Come risolvere un'equazione con il metodo Lagrangiano. Simulazione di sistemi dinamici (metodo di Lagrange e approccio del grafo di Bond)

Il metodo per determinare l'estremo condizionale inizia con la costruzione di una funzione di Lagrange ausiliaria, che, nella regione delle soluzioni ammissibili, raggiunge un massimo per gli stessi valori delle variabili X 1 , X 2 , ..., X n come funzione obiettivo z ... Risolviamo il problema della determinazione dell'estremo condizionale della funzione z = f (X) con restrizioni φ io ( X 1 , X 2 , ..., X n ) = 0, io = 1, 2, ..., m , m < n

Componiamo la funzione

che è chiamato la funzione di Lagrange. X , - fattori costanti ( Moltiplicatori di Lagrange). Si noti che ai moltiplicatori di Lagrange può essere attribuito un significato economico. Se f (x 1 , X 2 , ..., X n ) - reddito coerente con il piano X = (x 1 , X 2 , ..., X n ) e la funzione φ io (X 1 , X 2 , ..., X n ) - i costi della risorsa i-esima corrispondente a questo piano, quindi X , è il prezzo (stima) della i-esima risorsa, che caratterizza la variazione del valore estremo della funzione obiettivo in funzione della variazione della dimensione della i-esima risorsa (stima marginale). L (X) - funzione n + m variabili (X 1 , X 2 , ..., X n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) ... Determinare i punti stazionari di questa funzione porta a risolvere il sistema di equazioni

È facile vederlo ... Quindi, il problema di trovare l'estremo condizionale della funzione z = f (X) si riduce a trovare l'estremo locale della funzione L (X) ... Se viene trovato un punto stazionario, la questione dell'esistenza di un estremo nei casi più semplici viene risolta sulla base di condizioni sufficienti per un estremo - un'indagine sul segno del secondo differenziale D 2 L (X) in un punto stazionario, a condizione che la variabile incrementi x io - sono legati dalle relazioni

ottenuto differenziando le equazioni di comunicazione.

Risolvere un sistema di equazioni non lineari in due incognite utilizzando lo strumento Trova soluzione

personalizzazione Trovare una soluzione permette di trovare una soluzione a un sistema di equazioni non lineari con due incognite:

dove
- funzione non lineare di variabili X e sì ,
è una costante arbitraria.

È noto che la coppia ( X , sì ) è una soluzione del sistema di equazioni (10) se e solo se è una soluzione della seguente equazione con due incognite:

CON invece, la soluzione del sistema (10) sono i punti di intersezione di due curve: F ] (X, sì) = C e F 2 (x, y) = C 2 in superficie XOsì.

Ciò implica un metodo per trovare le radici del sistema. equazioni non lineari:

Determinare (almeno approssimativamente) l'intervallo di esistenza di una soluzione del sistema di equazioni (10) o dell'equazione (11). Qui è necessario prendere in considerazione la forma delle equazioni incluse nel sistema, il dominio di definizione di ciascuna delle loro equazioni, ecc. A volte viene utilizzata la selezione dell'approssimazione iniziale della soluzione;

Tabula la soluzione dell'equazione (11) nelle variabili x e y sull'intervallo selezionato o costruisci grafici di funzioni F 1 (X, sì) = C, e F 2 (x, y) = C 2 (sistema (10)).

Localizza le radici presunte del sistema di equazioni: trova diversi valori minimi dalla tabella che tabula le radici dell'equazione (11) o determina i punti di intersezione delle curve incluse nel sistema (10).

4. Trova le radici per il sistema di equazioni (10) usando il componente aggiuntivo Cerca una soluzione.

Metodo del moltiplicatore di Lagrange.

Il metodo del moltiplicatore di Lagrange è uno dei metodi che consentono di risolvere problemi di programmazione non lineare.

La programmazione non lineare è una branca della programmazione matematica che studia i metodi per risolvere problemi estremi con una funzione obiettivo non lineare e un'area di soluzioni fattibili definita da vincoli non lineari. In economia ciò corrisponde al fatto che i risultati (efficienza) aumentano o diminuiscono in proporzione alla variazione della scala di utilizzo delle risorse (o, che è la stessa, della scala di produzione): per esempio, a causa della divisione delle costi di produzione alle imprese in variabile e condizionatamente costante; a causa della saturazione della domanda di beni, quando ogni unità successiva è più difficile da vendere rispetto alla precedente, ecc.

Il problema della programmazione non lineare si pone come il problema di trovare l'ottimo di una certa funzione obiettivo

F (x 1, ... x n), F (X) → max

quando le condizioni sono soddisfatte

g j (x 1, ... x n) ≥0, G (X) ≤ B , X ≥ 0

dove X-vettore delle variabili richieste;

F (X) è una funzione obiettivo;

G (X) - funzione dei vincoli (continuamente differenziabile);

B - vettore delle costanti dei vincoli.

Una soluzione a un problema di programmazione non lineare (massimo o minimo globale) può appartenere sia al confine che all'interno dell'insieme ammissibile.

Contrariamente al problema di programmazione lineare, nel problema di programmazione non lineare l'ottimo non giace necessariamente sul confine della regione definita dai vincoli. In altre parole, il problema è scegliere tali valori non negativi di variabili soggette a un sistema di vincoli sotto forma di disuguaglianze in corrispondenza delle quali si raggiunge il massimo (o il minimo) della funzione data. Allo stesso tempo, non sono stabilite le forme né della funzione obiettivo né delle disuguaglianze. I casi possono essere diversi: la funzione obiettivo è non lineare ei vincoli sono lineari; la funzione obiettivo è lineare ei vincoli (almeno uno di essi) sono non lineari; sia la funzione obiettivo che i vincoli sono non lineari.

Il problema della programmazione non lineare si trova nelle scienze naturali, nella tecnologia, nell'economia, nella matematica, nel campo delle relazioni commerciali e nella scienza del governo.

La programmazione non lineare, ad esempio, è associata a un problema economico di base. Quindi, nel problema della distribuzione di risorse limitate, o si massimizza l'efficienza, oppure, se si studia il consumatore, si consuma in presenza di vincoli che esprimono le condizioni di mancanza di risorse. In un contesto così generale, la formulazione matematica del problema può risultare impossibile, ma in applicazioni specifiche è possibile determinare direttamente la forma quantitativa di tutte le funzioni. Ad esempio, un impianto industriale produce prodotti in plastica. L'efficienza della produzione è stimata qui dal profitto e i vincoli sono interpretati come la forza lavoro disponibile, lo spazio di produzione, la produttività delle attrezzature, ecc.

Il metodo del rapporto costo-efficacia si adatta anche allo schema di programmazione non lineare. Questo metodo è stato sviluppato per l'uso nel processo decisionale nell'amministrazione del governo. Una funzione comune dell'efficienza è il benessere. Qui sorgono due problemi di programmazione non lineare: il primo è massimizzare l'effetto a costi limitati, il secondo è minimizzare i costi, purché l'effetto sia al di sopra di un certo livello minimo. Questo compito è solitamente ben modellato utilizzando la programmazione non lineare.

I risultati della risoluzione del problema della programmazione non lineare sono utili per prendere decisioni governative. La soluzione ottenuta è, ovviamente, raccomandata; pertanto, è necessario investigare le ipotesi e l'accuratezza della formulazione del problema di programmazione non lineare prima di prendere la decisione finale.

I problemi non lineari sono complessi e spesso vengono semplificati portando a quelli lineari. Per questo, si assume convenzionalmente che in una particolare area la funzione obiettivo aumenti o diminuisca proporzionalmente al cambiamento delle variabili indipendenti. Questo approccio è chiamato metodo delle approssimazioni lineari a tratti; tuttavia, è applicabile solo ad alcuni tipi di problemi non lineari.

I problemi non lineari in determinate condizioni vengono risolti utilizzando la funzione di Lagrange: trovando il suo punto di sella, trovando così una soluzione al problema. I metodi gradiente occupano un posto importante tra gli algoritmi computazionali degli algoritmi non lineari. Non esiste un metodo universale per i problemi non lineari e, a quanto pare, potrebbe non esserlo, poiché sono estremamente diversi. È particolarmente difficile risolvere problemi multi-estremi.

Uno dei metodi che ci permettono di ridurre il problema della programmazione non lineare alla risoluzione di un sistema di equazioni è il metodo dei moltiplicatori di Lagrange indefiniti.

Con l'aiuto del metodo del moltiplicatore di Lagrange, in sostanza, vengono stabilite le condizioni necessarie che consentono di identificare i punti ottimali nei problemi di ottimizzazione con vincoli di uguaglianza. In questo caso, il problema con vincoli si trasforma in un problema equivalente di ottimizzazione non vincolata, in cui compaiono alcuni parametri incogniti, detti moltiplicatori di Lagrange.

Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange consiste nel ridurre i problemi per l'estremo condizionale ai problemi per l'estremo incondizionato della funzione ausiliaria - il cosiddetto. Funzioni di Lagrange.

Per il problema dell'estremo della funzione F(x 1, x 2, ..., x n) in condizioni (equazioni di vincolo) φ io(x 1, x 2, ..., x n) = 0, io= 1, 2,..., m, la funzione di Lagrange ha la forma

L (x 1, x 2… x n, λ 1, λ 2,… λm) = f (x 1, x 2… x n) + ∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

moltiplicatori 1, λ 2, ..., m chiamato Moltiplicatori di Lagrange.

Se le quantità x 1, x 2, ..., x n, 1, λ 2, ..., m l'essenza delle soluzioni delle equazioni che determinano i punti stazionari della funzione di Lagrange, vale a dire, per le funzioni differenziabili sono soluzioni del sistema di equazioni

allora sotto ipotesi abbastanza generali x 1, x 2, ..., x n forniscono l'estremo della funzione f.

Consideriamo il problema di minimizzare una funzione di n variabili, tenendo conto di un vincolo sotto forma di uguaglianza:

Minimizza f (x 1, x 2 ... x n) (1)

sotto vincoli h 1 (x 1, x 2 ... x n) = 0 (2)

In accordo con il metodo del moltiplicatore di Lagrange, questo problema viene trasformato nel seguente problema di ottimizzazione non vincolata:

minimizzare L (x, λ) = f (x) -λ * h (x) (3)

dove La funzione L (x; λ) è detta funzione di Lagrange,

è una costante sconosciuta, chiamata moltiplicatore di Lagrange. Nessun requisito è imposto al segno λ.

Sia per un dato valore λ = λ 0, il minimo incondizionato della funzione L (x, λ) rispetto a x sia raggiunto nel punto x = x 0 e x 0 soddisfa l'equazione h 1 (x 0) = 0 . Allora, come è facile vedere, x 0 minimizza (1) tenendo conto della (2), poiché per tutti i valori di x che soddisfa (2), h 1 (x) = 0 e L (x, λ) = min f(x).

Ovviamente è necessario scegliere il valore λ = λ 0 in modo che la coordinata del punto di minimo incondizionato х 0 soddisfi l'uguaglianza (2). Questo si può fare se, considerando come variabile, si trova il minimo incondizionato della funzione (3) sotto forma di una funzione λ, e poi si sceglie il valore di al quale è soddisfatta l'uguaglianza (2). Illustriamolo con un esempio specifico.

Minimizza f (x) = x 1 2 + x 2 2 = 0

sotto il vincolo h 1 (x) = 2x 1 + x 2 -2 = 0 = 0

Il corrispondente problema di ottimizzazione non vincolata si scrive come segue:

minimizzare L (x, λ) = x 1 2 + x 2 2 -λ (2x 1 + x 2 -2)

Soluzione. Uguagliando a zero le due componenti del gradiente L si ottiene

→ x 1 0 = λ

→ x 2 0 = / 2

Per verificare se il punto stazionario x ° corrisponde a un minimo, calcoliamo gli elementi della matrice hessiana della funzione L (x; u), considerata in funzione di x,

che risulta essere definita positiva.

Ciò significa che L (x, u) è una funzione convessa di x. Pertanto, le coordinate x 1 0 = λ, x 2 0 = λ / 2 determinano il punto di minimo globale. Il valore ottimale di si trova sostituendo i valori x 1 0 e x 2 0 nell'equazione 2x 1 + x 2 = 2, da cui 2λ + λ / 2 = 2 o λ 0 = 4/5. Quindi, il minimo condizionale è raggiunto a x 1 0 = 4/5 e x 2 0 = 2/5 ed è uguale a min f (x) = 4/5.

Quando si risolve il problema dell'esempio, abbiamo considerato L (x; λ) in funzione di due variabili x 1 e x 2 e, inoltre, abbiamo ipotizzato che il valore del parametro sia scelto in modo che il vincolo sia soddisfatto. Se la soluzione del sistema

J = 1,2,3, ..., n

non può essere ottenuto sotto forma di funzioni esplicite λ, quindi i valori di e λ si trovano risolvendo il seguente sistema costituito da n + 1 equazioni con n + 1 incognite:

J = 1,2,3, ..., n., H 1 (x) = 0

Per trovare tutte le possibili soluzioni di un dato sistema, puoi usare metodi di ricerca numerica (ad esempio, il metodo di Newton). Per ciascuna delle soluzioni (), si dovrebbero calcolare gli elementi della matrice hessiana della funzione L, considerata in funzione di x, e scoprire se questa matrice è definita positiva (minimo locale) o definita negativa (massimo locale ).

Il metodo del moltiplicatore di Lagrange può essere esteso al caso in cui il problema abbia più vincoli sotto forma di uguaglianze. Considera un problema generale che richiede

Minimizza f (x)

sotto i vincoli h k = 0, k = 1, 2, ..., K.

La funzione di Lagrange assume la forma seguente:

Qui 1, λ 2, ..., k-Moltiplicatori di Lagrange, ad es. parametri sconosciuti, i cui valori devono essere determinati. Uguagliando a zero le derivate parziali di L rispetto a x, si ottiene il seguente sistema di n equazioni con n incognite:

Se risulta difficile trovare una soluzione al sistema di cui sopra sotto forma di funzioni del vettore λ, allora è possibile estendere il sistema includendo vincoli sotto forma di uguaglianze

La soluzione del sistema esteso, costituito da n + K equazioni con n + K incognite, determina il punto stazionario della funzione L. Quindi viene implementata la procedura per il controllo di un minimo o massimo, che viene eseguita sulla base del calcolo gli elementi della matrice hessiana della funzione L, considerati in funzione di x, analogamente a come si è fatto nel caso del problema con un vincolo. Per alcuni problemi, il sistema esteso di n + K equazioni con n + K incognite potrebbe non avere soluzioni e il metodo del moltiplicatore di Lagrange risulta inapplicabile. Tuttavia, va notato che tali compiti si verificano raramente nella pratica.

Consideriamo un caso particolare di un problema generale di programmazione non lineare, supponendo che il sistema di vincoli contenga solo equazioni, non ci sono condizioni per la non negatività delle variabili e le funzioni e - sono continue insieme alle loro derivate parziali. Quindi, risolto il sistema di equazioni (7), si ottengono tutti i punti in cui la funzione (6) può avere valori estremi.

Algoritmo del metodo del moltiplicatore di Lagrange

1. Crea la funzione di Lagrange.

2. Trovare le derivate parziali della funzione di Lagrange rispetto alle variabili x J, λ i ed eguagliarle a zero.

3. Risolviamo il sistema di equazioni (7), troviamo i punti in cui la funzione obiettivo del problema può avere un estremo.

4. Tra i punti sospetti di un estremo, troviamo quelli in cui viene raggiunto l'estremo e calcoliamo i valori della funzione (6) in questi punti.

Esempio.

Dati iniziali: Secondo il piano di produzione, l'impresa deve produrre 180 prodotti. Questi prodotti possono essere realizzati in due modi tecnologici. Nella produzione di x 1 prodotti con il metodo 1, i costi sono 4x 1 + x 1 2 rubli e nella produzione di x 2 prodotti con il metodo 2, sono 8x 2 + x 2 2 rubli. Determina quanti prodotti ciascuno dei metodi dovrebbe essere realizzato in modo che il costo di produzione dei prodotti sia minimo.

La funzione obiettivo per il compito in questione ha la forma
® min nelle condizioni x 1 + x 2 = 180, x 2 ≥0.
1.Componi la funzione Lagrange
.
2. Calcoliamo le derivate parziali rispetto a x 1, x 2, e le identifichiamo a zero:

3. Risolvendo il sistema di equazioni risultante, troviamo x 1 = 91, x 2 = 89

4. Sostituendo nella funzione obiettivo x 2 = 180-x 1, otteniamo una funzione di una variabile, ovvero f 1 = 4x 1 + x 1 2 +8 (180-x 1) + (180-x 1) 2

Calcola o 4x 1 -364 = 0,

da cui abbiamo x 1 * = 91, x 2 * = 89.

Risposta: il numero di prodotti fabbricati con il primo metodo è pari a x 1 = 91, con il secondo metodo x 2 = 89, mentre il valore della funzione obiettivo è di 17278 rubli.

Metodo del moltiplicatoreLagrange(nella letteratura inglese il metodo "LaGrange" dei moltiplicatori indeterminati") è un metodo numerico per la risoluzione di problemi di ottimizzazione, che consente di determinare l'estremo "condizionale" della funzione obiettivo (valore minimo o massimo)

in presenza di restrizioni specificate sulle sue variabili sotto forma di uguaglianze (cioè, viene determinato l'intervallo di valori ammissibili)

˗ questi sono i valori dell'argomento della funzione (parametri controllati) sul dominio reale in corrispondenza del quale il valore della funzione tende a un estremo. L'uso del nome estremo "condizionale" è dovuto al fatto che alle variabili viene imposta una condizione aggiuntiva, che limita l'intervallo di valori ammissibili durante la ricerca dell'estremo di una funzione.

Il metodo del moltiplicatore di Lagrange consente di trasformare il problema di trovare l'estremo condizionale della funzione obiettivo sull'insieme dei valori ammissibili al problema di ottimizzazione non vincolata della funzione.

Nel caso in cui le funzioni e sono continue insieme alle loro derivate parziali, allora esistono tali variabili λ contemporaneamente diverse da zero, per le quali è soddisfatta la seguente condizione:

Quindi, in accordo con il metodo del moltiplicatore di Lagrange, per cercare l'estremo della funzione obiettivo sull'insieme dei valori ammissibili, compongo la funzione di Lagrange L (x, λ), che viene ulteriormente ottimizzata:

dove è un vettore di variabili aggiuntive, chiamate moltiplicatori di Lagrange indefiniti.

Quindi, il problema di trovare l'estremo condizionale della funzione f (x) è stato ridotto al problema di trovare l'estremo incondizionato della funzione L (x, λ).

e

La condizione necessaria per l'estremo della funzione di Lagrange è data da un sistema di equazioni (il sistema è costituito da equazioni "n + m"):

La soluzione di questo sistema di equazioni consente di determinare gli argomenti della funzione (X), per i quali il valore della funzione L (x, ), nonché il valore della funzione obiettivo f (x) corrispondono a l'estremo.

Il valore dei moltiplicatori di Lagrange (λ) è di interesse pratico se i vincoli sono presentati nella forma con un termine libero dell'equazione (costante). In questo caso è possibile considerare ulteriormente (aumentare/diminuire) il valore della funzione obiettivo modificando il valore della costante nel sistema di equazioni. Pertanto, il moltiplicatore di Lagrange caratterizza il tasso di variazione del massimo della funzione obiettivo quando cambia la costante limite.

Esistono diversi modi per determinare la natura dell'estremo della funzione risultante:

Primo modo: siano le coordinate del punto estremo e - il valore corrispondente della funzione obiettivo. Si prende un punto vicino al punto e si calcola il valore della funzione obiettivo:

Se , allora ha luogo un massimo nel punto.

Se , allora c'è un minimo nel punto.

Secondo metodo: Una condizione sufficiente da cui si può ricavare la natura dell'estremo è il segno del secondo differenziale della funzione di Lagrange. Il secondo differenziale della funzione di Lagrange è definito come segue:

Se in un dato punto minimo, Se , allora la funzione obiettivo f (x) a questo punto ha un condizionale massimo.

Il terzo modo: Inoltre, la natura dell'estremo della funzione può essere trovata considerando l'Assia della funzione di Lagrange. La matrice hessiana è una matrice quadrata simmetrica delle seconde derivate parziali della funzione nel punto in cui gli elementi della matrice sono simmetrici rispetto alla diagonale principale.

Per determinare il tipo di estremo (massimo o minimo di una funzione), puoi usare la regola di Sylvester:

1. Perché il secondo differenziale della funzione di Lagrange sia positivo è necessario che i minori angolari della funzione siano positivi. In tali condizioni, la funzione a questo punto ha un minimo.

2. Perché il secondo differenziale della funzione di Lagrange sia negativo , è necessario che i minori angolari della funzione si alternino, e il primo elemento della matrice sia negativo sv. In tali condizioni, la funzione a questo punto ha un massimo.

Per minore angolare intendiamo un minore situato nelle prime k righe e k colonne della matrice originale.

Il principale valore pratico del metodo Lagrange è che consente di passare dall'ottimizzazione condizionale a quella incondizionata e, di conseguenza, espandere l'arsenale di metodi disponibili per risolvere il problema. Tuttavia, il problema di risolvere il sistema di equazioni a cui questo metodo è ridotto non è, nel caso generale, più semplice del problema originale di trovare un estremo. Tali metodi sono chiamati indiretti. Il loro uso si spiega con la necessità di ottenere una soluzione a un problema estremale in forma analitica (ad esempio, per alcuni calcoli teorici). Quando si risolvono problemi pratici specifici, vengono solitamente utilizzati metodi diretti basati su processi iterativi di calcolo e confronto dei valori delle funzioni ottimizzate.

Metodo di calcolo

Passo 1: Determinare la funzione di Lagrange da una data funzione obiettivo e un sistema di vincoli:

Inoltrare

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METODO LAGRANGE

Il metodo per ridurre una forma quadratica a una somma dei quadrati indicato nel 1759 da J. Lagrange. Lascia che sia dato

da variabili x 0 , X 1 , ..., x n. con coefficienti del campo K caratteristiche È necessario portare questa forma a canonica. mente

utilizzando una trasformazione lineare non degenere di variabili. L. m. è il seguente. Si può assumere che non tutti i coefficienti della forma (1) siano uguali a zero. Pertanto, sono possibili due casi.

1) Per alcuni G, diagonale Allora

dove la forma f 1 (x) non contiene la variabile x gr. 2) Se tutto ma poi

dove la forma f 2 (x) non contiene due variabili x g e x h. Le forme sotto i quadrati in (4) sono linearmente indipendenti. Applicando trasformazioni della forma (3) e (4), la forma (1) dopo un numero finito di passi si riduce alla somma dei quadrati di forme lineari linearmente indipendenti. Con l'aiuto delle derivate parziali, le formule (3) e (4) possono essere scritte nella forma

Illuminato.: Gantmakher F. R., Teoria delle matrici, 2a ed., Mosca, 1966; A. G. Kurosh, Corso di Algebra Superiore, 11a ed., Mosca, 1975; Aleksandrov P.S., Lezioni sulla geometria analitica ..., Mosca, 1968. I.V. Proskuryakov.

Enciclopedia della matematica. - M .: Enciclopedia sovietica... I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Guarda cos'è il "METODO LAGRANGE" in altri dizionari:

Metodo di Lagrange- Metodo di Lagrange - un metodo per risolvere una serie di classi di problemi di programmazione matematica trovando il punto di sella (x *, λ *) della funzione di Lagrange, che si ottiene eguagliando a zero le derivate parziali di questa funzione rispetto a . .. ... Dizionario di economia e matematica

Metodo di Lagrange- Un metodo per risolvere alcune classi di problemi di programmazione matematica trovando il punto di sella (x *,? *) della funzione di Lagrange, che si ottiene eguagliando a zero le derivate parziali di tale funzione rispetto a xi e? . Vedi Lagrangiana. )