پنج مقدار ممکن از یک متغیر تصادفی پیوسته را بازی کنید. بازی تقریبی یک متغیر تصادفی معمولی

اجازه دهید ابتدا به یاد بیاوریم که اگر یک متغیر تصادفی باشد آربه طور یکنواخت در بازه (0،1) توزیع می شود، سپس انتظارات ریاضی و واریانس آن به ترتیب برابر است (به فصل XII، § 1، تبصره 3 مراجعه کنید):

م(آر)= 1/2, (*)

D(آر)= 1/2. (**)

بیایید یک جمع بندی کنیم پمتغیرهای تصادفی مستقل به طور یکنواخت در بازه (0،1) توزیع شده اند. R j(j=1، 2، ...، n):

برای عادی سازی این مجموع، ابتدا انتظارات و واریانس ریاضی آن را پیدا می کنیم.

مشخص است که انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی اصطلاحات. مقدار (***) شامل پشرایطی که انتظار ریاضی هر یک از آنها به دلیل (*) برابر با 1/2 است. بنابراین، انتظار ریاضی از مجموع ( *** )

مشخص است که واریانس مجموع متغیرهای تصادفی مستقل با مجموع واریانس‌های عبارت‌ها برابر است. مقدار (***) شامل nاصطلاحات مستقل که پراکندگی هر یک از آنها به موجب (**) برابر با 1/12 است. بنابراین واریانس مجموع (***)

بنابراین انحراف معیار جمع (***)

اجازه دهید مقدار مورد نظر را نرمال کنیم، که برای آن انتظار ریاضی را کم می کنیم و نتیجه را بر انحراف استاندارد تقسیم می کنیم:

به موجب قضیه حد مرکزی، وقتی p→∞توزیع این متغیر تصادفی نرمال شده با پارامترها به سمت نرمال گرایش دارد a= 0 و σ=1. در فینال پتوزیع تقریبا نرمال است. به ویژه، زمانی که پ= 12 یک تقریب نسبتا خوب و راحت برای محاسبات بدست می آوریم

قانون.برای بازی کردن مقدار ممکن x iمتغیر تصادفی عادی ایکسبا پارامترهای a=0 و σ=1، باید 12 عدد تصادفی مستقل اضافه کنید و 6 را از مجموع حاصل کم کنید:

مثال،الف) 100 مقدار ممکن از مقدار نرمال را پخش کنید ایکسبا پارامترهای a=0 و σ=1; ب) پارامترهای مقدار پخش شده را تخمین بزنید.

راه حل. الف) بیایید 12 عدد تصادفی را از ردیف اول جدول انتخاب کنیم، آنها را جمع کرده و 6 را از جمع حاصل کم کنیم. در نهایت ما داریم

x i=(0,10+0,09+...+0,67) - 6= - 0,99.

به همین ترتیب، با انتخاب 12 عدد اول از هر ردیف بعدی جدول، مقادیر ممکن باقیمانده را پیدا خواهیم کرد. ایکس.

ب) پس از انجام محاسبات، برآوردهای لازم را بدست می آوریم:

امتیازات رضایت بخش: آ*نزدیک به صفر، σ* تفاوت کمی با وحدت دارد.

اظهار نظر. اگر می خواهید یک مقدار ممکن را بازی کنید z i، متغیر تصادفی عادی زبا انتظارات ریاضی آو انحراف معیار σ ، سپس، با توجه به قاعده این بند، مقدار ممکن را بازی کرده است xi،مقدار ممکن مورد نظر را با استفاده از فرمول پیدا کنید

z i =σx i +a.

این فرمول از رابطه ( z i -a)/σ=x i.

وظایف

1. 6 مقدار از یک متغیر تصادفی گسسته را پخش کنید ایکس،که قانون توزیع آن در قالب یک جدول آورده شده است

ایکس		3,2
پ	0,18	0,24	0,58

توجه داشته باشید. برای اطمینان، فرض کنید که اعداد تصادفی انتخاب شده اند: 0.73; 0.75; 0.54; 0.08; 0.28; 0.53. هرزه. 10; 10; 10; 2; 3; 22; 10.

2. 4 آزمایش را انجام دهید، هر کدام با احتمال وقوع یک رویداد آبرابر با 0.52.

توجه داشته باشید. برای اطمینان، فرض کنید که اعداد تصادفی انتخاب شده اند: 0;28; 0.53; 0.91; 0.89.

هرزه. آ، ، .

3. احتمالات سه رویداد که یک گروه کامل را تشکیل می دهند آورده شده است: آر(آ 1)=0,20, آر(آ 2)=0,32, آر(الف 3)= 0,48. 6 چالش را بازی کنید که در هر کدام یکی از رویدادهای داده شده ظاهر می شود.

توجه داشته باشید. برای اطمینان، فرض کنید که اعداد تصادفی انتخاب شده اند: 0.77; 0.19; 0.21; 0.51; 0.99; 0.33.

هرزه. الف 3,آ 1 ,آ 2 ,آ 2 ,الف 3,آ 2 .

4. رویدادها الف و بمستقل و مشارکتی 5 چالش را بازی کنید، هر کدام با احتمال وقوع یک رویداد آبرابر با 0.5 است و رویدادها که در- 0,8.

آ 1 =ABبرای اطمینان، اعداد تصادفی را بگیرید: 0.34; 0.41; 0.48; 0.21; 0.57.

هرزه. آ 1 ,آ 2 ,آ 2 ,آ 1 ,الف 3.

5. رویدادها الف، ب، جمستقل و مشارکتی 4 تست را انجام دهید که در هر یک از آنها احتمال وقوع رویدادها آورده شده است: آر(آ)= 0,4, آر(که در)= 0,6, آر(با)= 0,5.

توجه داشته باشید. یک گروه کامل از رویدادها بسازید: برای اطمینان، فرض کنید که اعداد تصادفی انتخاب شده اند: 0.075; 0.907; 0.401; 0.344.

جواب الف 1 ,الف 8,الف 4,الف 4.

6. رویدادها آو که دروابسته و تعاونی 4 تست را انجام دهید که هر کدام احتمالاتی را ارائه کرده است: آر(آ)=0,7, آر(که در)=0,6, آر(AB)=0,4.

توجه داشته باشید. یک گروه کامل از رویدادها ایجاد کنید: آ 1 =ABبرای اطمینان، اعداد تصادفی را بگیرید: 0.28; 0.53; 0.91; 0.89.

هرزه. آ 1 ، آ 2 , A 4 , A 3 .

7. 3 مقدار ممکن از یک متغیر تصادفی پیوسته را پخش کنید ایکس،که بر اساس قانون نمایی توزیع شده و توسط تابع توزیع مشخص شده است اف(ایکس)= 1 - e -10 x .

توجه داشته باشید. برای اطمینان، فرض کنید که اعداد تصادفی انتخاب شده اند: 0.67; 0.79; 0.91.

هرزه. 0,04; 0,02; 0,009.

8. 4 مقدار ممکن از یک متغیر تصادفی پیوسته را پخش کنید ایکس،به طور یکنواخت در بازه (6،14) توزیع شده است.

توجه داشته باشید. برای قطعیت، فرض کنید که اعداد تصادفی انتخاب شده اند: 0.11: 0.04; 0.61; 0.93.

هرزه. 6,88; 6,32; 10,88; 13,44.

9. فرمول های صریح را برای پخش یک متغیر تصادفی پیوسته با استفاده از روش برهم نهی پیدا کنید ایکس،تابع توزیع داده شده

اف(ایکس)=1- (1/3)(2е- 2 x +е -3 x:)، 0<ایکس<∞.

هرزه. x= - (1/2)1p r 2 اگر r 1 < 2/3; ایکس= - (1/3)1p r 2 اگر r 1 ≥2/3.

10. یک فرمول صریح برای پخش یک متغیر تصادفی پیوسته پیدا کنید ایکس،با توجه به چگالی احتمال f(ایکس)=ب/(1 +تبر) 2 در بازه 0≤ ایکس≤1/(b-a); خارج از این بازه f(x)=0.

هرزه. x i= - r i/(b - ar i).

11. 2 مقدار ممکن از یک متغیر تصادفی معمولی را با پارامترهای زیر پخش کنید: الف) آ=0, σ =1; ب) آ =2, σ =3.

توجه داشته باشید. برای اطمینان، اعداد تصادفی را بپذیرید (تعداد صدم ها در زیر نشان داده شده است؛ به عنوان مثال، عدد 74 مربوط به یک عدد تصادفی است. r 1 =0,74): 74. 10, 88, 82. 22, 88, 57, 07, 40, 15, 25, 70; 62, 88, 08, 78, 73, 95, 16, 05, 92, 21, 22, 30.

هرزه.آ) ایکس 1 = - 0,22, ایکس 2 = - 0.10; 6) z 1 =1,34, z 2 =2,70.

فصل بیست و دوم

اجازه دهید که لازم باشد یک متغیر تصادفی پیوسته X پخش شود، یعنی. دنباله ای از مقادیر ممکن آن (i=1، 2، ...، n) را با دانستن تابع توزیع F(x) بدست آورید.

قضیه. اگر یک عدد تصادفی است، پس مقدار ممکن متغیر تصادفی پیوسته پخش شده X با تابع توزیع داده شده F (x)، مربوط به، ریشه معادله است.

قانون 1. برای یافتن مقدار ممکن، یک متغیر تصادفی پیوسته X، با دانستن تابع توزیع آن F (x)، باید یک عدد تصادفی را انتخاب کنید، تابع توزیع آن را معادل سازی کنید و معادله حاصل را حل کنید.

یادداشت 1. اگر حل این معادله به طور صریح امکان پذیر نیست، به روش های گرافیکی یا عددی متوسل شوید.

مثال 1. 3 مقدار ممکن از یک متغیر تصادفی پیوسته X را پخش کنید که به طور یکنواخت در بازه (2، 10) توزیع شده است.

راه حل: بیایید تابع توزیع مقدار X را بنویسیم که به طور یکنواخت در بازه (a, b) توزیع شده است: .

با توجه به شرط، a=2، b=10، بنابراین، .

با استفاده از قانون 1، یک معادله برای یافتن مقادیر ممکن می نویسیم، که برای آن تابع توزیع را با یک عدد تصادفی برابر می کنیم:

از اینجا .

بیایید 3 عدد تصادفی را انتخاب کنیم، برای مثال، . . بیایید این اعداد را در معادله حل شده با توجه به ; در نتیجه، مقادیر ممکن مربوط به X را بدست می آوریم: ; ; .

مثال 2. یک متغیر تصادفی پیوسته X بر اساس قانون نمایی مشخص شده توسط تابع توزیع توزیع می شود (پارامتر مشخص است) (x > 0). ما باید یک فرمول صریح برای بازی کردن مقادیر احتمالی X پیدا کنیم.

راه حل: با استفاده از قانون، معادله را می نویسیم.

بیایید این معادله را برای: ، یا حل کنیم.

عدد تصادفی در بازه (0، 1) موجود است. بنابراین، عدد نیز تصادفی است و به بازه (0،1) تعلق دارد. به عبارت دیگر، مقادیر R و 1-R به طور مساوی توزیع می شوند. بنابراین، برای یافتن آن، می توانید از فرمول ساده تری استفاده کنید.

تبصره 2.مشخص است که .

به خصوص، .

نتیجه می شود که اگر چگالی احتمال مشخص باشد، برای بازی X، به جای معادلات، می توان معادله را حل کرد.

قانون 2. برای یافتن مقدار ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته X با دانستن چگالی احتمال آن، باید یک عدد تصادفی انتخاب کرد و برای آن معادله یا معادله را حل کرد که a کوچکترین مقدار نهایی ممکن X است.

مثال 3. چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته X در بازه داده شده است. خارج از این فاصله ما باید یک فرمول صریح برای بازی کردن مقادیر احتمالی X پیدا کنیم.

راه حل: معادله را مطابق قانون 2 بنویسیم.

پس از انجام انتگرال و حل معادله درجه دوم به دست آمده برای ، بالاخره به آن می رسیم.

18.7 بازی تقریبی یک متغیر تصادفی عادی

ابتدا به یاد بیاوریم که اگر یک متغیر تصادفی R به طور یکنواخت در بازه (0، 1) توزیع شود، انتظار ریاضی و واریانس آن به ترتیب برابر است: M(R)=1/2، D(R)=1/12.

بیایید مجموع n متغیر تصادفی مستقل با توزیع یکنواخت را در بازه (0، 1) جمع آوری کنیم: .

برای عادی سازی این مجموع، ابتدا انتظارات و واریانس ریاضی آن را پیدا می کنیم.

مشخص است که انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی اصطلاحات. مجموع شامل n جمله است که انتظار ریاضی هر یک از آنها به دلیل M(R) = 1/2 برابر با 1/2 است. بنابراین، انتظار ریاضی از مجموع

مشخص است که واریانس مجموع متغیرهای تصادفی مستقل با مجموع واریانس‌های عبارت‌ها برابر است. مجموع شامل n عبارت مستقل است که واریانس هر یک از آنها به دلیل D(R) = 1/12 برابر با 1/12 است. بنابراین، واریانس مجموع

از این رو انحراف معیار مجموع

اجازه دهید مقدار مورد نظر را نرمال کنیم، که انتظار ریاضی را کم می کنیم و نتیجه را بر انحراف معیار تقسیم می کنیم: .

به موجب قضیه حد مرکزی، توزیع این متغیر تصادفی نرمال شده با پارامترهای a = 0 و . برای n محدود، توزیع تقریباً نرمال است. به طور خاص، برای n=12 یک تقریب نسبتا خوب و راحت برای محاسبات به دست می آوریم.

برآوردها رضایت بخش هستند: نزدیک به صفر، کمی متفاوت از یک.

فهرست منابع استفاده شده

1. Gmurman V.E. نظریه احتمالات و آمار ریاضی. - م.: مدرسه عالی، 2001.

2. Kalinina V.N., Pankin V.F. آمار ریاضی - م.: مدرسه عالی، 2001.

3. Gmurman V.E. راهنمای حل مسائل در نظریه احتمالات و آمار ریاضی. - م.: مدرسه عالی، 2001.

4. Kochetkov E.S.، Smerchinskaya S.O.، Sokolov V.V. نظریه احتمالات و آمار ریاضی. - M.:FORUM:INFRA-M، 2003.

5. Agapov G.I. کتاب مسائل نظریه احتمال. - م.: دبیرستان، 1994.

6. Kolemaev V.A.، Kalinina V.N. نظریه احتمالات و آمار ریاضی. - M.: INFRA-M، 2001.

7. Ventzel E.S. نظریه احتمال. - م.: مدرسه عالی، 2001.

تعریف 24.1.اعداد تصادفیمقادیر ممکن را نام ببرید rمتغیر تصادفی پیوسته آر، به طور یکنواخت در بازه (0؛ 1) توزیع شده است.

1. پخش یک متغیر تصادفی گسسته.

فرض کنید می خواهیم یک متغیر تصادفی گسسته را بازی کنیم ایکس، یعنی با دانستن قانون توزیع، دنباله ای از مقادیر ممکن آن را بدست آورید ایکس:

X x 1 ایکس 2 … x n

r r 1 آر 2 … r p .

یک متغیر تصادفی را در نظر بگیرید که به طور یکنواخت در (0، 1) توزیع شده است. آرو فاصله (0، 1) را با نقاط دارای مختصات تقسیم کنید آر 1, آر 1 + آر 2 , …, آر 1 + آر 2 +… +r p-1 روشن پفواصل جزئی که طول آنها برابر با احتمالات با شاخص های یکسان است.

قضیه 24.1.اگر به هر عدد تصادفی که در بازه قرار می‌گیرد یک مقدار ممکن نسبت داده شود، آن‌گاه مقداری که پخش می‌شود قانون توزیع مشخصی خواهد داشت:

X x 1 ایکس 2 … x n

r r 1 آر 2 … r p .

اثبات

مقادیر احتمالی متغیر تصادفی حاصل با مجموعه منطبق است ایکس 1 , ایکس 2 ,… x n، از آنجایی که تعداد بازه ها برابر است پ، و هنگام ضربه زدن r jدر یک بازه، یک متغیر تصادفی می تواند تنها یکی از مقادیر را بگیرد ایکس 1 , ایکس 2 ,… x n.

زیرا آربه طور یکنواخت توزیع می شود، سپس احتمال سقوط آن در هر بازه برابر با طول آن است، به این معنی که هر مقدار با احتمال مطابقت دارد. p i. بنابراین، متغیر تصادفی در حال پخش قانون توزیع مشخصی دارد.

مثال. 10 مقدار از یک متغیر تصادفی گسسته را پخش کنید ایکسکه قانون توزیع آن به شکل زیر است: ایکس 2 3 6 8

آر 0,1 0,3 0,5 0,1

راه حل. بیایید فاصله (0، 1) را به فواصل جزئی تقسیم کنیم: D 1 - (0؛ 0.1)، D 2 - (0.1؛ 0.4)، D 3 - (0.4؛ 0.9)، D 4 - (0.9؛ 1). بیایید 10 عدد از جدول اعداد تصادفی بنویسیم: 0.09; 0.73; 0.25; 0.33; 0.76; 0.52; 0.01; 0.35; 0.86; 0.34. اعداد اول و هفتم در فاصله D 1 قرار دارند، بنابراین، در این موارد، متغیر تصادفی پخش شده مقدار را به خود اختصاص می دهد. ایکس 1 = 2; اعداد سوم، چهارم، هشتم و دهم در فاصله D 2 قرار گرفتند که مربوط به ایکس 2 = 3; اعداد دوم، پنجم، ششم و نهم در فاصله D 3 قرار داشتند - در این مورد X = x 3 = 6; در فاصله آخر هیچ عددی وجود نداشت. بنابراین، مقادیر ممکن نمایش داده شد ایکسعبارتند از: 2، 6، 3، 3، 6، 6، 2، 3، 6، 3.

2. نمایش وقایع متضاد.

اجازه دهید آن را به بازی کردن تست، که در هر یک از یک رویداد مورد نیاز است آبا احتمال مشخص ظاهر می شود آر. یک متغیر تصادفی گسسته را در نظر بگیرید ایکس، با گرفتن مقدار 1 (اگر رویداد آاتفاق افتاد) با احتمال آرو 0 (اگر آاتفاق نیفتاد) با احتمال q = 1 – پ. سپس این متغیر تصادفی را همانطور که در پاراگراف قبل پیشنهاد شد بازی می کنیم.

مثال. 10 چالش را بازی کنید که هر کدام یک رویداد دارد آبا احتمال 0.3 ظاهر می شود.

راه حل. برای یک متغیر تصادفی ایکسبا قانون توزیع ایکس 1 0

آر 0,3 0,7

ما فواصل D 1 - (0؛ 0.3) و D 2 - (0.3؛ 1) را بدست می آوریم. ما از همان نمونه اعداد تصادفی مانند مثال قبلی استفاده می کنیم که برای آن اعداد شماره 1، 3 و 7 در بازه D 1 قرار می گیرند و بقیه - در بازه D 2. بنابراین، می توانیم فرض کنیم که این رویداد آدر کارآزمایی های اول، سوم و هفتم رخ داد، اما در کارآزمایی های باقی مانده رخ نداد.

3. پخش یک گروه کامل از رویدادها.

اگر حوادث آ 1 , آ 2 , …, یک صفحه، که احتمالات آن برابر است آر 1 , آر 2 ,… r p، یک گروه کامل تشکیل دهید، سپس برای بازی (یعنی مدلسازی توالی ظاهر آنها در یک سری آزمایش) می توانید یک متغیر تصادفی گسسته را پخش کنید. ایکسبا قانون توزیع ایکس 1 2 … پ،با انجام این کار به همان روشی که در بند 1 آمده است. در عین حال، ما معتقدیم که

r r 1 آر 2 … r p

اگر ایکسارزش می گیرد x i = i، سپس در این تست این رویداد رخ داده است یک آی.

4. پخش یک متغیر تصادفی پیوسته.

الف) روش توابع معکوس.

فرض کنید می خواهیم یک متغیر تصادفی پیوسته را بازی کنیم ایکس، یعنی دنباله ای از مقادیر ممکن آن را بدست آورید x i (من = 1, 2, …, n) دانستن تابع توزیع اف(ایکس).

قضیه 24.2.اگر r iیک عدد تصادفی است، سپس مقدار ممکن است x iمتغیر تصادفی پیوسته پخش شد ایکسبا یک تابع توزیع داده شده اف(ایکس)، متناظر r i، ریشه معادله است

اف(x i) = r i. (24.1)

اثبات

زیرا اف(ایکس) به طور یکنواخت در فاصله از 0 به 1 افزایش می یابد، سپس یک مقدار (و منحصر به فرد) آرگومان وجود دارد. x i، که در آن تابع توزیع مقدار را می گیرد r i. این بدان معنی است که معادله (24.1) یک راه حل منحصر به فرد دارد: x i= اف -1 (r i)، جایی که اف-1 - تابع معکوس به اف. اجازه دهید ثابت کنیم که ریشه معادله (24.1) یک مقدار ممکن از متغیر تصادفی مورد بررسی است. ایکس.اجازه دهید ابتدا این را فرض کنیم x iمقدار ممکن برخی از متغیرهای تصادفی x است، و ما ثابت می کنیم که احتمال x در بازه ( SD) برابر است با اف(د) – اف(ج). در واقع، به دلیل یکنواختی اف(ایکس) و آن اف(x i) = r i. سپس

بنابراین، بنابراین، احتمال سقوط x به بازه ( ج، د) برابر است با افزایش تابع توزیع اف(ایکس) در این بازه، بنابراین، x = ایکس.

3 مقدار ممکن از یک متغیر تصادفی پیوسته را پخش کنید ایکس، به طور یکنواخت در فاصله (5؛ 8) توزیع شده است.

اف(ایکس) = یعنی حل معادله لازم است بیایید 3 عدد تصادفی را انتخاب کنیم: 0.23; 0.09 و 0.56 و آنها را در این معادله جایگزین کنید. بیایید مقادیر ممکن مربوطه را بدست آوریم ایکس:

ب) روش برهم نهی.

اگر تابع توزیع متغیر تصادفی در حال پخش را می توان به صورت ترکیبی خطی از دو تابع توزیع نشان داد:

پس از آن، از چه زمانی ایکس®¥ اف(ایکس) ® 1.

اجازه دهید یک متغیر تصادفی گسسته کمکی را معرفی کنیم زبا قانون توزیع

ز 12 . بیایید 2 عدد تصادفی مستقل را انتخاب کنیم r 1 و r 2 و بازی ممکن است

pC 1 سی 2

معنی زبا شماره r 1 (نگاه کنید به نقطه 1). اگر ز= 1، سپس به دنبال مقدار ممکن مورد نظر می گردیم ایکساز معادله، و اگر ز= 2، سپس معادله را حل می کنیم.

می توان ثابت کرد که در این حالت تابع توزیع متغیر تصادفی در حال پخش برابر با تابع توزیع داده شده است.

ج) بازی تقریبی یک متغیر تصادفی عادی.

از آنجایی که برای آر، به طور یکنواخت در (0، 1) و سپس برای مجموع توزیع می شود پمتغیرهای تصادفی مستقل و یکنواخت توزیع شده در بازه (0،1). سپس، به موجب قضیه حد مرکزی، متغیر تصادفی نرمال شده در پ® ¥ توزیعی نزدیک به نرمال با پارامترها خواهد داشت آ= 0 و s = 1. به ویژه، تقریب نسبتاً خوبی به دست می آید که پ = 12:

بنابراین، برای نمایش مقدار ممکن متغیر تصادفی عادی نرمال شده ایکس، باید 12 عدد تصادفی مستقل را جمع کنید و 6 را از جمع کم کنید.

از بین همه متغیرهای تصادفی، ساده ترین بازی (مدل) متغیری است که به طور یکنواخت توزیع شده است. بیایید ببینیم چگونه این کار انجام می شود.

بیایید دستگاهی را در نظر بگیریم که خروجی آن احتمالاً شامل اعداد 0 یا 1 است. ظاهر یک یا آن عدد باید تصادفی باشد. چنین وسیله ای می تواند یک سکه پرتاب شده، یک تاس ( زوج - 0، فرد - 1) یا یک ژنراتور خاص بر اساس شمارش تعداد پوسیدگی های رادیواکتیو یا انفجار نویز رادیویی در یک زمان معین (زوج یا فرد) باشد.

بیایید y را به صورت کسری باینری بنویسیم و ارقام متوالی را با اعداد تولید شده توسط مولد جایگزین کنیم: به عنوان مثال، . از آنجایی که رقم اول می تواند دارای 0 یا 1 با احتمال مساوی باشد، این عدد به همان اندازه در نیمه چپ یا راست بخش قرار دارد. از آنجایی که در رقم دوم 0 و 1 نیز به یک اندازه محتمل هستند، عدد با احتمال مساوی در هر نیمه از این نیمه ها قرار دارد و غیره.

به بیان دقیق، فقط تعداد محدودی از رقم k را می توان پخش کرد. بنابراین، توزیع به طور کامل مورد نیاز نخواهد بود. انتظار ریاضی کمتر از 1/2 مقدار خواهد بود (زیرا مقدار ممکن است، اما مقدار غیرممکن است). برای جلوگیری از تأثیر این عامل بر شما، باید اعداد چند رقمی را بگیرید. درست است، در روش آزمون آماری، دقت پاسخ معمولاً از 0.1٪ -103 تجاوز نمی کند و شرط می دهد که در رایانه های مدرن با حاشیه زیادی از آن فراتر رود.

اعداد شبه تصادفی مولدهای اعداد تصادفی واقعی عاری از خطاهای سیستماتیک نیستند: عدم تقارن سکه، رانش صفر و غیره. بنابراین، کیفیت اعدادی که تولید می کنند با آزمایش های ویژه بررسی می شود. ساده ترین آزمون محاسبه فراوانی وقوع یک صفر برای هر رقم است. اگر فرکانس به طور قابل توجهی با 1/2 متفاوت باشد، یک خطای سیستماتیک وجود دارد، و اگر خیلی نزدیک به 1/2 باشد، اعداد تصادفی نیستند - نوعی الگو وجود دارد. آزمون های پیچیده تر، ضرایب همبستگی اعداد متوالی را محاسبه می کنند

یا گروهی از ارقام درون یک عدد؛ این ضرایب باید نزدیک به صفر باشد.

اگر دنباله ای از اعداد این آزمون ها را برآورده کند، می توان از آن در محاسبات با استفاده از روش آزمون آماری استفاده کرد، بدون اینکه به منشا آن علاقه مند باشد.

الگوریتم هایی برای ساخت چنین دنباله هایی توسعه یافته اند. آنها به طور نمادین با فرمول های مکرر نوشته می شوند

چنین اعدادی شبه تصادفی نامیده می شوند و در رایانه محاسبه می شوند. این معمولا راحت تر از استفاده از ژنراتورهای خاص است. اما هر الگوریتم دارای تعداد محدودی از اصطلاحات دنباله ای است که می توانند در محاسبات استفاده شوند. با تعداد بیشتر عبارت، ماهیت تصادفی اعداد از بین می رود، به عنوان مثال، تناوب آشکار می شود.

اولین الگوریتم برای بدست آوردن اعداد شبه تصادفی توسط نیومن ارائه شد. بیایید یک عدد از ارقام (به طور مشخص، اعشاری) برداریم و آن را مربع کنیم. ارقام میانی مربع را ترک می کنیم و آخرین و (یا) اولین را کنار می گذاریم. دوباره عدد حاصل را مربع می کنیم و غیره. مقادیر با ضرب این اعداد در بدست می آیند. سپس دریافت می کنیم

اما توزیع اعداد نویمان به اندازه کافی یکنواخت نیست (مقادیر غالب هستند که به وضوح در مثال داده شده مشاهده می شود) و اکنون به ندرت از آنها استفاده می شود.

متداول ترین الگوریتم در حال حاضر یک الگوریتم ساده و خوب است که با انتخاب بخش کسری محصول مرتبط است.

که در آن A یک ثابت بسیار بزرگ است (پرانتز فرفری قسمت کسری عدد را نشان می دهد). کیفیت اعداد شبه تصادفی به شدت به انتخاب مقدار A بستگی دارد: این عدد در نماد دودویی باید به اندازه کافی "تصادفی" باشد اگرچه رقم آخر آن باید به عنوان یک در نظر گرفته شود. مقدار تأثیر کمی بر کیفیت دنباله دارد، اما اشاره شده است که برخی از مقادیر شکست می‌خورند.

با استفاده از آزمایشات و تجزیه و تحلیل نظری، مقادیر زیر مطالعه و توصیه شده است: برای BESM-4; برای BESM-6. برای برخی از کامپیوترهای آمریکایی، این اعداد توصیه می شود و مربوط به تعداد ارقام مانتیس و ترتیب شماره است، بنابراین برای هر نوع کامپیوتر متفاوت است.

نکته 1. در اصل، فرمول هایی مانند (54) اگر به صورت غیر تکراری نوشته شوند و همه ضرب ها بدون گرد کردن انجام شوند، می توانند دنباله های بسیار طولانی خوبی ارائه دهند. گرد کردن معمولی در رایانه کیفیت اعداد شبه تصادفی را کاهش می دهد، اما با این وجود، اعضای دنباله معمولاً مناسب هستند.

نکته 2. کیفیت دنباله بهبود می یابد اگر اختلالات تصادفی کوچک در الگوریتم وارد شوند (54). به عنوان مثال، پس از عادی سازی یک عدد، ارسال ترتیب باینری عدد به آخرین رقم های دودویی مانتیس آن مفید است.

به بیان دقیق، الگوی اعداد شبه تصادفی باید در رابطه با کاربرد خاص مورد نیاز نامرئی باشد. بنابراین در مسائل ساده یا با فرمول بندی مناسب می توان از دنباله هایی با کیفیت نه چندان خوب استفاده کرد، اما بررسی های خاصی لازم است.

توزیع تصادفی برای پخش یک متغیر تصادفی با توزیع ناهموار، می توانید از فرمول (52) استفاده کنید. بیایید y بازی کنیم و از تساوی تعیین کنیم

اگر انتگرال به شکل نهایی خود گرفته شود و فرمول ساده باشد، این راحت ترین راه است. برای برخی از توزیع های مهم - Gaussian، Poisson - انتگرال های مربوطه گرفته نشده است و روش های خاصی برای بازی ایجاد شده است.