بخش جعبه ابزار منطق فازی. S.D.Shtovba

در بحث غیررسمی خود درباره مفهوم متغیر زبانی در §1، بیان کردیم که یک متغیر زبانی با یک متغیر عددی تفاوت دارد زیرا مقادیر آن اعداد نیستند، بلکه کلمات یا جملات در یک زبان طبیعی یا رسمی هستند. از آنجایی که کلمات عموماً دقت کمتری نسبت به اعداد دارند، مفهوم متغیر زبانی امکان تقریب پدیده‌هایی را فراهم می‌کند که به قدری پیچیده هستند که نمی‌توان آن‌ها را با شرایط کمی متعارف توصیف کرد. به طور خاص، یک مجموعه فازی، که یک محدودیت مرتبط با مقادیر یک متغیر زبانی است، می تواند به عنوان یک ویژگی جمعی از زیر کلاس های مختلف عناصر یک مجموعه جهانی در نظر گرفته شود. از این نظر نقش مجموعه های فازیشبیه نقشی که کلمات و جملات در زبان طبیعی بازی می کنند. مثلاً صفت زیبامجموعه ای از ویژگی های ظاهر یک فرد را منعکس می کند. این صفت را می توان به عنوان نام یک مجموعه فازی نیز در نظر گرفت که محدودیتی است که توسط یک متغیر فازی اعمال می شود. زیبا. از این دیدگاه، اصطلاحات بسیار زیبا, زشت, بی نهایت زیبا, بسیار زیباو غیره - نام مجموعه های فازی که با عمل اصلاح کننده ها تشکیل شده اند خیلی, نه, فوق العاده, کاملاو غیره در یک مجموعه فازی زیبا. در اصل این مجموعه های فازی به همراه مجموعه فازی زیبا نقش مقادیر یک متغیر زبانی را ایفا می کنند. ظاهر.

یک جنبه مهم مفهوم متغیر زبانی این است که متغیر مرتبه بالاتری نسبت به متغیر فازی است به این معنا که مقادیر یک متغیر زبانی متغیرهای فازی هستند. به عنوان مثال، مقادیر متغیر زبانی سنمی تواند: جوان، میانسال، پیر، بسیار پیر، میانسال و نه پیر، کاملاً پیرهر یک از این مقادیر نام یک متغیر فازی است. اگر نام یک متغیر فازی است، محدودیت اعمال شده توسط این نام را می توان به معنای متغیر فازی تفسیر کرد. بنابراین، اگر محدودیت ناشی از متغیر فازی قدیمی، یک زیر مجموعه فازی از مجموعه ای از فرم ها است

, , (5.1)

یکی دیگر از جنبه های مهم مفهوم متغیر زبانی این است که یک متغیر زبانی با دو قانون مطابقت دارد: (1) یک قاعده نحوی، که می تواند به شکل دستور زبان ارائه شود که نام مقادیر متغیر را ایجاد می کند. (2) یک قانون معنایی که یک روش الگوریتمی را برای محاسبه معنای هر مقدار مشخص می کند. این قوانین بخش اساسی از توصیف ساختار یک متغیر زبانی را تشکیل می دهند.

برنج. 5.1. توابع سازگاری برای مقادیر و .

از آنجایی که یک متغیر زبانی متغیری با مرتبه بالاتر از متغیر فازی است، توصیف آن باید پیچیده تر از توصیف متغیر فازی ارائه شده در تعریف 4.1 باشد.

تعریف 5.1.یک متغیر زبانی با یک مجموعه مشخص می شود ، که در آن نام متغیر است. (یا به سادگی) مجموعه ای از اصطلاحات از یک متغیر را نشان می دهد، به عنوان مثال، مجموعه ای از نام های مقادیر زبانی یک متغیر، که هر یک از این مقادیر یک متغیر فازی با مقادیر از یک مجموعه جهانی با یک متغیر پایه است. ; - یک قاعده نحوی (معمولاً به شکل دستور زبان است) که نام مقادیر متغیر را ایجاد می کند و - یک قانون معنایی که هر متغیر فازی را با معنای آن مرتبط می کند، به عنوان مثال، یک زیر مجموعه فازی از مجموعه جهانی. نام خاصایجاد شده توسط یک قاعده نحوی اصطلاح نامیده می شود. اصطلاح متشکل از یک کلمه یا چند کلمه که همیشه با هم ظاهر می شوند اصطلاح اتمی نامیده می شود. اصطلاحی که از یک یا چند عبارت اتمی تشکیل شده باشد اصطلاح مرکب نامیده می شود. الحاق برخی از اجزای یک عبارت مرکب یک زیرترم است. اگر اصطلاحات در هستند، آنگاه می توان آنها را به عنوان یک اتحادیه نشان داد

(5.2)

اگر لازم باشد به صراحت نشان دهیم که چه چیزی توسط دستور زبان ایجاد شده است، می نویسیم.

معنای یک اصطلاح به عنوان یک محدودیت در یک متغیر پایه که توسط یک متغیر فازی شرطی شده است تعریف می شود:

, (5.3)

در نظر داشته باشید که و بنابراین، می تواند به عنوان زیرمجموعه فازی مجموعه ای با نام در نظر گرفته شود. رابطه بین معنای زبانی آن و متغیر زیربنایی در شکل 1 نشان داده شده است. 1.3.

تبصره 5.2.به منظور اجتناب از مقدار زیادنمادها، مناسب است که برای رفع ابهامات احتمالی، معانی متعددی به برخی از نمادهای ظاهر شده در تعریف 5.1 اختصاص دهیم. به خصوص:

الف) اغلب از نماد برای نشان دادن نام خود متغیر و نام کلی مقادیر آن استفاده می کنیم. به همین ترتیب، هم نام کلی مقادیر متغیر و هم نام خود متغیر را نشان خواهد داد.

ب) از همین علامت برای نشان دادن مجموعه و نام آن استفاده خواهیم کرد. بنابراین، نمادها، و قابل تعویض خواهند بود، اگرچه، به طور دقیق، به عنوان یک نام (یا ) با یک مجموعه فازی یکسان نیست. به عبارت دیگر، وقتی می گوییم که یک اصطلاح (مثلاً جوان)یک مقدار متغیر وجود دارد (به عنوان مثال، سن) پس منظور ما این است ارزش واقعیاست، a فقط نام این مقدار است.

مثال 5.3. سن، یعنی , رهایش کن . معنای زبانی متغیر سنشاید مثلاً قدیمی، و ارزش قدیمییک اصطلاح اتمی است. معنی دیگری می تواند باشد خیلی قدیمی، یعنی یک اصطلاح مرکب که در آن قدیمی -اصطلاح اتمی و خیلیو قدیمی- زیرمجموعه ها

معنی کم و بیش جوانمتغیر سن -اصطلاح مرکب که در آن اصطلاح جوان -اتمی و کم و بیش، تقریبا- زیرمجموعه مجموعه مدت متغیر سنرا می توان به صورت زیر نوشت:

(5.4)

در اینجا، هر عبارت نام یک متغیر فازی در مجموعه جهانی است. محدودیت تحمیل شده توسط این اصطلاح، مثلاً، معنای معنای زبانی است قدیمی. بنابراین، اگر مطابق (5.1) تعیین شود، معنای معنای زبانی است قدیمیبا بیان مشخص می شود

, (5.5)

یا ساده تر (به تبصره 5.2 مراجعه کنید)

. (5.6)

به همین ترتیب، معنای چنین معنای زبانی مانند خیلی قدیمیرا می توان به صورت زیر بیان کرد (شکل 5.1 را ببینید):

معادله انتساب در مورد یک متغیر زبانی شکل می گیرد

از اینجا نتیجه می شود که معنایی که به این اصطلاح اختصاص داده شده با برابری بیان می شود

به عبارت دیگر، معنای یک اصطلاح با اعمال یک قاعده معنایی به معنای اصطلاح اختصاص داده شده مطابق سمت راست معادله (5.8) به دست می آید. علاوه بر این، از تعریف (5.3) چنین بر می آید که با محدودیت ناشی از اصطلاح یکسان است.

نکته 5.4.مطابق با تبصره 5.2 (a)، معادله انتساب معمولاً به صورت نوشته می شود

, (5.10)

درک این موضوع به گونه ای که قدیمی- محدودیت در مقادیر متغیر پایه، تعریف شده توسط (5.1)، - اختصاص داده شده به متغیر زبانی سن. توجه به این نکته مهم است که علامت مساوی در (5.10) یک رابطه متقارن را نشان نمی دهد، مانند مورد تساوی حسابی. بنابراین، نوشتن (5.11) در فرم معنی ندارد

برای تشریح مفهوم متغیر زبانی، ابتدا یک مثال بسیار ساده را در نظر می گیریم که در آن فقط عدد کوچکاصطلاحات و قواعد نحوی و معنایی بی اهمیت هستند.

مثال 5.5.متغیر زبانی را در نظر بگیرید عدد، که مجموعه جمله متناهی آن دارای فرم است

که در آن هر عبارت یک محدودیت در مقادیر متغیر پایه در مجموعه جهانی را نشان می دهد

فرض بر این است که این محدودیت ها زیرمجموعه های فازی مجموعه هستند و به صورت زیر تعریف می شوند:

، (5.15) با محدودیت باینری تقریبا برابر

برای اختصاص یک مقدار، فرض کنید تقریبا برابرمتغیر زبانی، می نویسیم

که در آن، مانند (5.18)، به این معنی است که یک رابطه فازی باینری به عنوان مقدار متغیر اختصاص داده شده است. تقریبا برابر، که یک محدودیت باینری بر روی مقادیر متغیر پایه در مجموعه جهانی (5.20) است.

برنج. 5.2. قیاس کیسه فرش برای یک متغیر زبانی

نکته 5.7.با استفاده از تشبیه کیسه مسافرتی (نگاه کنید به تبصره 4.3)، یک متغیر زبانی به معنای تعریف 5.1 را می توان به یک کیسه مسافرتی سخت تشبیه کرد که کیسه های مسافرتی نرم را می توان در آن قرار داد، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 5.2. کیسه نرم مربوط به یک متغیر فازی است که مقدار زبانی متغیر است و نقش یک برچسب روی کیسه نرم را بازی می کند.

مجموعه های فازی متغیر زبانی منطق فازی. خروجی فازی قانون استنتاج ترکیبی

(خلاصه)

مفهوم مجموعه فازی (FS) مبتنی بر این ایده است که عناصر یک مجموعه خاص که دارای ویژگی مشترک هستند، می توانند درجات مختلفی از انحطاط این ویژگی و در نتیجه درجات متفاوتی از تعلق به این ویژگی داشته باشند.

اجازه دهید کمی مجموعه باشید. مجموعه فازی Ã در U مجموعه ای از جفت های شکل ((µ Ã (u)، u))، که در آن u U، µ Ã است.

مقدار μ Ã را درجه عضویت یک شی در مجموعه فازی U می نامند.

μ Ã : U 

µÃ – تابع عضویت نامیده می شود.

نمونه ای از مجموعه های فازی سن افراد است (شکل 19.1).

بر اساس قیاس با نظریه مجموعه سنتی، عملیات زیر در نظریه NM تعریف شده است:

یک انجمن:

، جایی که

فهرست بندی:

,

اضافه شدن:

محصول جبری:

، جایی که

یک رابطه فازی n-ary که بر روی مجموعه ها تعریف شده است، یک زیر مجموعه فازی از محصولات دکارتی است

از آنجایی که یک رابطه فازی یک مجموعه است، تمام عملیات تعریف شده برای مجموعه های فازی برای آن معتبر هستند. در کاربردهای عملی تئوری مجموعه های فازی نقش مهمعملیات ترکیب روابط فازی را بازی می کند.

ترکیب روابط فازی

بگذارید 2 رابطه فازی دو مکان داده شود:

ترکیب روابط فازی با عبارت زیر تعیین می شود:

درجات عضویت عبارات خاص

یک متغیر زبانی پنج قلو X - نام متغیر (سن)، U - مجموعه پایه (0…150)، T(x) - اصطلاح مجموعه است. معانی زبانی متعدد (جوان، میانسال، مسن، پیر). هر مقدار زبانی یک برچسب از یک مجموعه فازی است که در U تعریف شده است. G یک قانون نحوی است که یک مقدار زبانی متغیر X (بسیار جوان، بسیار قدیمی) را ایجاد می کند. M یک قاعده معنایی است که هر معنای زبانی را با یک زیرمجموعه فازی از مجموعه پایه، یعنی تابع عضویت، مرتبط می کند.

یک عبارت فازی عبارتی است که در رابطه با آن این لحظهزمان می توان در مورد میزان صدق یا نادرستی آن قضاوت کرد. حقیقت در بازه یک مقدار می گیرد. یک عبارت فازی که اجازه تقسیم به موارد ساده تر را نمی دهد، ابتدایی نامیده می شود.

یک دستور فازی که بر روی موارد ابتدایی با استفاده از اتصالات منطقی ساخته شده است، دستور فازی مرکب نامیده می شود. اتصالات منطقی با عملیات مربوط به صدق عبارات فازی مطابقت دارند. - درجه صدق عبارات خاص.

1)

2)

بنابراین، جبر مجموعه های فازی با جبر گزاره های فازی هم شکل است.

4) عملیات ضمنی

تعاریف متعددی برای عملکرد استلزام در منطق فازی ارائه شده است. پایه ای:

1)

2)

3)

5) هم ارزی

یک گزاره فازی n مکان تعریف شده بر روی مجموعه های U 1 , U 2 ,…, U n عبارتی است که شامل متغیرهای هدف این مجموعه ها است و در هنگام جایگزینی متغیرهای هدف با عناصر مجموعه های U 1 , U 2 به عبارات فازی تبدیل می شود. ,…,U n .

اجازه دهید U 1 , U 2 ,…,U n مجموعه های پایه ای از متغیرهای زبانی باشند و نمادهای متغیرهای موضوعی ین متغیرهای زبانی باشند. سپس نمونه هایی از محمول های فازی عبارتند از:

"فشار سیلندر کم است" - محمول یک مکان

"دمای دیگ بخار به طور قابل توجهی بالاتر از دمای مبدل حرارتی است" یک محمول دوگانه است.

اگر U k = 1.5 بنابراین "فشار در دیگ کم است" = 0.7

هنگام ساخت و اجرای الگوریتم های فازی، قانون استنتاج ترکیبی نقش مهمی ایفا می کند.

اجازه دهید یک نقشه فازی باشد

سپس یک زیر مجموعه فازی از جهان U یک زیر مجموعه فازی در V ایجاد می کند

قاعده استنتاج ترکیبی مبنایی برای ساخت استنتاج منطقی در منطق فازی است.

اجازه دهید یک عبارت فازی  داده شود، مجموعه های فازی Where and are. اجازه دهید برخی بیانیه نیز داده شود (نزدیک به A، اما نه یکسان با آن).

در منطق کلاسیک قانون استنتاج Modus Ponens به طور گسترده ای استفاده می شود

این قانون در مورد منطق فازی به صورت زیر تعمیم می یابد:

اجازه دهید مجموعه و روی مجموعه پایه X و در مجموعه پایه Y تعریف شود. طبیعی است که فرض کنیم دستور if مقداری نگاشت فازی از مجموعه X تا Y را تعریف می کند.

سپس مطابق با قاعده استنتاج ترکیبی داریم:

این رابطه بر اساس تعریف عملیات ضمنی در منطق فازی ساخته شده است.

1)

اگر دمای دیگ کم باشد () ، گرمایش افزایش می یابد ()

الگوریتم های منطق فازی واقعی نه یک، بلکه قوانین تولید بسیاری را شامل می شوند

اگر S 1، سپس R 1، در غیر این صورت

اگر S n، R n، در غیر این صورت

بنابراین، روابط فازی باید برای هر قاعده منفرد ساخته شود و سپس با همپوشانی روی یکدیگر تجمیع شود

بسته به نوع مفهوم، حداقل یا حداکثر به عنوان یک عملیات تجمع انتخاب می شود.

هنگامی که خروجی فازی در حلقه کنترل یک شی واقعی استفاده می شود، یک عمل کنترل واضح باید برای شی صادر شود. بنابراین، لازم است مجموعه فازی تولید شده بر اساس قانون استنتاج ترکیبی به یک مقدار واضح تبدیل شود. به این روش، روش فازی سازی می گویند. دو روش متداول برای فاززدایی وجود دارد:

1) وسط "فلات"

2) مرکز ثقل، نقطه ای تعیین می شود که مساحت مجموعه فازی را به نصف تقسیم می کند.

2.9.1. تعریف.با استفاده از روش های تئوری مجموعه های فازی، مفاهیم معنایی توصیف می شوند، به عنوان مثال، برای مفهوم "قابلیت اطمینان یک گره" می توان چنین اجزایی را به عنوان "نه" تعریف کرد. ارزش بزرگقابلیت اطمینان گره، «اعتماد متوسط ​​گره»، «قابلیت اطمینان گره بزرگ»، که به عنوان مجموعه های فازی بر روی یک مجموعه پایه تعریف شده توسط تمام مقادیر ممکن مقادیر قابلیت اطمینان تعریف می شوند.

تعمیم توصیف متغیرهای زبانی از دیدگاه رسمی، معرفی متغیرهای فازی و زبانی است.

ن متغیر روشنسه گانه مجموعه نامیده می شود، جایی که آ- نام متغیر فازی، ایکس- دامنه تعریف، - زیرمجموعه فازی در مجموعه X، توصیف محدودیت ها در مقادیر ممکنمتغیر آ.

متغیر زبانیمجموعه ای از مجموعه ها نامیده می شود ، جایی که ب- نام متغیر زبانی، T(b)- مجموعه ای از مقادیر زبانی (کلامی) یک متغیر بکه به مجموعه اصطلاحی یک متغیر زبانی نیز گفته می شود، ایکس- دامنه، جی- یک قاعده نحوی به شکل دستور زبان که نام ها را ایجاد می کند aÎT(b)معانی کلامی متغیرهای زبانی ب, م- یک قانون معنایی که به هر متغیر فازی اختصاص می دهد آمجموعه فازی - معنای یک متغیر فازی آ.

از تعریف به دست می‌آید که متغیر زبانی متغیری است که در مقیاس کمی (قابل اندازه‌گیری) مشخص می‌شود و مقادیری را که کلمات یا عبارات زبان طبیعی ارتباط هستند می‌گیرد. متغیرهای فازی مقادیر یک متغیر زبانی را توصیف می کنند. در شکل شکل 2.20 رابطه بین مفاهیم اساسی را نشان می دهد.

بنابراین، متغیرهای زبانی را می توان برای توصیف مفاهیم دشوار رسمی در قالب یک توصیف کیفی و شفاهی استفاده کرد. هنگام توصیف یک متغیر زبانی و تمام مقادیر آن، با یک مقیاس کمی خاص همراه است که به قیاس با مجموعه پایه، گاهی اوقات مقیاس پایه نامیده می شود.

با استفاده از متغیرهای زبانی می توان اطلاعات کیفی را در سیستم های مدیریتی رسمی کرد که به صورت کلامی توسط متخصصان (متخصصان) تدوین می شود. این به شما امکان می دهد مدل های فازی سیستم های کنترل (کنترل کننده های فازی) بسازید.

2.9.2. نوع توابع عضویتاجازه دهید الزاماتی را که برای نوع توابع عضویت مجموعه‌های فازی که شرایط متغیرهای زبانی را توصیف می‌کنند، در نظر بگیریم.

اجازه دهید متغیر زبانی شامل یک مجموعه اصطلاح اساسی است T=(Ti)،. متغیر فازی مربوط به ترم T i, توسط مجموعه داده می شود , که در آن مجموعه فازی است . بیایید مجموعه را تعریف کنیم C iبه عنوان حامل یک مجموعه فازی. آن را فرض خواهیم کرد XÍR 1، جایی که R 1- مجموعه سفارش داده شده اعداد واقعی. اجازه دهید کران پایین مجموعه را مشخص کنیم ایکساز طریق infX=x 1، و حد بالایی است supX=x 2.

یک دسته از تیبر اساس بیان ترتیب دهید

"T i ,T j ÎT i>j«($xÎC i)("yÎC j)(x>y). (2.5)

عبارت (2.5) مستلزم آن است که عبارتی که دارای پشتیبان در سمت چپ است، عدد کمتری دریافت کند. سپس مجموعه اصطلاحی هر متغیر زبانی باید شرایط زیر را برآورده کند:

("T i ÎT)($xÎX)( ); (2.8)

("b)($x 1 ОR 1)($x 2 ОR 2)("xОX)(x 1 . (2.9)