با توجه به برابری (13.5)، تابع همبستگی پاسخ یک دستگاه غیرخطی را می توان بر حسب تابع انتقال این دستگاه به صورت زیر بیان کرد:

انتگرال دوگانه، همانطور که از مقایسه با برابری (4.25)، با تابع مشخصه مشترک مقادیر نوشته شده به عنوان تابعی از متغیرهای مختلط، برابر است. از این رو،

بیان (13.40) فرمول اصلی برای تجزیه و تحلیل اثرات تصادفی بر روی دستگاه های غیر خطی با استفاده از روش تبدیل است. باقی مانده این فصل به ارزیابی این عبارت برای انواع مختلفدستگاه ها و انواع مختلفبر آنها تأثیر می گذارد.

در بسیاری از مشکلات، تأثیر اعمال شده بر ورودی سیستم، مجموع سیگنال مفید و نویز است:

توابع نمونه از فرآیندهای احتمالی مستقل آماری کجا هستند. در چنین مواردی، تابع مشخصه مشترک تأثیر برابر با حاصلضرب عملکردهای مشخصه سیگنال و نویز است و برابری (13.40) می گیرد.

جایی که - تابع مشخصه مشترک مقادیر - تابع مشخصه مشترک کمیت ها و

نویز گاوسی در ورودی اگر نویز در ورودی دستگاه یک تابع نمونه از یک گوسی واقعی باشد فرآیند احتمالیبا انتظارات ریاضی صفر، پس با توجه به برابری (8.23)

که در آن تابع پاسخ همبستگی در این مورد شکل می گیرد

اگر اکنون می توان توابع از و توابع از را به عنوان حاصلضرب توابع از یا به عنوان مجموع آنها نشان داد، آنگاه انتگرال دوگانه در آخرین عبارت را می توان به عنوان حاصلضرب انتگرال ها محاسبه کرد. این واقعیت که یک تابع نمایی را می توان از طریق محصولات توابع نشان داد و از بسط آن به یک سری توانی ناشی می شود.

بنابراین، تابع همبستگی پاسخ یک دستگاه غیر خطی زمانی که نویز گاوسی به ورودی آن اعمال می شود را می توان نوشت.

سیگنال های سینوسی

اکنون فرض می کنیم که سیگنال ورودی دستگاه یک سینوسی مدوله شده است، یعنی اینکه

تابع نمونه یک فرآیند احتمالی فرکانس پایین کجاست (یعنی فرآیندی که چگالی طیفی آن فقط در محدوده فرکانس مجاور فرکانس صفر غیر صفر است و در مقایسه با و جایی که متغیر تصادفی به طور یکنواخت در بازه توزیع شده است و به آن بستگی ندارد، باریک است. سیگنال تعدیل کننده و از نویز عملکرد مشخصه چنین سیگنالی برابر است با

با گسترش نمایی به فرمول ژاکوبی-انجر [بیان (13.20)]، به دست می آوریم

از آنجا که

جایی که ما آن را برای یک سیگنال سینوسی مدوله شده با دامنه به دست می آوریم

تابع همبستگی پاسخ یک دستگاه غیر خطی زمانی که یک سیگنال سینوسی و نویز گاوسی به ورودی آن اعمال می‌شود، اکنون می‌توان با جایگزین کردن (13.47) به (13.45) پیدا کرد. بیایید تابع را تعریف کنیم

کجا و تابع همبستگی

جایی که میانگین گیری روی سیگنال تعدیل کننده انجام می شود. سپس تابع همبستگی پاسخ برابر خواهد بود

اگر هم سیگنال تعدیل کننده و هم نویز ثابت باشند، عبارت (13.50) شکل می گیرد.

اگر سیگنال ورودی یک موج سینوسی مدوله نشده باشد

زیرا در این حالت ضرایب ثابت و مساوی با یکدیگر هستند.

اجزای سیگنال و نویز در خروجی.

حال اجازه دهید موردی را در نظر بگیریم که نویز ورودی به شکل یک سینوسی مدوله شده باشد. در این حالت تابع همبستگی در خروجی با عبارت (13.52) داده می شود. بیایید این عبارت را به صورت زیر گسترش دهیم:

بیایید به اجزای جداگانه آن نگاه کنیم. عبارت اول مربوط به جزء ثابت در خروجی دستگاه است. گروه بعدی اصطلاحات مربوط به بخش تناوبی پاسخ است و عمدتاً به دلیل تعامل سیگنال ورودی با خود است. عبارات باقی مانده مربوط به نوسانات تصادفی در پاسخ، یعنی نویز در خروجی است. کسانی که از

این اصطلاحات باقیمانده برای آنها عمدتاً به دلیل تعامل نویز ورودی با خود است و مواردی که برای آنها تعامل سیگنال و نویز در ورودی است.

بیایید پاسخ یک دستگاه غیر خطی را به صورت مجموع مقدار متوسط، اجزای تناوبی و یک جزء تصادفی تصور کنیم:

سپس تابع پاسخ همبستگی را می توان به صورت نوشتاری نوشت

که در آن با مقایسه برابری های (13.53) و (13.55)، می بینیم که مقدار متوسط ​​پاسخ و دامنه مولفه های تناوبی آن را می توان مستقیماً از طریق ضرایب بیان کرد.

علاوه بر این، تابع همبستگی بخش تصادفی پاسخ را می توان به صورت نوشتاری نوشت

جایی که ما طبق تعریف مطابق با (13.50) قرار دادیم.

لازم به ذکر است که، به طور دقیق، همه این اصطلاحات تابعی از فرآیند تعدیل سیگنال ورودی هستند.

حل این سوال که کدام یک از عبارت های (13.62) سیگنال خروجی مفید را تعیین می کند، البته به هدف دستگاه غیر خطی بستگی دارد. اگر به عنوان مثال از دستگاه به عنوان آشکارساز استفاده شود، قسمت فرکانس پایین سیگنال خروجی مفید است. در این مورد، سیگنال مفید مربوط به قطعه است تابع همبستگی، با برابری تعریف می شود

از سوی دیگر، اگر دستگاه به عنوان یک تقویت کننده غیر خطی استفاده شود، پس

زیرا در این حالت جزء مفید سیگنال در اطراف فرکانس حامل سیگنال ورودی متمرکز می شود

در مراحل اولیه توسعه مهندسی رادیو، مسئله انتخاب بهترین سیگنال هابرای برنامه های خاص خاص خیلی تیز نبود. این امر از یک طرف به دلیل ساختار نسبتاً ساده بود پیام های ارسال شده(بسته های تلگراف، پخش رادیویی)؛ با یکی دیگر، اجرای عملیسیگنال ها شکل پیچیدهدر ترکیب با تجهیزات کدگذاری، مدولاسیون و تبدیل معکوسپیاده سازی پیام دشوار بود.

در حال حاضر، وضعیت به طور اساسی تغییر کرده است. در مدرن مجتمع های رادیویی الکترونیکیانتخاب سیگنال ها در درجه اول نه به دلیل راحتی فنی تولید، تبدیل و دریافت آنها، بلکه به دلیل امکان دیکته می شود. راه حل بهینهوظایف ارائه شده در هنگام طراحی سیستم. برای درک چگونگی نیاز به سیگنال هایی با ویژگی های خاص انتخاب شده، به مثال زیر توجه کنید.

مقایسه سیگنال های تغییر زمان.

بیایید به ایده ساده شده عملکرد یک رادار پالسی که برای اندازه‌گیری فاصله تا یک آهنگ طراحی شده است، بپردازیم. در اینجا، اطلاعات مربوط به شی اندازه گیری در مقدار موجود است - تاخیر زمانی بین کاوشگر و سیگنال های دریافتی. شکل کاوشگر و سیگنال های دریافتی برای هر تاخیر یکسان است.

بلوک دیاگرام یک دستگاه پردازش سیگنال راداری که برای اندازه گیری برد در نظر گرفته شده است ممکن است همانطور که در شکل نشان داده شده است به نظر برسد. 3.3.

این سیستم شامل مجموعه ای از عناصر است که "مرجع" را به تاخیر می اندازد. سیگنال ارسال شدهبرای برخی از دوره های زمانی ثابت

برنج. 3.3. دستگاهی برای اندازه گیری زمان تاخیر سیگنال

سیگنال های تاخیری همراه با سیگنال دریافتی به دستگاه های مقایسه ای تغذیه می شوند که مطابق با این اصل عمل می کنند: سیگنال خروجی تنها در صورتی ظاهر می شود که هر دو نوسان ورودی "کپی" از یکدیگر باشند. با دانستن تعداد کانالی که رویداد مشخص شده در آن رخ می دهد، می توانید تاخیر و در نتیجه محدوده تا هدف را اندازه گیری کنید.

چنین دستگاهی هر چه دقیق تر کار کند ، سیگنال و "کپی" آن که در زمان جابجا شده است ، با یکدیگر تفاوت بیشتری دارند.

بنابراین، ما یک "ایده" کیفی از اینکه چه سیگنال هایی را می توان برای یک برنامه کاربردی "خوب" در نظر گرفت، به دست آورده ایم.

اجازه دهید به فرمول دقیق ریاضی مسئله مطرح شده برویم و نشان دهیم که این طیف از مسائل مستقیماً با نظریه طیف انرژی سیگنال ها مرتبط است.

تابع همبستگی خودکار سیگنال.

برای تعیین کمیت درجه تفاوت بین یک سیگنال و کپی با جابجایی زمانی آن، معمولاً یک تابع همبستگی خودکار (ACF) سیگنال برابر با حاصل ضرب اسکالر سیگنال و کپی معرفی می‌شود:

در ادامه، فرض می‌کنیم که سیگنال مورد مطالعه دارای یک خصوصیت پالسی است که در زمان محلی شده است، بنابراین انتگرال شکل (3.15) قطعا وجود دارد.

بلافاصله مشخص می شود که وقتی تابع خودهمبستگی برابر با انرژی سیگنال می شود:

یکی از ساده ترین ویژگی های ACF برابری آن است:

در واقع، اگر تغییری در متغیرها در انتگرال ایجاد کنیم (3.15)، آنگاه

در نهایت، یک ویژگی مهم تابع همبستگی خودکار به شرح زیر است: برای هر مقدار شیفت زمانی، مدول ACF از انرژی سیگنال تجاوز نمی کند:

این واقعیت مستقیماً از نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی ناشی می شود (به فصل 1 مراجعه کنید):

بنابراین، ACF با یک منحنی متقارن با حداکثر مرکزی نشان داده می شود که همیشه مثبت است. علاوه بر این، بسته به نوع سیگنال، تابع خودهمبستگی می تواند دارای یک کاراکتر کاهشی یا نوسانی باشد.

مثال 3.3. ACF یک پالس ویدئویی مستطیلی را پیدا کنید.

در شکل 3.4a یک پالس ویدئویی مستطیلی با دامنه U و مدت زمان را نشان می دهد. "کپی" آن نیز در اینجا نشان داده شده است، با تغییر زمان به سمت تاخیر. انتگرال (3.15) در محاسبه می شود در این موردبه سادگی بر اساس ساختار گرافیکی. در واقع، محصول و و فقط در بازه زمانی که همپوشانی سیگنال مشاهده می شود، غیر صفر است. از شکل 3.4، واضح است که این فاصله زمانی برابر است اگر شیفت از مدت زمان پالس تجاوز نکند. بنابراین، برای سیگنال مورد بررسی

نمودار چنین تابعی مثلثی است که در شکل نشان داده شده است. 3.4، ب. عرض قاعده مثلث دو برابر مدت زمان پالس است.

برنج. 3.4. پیدا کردن ACF یک پالس ویدئویی مستطیلی

مثال 3.4. ACF یک پالس رادیویی مستطیلی را پیدا کنید.

ما یک سیگنال رادیویی از فرم را در نظر خواهیم گرفت

با دانستن اینکه ACF از قبل زوج است، انتگرال (3.15)، تنظیم را محاسبه می کنیم. که در آن

جایی که به راحتی به آن می رسیم

به طور طبیعی، زمانی که مقدار برابر با انرژی این پالس شود (به مثال 1.9 مراجعه کنید). فرمول (3.21) ACF یک پالس رادیویی مستطیلی را برای همه جابجایی‌های موجود در داخل توصیف می‌کند اگر مقدار مطلق شیفت از مدت زمان پالس بیشتر شود، تابع همبستگی خودکار به طور یکسان ناپدید می‌شود.

مثال 3.5. ACF دنباله ای از پالس های ویدئویی مستطیلی را تعیین کنید.

در رادار، سیگنال ها به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرند که بسته هایی از پالس های یک شکل هستند که در فاصله زمانی یکسان از یکدیگر پیروی می کنند. برای تشخیص چنین انفجاری و همچنین اندازه گیری پارامترهای آن، به عنوان مثال، موقعیت آن در زمان، دستگاه هایی ایجاد می شوند که الگوریتم های سخت افزاری را برای محاسبه ACF پیاده سازی می کنند.

برنج. 3.5. ACF یک بسته از سه پالس ویدئویی یکسان: a - بسته پالس. ب - نمودار ACF

در شکل 3.5c بسته ای متشکل از سه پالس ویدئویی مستطیلی یکسان را نشان می دهد. تابع همبستگی خودکار آن، محاسبه شده با استفاده از فرمول (3.15) نیز در اینجا ارائه شده است (شکل 3.5، ب).

به وضوح مشاهده می شود که حداکثر ACF در به دست می آید، با این حال، اگر تأخیر مضربی از دوره توالی (در مورد ما) باشد، لوب های جانبی ACF مشاهده می شوند که از نظر ارتفاع با لوب اصلی قابل مقایسه است. بنابراین، می توان در مورد نقص خاصی از ساختار همبستگی این سیگنال صحبت کرد.

تابع همبستگی خودکار یک سیگنال بی نهایت گسترش یافته.

اگر لازم است توالی های دوره ای با مدت زمان نامحدود در نظر گرفته شود، رویکرد مطالعه خواص همبستگی سیگنال ها باید تا حدودی اصلاح شود.

فرض می‌کنیم که چنین دنباله‌ای از برخی سیگنال‌های زمان‌بندی‌شده، یعنی سیگنال پالسی، زمانی که مدت زمان دومی به بی‌نهایت تمایل دارد، به دست می‌آید. برای جلوگیری از واگرایی عبارات حاصل، ما ACF یونی را به عنوان مقدار متوسط ​​حاصلضرب اسکالر سیگنال و کپی آن تعریف می کنیم:

با این رویکرد، تابع خودهمبستگی برابر با میانگین توان متقابل این دو سیگنال می شود.

به عنوان مثال، اگر می خواهید ACF را برای یک موج کسینوس در زمان نامحدود پیدا کنید، می توانید از فرمول (3.21) به دست آمده برای یک پالس رادیویی با مدت زمان استفاده کنید و سپس با در نظر گرفتن تعریف (3.22) به حد مجاز بروید. در نتیجه بدست می آوریم

این ACF خود یک تابع دوره ای است. مقدار آن در برابر است با

رابطه بین طیف انرژی یک سیگنال و تابع خود همبستگی آن.

هنگام مطالعه مطالب در این فصل، خواننده ممکن است فکر کند که روش های تحلیل همبستگی به عنوان تکنیک های خاصی عمل می کنند که هیچ ارتباطی با اصول تجزیه طیفی ندارند. با این حال، اینطور نیست. نشان دادن ارتباط نزدیک بین ACF و طیف انرژی سیگنال آسان است.

در واقع، مطابق با فرمول (3.15)، ACF یک محصول اسکالر است: در اینجا نماد نشان دهنده یک کپی با جابجایی زمانی از سیگنال است و

با رجوع به فرمول تعمیم یافته ریلی (2.42)، می توانیم برابری را بنویسیم

چگالی طیفی سیگنال تغییر زمان

بنابراین به نتیجه می رسیم:

مدول مجذور چگالی طیفی، همانطور که مشخص است، است طیف انرژیعلامت. بنابراین، طیف انرژی و تابع خود همبستگی با تبدیل فوریه مرتبط هستند:

واضح است که یک رابطه معکوس نیز وجود دارد:

این نتایج به دو دلیل اساساً مهم هستند. در مرحله اول، به نظر می رسد که ارزیابی خواص همبستگی سیگنال ها بر اساس توزیع انرژی آنها در طیف امکان پذیر است. هرچه باند فرکانس سیگنال گسترده تر باشد، لوب اصلی تابع خودهمبستگی باریک تر و سیگنال از نظر امکان کامل تر است. اندازه گیری دقیقلحظه ای که شروع شد

در مرحله دوم، فرمول های (3.24) و (3.26) راه تعیین تجربی طیف انرژی را نشان می دهد. اغلب راحت‌تر است که ابتدا تابع همبستگی خودکار را بدست آوریم و سپس با استفاده از تبدیل فوریه، طیف انرژی سیگنال را پیدا کنیم. این تکنیک هنگام مطالعه خواص سیگنال ها با استفاده از رایانه های پرسرعت در زمان واقعی رایج شده است.

نتیجه می شود که فاصله همبستگی

معلوم می شود که هرچه قسمت بالایی آن بالاتر باشد کوچکتر است فرکانس قطعطیف سیگنال

محدودیت های اعمال شده در شکل تابع همبستگی خودکار سیگنال.

ارتباط یافت شده بین تابع خودهمبستگی و طیف انرژی ایجاد یک معیار جالب و در نگاه اول غیر واضح برای وجود یک سیگنال با خواص همبستگی داده شده را ممکن می سازد. واقعیت این است که طیف انرژی هر سیگنال، طبق تعریف، باید مثبت باشد [نگاه کنید به. فرمول (3.25)]. این شرطبرای هیچ انتخابی از ACF انجام نخواهد شد. مثلاً اگر بگیریم

و تبدیل فوریه مربوطه را محاسبه کنید، سپس

این تابع متناوب نمی تواند طیف انرژی هیچ سیگنالی را نشان دهد.

توزیع های Rayleigh و Rice به طور کامل محو شدن سیگنال را مشخص نمی کنند. به طور خاص، آنها ایده ای از چگونگی روند محو شدن سیگنال در طول زمان ارائه نمی دهند. اجازه دهید فرض کنیم که این فرآیند در دو مقطع زمانی در نظر گرفته شده است تیو تی t، جایی که t تاخیر است. سپس ارتباط آماریمحو شدن توسط تابع همبستگی داده می شود که به صورت زیر تعریف می شود.

اجازه دهید فرض کنیم که فرآیند مورد بررسی ثابت است. این بدان معناست که پارامترهای آماری آن مانند میانگین، واریانس و همبستگی متقاطع به زمان بستگی ندارد. تی. برای فرآیند باند باریک (2.3.37) تابع همبستگی را در فرم به دست می آوریم

اجازه دهید توابع همبستگی سیگنال های مربعی را معرفی کنیم:

حال عبارت (2.3.61) را به فرم تبدیل می کنیم

برای تبدیل بیشتر (2.3.63) از روابط مثلثاتی استفاده خواهیم کرد.

(2.3.64)

در نتیجه ما آن را دریافت می کنیم

از آنجایی که فرآیند ثابت است، تابع همبستگی نباید به زمان بستگی داشته باشد. این شرط می تواند برآورده شود که عبارت دوم و چهارم در (2.3.65) برابر با صفر باشد، که به نوبه خود، در صورتی امکان پذیر است که توابع همبستگی سیگنال های ربع، روابط زیر را برآورده کنند:

بنابراین، تابع همبستگی نرمال ثابت سیگنال باند باریکمساوی با

اجازه دهید نشان دهیم که تابع همبستگی یک تابع فرد از t است. برای این ما در نظر می گیریم که

اجازه دهید (2.3.68) را در فرمول دوم در (2.3.66) جایگزین کنیم و پیدا کنیم که

. (2.3.69)

بنابراین، تابع همبستگی متقاطع سیگنال های ربع عجیب و غریب است. یک نتیجه مهم از این به دست می آید: در همان لحظه از زمان، سیگنال های ربع همبستگی ندارند، یعنی .

اجازه دهید اکنون همبستگی دامنه پیچیده را در نظر بگیریم

با تعریف تابع همبستگی، می توانیم آن را بنویسیم

. (2.3.71)

تابع پیچیده است و دارای خاصیت تقارن است، یعنی.

. (2.3.72)

بیایید (2.3.70) را با (2.3.71) جایگزین کرده و (2.3.62) را در نظر بگیریم. سپس (2.3.71) فرم می گیرد

اگر (2.3.66) را در نظر بگیریم، این فرمول به طور قابل توجهی ساده شده است:

تابع همبستگی (2.3.67) یک سیگنال باند باریک و تابع همبستگی (2.3.74) دامنه پیچیده آن به هم مرتبط هستند. این ارتباط به راحتی از مقایسه (2.3.67) و (2.3.74) آشکار می شود. در نتیجه خواهیم داشت

خواص همبستگی یک سیگنال ارتباط نزدیکی با خواص طیفی آن دارد. به طور خاص، چگالی طیفی توان با استفاده از تبدیل فوریه تابع همبستگی یافت می‌شود و برابر است با

. (2.3.76)

اجازه دهید نشان دهیم که یک تابع واقعی است، در حالی که تابع همبستگی پیچیده است. برای انجام این کار، مزدوج مختلط را از عبارت (2.3.76) می گیریم و خاصیت تقارن (2.3.72) تابع همبستگی را در نظر می گیریم. در نتیجه ما آن را دریافت می کنیم

با مقایسه (2.3.77) با (2.3.76) داریم که . این ثابت می کند که طیف دامنه پیچیده یک تابع واقعی است.

در زیر نشان داده خواهد شد که طیف دامنه پیچیده سیگنالی که محو شدن در یک کانال چند مسیره را توصیف می کند حتی واقعیتابع فرکانس، یعنی . سپس تابع همبستگی معتبر می شود. برای اثبات این موضوع، تابع همبستگی را به صورت تبدیل فوریه معکوس چگالی طیفی توان به شکل می نویسیم.

. (2.3.78)

اجازه دهید ترکیب پیچیده عبارت (2.3.78) را در نظر بگیریم و برابری تابع را در نظر بگیریم. ما آن را دریافت می کنیم

با مقایسه (2.3.79) با (2.3.78) داریم که . این ثابت می کند که تابع همبستگی دامنه مختلط با طیف واقعی در قالب یک تابع زوج یک تابع واقعی است.

با در نظر گرفتن واقعیت تابع همبستگی، از (2.3.74) متوجه می شویم که

. (2.3.80)

با استفاده از (2.3.75)، تابع همبستگی سیگنال باند باریک را به شکل به دست می آوریم.

حالا بیایید این وظیفه را تعیین کنیم که به شکل صریح طیف و تابع همبستگی را که محو شدن سیگنال را در یک کانال چند مسیری توصیف می کند، پیدا کنیم. دوباره دو لحظه در زمان را در نظر بگیرید تیو تی+t. اگر در طول زمان t فرستنده، گیرنده و بازتابنده ها مکان خود را تغییر ندهند و پارامترهای خود را حفظ کنند، سیگنال کل در گیرنده تغییر نمی کند. برای محو شدن سیگنال، حرکت متقابل فرستنده، گیرنده و (یا) بازتابنده ضروری است. فقط در این حالت تغییری در دامنه ها و فازهای سیگنال های جمع شده در ورودی آنتن گیرنده وجود دارد. هرچه این حرکت سریعتر رخ دهد، سیگنال سریعتر محو می شود و بنابراین، طیف آن باید گسترده تر باشد.

فرض می کنیم که گیرنده با سرعتی حرکت می کند vو فرستنده ثابت می ماند. اگر آنتن فرستنده یک سیگنال هارمونیک با فرکانس مشخص منتشر کند f، سپس به دلیل اثر داپلر گیرنده سیگنالی با فرکانس متفاوت ثبت می کند. تفاوت بین این فرکانس ها را تغییر فرکانس داپلر می گویند. برای یافتن مقدار تغییر فرکانس، شکل 1 را در نظر بگیرید. 2.16 که فرستنده، گیرنده، بردار موج را نشان می دهد کموج صفحه و بردار vسرعت گیرنده

برنج. 2.16. به سمت تعیین تغییر فرکانس داپلر

معادله حرکت یکنواخت گیرنده را به شکل می نویسیم

سپس فاز سیگنال دریافتی تابع زمان خواهد بود

که در آن q زاویه بین بردار سرعت و بردار موج است.

فرکانس لحظه ای به عنوان مشتق فاز تعریف می شود. بنابراین با تفکیک (2.3.83) و در نظر گرفتن عدد موج، خواهیم داشت

. (2.3.84)

با حرکت یکنواخت گیرنده، به شرح زیر از (2.3.84)، یک تغییر فرکانس برابر است

به عنوان مثال، فرض کنیم که سرعت v=72 کیلومتر بر ساعت = 20 متر بر ثانیه، فرکانس فرستنده f=900 مگاهرتز و زاویه q=0. طول موج l و فرکانس fاز طریق سرعت نور متصل می شود بانسبت با=fl. از اینجا داریم که l= ج/f= 0.33 متر اکنون از (2.3.85) متوجه می شویم که تغییر فرکانس داپلر f d=60 هرتز

تغییر فرکانس داپلر (2.3.85) هم مثبت و هم مثبت را می پذیرد مقادیر منفی، بسته به زاویه qبین بردار سرعت و بردار موج. بزرگی جابجایی داپلر تجاوز نمی کند حداکثر مقدار، برابر f max=v/l. فرمول (2.3.85) را می توان به راحتی در فرم نشان داد

. (2.3.86)

هنگامی که بازتابگرهای زیادی وجود دارد، طبیعی است که فرض کنیم آنها به طور مساوی در اطراف گیرنده قرار دارند، به عنوان مثال، در یک دایره، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 2.17. این مدل از بازتابنده ها را مدل کلارک می نامند.

برنج. 2.17. مکان یابی بازتابنده ها در مدل کلارک

چگالی طیفی توان در مورد مدل کلارک به روش زیر تعیین می شود. بیایید فاصله فرکانس را انتخاب کنیم df dفرکانس نزدیک f d. توان دریافتی موجود در این بازه برابر است با . این توان به دلیل تغییر فرکانس داپلر (2.3.86) است. توان تلف شده مربوط به فاصله زاویه ای د q، برابر است با، که در آن چگالی زاویه ای توان تلف شده است. توجه داشته باشید که همان شیفت داپلر f dمشاهده شده برای بازتابنده های با مختصات زاویه ای ± q. این به تساوی اختیارات زیر اشاره دارد

فرض می کنیم که کل توان تلف شده برابر با واحد است و به طور یکنواخت در بازه توزیع می شود.

برنج. 2.18. طیف جیک داپلر برای f max= 10 هرتز

برای تعیین تابع همبستگی (2.3.71) دامنه پیچیده، لازم است عبارت (2.3.90) به دست آمده برای چگالی توان طیفی را به (2.3.78) جایگزین کنیم. در نتیجه ما آن را دریافت می کنیم

مدول تابع همبستگی (2.3.91) دامنه پیچیده برای دو حداکثر فرکانس هاداپلر f max=10 هرتز (منحنی جامد) و f max= 30 هرتز (منحنی چین دار) در شکل نشان داده شده است. 2.19. اگر زمان همبستگی محو شدن سیگنال در یک کانال را در سطح 0.5 تخمین بزنیم، برابر است با . این 24 میلی ثانیه برای می دهد f max= 10 هرتز و 8 میلی ثانیه برای f max=30 هرتز

برنج. 2.19. ماژول تابع همبستگی برای f max= 10 و 30 هرتز (منحنی های جامد و نقطه،
به ترتیب).

که در مورد کلیطیف داپلر ممکن است با طیف جیک متفاوت باشد (2.3.90). محدوده مقادیر D f d، که در آن تفاوت قابل توجهی با صفر نامیده می شود پراکندگی داپلردر کانال از آنجایی که مربوط به تبدیل فوریه است، پس زمان انسجامتی cohکانال مقدار t است coh"1/D f d، که میزان تغییر در خصوصیات کانال را مشخص می کند.

هنگام استخراج (2.3.90) و (2.3.91)، فرض می شد که میانگین توان سیگنال پراکنده برابر با واحد است. این نیز از (2.3.91) و (2.3.71)، از آنجا که

ضریب همبستگی برابر با نسبتتوابع همبستگی با توان متوسط بنابراین در این حالت عبارت (2.3.91) ضریب همبستگی را نیز می دهد.

از (2.3.81) تابع همبستگی سیگنال باند باریک را برابر با

در عمل، خواص همبستگی چنین متغیرهای تصادفی مانند دامنه آو قدرت آنی پ=آ 2. این مقادیر معمولاً به عنوان مثال در خروجی یک آشکارساز خطی یا درجه دوم ثبت می شوند. خواص همبستگی آنها به روش خاصی با خواص همبستگی دامنه پیچیده مرتبط است ز(تی).

ضریب همبستگی توان لحظه ای با یک رابطه ساده از شکل زیر به ضریب همبستگی دامنه پیچیده مربوط می شود:

. (2.3.94)

اجازه دهید برای این فرمول اثبات کنیم. بر اساس تعریف ضریب همبستگی می توانیم بنویسیم

, (2.3.95)

تابع همبستگی توان کجاست

اجازه دهید فرض کنیم که هیچ جزء قطعی سیگنال و دامنه وجود ندارد آدارای توزیع ریلی است. سپس<پ>=<آ 2 >=2σ 2 . مقدار موجود در (2.3.95) . با استفاده از قانون توزیع ریلی، متوجه می شویم که

. (2.3.96)

با در نظر گرفتن (2.3.96)، تابع همبستگی توان را از (2.3.95) با استفاده از تبدیل های جبری ساده پیدا می کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

. (2.3.97)

همچنین می توانیم تابع همبستگی توان را بر حسب مولفه های تربیعی در فرم بیان کنیم

با انجام ضرب و میانگین گیری در سمت راست برابری (2.3.98)، عباراتی را به دست می آوریم که ممان های مرتبه چهارم زیر را نشان می دهند:

بنابراین، ما باید گشتاورهای مرتبه چهارم را محاسبه کنیم. اجازه دهید در نظر بگیریم که مولفه های ربع منو سمتغیرهای تصادفی گاوسی با میانگین صفر و واریانس یکسان σ 2 هستند و از قانون شناخته شده برای باز کردن ممان های مرتبه چهارم استفاده می کنند. بر اساس آن، اگر چهار باشد متغیرهای تصادفی آ, ب, ج، و د، پس فرمول زیر معتبر است:

با اعمال این قانون، گشتاورهای مرتبه چهارم را در (2.3.99) محاسبه می کنیم. در نتیجه خواهیم داشت

(2.3.101)

اگر (2.3.96)، (2.3.66) و (2.3.74) را در نظر بگیریم، می توان (2.3.98) را به صورت زیر نوشت

حال باید این را در نظر گرفت . در نتیجه، عبارت زیر را برای تابع همبستگی توان به دست می آوریم:

با مقایسه فرمول به دست آمده با (2.3.97)، ما به اعتبار (2.3.94) متقاعد شدیم.

برای مدل کانالکلارک، ما دریافتیم که ضریب همبستگی با (2.3.91) تعیین می شود. با در نظر گرفتن (2.3.94)، ضریب همبستگی توان در مورد مدل کلارک برابر با

. (2.3.104)

خواص همبستگی دامنه آبا استفاده از یک دستگاه ریاضی بسیار پیچیده تر مورد بررسی قرار می گیرند و در اینجا در نظر گرفته نمی شوند. با این حال، باید توجه داشت که ضریب همبستگی دامنه آبرابری تقریبی زیر را برآورده می کند.

2.6. تجزیه و تحلیل همبستگی - طیفی سیگنال های قطعی. مدارهای رادیوییو سیگنال ها قسمت اول

2.6. تجزیه و تحلیل همبستگی - طیفی سیگنال های قطعی

در بسیاری از مسائل مهندسی رادیو، اغلب نیاز به مقایسه یک سیگنال و کپی آن وجود دارد که مدتی جابجا شده است. به ویژه، این وضعیت در رادار رخ می دهد، جایی که پالس منعکس شده از هدف با تاخیر زمانی به ورودی گیرنده می رسد. مقایسه این سیگنال ها با یکدیگر، یعنی. ایجاد رابطه آنها در طول پردازش به فرد امکان می دهد پارامترهای حرکت هدف را تعیین کند.

برای تعیین کمیت رابطه بین یک سیگنال و کپی با تغییر زمان آن، یک مشخصه معرفی شده است

, (2.57)

که نامیده می شود تابع همبستگی خودکار(AKF).

برای توضیح معنای فیزیکی ACF، مثالی ارائه می‌کنیم که در آن سیگنال یک پالس مستطیلی با مدت و دامنه است. در شکل 2.9 یک پالس را نشان می دهد که کپی آن با فاصله زمانی و محصول جابجا شده است . بدیهی است که یکپارچه سازی محصول، مقدار مساحت پالس را که محصول است، می دهد. . این مقدار، زمانی که ثابت است، می تواند با یک نقطه در مختصات نشان داده شود. هنگام تغییر، نموداری از تابع همبستگی خودکار دریافت می کنیم.

پیدا خواهیم کرد بیان تحلیلی. زیرا

سپس با جایگزینی این عبارت به (2.57)، دریافت می کنیم

. (2.58)

اگر سیگنال را به سمت چپ تغییر دهید، با استفاده از محاسبات مشابه نشان دادن آن آسان است

. (2.59)

سپس با ترکیب (2.58) و (2.59) به دست می آید

. (2.60)

از مثال در نظر گرفته شده، می توان نتیجه گیری های مهم زیر را که برای سیگنال ها اعمال می شود استخراج کرد: فرم رایگان:

1. تابع خودهمبستگی یک سیگنال غیر تناوبی با رشد کاهش می یابد (الزاماً برای انواع دیگر سیگنال ها یکنواخت نیست). بدیهی است که ACF نیز به سمت صفر تمایل دارد.

2. ACF به حداکثر مقدار خود در . در این حالت برابر با انرژی سیگنال است. بنابراین، ACF است انرژیمشخصه سیگنال همانطور که انتظار می رود، سیگنال و کپی آن کاملاً همبسته (بهم مرتبط) هستند.

3. از مقایسه (2.58) و (2.59) نتیجه می شود که ACF حتی عملکرداستدلال، یعنی

.

یک ویژگی مهم سیگنال این است فاصله همبستگی. فاصله همبستگی به عنوان فاصله زمانی درک می شود که با جابجایی سیگنال و کپی آن با هم ارتباط ندارند.

از نظر ریاضی، فاصله همبستگی با عبارت زیر تعیین می شود

,

یا since یک تابع زوج است

. (2.61)

در شکل شکل 2.10 ACF یک شکل موج دلخواه را نشان می دهد. اگر یک مستطیل با مساحت مساحت زیر منحنی برای مقادیر مثبت بسازید (شاخه سمت راست منحنی) که یک ضلع آن برابر است، آنگاه ضلع دوم مطابق با .

بیایید فاصله همبستگی یک پالس مستطیلی را پیدا کنیم. با جایگزینی (2.58) به (2.60) پس از تبدیل های ساده، به دست می آوریم:

,

همانطور که از شکل زیر آمده است. 2.9.

با قیاس با تابع خودهمبستگی، درجه ارتباط بین دو سیگنال تخمین زده می شود تابع همبستگی متقابل(VKF)

. (2.62)

بیایید تابع همبستگی دو سیگنال را پیدا کنیم: یک پالس مستطیلی با دامنه و مدت

و نبض مثلثیهمان دامنه و مدت

با استفاده از (2.61) و محاسبه انتگرال ها به طور جداگانه برای و، به دست می آوریم:

نمودارهای گرافیکی محاسبات VCF را در شکل نشان داده شده است. 2.11

اینجا خطوط نقطه چینموقعیت اولیه (در) پالس مثلثی نشان داده شده است.

در عبارت (2.61) به (2.57) تبدیل می شود. نتیجه این است که ACF یک مورد خاص از CCF با سیگنال های کاملاً مطابق است.

اجازه دهید به ویژگی های اصلی VKF توجه کنیم.

1. درست مانند تابع همبستگی خودکار، VCF یک تابع نزولی از آرگومان است. زمانی که VKF به سمت صفر میل می کند.

2. مقادیر تابع همبستگی در دلخواه مقادیر هستند انرژی متقابل(انرژی تعامل) سیگنال ها و .

3. وقتی تابع همبستگی متقابل (برخلاف تابع همبستگی خودکار) همیشه به حداکثر نمی رسد.

4. اگر سیگنال ها با توابع زوج زمان توصیف شوند، CCF نیز یکنواخت است. اگر حداقل یکی از سیگنال ها با یک تابع فرد توصیف شود، CCF نیز فرد است. اگر CCF دو پالس مستطیلی با قطبیت مخالف را محاسبه کنید، جمله اول به راحتی قابل اثبات است.

و

تابع همبستگی متقابل چنین سیگنال هایی

, (2.63)

تابع زوج استدلال است.

در مورد دوم، مثال در نظر گرفته شده محاسبه CCF پالس های مستطیلی و مثلثی آن را ثابت می کند.

در برخی مشکلات کاربردیمهندسان رادیو از ACF نرمال شده استفاده می کنند

, (2.64)

و VKF عادی شد

, (2.65)

که در آن و انرژی های ذاتی سیگنال ها و . هنگامی که مقدار VKF نرمال شده است تماس گرفت ضریب همبستگی متقاطع. اگر ، سپس ضریب همبستگی متقابل

.

بدیهی است که مقادیر از -1 تا +1 متغیر است. اگر (2.65) را با (1.32) مقایسه کنیم، می توانیم تأیید کنیم که ضریب همبستگی متقاطع با مقدار کسینوس زاویه بین بردارها و در نمایش هندسی سیگنال ها مطابقت دارد.

بیایید ضریب همبستگی را برای مثال های مورد بحث در بالا محاسبه کنیم. از آنجایی که انرژی سیگنال پالس مستطیلی است

و یک تکانه مثلثی

سپس ضریب همبستگی مطابق با (2.62) و (2.65) برابر خواهد بود. در مورد مثال دوم، برای دو پالس مستطیلی با دامنه و مدت یکسان، اما قطب مخالف، .

به طور تجربی، ACF و VCF را می توان با استفاده از یک دستگاه به دست آورد طرح ساختاریکه در شکل نشان داده شده است. 2.12

هنگام برداشتن ACF، یک سیگنال در یکی از ورودی های ضربی دریافت می شود، و همان سیگنال در ورودی دوم دریافت می شود، اما برای مدتی با تأخیر. سیگنال متناسب محصول ، تحت عملیات یکپارچه سازی قرار می گیرد. در خروجی یکپارچه ساز، ولتاژی تولید می شود که متناسب با مقدار ACF در یک ثابت است. با تغییر زمان تاخیر، می توانید ACF سیگنال را بسازید.

برای ساخت آزمایشی یک VCF، سیگنال به یکی از ورودی‌های ضرب‌کننده و سیگنال به دستگاه تاخیر تغذیه می‌شود (مدارهای ورودی به صورت خطوط نقطه‌ای نشان داده شده‌اند). در غیر این صورت دستگاه کار می کند به همان شیوه. توجه داشته باشید که دستگاه توصیف شده نامیده می شود همبستهو به طور گسترده در سیستم های مختلف رادیویی برای دریافت و پردازش سیگنال ها استفاده می شود.

تا کنون، ما آنالیز همبستگی سیگنال‌های غیر تناوبی که دارای انرژی محدود هستند را انجام داده‌ایم. در عین حال، نیاز به چنین تحلیلی اغلب برای سیگنال های دوره ای ایجاد می شود که از نظر تئوری انرژی بی نهایت اما توان متوسط ​​محدودی دارند. در این حالت، ACF و CCF با میانگین گیری در طول دوره محاسبه می شوند و معنای توان متوسط ​​(به ترتیب خود یا متقابل) را دارند. بنابراین، ACF یک سیگنال تناوبی:

, (2.66)

و تابع همبستگی متقابل دو سیگنال تناوبی با دوره های متعدد:

, (2.67)

بیشترین مقدار دوره کجاست

بیایید تابع همبستگی خودکار را پیدا کنیم سیگنال هارمونیک

,

فرکانس دایره ای کجاست و فاز اولیه است.

جایگزینی این عبارت به (2.66) و محاسبه انتگرال با استفاده از رابطه مثلثاتی شناخته شده:

.

از مثال در نظر گرفته شده، می‌توانیم نتایج زیر را که برای هر سیگنال دوره‌ای معتبر است، استخراج کنیم.

1. ACF یک سیگنال تناوبی یک تابع تناوبی با همان دوره است.

2. ACF یک سیگنال تناوبی تابع زوج آرگومان است.

3. زمانی که مقدار نشان دهنده توان متوسطی است که در مقاومت 1 اهم آزاد می شود و دارای بعد است.

4. ACF یک سیگنال دوره ای حاوی اطلاعاتی در مورد فاز اولیه سیگنال نیست.

همچنین باید توجه داشت که فاصله همبستگی یک سیگنال دوره ای.

حالا بیایید تابع همبستگی دو سیگنال هارمونیک را محاسبه کنیم همان فرکانس، اما در دامنه ها و فازهای اولیه متفاوت است

و .

توابع همبستگی سیگنال برای ارزیابی کمی یکپارچه اشکال سیگنال و درجه شباهت آنها به یکدیگر استفاده می شود.

توابع خودهمبستگی (ACF) سیگنال ها (تابع همبستگی، CF). اعمال شده به سیگنال های قطعیبا انرژی محدود، ACF یک مشخصه انتگرال کمی شکل سیگنال است و انتگرال حاصلضرب دو کپی از سیگنال s(t) را نشان می دهد که نسبت به یکدیگر در زمان t جابجا شده اند:

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.25)

همانطور که از این عبارت بر می آید، ACF حاصل ضرب اسکالر سیگنال و کپی آن در است وابستگی عملکردیاز مقدار تغییر متغیر t. بر این اساس، ACF دارای بعد فیزیکی انرژی است و در t = 0 مقدار ACF مستقیماً برابر با انرژی سیگنال است:

B s (0) =s(t) 2 dt = E s .

عملکرد ACF پیوسته و یکنواخت است. تأیید دومی با جایگزین کردن متغیر t = t-t در عبارت (2.25) آسان است:

B s (t) = s(t-t) s(t) dt = s(t) s(t-t) dt = ب s (-t). (2.25 اینچ)

با در نظر گرفتن برابری، نمایش گرافیکی ACF فقط برای مقادیر مثبت t تولید می شود. در عمل، سیگنال ها معمولاً در بازه مقادیر آرگومان مثبت از 0-T مشخص می شوند. علامت +t در عبارت (2.25) به این معنی است که با افزایش مقادیر t، یک کپی از سیگنال s(t+t) در امتداد محور t به سمت چپ جابه‌جا می‌شود و از 0 فراتر می‌رود، که نیاز به گسترش متناظر با آن دارد. سیگنال به ناحیه مقادیر منفی آرگومان. و از آنجایی که در محاسبات، فاصله تعیین t، به طور معمول، بسیار کوچکتر از فاصله زمانی تعیین سیگنال است، انتقال کپی سیگنال به سمت چپ در امتداد محور آرگومان، عملی تر است، یعنی. با استفاده از تابع s(t-t) به جای s(t+t) در عبارت (2.25).

با افزایش مقدار شیفت t برای سیگنال های محدود، همپوشانی موقت سیگنال با کپی آن کاهش می یابد و حاصل ضرب اسکالر به سمت صفر میل می کند.

مثال.در بازه (0,T) یک پالس مستطیلی با مقدار دامنه، برابر با A. تابع همبستگی خودکار ضربه را محاسبه کنید.

وقتی کپی پالس در امتداد محور t به سمت راست جابه‌جا می‌شود، در 0≤t≤T سیگنال‌ها در بازه t تا T همپوشانی دارند. محصول نقطه‌ای:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T-t).

هنگام انتقال یک کپی از پالس به چپ، در -T≤t<0 сигналы перекрываются на интервале от 0 до Т-t. Скалярное произведение:

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).

در |t| > T سیگنال و کپی آن نقطه تقاطع ندارند و حاصل ضرب اسکالر سیگنال ها صفر است (سیگنال و کپی جابجا شده آن متعامد می شوند).

با جمع بندی محاسبات، می توانیم بنویسیم:

B s (t) = .

در مورد سیگنال‌های دوره‌ای، ACF در یک دوره T محاسبه می‌شود، با میانگین‌گیری محصول اسکالر و کپی جابجا شده آن در دوره:

B s (t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt.

در t=0، مقدار ACF در این مورد نه با انرژی، بلکه با توان متوسط ​​سیگنال‌ها در بازه T برابر است. ACF سیگنال‌های تناوبی نیز یک تابع تناوبی با همان دوره T است. یک سیگنال هارمونیک تک تن، این واضح است. اولین مقدار حداکثر ACF با t=0 مطابقت دارد. وقتی کپی سیگنال به اندازه یک چهارم نقطه نسبت به نسخه اصلی جابجا شود، توابع انتگرال متعامد به یکدیگر می شوند (cos w o (t-t) = cos (w o t-p/2) º sin w o t) و می دهند مقدار صفر AKF. هنگامی که توسط t=T/2 جابجا شود، کپی سیگنال در جهت مخالف خود سیگنال می شود و حاصل ضرب اسکالر به آن می رسد. حداقل مقدار. با افزایش بیشتر در شیفت، روند معکوس افزایش مقادیر حاصلضرب اسکالر آغاز می شود، از صفر در t=3T/2 عبور می کند و حداکثر مقدار را در t=T=2p/w o (cos w o t-2p تکرار می کند. کپی سیگنال º cos w o t). یک فرآیند مشابه برای سیگنال های دوره ای با شکل دلخواه انجام می شود (شکل 2.11).

توجه داشته باشید که نتیجه به دست آمده به آن بستگی ندارد فاز اولیهسیگنال هارمونیک که برای هر سیگنال دوره ای معمول است و یکی از ویژگی های ACF است.

برای سیگنال هایی که در یک بازه زمانی مشخص داده می شوند، ACF با نرمال سازی طول بازه محاسبه می شود:

B s (t) =s(t) s(t+t) dt. (2.26)

همبستگی خودکار یک سیگنال را می توان با تابع ضرایب خود همبستگی نیز ارزیابی کرد که با استفاده از فرمول (بر اساس سیگنال های متمرکز) محاسبه می شود:

r s (t) = cos j(t) = ás(t)، s(t+t)ñ /||s(t)|| 2.

تابع همبستگی متقابل (CCF) سیگنال ها (تابع همبستگی متقابل، CCF) هم میزان شباهت در شکل دو سیگنال و هم آنها را نشان می دهد. ترتیب متقابلنسبت به یکدیگر در امتداد مختصات (متغیر مستقل)، که برای آن از همان فرمول (2.25) برای ACF استفاده می شود، اما در زیر انتگرال حاصل ضرب دو سیگنال مختلف وجود دارد که یکی از آنها با زمان t جابجا می شود:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.27)

هنگام جایگزینی متغیر t = t-t در فرمول (2.4.3)، به دست می آوریم:

B 12 (t) =s 1 (t-t) s 2 (t) dt =s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

برنج. 2.12. سیگنال ها و VKF

بنابراین، شرط برابری برای CCF برآورده نمی شود، و مقادیر CCF لازم نیست که حداکثر در t = 0 داشته باشند. این را می توان به وضوح در شکل مشاهده کرد. 2.12، که در آن دو سیگنال یکسان با مراکز در نقاط 0.5 و 1.5 داده می شود. محاسبه با استفاده از فرمول (2.27) با افزایش تدریجی مقادیر t به معنای جابجایی های پی در پی سیگنال s2(t) به چپ در امتداد محور زمان (برای هر مقدار s1(t)، مقادیر s2(t+ است. t) برای ضرب انتگرال گرفته می شوند).

در t=0 سیگنال ها متعامد هستند و مقدار B 12 (t) = 0. حداکثر B 12 (t) زمانی مشاهده می شود که سیگنال s2(t) با مقدار t=1 به چپ منتقل شود، که در آن سیگنال های s1(t) و s2(t+t) به طور کامل ترکیب می شوند. هنگام محاسبه مقادیر B 21 (-t)، فرآیند مشابهی با جابجایی متوالی سیگنال s1(t) به راست در امتداد محور زمان با افزایش تدریجی مقادیر منفی t انجام می شود و بر این اساس مقادیر B 21 (-t) آینه ای (نسبت به محور t=0) مقادیر B 12 (t) هستند و بالعکس. در شکل 2.13 این را می توان به وضوح مشاهده کرد.

برنج. 2.13. سیگنال ها و VKF

بنابراین، برای محاسبه فرم کاملمحور عددی VCF t باید شامل مقادیر منفی باشد و تغییر علامت t در فرمول (2.27) معادل تنظیم مجدد سیگنال ها است.

برای سیگنال های دوره ای، مفهوم CCF معمولاً اعمال نمی شود، به استثنای سیگنال هایی با دوره مشابه، به عنوان مثال، سیگنال های ورودی و خروجی سیستم ها هنگام مطالعه ویژگی های سیستم ها.

تابع ضرایب همبستگی دو سیگنال با فرمول (بر اساس سیگنال های مرکزی) محاسبه می شود:

r sv (t) = cos j(t) = ás(t)، v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2.28)

مقدار ضرایب همبستگی می تواند از 1- تا 1 متغیر باشد.