ضرب یک ماتریس در یک عدد واقعی. ضرب یک ماتریس در یک عدد

این راهنما به شما کمک می کند تا یاد بگیرید که چگونه عملیات ماتریسی: جمع (تفریق) ماتریس ها، جابه جایی یک ماتریس، ضرب ماتریس ها، پیدا کردن معکوس یک ماتریس. تمام مطالب به شکل ساده و در دسترس ارائه شده است، نمونه های مرتبط آورده شده است، بنابراین حتی یک فرد ناآماده نیز می تواند نحوه انجام اقدامات با ماتریس ها را بیاموزد. برای خودکنترلی و خودآزمایی می توانید ماشین حساب ماتریسی را به صورت رایگان دانلود کنید >>>.

من سعی خواهم کرد محاسبات نظری را به حداقل برسانم، در برخی جاها توضیحات "روی انگشتان" و استفاده از اصطلاحات غیر علمی امکان پذیر است. دوستداران تئوری مستحکم لطفا وارد انتقاد نشوید، وظیفه ما این است یاد بگیرید چگونه با ماتریس کار کنید.

برای آماده سازی فوق سریع در مورد موضوع (چه کسی "سوخت") یک دوره فشرده pdf وجود دارد ماتریس، تعیین کننده و افست!

ماتریس یک جدول مستطیل شکل از برخی است عناصر. مانند عناصرما اعداد، یعنی ماتریس های عددی را در نظر خواهیم گرفت. عنصریک اصطلاح است مطلوب است که این اصطلاح را به خاطر بسپارید، اغلب اتفاق می افتد، تصادفی نیست که برای برجسته کردن آن از پررنگ استفاده کردم.

تعیین:ماتریس ها معمولا با حروف بزرگ لاتین نشان داده می شوند

مثال:ماتریس دو در سه را در نظر بگیرید:

این ماتریس از شش عدد تشکیل شده است عناصر:

همه اعداد (عناصر) داخل ماتریس به تنهایی وجود دارند، یعنی هیچ بحثی در مورد تفریق وجود ندارد:

این فقط یک جدول (مجموعه) از اعداد است!

ما نیز به توافق خواهیم رسید تنظیم مجدد نکنیدشماره، مگر اینکه در توضیح دیگری ذکر شده باشد. هر عدد مکان مخصوص به خود را دارد و شما نمی توانید آنها را به هم بزنید!

ماتریس مورد نظر دارای دو ردیف است:

و سه ستون:

استاندارد: وقتی در مورد ابعاد ماتریس صحبت می کنیم، پس اولینتعداد ردیف ها را نشان می دهد، و تنها پس از آن - تعداد ستون ها. ما به تازگی ماتریس دو در سه را تجزیه کردیم.

اگر تعداد سطرها و ستون های یک ماتریس یکسان باشد، ماتریس نامیده می شود. مربع، مثلا: یک ماتریس سه در سه است.

اگر ماتریس دارای یک ستون یا یک ردیف باشد، چنین ماتریس هایی نیز نامیده می شوند بردارها.

در واقع مفهوم ماتریس را از دوران مدرسه می دانیم، مثلاً نقطه ای با مختصات "x" و "y" را در نظر بگیرید: . اساساً مختصات یک نقطه در یک ماتریس یک به دو نوشته می شود. به هر حال، در اینجا یک مثال برای شما آورده شده است که چرا ترتیب اعداد مهم است: و دو نقطه کاملاً متفاوت از هواپیما هستند.

حالا بیایید به مطالعه بپردازیم. عملیات ماتریسی:

1) اقدام اول. حذف یک منهای از یک ماتریس (معرفی منهای به یک ماتریس).

بازگشت به ماتریس ما . همانطور که احتمالا متوجه شدید، اعداد منفی بیش از حد در این ماتریس وجود دارد. این از نظر انجام اقدامات مختلف با ماتریس بسیار ناخوشایند است، نوشتن این همه منفی ناخوشایند است و فقط در طراحی زشت به نظر می رسد.

اجازه دهید منهای را با تغییر علامت هر عنصر ماتریس به خارج از ماتریس منتقل کنیم:

در صفر، همانطور که می دانید، علامت تغییر نمی کند، صفر - در آفریقا نیز صفر است.

مثال معکوس: . زشت به نظر می رسد

با تغییر علامت هر عنصر ماتریس، یک منهای وارد ماتریس می کنیم:

خب خیلی زیباتره و مهمتر از همه، انجام هر عملی با ماتریس آسانتر خواهد بود. زیرا چنین علامت عامیانه ریاضی وجود دارد: منفی بیشتر - سردرگمی و خطا بیشتر.

2) اقدام دو ضرب یک ماتریس در یک عدد.

مثال:

ساده است، برای ضرب یک ماتریس در یک عدد، شما نیاز دارید هر یکعنصر ماتریس را در عدد داده شده ضرب کنید. در این مورد، سه.

مثال مفید دیگر:

- ضرب یک ماتریس در کسری

بیایید ابتدا ببینیم چه باید کرد نیازی نیست:

وارد کردن کسری در ماتریس ضروری نیست، اولاً فقط اقدامات بعدی با ماتریس را دشوار می کند و ثانیاً بررسی راه حل را برای معلم دشوار می کند (مخصوصاً اگر - پاسخ نهایی کار).

و به خصوص، نیازی نیستهر عنصر ماتریس را بر منهای هفت تقسیم کنید:

از مقاله ریاضیات برای آدمک‌ها یا از کجا شروع کنیم، به یاد داریم که کسرهای اعشاری با کاما در ریاضیات بالاتر به هر طریق ممکن سعی در اجتناب از آن دارند.

تنها چیزی مطلوببرای انجام در این مثال، درج یک منهای در ماتریس است:

اما اگر همهعناصر ماتریس بر 7 تقسیم شدند بدون باقیمانده، در این صورت تقسیم ممکن (و ضروری!) خواهد بود.

مثال:

در این صورت می توانید نیاز بههمه عناصر ماتریس را در ضرب کنید، زیرا همه اعداد ماتریس بر 2 بخش پذیر هستند. بدون باقیمانده.

نکته: در نظریه ریاضیات عالی، مفهوم مدرسه ای «تقسیم» وجود ندارد. به جای عبارت "این بر این تقسیم می شود" همیشه می توانید بگویید "این در کسری ضرب می شود." یعنی تقسیم یک مورد خاص از ضرب است.

3) اقدام سوم. جابجایی ماتریس.

برای جابجایی یک ماتریس، باید ردیف های آن را در ستون های ماتریس جابجا شده بنویسید.

مثال:

ماتریس را جابجا کنید

در اینجا فقط یک خط وجود دارد و طبق قانون باید در یک ستون نوشته شود:

ماتریس جابجا شده است.

ماتریس جابجا شده معمولاً با یک بالانویس یا یک ضربه در بالا سمت راست نشان داده می شود.

مثال گام به گام:

ماتریس را جابجا کنید

ابتدا سطر اول را در ستون اول بازنویسی می کنیم:

سپس ردیف دوم را در ستون دوم بازنویسی می کنیم:

و در نهایت، ردیف سوم را در ستون سوم بازنویسی می کنیم:

آماده. به طور کلی، جابجایی به معنای چرخاندن ماتریس به سمت آن است.

4) عمل چهارم. مجموع (تفاوت) ماتریس ها.

مجموع ماتریس ها یک عملیات ساده است.
همه ماتریس ها را نمی توان تا کرد. برای انجام جمع (تفریق) ماتریس ها، لازم است که SME SIZE باشند.

به عنوان مثال، اگر یک ماتریس دو در دو داده شود، فقط می توان آن را به یک ماتریس دو در دو اضافه کرد و نه دیگری!

مثال:

ماتریس ها را اضافه کنید و

برای اضافه کردن ماتریس ها، باید عناصر مربوط به آنها را اضافه کنید:

برای تفاوت ماتریس ها، قانون مشابه است، لازم است تفاوت عناصر مربوطه را پیدا کنید.

مثال:

تفاوت ماتریس ها را پیدا کنید ,

و چگونه این مثال را راحت تر حل کنیم تا گیج نشویم؟ توصیه می شود از شر موارد منفی غیر ضروری خلاص شوید ، برای این کار یک منهای به ماتریس اضافه می کنیم:

نکته: در نظریه ریاضیات عالی، مفهوم مکتبی از «تفریق» وجود ندارد. به جای عبارت "از این کم کن" همیشه می توانید بگویید "یک عدد منفی به این اضافه کنید". یعنی تفریق حالت خاصی از جمع است.

5) عمل پنجم. ضرب ماتریس.

چه ماتریس هایی را می توان ضرب کرد؟

برای اینکه یک ماتریس در یک ماتریس ضرب شود، به طوری که تعداد ستون های ماتریس برابر با تعداد ردیف های ماتریس باشد..

مثال:
آیا می توان یک ماتریس را در یک ماتریس ضرب کرد؟

بنابراین، می توانید داده های ماتریس را ضرب کنید.

اما اگر ماتریس ها دوباره مرتب شوند، در این صورت، دیگر ضرب امکان پذیر نیست!

بنابراین، ضرب غیرممکن است:

زمانی که از دانش آموز خواسته می شود که ماتریس هایی را ضرب کند که ضرب آنها بدیهی است غیرممکن است، برای کارهایی که دارای یک ترفند هستند، غیر معمول نیست.

لازم به ذکر است که در برخی موارد امکان ضرب ماتریس به هر دو صورت وجود دارد.
به عنوان مثال، برای ماتریس ها، هم ضرب و هم ضرب امکان پذیر است

سال اول ریاضی عالی تحصیل ماتریس هاو اقدامات اساسی بر روی آنها. در اینجا ما عملیات اصلی را که می توان با ماتریس ها انجام داد، سیستماتیک می کنیم. چگونه با ماتریس ها شروع کنیم؟ البته، از ساده ترین - تعاریف، مفاهیم اساسی و ساده ترین عملیات. ما به شما اطمینان می دهیم که ماتریس ها توسط هر کسی که حداقل زمان کمی را به آنها اختصاص دهد قابل درک خواهد بود!

تعریف ماتریس

ماتریسیک جدول مستطیل شکل از عناصر است. خوب، اگر به زبان ساده - جدول اعداد.

ماتریس ها معمولا با حروف لاتین بزرگ نشان داده می شوند. به عنوان مثال، ماتریس آ ، ماتریس ب و غیره. ماتریس ها می توانند اندازه های مختلفی داشته باشند: مستطیل، مربع، همچنین ماتریس های ردیفی و ماتریس های ستونی به نام بردار وجود دارد. اندازه ماتریس با تعداد سطرها و ستون ها تعیین می شود. به عنوان مثال، اجازه دهید یک ماتریس مستطیل شکل بنویسیم متر بر روی n ، جایی که متر تعداد خطوط است و n تعداد ستون ها است.

عناصری که برای آنها i=j (a11، a22، .. ) قطر اصلی ماتریس را تشکیل می دهند و مورب نامیده می شوند.

با ماتریس ها چه کاری می توان انجام داد؟ جمع/ تفریق, ضرب در عدد, بین خودشان تکثیر کنند, جابجا کردن. اکنون در مورد تمام این عملیات اساسی روی ماتریس ها به ترتیب.

عملیات جمع و تفریق ماتریس

ما بلافاصله به شما هشدار می دهیم که فقط می توانید ماتریس هایی با همان اندازه اضافه کنید. نتیجه یک ماتریس با همان اندازه است. اضافه کردن (یا تفریق) ماتریس ها آسان است - فقط عناصر مربوطه خود را اضافه کنید . بیایید یک مثال بزنیم. بیایید جمع دو ماتریس A و B به اندازه دو در دو را انجام دهیم.

تفریق با قیاس، فقط با علامت مخالف انجام می شود.

هر ماتریسی را می توان در یک عدد دلخواه ضرب کرد. برای انجام این، باید هر یک از عناصر آن را در این عدد ضرب کنید. به عنوان مثال، اجازه دهید ماتریس A را از مثال اول در عدد 5 ضرب کنیم:

عملیات ضرب ماتریس

همه ماتریس ها را نمی توان با یکدیگر ضرب کرد. به عنوان مثال، ما دو ماتریس داریم - A و B. فقط در صورتی می توان آنها را در یکدیگر ضرب کرد که تعداد ستون های ماتریس A برابر با تعداد ردیف های ماتریس B باشد. هر عنصر از ماتریس به دست آمده در ردیف i و ستون j برابر است با مجموع حاصل از عناصر مربوطه در ردیف i ضریب اول و ستون j از عامل دوم.. برای درک این الگوریتم، بیایید نحوه ضرب دو ماتریس مربع را بنویسیم:

و یک مثال با اعداد واقعی. بیایید ماتریس ها را ضرب کنیم:

عملیات انتقال ماتریس

جابه‌جایی ماتریس عملیاتی است که در آن سطرها و ستون‌های مربوطه با هم عوض می‌شوند. به عنوان مثال، ماتریس A را از مثال اول جابجا می کنیم:

تعیین کننده ماتریس

دترمینان، ای تعیین کننده، یکی از مفاهیم اساسی جبر خطی است. روزی روزگاری مردم معادلات خطی را به وجود می آوردند و بعد از آنها باید یک تعیین کننده اختراع می کردند. در نهایت، این شما هستید که باید با همه اینها کنار بیایید، بنابراین آخرین فشار!

تعیین کننده یک مشخصه عددی یک ماتریس مربع است که برای حل بسیاری از مسائل مورد نیاز است.
برای محاسبه تعیین کننده ساده ترین ماتریس مربع، باید تفاوت بین حاصلضرب عناصر مورب اصلی و فرعی را محاسبه کنید.

تعیین کننده یک ماتریس مرتبه اول، یعنی متشکل از یک عنصر، برابر با این عنصر است.

اگر ماتریس سه در سه باشد چه؟ این سخت تر است، اما می توان آن را انجام داد.

برای چنین ماتریسی، مقدار دترمینان برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر مورب اصلی و حاصلضرب عناصری که روی مثلث هایی با وجهی موازی با مورب اصلی قرار دارند، که حاصل ضرب عناصر از آن است. از مورب ثانویه و حاصل ضرب عناصری که روی مثلث هایی با وجهی موازی با قطر ثانویه قرار دارند، کم می شود.

خوشبختانه، در عمل به ندرت نیاز به محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های بزرگ است.

در اینجا ما عملیات اساسی روی ماتریس ها را در نظر گرفته ایم. البته، در زندگی واقعی، شما هرگز نمی توانید حتی با اشاره ای به یک سیستم ماتریسی از معادلات مواجه شوید، یا برعکس، ممکن است با موارد بسیار پیچیده تری مواجه شوید که واقعاً مجبور باشید مغز خود را درهم بکوبید. برای چنین مواردی است که خدمات دانشجویی حرفه ای وجود دارد. کمک بخواهید، راه حلی با کیفیت و دقیق دریافت کنید، از موفقیت تحصیلی و اوقات فراغت لذت ببرید.

این مبحث شامل عملیات هایی مانند جمع و تفریق ماتریس ها، ضرب یک ماتریس در عدد، ضرب یک ماتریس در یک ماتریس، جابجایی ماتریس می شود. تمام علائم استفاده شده در این صفحه از مبحث قبلی گرفته شده است.

جمع و تفریق ماتریس ها.

مجموع $A+B$ ماتریس های $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ماتریس $C_(m است. \times n) =(c_(ij))$، که $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ برای همه $i=\overline(1,m)$ و $j=\overline( 1، n) دلار.

تعریف مشابهی برای تفاوت ماتریس ها ارائه شده است:

تفاوت $AB$ ماتریس‌های $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ماتریس $C_(m\times است. n)=(c_(ij))$، که در آن $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ برای همه $i=\overline(1,m)$ و $j=\overline(1، n) دلار.

توضیح برای ورودی $i=\overline(1,m)$: show\hide

ورودی "$i=\overline(1,m)$" به این معنی است که پارامتر $i$ از 1 به m تغییر می کند. به عنوان مثال، ورودی $i=\overline(1,5)$ می گوید که پارامتر $i$ مقادیر 1، 2، 3، 4، 5 را می گیرد.

شایان ذکر است که عملیات جمع و تفریق فقط برای ماتریس هایی با اندازه یکسان تعریف می شود. به طور کلی، جمع و تفریق ماتریس ها عملیاتی هستند که به طور شهودی واضح هستند، زیرا در واقع به معنای جمع یا تفریق عناصر مربوطه هستند.

مثال شماره 1

سه ماتریس داده شده است:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (cccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

آیا می توان ماتریس $A+F$ را پیدا کرد؟ اگر $C=A+B$ و $D=A-B$، ماتریس‌های $C$ و $D$ را پیدا کنید.

ماتریس $A$ شامل 2 سطر و 3 ستون است (به عبارت دیگر، اندازه ماتریس $A$ 2 $\ برابر 3 $ است) و ماتریس $F$ شامل 2 سطر و 2 ستون است. ابعاد ماتریس $A$ و $F$ مطابقت ندارند، بنابراین ما نمی توانیم آنها را اضافه کنیم. عملیات $A+F$ برای این ماتریس ها تعریف نشده است.

اندازه ماتریس های $A$ و $B$ یکسان است، یعنی. داده های ماتریس شامل تعداد مساوی سطر و ستون است، بنابراین عملیات جمع برای آنها قابل اجرا است.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (cc -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 و 9 و -22 \end(آرایه) \راست) $$

ماتریس $D=A-B$ را پیدا کنید:

$$ D=AB=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 و 9 و 6 \end(آرایه) \راست) $$

پاسخ: $C=\left(\begin(array) (cccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (cc) -11 و 23 و -97 \\ 2 و 9 و 6 \end(آرایه) \راست)$.

ضرب یک ماتریس در یک عدد

حاصلضرب ماتریس $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و عدد $\alpha$ ماتریس $B_(m\times n)=(b_(ij))$ است که $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ برای همه $i=\overline(1,m)$ و $j=\overline(1,n)$.

به عبارت ساده، ضرب یک ماتریس در یک عدد به معنای ضرب هر عنصر از ماتریس داده شده در آن عدد است.

مثال شماره 2

یک ماتریس داده می شود: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. ماتریس‌های $3\cdot A$، $-5\cdot A$ و $-A$ را پیدا کنید.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( آرایه) (cccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (آرایه) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(آرایه) \راست). $$

علامت $-A$ مخفف $-1\cdot A$ است. یعنی برای پیدا کردن $-A$ باید تمام عناصر ماتریس $A$ را در (-1) ضرب کنید. در واقع، این بدان معنی است که علامت همه عناصر ماتریس $A$ به عکس تغییر خواهد کرد:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

پاسخ: $3\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

حاصل ضرب دو ماتریس

تعریف این عملیات دست و پا گیر و در نگاه اول نامفهوم است. بنابراین، ابتدا به یک تعریف کلی اشاره می کنم و سپس به طور مفصل به معنای و نحوه کار با آن می پردازیم.

حاصلضرب ماتریس $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و ماتریس $B_(n\times k)=(b_(ij))$ ماتریس $C_(m\times k است. )=(c_( ij))$، که برای آن هر عنصر $c_(ij)$ برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر مربوط به ردیف iام ماتریس $A$ و عناصر j-امین ستون ماتریس $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m)، j=\overline(1,n).$$

گام به گام ضرب ماتریس ها را با استفاده از یک مثال تجزیه و تحلیل می کنیم. با این حال، بلافاصله باید توجه داشته باشید که همه ماتریس ها را نمی توان ضرب کرد. اگر می‌خواهیم ماتریس $A$ را در ماتریس $B$ ضرب کنیم، ابتدا باید مطمئن شویم که تعداد ستون‌های ماتریس $A$ برابر با تعداد ردیف‌های ماتریس $B$ است (این ماتریس‌ها اغلب نامیده می‌شوند. موافقت کرد). برای مثال، ماتریس $A_(5\times 4)$ (ماتریس حاوی 5 سطر و 4 ستون) را نمی توان در ماتریس $F_(9\times 8)$ (9 سطر و 8 ستون) ضرب کرد، زیرا تعداد ستون های ماتریس $A $ برابر با تعداد ردیف های ماتریس $F$ نیست، یعنی. $4\n معادل 9 $. اما می توان ماتریس $A_(5\times 4)$ را در ماتریس $B_(4\times 9)$ ضرب کرد، زیرا تعداد ستون های ماتریس $A$ برابر با تعداد ردیف های آن است. ماتریس $B$. در این حالت، حاصل ضرب ماتریس‌های $A_(5\times 4)$ و $B_(4\times 9)$ ماتریس $C_(5\times 9)$ است که شامل 5 سطر و 9 ستون است:

مثال شماره 3

ماتریس های داده شده: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (آرایه) \راست)$ و $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \راست) $. ماتریس $C=A\cdot B$ را پیدا کنید.

برای شروع، ما بلافاصله اندازه ماتریس $C$ را تعیین می کنیم. از آنجایی که ماتریس $A$ دارای اندازه $3 \ برابر 4 $ و ماتریس $B $ دارای اندازه $4 \ برابر 2 $ است ، اندازه ماتریس $C $ 3 \ برابر 2 $ است:

بنابراین، در نتیجه حاصل ضرب ماتریس های $A$ و $B$، باید ماتریس $C$ را بدست آوریم که از سه ردیف و دو ستون تشکیل شده است: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(آرایه) \راست)$. اگر نامگذاری عناصر سوال ایجاد می کند، می توانید به مبحث قبلی نگاه کنید: "ماتریس ها. انواع ماتریس ها. اصطلاحات اساسی" که در ابتدای آن تعیین عناصر ماتریس توضیح داده شده است. هدف ما یافتن مقادیر تمام عناصر ماتریس $C$ است.

بیایید با عنصر $c_(11)$ شروع کنیم. برای به دست آوردن عنصر $c_(11)$، باید مجموع حاصل ضرب عناصر ردیف اول ماتریس $A$ و ستون اول ماتریس $B$ را پیدا کنید:

برای یافتن خود عنصر $c_(11)$، باید عناصر ردیف اول ماتریس $A$ را در عناصر مربوط به ستون اول ماتریس $B$ ضرب کنید، یعنی. عنصر اول به اول، دوم به دوم، سوم به سوم، چهارم به چهارم. ما نتایج به دست آمده را خلاصه می کنیم:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

بیایید راه حل را ادامه دهیم و $c_(12)$ را پیدا کنیم. برای این کار باید عناصر ردیف اول ماتریس $A$ و ستون دوم ماتریس $B$ را ضرب کنید:

مشابه مورد قبلی داریم:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

همه عناصر ردیف اول ماتریس $C$ یافت می شوند. به خط دوم می رویم که با عنصر $c_(21)$ شروع می شود. برای پیدا کردن آن، باید عناصر ردیف دوم ماتریس $A$ و ستون اول ماتریس $B$ را ضرب کنید:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

عنصر بعدی $c_(22)$ با ضرب عناصر ردیف دوم ماتریس $A$ در عناصر مربوطه ستون دوم ماتریس $B$ بدست می آید:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

برای یافتن $c_(31)$، عناصر ردیف سوم ماتریس $A$ را در عناصر ستون اول ماتریس $B$ ضرب می کنیم:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

و در نهایت، برای یافتن عنصر $c_(32)$، باید عناصر ردیف سوم ماتریس $A$ را در عناصر مربوط به ستون دوم ماتریس $B$ ضرب کنید:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

همه عناصر ماتریس $C$ یافت می شوند، فقط باید یادداشت کنیم که $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \راست)$ . یا برای نوشتن کامل آن:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(آرایه) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \راست) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \راست). $$

پاسخ: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

به هر حال، اغلب دلیلی برای توصیف جزئیات مکان هر عنصر از ماتریس نتیجه وجود ندارد. برای ماتریس هایی که اندازه آنها کوچک است، می توانید کارهای زیر را انجام دهید:

همچنین شایان ذکر است که ضرب ماتریس غیر تعویضی است. این بدان معنی است که به طور کلی $A\cdot B\neq B\cdot A$. فقط برای برخی از انواع ماتریس ها که نامیده می شوند جانشینی(یا رفت و آمد)، برابری $A\cdot B=B\cdot A$ درست است. بر اساس غیرقابل تعویض بودن ضرب است که لازم است دقیقاً نشان دهیم که چگونه عبارت را در یک یا ماتریس دیگر ضرب می کنیم: در سمت راست یا چپ. به عنوان مثال، عبارت "ضرب دو طرف برابری $3EF=Y$ در ماتریس $A$ سمت راست" به این معنی است که می خواهید برابری زیر را بدست آورید: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot دلار استرالیا

جابجا شده با توجه به ماتریس $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ماتریس $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$ است، برای عناصری که $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

به عبارت ساده، برای به دست آوردن ماتریس انتقال یافته $A^T$، باید ستون های موجود در ماتریس اصلی $A$ را با ردیف های مربوطه مطابق این اصل جایگزین کنید: اولین ردیف وجود داشت - ستون اول تبدیل می شود. یک ردیف دوم وجود داشت - ستون دوم تبدیل می شود. یک ردیف سوم وجود داشت - یک ستون سوم و غیره وجود خواهد داشت. به عنوان مثال، اجازه دهید ماتریس انتقال یافته به ماتریس $A_(3\times 5)$ را پیدا کنیم:

بر این اساس، اگر ماتریس اصلی دارای اندازه $3\ برابر 5 $ بود، ماتریس جابجا شده دارای اندازه $5 \ برابر 3 $ است.

برخی از ویژگی های عملیات روی ماتریس ها

در اینجا فرض می شود که $\alpha$، $\beta$ برخی از اعداد و $A$، $B$، $C$ ماتریس هستند. برای چهار خاصیت اول اسامی را ذکر کردم، بقیه را می توان به قیاس با چهار ویژگی اول نام برد.

1. $A+B=B+A$ (جایگزینی جمع)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (تداعی اضافه)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (توزیع ضرب در یک ماتریس با توجه به جمع اعداد)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (توزیع ضرب در عدد با توجه به جمع ماتریس)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$، $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$، $E\cdot A=A$، که $E$ ماتریس هویت ترتیب مربوطه است.
9. $A\cdot O=O$، $O\cdot A=O$، که در آن $O$ یک ماتریس صفر با اندازه مربوطه است.
10. $\left(A^T \راست)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

در قسمت بعدی عملیات افزایش یک ماتریس به توان عدد صحیح غیر منفی مورد بررسی قرار می گیرد و مثال هایی حل می شود که در آنها چندین عملیات روی ماتریس ها لازم است.

سخنرانی شماره 1

ماتریکس

تعریف و انواع ماتریس ها

تعریف 1.1.ماتریساندازه تی پبه یک جدول مستطیلی از اعداد (یا اشیاء دیگر) می گویند که شامل مترخطوط و nستون ها.

ماتریس ها با حروف بزرگ (بزرگ) الفبای لاتین نشان داده می شوند، به عنوان مثال، الف، ب، ج...اعداد (یا سایر اشیاء) که ماتریس را تشکیل می دهند فراخوانی می شوند عناصرماتریس ها عناصر ماتریس می توانند توابع باشند. برای تعیین عناصر ماتریس، از حروف کوچک الفبای لاتین با نمایه سازی دوگانه استفاده می شود: آیج،اولین شاخص کجاست من(خواندن - و) - شماره خط، فهرست دوم j(خواندن - زنده) – شماره ستون

تعریف 1.2.ماتریس نامیده می شود مربع p-ترتیب اگر تعداد سطرهای آن برابر با تعداد ستون ها و برابر با همان تعداد باشد پ

برای یک ماتریس مربع، مفاهیم اصلی و جانبیمورب ها

تعریف 1.3.مورب اصلییک ماتریس مربع از عناصری تشکیل شده است که شاخص های یکسانی دارند، یعنی . این عناصر هستند: آ 11,یک 22,…

تعریف 1.4. مورباگر همه عناصر به جز عناصر قطر اصلی برابر با صفر باشند

تعریف 1.5.ماتریس مربع نامیده می شود مثلثی، اگر تمام عناصر آن در زیر (یا بالای) مورب اصلی برابر با صفر باشند.

تعریف 1.6.ماتریس مربع پ-مرتبه ای که در آن تمام عناصر مورب اصلی برابر با یک و بقیه برابر با صفر هستند، نامیده می شود. تنهاماتریس nمرتبه ام، و با حرف مشخص می شود E.

تعریف 1.7.ماتریس با هر اندازه ای نامیده می شود خالی،یا ماتریس صفر،اگر تمام عناصر آن برابر با صفر باشد.

تعریف 1.8.ماتریس تک ردیفی نامیده می شود ماتریس ردیف

تعریف 1.9.ماتریسی با یک ستون نامیده می شود ماتریس ستونی

A = (a 11 آ 12 ... آ 1ن) - matrix-row;

تعریف 1.10.دو ماتریس آو Vهم اندازه نامیده می شوند برابر،اگر همه عناصر متناظر این ماتریس ها برابر باشند، یعنی. آیج = بیجبرای هرچی من= 1, 2, ..., T; j = 1, 2,…, n.

عملیات ماتریسی

بر روی ماتریس ها، و همچنین بر روی اعداد، تعدادی عملیات را می توان انجام داد. عملیات اصلی روی ماتریس ها جمع (تفریق) ماتریس ها، ضرب یک ماتریس در یک عدد و ضرب ماتریس ها هستند. این عملیات مشابه عملیات روی اعداد است. یک عملیات خاص، جابجایی ماتریس است.

ضرب یک ماتریس در یک عدد

تعریف 1.11.حاصل ضرب ماتریس A با عددλ ماتریس نامیده می شود B = A،که عناصر آن با ضرب عناصر ماتریس به دست می آید آبه عدد λ .

مثال 1.1.حاصل ضرب یک ماتریس را پیدا کنید الف= به شماره 5

راه حل. .◄ 5A=

قانون ضرب یک ماتریس در یک عدد: برای ضرب یک ماتریس در یک عدد، باید تمام عناصر ماتریس را در آن عدد ضرب کنید.

نتیجه.

1. عامل مشترک همه عناصر ماتریس را می توان از علامت ماتریس خارج کرد.

2. محصول ماتریسی آعدد 0 دارای ماتریس صفر است: آ· 0 = 0 .

اضافه کردن ماتریس

تعریف 1.12.مجموع دو ماتریس A و Bهمان اندازه t nماتریس نامیده می شود با= آ+ Vکه عناصر آن با افزودن عناصر مربوط به ماتریس به دست می آید آو ماتریس ها V، یعنی cij = آیج + بیجبرای من = 1, 2, ..., متر; j= 1, 2, ..., n(یعنی ماتریس ها عنصر به عنصر اضافه می شوند).

نتیجه.مجموع ماتریس آبا ماتریس صفر برابر با ماتریس اصلی است: A + O = A.

1.2.3. تفریق ماتریس ها

تفاوت دو ماتریسبا همان اندازه از طریق عملیات قبلی تعیین می شود: A - B \u003d A + (- 1) V.

تعریف 1.13.ماتریس –A = (– 1)آتماس گرفت مقابلماتریس آ.

نتیجه.مجموع ماتریس های مخالف برابر با ماتریس صفر است : A + (-A) \u003d O.

ضرب ماتریس

تعریف 1.14.ضرب ماتریس A در ماتریس Bزمانی تعریف می شود که تعداد ستون های ماتریس اول با تعداد ردیف های ماتریس دوم برابر باشد. سپس محصول ماتریسیچنین ماتریسی نامیده می شود , هر عنصری که cijبرابر است با مجموع حاصلضرب عناصر منردیف -امین ماتریس آبر روی عناصر مربوطه jستون -ام ماتریس ب

مثال 1.4.حاصل ضرب ماتریس ها را محاسبه کنید A Bجایی که

الف=

=

مثال 1.5.محصولات ماتریس ها را بیابید ABو VA،جایی که

ملاحظات.از مثال‌های 1.4-1.5 چنین بر می‌آید که عملیات ضرب ماتریس تفاوت‌هایی با ضرب اعداد دارد:

1) اگر حاصل ضرب ماتریس ها باشد ABوجود دارد، سپس پس از مرتب سازی مجدد عوامل، حاصل ضرب ماتریس ها VAممکن است وجود نداشته باشد. در واقع، در مثال 1.4 محصول ماتریسی AB وجود دارد، اما حاصلضرب BA وجود ندارد.

2) حتی اگر کار کند ABو VAوجود داشته باشد، پس نتیجه محصول می تواند ماتریس هایی با اندازه های مختلف باشد. در شرایطی که هر دو کار می کنند ABو VAوجود دارد و هر دو ماتریس هایی با اندازه یکسان هستند (این فقط زمانی امکان پذیر است که ماتریس های مربعی هم مرتبه را ضرب کنیم)، سپس قانون جابجایی (جابجایی) ضرب هنوز برقرار نیست،آن ها A B در A، مانند مثال 1.5;

3) اما اگر ماتریس مربع را ضرب کنیم آبه ماتریس هویت Eپس همان دستور AE = EA = A.

بنابراین، ماتریس هویت همان نقشی را در ضرب ماتریس ایفا می کند که عدد 1 در ضرب اعداد بازی می کند.

4) حاصل ضرب دو ماتریس غیر صفر می تواند برابر با ماتریس صفر باشد، یعنی از این واقعیت که A B= 0، از آن پیروی نمی کند A = 0 یا B= 0.