Le të jetë X një hapësirë ​​Banach dhe A një e kufizuar operator linear, i përcaktuar në X, me diapazon në hapësirën Banach Y. Le të themi x нX dhe f нY*. Pastaj përcaktohet vlera f(Ax) dhe pabarazitë | f(Ax)| £ ||f ||?||Ax|| £ ||f ||?||A||?||x||.

Këto pabarazi tregojnë se funksioni linear j(х) i përcaktuar nga barazia j(х) = f(Ax) është një funksion i kufizuar. Kështu, çdo funksion linear i kufizuar f нY shoqërohet me operatorin A në një funksion linear të vazhdueshëm j нХ*. Duke ndryshuar elementin f do të marrim, në përgjithësi, elemente të ndryshme j; kështu marrim operatorin

përcaktuar në Y*, me diapazon në hapësirën X*. Ky operator A* lidhet me operatorin A me barazinë (A*f)(x) = f(Ax). Nëse zbatojmë shënimin e paraqitur në seksionin 2 për funksionalin linear f(x) = (x, f), atëherë lidhja e operatorëve do të duket simetrike:

(Ax, f)=(x, A*f). (një)

Operatori A* përcaktohet në mënyrë unike nga formula (1) dhe quhet operator i bashkuar me operatorin A.

Në të vërtetë, nëse për të gjitha x dhe y barazitë vlejnë

(Ax, y) = (x, A*y) = (x, A 1 *y),

atëherë nga përfundimi 4 i teoremës Hahn-Banach rrjedh se A 1 *y= A*y për të gjithë y, që do të thotë se A*=A 1 *.

Teorema 11. Operatori adjoint A* është linear dhe .

Dëshmi. Le të vërtetojmë aditivitetin e operatorit A*. Në të vërtetë, nëse y, z нY*, atëherë argumentet e mësipërm nënkuptojnë ekzistencën e një elementi unik (y + z)* нX të tillë që (Ax, y + z)=(x, (y + z)*) për të gjithë x nX.

Nga ana tjetër, duke përdorur formulën (1), kemi

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A*y) + (x, A*z) = (x, A*y + A*z) = (x , (y+z)*),

ato. (y+z)* = A*x + A*y, prej nga A*(y+z)=A*y+A*z. Kjo dëshmon aditivitetin e operatorit A*. Homogjeniteti gjithashtu kontrollohet lehtësisht.

Për të llogaritur normën e operatorit A*, ne bëjmë vlerësimet

Kjo nënkupton që operatori A* është i kufizuar dhe .

Operatori A*, nga ana tjetër, ka një adjoint - A**, të përcaktuar nga një barazi e ngjashme me (1)

(A*y, x) = (y, A**x) (2).

Por, meqenëse nga (2) A**x është përcaktuar në mënyrë unike për çdo xОХ, nga një krahasim i barazive (1) dhe (2) rezulton se

(Ax, y) = (A**x, y) "хоХ, "yОY.

Nga përfundimi 4 i teoremës Hahn-Banach, kjo e fundit do të thotë se A**x=Ax për të gjitha xnX, d.m.th. A**= A në hapësirën X. Duke zbatuar pabarazinë e mësipërme për normën e operatorit adjoint për A* dhe A**, kemi , e cila jep barazinë e kërkuar: . Teorema është vërtetuar.

Teorema. 12. Nëse A dhe B janë operatorë të kufizuar linearë nga një hapësirë ​​Banach X në një hapësirë ​​Banach Y, atëherë

1. (A+B)*=A*+B*

2. (λА)*= λА*

3. Duke supozuar X \u003d Y, barazia (AB) * \u003d B * A * është e vërtetë.

Dëshmi. Karakteristikat e mësipërme rrjedhin nga marrëdhëniet e mëposhtme:

1. ((A+B)x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =(x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B* )y);

2. ((λA)x ,y) = λ(Ax ,y) = λ(x, A*y) = (x, (λA*y));

3. ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y ).

Teorema është vërtetuar.

Shembulli 8. Në hapësirën L 2, merrni parasysh operatorin integral Fredholm

me një bërthamë që ka një katror të integrueshëm. Ne kemi, duke përdorur teoremën e Fubinit,

, ku

.

Kështu, kalimi në operatorin adjoint është se integrimi kryhet mbi variablin e parë. Ndërsa në deklaratën origjinale është kryer sipas të dytës.

Më shumë për temën 6. Operatori adjoint. Kushtet për ekzistencën e operatorit adjoint. Mbyllja e operatorit adjoint. Operatori i bashkuar me operatorin e kufizuar dhe norma e tij.:

1. 2. Teorema e Schauder-it mbi vazhdimësinë e plotë të operatorit adjoint. Ekuacione të llojit të parë dhe të dytë me operatorë plotësisht të vazhdueshëm. Teorema mbi diapazonin e mbyllur të një operatori
2. 1. Operatorët linearë në hapësirat lineare të normuara. Ekuivalenca ndërmjet vazhdimësisë dhe kufizimit të një operatori linear. Koncepti i normës së një operatori të kufizuar. Formula të ndryshme për llogaritjen e normave. Shembuj të operatorëve të kufizuar linearë.
3. 4. Bërthama e operatorit. Kriteri i kufizimit për operatorin e anasjelltë. Teorema e operatorit të anasjelltë
4. 2. Hapësira e operatorëve vijues linearë dhe plotësia e saj në lidhje me konvergjencën uniforme të operatorëve
5. 5. Shembuj të operatorëve të anasjelltë. Kthyeshmëria e operatorëve të formës (I - A) dhe (A - C).
6. 1. Operatorët plotësisht të vazhdueshëm dhe vetitë e tyre. Operatorët Fredholm dhe Hilbert-Schmidt
7. 6. Grafiku i një operatori dhe i operatorëve të mbyllur. Kriteri i mbylljes. Teorema e grafit të mbyllur të Banach. Teorema e hapjes së hartës

Le të studiojmë vetitë shtesë të operatorëve linearë që lidhen me konceptin e ortogonalitetit në hapësirën Euklidiane. Le të vërtetojmë fillimisht vetinë e mëposhtme: nëse A Dhe B janë operatorë linearë që veprojnë në n-hapësirë ​​euklidiane dimensionale V, Dhe ( x , Ay ) = (x , Nga ), x , y V, pastaj A = B .

Në të vërtetë, duke vënë në barazi ( x , Ay ) = (x , Nga ) Û ( x , (A – B )y ) = 0 vektor x = (A – B )y , ne marrim (( A –B )y , (A – B )y ) = ||(A – B )y || 2 = 0, y V, e cila është e barabartë me ( A – B )y = 0 , y V, d.m.th. A – B = O , ose A = B .

Përkufizimi 11.1. Operator linear A * thirrur konjuguar operatori A , nëse

(Sëpatë , y ) = (x , A * y ), x , y V. (11.1)

Natyrisht lind pyetja: a ekziston për një operator të caktuar A konjuguar?

Teorema 11.1.Çdo operator linje A ka një operator të vetëm adjoint A * .

Dëshmi. Le të zgjedhim në hapësirë V bazë ortonormale u 1 , u 2 ,…, u n. Çdo operator linear A : V® V në këtë bazë korrespondon matrica POR = , i, j = 1, 2,..., n. Le të jetë matrica e përftuar nga matrica POR transpozim. Ai korrespondon me operatorin linear B . Pastaj

(Au j, u i) = (por 1 ju 1 + por 2 ju 2 +…+ dhe nju n, u i) = dhe ij;

(u j, Bu i) = (u j, a i 1 u 1 + a i 2 u 2 +…+ dhe neu n) = dhe ij.

(Au j, u i) = (u j, Bu i), i, j = 1, 2,..., n. (11.2)

Lëreni më tej x = x 1 u 1 + x 2 u 2 +…+ x nu n Dhe y = në 1 u 1 + në 2 u 2 +…+ në nu n janë çdo dy vektorë nga V. Merrni parasysh produktet skalare ( Sëpatë , y ) Dhe ( x , Nga ):

(Sëpatë , y ) = (Au j, u i),

(x , Nga ) = (u j, Bu i).

Duke krahasuar këto shprehje, duke marrë parasysh barazinë (11.2) dhe vetinë e përmendur më sipër, marrim barazinë ( Sëpatë , y ) = (x , Nga ), x , y V, d.m.th. B = A * .

Kështu, ne kemi vërtetuar se për çdo operator linear A në një hapësirë ​​Euklidiane me dimensione të fundme ka një operator ngjitur me të A * matrica e së cilës në çdo bazë ortonormale është transpozuar në lidhje me matricën e operatorit A . Unike e operatorit A * rrjedh nga përkufizimi i operatorit adjoint dhe pronës së provuar më sipër.¨

Është e lehtë të verifikohet se operatori A * ngjitur me operatorin linear A , është linear.

Pra operatori A * është linear dhe ka një matricë përkatëse A*. Prandaj, relacioni i matricës që korrespondon me formulën (11.1) ka formën

(PORx , y ) = (x , A * y ), x , y V.

Operatorët adjoint kanë vetitë e mëposhtme:

1°. E * = E .

2°. ( A *) * = A .

3°. ( A + B ) * = A * + B * .

4°. ( POR ) * = A * , R.

5°. ( AB ) * = B * A * .

6°. ( A –1) * = (A *) –1 .

Vlefshmëria e vetive 1°–5° rrjedh nga vetitë e transpozimit të matricës.

Le të verifikojmë vlefshmërinë e pronës 6°. Le te jete A -1 ekziston. Pastaj nga barazitë AA –1 = A –1 A = E dhe vetitë 1°, 5° rrjedh se ( AA –1) * = (A –1 A ) * = E * = = E Dhe ( AA –1) * = (A –1) * A * , (A –1 A ) * = A * (A –1) *, dmth që ( A –1) * = (A *) -një . Nga kjo marrim një veçori tjetër të rëndësishme të transpozimit të matricës:

(A –1) * = (A *) –1 .

Shembulli 1 Le te jete A – rrotullimi i rrafshit Euklidian R 2 për cep j me matricë

në baza ortonormale i , j . Atëherë matrica e operatorit adjoint në këtë bazë është

= .

Rrjedhimisht, A * - rrotullimi i aeroplanit nga një kënd j në drejtim të kundërt.·

Një element jozero x G V quhet eigjenelement i operatorit linear A: V V, nëse ekziston një numër i tillë A - një vlerë e veçantë e operatorit linear A, i tillë që Eigenvlerat Dhe elementet e veta. Operatori i asociuar. nuk ka elementet e veta. Lëreni disa polinom trigonometrikë a cos t + 0 sin t të bëhen proporcionale pas diferencimit: Kjo do të thotë se ose, që është e njëjtë, Barazia e fundit plotësohet nëse dhe vetëm nëse rrjedh se a = p = 0 dhe, si rrjedhim, polinomi mund të të jetë vetëm zero. Teorema 6. Një numër real A është një vlerë vetjake e një operatori linear A nëse dhe vetëm nëse ky numër është rrënja e polinomit të tij karakteristik: x(A) = 0. Domosdoshmëri. Le të jetë A një vlerë vetjake e operatorit A. Pastaj ekziston një element jo zero x për të cilin Ax = Ax. Le të jetë baza e hapësirës. Atëherë barazia e fundit mund të rishkruhet në një formë matrice ekuivalente ose, e cila është e njëjtë, Dhe kjo, që x është një element vetjak, rrjedh se kolona e tij koordinative x(c) është jozero. Kjo do të thotë se sistemi linear (1) ka një zgjidhje jozero. Kjo e fundit është e mundur vetëm me kushtin që ose, që është e njëjta, Mjaftueshmëria. Një mënyrë për të ndërtuar elementin tuaj. Le të jetë A rrënja e një polinomi. Konsideroni një sistem linear homogjen me një matricë A(c) - AI: Për shkak të kushtit (2), ky sistem ka një zgjidhje jozero. Le të ndërtojmë elementin x sipas rregullit Kolona e koordinatave x(c) e këtij elementi plotëson kushtin ose, që është gjithashtu, Ky i fundit është ekuivalent ose, më hollësisht, Rrjedhimisht, x është një element vetjak i operatorit linear. A, dhe A është eigenvlera përkatëse. Komentoni. Për të gjetur të gjithë eigjenelementet që i korrespondojnë një vlere të caktuar A, është e nevojshme të ndërtohet FSR e sistemit (3). Shembulli 1. Gjeni eigenvektorët e një operatori linear që vepron sipas rregullit (operatori i projektimit) (Fig. 6). M Konsideroni veprimet e operatorit linear P mbi vektorët bazë. Ne kemi Shkruani matricën e operatorit: Eigenvalues ​​dhe eigenelements. Operatori i asociuar. ndërtoni një polinom karakteristik dhe gjeni rrënjët e tij. Ne kemi Construct homogjene sistemet lineare me matrica: Marrim, përkatësisht: Të gjejmë sistemet themelore të zgjidhjeve për secilin prej këtyre sistemeve. Kemi 1 Pra, vetvektorët e këtij operatori projeksioni janë: vektori k me eigenvalue 0 dhe çdo vektor me bazë eigenvalue I, t, O ka formën polinomi karakteristik -A3 ka saktësisht një rrënjë A = 0. Zgjidhja e sistemi është bashkësia 1,0,0, e cila i përgjigjet një polinomi të shkallës zero. §pesë. Operatori adjoint Në hapësirën Euklidiane mbi operatorët linearë, mund të prezantohet një veprim tjetër - operacioni i konjugimit. Le të jetë V një hapësirë ​​Euklidiane n-dimensionale. Me çdo operator linear që vepron në këtë hapësirë; një operator tjetër linear ngjitur me atë të dhënë është i lidhur natyrshëm. Përkufizimi. Një operator linear (lexo: "a me një yll") quhet i bashkuar me një operator linear A: V - * V, nëse për çdo element x dhe y nga hapësira V plotësohet barazia Operatori linear A *, i bashkuar këtë operator Ah, ekziston gjithmonë. Le të jetë c = (et,..., en) ortobaza e hapësirës V dhe A = A(c) = (o^) të jetë matrica e operatorit linear A në këtë bazë, d.m.th., me llogaritjet e drejtpërdrejta mund të verifikoni që për operatorin linear A": V -> V, i përcaktuar nga rregulli, barazia (1) vlen për çdo x dhe y. Kujtojmë që, sipas teoremës 1, për të ndërtuar një operator linear, mjafton të specifikoni veprimi mbi elementet bazë.Shembull.Futojmë në hapësirë ​​lineare M\ polinome me koeficientë realë të shkallës jo më të larta se operacioni i parë i shumëzimit skalar me rregulli tjetër. Le të jetë Kështu, M\ një hapësirë ​​dydimensionale Euklidiane. Le të jetë V: M\ - M\ operatori i diferencimit: V(a + d»f) = b. Le të ndërtojmë një operator adjoint. Matrica e operatorit V në këtë bazë ka formën. Pastaj është matrica e operatorit adjoint V, që vepron sipas rregullit: Për një polinom arbitrar, marrim Vetitë e veprimit të konjugimit 1. Për çdo operator linear, ka saktësisht një operator të konjuguar me të. Le të jenë B dhe C operatorë të konjuguar me një uoperator të caktuar A. Kjo do të thotë se për çdo element x dhe y nga hapësira V plotësohen barazitë. Nga kjo rrjedh se Eigenvalues ​​dhe eigenelements. Operatori i asociuar. dhe, më tej, në bazë të arbitraritetit të zgjedhjes së elementit x, arrijmë në përfundimin se elementi Vu-Su është ortogonal ndaj çdo elementi të hapësirës V dhe, në veçanti, ndaj vetvetes. Kjo e fundit është e mundur vetëm në rastin kur By - Cy = 0 dhe, për rrjedhojë, By = C y. Për shkak të faktit se y është një element arbitrar, marrim B ~ C. 2. (a.4)* = aL*, ku a është një numër real arbitrar. Le të jenë operatorë linearë A:V -+ V dhe B:V -+ V. Pastaj Properties 2-5 pasojnë lehtësisht nga veçantia e operatorit adjoint. 6. Le të jetë c një ortobazë e hapësirës V. Në mënyrë që operatorët A: V V dhe B: V -* V të jenë reciprokisht të konjuguar, plotësohen barazitë B = A", A = B*, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që matricat e tyre A = A(c) dhe B = B(c) të fitohen nga njëra-tjetra me transpozim. Vërejtje. Theksojmë se vetia 6 është i vlefshëm vetëm për matricën 7. Nëse një operator linear A është jo i degjeneruar, atëherë operatori i tij i konjuguar A* është gjithashtu jo i degjeneruar, dhe barazia

Operator i kundërt

Le të jetë V një hapësirë ​​lineare mbi një fushë P dhe le të jetë A një operator (jo domosdoshmërisht linear) që vepron në V.

Përkufizimi. Një operator A thuhet se është i kthyeshëm nëse ekziston një operator B që vepron në V i tillë që BA = AB = I.

Përkufizimi. Operatori B që plotëson kushtin BA = AB = I quhet invers i A dhe shënohet.

Kështu, operatori i anasjelltë me operatorin A plotëson kushtin A = A = I. Për një operator të kthyeshëm A, barazitë Ax = y dhe y = x janë ekuivalente. Në të vërtetë, le Ax = y, pastaj y = (Ax) = (A)x = Ix = x.

Nëse y = x, atëherë

Ax \u003d A (y) \u003d (A) y \u003d Iy \u003d y.

Teorema. Nëse një operator linear është i kthyeshëm, atëherë operatori i tij i kundërt është gjithashtu linear.

Dëshmi. Le të jetë A një operator linear i kthyeshëm që vepron në një hapësirë ​​lineare V mbi një fushë P, le të jetë A një operator i anasjelltë me A. Merrni vektorë dhe numra arbitrarë. Pastaj A=, A=. Për shkak të linearitetit të operatorit A

Nga këtu marrim:

= = ,

Kjo do të thotë, operatori është linear.

Operator Linear Adjoint

Le të jepen dy hapësira unitare X, Y.

Përkufizimi. Operatori A*, që vepron nga Y në X, quhet i bashkuar në lidhje me operatorin A, që vepron nga X në Y, nëse për çdo vektor xX, yY barazia

(Ax, y) = (x, A*y). (një)

Teorema. Për çdo operator linear A ekziston një operator adjoint A*, dhe vetëm një.

Dëshmi. Le të zgjedhim një bazë ortonormale në X. Për çdo vektor xX, ka një zbërthim

Nëse operatori A* ekziston, atëherë, sipas kësaj formule, për çdo vektor yY kemi

Ose sipas përkufizimit

Por kjo do të thotë që nëse operatori A* ekziston, atëherë ai është unik.

Operatori A* i ndërtuar në këtë mënyrë është linear. Ai gjithashtu plotëson barazinë (Ax, y) = (x, A*y). Në të vërtetë, duke marrë parasysh ortonormalitetin e sistemit dhe duke marrë parasysh (1), (2), marrim për çdo vektor xX, yY

(Ax, y) = (A) =,

(x, A*y) = (A) =

Teorema është vërtetuar.

Operatori adjoint A* lidhet me operatorin A nga disa marrëdhënie. Le të shënojmë disa prej tyre:

Dëshmi. Konsideroni një operator arbitrar A dhe operatorin e tij shoqërues A*. Nga ana tjetër, për operatorin A* operatori (A*)* do të jetë i bashkuar. Tani për çdo xX, yY kemi

(y, (A*)*x) = (A*y, x) == = (y, Ax).