Creazione di alcuni modello universale, corrispondente a vari aspetti della sua applicazione, è praticamente impossibile. Per ottenere informazioni che riflettono determinate proprietà oggetto gestito, è necessaria una classificazione dei modelli. La classificazione si basa sulle caratteristiche dell'operatore φ. Tutta la varietà di oggetti di controllo, basata su caratteristiche temporali e spaziali, può essere suddivisa nelle seguenti classi: statici o dinamici; lineare o non lineare; continuo o discreto nel tempo; stazionario o non stazionario; processi durante i quali i loro parametri cambiano nello spazio e processi senza cambiamenti spaziali nei parametri. Poiché i modelli matematici sono un riflesso degli oggetti corrispondenti, le stesse classi ne sono caratteristiche. Il nome completo del modello può includere una combinazione delle caratteristiche elencate. Queste caratteristiche sono servite come base per i nomi dei corrispondenti tipi di modelli.
A seconda della natura dei processi studiati nel sistema, tutti i modelli possono essere suddivisi nei seguenti tipi:
Modelli deterministici- mostrare processi deterministici, cioè processi in cui si assume l'assenza di influenze casuali.
Modelli stocastici- Schermo processi probabilistici ed eventi; in questo caso si analizzano alcune realizzazioni del processo casuale e si stimano le caratteristiche medie.
Stazionario e modelli non stazionari. Un modello si dice stazionario se la forma dell'operatore e i suoi parametri p non cambiano nel tempo, cioè quando è vero
φ = φ, cioè y = (p, x).
Se i parametri del modello cambiano nel tempo, il modello è
parametricamente non stazionario
Più forma generale non stazionarietà - quando il tipo di funzione dipende anche dal tempo. Quindi viene aggiunto un altro argomento al record della funzione
Modelli statici e dinamici. Questa divisione dei tipi di modelli si basa sulle caratteristiche del movimento dell'oggetto in studio come sistema materiale.
Parlando di modelli dal punto di vista dei problemi di controllo, va notato che lo spazio è qui inteso non come uno spazio geometrico, ma come uno spazio di stati - coordinate degli stati delle variabili di output in... Elementi vettoriali sì i parametri di processo (portata, pressione, temperatura, umidità, viscosità, ecc.) vengono solitamente monitorati. Composizione di elementi vettoriali sì per l'oggetto stesso può essere più ampio che per il modello di questo oggetto, poiché la modellazione richiede lo studio solo di una parte delle proprietà di un sistema reale. Il moto dell'oggetto di controllo nello spazio degli stati e nel tempo è stimato utilizzando il processo vettoriale y (t).
Il modello di sistema è chiamato statico, se lo stato del sistema non cambia, cioè il sistema è in equilibrio, ma il moto è associato allo stato statico dell'oggetto in equilibrio. La descrizione matematica nei modelli statici non include il tempo come variabile e consiste in equazioni algebriche o equazioni differenziali nel caso di oggetti con parametri distribuiti. I modelli statici sono generalmente non lineari. Riflettono accuratamente lo stato di equilibrio causato dal passaggio di un oggetto da una modalità all'altra.
Dinamico il modello riflette il cambiamento di stato dell'oggetto nel tempo. La descrizione matematica di tali modelli include necessariamente una derivata temporale. Utilizzo di modelli dinamici equazioni differenziali... Le soluzioni esatte di queste equazioni sono note solo per una certa classe di equazioni differenziali. Più spesso è necessario ricorrere all'uso di metodi numerici approssimativi.
Ai fini del controllo, il modello dinamico è rappresentato come una funzione di trasferimento che collega le variabili di ingresso e di uscita.
Modelli lineari e non lineari. Funzione matematica L (x) - lineare se
L (λ 1 x 1 + 2 x 2) = λ 1 L (x 1) + λ 2 L (x 2).
Analogamente per funzioni di più variabili. Funzione lineareè inerente l'uso delle sole operazioni di addizione algebrica e moltiplicazione di una variabile per un coefficiente costante. Se l'espressione per il modello dell'operatore contiene operazioni non lineari, il modello è non lineare, altrimenti il modello è lineare.
Modelli con parametri concentrati e distribuiti. Si precisa che, tenendo conto della terminologia introdotta, sarebbe più corretto utilizzare nel nome del modello il concetto di “coordinate di stato” al posto della parola “parametri”. Tuttavia, questo è un nome consolidato che si trova spesso in tutti i lavori sulla modellazione dei processi tecnologici.
Se le principali variabili di processo cambiano sia nel tempo che nello spazio (o solo nello spazio), allora i modelli che descrivono tali processi sono chiamati modelli con distribuito parametri. In questo caso si introduce lo spazio geometrico z = (z 1, z 2, z 3) e le equazioni hanno la forma:
y (z) = , p (z) = ψ.
La loro descrizione matematica di solito include equazioni alle derivate parziali o equazioni differenziali ordinarie nel caso di processi stazionari con una coordinata spaziale.
Se è possibile trascurare la non uniformità spaziale dei valori delle coordinate degli stati dell'oggetto, ad es. gradiente, allora il modello corrispondente è un modello con focalizzata parametri. Per loro, massa ed energia sono, per così dire, concentrate in un punto.
La tridimensionalità dello spazio non è sempre richiesta. Ad esempio, il modello di una bobina con un fluido di lavoro riscaldato e un guscio a parete sottile di solito deriva dall'unidimensionalità dell'oggetto: viene presa in considerazione solo la lunghezza della bobina. Allo stesso tempo, il processo di trasferimento di calore in un volume limitato del fluido di lavoro attraverso una parete spessa può essere descritto da un modello unidimensionale che tiene conto solo dello spessore del guscio, ecc. Per oggetti specifici, la forma delle equazioni corrispondenti richiede una giustificazione.
I modelli sono continui e discreti nel tempo. I modelli continui riflettono processi continui nei sistemi. Modelli che descrivono lo stato degli oggetti rispetto al tempo come argomento continuo - continuo(col tempo):
y (t) = , p (t) = ψ.
Modelli discreti servono a descrivere processi che si presume siano discreti. Un modello discreto non può prevedere il comportamento di un oggetto nell'intervallo tra campioni a tempo discreto. Se introduciamo la quantizzazione del tempo con un passo ∆t, allora si considera una scala discreta, dove i = 0,1,2… - acquisisce il significato di tempo relativo. E un modello discreto:
y(i) = ; p (i) = .
A la scelta giusta il passo ∆t può essere atteso dal modello discreto del risultato con una precisione predeterminata. Quando ∆t cambia, devono essere ricalcolati anche i coefficienti dell'equazione alle differenze.
Modelli discreti-continui vengono utilizzati nei casi in cui si voglia evidenziare la presenza di processi sia discreti che continui.
Requisiti per i modelli matematici: l'accuratezza è una proprietà che riflette il grado di coincidenza dei valori dei parametri dell'oggetto previsti dal modello con i loro valori veri; l'economicità del tempo del computer; universalità - applicabilità all'analisi di un gruppo di oggetti dello stesso tipo.
(4)
eccetera. Per ogni valore specifico n otterremo un nuovo sistema dinamico, in una data approssimazione, che descrive il processo delle oscillazioni pendolo fisico .
Interpretazione cinematica di un sistema di equazioni differenziali
Consideriamo sistemi dinamici modellati da un numero finito equazioni differenziali ordinarie... Riguardo a tali sistemi, sono stati preservati i concetti e la terminologia originariamente sorti in meccanica. Nel caso in esame, per definire un sistema dinamico, è necessario indicare un oggetto che permetta una descrizione dello stato specificando i valori X 1 , X 2 , ..., X N ad un certo punto nel tempo T = T 0. Le quantità X posso prendere valori arbitrari, e due diversi set le quantità X io e due rispondiamo stati diversi... La legge di evoluzione di un sistema dinamico nel tempo è scritta da un sistema di equazioni differenziali ordinarie
Se consideriamo le quantità X 1 , X 2 , ..., X N come coordinate del punto X v n-dimensionale, quindi si ottiene una rappresentazione geometrica visiva dello stato di un sistema dinamico sotto forma di questo punto, che viene chiamato raffigurante, e più spesso punto di fase, e lo spazio degli stati è spazio delle fasi sistema dinamico. Il cambiamento di stato del sistema nel tempo corrisponde al moto del punto di fase lungo una certa linea, chiamata traiettoria di fase... Nello spazio delle fasi del sistema, le equazioni (5) definiscono il campo vettoriale delle velocità, che assegna a ciascun punto X il vettore velocità in uscita F(X), le cui componenti sono date dai membri di destra delle equazioni (5):
Il sistema dinamico (5) può essere scritto in forma vettoriale:
dove F (X ) È una funzione vettoriale di dimensione n.
È necessario chiarire la relazione tra i concetti di numero di gradi di libertà e la dimensione dello spazio delle fasi di un sistema dinamico. Sotto numero di gradi di libertàè inteso come il più piccolo numero di coordinate indipendenti necessarie per determinare in modo univoco lo stato del sistema. Inizialmente, le coordinate erano intese come le variabili spaziali che caratterizzavano accordo reciproco corpi e oggetti. Allo stesso tempo, per risolvere in modo univoco le corrispondenti equazioni del moto, è necessario, oltre alle coordinate, specificare le corrispondenti valori iniziali impulsi o velocità. A questo proposito, il sistema con n gradi di libertà è caratterizzato da uno spazio delle fasi doppio della dimensione ( n = 2n).
Classificazione dei sistemi dinamici
Se il sistema dinamico è dato dall'equazione (7), allora si postula che ciascuno X(T 0) nello spazio delle fasi, lo stato X(T), T > T 0, dove nel tempo T - T 0 sposterà il punto di fase spostandosi secondo l'equazione (7). Nella forma dell'operatore (7) può essere scritto come
X(T) = T T X(T 0), (8)
dove T t è la legge (operatore) dell'evoluzione. Se questo operatore è applicato allo stato iniziale X(T 0), quindi otteniamo X(T), cioè lo stato nel momento del tempo T > T 0. Perché X(T 0) e X(T) appartengono allo stesso spazio delle fasi del sistema dinamico, allora i matematici dicono in questa situazione: l'operatore T t mappa su se stesso lo spazio delle fasi del sistema. Di conseguenza, possiamo chiamare l'operatore T t da un operatore di visualizzazione o solo da un display.
I sistemi dinamici possono essere classificati in base alla forma dell'operatore di mappatura e alla struttura dello spazio delle fasi. Se un operatore fornisce esclusivamente trasformazioni lineari dello stato iniziale, allora si dice lineare. Operatore lineare possiede la proprietà di sovrapposizione: T[X(T) + sì(T)] = TX(T) + Tsì(T). Se l'operatore è non lineare, viene chiamato anche il sistema dinamico corrispondente non lineare... Distinguere operatori continui e discreti e di conseguenza sistemi a tempo continuo e discreto... Sistemi per i quali la mappatura X(T) utilizzando l'operatore T può essere definito per qualsiasi T > T 0 (continuo nel tempo) è anche chiamato flussi per analogia con flusso di fluido stazionario... Se l'operatore di mappatura è definito su un insieme discreto di valori temporali, vengono chiamati i corrispondenti sistemi dinamici cascate o sistemi a tempo discreto.
Modi per specificare un operatore di visualizzazione T può anche variare. Operatore T può essere impostato nel modulo differenziale o trasformazione integrale, sotto forma di matrice o tabella, sotto forma di grafico o funzione, ecc.
Sistemi oscillatori e loro proprietà
Un gruppo importante sistemi dinamici rappresentano sistemi in cui sono possibili fluttuazioni. I sistemi oscillatori dal punto di vista dei loro modelli matematici si dividono in certe classi... Distinguere tra sistemi oscillatori lineari e non lineari, concentrati e distribuiti, conservativi e dissipativi, autonomi e non autonomi. I cosiddetti sistemi autooscillanti rappresentano una classe speciale. Le principali proprietà di questi sistemi sono discusse in dettaglio in articoli sulla teoria delle oscillazioni.
Informatica, cibernetica e programmazione
Modelli utilizzati nella gestione. Tipi di modelli. Cronologia dei modelli dinamici. Modelli continui di sistemi dinamici. Equazioni di stato. Sistemi non lineari. Modellazione numerica di sistemi dinamici. Il problema è un passo troppo grande. Modelli dinamo discreti
Modelli utilizzati nella gestione. Tipi di modelli. Cronologia dei modelli dinamici... Modelli continui di sistemi dinamici. Equazioni di stato. Sistemi non lineari. Modellazione numerica di sistemi dinamici. Il problema è un passo troppo grande. Modelli discreti di sistemi dinamici. Controllabilità, valutazione e osservabilità. Sistemi sfocati
Il modello di processo è alla base della gestione. Qualsiasi strategia di controllo si basa sulla comprensione di come un processo fisico reagisce a un segnale in ingresso. Pertanto, la capacità di analizzare e modellare le dinamiche di un sistema è il presupposto principale per una gestione di successo.
Tipi di modello
Esistono molti modi per descrivere i sistemi utilizzando i modelli. Scelta specifica dipende dalle informazioni preesistenti, dalla capacità di raccogliere dati sul processo man mano che si evolve e, soprattutto, dallo scopo della simulazione. A differenza della scienza, dove l'obiettivo della modellazione è una profonda conoscenza dell'essenza del sistema, un modello in senso ingegneristico è considerato adeguato se i corrispondenti processi di controllo operano in modo prevedibile, vale a dire, c'è un output stabile con piccole deviazioni da valore impostato, riproducibilità della risposta al segnale di ingresso, ecc.
- Descrizione continua nel tempo (analogica). Il sistema è descritto da equazioni differenziali lineari o non lineari per l'equilibrio di massa, energia, forze o momenti. In molti casi, le equazioni non lineari possono essere linearizzate e quindi semplificare il lavoro con esse.
- Descrizione tempo-discreto(descrizione dell'ora campionata). Le proprietà fisiche sono descritte da equazioni alle differenze lineari o non lineari. Questo approccio significa che le informazioni sul sistema sono disponibili solo in determinati momenti discreti nel tempo. Questo tipo di descrizione è infatti quasi inevitabile nel controllo digitale perché i computer basati sulla più comune architettura di von Neumann ( von Neumann ), eseguire le istruzioni in sequenza. Determinare l'intervallo di campionamento, ovvero la frequenza di aggiornamento o ricalcolo dei dati, è il più elemento importante una simile simulazione.
- Modelli di sistemi basati su eventi discreti(modello ad eventi discreti) o su sequenze di eventi(sistema di sequenziamento). Un esempio di sequenza di eventi è stato fornito nella sezione 2.2.1. In questa descrizione, i valori di ingresso e uscita del sistema sono discreti nel tempo e di solito sono segnali binari on/off. Molti sistemi di sequenziamento possono essere descritti come sistemi di code e modellati dalle cosiddette catene di Markov o processi di Markov.
- Modelli di sistemi con incertezze(sistema con incertezze). Sia i sistemi controllati stessi che le misurazioni sono spesso interessati da rumori e disturbi indesiderati. In alcuni casi, i disturbi e la conoscenza incompleta del processo tecnico possono essere interpretati statisticamente. In altri, fattori di incertezza, invece di caratteristiche quantitative, possono essere descritti da linguaggi e espressioni logiche... Un esempio di tale descrizione sono le regole dei sistemi esperti "if-then-else". Un altro mezzo per descrivere le incertezze è il cosiddetto fuzzy(fuzzy) algebra.
Cronologia dei modelli dinamici
La scala temporale è una delle più caratteristiche importanti processo dinamico. La maggior parte dei sistemi tecnici e delle industrie include diversi processi che differiscono in modo significativo nei tempi di risposta. Pertanto, quando si descrive il processo, è importante scegliere una scala temporale che corrisponda all'obiettivo prefissato.
Illustriamo questo con l'esempio della produzione industriale. Le attività di gestione possono essere suddivise in più livelli. Gli eventi a livello di macchina si verificano in frazioni di secondo, ad esempio quando si controlla un braccio robotico o una macchina utensile. Alla prossima, di più alto livello controllo, a livello di sito, l'obiettivo è la sincronizzazione di vari meccanismi, ad esempio, una decisione quando un robot deve spostare una parte tra due macchine. La scala temporale qui è già nell'ordine da secondi a minuti. A livello di sito, si presume che il compito di controllare una specifica macchina utensile sia già stato risolto a un livello inferiore. La scala temporale a livello di sito è determinata dai compiti di fornire alla macchina i pezzi, determinare se il robot è libero di afferrare una nuova parte, ecc. A un livello ancora più alto, la produzione è pianificata nel suo insieme, cioè cosa produrre e con quali caratteristiche specifiche. La risoluzione di tali problemi può richiedere giorni o settimane e, al confronto, la dinamica di una singola macchina è vista come istantanea.
Simulazione di sistemi dinamici
Esistono sia processi noti e ben studiati, sia processi di cui si sa molto poco e che sono difficili da descrivere quantitativamente. Ad esempio, la dinamica degli aerei e dei reattori nucleari è stata studiata molto a fondo e ci sono modelli abbastanza accurati, anche se molto complessi, di questi processi. Ci sono processi difficili da quantificare. Ad esempio, un processo di laboratorio per la fermentazione di un tipo di microrganismo in un mezzo nutritivo ben definito può essere descritto in modo molto accurato. Al contrario, il processo di trattamento biologico delle acque reflue contiene una complessa miscela di organismi in un ambiente difficile da descrivere. Tale processo può essere descritto solo parzialmente da modelli quantitativi convenzionali. Quando i modelli quantitativi non sono sufficienti o sono troppo complessi, vengono utilizzati modelli semantici (linguistici) per descrivere i processi. Altri esempi di processi parzialmente studiati sono la produzione di metalli, la separazione di liquidi e solidi, molti processi biochimici e il funzionamento di forni circolari.
I processi i cui parametri cambiano nel tempo sono caratterizzati da propri problemi specifici... Ad esempio, in un sistema biologico, l'aggiunta di un nuovo substrato a un processo può causare una mutazione di microrganismi, che porterà a un cambiamento significativo nella dinamica dell'intero processo.
In genere, la modellazione di un sistema complesso è difficile, costosa e richiede tempo, soprattutto quando necessario. verifica sperimentale... Fondamentalmente, ci sono due modi per sviluppare un modello. Nell'approccio fisico, il modello è formato sulla base di relazioni fisiche ed equazioni di equilibrio. Un altro modo per costruire un modello dinamico si basa su dati sperimentali. Le perturbazioni sono introdotte nel processo tecnico nella forma tipi diversi segnali di ingresso, e quindi l'analisi della serie di dati di ingresso e di uscita viene eseguita utilizzando una procedura chiamataidentificazione dei parametri. Se l'analisi viene eseguita in tempo reale, ovvero a una velocità paragonabile alla velocità del processo, tale procedura viene chiamatavalutazione ricorsiva.
In pratica, viene solitamente utilizzata una combinazione di modellazione fisica e identificazione dei parametri. Con uno studio più approfondito delle proprietà di base del processo, diventa più facile ottenere una descrizione dinamica accurata. Tuttavia, anche modelli accuratamente progettati basati su un approccio fisico richiedono una verifica sperimentale.
I parametri di molti processi e sistemi cambiano non solo nel tempo, ma anche nello spazio, ad esempio la concentrazione di un liquido in un serbatoio. L'equilibrio fisico di tali sistemi è descritto da equazioni differenziali alle derivate parziali. Nei sistemi di controllo di processo, queste equazioni sono solitamente approssimate da differenze finite nelle variabili spaziali in modo che il sistema possa essere descritto da equazioni differenziali ordinarie
Modelli continui di sistemi dinamici. Equazioni di Stato
Le equazioni differenziali che descrivono un processo fisico possono sempre essere trasformate in un sistema di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. In questo caso, dicono che questa descrizione è nella formaequazioni di stato o in spazio degli stati. Il vantaggio principale di questa forma di notazione è che i metodi numerici possono essere utilizzati per risolvere queste equazioni. Inoltre, è chiaramente tracciata l'essenza fisica del processo, in particolare la relazione tra variabili interne e segnali esterni di ingresso e uscita. Allo stesso modo, lo studio di sistemi di controllo con più di un input e output è più facile sotto forma di equazioni di stato. La base dell'apparato matematico per i modelli dello spazio degli stati è principalmente l'algebra lineare: le notazioni vettoriali e matriciali semplificano notevolmente la descrizione. Tuttavia, le tecniche di algebra lineare non sono necessarie per acquisire una comprensione di base della dinamica di un sistema.
Le equazioni di stato sono pratiche e strada conveniente descrizioni di sistemi dinamici. Uno stato è un insieme di tutte le variabili, le cosiddettevariabili di stato , le cui derivate del primo ordine sono incluse nelle equazioni che descrivono il sistema dinamico. Il concetto di equazioni di stato è fondamentale. Se noto Stato attuale sistema (variabili di stato) e segnali di ingresso, è possibile prevederne l'ulteriore comportamento. In questo caso, la preistoria, vale a dire. come sia stato raggiunto lo stato attuale non è necessario saperlo. In altre parole, uno stato è la quantità minima di informazioni su un sistema necessaria per prevederne il comportamento futuro.
Stato x può essere rappresentato come un vettore colonna le cui componenti sono variabili di stato
Tutte le variabili di stato possono essere misurate direttamente in rari casi, ad esempio, ci sono variabili interne che non possono essere monitorate tramite sensori. Pertanto, la descrizione nello spazio degli stati è anche chiamatadescrizione interna. Le grandezze in uscita sono misurazioni, indicate con y 1, y 2, ..., y p e componi il vettore in
V caso generale numero di sensori R, relative al processo, meno variabili di stato P. Pertanto, il calcolo x a y È un compito non banale.
Qualsiasi sistema tecnico è influenzato da due tipi di segnali di ingresso: segnali che possono essere modificati manualmente o automaticamente con qualsiasi mezzo tecnico e segnali che non possono essere controllati. I segnali del primo tipo sono chiamati segnali di controllo o variabili di controllo. U1, U2 vettore di trucco tu
I segnali di ingresso del secondo tipo possono influenzare il sistema, ma non possono essere controllati. La grandezza di questi segnali riflette l'influenza ambiente esterno sul sistema, ad esempio, una variazione (perturbazione) del carico causata da temperatura, radiazioni, influenze magnetiche indesiderate ("pickup"), ecc. Tutti questi segnali sono indicati da un vettore v
Lo scopo del sistema di controllo è quello di calcolare, sulla base delle misure disponibili, tali segnali di controllo e in modo che, nonostante l'influenza dei disturbi v , sistema tecnico svolto i compiti assegnati. Il sistema controllato può essere rappresentato sotto forma di diagramma a blocchi (Fig. 3.13), che mostra segnali di controllo, disturbi e variabili di uscita
Riso. 2.1 Schema a blocchi del sistema controllato
Area di applicazione modelli lineari
Ci sono fenomeni dinamici che non possono essere descritti da equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Consideriamo l'effetto della non linearità sugli esempi. I sistemi descritti di seguito si comportano come lineari a piccoli valori dei segnali di ingresso e a grandi valori appare la non linearità.
Limitazioni del segnale
V condizioni reali tutti i segnali sono limitati. Molti sistemi tecnici utilizzano le valvole come elementi di controllo finali. Poiché la valvola non può essere aperta più del 100%, a volte semplicemente non è possibile realizzare un segnale di controllo calcolato matematicamente (Fig. 2.2). Ciò causa alcune difficoltà nella gestione.
Un altro esempio di limitazione del segnale è la corrente del rotore di un motore elettrico. La corrente deve essere limitata, altrimenti il motore si brucerà. Di conseguenza, il sistema di controllo del motore non può essere lineare, specialmente ad accelerazioni e coppie elevate, quando anche la corrente deve essere elevata.
Figura 2.2 Segnale di uscita attuatore con restrizioni
Sistemi non lineari
I sistemi descritti sono non lineari, ma sotto alcune ipotesi possono essere approssimati da equazioni lineari. Altri tipi di non linearità non possono essere ridotti a descrizione lineare... L'esempio più comune sono i sistemi a relè. I relè generano segnali binari on/off; Un relè ideale per qualsiasi ingresso positivo ha un'uscita positiva fissa e un'uscita negativa fissa corrispondente per qualsiasi ingresso negativo. Ovviamente un tale sistema non soddisfa il principio di sovrapposizione
Esempi di sistemi con non linearità significative:
- diversi tipi relè (con banda morta, isteresi, ecc.);
- valvole (zone morte, saturazione);
- deformazioni non lineari di molle meccaniche;
- caduta di pressione nella costrizione del tubo;
- forze di attrito;
- resistenza aerodinamica;
- proprietà del vapore;
- motori corrente continua con avvolgimento di eccitazione seriale (la coppia è funzione del quadrato della corrente del circuito del rotore);
motori corrente alternata
I sistemi non lineari possono essere descritti come segue
dove n variabili di stato e g ingressi, o in forma vettoriale compatta
Simulazione numerica di sistemi dinamici
Nella maggior parte dei casi, i metodi numerici vengono utilizzati per risolvere equazioni differenziali non lineari. Il metodo principale per risolvere le equazioni differenziali è l'approssimazione delle derivate temporali mediante semplici equazioni alle differenze. Questo metodo è chiamato approssimazione up-difference di Eulero.
Se le condizioni iniziali x (0) sono note, allora gli stati x ( t + h), x (t +2 h), x (t + 3 h ), ..., che a volte sono approssimazioni della soluzione esatta t + h, t +2 h, t + 3 h eccetera. Qui è molto importante scegliere passo di integrazione h, che, in linea di principio, dovrebbe essere il più piccolo possibile, tuttavia, in pratica, viene scelto un certo valore di compromesso. Un passo troppo piccolo porterà a un tempo di calcolo irragionevolmente lungo (che, ovviamente, dipende ancora seriamente dalla complessità dei calcoli, dal tipo di equazioni, dal numero di variabili e dalla potenza del processore). D'altra parte, un valore troppo grande h causa problemi di convergenza e porta a risultati indesiderati. L'effetto di un passaggio scelto in modo errato può essere molto significativo, soprattutto se il sistema simulato include processi dinamici sia veloci che lenti.
Passo troppo grande problema
Per illustrare il problema di un passo troppo grande, si consideri sistema semplice descritto dall'equazione del primo ordine
dove x (0) = 1 e a> 0. L'equazione ha una soluzione analitica
D'altra parte, l'equazione differenziale può essere risolta numericamente con il metodo di Eulero. Quando approssimato da una derivata da una differenza finita
Nella fig. 2.3. viene mostrato cosa succede quando significati diversi fare un passo h. In generale, per grandi valori h - tale che h> 2 / a, la soluzione x avrà carattere oscillatorio con variazione di segno e aumento di ampiezza. Il problema dell'oscillazione dovuta a un passo di integrazione troppo grande è chiamato instabilità numerica. Questa instabilità non ha nulla a che fare con il sistema stesso ed è causata solo da un'approssimazione troppo approssimativa nel calcolo della soluzione.
Esistono molti metodi di integrazione numerica, ciascuno con i propri pregi e demeriti; i metodi più diffusi sono Runge-Kutta. La maggior parte dei metodi di integrazione consente una dimensione del passo variabile che viene selezionata automaticamente per soddisfare un criterio di errore predeterminato.
Modelli discreti di sistemi dinamici
Un computer digitale non può gestire dati analogici in continua evoluzione. Di conseguenza, sia la raccolta dei dati che la generazione di segnali di controllo avvengono solo in determinati momenti. La situazione non cambia sostanzialmente con l'aumento della velocità del processore. Di più processore veloce funziona secondo lo stesso principio di quello più lento: elabora semplicemente più dati nello stesso intervallo di tempo, ma i dati rimangono discreti.
Quello che segue è un modello di processo fisico adatto per applicazioni di controllo del computer. Secondo il modello in esame, i dati di processo misurati vengono raccolti a intervalli regolari. Questi intervalli non devono essere gli stessi, tuttavia, la descrizione del modello dinamico discreto diventa più facile quando l'intervallo è costante. Questo processo chiamatocampionamento, campionamento(campionamento) o quantizzazione, lunghezza dell'intervallo -tempo (periodo, intervallo) campionamento, campionamento(tempo di campionamento) o quantizzazione. Un'altra semplificazione utilizzata nello sviluppo di modelli di processo a tempo discreto è che i dati misurati ei segnali di controllo rimangono costanti durante l'intervallo di campionamento. In effetti, i circuiti di campionamento e memorizzazione dell'interfaccia del computer funzionano allo stesso modo.
Descrizione dello spazio di stato
Un processo non lineare può essere approssimato dall'equazione alle differenze
dove h - intervallo di campionamento kh - il suo numero di serie; f (x, u ) È la derivata temporale del vettore di stato del sistema x. L'approssimazione è valida se h abbastanza piccolo e il derivato è "liscio". L'equazione alle differenze è essenzialmente la stessa della simulazione numerica. Un sistema lineare a coefficienti costanti in forma discreta è rappresentato come segue
In notazione matriciale, questo può essere scritto
Per un sistema lineare o linearizzato, non è necessaria un'approssimazione. Poiché le equazioni differenziali lineari possono essere risolte analiticamente, dalla soluzione si possono ottenere le equazioni corrispondenti per la rappresentazione discreta. Si assume che il segnale di controllo tu (t) rimane costante tra i tempi di campionamento, ovvero il sistema include uno schema di ritenzione. Il modello discreto può essere scritto in forma matriciale
dove è una matrice di dimensione nxn, e è una matrice di dimensione nxl. La relazione tra le matrici A e B e le matrici Ф e Г è la seguente
dove io È la matrice identità.
La conversione tra matrici per modelli continui e discreti può essere eseguita utilizzando programmi standard... L'approssimazione per differenze finite tende a una soluzione esatta per piccoli valori dell'intervallo di campionamento h. Poiché le misurazioni avvengono periodicamente, l'equazione per il modello discreto è valida solo nei momenti di campionamento
La soluzione delle equazioni del modello discreto su un calcolatore digitale è abbastanza semplice: soluzioni x ( kh ) in tempi successivi vengono calcolati passo passo in base alle equazioni alle differenze
Controllabilità, valutazione e osservabilità
Ogni sistema tecnico ha diverse caratteristiche fondamentali che richiedono un'attenzione particolare.
Controllabilità - è una caratteristica del sistema che indica se il sistema dispone di un numero sufficiente di parametri regolabili per controllarlo nel modo richiesto. In parole povere, un sistema è controllabile se è possibile selezionare tali azioni di controllo e in modo che il sistema raggiunga un dato stato x. Solo quando il sistema è controllabile, i suoi poli (o autovalori) possono essere spostati arbitrariamente utilizzando la retroazione.
Se il processo è incontrollabile, significa che parti del sistema sono fisicamente disconnesse dai segnali di controllo..
I segnali di controllo influiscono su ciascuna variabile di stato separatamente. In un sistema controllato, tutti gli elementi della matrice B sono diversi da zero, altrimenti le variabili di stato corrispondenti a elementi nulli della matrice B non possono essere controllate da segnali di controllo. I valori di tali variabili saranno determinati solo dalle proprietà del sistema.
La controllabilità di un sistema lineare basato su un modello continuo e discreto può essere verificata con metodi matematici. Tuttavia, nessuna quantità di metodi matematici può sostituire la comprensione da parte del progettista della natura fisica del processo. Ad esempio, capita spesso che alcuni parametri siano scarsamente controllabili, ovvero i valori dei corrispondenti coefficienti P siano piccoli. E sebbene il sistema sia formalmente controllabile, un vero regolatore adatto a uso pratico, è impossibile creare.
Valutazione delle condizioni basata su misurazioni
La seconda caratteristica del sistema è relativa alla misurazione e all'osservazione. Il set di sensori esistente consente di ottenere informazioni sufficienti sullo stato del sistema? È possibile calcolare indirettamente l'intero vettore di stato corrente? x(t), se la corrente e valore precedente segnale di uscita y (0) Questa caratteristica è chiamata osservabilità.
Nella maggior parte dei casi, lo stato del sistema non viene misurato direttamente, ovvero il numero di sensori è inferiore al numero di variabili di stato. Tuttavia, spesso è importante conoscere l'intero vettore dello stato x, anche se non esistono sensori adeguati o sono semplicemente troppo costosi. In determinate condizioni, è possibile calcolare il vettore di stato X in base alle misurazioni in ... Nel seguito, x indicherà il vettore di stato calcolato, poiché può differire da quello reale.
Per calcolare variabili di stato non misurate, puoi usare la procedura estimatore, e per modelli continui e discreti. Viene qui considerato un algoritmo di stima per un modello discreto, poiché può essere applicato direttamente in controllo del computer... La valutazione dello stato è in realtà una descrizione del processo tecnico mediante equazioni alle differenze, in cui viene introdotto un termine aggiuntivo per regolare le variabili stimate in base alle misurazioni di y
matrice D nella maggior parte dei casi è zero. Se il sistema ha un solo sensore, allora K è un vettore, altrimenti è una matrice. Con una stima "eccellente" xex coincidono e l'ultimo termine dell'equazione è uguale a zero, poiché y = C x. La valutazione obbedirà allo stesso equazione dinamica come vero vettore di stato x. Nella misura in cui X differisce da x, l'ultimo termine, cioè la differenza tra la misura effettiva di y e la sua stima C * x, viene utilizzato per correggere l'errore. La matrice K è un fattore di ponderazione che determina la qualità della valutazione.
Sistemi sfocati
Molti sistemi non sono solo non lineari e non stazionari (cambiano nel tempo), ma sono generalmente poco definiti. Non possono essere modellati con equazioni o rappresentati da un insieme di clear regole logiche digita "se-allora-altrimenti". Per risolvere tali problemi, lo scienziato americano Lotfi A. Zadeh ( Lotti A. Zadeh ) ha sviluppato la logica fuzzy(logica fuzzy). Il termine "fuzzy" in realtà non è usato in modo abbastanza corretto, poiché la logica è saldamente basata sulla teoria matematica.
La logica fuzzy può essere vista come una metodologia di controllo discreta che imita il pensiero umano, utilizzando una proprietà inerente a tutti i sistemi fisici come imprecisione. Nella logica tradizionale e tecnologia informatica vengono utilizzati insiemi deterministici, ovvero si può sempre dire se un elemento appartiene o meno a un insieme. La logica ordinaria - binaria - funziona solo con stati opposti: "veloce / lento", "aperto / chiuso", "caldo / freddo". Secondo questa logica, una temperatura di 25 "C può essere considerata "calda", e 24,9 ° C è ancora "fredda", e il termoregolatore reagirà di conseguenza.
Al contrario, la logica fuzzy funziona convertendo variabili binarie rigide - caldo / freddo, veloce / lento, aperto / chiuso - in gradazioni morbide con variabilegrado di affiliazione caldo/freddo, piuttosto veloce/un po' lento. La temperatura di 20 ° C può significare sia "caldo" che "freddo". Tali gradazioni sono ignorate dalla logica normale, ma servono come pietra angolare della logica fuzzy. Il grado di appartenenza è determinato fiducia (fiducia) o fiducia (certezza) (espresso come un numero da 0 a 1) che un particolare elemento appartiene a un insieme fuzzy.
I sistemi fuzzy sviluppano le loro soluzioni sulla base di informazioni di input sotto forma di variabili linguistiche, ovvero termini di linguaggio comune, come "caldo", "lento" o "oscuro". Queste variabili vengono elaborate da regole if-then-else e, di conseguenza, vengono generate una o più conclusioni a seconda di quali affermazioni sono vere. L'output di ciascuna regola è ponderato in base alla confidenza o al grado di appartenenza dei suoi valori di input.
C'è qualche analogia tra le regole "se-allora" artificiale intelligenza e logica fuzzy, sebbene l'intelligenza artificiale sia il processo di elaborazione dei simboli e la logica fuzzy non lo sia. V intelligenza artificiale rete neurale c'è una raccolta di dati e conclusioni sotto forma di strutture speciali. A ciascuna quantità di input viene assegnato un fattore di ponderazione relativo e discreto. Dati ponderati accuratamente In un certo modo formare una rete per il processo decisionale. Al contrario, in logica fuzzy, le funzioni peso sono continuamente definite sull'insieme dei valori di appartenenza.
La logica fuzzy spesso si occupa di variabili che vengono osservate piuttosto che misurate. Il controllo in logica fuzzy presenta una differenza in più rispetto a quello tradizionale. Quest'ultimo si basa su un modello matematico del sistema, che presuppone una conoscenza dettagliata delle variabili rilevanti. La modellazione in logica fuzzy si occupa di relazioni di I/O in cui sono riuniti molti parametri. Con questo controllo, sostituire un ampio range di valori con un numero minore di gradi di appartenenza aiuta a ridurre il numero di variabili su cui il regolatore deve operare. Di conseguenza, sono necessarie meno regole, poiché devono essere stimati meno parametri e in molti casi un controllore a logica fuzzy può generare soluzioni più velocemente di quanto sistema esperto basato su regole if-then. È stato dimostrato su prototipi sperimentali che la logica fuzzy è buon strumento con quantità di informazioni insufficienti.
Il controllore automatico della velocità del treno serve come semplice illustrazione delle applicazioni di logica fuzzy. Il criterio per il controllore è l'ottimizzazione del tempo di viaggio sotto vincoli noti. Gli input sono la velocità attuale, l'accelerazione e la distanza dalla destinazione, in base alla quale il regolatore controlla la potenza del motore.
La funzione di appartenenza assegna valori linguistici ai valori misurati. In questo caso, l'accelerazione ha il significato di "decelerazione" a causa di una ripida salita. La velocità appartiene all'insieme di "slow" (peso 0,8) e "too slow" (peso 0,2), e la distanza è "molto vicino alla destinazione" con un peso di 0,65 e "vicino" con un peso di 0,35
Diverse regole possono dare un'idea della logica di controllo:
- se la velocità è "troppo lenta" e l'accelerazione è "decelerazione", allora la potenza dovrebbe essere "significativamente aumentata";
- se la velocità è "lenta" e l'accelerazione è "decelerazione", allora la potenza dovrebbe essere "leggermente aumentata";
- se la distanza è "vicina", allora la potenza dovrebbe essere "leggermente ridotta".
Quale regola scegliere? L'output ha anche un grado di confidenza, che dipende dal grado di confidenza (cioè peso) dell'input. La scelta finale in questo esempio è "aumentare leggermente" la potenza. Anche se la velocità è "troppo lenta", il treno è già vicino alla sua destinazione.
Non vi è alcuna garanzia che la logica fuzzy possa gestire con successo sistemi complessi. Un regolatore basato su logica fuzzy è praticamente una valutazione dello stato del sistema, che non si basa su modello specifico... È molto difficile dimostrare la stabilità di un tale regolatore.
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Esempio.
Esempio.
Esempio.
Esempio. Modello S = gt2 / 2.0< t < 100 непрерывна на промежутке времени (0;100).
Esempio.
a1x1 + a2x2 = S,
Modelli deterministici e stocastici
Il modello è deterministico se ogni insieme di parametri di input corrisponde a un insieme di parametri di output ben definito e univocamente definibile; in caso contrario, il modello è non deterministico, stocastico (probabilistico).
Esempio. Quanto sopra modelli fisici- deterministico. Se nel modello S = gt2 / 2, 0< t < 100 мы учли бы случайный параметр - порыв ветра с силой p при падении тела:
S (p) = g (p) t2 / 2, 0< t < 100,
quindi otterremmo un modello a caduta stocastica (non più libera).
Modelli funzionali, insiemistici e logici
Un modello funzionale se può essere rappresentato come un sistema di alcune relazioni funzionali.
Un modello è insiemistico se è rappresentabile con l'ausilio di alcuni insiemi e relazioni di appartenenza ad essi e tra di essi.
Esempio. Lascia che il set
X = (Nikolay, Peter, Nikolaev, Petrov, Elena, Ekaterina, Mikhail, Tatiana) e relazioni:
Nikolay - il marito di Elena,
Caterina - moglie di Pietro,
Tatiana è la figlia di Nikolai ed Elena,
Michele è il figlio di Pietro e Caterina,
le famiglie di Mikhail e Peter sono amiche l'una dell'altra.
Allora l'insieme X e l'insieme delle relazioni elencate Y possono servire come modello insiemistico di due famiglie amichevoli.
Un modello si dice logico se è rappresentabile da predicati, funzioni logiche.
Ad esempio, la collezione funzioni logiche tipo:
z = x y x, p = x y
c'è un matematico modello logico funzionamento di un dispositivo discreto.
Un modello di gioco, se lo descrive, implementa una certa situazione di gioco tra i partecipanti al gioco.
Esempio. Lascia che il giocatore 1 sia un ispettore fiscale in buona fede e il giocatore 2 un contribuente senza scrupoli. C'è un processo (gioco) sull'evasione fiscale (da un lato) e sulla rivelazione dell'evasione fiscale (dall'altro). I giocatori scelgono interi i e j (i, j n), identificabili, rispettivamente, con la sanzione del giocatore 2 per mancato pagamento delle tasse quando il giocatore 1 scopre il fatto del mancato pagamento e con il beneficio temporaneo del giocatore 2 dall'evasione fiscale. Se prendiamo come modello un gioco di matrici con una matrice di payoff di ordine n, allora ogni elemento in esso è determinato dalla regola aij = | i - j |. Il modello di gioco è descritto da questa matrice e dalla strategia di schivata e cattura. Questo gioco è antagonistico.
Modelli linguistici
Un modello è chiamato linguistico, linguistico se è rappresentato da qualche oggetto linguistico, sistema linguistico formalizzato o struttura.
a volte così modello chiamato verbale, sintattico.
Ad esempio, le regole Traffico- linguistico, modello strutturale traffico e traffico pedonale.
Sia B un insieme di radici generatrici di nomi, C - un insieme di suffissi, P - aggettivi, b i - una radice di una parola; "+" - operazione di concatenazione di parole, ": =" - operazione di assegnazione, "=>" - operazione di inferenza (deducibilità di nuove parole), Z - insieme di significati (semantica) di aggettivi.
Linguistico modello La formazione di parole M può essere rappresentata:
= + <с i >.
Per b i - "pesce (a)", con i - "n (th)", si ottiene da questo modello p i - "pesce", z i - "fatto da pesce".
Sistema di automi cellulari
Un modello è automa cellulare se può essere rappresentato da un automa cellulare o da un sistema di automi cellulari.
Un automa cellulare è un sistema dinamico discreto, un analogo di un campo fisico (continuo). La geometria degli automi cellulari è un analogo della geometria euclidea. Un elemento indivisibile della geometria euclidea è un punto, in base al quale vengono costruiti segmenti, rette, piani, ecc.
Un elemento indivisibile del campo dell'automa cellulare è una cellula, sulla base della quale sono costruiti gruppi di cellule e varie configurazioni strutture cellulari. L'automa cellulare è rappresentato come una rete uniforme di cellule ("cellule") di questo campo. L'evoluzione di un automa cellulare si svolge in uno spazio discreto: un campo cellulare.
Il cambiamento di stato in un campo di automi cellulari avviene simultaneamente e in parallelo, e il tempo scorre discretamente. Nonostante l'apparente semplicità della loro costruzione, gli automi cellulari possono dimostrare un comportamento vario e complesso di oggetti e sistemi.
V Di recente sono ampiamente utilizzati in modellazione processi non solo fisici, ma anche socio-economici.
Modelli frattali
Un modello è chiamato frattale se descrive l'evoluzione del sistema modellato dall'evoluzione di oggetti frattali.
Se un oggetto fisico è omogeneo (solido), ad es. non ci sono cavità in esso, quindi possiamo supporre che la sua densità non dipenda dalle dimensioni. Ad esempio, quando si aumenta il parametro dell'oggetto R prima di 2R la massa dell'oggetto aumenterà di R 2 volte, se l'oggetto è un cerchio e in R 3 volte, se l'oggetto è una palla, ad es. esiste una relazione tra massa e lunghezza. Permettere n- dimensione dello spazio. Un oggetto la cui massa e dimensione sono correlate è chiamato "compatto". La sua densità può essere calcolata utilizzando la formula:
Se l'oggetto (sistema) soddisfa la relazione M (R) ~ R f (n), dove f (n)< n, то такой объект называется фрактальным.
La sua densità non sarà la stessa per tutti i valori di R, quindi viene ridimensionata secondo la formula:
Poiché f (n) - n< 0 по определению, то плотность фрактального объекта уменьшается с увеличением размера R, а ρ(R) является количественной мерой разряженности объекта.
Un esempio di modello frattale è l'insieme di Cantor. Considera un segmento. Dividilo in 3 parti e scarta il segmento centrale. Dividi di nuovo i restanti 2 spazi vuoti in tre parti e scarta gli spazi intermedi, e così via. Otteniamo un insieme chiamato insieme di Cantor. Al limite, otteniamo un insieme non numerabile di punti isolati ( Riso. 1.4)
Riso. 1.4. Cantor impostato per 3 divisioni
L'idea degli algoritmi genetici è stata "spiata" dai sistemi della natura vivente, in cui l'evoluzione si svolge piuttosto rapidamente.
Algoritmo genetico - è un algoritmo basato sull'imitazione delle procedure genetiche per lo sviluppo di una popolazione secondo i principi della dinamica evolutiva.
Gli algoritmi genetici sono utilizzati per risolvere problemi di ottimizzazione (multicriteri), per problemi di ricerca e controllo.
Questi algoritmi sono adattivi, sviluppano soluzioni e si sviluppano da soli.
L'algoritmo genetico può essere costruito sulla base della seguente procedura consolidata:
Sebbene gli algoritmi genetici possano essere utilizzati per risolvere problemi che non possono essere risolti con altri metodi, non garantiscono la scoperta soluzione ottimale, in poi almeno, in un tempo ragionevole. Criteri come "abbastanza buono e abbastanza veloce" sono più appropriati qui.
Il vantaggio principale di usarli è che ti permettono di risolvere compiti impegnativi, per i quali non sono ancora state sviluppate modalità stabili e accettabili, soprattutto nella fase di formalizzazione e strutturazione del sistema.
Gli algoritmi genetici sono efficaci in combinazione con altri algoritmi classici e procedure euristiche.
Modelli statici e dinamici, discreti e continui
I modelli sono classificati secondo vari criteri.
Un modello è detto statico se non c'è un parametro temporaneo tra i parametri coinvolti nella sua descrizione. Il modello statico in ogni istante fornisce solo una "fotografia" del sistema, la sua fetta.
Esempio. La legge di Newton F = a * m è un modello statico di un punto materiale di massa m che si muove con accelerazione a. Questo modello non tiene conto del cambiamento di accelerazione da un punto all'altro.
Un modello è dinamico se c'è un parametro temporale tra i suoi parametri, ad es. visualizza il sistema (processi nel sistema) nel tempo.
Esempio. Il modello dinamico della legge di Newton sarà simile a:
Un modello è discreto se descrive il comportamento del sistema solo in tempi discreti.
Esempio. Se consideriamo solo t = 0, 1, 2, ..., 10 (sec), allora il modello
o una sequenza numerica: S0 = 0, S1 = g / 2, S2 = 2 g, S3 = 9 g / 2,:, S10 = 50 g può servire come modello discreto del moto di un corpo in caduta libera.
Un modello è continuo se descrive il comportamento del sistema per tutti i tempi di un certo periodo di tempo.
Esempio. Modello S = gt2 / 2.0< t < 100 непрерывна на промежутке времени (0;100).
Modello di simulazione, se destinato a test o studio modi possibili lo sviluppo e il comportamento di un oggetto variando alcuni o tutti i parametri del modello.
Esempio. Lascia che il modello del sistema economico per la produzione di beni di due tipi 1 e 2, nella quantità di unità x1 e x2 e il costo di ciascuna unità di beni a1 e a2 nell'impresa, sia descritto sotto forma di un rapporto :
a1x1 + a2x2 = S,
dove S è il costo totale di tutti i prodotti fabbricati dall'impresa (tipi 1 e 2). Puoi usarlo come modello di simulazione, per cui è possibile determinare (variare) il costo totale S in funzione di determinati valori dei volumi e del valore dei beni prodotti.
