне оправдано тем, что для обработки мы может использовать цифровые вычислительные машины, полностью избавившись от проблемы нестабильности параметров, столь болезненной при обработке аналоговой. Не меньшим преимуществом является то, что стоимость цифровой обработки низка и продолжает падать, даже при очень сложных ее видах. Это позволяет создавать эффективные системы обработки сигналов при разумных затратах. Насколько допустима такая замена? Не приводит ли она к потере точности?

Дискретный сигнал получается из аналогового операцией дискретизации - взятием отсчетов (измерением) через интервал времени Т. В принципе возможна и цифровая обработка при неравномерной дискретизации по времени, однако эта тема куда менее разработана математически и, по-видимому, представляет не столь большой практический интерес. При этой операции представляется возможной потеря информации, заключенной в значениях сигнала в интервалах между отсчетами. Условия, при которых осуществимо восстановление аналогового сигнала по полученному из него цифровому, то есть сохранение всей исходно содержавшейся в сигнале информации, выражаются теоремой Найквиста-Уиттекера-Котельникова-Шеннона (в зависимости от пристрастий автора встречаются все мыслимые комбинации этих имен). Для этого требуется, чтобы полоса частот входного сигнала была бы не менее чем вдвое уже, чем частота дискретизации, то есть f c = 1/2f d . (Нередко приводят частную ее формулировку, верную для сигналов, чья полоса частот начинается с нулевой частоты - “чтобы не присутствовали частоты большие, нежели половина частоты дискретизации”).

Если же такие частоты имеются, возникает эффект маскировки (подмены) частот. Наглядным его проявлением может служить иллюзия, часто проявляющаяся в кино - вращающееся колесо вдруг начинает вращаться в противоположную сторону. Здесь частота смены кадров является аналогом частоты дискретизации, и когда колесо совершает между последовательными кадрами более чем пол-оборота, оно кажется вращающимся в другую сторону и с иной скоростью. Для частоты f маскируются под нее частоты (2f c ±f), (4f c ±f), (6f c ±f) и т.д. Употребляется также термин “алиасы”, от aliases. Неучет этого эффекта может приводить к грубым ошибкам: так, в одном, проведенном в серьезной лаборатории исследовании было обнаружено наличие в электроэнцефалограмме у всех больных, в отличие от здоровых испытуемых, частот 22 и 28 герц. Однако, заметив, что частота дискретизации в данном исследовании была принята 128 Гц, видим, что эти частоты суть “призраки”, порождения помехи на частотах 100 и 150 Гц - второй и третьей гармониках сетевой частоты (их источником могли быть, например, нелинейные устройства в цепях питания аппаратуры, такие, как выпрямители и трансформаторы). Регистрация же их исключительно у больных вызвана была тем, что в условиях больницы, сравнительно с университетской лабораторией, где записывали ЭЭГ здоровых испытуемых, уровень помех существенно выше.

Борьба с эффектом маскирования частот (антиалиасинг) приводит к необходимости предварительной фильтрации сигнала, исключающей частоты выше половины частоты дискретизации, причем ввиду несовершенства реальных фильтров частоту среза выбирают заведомо более низкую, чем требуемая теоретически, как правило, в три-четыре раза ниже частоты дискретизации. Несовершенство это порождено не неумением инженеров-электриков, а носит фундаментальный характер. Дело в том, что сигнал с ограниченной частотной полосой в принципе не может быть конечной длины, а если он конечен во времени, то содержит бесконечную по ширине полосу частот. (Это ограничение количественно выражается соотношением неопределенностей, связывающим длину импульса и его частотную полосу - бесконечно короткий импульс содержит “в зародыше” все возможные частоты, а строго моночастотная синусоида должна простираться от минус до плюс бесконечности.) Поэтому чересчур высококачественный фильтр будет иметь слишком большое время установления, а “идеальный” - вообще бесконечное.

(ИП) — СИ, предназначенное для преобразования измеряемой величины в другую величину или сигнал измерительной информации, удобный для обработки, хранения, дальнейших преобразований, индикации или передачи.

По расположению в измерительной цепи различают первичные и промежуточные измерительные преобразователи.

Первичный , называемый также датчиком, — это тот измерительный преобразователь, на который непосредственно действует измеряемая величина.

Остальные измерительные преобразователи называют промежуточными. Они расположены после первичного измерительного преобразователя и могут выполнять различные операции преобразования измерительного сигнала.

Как правило, к ним относятся:

Изменение физического рода величины;

Масштабное (линейное или нелинейное) преобразование;

Масштабно-временное преобразование;

Аналого-цифровое преобразование;

Цифро-аналоговое преобразование;

Функциональное преобразование (любые математические операции над значениями величины).

Следует иметь в виду, что указанная классификация достаточно условна. Во-первых, в одном СИ может быть несколько первичных (например, термопара в цепи термоэлектрического термометра). Во-вторых, специфика аналитических измерений также приводит к нарушению указанного принципа классификации.

Аналитические измерения представляют собой преобразование измеряемой величины, являющейся информативным параметром анализируемой среды (информативный параметр — параметр, несущий информацию о измеряемой величине), и сравнением ее с мерой.

Обычно они проводятся с помощью совокупности измерительных преобразователей , включающей следующие виды измерительных преобразователей :

ИП1: измерительный преобразователь типа состав - состав, обеспечивающие масштабные преобразования анализируемой пробы. Проба характеризуется информативным параметром С (содержанием измеряемого компонента) и комбинацией неинформативных параметров Сн, к которым относятся содержание неопределяемых (мешающих) компонент и термодинамические параметры анализируемой среды. При прохождении через ИП1 происходят процессы очистки, сушки, изменения температуры и давления смеси до требуемых величин и, после этих преобразований анализируемой среды, отбор ее требуемого количества. ИП1 обычно называют блоком отбора и подготовки пробы;

ИП2: измерительный преобразователь типа состав - свойство, обеспечивающие преобразование измеряемой величины С в то или иное физико-химическое свойство, удобное для последующего измерения и регистрации. Во многих случаях это преобразование идет в два этапа: получение промежуточного продукта в жидкой либо твердой фазе с содержанием компонента Ynpом(C), а затем его преобразование в свойство Ф (Ynpом).

ИП3: измерительный преобразователь типа свойство - выходной сигнал, обеспечивающие преобразование измеряемой величины в выходной измерительный сигнал W. Обычно это преобразование также осуще-ствляется в два этапа: в промежуточный сигнал Wnpом(Ф) и затем в выходной сигнал W(Wnpом ). При этом преобразование Wnpом в W — это преобразование одной электрической величины в другую.

Получив с помощью совокупности измерительных преобразователей выходные сигналы от анализируемого объекта, по калибровочной зависимости произво-дят сравнение измеряемой величины с мерой и вырабатывают оценочные значения С* измеряемой величины С.

Эта совокупность измерительных преобразователей не укладывается в приведенную классификацию, т. к. измеряемая величина непосредственно воздействует не только на первый измерительный преобразователь измерительной цепи, но и на их совокупность, включающую ИП1, ИП2 и первый преобразователь группы ИП3. При этом только второй преобразователь группы ИП3 является промежуточным. Отсюда следует, что в аналитических приборах роль первичного измерительного преобразователя выполняет совокупность измерительных преобразователей, осуществляющая последовательное, в несколько этапов, преобразование измеряемой величины в измерительный сигнал.

К средствам измерений относятся меры, измерительные преобразователи, измерительные приборы, измерительные установки и информационно-измерительные системы. Мерой называется средство измерений, предназначенное для воспроизведения заданного значения физической величины.

Измерительный преобразователь - это средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, удобной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки и хранения, но не поддающийся непосредственному восприятию наблюдателем. Измерительный преобразователь, к которому подводится измеряемая величина, называется первичным измерительным преобразователем .

В зависимости от характера преобразуемых величин различают следующие виды измерительных преобразователей:

Преобразователи электрических величин в электрические (делители напряжения, измерительные трансформаторы);

Преобразователи магнитных величин в электрические (измерительные катушки);

Преобразователи неэлектрических величин в электрические (термо- и тензопреобразователи, реостатные, емкостные).

В зависимости от вида входного и выходного сигналов различают измерительные преобразователи:

- аналоговые преобразователи , у которых на входе и выходе аналоговые сигналы;

- аналого -цифровые преобразователи , имеющие на входе аналоговый сигнал, а на выходе цифровой (кодированный) сигнал;

- цифро -аналоговые преобразователи , у которых на входе цифровой, а на выходе - аналоговый сигнал.

Первичные измерительные преобразователи, размещаемые непосредственно на объекте исследования и удаления от места обработки, отображения и регистрации измерительной информации, называют датчиками .

Измерительные приборы - средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем.

По физическим явлениям, положенным в основу работы, измерительные приборы можно разделить на электроизмерительные (электромеханические, электротепловые, электрохимические и др.) и электронные приборы. По назначению их подразделяют на приборы для измерения электрических и неэлектрических (магнитных, тепловых, химических и др.) физических величин, по способу представления результатов - на показывающие и регистрирующие. В зависимости от регистрации измеряемой величины - аналоговые и цифровые измерительные приборы.

Измерительные установки - комплекс средств измерений, включающий в себя меры, измерительные приборы и преобразователи, вспомогательные устройства, объединенные общей схемой, с помощью которой можно измерить одну или несколько физических величин.

Диапазон измерений - область значений измеряемой величины, для которой нормированы допускаемые погрешности средства измерений. Он ограничивается наибольшим и наименьшим значениями.

Область значений шкалы, ограниченную начальными и конечными значениями шкалы, называют диапазоном показаний .

В каноническом разложении Котельникова интервал дискретизации случайного процесса определяется его интервалом корреляции, максимальным значением спектральной плотности и значением спектральной плотности на нулевой частоте.

Интервал дискретизации больше или равен интервалу корреляции процесса.

Из классической теории сигналов известно, что значения отсчетов, взятых через интервал Котельникова, взаимно-некоррелированы, если спектр сигнала в занимаемой им полосе частот равномерен (белый шум). Однако на практике в основном используются сигналы, спектр которых неравномерен, поэтому корреляция между отсчетами не равна нулю. При этом степень корреляции возрастает с увеличением частоты дискретизации. Типичным примером таких сигналов является речь, где корреляция между соседними отсчетами достаточно велика при соблюдении теоремы Котельникова в процессе дискретизации.

Часто используется понятие "интервал корреляции " или "время корреляции ", под которыми понимается величина временного сдвига , при превышении которого корреляцией можно пренебречь в условиях конкретного эксперимента. Обычно интервал корреляции определяют как .

Если интервал корреляции равен нулю, то случайный процесс называют некоррелированным, или белым шумом. В противном случае случайный процесс является коррелированным. В качестве примера на рис. 4.1 приведен пример коррелированного (вверху) и некоррелированного (внизу) случайного процесса. Реальные процессы все являются коррелированными, поскольку имеют ограниченную мощность и, следовательно, ограниченную полосу частот.

Однако на определенном интервале времени (частот) их можно приближенно считать некоррелированными.

Время дискретизации Δτ = τk + 1 - τk (или соответствующую ему частоту

Дискретизации сигналов Δφ = 1/Δτ);

Время дискретизации сигналов первичных преобразователей или соответствующую ему частоту дискретизации сигналов выбирают в зависимости от требований к погрешности измерений, учитывая то, что частота дискретизации сигналов определяется требуемым частотным диапазоном измеряемого сигнала и ограничениями амплитудно-частотных характеристик первичных преобразователей.

Она должна как минимум в два - три раза превышать максимальную частоту возможного частотного диапазона измеряемого сигнала (для динамических измерений). Конец формы.

АСУ ТП строится по трехуровневой иерархии:

• нижней уровень — уровень контрольно-измерительных приборов и исполнительных механизмов;
• средний уровень — уровень контроллеров и оборудования связи
• верхний уровень — уровень серверов и операторских станций

В связи с высокими требованиями к надежности системы управления в химической промышленности все уровни АСУ ТП резервируются. Для обеспечения бесперебойной передачи данных между подсистемами и уровнями иерархии приме-няются высоконадежные и помехоустойчивые каналы пере-дачи данных. В настоящее время хорошо зарекомендовало себя для этих целей оптоволоконная кольцевая сеть Industrial Ethernet.

Обработка информации осуществляется в модуле централь-ного процессора контроллера, что обеспечивает высокую надежность системы управления и гарантию исполнения всех необходимых алгоритмов, который построен по модульному принципу, позволяющему производить оперативную замену вышедших из строя модулей.

Отображение информации о режимах управления установки и управление ее исполнительными механизмами осуществля-ется с автоматизированного рабочего места оператора (АРМ), реализованного на 2-х идентичных промышленных компьюте-рах в «горячем» резерве с установленным пакетом визуали-зации на базе операционной системы Windows XP.

Все реальные непрерывные сигналы являются плавными функциями времени. Скачки значений в них практически не наблюдаются. Поэтому такие сигналы можно представить последовательностью их значений, взятых с некоторым шагом по времени. Значение сигнала в фиксированный момент называется отсчетом .

На этом рисунке показан непрерывный сигнал и его отсчеты с различным шагом по времени. При малом шаге (рис. б) последовательность отсчетов достаточно точно описывает сигнал, а при большом шаге (рис. в) по отсчетам нельзя восстановит форму сигнала, так как пропущены его характерные экстремальные точки.

Как же часто следует брать отсчеты, чтобы по ним можно было полностью восстановить сигнал?

Ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная в 1933 г. Советским ученым академиком В.А.Котельниковым . и названная его именем.

Согласно этой теореме любой непрерывный сигнал с конечным спектром (имеющим максимальное значение ) можно представить в виде дискретных отсчетов , частота дискретизации которых должна быть выбрана не менее чем в два раза выше максимального значения спектра сигнала:, передать его по линии связи, а затем восстановить исходный аналоговый сигнал .

Теорема Котельникова является основой для дискретизации непрерывных сигналов по времени, так как, во - первых, доказывает, что непрерывный сигнал можно заменить его дискретными значениями, во - вторых, дает правило вычисления шага дискретизации - . При таком шаге дискретизации ряд Котельникова дает точное временное представление сложного сигнала.

Физический смысл теоремы Котельникова.

Теорема Котельникова утверждает, что если требуется передать непрерывный сигнал с ограниченным спектром по каналу связи, то можно не передавать все его значения: достаточно лишь передать его мгновенные значения (отсчеты) через интервал . Поскольку сигнал полностью определяется этими значениями, то по ним он может быть восстановлен на приемном конце системы связи. Для этого достаточно соединить отсчеты плавной кривой. Это можно объяснить тем, что сигнал между отсчетами может изменяться только плавно, так как частоты выше дающие быстрые изменения, в сигнале отсутствуют. Ведь отсчеты берутся достаточно часто, и тем чаще, чем выше максимальная частота .

Практическое применение теоремы Котельникова.

Дискретизация сигнала осуществляется достаточно просто: периодически на короткое время через интервал ключом замыкается цепь от источника сигнала к нагрузке - получаем отсчеты . Далее эти отсчеты, пройдя через канал связи, поступают на вход идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) с верхней частотой пропускания . На выходе фильтра получается исходный непрерывный сигнал .

Структурная схема системы связи с использованием теоремы Котельникова.

На передающей стороне берутся отсчеты сигнала в моменты . Далее отсчеты любым способом передаются по каналу связи. Идеальный ФНЧ на приемном конце восстанавливает исходный сигнал .

Частота следования импульсов, называемая также частотой дискретизации , определяется по теореме Котельникова:

.

Например, частота дискретизации для речевого (телефонного) сигнала, имеющего максимальное значение спектра сигнала , будет равна . Согласно рекомендациям МККТТ и, соответственно, .

Теорема Котельникова в многоканальной электросвязи.

Возможность передачи вместо непрерывных сигналов последовательности импульсов (отсчетов) позволяет осуществить временное разделение каналов. Дело в том, что при импульсной передаче период следования импульсов обычно намного больше их длительности, то есть импульсы имеют большую скважность - при большой скважности между импульсами одного сигнала остается промежуток, на котором можно разместить импульсы от других сигналов. Этот способ и называется временным разделением . В настоящее время уже реализованы многоканальные системы передачи с временным разделением каналов на 12, 15, 30, 120, 480, 1920 речевых сигналов.

В 1933 г. В. А. Котельников доказал теорему, которая является одним из фундаментальных положений теоретической радиотехники. Эта теорема устанавливает возможность сколь угодно точного восстановления мгновенных значений сигнала с ограниченным спектром исходя из отсчетных значений (выборок), взятых через равные промежутки времени.

Построение ортонормированного базиса.

Как было показано, любые два сигнала с ограниченным спектром, принадлежащие семейству

являются ортогональными. Путем соответствующего выбора амплитудного множителя А можно добиться того, чтобы норма каждого из этих сигналов стала единичной. В результате будет построен ортонормированный базис, позволяющий разложить произвольный сигнал с ограниченным спектром в обобщенный ряд Фурье.

Достаточно рассмотреть лишь функцию

так как норма любого сигнала одинакова независимо от сдвига во времени. Поскольку

функции и будут ортонормированными, если

Бесконечная совокупность функций

образует базис Котельникова в линейном пространстве низкочастотных сигналов со спектрами, ограниченными сверху значением Отдельная функция называется отсчетной функцией.

Ряд Котельникова. Если - произвольный сигнал, спектральная плотность которого отлична от нуля лишь в полосе частот - , то его можно разложить в обобщенный ряд Фурье по базису Котельникова:

Коэффициентами рада служат, как известно, скалярные произведения разлагаемого сигнала и отсчетной функции:

Удобный способ вычисления этих коэффициентов заключается в применении обобщенной формулы Рэлея. Легко проверить, что отсчетная функция в пределах отрезка имеет спектральную плотность, равную . Это видно из сравнения формул (5.3) и (5.13). Тогда, если - спектр изучаемого сигнала то

Величина в фигурных скобках есть не что иное, как т. е. мгновенное значение сигнала отсчетной точке

Таким образом,

откуда следует выражение ряда Котельникова:

Теорему Котельникова на основании последнего равенства принято формулировать так: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени

Пример 5.1. Дан сигнал

Выбрав некоторый фиксированный интервал между отсчетами получаем возможность однозначно восстановить по отсчетам любой сигнал, спектр которого не содержит составляющих на частотах выше граничной частоты

Если то к рассматриваемому гармоническому сигналу применима теорема Котельникова; отсчетные значения (выборки) данного сигнала

В предельном случае, когда частота стремится к слева, т. е.

на каждый период гармонического сигнала должно приходиться ровно две выборки.

Если же условия теоремы Котельникова нарушаются и отсчеты во времени берутся недостаточно часто, то однозначное восстановлен ние исходного сигнала принципиально невозможно. Через отсчетные точки можно провести бесчисленное множество кривых, спектральные плотности которых отличны от нуля вне полосы -

Рис. 5.2. Аппаратурная реализация синтеза сигнала по ряду Котельникова

Аппаратурная реализация синтеза сигнала, представленного рядом Котельникова.

Важная особенность теоремы Котельникова состоит в ее конструктивном характере; она не только указывает на возможность разложения сигнала в соответствующий ряд но и определяет способ восстановления непрерывного сигнала, заданного своими отсчетными значениями (рис. 5.2).

Пусть имеется совокупность генераторов, создающих на выходных зажимах отсчетные функции . Генераторы являются управляемыми - амплитуда их сигналов пропорциональна отсчетным значениям Если объединить колебания на выходах, подав их на сумматор, то с выхода сумматора в соответствии с формулой (5.18) можно будет снимать мгновенные значения синтезируемого сигнала s(t).

Пример 5.2. Прямоугольный видеоимпульс с единичной амплитудой и длительностью не принадлежит к числу сигналов с ограниченным спектром. Тем не менее модуль его спектральной плотности достаточно быстро (по закону ) уменьшается с ростом частоты.

Описание такого сигнала двумя отсчетами в начале и в конце импульса будет означать замену исходного колебания сигналом со спектром, ограниченным сверху частотой Математическая модель этого сигнала такова:

Если же описать импульс тремя равноотстоящими отсчетами, то приходим к аппроксимирующему сигналу, содержащему частоты вплоть до

Естественно, что с ростом числа учитываемых членов, т. е. с уменьшением временного интервала между выборками, точность аппроксимации будет повышаться.

Оценка ошибки, возникающей при аппроксимации произвольного сигнала рядом Котельникова.

Если - произвольный сигнал, то его можно представить суммой к в которую входит сигнал со спектром, ограниченным значением а также сигнал ошибки аппроксимации со спектром, занимающим в обшем случае бесконечную полосу частот .

Спектры указанных сигналов не перекрываются, поэтому сигналы ортогональны, а их энергии, т. е. квадраты норм, складываются:

В качестве меры ошибки аппроксимации можно принять расстояние, равное норме сигнала ошибки. Если - энергетический спектр сигнала то по теореме Рэлея

Пример 5.3. Дан экспоненциальный видеоимпульс , характеризующийся энергетическим спектром и нормой

Эффективная длительность этого импульса (см. гл. 2)

Спектр рассматриваемого сигнала неограничен. Поэтому следует предварительно подвергнуть сигнал низкочастотной фильтрации, пропустив его через фильтр нижних частот (ФНЧ). Значение верхней частоты полосы пропускания фильтра следует выбирать в зависимости от того, сколь часто берутся отсчеты сигнала на выходе ФНЧ. Предположим, что за время измеряются отсчетов с интервалом . Согласно теореме Котельникова, это означает, что .

Сигнал с выхода ФНЧ восстанавливается по своим отсчетным значениям точно. Однако по отношению к исходному видеоимпульсу неизбежна ошибка. В данном случае норма сигнала ошибки