Понятие модели и моделирования. Понятия модели, физического явления и среды

Модель – это материальный или идеальный объект, замещающий исследуемую систему и адекватным образом отображающий ее существенные стороны. Модель объекта отражает его наиболее важные качества, пренебрегая второстепенными .

Компьютерная модель (англ. computer model), или численная модель (англ. computational model) – компьютерная программа, работающая на отдельном компьютере, суперкомпьютере или множестве взаимодействующих компьютеров (вычислительных узлов), реализующая представление объекта, системы или понятия в форме, отличной от реальной, но приближенной к алгоритмическому описанию, включающей и набор данных, характеризующих свойства системы и динамику их изменения со временем.

Говоря о компьютерной реконструкции, мы будем подразумевать разработку компьютерной модели определенного физического явления или среды.

Физическое явление – процесс изменения положения или состояния физической системы. Физическое явление характеризуется изменением определенных физических величин, связанных между собой. Например, к физическим явлениям относятся все известные виды взаимодействия материальных частиц.

На рисунке 1 представлена компьютерная динамическая модель изменения магнитного поля, образованного двумя магнитами, в зависимости от положения и ориентации магнитов относительно друг друга.

Рисунок 1 - Компьютерная динамическая модель изменения магнитного поля

Представленная компьютерная модель отражает динамику изменения параметров магнитного поля методом графической визуализации изолиниями. Построение изолиний магнитного поля осуществляется в соответствии с физическими зависимостями, учитывающими полярность магнитов при их определенном расположении и ориентации в плоскости.

Рисунок 2 иллюстрирует компьютерную имитационную модель течения воды в открытом русле, ограниченном стенками длинного стеклянного лотка.

Рисунок 2 - Компьютерная имитационная модель течения воды в открытом русле

Расчет параметров открытого потока (формы свободной поверхности, расхода и напора воды и др.) в данной модели выполняется в соответствии с законами гидродинамики открытых потоков. Расчетные зависимости составляют основу алгоритма, согласно которому производится построение модели потока воды в виртуальном трехмерном пространстве в реальном времени. Представленная компьютерная модель позволяет произвести геометрические замеры отметок поверхности воды в различных точках по длине потока, а также, определить расход воды и другие вспомогательные параметры. На основании полученных данных можно исследовать реальный физический процесс.

В приведенных примерах рассматриваются компьютерные имитационные модели с графической визуализацией физического явления. Однако компьютерные модели могут и не содержать визуальной или графической информации об объекте исследования. Тот же самый физический процесс или явление можно представить в виде набора дискретных данных, причем используя тот же алгоритм, на котором строилась имитационная визуальная модель.

Таким образом, основной задачей построения компьютерных моделей является функциональное исследование физического явления или процесса с получением исчерпывающих аналитических данных, а уже второстепенных задач может быть много, в том числе и графическая интерпретация модели с возможностью интерактивного взаимодействия пользователя с компьютерной моделью.

Механическая система (или система материальных точек) – совокупность материальных точек (или тел, которые по условию задачи оказалось возможным рассматривать как материальные точки).

В технических науках среды разделяют на сплошные (непрерывные) и дискретные среды. Данное разделение является в некоторой степени приближением или аппроксимацией, поскольку физическая материя по своей сути дискретна, а понятие непрерывности (континуума) относится к такой величине, как время. Другими словами, такая «сплошная» среда как, например, жидкость или газ состоит из дискретных элементов – молекул, атомов, ионов и т.д., однако математически описать изменение во времени этих структурных элементов крайне сложно, поэтому к таким системам вполне обосновано применяются методы механики сплошных сред.

– Дворецкий С.И., Муромцев Ю.Л., Погонин В.А. Моделирование систем. – М.: Изд. центр «Академия», 2009. – 320 с.

"Белов, В.В. Компьютерная реализация решения научно-технических и образовательных задач: учебное пособие / В.В. Белов, И.В. Образцов, В.К. Иванов, Е.Н. Коноплев // Тверь: ТвГТУ, 2015. 108 с."

Рассмотрим некоторые свойства моделей, которые позволяют в той или иной степени либо различать, либо отождествлять модель с оригиналом (объектом, процессом). Многие исследователи выделяют следующие свойства моделей: адекватность, сложность, конечность, наглядность, истинность, приближенность.

Проблема адекватности . Важнейшим требованием к модели является требование адекватности (соответствия) ее реальному объекту (процессу, системе и т.д.) относительно выбранного множества его характеристик и свойств.

Под адекватностью модели понимают правильное качественное и количественное описание объекта (процесса) по выбранному множеству характеристик с некоторой разумной степенью точности. При этом имеется в виду адекватность не вообще, а адекватность по тем свойствам модели, которые являются для исследователя существенными. Полная адекватность означает тождество между моделью и прототипом.

Математическая модель может быть адекватна относительно одного класса ситуаций (состояние системы + состояние внешней среды) и не адекватна относительно другого. Модель типа «черный ящик» адекватна, если в рамках выбранной степени точности она функционирует так же, как и реальная система, т.е. определяет тот же оператор преобразования входных сигналов в выходные.

Можно ввести понятие степени (меры) адекватности, которая будет меняться от 0 (отсутствие адекватности) до 1 (полная адекватность). Степень адекватности характеризует долю истинности модели относительно выбранной характеристики (свойства) изучаемого объекта. Введение количественной меры адекватности позволяет в количественном отношении ставить и решать такие задачи, как идентификация, устойчивость, чувствительность, адаптация, обучение модели.

Отметим, что в некоторых простых ситуациях численная оценка степени адекватности не представляет особой трудности. Например, задача аппроксимации заданного множества экспериментальных точек некоторой функцией.

Всякая адекватность относительна и имеет свои границы применения. Например, дифференциальное уравнение

отражает лишь изменение частоты  вращения турбокомпрессора ГТД при изменении расхода топлива G T и не более того. Оно не может отражать таких процессов, как газодинамическая неустойчивость (помпаж) компрессора или колебания лопаток турбины. Если в простых случаях бывает все ясно, то в сложных случаях неадекватность модели бывает не столь ясной. Применение неадекватной модели приводит либо к существенному искажению реального процесса или свойств (характеристик) изучаемого объекта, либо к изучению несуществующих явлений, процессов, свойств и характеристик. В последнем случае проверка адекватности не может осуществляться на чисто дедуктивном (логическом, умозрительном) уровне. Необходимо уточнение модели на основании информации из других источников.

Трудность оценки степени адекватности в общем случае возникает из-за неоднозначности и нечеткости самих критериев адекватности, а также из-за трудности выбора тех признаков, свойств и характеристик, по которым оценивается адекватность. Понятие адекватности является рациональным понятием, поэтому повышение ее степени также осуществляется на рациональном уровне. Следовательно, адекватность модели должна проверяться, контролироваться, уточняться в процессе исследования на частных примерах, аналогиях, экспериментах и т.д. В результате проверки адекватности выясняют, к чему приводят сделанные допущения: то ли к допустимой потере точности, то ли к потере качества. При проверке адекватности также можно обосновать законность применения принятых рабочих гипотез при решении рассматриваемой задачи или проблемы.

Иногда адекватность модели М обладает побочной адекватностью, т.е. она дает правильное количественное и качественное описание не только тех характеристик, для имитации которых она строилась, но и ряда побочных характеристик, потребность в изучении которых может возникнуть в дальнейшем. Эффект побочной адекватности модели возрастает, если в ней нашли отражение хорошо проверенные физические законы, системные принципы, основные положения геометрии, апробированные приемы и способы и т.д. Может, поэтому структурные модели, как правило, обладают более высокой побочной адекватностью, чем функциональные.

Некоторые исследователи в качестве объекта моделирования рассматривают цель. Тогда адекватность модели, с помощью которой достигается поставленная цель, рассматривается либо как мера близости к цели, либо как мера эффективности достижения цели. Например, в адаптивной системе управления по модели модель отражает ту форму движения системы, которая в сложившейся ситуации является наилучшей в смысле принятого критерия. С изменением ситуации модель должна менять свои параметры, чтобы быть более адекватной вновь сложившейся ситуации.

Таким образом, свойство адекватности является важнейшим требованием к модели, но разработка высокоточных и надежных методов проверки адекватности остается по-прежнему трудноразрешимой задачей.

Простота и сложность . Одновременное требование простоты и адекватности модели являются противоречивыми. С точки зрения адекватности сложные модели являются предпочтительнее простых. В сложных моделях можно учесть большее число факторов, влияющих на изучаемые характеристики объектов. Хотя сложные модели и более точно отражают моделируемые свойства оригинала, но они более громоздки, труднообозримы и неудобны в обращении. Поэтому исследователь стремится к упрощению модели, так как с простыми моделями легче оперировать. Например, теория аппроксимации – это теория корректного построения упрощенных математических моделей. При стремлении к построению простой модели должен соблюдаться основной принцип упрощения модели :

упрощать модель можно до тех пор, пока сохраняются основные свойства, характеристики и закономерности, присущие оригиналу.

Этот принцип указывает на предел упрощения.

При этом понятие простоты (или сложности) модели является понятием относительным. Модель считается достаточно простой, если современные средства исследования (математические, информационные, физические) дают возможность провести качественный и количественный анализ с требуемой точностью. А поскольку возможности средств исследований непрерывно растут, то те задачи, которые раньше считались сложными, теперь могут быть отнесены к категории простых. В общем случае в понятие простоты модели входит и психологическое восприятие модели исследователем.

«Адекватность-Простота»

Можно также выделить степень простоты модели, оценив ее количественно, как и степень адекватности, от 0 до 1. При этом значению 0 будут соответствовать недоступные, очень сложные модели, а значению 1 – очень простые. Разобьем степень простоты на три интервала: очень простые, доступные и недоступные (очень сложные). Степень адекватности также разобьем на три интервала: очень высокая, приемлемая, неудовлетворительная. Построим таблицу 1.1, в которой по горизонтали отложены параметры, характеризующие степень адекватности, а по вертикали – степень простоты. В этой таблице области (13), (31), (23), (32) и (33) должны быть исключены из рассмотрения либо из-за неудовлетворительной адекватности, либо из-за очень высокой степени сложности модели и недоступности ее изучения современными средствами исследования. Область (11) также должна быть исключена, так как она дает тривиальные результаты: здесь любая модель является очень простой и высокоточной. Такая ситуация может возникнуть, например, при изучении простых явлений, подчиняемых известным физическим законам (Архимеда, Ньютона, Ома и т.д.).

Формирование моделей в областях (12), (21), (22) необходимо осуществлять в соответствии с некоторыми критериями. Например, в области (12) необходимо стремиться к тому, чтобы была максимальной степень адекватности, в области (21) – степень простоты была минимальной. И только в области (22) необходимо проводить оптимизацию формирования модели по двум противоречивым критериям: минимуму сложности (максимуму простоты) и максимуму точности (степени адекватности). Эта задача оптимизации в общем случае сводится к выбору оптимальных структуры и параметров модели. Более трудной задачей является оптимизация модели как сложной системы, состоящей из отдельных подсистем, соединенных друг с другом в некоторую иерархическую и многосвязную структуру. При этом каждая подсистема и каждый уровень имеют свои локальные критерии сложности и адекватности, отличные от глобальных критериев системы.

Следует отметить, что с целью меньшей потери адекватности упрощение моделей целесообразнее проводить:

а) на физическом уровне с сохранением основных физических соотношений,

б) на структурном уровне с сохранением основных системных свойств.

Упрощение же моделей на математическом (абстрактном) уровне может привести к существенной потере степени адекватности. Например, усечение характеристического уравнения высокого порядка до 2 – 3-го порядка может привести к совершенно неверным выводам о динамических свойствах системы.

Заметим, что более простые (грубые) модели используются при решении задачи синтеза, а более сложные точные модели – при решении задачи анализа.

Конечность моделей . Известно, что мир бесконечен, как любой объект, не только в пространстве и во времени, но и в своей структуре (строении), свойствах, отношениях с другими объектами . Бесконечность проявляется в иерархическом строении систем различной физической природы. Однако при изучении объекта исследователь ограничивается конечным количеством его свойств, связей, используемых ресурсов и т.д. Он как бы «вырезает» из бесконечного мира некоторый конечный кусок в виде конкретного объекта, системы, процесса и т.д. и пытается познать бесконечный мир через конечную модель этого куска. Правомерен ли такой подход к исследованию бесконечного мира? Практика отвечает положительно на этот вопрос, основываясь на свойствах человеческого разума и законах Природы, хотя сам разум конечен, но зато бесконечны генерируемые им способы познания мира. Процесс познания идет через непрерывное расширение наших знаний. Это можно наблюдать на эволюции разума, на эволюции науки и техники, и в частности, на развитии как понятия модели системы, так и видов самих моделей.

Таким образом, конечность моделей систем заключается, во-первых, в том, что они отображают оригинал в конечном числе отношений, т.е. с конечным числом связей с другими объектами, с конечной структурой и конечным количеством свойств на данном уровне изучения, исследования, описания, располагаемых ресурсов. Во-вторых, в том, что ресурсы (информационные, финансовые, энергетические, временные, технические и т.д.) моделирования и наши знания как интеллектуальные ресурсы конечны, а потому объективно ограничивают возможности моделирования и сам процесс познания мира через модели на данном этапе развития человечества. Поэтому исследователь (за редким исключением) имеет дело с конечномерными моделями. Однако выбор размерности модели (ее степени свободы, переменных состояния) тесно связан с классом решаемых задач. Увеличение размерности модели связано с проблемами сложности и адекватности. При этом необходимо знать, какова функциональная зависимость между степенью сложности и размерностью модели. Если эта зависимость степенная, то проблема может быть решена за счет применения высокопроизводительных вычислительных систем. Если же эта зависимость экспоненциальная, то «проклятие размерности» неизбежно и избавиться от него практически не удается. В частности, это относится к созданию универсального метода поиска экстремума функций многих переменных.

Как отмечалось выше, увеличение размерности модели приводит к повышению степени адекватности и одновременно к усложнению модели. При этом степень сложности ограничена возможностью оперирования с моделью, т.е. теми средствами моделирования, которыми располагает исследователь. Необходимость перехода от грубой простой модели к более точной реализуется за счет увеличения размерности модели путем привлечения новых переменных, качественно отличающихся от основных и которыми пренебрегли при построении грубой модели. Эти переменные могут быть отнесены к одному из следующих трех классов:

быстропротекающие переменные, протяженность которых во времени или в пространстве столь мала, что при грубом рассмотрении они принимались во внимание своими интегральными или осредненными характеристиками;

медленнопротекающие переменные, протяженность изменения которых столь велика, что в грубых моделях они считались постоянными;

малые переменные (малые параметры), значения и влияние которых на основные характеристики системы столь малы, что в грубых моделях они игнорировались.

Отметим, что разделение сложного движения системы по скорости на быстропротекающее и медленнопротекающее движение дает возможность изучать их в грубом приближении независимо друг от друга, что упрощает решение исходной задачи. Что касается малых переменных, то ими пренебрегают обычно при решении задачи синтеза, но стараются учесть их влияние на свойства системы при решении задачи анализа.

При моделировании стремятся по возможности выделить небольшое число основных факторов, влияние которых одного порядка и не слишком сложно описывается математически, а влияние других факторов оказывается возможным учесть с помощью осредненных, интегральных или "замороженных" характеристик. При этом одни и те же факторы могут оказывать существенно различное влияние на различные характеристики и свойства системы. Обычно учет влияния вышеперечисленных трех классов переменных на свойства системы оказывается вполне достаточным.

Приближенность моделей . Из вышеизложенного следует, что конечность и простота (упрощенность) модели характеризуют качественное различие (на структурном уровне) между оригиналом и моделью. Тогда приближенность модели будет характеризовать количественную сторону этого различия. Можно ввести количественную меру приближенности путем сравнения, например, грубой модели с более точной эталонной (полной, идеальной) моделью или с реальной моделью. Приближенность модели к оригиналу неизбежна, существует объективно, так как модель как другой объект отражает лишь отдельные свойства оригинала. Поэтому степень приближенности (близости, точности) модели к оригиналу определяется постановкой задачи, целью моделирования. Погоня за повышением точности модели приводит к ее чрезмерному усложнению, а следовательно, к снижению ее практической ценности, т.е. возможности ее практического использования. Поэтому при моделировании сложных (человеко-машинных, организационных) систем точность и практический смысл несовместимы и исключают друг друга (принцип Л.А. Заде). Причина противоречивости и несовместимости требований точности и практичности модели кроется в неопределенности и нечеткости знаний о самом оригинале: его поведении, его свойствах и характеристиках, о поведении окружающей среды, о мышлении и поведении человека, о механизмах формирования цели, путей и средствах ее достижения и т.д.

Истинность моделей . В каждой модели есть доля истины, т.е. любая модель в чем-то правильно отражает оригинал. Степень истинности модели выявляется только при практическом сравнении её с оригиналом, ибо только практика является критерием истинности.

С одной стороны, в любой модели содержится безусловно истинное, т.е. определенно известное и правильное. С другой стороны, в модели содержится и условно истинное, т.е. верное лишь при определенных условиях. Типовая ошибка при моделировании заключается в том, что исследователи применяют те или иные модели без проверки условий их истинности, границ их применимости. Такой подход приводит заведомо к получению неверных результатов.

Отметим, что в любой модели также содержится предположительно-истинное (правдоподобное), т.е. нечто, могущее быть в условиях неопределенности либо верным, либо ложным. Только на практике устанавливается фактическое соотношение между истинным и ложным в конкретных условиях. Например, в гипотезах как абстрактных познавательных моделях трудно выявить соотношение между истинным и ложным. Только практическая проверка гипотез позволяет выявить это соотношение.

При анализе уровня истинности модели необходимо выяснить знания, содержащиеся в них: 1) точные, достоверные знания; 2) знания, достоверные при определенных условиях; 3) знания, оцениваемые с некоторой степенью неопределенности (с известной вероятностью для стохастических моделей или с известной функцией принадлежности для нечетких моделей); 4) знания, не поддающиеся оценке даже с некоторой степенью неопределенности; 5) незнания, т.е. то, что неизвестно.

Таким образом, оценка истинности модели как формы знаний сводится к выявлению содержания в нем как объективных достоверных знаний, правильно отображающих оригинал, так и знаний, приближенно оценивающих оригинал, а также то, что составляет незнание.

Контроль моделей . При построении математических моделей объектов, систем, процессов целесообразно придерживаться следующих рекомендаций:

Моделирование надо начинать с построения самых грубых моделей на основе выделения самых существенных факторов. При этом необходимо четко представлять как цель моделирования, так и цель познания с помощью данных моделей.

Желательно не привлекать к работе искусственные и труднопроверяемые гипотезы.

Необходимо контролировать размерность переменных, придерживаясь правила: складываться и приравниваться могут только величины одинаковой размерности. Этим правилом необходимо пользоваться на всех этапах вывода тех или иных соотношений.

Необходимо контролировать порядок складываемых друг с другом величин с тем, чтобы выделить основные слагаемые (переменные, факторы) и отбросить малозначительные. При этом должно сохраняться свойство «грубости» модели: отбрасывание малых величин приводит к малому изменению количественных выводов и к сохранению качественных результатов. Сказанное относится и к контролю порядка поправочных членов при аппроксимации нелинейных характеристик.

Необходимо контролировать характер функциональных зависимостей, придерживаясь правила: проверять сохранность зависимости изменения направления и скорости одних переменных от изменения других. Это правило позволяет глубже понять физический смысл и правильность выведенных соотношений.

Необходимо контролировать поведение переменных или некоторых соотношений при приближении параметров модели или их комбинаций к крайне допустимым (особым) точкам. Обычно в экстремальной точке модель упрощается или вырождается, а соотношения приобретают более наглядный смысл и могут быть проще проверены, а окончательные выводы могут быть продублированы каким-либо другим методом. Исследования экстремальных случаев могут служить для асимптотических представлений поведения системы (решений) в условиях, близких к экстремальным.

Необходимо контролировать поведение модели в известных условиях: удовлетворение функции как модели поставленным граничным условиям; поведение системы как модели при действии на нее типовых входных сигналов.

Необходимо контролировать получение побочных эффектов и результатов, анализ которых может дать новые направления в исследованиях или потребовать перестройки самой модели.

Таким образом, постоянный контроль за правильностью функционирования моделей в процессе исследования позволяет избежать грубых ошибок в конечном результате. При этом выявленные недостатки модели исправляются в ходе моделирования, а не вычисляются заранее.

1) Остаточная компонента Е удовлетворяет 4-м условиям, сформулированным в теореме Гаусса-Маркова и соответствие модели наиболее важным (для исследователя) свойствам.

2.Величина коэффициента эластичности показывает:

1) На сколько % изменится в среднем результат при изменении фактора на 1%.

3.Когда используется метод инструментальных переменных:

39. Временным рядом является совокупность значений

1) экономического показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени.

40. Анализ возможности численной оценки неизвестных коэффициентов структурных уравнений по оценкам коэф-в приведенных уравнений составляет

1)проблема идентификации.

41. Этап корреляционного анализа, на котором определяются формы связи изучаемого экономического показателя с выбранными факторами-аргументами, имеет название

1) Спецификация модели

42. В чем заключается суть метода инструментальных переменных:

1) В частичной замене непригодной объясняющей переменной такой переменной, которая существенным образом отражает воздействие на результирующую переменную исходной объясняющей переменной, но коррелирует со случайной составляющей

43. Определить в какой системе уравнений находиться неидентифицируемое уравнение регрессии:

1) С t =а+в*У t +u t ; У t =С t +I t

44. Формула для определения значения уровня временного ряда при использовании экспоненциального сглаживания имеет вид:

1) у t =а*у t +(1-а)*у t -1

45. Экономическая модель, являющаяся системой одновременных уравнений состоит в общем случае

1) из поведенческих уравнений и тождеств

46. Выберите верные утверждения по поводу системы одновременных уравнений:

1) Может быть представлена в структурной форме модели и в приведенной форме

2) В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других- в правую часть системы.

47.В линейном уравнении парной регрессии у=a+bx+E переменными не являются:

-а, -b.

48. Что понимается под показателями, характеризующие точность модели:

1) Разность между значениями фактических уровней ряда и их теоретическими уровнями, оцениваемыми с помощью статистических показателей.

49.Под аномальным уровнем временного ряда понимается:

1) Отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значение основных показателей.

50.Значение коэф-та корреляции равно 0,81. Можно сделать вывод о том, что связь между результативным признаком и фактором является:

1)достаточно тесной.

51.Формула для определения сглаженного значения уровня временного ряда при использовании скользящей средней имеет вид:

1)У=сумм У t р= m -1

52.Значение d-критерия статистики Дарбина-Уотсона в больших выборках связано с коэф-м автокорреляции случайного члена уравнения регрессии приближенно следующим соотношениям:

1)d p =2-2p

53.Что понимается под дисперсией случайного члена уравнения регрессии:

1) Возможное поведение случайного члена уравнения регрессии до того, как сделана выборка.

54.Выберите счетное формальное правило, отражающее необходимое условие идентифицируемости уравнений, входящих в систему одновременных уравнений:

1)Н=D+1

55.В каком случае нельзя отклонить нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции случайного члена уравнения регрессии:

1)Если расчетное значение критерия d попадает в зону неопределенности.

56.В каких случаях используется тест Чоу:

1)При решении вопроса о целесообразности разделение выборки на две подвыборки и построение, соответственно, двух регрессионных моделей.

57.Нелинейным считается уравнение регрессии нелинейное относительно входящих в него:

1)параметров.

58.Причиной положительной автокорреляции случайного члена уравнения регрессии обычно является:

1)Постоянная направленность воздействия не включенного в уравнение регрессии какого-либо фактора.

59.Что является предметом эконометрики:

1)Факторы, формирующие развитие экономических явлений и процессов.

60.Ошибки первого рода устраняются путем:

1)Замены аномального наблюдения средней арифметической двух соседних уровней ряда.

61.Фиктивная переменная может принимать значения:

1)0, 2)1

62.Согласно тесту ранговой корреляции Спирмена нулевая гипотеза об отсутствии гетероск-ти случайного члена уравнения регрессии будет отклонена при уровне значимости 5%, если тестовая статистика:

1)Будет больше 1,96

63.Корреляция подразумевает наличие связи между:

1)переменными

64.Отбор факторов в экономическую модель множественной регрессии может быть осуществлен на основе:

1)Матрицы парных коэф-ф корреляции.

65. Как устранить автокорреляцию случайных членов уравнения регрессии, если она описывается авторегрессионной схемой первого порядка:

1)Необходимо исключить из уравнения регрессии все факторы, вызывающие автокорреляцию.

66.Что понимается под «совершенной мультиколлинеарностью» объясняющих переменных в уравнении регрессии:

1)Функциональную связь друг с другом объясняющих переменных в уравнении регрессии.

67.КМНК применим для:

1)идентифицируемой системы одновременных уравнений.

68. Эконометрическая модель-это

1)экономическая модель, представленная в математической форме

69.С использованием какой формулы можно вычислить коэф-т парной корреляции:

1)r x,y =Cov(x,y)

(Var(x)*Var(y))^0,5

70.Эффективность МНК- оценки параметров уравнения регрессии означает что:

1)Оценки имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данных параметров.

Случайная компонента числового ряда соответствует нормальному закону распределению;

Математическое ожидание случайной компоненты не равно нулю;

Значения уровней случайной компоненты независимы;

2) соответствие модели нормальному закону распределения;

3) соответствие модели числового ряда наиболее важным для исследователя свойствам изучаемого объекта.

1. 
   Что проверяется при использовании теста, основанного на критерии серий?

1) Проверка случайности колебаний уровня остаточной последовательности.

2) Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения.

3) Оценка статистической надежности уровня регрессии.

1. 
   Что такое медиана выборки?

1)Срединное значение упорядоченного ряда при n нечетном или среднее арифметическое из 2-х соседних срединных значений при n четном.

2) Протяженность самой длинной серии.

3) Общее число серий.

20. Что представляет собой в тесте, основанном на критерии серий, величины:
K =
u =
1)Протяженность самой длинной серии и общее число серий.

2)Срединное значение ряда и медиана выборки.

3)Асимметрия и общее число серий.

21. При проверке соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения:

1. 
   Вероятность преобладания отрицательных отклонений над положительными;
2. 
   Вероятность преобладания положительных отклонений над отрицательными;
3. 
   Вероятность принятия нулевой гипотезы.

1. 
   Вероятность увеличения малых отклонений;
2. 
   Вероятность уменьшения больших отклонений;
3. 
   Вероятность уменьшения малых отклонений, вероятность увеличения больших отклонений.

1. 
   Стандартные отклонения случайных величин b 0 и b 1;
2. 
   Статистическую зависимость между факториальными признаками;
3. 
   Влияние отдельных факторв на y.

1. 
   Гипотеза о нормальном распределении случайной компоненты принимается, если выполняются неравенства:

22. При проверке равенства математического ожидания случайной компоненты нулю:
22.1 – расчетное значение t – критерия Стьюдента находится по формуле:
1)

22.2 – стандартное среднеквадратическое отклонение для остаточной последовательности равно:

2)

22.3 – гипотеза о равенстве нулю математического ожидания при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы k = n – 1 принимается, если:
1) расчетное значение t не зависит от стандартного среднеквадратического отклонения остаточной последовательности;

2) расчетное значение t меньше табличного значения по статистике Стьюдента;

3) расчетное значение t больше табличного значения по статистике Стьюдента.
23. Расчетное значение критерия Дарбина-Уотсона(d- критерия) находится по формуле:

а)
;

б)
;

в)
.
24. Критерий Дарбина – Уотсона используется при проверке:
1 ) независимости значений уровней случайной компоненты ;

2) случайности колебаний уровней остаточной последовательности;

3) равенства математического ожидания случайной компоненты нулю.
25. Проверка по d – критерию Дарбина – Уотсона производится путем сравнения:
1) расчетного значения d р с верхним критическим (d 2) и нижним критическим (d 1) значениями статистики Дарбина – Уотсона;

2) расчетного значения d р с диапазоном по d – статистике, внутри которого находится критическое значение d кр ;

3) расчетного значения d р с критическим значением d кр с заданным уровнем значимости и числом степеней свободы k=n-1.
26. ЧТО ПОНИМАЕТСЯ ПОД ТОЧНОСТЬЮ МОДЕЛИ:
1) степень соответствия модели исследуемому процессу или объекту;

2) степень правильного отражения систематических компонент ряда: трендовой, сезонной, циклической и случайной составляющих;

3) степень совпадения теоретических значений с фактическими .
27. Какие статистические показатели используются для оценки точности модели?
1)Среднеквадратическое отклонение σ, среднеотносительная ошибка аппроксимации ε ср.отн., коэффициент сходимости φ, коэффициент множественной детерминации R 2

2) Коэффициент сходимости φ, среднеквадратическое отклонение σ, коэффициент множественной детерминации R 2

3) Среднеквадратическое отклонение φ, среднеотносительная ошибка аппроксимации ε ср.отн
28.Какой недостаток имеет показатель точности модели – среднее квадратическое отклонение?
1) Он не зависит от масштаба y, а следовательно и различные σ мы можем получить только от одинаковых объектов

2) Он зависит от масштаба y, но для разных объектов мы не можем получить разные σ

3) Он зависит от масштаба y, т.е. для разных объектов мы можем получить разные σ

2
9.Что показывает коэффициент сходимости?

1) Показывает долю изменения y, объясняемую изменением включенных в модель факторов

2) Показывает, какая доля в изменении результирующего признака может быть объяснена изменением не включенных в модель факторов

30. Что показывает коэффициент множественной детерминации R 2 ?
1) Показывает долю изменения y, объясняемую изменением включенных в модель факторов

2) Показывает, какая доля в изменении результирующего признака может быть объяснена изменением не включенных в модель факторов

3) Показывает долю изменения y, объясняемая изменением не включенных в модель факторов
31. С использованием какой формулы определяется величина коэффициента множественной детерминации?

1)
;

2)
;
3)
.

1. 
   Почему в большем числе случаев используется уравнение регрессии выраженное в виде линейного алгебраического уравнения?

1) потому что все экономические процессы описываются линейными алгебраическими уравнениями регрессии;

2) чтобы избежать смещенности оценок;

в) потому что необходимо использовать линейный регрессионный анализ, который может быть применен только к линейным уравнениям.

33. Закон сложения дисперсий для функции:
1) общая дисперсия равна сумме дисперсии теоретических значений результирующего показателя и дисперсии фактических значений результирующего показателя;

2) общая дисперсия равна сумме дисперсии теоретических значений результирующего показателя и дисперсии остатков;

в) общая дисперсия, равна сумме дисперсий, которые появляются под влиянием факториальных признаков включенных в модель.

34. Какая формула отображает остаточную дисперсию?

а)
;

б)
;

в)
.
35. Что характеризует коэффициент множественной корреляции?
1) Коэффициент множественной корреляции характеризует влияние различных факторов на результирующий признак и взаимосвязи факторов между собой.

2) Коэффициент множественной корреляции характеризует тесноту и линейность статистической связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком, или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.

3) Коэффициент множественной корреляции характеризует долю изменения результирующего признака, которую можно объяснить изменением включенных в модель факторов.
36. С использованием какой формулы можно вычислить коэффициент парной корреляции?
1)
2)
3)

37. Что показывает коэффициент парной корреляции?
1) Коэффициент парной корреляции показывает тесноту связи функции y с аргументом x i и взаимосвязи аргументов между собой, при условии, что прочие, не включенные в уравнение регрессии аргументы этой функции действуют корреляционно независимо от аргумента x i .

2) Коэффициент парной корреляции характеризует долю изменения результирующего признака, которую можно объяснить изменением невключенных в модель факторов.

3) Коэффициент парной корреляции характеризует тесноту связи между результатом и соответствующим фактором.
38. Что показывает коэффициент частной корреляции?
1) Коэффициент частной корреляции наилучшим образом характеризует силу индивидуального влияния каждого фактора, включенного в уравнение регрессии, на результирующий признак.

2) Коэффициент частной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком, или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.

3) Коэффициент частной корреляции показывает, что два или более факторов связаны между собой линейной зависимостью, т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга.
39. Величина коэффициента частной корреляции определяется по формуле:
1.
2.
3 .

40. Чему равен коэффициент эластичности для линейного алгебраического уравнения?

1.
2 .
3.

41. Что понимается под значимостью выборочных статистических показателей?
- вероятность принятия нулевой гипотезы

Степень совпадения Уфак. И Утеор.

Соответствие показателя наиболее значимым свойствам или явлениям

42. Как производится проверка значимости уравнения регрессии в целом?

43. Как формулируется «нулевая гипотеза» при определении статистической значимости уравнения регрессии в целом?
1) Каждый коэффициент уравнения регрессии в генеральной совокупности равен нулю.

2) Коэффициенты парной корреляции в генеральной совокупности равны нулю.

3) Коэффициенты уравнения регрессии в генеральной совокупности равны нулю, а 0 = .
44. По какой формуле рассчитывается F- критерий Фишера?

1) F = σ 2 y + σ 2 ε

2) F =

3) F =

45. Как формулируется «нулевая гипотеза» при определении статистической значимости отдельных коэффициентов уравнения регрессии?
1) Коэффициенты парной корреляции в генеральной совокупности равны нулю.

2) Каждый коэффициент уравнения регрессии в генеральной совокупности равен нулю.

3) Коэффициенты уравнения регрессии в генеральной совокупности равны нулю, а 0 = .
46. По какой формуле рассчитывается t- критерий Стьюдента

1)
3) t ф =

2) t p = r x | ε | ×
47. Каким условиям должна отвечать остаточная компонента в уравнении регрессии для того, чтобы данное уравнение адекватно отражало изучаемые взаимосвязи между показателями:
1) случайность колебаний уровней остаточной последовательности;

2) математическое ожидание случайной компоненты не равно 0;

3) соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения;

4) значения уровней случайной компоненты независимы;
48. По какой формуле определяется доверительный интервал для отдельных коэффициентов уравнения регрессии:
1) а j - s aj t кр £ a j £ a j + s aj *t кр;

2) а j - s aj t кр ³ a j ³ a j + s aj *t кр;

3) а j + s aj t кр £ a j £ a j + s aj *t кр;

4) а j - s aj t кр ³ a j ³ a j - s aj *t кр;
49. Какие коэффициенты характеризуют силу влияния на результирующий признак отдельных факторов и их совокупное влияние:
1) коэффициент парной корреляции;

2) коэффициент множественной корреляции;

3) коэффициент частной корреляции;

4) коэффициент множественной детерминации;

Д) все ответы верны
50. Почему не имеет смысла путем повышения порядка уравнения регрессии добиваться равенства 0 остаточной случайной компоненты:
1) т.к. при повышении порядка уравнения регрессии, значение остаточной случайной компоненты будет увеличиваться;

2) не измениться;

3) т.к. нельзя добиться того чтобы остаточная случайная компонента была = 0 ;

4) все ответы не верны;
ВОПРОСЫ ДЛЯ ТЕСТОВ

Итак, мы установили: модель предназначена для замены оригинала при исследованиях, которым подвергать оригинал нельзя или нецелесообразно. Но замена оригинала моделью возможна, если они в достаточной степени похожи или адекватны.

Адекватность означает, достаточно ли хорошо с точки зрения целей исследования результаты, полученные в ходе моделирования, отражают истинное положение дел. Термин происходит от латинского adaequatus - приравненный.

Говорят, что модель адекватна оригиналу, если при ее интерпретации возникает "портрет", в высокой степени сходный с оригиналом.

До тех пор, пока не решен вопрос, правильно ли отображает модель исследуемую систему (то есть адекватна ли она), ценность модели нулевая!

Термин " адекватность " как видно носит весьма расплывчатый смысл. Понятно, что результативность моделирования значительно возрастет, если при построении модели и переносе результатов с модели на систему-оригинал может воспользоваться некоторой теорией, уточняющей идею подобия, связанную с используемой процедурой моделирования.

К сожалению теории, позволяющей оценить адекватность математической модели и моделируемой системы нет, в отличие от хорошо разработанной теории подобия явлений одной и той же физической природы.

Проверку адекватности проводят на всех этапах построения модели, начиная с самого первого этапа - концептуального анализа. Если описание системы будет составлено не адекватно реальной системе, то и модель, как бы точно она не отображала описание системы , не будет адекватной оригиналу. Здесь сказано "как бы точно", так как имеется в виду, что вообще не существуют математические модели, абсолютно точно отображающие процессы, существующие в реальности.

Если изучение системы проведено качественно и концептуальная модель достаточно точно отражает реальное положение дел, то далее перед разработчиками стоит лишь проблема эквивалентного преобразования одного описания в другое.

Итак, можно говорить об адекватности модели в любой ее форме и оригинала, если:

• описание поведения, созданное на каком-либо этапе, достаточно точно совпадает с поведением моделируемой системы в одинаковых ситуациях;
• описание убедительно представительно относительно свойств системы, которые должны прогнозироваться с помощью модели.

Предварительно исходный вариант математической модели подвергается следующим проверкам:

• все ли существенные параметры включены в модель;
• нет ли в модели несущественных параметров;
• правильно ли отражены функциональные связи между параметрами;
• правильно ли определены ограничения на значения параметров;
• не дает ли модель абсурдные ответы, если ее параметры принимают предельные значения.

Такая предварительная оценка адекватности модели позволяет выявить в ней наиболее грубые ошибки.

Но все эти рекомендации носят неформальный, рекомендательный характер. Формальных методов оценки адекватности не существует! Поэтому, в основном, качество модели (и в первую очередь степень ее адекватности системе) зависит от опыта, интуиции, эрудиции разработчика модели и других субъективных факторов.

Окончательное суждение об адекватности модели может дать лишь практика, то есть сравнение модели с оригиналом на основе экспериментов с объектом и моделью. Модель и объект подвергаются одинаковым воздействиям и сравниваются их реакции. Если реакции одинаковы (в пределах допустимой точности), то делается вывод , что модель адекватна оригиналу. Однако надо иметь в виду следующее:

• воздействия на объект носят ограниченный характер из-за возможного разрушения объекта, недоступности к элементам системы и т. д.;
• воздействия на объект имеют физическую природу (изменение питающих токов и напряжений, температуры, скорости вращения валов и т. д.), а на математическую модель - это числовые аналоги физических воздействий.

Для оценки степени подобия структур объектов (физических или математических) существует понятие изоморфизма (изо - одинаковый, равный, морфе - форма, греч.).

Две системы изоморфны, если существует взаимно однозначное соответствие между элементами и отношениями (связями) этих систем.

Изоморфны, например, множество действительных положительных чисел и множество их логарифмов. Каждому элементу одного множества - числу соответствует значение его логарифма в другом, умножению двух чисел в первом множестве - сложение их логарифмов в другом. C точки зрения пассажира план метрополитена, находящийся в каждом вагоне поезда метро, изоморфен реальному географическому расположению рельсовых путей и станций, хотя для рабочего, ремонтирующего рельсовые пути, этот план естественно не является изоморфным. Фотография является изоморфным отображением реального лица для милиционера, но не является таковым для художника.

При моделировании сложных систем достигнуть такого полного соответствия трудно, да и нецелесообразно. При моделировании абсолютное подобие не имеет места. Стремятся лишь к тому, чтобы модель достаточно хорошо отражала исследуемую сторону функционирования объекта. Модель по сложности может стать аналогичной исследуемой системе и никакого упрощения исследования не будет.

Для оценки подобия в поведении (функционировании) систем существует понятие изофункционализма.

Две системы произвольной, а подчас неизвестной структуры изофункциональны, если при одинаковых воздействиях они проявляют одинаковые реакции. Такое моделирование называется функциональным или кибернетическим и в последние годы получает все большее распространение, например, при моделировании человеческого интеллекта ( игра в шахматы, доказательство теорем , распознавание образов и т. д.). Функциональные модели не копируют структуры. Но, копируя поведение, исследователи последовательно "подбираются" к познанию структур объектов (человеческого мозга, Солнца, и др.).

1.5. Требования, предъявляемые к моделям

Итак, общие требования к моделям.

1. Модель должна быть актуальной . Это значит, что модель должна быть нацелена на важные для лиц, принимающих решения, проблемы.
2. Модель должна быть результативной . Это значит, что полученные результаты моделирования могут найти успешное применение. Данное требование может быть реализовано только в случае правильной формулировки требуемого результата.
3. Модель должна быть достоверной . Это значит, что результаты моделирования не вызовут сомнения. Данное требование тесно связано с понятием адекватности, то есть, если модель неадекватна, то она не может давать достоверных результатов.
4. Модель должна быть экономичной . Это значит, что эффект от использования результатов моделирования превышает расходы ресурсов на ее создание и исследование.

Эти требования (обычно их называют внешними) выполнимы при условии обладания моделью внутренними свойствами.

Модель должна быть:

1. Существенной , т. е. позволяющей вскрыть сущность поведения системы, вскрыть неочевидные, нетривиальные детали.
2. Мощной , т. е. позволяющей получить широкий набор существенных сведений.
3. Простой в изучении и использовании, легко просчитываемой на компьютере.
4. Открытой , т. е. позволяющей ее модификацию.

В заключение темы сделаем несколько замечаний. Трудно ограничить область применения математического моделирования. При изучении и создании промышленных и военных систем практически всегда можно определить цели, ограничения и предусмотреть, чтобы конструкция или процесс подчинялись естественным, техническим и (или) экономическим законам.

Круг аналогий, которые можно использовать в качестве моделей, также практически неограничен. Следовательно, надо постоянно расширять свое образование в конкретной области, но, в первую очередь , в математике.

В последние десятилетия появились проблемы с неясными и противоречивыми целями, диктуемыми политическими и социальными факторами. Математическое моделирование в этой области пока еще проблематично. Что это за проблемы? Защита от загрязнения окружающей среды ; предсказаний извержений вулканов, землетрясений, цунами; рост городов; руководство боевыми действиями и ряд других. Но, тем не менее, "процесс пошел", прогресс не остановим, и проблемы моделирования таких сверхсложных систем постоянно находят свое разрешение. Здесь следует отметить лидирующую роль отечественных ученых и, в первую очередь , академика Н. Н. Моисеева, его учеников и последователей.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое модель? Раскройте смысл фразы: "модель есть объект и средство эксперимента".
2. Обоснуйте необходимость моделирования.
3. На основе какой теории основано моделирование?
4. Назовите общие классификационные признаки моделей.
5. Нужно ли стремиться к абсолютному подобию модели и оригинала?
6. Назовите и поясните три аспекта процесса моделирования.
7. Что значит структурная модель ?
8. Что такое функциональная модель?
9. Классификация моделей по характеру процессов, протекающих в моделируемых объектах.
10. Сущность математического моделирования и его основных классов: аналитического и имитационного.
11. Назовите этапы моделирования и дайте им краткую характеристику.
12. Что такое адекватность модели? Дайте понятия изоморфизма и изофункционализма.
13. Общие требования (внешние) к моделям.
14. Внутренние свойства модели.
15. Приведите примеры объектов и возможных их моделей в своей предметной области.

В общем случае под адекватностью понимают степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится. Вместе с тем, создаваемая модель ориентирована, как правило, на исследование определенного подмножества свойств этого объекта. Поэтому можно считать, что адекватность модели определяется степенью ее соответствия не столько реальному объекту, сколько целям исследования. В наибольшей степени это утверждение справедливо относительно моделей проектируемых систем (т. е. в ситуациях, когда реальная система вообще не существует).

Тем не менее, во многих случаях полезно иметь формальное подтверждение (или обоснование) адекватности разработанной модели. Один из наиболее распространенных способов такого обоснования - использование методов математической статистики . Суть этих методов заключается в проверке выдвинутой гипотезы (в данном случае - об адекватности модели) на основе некоторых статистических критериев. При этом следует заметить, что при проверке гипотез методами математической статистики необходимо иметь в виду, что статистические критерии не могут доказать ни одной гипотезы - они могут лишь указать на отсутствие опровержения.

Итак, каким же образом можно оценить адекватность разработанной модели реально существующей системе?

Процедура оценки основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться различными способами. Наиболее распространенные из них :

– по средним значениям откликов модели и системы;

– по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;

– по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

Названные способы оценки достаточно близки между собой, по сути, поэтому ограничимся рассмотрением первого из них. При этом способе проверяется гипотеза о близости среднего значения наблюдаемой переменной среднему значению отклика реальной системы .

В результате опытов на реальной системе получают множество значений (выборку) . Выполнив экспериментов на модели, также получают множество значений наблюдаемой переменной .

Затем вычисляются оценки математического ожидания и дисперсии откликов модели и системы, после чего выдвигается гипотеза о близости средних значений величин и (в статистическом смысле). Основой для проверки гипотезы является -статистика (распределение Стьюдента) . Ее значение, вычисленное по результатам испытаний, сравнивается с критическим значением , взятым из справочной таблицы . Если выполняется неравенство , то гипотеза принимается. Необходимо еще раз подчеркнуть, что статистические методы применимы только в том случае, если оценивается адекватность модели существующей системе. На проектируемой системе провести измерения, естественно, не представляется возможным. Единственный способ преодолеть это препятствие заключается в том, чтобы принять в качестве эталонного объекта концептуальную модель проектируемой системы. Тогда оценка адекватности программно реализованной модели заключается в проверке того, насколько корректно она отражает концептуальную модель.