Slučajni vektor

Zajednička funkcija gustoće vjerovatnoće dvije slučajne varijable

Neka funkcija ima izvode u odnosu na, kao i drugi mješoviti izvod. Zajednička (ili dvodimenzionalna) distribucija gustine vjerovatnoće slučajnih varijabli je funkcija

Razmotrimo osnovna svojstva dvodimenzionalne gustine vjerovatnoće.

1. Sljedeći omjer je fer:

Da bismo to dokazali koristimo jednakost (51.1), tada:

Sada iz jednakosti (50.2) slijedi (51.2). Ovaj odnos je od praktične važnosti, jer omogućava da se izračuna verovatnoća pada dvodimenzionalnog vektora u pravougaonik definisan segmentima i kroz gustinu verovatnoće.

2. Uzmite u obzir poseban slučaj odnosi (51.2). Neka onda (51.2) poprimi oblik:

Ova relacija definira funkciju raspodjele vjerovatnoće kroz gustinu vjerovatnoće i inverzna je jednakosti (51.1).

3. Razmotrimo (51.2) pod uslovima: , tada iz (51.2) slijedi jednakost:

jer - kao vjerovatnoća pouzdanog događaja. Relacija (51.5) se zove uslov normalizacije za gustinu verovatnoće.

4. If je gustina vjerovatnoće vektora, i je gustina vjerovatnoće slučajna varijabla, To

Ova jednakost se naziva svojstvom konzistentnosti gustoće drugog reda i gustine prvog reda. Ako je gustoća drugog reda poznata, onda pomoću formule (51.6) možemo izračunati gustinu vjerovatnoće slučajne varijable. Isto tako,

Dobijamo dokaz (51.6) na osnovu jednakosti

Predstavimo kroz gustinu prema (51.4), i kroz, onda iz (51.8) slijedi

Diferenciranje (51.9) s obzirom na vodi do jednakosti (51.6), čime je dokaz završen.

5. Slučajne varijable i nazivaju se nezavisnim ako su slučajni događaji nezavisni i za bilo koje brojeve i. Za nezavisne slučajne varijable i:

Dokaz slijedi iz definicija funkcija i, . Pošto su i nezavisne slučajne varijable, onda su događaji u obliku: i nezavisni za bilo koje i. Zbog toga

Jednakost (51.10) je tačna. Izdiferencirajmo (51.10) s obzirom na i, onda prema (51.1) dobijamo korolar za gustine:

6. Neka - proizvoljno područje onda u avionu

Vjerovatnoća da vektor uzme bilo koju vrijednost iz regije određena je integralom preko gustine vjerovatnoće.

Razmotrimo primjer slučajnog vektora sa uniformnom distribucijom vjerovatnoće, koji ima gustinu vjerovatnoće na pravokutniku i izvan ovog pravokutnika. Broj se određuje iz uslova normalizacije:

Doprinos B.V. Gnedenko u razvoju teorije vjerovatnoće

Tridesetih godina prošlog veka pažnju Borisa Vladimiroviča privukli su problemi u vezi sa zbrajanjem nezavisnih slučajnih varijabli. Interes za ovakve probleme pojavio se u matematici još u 17. veku...

Math statistics

Koristeći tačkaste procjene parametara zakona normalne distribucije i zapišite gustinu vjerovatnoće i funkciju raspodjele...

Kontinuirane slučajne varijable. Zakon normalne distribucije

Neka je kontinuirana slučajna varijabla X definirana gustinom distribucije f(x). Pretpostavimo da je sve moguće vrijednosti X pripada segmentu [a, b]. Podijelimo ovaj segment na n djelomičnih segmenata dužine.....

Slučajni vektor

U problemima sa slučajnim ishodom obično je potrebno uzeti u obzir interakciju nekoliko slučajnih varijabli. Ovo prirodno dovodi do koncepta višedimenzionalnih (vektorskih) slučajnih varijabli ili skupa nekoliko slučajnih varijabli...

Slučajni vektor

Uslovna distribucija gustoće vjerovatnoće slučajne varijable pod uslovom naziva se funkcija: . (53.1) Tada relaciju (52.5) ​​zamjenjujemo u (53.1). (53.2) Ovo slijedi. (53.3) - formula za množenje za gustine...

Slučajni vektor

Za nezavisne slučajne varijable i kovarijansu. Nasuprot tome, razmotrite još jedan ekstremni slučaj, kada su slučajne varijable i povezane funkcionalna zavisnost: , (56.1) gdje su brojevi. Izračunajmo kovarijansu slučajnih varijabli i: . (56...

Slučajni vektor

Neka slučajni vektor ima funkciju raspodjele vjerovatnoće i postoji parcijalni izvod, (61.1) tada se funkcija naziva gustina raspodjele vjerovatnoće slučajnog vektora ili dimenzionalna gustina vjerovatnoće...

Slučajni vektor

Neka su slučajne varijable koje imaju zajedničku gustinu i zajedničku funkciju raspodjele vjerojatnosti. Neka su date i funkcije i varijable. Umjesto argumenata funkcije, zamjenjujemo slučajne varijable, tada (64...

Slučajni vektor

66.1. Relacija (65.11), koja određuje gustinu verovatnoće transformisane varijable kroz gustinu originalne slučajne varijable, može se generalizovati na slučaj transformacije slučajnih varijabli...

Slučajni procesi

Ako ima izvod, (71.1), onda se ovaj izvod naziva -dimenzionalna gustina raspodjele vjerovatnoće slučajni proces. Osnovna svojstva gustine (71...

Teorija vjerovatnoće

Slučajna varijabla je veličina čija numerička vrijednost može varirati ovisno o rezultatu stohastičkog eksperimenta. Nazovimo diskretnu slučajnu varijablu čije moguće vrijednosti čine konačni skup...

Teorija vjerovatnoće

Slučajna varijabla je veličina čija numerička vrijednost može varirati ovisno o rezultatu stohastičkog eksperimenta. Kontinuirano je slučajna varijabla koja može uzeti bilo koju vrijednost iz određenog intervala...

Teorija vjerojatnosti i slučajne varijable

Neka je kontinuirana slučajna varijabla X određena funkcijom distribucije f(x). Pretpostavimo da sve moguće vrijednosti slučajne varijable pripadaju segmentu. Definicija. Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable X...

Šta je slučajna varijabla

Postoje dvije vrste slučajnih varijabli: diskretne i kontinuirane. Diskretne su one slučajne varijable čiji je skup vrijednosti konačan ili fiksan. Primjer diskretne slučajne varijable...

Elementi teorije vjerovatnoće

Matematičko očekivanje: Vrijednost (6) se naziva matematičko očekivanje. U suštini, to je prosječna vrijednost koja uzima u obzir težinu implementacije trenutne vrijednosti. Da bismo razjasnili koncept težine, pretpostavimo da je to diskretna količina...

Između tokova ishoda događaja X i događaja Y jednaka nuli. Stoga, ako dođe do stohastičke nezavisnosti, onda bismo očekivali da će vjerovatnoća X = 0 i Y = 3 biti jednaka (6/27) (8/27) = 0,222 0,0658 = 0,0658. Umjesto toga, ova vjerovatnoća je nula, čime se potvrđuje prihvaćena teorema uslovne vjerovatnoće da se gustine zglobova ne mogu dobiti iz bezuslovnih gustina komponenti.

Znalo se kako odrediti koeficijent korelacije u prisustvu samo gustine zglobova i bezuslovnih gustina, ali dugo vremena vjerovalo se da je nemoguće odrediti gustinu spoja samo sa bezuslovnim gustoćama i koeficijentom korelacije fluksa. A to je upravo ono što mi je trebalo.

FUNKCIJA GUSTOĆE ZAJEDNIČKE DISTRIBUCIJE

Razmotrimo sistem simultanih jednačina (2.1), za koje su ispunjeni uslovi normalnosti (uslov 1) i ranga (uslov 2). Zatim, (i) gustina spoja (g/1,..., g/n) zavisi od (Bo, Go, Ho) samo kroz redukovane parametre forme (Po, o)5 (n) Po i 1 su globalno prepoznatljiv.

Zaista, neka

slučajni vektor ograničenja b. Gustina distribucije komponente 6 je jednaka

Označimo sa f zajedničku gustinu raspodjele komponenti vektora b(w).

Koristeći ovu formulu, možete odrediti zajedničku vjerovatnoću (gustinu zajedničke vjerovatnoće) ovih SV-ova

Zajednička vjerojatnost, funkcija zajedničke raspodjele, gustoća zajedničke vjerojatnosti ne daju jasnu predstavu o ponašanju svake od komponenti razmatranog SV i njihovom međusobnom odnosu. U ovom slučaju mogu se konstruisati zakoni raspodjele za svaku od komponenti višedimenzionalnog SV. Štaviše, svaka od njih uzima iste vrijednosti, ali sa odgovarajućim marginalnim vjerovatnoćama ili marginalnim funkcijama distribucije izračunate pomoću formula (1.23), (1.24). Na primjer, dvodimenzionalni diskretni SV (X, Y) može se specificirati u obliku tabele

Što je vjerojatnost zgloba, funkcija distribucije zgloba, gustina zajedničke vjerovatnoće

Navedite primjer zajedničke funkcije gustoće vjerovatnoće dvije slučajne varijable i nacrtajte njihove linije nivoa za različita značenja koeficijent korelacije ovih veličina.

Ova pretpostavka se može analitički prepisati na sljedeći način: imovina/e korporacije stvaraju tok prihoda X, (1), X, (2),..., X,(T). Elementi ovog toka su slučajne varijable koje imaju zajedničku gustinu raspodjele oblika xL-U, (1), X, (2),. .., X, (T)]. Profitabilnost i-te kor-

Uglavnom ćemo razmatrati vremenske serije , koje imaju zajedničku distribuciju slučajnih varijabli X, . .., X ima zajedničku gustinu raspodjele p(x, x,..., x).

Pod ovim pretpostavkama, zajednička gustina raspodjele slučajnih vektora ul,...,un ima oblik

Pošto je u = y,T - xtB, onda prelazeći sa varijabli u,...,ipk na varijable y1,...,yn, dobijamo izraz za zajedničku gustinu vrednosti vektora y1, ...,y u formi

Poznato je da za f (x) - f(x,y)dy i ftj(y) - f(x,y)dx, gustina spoja

Sve ove uslovne gustine lako se izražavaju kroz gustinu zglobova

Zbog kombinovanog uticaja slučajnih i sistematskih faktora, tehnološki parametri i parametri proizvoda su slučajne varijable. Obično se distribuiraju prema normalnom ili skraćenom normalnom zakonu s gustinom raspodjele f(x) (-)]

Preko tri stotine godina zajedničkog aktivnog rada mnogih generacija fizičara i matematičara, uspjeli su izgraditi skladnu građevinu – sistem matematičkih modela fizičkih procesa. Ova zgrada se sastoji od više spratova. Zasniva se na principima koji služe kao osnova za modele fizičkih pojava. Ovi principi su proizvod dugog razvoja nauke, oni otelotvoruju iskustvo čovekovog uticaja na prirodu oko sebe, odnosno praksu (u filozofskom smislu te reči); važno mjesto u kojoj je u prirodnim naukama zauzet eksperiment punog opsega. Tri principa mehanike, koje je formulisao Isaac Newton, služe kao dovoljna osnova za konstruisanje matematičkih modela u mehanici u slučaju kada se objekti koji nas zanimaju mogu opisati sa dovoljnim stepenom tačnosti u obliku materijalnih tačaka i njihovih brzina. su daleko od brzine svetlosti. Objekti ove vrste uključuju široku klasu fenomena koji se proučavaju, u rasponu od oscilacija klatna do kontrolisanog leta svemirski brod. Dodavanjem tri njutnova principa principa opisivanja deformacije čvrstog tijela, već možemo opisati interakciju čvrstih tijela konačnih dimenzija. Dodavanjem Newtonovim principima principa razmatranja tečnosti kao kontinuiranog, kontinuiranog medija (tj. zanemarujući njenu molekularnu strukturu), principa opisivanja odnosa između gustine i pritiska, kao i principa očuvanja mase, koji ima obliku jednadžbe kontinuiteta sredine, dobijamo matematički model tečnosti.

Ovaj primjer pokazuje da zbir vjerovatnoća u prvoj koloni mora biti jednak bezuslovnoj gustini povezanoj sa kolonom Dobri ishodi (0.4). Odnosno, zbir zajedničkih vjerovatnoća rata, krize, stagnacije, mira i prosperiteta, s jedne strane, i dobrih ishoda, s druge strane, mora biti striktno jednak 0,4.

Imajte na umu da ako vam je to potrebno zajedničke verovatnoće u svakom redu i svakoj koloni ukupan je jednak bezuslovnoj gustoći povezanoj sa svakim redom i svakim stupcem (kao što bi trebalo biti), tada više neće biti potrebe da brinete o tome da nijedna zajednička vjerovatnoća ne prelazi gornju granicu (i, dok su sve vaše zajedničke vjerovatnoće veće ili jednake 0, kao što se očekivalo, nema potrebe da brinete da će preći donju granicu). Štaviše, ako su zajedničke vjerovatnoće u svakom redu i svakoj koloni jednake bezuslovnim gustoćama povezanim sa svakim redom i svakim stupcem, tada

Ono što mi je zaista smetalo je čuvena teorema o uslovnoj vjerovatnoći, koja kaže da se zajednička gustina vjerovatnoće ne može dobiti iz bezuslovnih gustina vjerovatnoće komponenti. Prema tradicionalnom gledištu, smatralo se da je u nedostatku stohastičke nezavisnosti zajednička funkcija gustoće vjerovatnoće jedinstvena, potpuno nezavisna, koja se pojavljuje kao niotkuda, odnosno ne izražava se kroz funkcije bezuvjetnih densiteta komponenti, ali je nova, nezavisna funkcija gustoće vjerovatnoće, koja se ne može vratiti iz funkcija bezuvjetnih gustoća komponenti. Da biste to vidjeli, razmotrite sljedeću tabelu, pozajmljenu od Fellera, koju smo grafički ilustrovali na Sl. 3.1.

Moderno albansko društvo je još uvijek manje pogođeno industrijalizacijom nego bilo koje drugo evropska zemlja rast gradova, migracija stanovništva iz sela u grad, iz jednog grada u drugi, preseljavanje ljudi koji rade u jednom preduzeću u različite delove grada, fragmentacija (nuklearizacija) porodica u ovoj zemlji nisu doveli dotle, recimo u Rusiji. Ne samo u selima, već iu gradovima Albanije, komšije znaju od detinjstva

Uslovna gustina distribucije. Neka je prostor vjerovatnoće algebra Borelovih skupova na pravoj, pod algebrom uslovna raspodjela X u odnosu na algebru i... Mathematical Encyclopedia

diferencijalna entropija uslovne distribucije verovatnoće- Mjera neizvjesnosti distribucije uslovne vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable, pod uslovom da je data vrijednost druge kontinuirane slučajne varijable, usrednjena na vrijednosti potonje; njegov izraz ima oblik gdje je w(xn, ym)=w(x1, ...,… … Vodič za tehnički prevodilac

FUNKCIJA USLOVANE DISTRIBUCIJE- funkcija raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable X pod uslovom B, gdje je B slučajni događaj, P(B) > 0: Ako su X, Y kontinuirane slučajne varijable, f(x,y) je njihova zajednička gustina, tada je uslovna gustina X, pod uslovom da je Y prihvatio datu... ... Geološka enciklopedija

Redna statistika- Redna statistika u matematičke statistike Ovo je uzorak uzlaznog reda. Ovo je statistika koja zauzima strogo određeno mjesto u rangiranoj populaciji. Sadržaj 1 Definicija 2 Napomene ... Wikipedia

DOVOLJNA STATISTIKA- za familiju distribucija verovatnoće (Pq;) ili za parametar statistike (vektorska slučajna varijabla) tako da za bilo koji događaj A postoji varijanta uslovne verovatnoće Pq(A|X=x), nezavisna od 9. Ovo je ekvivalentno zahtevu da ... ... Mathematical Encyclopedia

ORDER STATISTIC- član varijacione serije konstruisane na osnovu rezultata posmatranja. Neka se posmatra slučajni vektor X = (X 1, X 2, ..., X n), uzimajući vrednosti x = (x 1, x 2, ..., x n u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru,). i neka u zadanoj funkciji,...... Mathematical Encyclopedia

VJEROJATNOSTI- (gustina raspodjele vjerovatnoće) slučajne varijable X funkcije p (x) kao što je za bilo koji a Fizička enciklopedija