Le të jetë X një hapësirë ​​Banach dhe A një e kufizuar operator linear përcaktuar në X, me një diapazon në një hapësirë ​​Banach Y. Le të jetë x ÎX dhe f ÎY *. Pastaj përcaktohet vlera f (Ax), dhe pabarazitë | f (Ax) | £ || f ||? || Ax || £ || f ||? || A ||? || x ||.

Këto pabarazi tregojnë se funksioni linear j (x) i përcaktuar nga barazia j (x) = f (Ax) është një funksion i kufizuar. Kështu, çdo funksion linear i kufizuar f ÎY me ndihmën e operatorit A shoqërohet me një funksional linear të vazhdueshëm j ÎX *. Duke ndryshuar elementin f do të marrim, në përgjithësi, elemente të ndryshme j; kështu marrim operatorin

përcaktuar në Y *, me diapazon në hapësirën X *. Ky operator A * lidhet me operatorin A me barazinë (A * f) (x) = f (Ax). Nëse zbatojmë shënimin e paraqitur në seksionin 2 për funksionin linear f (x) = (x, f), atëherë lidhja ndërmjet operatorëve do të duket simetrike:

(Ax, f) = (x, A * f). (një)

Operatori A * përcaktohet në mënyrë unike nga formula (1) dhe quhet operatori i konjuguar me operatorin A.

Në të vërtetë, nëse për të gjitha x dhe y barazitë vlejnë

(Ax, y) = (x, A * y) = (x, A 1 * y),

atëherë nga përfundimi 4 nga teorema Hahn-Banach rrjedh se A 1 * y = A * y për të gjithë y, që do të thotë se A * = A 1 *.

Teorema 11. Operatori adjoint A * është linear dhe.

Dëshmi. Le të vërtetojmë aditivitetin e operatorit A *. Në të vërtetë, nëse y, z ÎY *, atëherë arsyetimi i mësipërm nënkupton ekzistencën e një elementi unik (y + z) * ÎX të tillë që (Ax, y + z) = (x, (y + z) *) për të gjithë x ÎX.

Nga ana tjetër, duke përdorur formulën (1), kemi

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A * y) + (x, A * z) = (x, A * y + A * z) = (x , (y + z) *),

ato. (y + z) * = A * x + A * y, prej nga A * (y + z) = A * y + A * z. Kjo dëshmon aditivitetin e operatorit A *. Uniformiteti verifikohet gjithashtu lehtësisht.

Për të llogaritur normën e operatorit A *, ne vlerësojmë

Nga kjo rezulton se operatori A * është i kufizuar dhe.

Operatori A *, nga ana tjetër, ka një konjugat - A **, të përcaktuar nga një barazi e ngjashme me (1)

(A * y, x) = (y, A ** x) (2).

Por, meqenëse nga (2) A ** x është përcaktuar në mënyrë unike për çdo xÎХ, rrjedh nga një krahasim i barazive (1) dhe (2) që

(Ax, y) = (A ** x, y) "xÎX," yÎY.

Në bazë të përfundimit 4 të teoremës Hahn-Banach, kjo e fundit do të thotë se A ** x = Ax për të gjithë xÎX, domethënë, A ** = A në hapësirën X. Duke aplikuar pabarazinë e provuar për normën e operatorit adjoint në A * dhe A **, kemi , e cila jep barazinë e kërkuar:. Teorema është vërtetuar.

Teorema. 12. Nëse A dhe B janë operatorë të kufizuar linearë nga një hapësirë ​​Banach X në një hapësirë ​​Banach Y, atëherë

1. (A + B) * = A * + B *

2. (λА) * = λА *

3. Sipas supozimit X = Y, barazia (AB) * = B * A * është e vërtetë.

Dëshmi. Karakteristikat e mësipërme rrjedhin nga marrëdhëniet e mëposhtme:

1. ((A + B) x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) = (x, A * y) + (x, B * y) = (x, (A * + B * ) y);

2. ((λA) x, y) = λ (Ax, y) = λ (x, A * y) = (x, (λA * y));

3. ((AB) x, y) = (A (Bx), y) = (Bx, A * y) = (x, B * (A * y)) = (x, (B * A *) y ).

Teorema është vërtetuar.

Shembulli 8. Në hapësirën L2, merrni parasysh operatorin integral Fredholm

me një bërthamë me një katror të integrueshëm. Ne kemi, duke përdorur teoremën e Fubinit,

, ku

.

Kështu, kalimi te operatori adjoint është se integrimi kryhet mbi variablin e parë. Ndërsa në operatorin origjinal pason të dytin.

Më shumë për temën 6. Operatori i konjuguar. Kushtet për ekzistencën e operatorit adjoint. Mbyllja e operatorit adjoint. Operatori i bashkuar me një operator të kufizuar dhe norma e tij .:

1. 2. Teorema e Schauder-it mbi vazhdimësinë e plotë të operatorit adjoint. Ekuacione të llojit të parë dhe të dytë me operatorë plotësisht të vazhdueshëm. Një teoremë mbi mbylljen e gamës së vlerave të një operatori
2. 1. Operatorët linearë në hapësirat lineare të normuara. Ekuivalenca e vazhdimësisë dhe kufirit të një operatori linear. Koncepti i normës së një operatori të kufizuar. Formula të ndryshme për llogaritjen e normave. Shembuj të operatorëve të kufizuar linearë.
3. 4. Bërthama e operatorit. Kriteri i kufizimit për operatorin e anasjelltë. Teorema e operatorit të anasjelltë
4. 2. Hapësira e operatorëve vijues linearë dhe plotësia e saj në lidhje me konvergjencën uniforme të operatorëve
5. 5. Shembuj të operatorëve të anasjelltë. Kthyeshmëria e operatorëve të formës (I - A) dhe (A - C).
6. 1. Operatorët plotësisht të vazhdueshëm dhe vetitë e tyre. Operatorët Fredholm dhe Hilbert-Schmidt
7. 6. Grafiku i operatorit dhe operatorët e mbyllur. Kriteri i mbylljes. Teorema e grafikut të mbyllur të Banach. Teorema e hapjes së hartës

Nga Wikipedia, Enciklopedia e Lirë

Hapësirë ​​e përgjithshme lineare

Le $E,\; \backslash ,\; L$- hapësira lineare, dhe $E\; ^\; *,\; \backslash ,\; L\; ^\; *$ janë hapësira lineare të konjuguara (hapësirat e funksioneve lineare të përcaktuara në $E,\; \backslash ,\; L$). Pastaj për çdo operator linear $A\; \backslash \; dy\; pika\; E\; \backslash \; në\; L$ dhe çdo funksional linear $g\; \backslash \; në\; L\; ^\; *$është përcaktuar një funksional linear $f\; \backslash \; në\; E\; ^\; *$- mbivendosje $g$ dhe $A$: $f\; (x)\; =\; g\; (A\; (x))$... Ekrani $g\; \backslash \; mapsto\; f$ quhet operator linear adjoint dhe shënohet $A\; ^\; *\; \backslash \; dy\; pika\; L\; ^\; *\; \backslash \; në\; E\; ^\; *$.

Me pak fjalë, atëherë $(A\; ^\; *\; g,\; x)\; =\; (g,\; sëpatë)$, ku $(B,\; x)$- veprim funksional $B$ për vektor $x$.

Hapësira lineare topologjike

Le $E,\; \backslash ,\; L$ janë hapësira lineare topologjike, dhe $E\; ^\; *,\; \backslash ,\; L\; ^\; *$- të konjugojë hapësira lineare topologjike (hapësira e vazhdueshme funksionet lineare të përcaktuara në $E,\; \backslash ,\; L$). Për çdo operator linear të vazhdueshëm $A\; \backslash \; dy\; pika\; E\; \backslash \; në\; L$ dhe çdo funksional linear të vazhdueshëm $g\; \backslash \; në\; L\; ^\; *$ përcaktohet një funksional linear i vazhdueshëm $f\; \backslash \; në\; E\; ^\; *$- mbivendosje $g$ dhe $A$: $f\; (x)\; =\; g\; (A\; (x))$... Është e lehtë të kontrollosh se harta $g\; \backslash \; mapsto\; f$ lineare dhe të vazhdueshme. Quhet operator adjoint dhe shënohet gjithashtu $A\; ^\; *\; \backslash \; dy\; pika\; L\; ^\; *\; \backslash \; në\; E\; ^\; *$.

Hapësirë ​​Banach

Le $A\; \backslash \; dy\; pika\; X\backslash \; në\; Y$është një operator linear i vazhdueshëm që vepron nga një hapësirë ​​Banach $X$ në hapësirën Banach $Y$ le të shkojë $X\; ^\; *,\; Y\; ^\; *$- hapësira të konjuguara. shënojmë $\backslash \; për\; të\; gjitha\; x\; \backslash \; në\; X,\; f\; \backslash \; në\; Y\; ^\; *\; =\; f\; (Ax)$... Nëse $f$- rregulluar, atëherë $$është një funksional linear i vazhdueshëm në $X,\; \backslash \; në\; X\; ^\; *$... Kështu, për $\backslash \; për\; të\; gjitha\; f\; \backslash \; në\; Y\; ^\; *$ një funksional linear i vazhdueshëm nga $X\; ^\; *$, prandaj është përcaktuar operatori $A\; ^\; *\; \backslash \; dy\; pika\; Y\; ^\; *\; \backslash \; në\; X\; ^\; *$ sikurse $=$.

$A\; ^\; *$ thirrur operator i konjuguar... Në mënyrë të ngjashme, mund të përkufizohet operatori adjoint me një operator linear të pakufizuar, por ai nuk do të përcaktohet në të gjithë hapësirën.

Për $A\; ^\; *$ vetitë e mëposhtme janë të vërteta:

• Operatori $A\; ^\; *$- lineare.
• Nëse $A$ atëherë është një operator linear i vazhdueshëm $A\; ^\; *$ gjithashtu një operator linear i vazhdueshëm.
• Le $O$është operatori zero, dhe $E$- operator i vetëm. Pastaj $O\; ^\; *\; =\; O,\; E\; ^\; *\; =\; E$.
• $(A\; +\; B)\; ^\; *\; =\; A\; ^\; *\; +\; B\; ^\; *$.
• $\backslash \; përgjithë\; \backslash \; alfa\; \backslash \; në\; \backslash \; mathbb\; C,\; (\backslash \; alfa\; A)\; ^\; *\; =\; \backslash \; bar\; (\backslash \; alfa)\; A\; ^\; *$.
• $(AB)\; ^\; *\; =\; B\; ^\; *\; A\; ^\; *$.
• $(A\; ^\; (-\; 1))\; ^\; *\; =\; (A\; ^\; *)\; ^\; (-\; 1)$.

Hapësira e Hilbertit

Në hapësirën e Hilbertit $H$ Teorema e Riesz-it identifikon një hapësirë ​​me dyfishin e saj, pra, për operatorin $A\; \backslash \; dy\; pika\; H\; në\; H$ barazisë $(Ax,\; y)\; =\; (x,\; A\; ^\; *\; y)$ përcakton operatorin adjoint $A\; ^\; *\; \backslash \; dy\; pika\; H\; \backslash \; në\; H$... Këtu $(x,\; y)$- produkt me pika në hapësirë $H$.

Shiko gjithashtu

Shkruani një përmbledhje për artikullin "Operatori i konjuguar"

Shënime (redakto)

Letërsia

• Schaefer H. Hapësirat vektoriale topologjike. - M .: Mir, 1971.
• Vorovich I.I. , Lebedev L.P. Analiza funksionale dhe aplikimet e tij në mekanikën e vazhdimësisë. - M .: Libri universitar,. - 320 f.
• Trenogin V.A. Analiza funksionale. - M .: Shkencë,. - 495 f.
• Analiza funksionale / redaktor S.G. Kerin. - 2, i rishikuar dhe i zgjeruar. - M .: Shkencë,. - 544 f. - (Biblioteka e referencës së matematikës).
• Halmos P. Hapësirat vektoriale me dimensione të fundme. - M .: Fizmatgiz,. - 264 f.
• Shilov G.E. Analiza matematikore(funksionet e një ndryshoreje), pjesa 3. - M.: Shkencë,. - 352 f.

Një fragment që karakterizon operatorin Conjugate

Adjutantët galopuan përpara tij në oborr. Kutuzov, duke e shtyrë me padurim kalin e tij, duke ecur nën peshën e tij dhe duke tundur kokën vazhdimisht, vuri dorën në telashe të rojes së kalorësisë (me një brez të kuq dhe pa vizore) që ishte mbi të. Pasi u ngjit në rojën e nderit të granadierëve trima, shumica e kalorësit që e përshëndetën, ai i shikoi në heshtje për një minutë me një vështrim komandues kokëfortë dhe u kthye nga turma e gjeneralëve dhe oficerëve që qëndronin rreth tij. Fytyra e tij papritmas mori një shprehje delikate; ai ngriti supet me një gjest hutimi.
- Dhe me shokë të tillë të mirë gjithçka për t'u tërhequr dhe tërhequr! - tha ai. "Epo, mirupafshim, gjeneral," shtoi ai dhe e kaloi kalin përmes portës, duke kaluar Princin Andrey dhe Denisov.
- Ura! Hora! Hora! - bërtiti nga pas.
Meqenëse Princi Andrey nuk e pa atë, Kutuzov është bërë i shëndoshë, i dobët dhe i fryrë nga yndyra. Por syri i bardhë i njohur, plaga dhe pamja e lodhjes në fytyrën dhe figurën e tij ishin të njëjta. Ai ishte i veshur me një pallto uniforme (një kamxhik i varej mbi supe në një rrip të hollë) dhe me një kapele të bardhë kalorësie. Ai, duke u përhapur shumë dhe duke u lëkundur, ishte ulur mbi kalin e tij kërcyes.
- Fyu ... fyu ... fyu ... - fishkëlliu ai pothuajse në zë, duke hyrë në oborr. Fytyra e tij shprehte gëzimin e qetësimit të një burri që synonte të pushonte pas misionit. Ai nxori këmbën e majtë nga traziri, duke u rrëzuar me të gjithë trupin dhe duke u grimosur me mundim, me vështirësi e solli në shalë, u mbështet në gju, rënkoi dhe zbriti në krahë te kozakët dhe adjutantët që e mbështetën.
Ai u shërua, shikoi përreth me sytë e tij të ngushtuar dhe, duke hedhur një vështrim nga Princi Andrey, me sa duket duke mos e njohur atë, eci me ecjen e tij të zhytjes në verandë.
- Fyu ... fyu ... fyu, - fishkëlleu ai dhe u kthye përsëri te Princi Andrey. Përshtypja e fytyrës së Princit Andrey vetëm pas disa sekondash (siç ndodh shpesh me të moshuarit) u shoqërua me kujtesën e personalitetit të tij.
"Dhe, përshëndetje, princ, përshëndetje, i dashur, le të shkojmë ..." tha ai i lodhur, duke shikuar përreth dhe hyri rëndë në verandë duke kërcitur nën peshën e tij. Ai i zbërtheu kopsat dhe u ul në një stol në verandë.
- Epo, po babai?
"Dje mora lajmin për vdekjen e tij," tha shkurt Princi Andrei.
Kutuzov shikoi me sy të hapur të frikësuar Princin Andrey, pastaj hoqi kapelën e tij dhe u kryqëzua: "Mbretëria e parajsës atij! Vullneti i Zotit qoftë mbi të gjithë ne!” Ai psherëtiu rëndë, me gjithë gjoksin dhe heshti. “E kam dashur dhe e kam respektuar dhe të simpatizoj me gjithë zemër”. Ai e përqafoi Princin Andrew, e shtypi në gjoksin e tij të dhjamosur dhe nuk e lëshoi ​​për një kohë të gjatë. Kur e la të shkonte, Princi Andrei pa që buzët e turbullta të Kutuzov po dridheshin dhe kishte lot në sytë e tij. Ai psherëtiu dhe kapi stolin me të dyja duart për t'u ngritur.
"Ejani, ejani tek unë, ne do të flasim," tha ai; por në këtë kohë Denisov, i cili ishte po aq i turpshëm nga eprorët e tij sa edhe nga armiku, përkundër faktit se adjutantët në verandë me një pëshpëritje të zemëruar e ndaluan atë, me guxim, duke trokitur nxitjet e tij në shkallët, hyri në verandë. . Kutuzov, duke i lënë duart të mbështetura në pankinë, e pa me pakënaqësi Denisov. Denisov, duke u prezantuar, njoftoi se duhej të informonte zotërinë e tij për një çështje me rëndësi të madhe për të mirën e atdheut. Kutuzov filloi ta shikonte Denisovin me një vështrim të lodhur dhe me një gjest të bezdisshëm, duke i marrë duart dhe duke i palosur në bark, përsëriti: "Për të mirën e atdheut? Çfarë është ajo? Flisni." Denisov u skuq si një vajzë (ishte kaq e çuditshme të shihje bojë në këtë fytyrë me mustaqe, të vjetër dhe të dehur) dhe me guxim filloi të përvijojë planin e tij për prerjen e linjës së operacioneve të armikut midis Smolensk dhe Vyazma. Denisov jetonte në këto anë dhe e njihte mirë zonën. Plani i tij dukej padyshim i mirë, veçanërisht për shkak të fuqisë së bindjes që ishte në fjalët e tij. Kutuzov shikoi këmbët e tij dhe herë pas here shikonte prapa në oborrin e kasolles fqinje, sikur të priste diçka të pakëndshme prej andej. Nga kasolle, në të cilën ai po shikonte, me të vërtetë, gjatë fjalimit të Denisov, u shfaq një gjeneral me një çantë nën krah.
- Çfarë? - në mes të prezantimit të Denisov, tha Kutuzov. - Gati?
"Gati, Zotëri juaj," tha gjenerali. Kutuzov tundi kokën, sikur të thoshte: "Si mund të arrijë një njeri t'i bëjë të gjitha këto," dhe vazhdoi të dëgjojë Denisov.
"Unë jap fjalën e ndershme fisnike të oficerit të guss," tha Denisov, "se unë jam një zot i mesazhit të Napoleonit.

Një element jozero x GV quhet një vlerë vetjake e një operatori linear A: VV nëse ka një numër të tillë A - një vlerë e veçantë të një operatori linear A i tillë që Shembulli 1. Çdo polinom i shkallës zero është një vlerë e veçantë e operatorit të diferencimit; Eigenvlera përkatëse është zero: Shembulli 2. Operatori i diferencimit Eigenvlerat dhe elementet e veta... Operatori i konjuguar. nuk ka elemente të veta. Le të bëhet proporcional një polinom trigonometrik a cos t + 0 sin t pas diferencimit: Kjo do të thotë se ose, që është e njëjtë, Barazia e fundit vlen nëse dhe vetëm nëse prej nga rrjedh se a = p = 0 dhe, si rrjedhim, polinomi mund të të jetë vetëm zero. Teorema 6. Një numër real A është një vlerë vetjake e një operatori linear A nëse dhe vetëm nëse ky numër është një rrënjë e polinomit të tij karakteristik: x (A) = 0. Domosdoshmëri. Le të jetë A eigenvlera e operatorit A. Pastaj ekziston një element jozero x për të cilin Ax = Ax. Le të jetë baza e hapësirës. Atëherë barazia e fundit mund të rishkruhet në një formë matrice ekuivalente ose, e cila është e njëjtë, Dhe kjo, që x është një element i duhur, rrjedh që kolona e tij koordinative x (c) është jozero. Kjo do të thotë se sistemi linear (1) ka një zgjidhje jozero. Kjo e fundit është e mundur vetëm me kushtin që ose, që është e njëjta, Mjaftueshmëria. Një mënyrë për të ndërtuar elementin tuaj. Le të jetë A një rrënjë e një polinomi.. Konsideroni një sistem linear homogjen me matricën A (c) - AI: Sipas kushtit (2), ky sistem ka një zgjidhje jozero. Le të ndërtojmë një element x sipas rregullit Kolona e koordinatave x (c) e këtij elementi plotëson kushtin ose, që është gjithashtu, ky i fundit është ekuivalent me faktin që ose, më në detaje, Rrjedhimisht, x është një vlerë vetjake e operatori linear A, dhe A është vlera e tij përkatëse. Komentoni. Për të gjetur të gjitha eigenvlerat që korrespondojnë me një eigenvalue të caktuar A, është e nevojshme të ndërtohet FSR e sistemit (3). Shembulli 1. Gjeni eigenvektorët e një operatori linear që vepron sipas rregullit (operatori i projektimit) (Fig. 6). M Konsideroni veprimin e operatorit linear P mbi vektorët bazë. Ne kemi Le të shkruajmë matricën e operatorit: Eigenvalues ​​dhe eigenvalues. Operatori i konjuguar. ndërtojmë një polinom karakteristik dhe gjejmë rrënjët e tij. Ne kemi Construct homogjene sistemet lineare me matrica: Marrim, përkatësisht: Gjejmë sistemet themelore të zgjidhjeve për secilin prej këtyre sistemeve. Kemi 1 Pra, vetvektorët e këtij operatori projeksioni janë: një vektor k me një vlerë të veçantë 0 dhe çdo vektor me një vlerë vetjake Shembulli 2. Gjeni vlerat vetjake të një operatori të diferencimit linear V që vepron në hapësirën Afj të polinomeve të shkallës më së shumti dy: Matrica D e një operatori të dhënë në bazën I, t, O ka formën polinomi karakteristik -A3 ka saktësisht një rrënjë A = 0. Zgjidhja e sistemit është bashkësia 1,0,0, e cila korrespondon në polinomin e shkallës zero. §5. Operatori i konjuguar Në një hapësirë ​​Euklidiane mbi operatorët linearë, ne mund të prezantojmë një veprim - veprimin e konjugimit. Le të jetë V një hapësirë ​​Euklidiane n-dimensionale. Me çdo operator linear që vepron në këtë hapësirë; një operator tjetër linear i konjuguar me atë të dhënë është i lidhur natyrshëm. Përkufizimi. Një operator linear (lexo: "a me një yll") quhet i konjuguar me një operator linear A: V - * V nëse për çdo element x dhe y nga hapësira V plotësohet barazia Operatori linear A *, konjuguar këtë operator Ah, ekziston gjithmonë. Le të jetë c = (et, ..., en) ortobaza e hapësirës V dhe le të jetë A = A (c) = (o ^) matrica e operatorit linear A në këtë bazë, domethënë nga llogaritjet e drejtpërdrejta. mund të verifikohet se për operatorin linear A ": V -» V, i përcaktuar nga rregulli barazia (1) është i plotësuar për çdo dhe y. Kujtojmë se, sipas Teoremës 1, për të ndërtuar një operator linear, është e mjaftueshme për të specifikuar veprimin e tij mbi elementet bazë.Shembull. hapësirë ​​lineare M \ polinomet me koeficientë realë të shkallës më së shumti operacioni i parë i shumëzimit skalar në lidhje me duke ndjekur rregullin... Le të vendosim Kështu, M \ është një hapësirë ​​dydimensionale Euklidiane. Le të jetë V: M \ - M \ operatori i diferencimit: V (a + d »f) = b. Le të ndërtojmë operatorin adjoint. Matrica e operatorit V në këtë bazë ka formën. Pastaj është matrica e operatorit adjoint V, që vepron sipas rregullit: Për një polinom arbitrar, marrim Vetitë e veprimit të konjugimit 1. Për çdo operator linear, ekziston një operator që është saktësisht i afërt me të. Le të jenë B dhe C operatorët e konjuguar me operatorin e dhënë A. Kjo do të thotë se për çdo element x dhe y nga hapësira V mbahen barazitë. Prandaj rrjedh se Eigenvalues ​​dhe elementët eigen. Operatori i konjuguar. dhe, më tej, nga arbitrariteti i zgjedhjes së elementit x, arrijmë në përfundimin se elementi Vu-Su është ortogonal ndaj çdo elementi të hapësirës V dhe, në veçanti, ndaj vetvetes. Kjo e fundit është e mundur vetëm në rastin kur By - Cy = 0 dhe, për rrjedhojë, By = C y. Për shkak të faktit se y është një element arbitrar, marrim B ~ C. 2. (a.4) * = aA *, ku a është një numër real arbitrar. Le të jenë operatorë linearë A: V - + V dhe B: V - + V. Pastaj Properties 2-5 rrjedhin lehtësisht nga veçantia e operatorit adjoint. 6. Le të jetë c ortobaza e hapësirës V. Në mënyrë që operatorët A: V V dhe B: V - »V të jenë reciprokisht të konjuguar, d.m.th. plotësohen barazitë B = A ", A = B *, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që matricat e tyre A = A (c) dhe B = B (c) të merren nga njëra-tjetra me transpozim. Shënim. Theksojmë se vetia 6 është i vlefshëm vetëm për matricën, 7. Nëse operatori linear A është jo i degjeneruar, atëherë operatori A * i konjuguar me të është gjithashtu jo i degjeneruar dhe barazia

Le të studiojmë vetitë shtesë të operatorëve linearë që lidhen me konceptin e ortogonalitetit në hapësirën Euklidiane. Së pari, vërtetojmë vetinë e mëposhtme: nëse A dhe B - operatorët linearë që veprojnë në n-hapësirë ​​dimensionale Euklidiane V, dhe ( x , Ay ) = (x , Nga ), x , y V, pastaj A = B .

Në të vërtetë, duke vënë në barazi ( x , Ay ) = (x , Nga ) Û ( x , (A – B )y ) = 0 vektor x = (A – B )y , ne marrim (( A –B )y , (A – B )y ) = ||(A – B )y || 2 = 0, y V, e cila është e barabartë me barazinë ( A – B )y = 0 , y V, d.m.th. A – B = O , ose A = B .

Përkufizimi 11.1. Operator linear A * thirrur konjuguar operatori A , nëse

(Sëpatë , y ) = (x , A * y ), x , y V. (11.1)

Natyrisht lind pyetja: a ekziston për një operator të caktuar A konjuguar?

Teorema 11.1.Çdo operator linear A ka një operator të vetëm adjoint A * .

Dëshmi. Le të zgjedhim në hapësirë V bazë ortonormale u 1 , u 2 ,…, u n... Tek secili operator linear A : V® V në këtë bazë korrespondon matrica A = , i, j = 1, 2,..., n... Le të jetë matrica e përftuar nga matrica A transpozim. Ai korrespondon me operatorin linear B ... Pastaj

(Au j, u i) = (a 1 ju 1 + a 2 ju 2 +…+ dhe nju n, u i) = dhe ij;

(u j, Bu i) = (u j, edhe une 1 u 1 + edhe une 2 u 2 +…+ dhe neu n) = dhe ij.

(Au j, u i) = (u j, Bu i), i, j = 1, 2,..., n. (11.2)

Lëreni më tej x = x 1 u 1 + x 2 u 2 +…+ x nu n dhe y = në 1 u 1 + në 2 u 2 +…+ në nu n- çdo dy vektorë nga V... Merrni parasysh produktet me pika ( Sëpatë , y ) dhe ( x , Nga ):

(Sëpatë , y ) = (Au j, u i),

(x , Nga ) = (u j, Bu i).

Duke krahasuar këto shprehje duke marrë parasysh barazinë (11.2) dhe vetinë e përmendur më sipër, marrim barazinë ( Sëpatë , y ) = (x , Nga ), x , y V, d.m.th. B = A * .

Kështu, është vërtetuar se për çdo operator linear A në një hapësirë ​​Euklidiane me dimensione të fundme, ekziston një operator i konjuguar me të A *, matrica e së cilës në çdo bazë ortonormale është transpozuar në lidhje me matricën e operatorit A ... Unike e operatorit A * rrjedh nga përkufizimi i operatorit adjoint dhe pronës së provuar më sipër.

Është e lehtë të verifikohet se operatori A * konjugohet me operatorin linear A , është linear.

Pra operatori A * është linear dhe korrespondon me një matricë A*. Prandaj, relacioni i matricës që korrespondon me formulën (11.1) ka formën

(Ax , y ) = (x , A * y ), x , y V.

Operatorët e konjuguar kanë vetitë e mëposhtme:

1 °. E * = E .

2 °. ( A *) * = A .

3 °. ( A + B ) * = A * + B * .

4 °. ( A ) * = A * , R.

5 °. ( AB ) * = B * A * .

6 °. ( A –1) * = (A *) –1 .

Vlefshmëria e vetive 1 ° –5 ° rrjedh nga vetitë e transpozimit të matricës.

Le të verifikojmë vlefshmërinë e pronës 6 °. Le A -1 ekziston. Pastaj nga barazitë AA –1 = A –1 A = E dhe vetitë 1 °, 5 ° rrjedh se ( AA –1) * = (A –1 A ) * = E * = = E dhe ( AA –1) * = (A –1) * A * , (A –1 A ) * = A * (A –1) *, domethënë që ( A –1) * = (A *) -një . Kjo na jep një veçori tjetër të rëndësishme të transpozimit të matricës:

(A –1) * = (A *) –1 .

Shembulli 1. Le A - rrotullimi i rrafshit Euklidian R 2 në qoshe j me matricë

në bazë ortonormale i , j ... Atëherë matrica e operatorit adjoint në këtë bazë është

= .

Prandaj, A * - rrotullimi i aeroplanit në një kënd j në drejtim të kundërt.·

Operator invers

Le të jetë V një hapësirë ​​lineare mbi një fushë P, A një operator (jo domosdoshmërisht linear) që vepron në V.

Përkufizimi. Një operator A quhet i kthyeshëm nëse ka një operator B që vepron në V i tillë që BA = AB = I.

Përkufizimi. Një operator B që plotëson kushtin BA = AB = I quhet i anasjelltë me A dhe shënohet.

Kështu, operatori i anasjelltë me operatorin A plotëson kushtin A = A = I. Për një operator të kthyeshëm A, barazitë Ax = y dhe y = x janë ekuivalente. Në të vërtetë, le të Ax = y, pastaj y = (Ax) = (A) x = Ix = x.

Nëse y = x, atëherë

Ax = A (y) = (A) y = Iy = y.

Teorema. Nëse një operator linear është i kthyeshëm, atëherë operatori i tij i kundërt është gjithashtu linear.

Dëshmi. Le të jetë A një operator linear i kthyeshëm që vepron në një hapësirë ​​lineare V mbi një fushë P, një operator i kundërt me A. Merrni vektorë dhe numra arbitrarë. Pastaj A =, A =. Për shkak të linearitetit të operatorit A

Nga këtu marrim:

= = ,

Kjo do të thotë, operatori është linear.

Operatori linear i konjuguar

Le të jepen dy hapësira unitare X, Y.

Përkufizimi. Një operator A * që vepron nga Y në X quhet i konjuguar në lidhje me një operator A që vepron nga X në Y nëse për çdo vektor xX, yY barazia

(Ax, y) = (x, A * y). (një)

Teorema. Për çdo operator linear A, ekziston një operator adjoint A *, dhe për më tepër, vetëm një.

Dëshmi. Le të zgjedhim një bazë ortonormale në X. Për çdo vektor xX, zbërthimi

Nëse operatori A * ekziston, atëherë, sipas kësaj formule, për çdo vektor yY që kemi

Ose sipas definicionit

Por kjo do të thotë që nëse operatori A * ekziston, atëherë ai është i vetmi.

Operatori A * i ndërtuar në këtë mënyrë është linear. Ai gjithashtu plotëson barazinë (Ax, y) = (x, A * y). Në të vërtetë, duke marrë parasysh ortonormalitetin e sistemit dhe duke marrë parasysh (1), (2), marrim për çdo vektor xX, yY

(Ax, y) = (A) =,

(x, A * y) = (A) =

Teorema është vërtetuar.

Operatori adjoint A * lidhet me operatorin A nga disa marrëdhënie. Le të shënojmë disa prej tyre:

Dëshmi. Konsideroni një operator arbitrar A dhe operatorin e tij të konjuguar A *. Nga ana tjetër, operatori (A *) * do të jetë i konjuguar për operatorin A *. Tani për çdo xX, yY kemi

(y, (A *) * x) = (A * y, x) == = (y, Ax).