Elevi și școlari - cărți, matematică, topologie. Caracteristicile topologiei inelare

O mulțime se numește spațiu topologic atunci când este dată o anumită familie de submulțimi deschise care satisface axiomele. Există multe modalități de a defini structura unui spațiu topologic pe o singură mulțime: de la "topologie anti-discretă (= trivială)" discretă la non-Hausdorff, care lipește toate punctele împreună.

Conceptele de bază ale teoriei mulțimilor (mulțimi, funcție, ordinale și cardinale, axioma alegerii, lema lui Zorn etc.) nu fac obiectul topologie generală, dar sunt utilizate activ de către acesta. Topologia generală include secțiunile următoare: proprietățile spațiilor topologice și mapările acestora, operații asupra spațiilor topologice și mapările acestora, clasificarea spațiilor topologice.

Topologia generală include teoria dimensiunilor.

Istorie

Topologia generală a luat naștere la sfârșitul secolului al XIX-lea. și a luat contur într-o știință matematică independentă la începutul secolului XX. Lucrările fundamentale se datorează lui F. Hausdorff, A. Poincaré, P.S. Aleksandrov, P.S. Uryson, L. Brouwer. În special, a fost rezolvată una dintre principalele probleme ale topologiei generale - găsirea condițiilor necesare și suficiente pentru metrizabilitatea unui spațiu topologic.

Cea mai rapidă dezvoltare a topologiei generale ca ramură independentă a cunoașterii a avut loc la mijlocul secolului al XX-lea, în timp ce la începutul secolului al XXI-lea. mai degrabă este o disciplină auxiliară care „servește” cu aparatul său conceptual multe domenii ale matematicii: topologie, analiză funcțională, analiză complexă, teoria grafurilor etc.

Vezi si

Observatii

• Conceptul de limită a unei funcții, introdus în topologia generală, poate fi generalizat în continuare în cadrul teoriei spațiilor pseudotopologice.

Literatură

• P.S. Aleksandrov, V.V. Fedorchuk, V.I. Zaitsev Puncte cheie în dezvoltarea topologiei teoretice de mulțimi
• Alexandrov P.S. Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală - Moscova: Nauka, 1977
• Arkhangelsky A.V., Ponomarev V.I. Fundamentele topologiei generale în probleme și exerciții - Moscova: Nauka, 1974
• Bourbaki N. Elemente de matematică. Topologie generală. Structuri de bază - Moscova: Nauka, 1968
• Kelly J.L. Topologie generală - Moscova: Nauka, 1968
• Engelking R. Topologie generală - Moscova: Mir, 1986
• Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Topologie elementară. Manual în sarcini (rusă, engleză)

Fundația Wikimedia. 2010.

• Gulagul
• Spațiul topologic

Vedeți ce este „Topologie generală” în alte dicționare:

TOPOLOGIE GENERALĂ- o ramură a geometriei dedicată studiului continuității și trecerii la limită la acel nivel natural de generalitate, care este determinat de natura acestor concepte. Conceptele inițiale ale unei teorii a obiectelor sunt conceptele unui spațiu topologic și al unui continuu ... ... Enciclopedia de matematică

Algebră generală- (de asemenea, algebră abstractă, algebră superioară) o ramură a matematicii care studiază sistemele algebrice (numite uneori și structuri algebrice) cum ar fi grupuri, inele, câmpuri, mulțimi parțial ordonate, zăbrele și, de asemenea, ... ... Wikipedia

Topologie- A nu se confunda cu topografia. Acest termen are alte semnificații, vezi Topologie (dezambiguizare). Banda Mobius este de suprafață... Wikipedia

Topologie- (din greaca. topos loc si ... logica (Vezi ... Logia) o parte a geometriei dedicata studiului fenomenului de continuitate (exprimata, de exemplu, in conceptul de limita). O varietate de manifestări de continuitate în matematică şi gamă largă diferit ...... Marea Enciclopedie Sovietică

Topologia Zariski- Acest articol ar trebui să fie wikiificat. Vă rugăm să o completați conform regulilor de formatare a articolului. Topologia Zariski în geometria algebrică este o topologie specială care reflectă algebricul la ... Wikipedia

TOPOLOGIE- o ramură a matematicii care se ocupă cu studiul proprietăților figurilor (sau spațiilor) care se păstrează sub deformații continue, cum ar fi tensiune, compresie sau încovoiere. Deformarea continuă este o deformare a figurii, în care nu ...... Enciclopedia lui Collier

Punct comun (matematică)- Acest termen are alte semnificații, vezi Punct comun. Un punct comun este un punct dintr-un spațiu topologic, a cărui închidere coincide cu întregul spațiu. Un spațiu topologic care are un punct comun este ireductibil ... ... Wikipedia

topologie- Distribuția fizică sau logică a nodurilor de rețea. Topologia fizică definește legăturile fizice (legăturile) dintre noduri. O topologie logică descrie posibilele conexiuni între nodurile de rețea. În rețelele locale, cele mai comune trei ...... Ghidul tehnic al traducătorului

TOPOLOGIE- în sens larg, zona de matematică care studiază topologia. proprietăți decomp. mat. și fizice obiecte. Intuitiv, topologic includ proprietăți de înaltă calitate, stabile, care nu se modifică odată cu deformarea. Mat. formalizarea ideii de topologic. proprietati ...... Enciclopedie fizică

Teoria generală a sistemelor- (teoria sistemelor) un concept științific și metodologic pentru studiul obiectelor care sunt sisteme. Este strâns legată de abordarea sistemică și reprezintă concretizarea principiilor și metodelor acesteia. Prima versiune a teoriei generale a sistemelor a fost ...... Wikipedia

Cărți

• Topologie generală. Structuri de bază, N. Bourbaki. Această nouă ediție a făcut destul de mult număr mare modificări ale detaliilor; în plus, întregul plan al Ch. I și II pentru a aranja materialul în cea mai bună concordanță cu ideile generale...

Disponibil cu o licență standard sau avansată.

Topologia este un set de reguli care, împreună cu instrumentele și tehnologiile de editare, vă permit să modelați mai precis relațiile geometrice într-o bază de date geografice. În ArcGIS, topologia este furnizată printr-un set de reguli care definesc modul în care caracteristicile sunt autolocate în spațiul geografic și printr-un set de instrumente de editare care sunt aplicate în același mod caracteristicilor cu geometrie partajată. Topologia este stocată într-o bază de date geografică ca una sau mai multe relații care definesc modul în care caracteristicile dintr-una sau mai multe clase de caracteristici partajează geometria. Caracteristicile care participă la topologie îi aparțin clase simple caracteristici - topologia nu schimbă definiția unei clase de caracteristici, ci servește mai degrabă ca o descriere a relației spațiale a acestor caracteristici.

De ce este necesară topologia?

De mult timp, topologia a fost elementul cheie GIS pentru gestionarea datelor și controlul integrității acestora. În general, modelul de date topologic gestionează relațiile spațiale prin reprezentarea obiectelor spațiale (obiecte punct, linie și zonă) sub formă de primitive topologice schematice - noduri, fețe și muchii. Aceste primitive, relația dintre ele, precum și cu obiectele ale căror limite le reprezintă, sunt determinate de maparea geometriei caracteristicilor într-un grafic al elementelor topologice.

Topologia este folosită în primul rând pentru controlul calității datelor cu relații spațiale și, de asemenea, ajută la compilare. În multe cazuri, topologia este folosită și pentru a analiza relațiile spațiale - de exemplu, pentru a elimina granițele dintre poligoane adiacente care au aceeași valoare de atribut sau pentru a deschide o cale printr-o rețea de elemente de grafic topologic.

Topologia este, de asemenea, folosită pentru a modela integrarea geometriei între multiple diferite clase obiecte spațiale. Aceasta este uneori denumită integrare verticală a claselor de caracteristici.

Cum împart caracteristicile din topologie geometria

Caracteristicile pot partaja geometria într-o topologie. Următoarele sunt exemple de caracteristici adiacente:

• Zonele pot fi folosite limite comune(topologie poligonală).
• Obiectele liniare pot împărtăși în comun punctele finale(topologia muchiilor și nodurilor).

În plus, geometria partajată poate fi partajată între clasele de caracteristici folosind topologia bazei de geodatabase. De exemplu:

• Caracteristicile liniilor pot partaja segmente comune.
• Obiectele din zonă pot fi combinate cu alte obiecte din zonă. De exemplu, teren poate fi pliat în sferturi.
• Caracteristicile de linie pot avea vârfuri care se potrivesc cu caracteristicile punctuale (topologie nodal).
• Obiectele punct pot fi combinate cu obiecte linie (evenimente punct).

Notă:

Parcelele sunt adesea gestionate folosind clase de caracteristici simple și topologia bazei de geodatabase, deoarece există un set de clase de caracteristici necesare pentru a modela parcele, limite, puncte de colț și puncte de control urmați regulile de potrivire. O altă modalitate de a gestiona parcelele este utilizarea unui set de date privind parcelele care furnizează automat aceste straturi. Setul de date parcele își gestionează topologia internă, astfel încât nu este nevoie să menținem topologia geodatabasei sau să efectuați vreo editare topologică asupra straturilor utilizate de parcele.

Diferența cheie dintre parcelele modelate ca obiecte simple, iar parcelele din setul de date de parcelă este că limitele parcelei din setul de parcele (liniile din setul de date de parcelă) nu sunt comune - fiecare parcelă conține Set complet linii de frontieră; liniile de parcelă adiacente se suprapun și coincid unele cu altele.

Cu toate acestea, seturile de date de parcele pot participa la o topologie de geodatabase; acolo liniile de margine suprapuse au geometrii diferite, liniile sunt împărțite și graficul topologiei este construit ca de obicei.

Două tipuri: obiecte și elemente de topologie

Un strat poligon poate fi descris și utilizat:

• Ca seturi de caracteristici geografice (puncte, linii și poligoane)
• Ca un grafic al elementelor topologice (noduri, muchii, fețe și relațiile lor).

Aceasta înseamnă că există două opțiuni pentru a lucra cu obiecte spațiale: într-un caz, lucrați cu obiecte spațiale care au coordonate specificate, iar în celălalt - cu obiecte reprezentate sub forma unui grafic ordonat de elemente topologice.

Evoluția acoperirii în topologia bazei de geodate

Notă:

Citirea acestei secțiuni nu este necesară pentru a lucra cu topologia bazei de geodatabase. Totuși, citiți această secțiune dacă sunteți interesat de istoria și evoluția topologiei în bazele de date geografice.

Originea termenilor „arc-nod” și „georelațional”

Acoperirile ArcInfo Workstation au o istorie lungă de utilizare și au arătat importanța topologiei pentru asigurarea integrității spațiale a datelor.

Modelul de date de acoperire conține următoarele articole.

Limitele caracteristicilor și punctele de acoperire au fost stocate în mai multe fișiere de bază gestionate de ArcInfo Workstation. Un fișier „ARC” conținea o linie sau o geometrie a graniței poligonului sub formă de muchii topologice numite „arce”. Fișierul LAB conținea caracteristici punctuale care au fost folosite ca puncte de plecare pentru desenarea poligoanelor sau ca caracteristici punctuale individuale, cum ar fi puțurile. Alte fișiere au fost folosite pentru a defini și menține relații topologice între marginile poligonului.

De exemplu, fișierul „PAL” („Polygon-arc list”) conținea ordinea și direcția arcelor fiecărui poligon. Folosind logica programatică în ArcInfo Workstation, coordonatele fiecărui poligon au fost asamblate în scopul afișării, analizei și interogării datelor. Lista ordonată conținută în fișierul PAL a fost folosită pentru a găsi și a asambla coordonatele marginilor care au fost stocate în Fișierul ARC... Poligoanele au fost asamblate la nevoie în timpul lucrului.

Modelul de acoperire a avut mai multe avantaje:

• Ea a folosit structură simplă pentru stocarea topologiei.
• Ți-a permis să digitizezi și să salvezi o singură dată arcuri, care au fost apoi folosite de mai multe caracteristici.
• Ar putea afișa poligoane de dimensiuni foarte mari (cu mii de puncte de coordonate), deoarece au fost reprezentate ca un set de muchii (adică „arce”)
• Structura de stocare pentru topologia de acoperire a fost intuitivă. Fișierele sale de topologie fizică au fost ușor de înțeles de către utilizatorii ArcInfo Workstation.

Versiunile anterioare:

Un fapt istoric interesant: combinația Arc cu managerul tabelului Info a dat naștere numelui de produs ArcInfo Workstation, din care au evoluat toate produsele Arc ulterioare din familia de produse Esri - ArcInfo, ArcIMS, ArcGIS etc.

Acoperirile au avut și câteva dezavantaje:

• Unele operațiuni au fost lente din cauza necesității de a asambla din mers un număr mare de obiecte. Aceasta include toate poligoanele și obiecte compozite precum regiuni (un termen pentru poligoane din mai multe părți) și rute (trăsături de linii compuse).
• Caracteristicile topologice (cum ar fi poligoane, regiuni și rute) nu au fost gata de utilizare până când a fost construită topologia de acoperire. Dacă marginile au fost editate, întreaga topologie necesita reconstruire. (Notă: în final, s-a folosit procesarea parțială, care a permis reconstruirea doar a părților modificate ale topologiei de acoperire). Practic, la editarea caracteristicilor dintr-o topologie, a fost necesar să se folosească un algoritm de analiză geometrică pentru a reconstrui relațiile topologice, indiferent de modelul de stocare a datelor utilizat.
• Acoperirile nu au permis editarea multi-utilizator. Deoarece era nevoie de a menține graficul topologiei sincronizat cu geometria caracteristicii, doar un utilizator putea edita topologia odată. Utilizatorii au trebuit să împartă acoperirea în părți pentru editare simultană. Acest lucru a făcut posibil ca utilizatorii individuali să „închidă” și să editeze partea lor din date. Pentru a utiliza întregul set de date, utilizatorii au trebuit să-și copieze piesele în stratul de date compus. Cu alte cuvinte, seturile de date tăiate pe care le-au editat nu au putut fi folosite imediat partajarea... În primul rând, trebuiau convertiți, ceea ce însemna timp și muncă suplimentară.

Shapefiles și stocare simplă a geometriei

La începutul anilor 1980, acoperirile au fost văzute ca o îmbunătățire semnificativă față de sistemele vechi de poligoane și linii, în care poligoanele erau stocate ca bucle închise. În aceste sistemele moștenite, toate coordonatele caracteristicilor au fost stocate împreună cu geometria acelor caracteristici. Înainte de acoperire și ArcInfo Workstation, au fost utilizate aceste structuri simple de poligoane și linii. Această structură de date era simplă, dar avea dezavantaj semnificativ„Chenaruri dublu digitalizate”. Acestea. în geometria fiecărui poligon care are fețe comune au fost stocate două copii de coordonate pentru parcelele adiacente. Principalul dezavantaj a fost că software GIS la momentul respectiv nu putea gestiona integritatea marginilor partajate. În plus, costul stocării informațiilor a fost foarte mare, fiecare octet trebuind să fie salvat. La începutul anilor 1980, un hard disk de 300 MB avea aproximativ dimensiunea mașină de spălatși a costat 30.000 de dolari. Stocarea a două sau mai multe seturi de coordonate a fost costisitoare, iar calculul a durat mult timp mașinii. Astfel, au existat beneficii reale în utilizarea unei topologii de acoperire.

La mijlocul anilor 1990, pe măsură ce costul spațiului pe disc a scăzut și puterea de calcul a crescut, interesul pentru structurile geometrice simple a crescut. În același timp, seturile de date GIS au devenit din ce în ce mai accesibile, iar utilizatorii GIS au început să treacă de la compilarea datelor primare la procesarea și analiza datelor.

Utilizatorii doreau să îmbunătățească performanța atunci când lucrează cu date (de exemplu, să nu aștepte calculul geometriei poligonului, care era necesar în acest moment, dar obțineți coordonatele poligoanelor cât mai repede posibil). Disponibilitatea geometriei complete s-a dovedit a fi mai eficientă. Mii de utilizatori GIS au creat o cantitate mare seturi de date disponibile.

Esri a dezvoltat și publicat formatul shapefile în această perioadă. Shapefiles a folosit un model foarte simplu pentru stocarea coordonatelor caracteristicilor. Fiecare shapefile reprezenta o clasă de caracteristici (punct, linie sau poligon) și folosea un model de stocare simplu pentru coordonatele caracteristicilor. Shapefiles au fost create cu ușurință din acoperiri și alte formate GIS. Au devenit rapid formatul de facto, răspândit și încă în uz astăzi.

Câțiva ani mai târziu, ArcSDE a introdus un model simplu de stocare a datelor în tabele. baze de date relaționale date. Un tabel de caracteristici poate stoca o singură caracteristică ca șir, împreună cu informații despre geometria și atributele sale.

Un exemplu de astfel de tabel care conține poligoane de stare este prezentat mai jos. Fiecare linie reprezintă o stare. Coloana formei conține geometria poligonului pentru fiecare stare.

Acest model simplu obiectele spațiale sunt potrivite pentru motorul de procesare SQL. Prin utilizarea bazelor de date relaționale, creșterea volumului de date și a numărului de utilizatori nu a condus la degradarea performanței. Am început să folosim RDBMS pentru a gestiona datele GIS.

Shapefiles au devenit omniprezente și, datorită ArcSDE, acest motor simplu de stocare a geometriei a devenit principalul model de stocare pentru caracteristicile din RDBMS. (În efortul de a asigura interoperabilitatea datelor, Esri a avut un rol principal în crearea specificațiilor de geometrie simplă OGC și ISO.)

Depozitarea obiectelor simple a avut avantaje distincte:

• Geometria completă a fiecărei caracteristici este cuprinsă într-o singură linie. Nu necesită asamblare.
• Structura datelor (schema fizică) este foarte simplă și nu este doar rapidă, ci și scalabilă.
• Ușurința de a scrie o interfață.
• Ușurință de interacțiune. Vă permite să creați cu ușurință convertoare pentru transferul de date într-un format de geometrie simplă dintr-un număr mare de alte formate și invers. Shapefiles au fost utilizate pe scară largă ca format de stocare a datelor, precum și ca format de schimb.

Unul dintre dezavantajele lor a fost incapacitatea de a folosi topologia pentru a menține integritatea datelor atunci când lucrați cu obiecte simple... Drept urmare, utilizatorii au folosit un model de date pentru editare și stocare (acoperire) și altul pentru procesare (shapefiles sau straturi ArcSDE).

Utilizatorii au început să adopte această abordare hibridă pentru editarea și lucrul cu date. De exemplu, utilizatorii ar putea edita date în acoperiri, fișiere CAD sau alte formate. Apoi, ar putea converti datele în fișiere de formă pentru a fi utilizate în cartografiere. Astfel, în ciuda faptului că structura obiectelor simple a devenit format convenabil utilizare directă, nu a acceptat editarea topologică și gestionarea partajată a geometriei. Bazele de date directe ar putea folosi o structură simplă, dar a fost folosită o formă topologică diferită pentru editare. Acest lucru a fost benefic atunci când lucrați cu date. Dar, în același timp, datele au devenit depășite, trebuiau actualizate. Această schemă a funcționat, dar a existat o întârziere în actualizarea informațiilor. Concluzie - fără topologie.

GIS necesita un motor de stocare a caracteristicilor care utilizează geometrie simplă a caracteristicilor și permite utilizarea topologiei împreună cu acea structură de date. Acest lucru a însemnat că utilizatorii vor putea în sfârșit să combine beneficiile ambelor abordări - un model de date tranzacționale care permite interogări de topologie, co-autorare și controlul integrității datelor și un motor de stocare simplu, foarte scalabil, bazat pe geometrie simplă.

Acest model de date s-a dovedit a fi simplu, rapid și eficient. Ea permite editare directăși munca simultana orice număr de utilizatori.

Topologia spațiului de lucru în ArcGIS

De fapt, topologia implică mai mult decât un model de stocare. Topologia include:

• Un model de date complet (obiecte, reguli de integritate, instrumente de editare și validare, un mecanism topologic-geometric care vă permite să procesați seturi de date de orice dimensiune și complexitate, precum și un set de operatori topologici, metode de afișare și instrumente de construire a interogărilor).
• Formatul de stocare deschis folosește un set de înregistrări tipice pentru a desemna obiecte simple și o interfață topologică pentru construirea de interogări, găsirea elementelor de topologie și procesarea relațiilor spațiale dintre ele (adică, găsirea regiunilor învecinate și a marginilor lor comune, deplasându-se de-a lungul liniilor conectate).
• Capacitatea de a interacționa cu obiecte spațiale (puncte, linii și poligoane), elemente topologice (noduri, muchii, fețe) și relațiile acestora.
• Un mecanism care poate sprijini:
  • Seturi de date foarte mari care conțin milioane de caracteristici.
  • Editare și procesare simultană de către mai mulți utilizatori.
  • Geometrie caracteristică gata de utilizare, mereu disponibilă.
  • Menține integritatea topologică și comportamentul.
  • Un sistem cu acțiune rapidă care crește odată cu numărul de utilizatori și editori.
  • Un sistem flexibil și simplu.
  • Un sistem care profită de mecanism SQL relațional DBMS și mediu de tranzacții.
  • Un sistem care acceptă editarea multi-utilizator, tranzacții lungi, arhivare istorică și replicare.

În topologia bazei de geodatabase, procesul de validare determină coordonatele comune ale caracteristicilor (atât în ​​cadrul aceleiași clase de caracteristici, cât și între clase). Algoritmul de grupare oferă potrivire perfecta coordonate comune. Coordonatele partajate sunt stocate ca parte a geometriei simple a fiecărei caracteristici.

Aceasta oferă o căutare rapidă și scalabilă a caracteristicilor topologice (noduri, muchii și fețe). Un beneficiu suplimentar lucrează cu motorul SQL RDBMS și gestionarea tranzacțiilor.

La editarea sau actualizarea datelor, noile funcții pot fi utilizate imediat după ce sunt adăugate. Zonele actualizate ale hărții, numite „zone modificate”, sunt etichetate în fiecare clasă de caracteristici. În orice moment, utilizatorii pot efectua analize topologice și validarea zonelor modificate. Reconstrucția este necesară numai pentru topologia zonelor modificate, ceea ce reduce timpul de procesare.

Ca rezultat, primitivele topologice (noduri, muchii și fețe), relațiile dintre ele și caracteristicile pe care le cuprind pot fi descoperite și asamblate rapid. Această topologie are următoarele avantaje:

• Geometria simplă este folosită pentru a stoca caracteristici. Modelul de stocare este deschis, eficient și scalabil pentru volume mari și utilizatori multipli.
• Modelul de date obiect simplu este tranzacțional și multi-utilizator. Modelele de date topologice anterioare nu erau scalabile și aveau limitări severe pentru lucrul cu mai mulți utilizatori.
• Topologia geodatabasei acceptă pe deplin toate capabilitățile de date tranzacționale și versiuni lungi ale geodatabasei. Topologia bazei de date geodate nu trebuie să fie împărțită pentru lucrul cu mai mulți utilizatori; utilizatorii pot edita baza de date topologică în același timp - chiar și propriile versiuni ale acelorași caracteristici.
• Clasele de caracteristici pot conține foarte un numar mare de obiecte (sute de milioane), în timp ce performanța acestora nu scade.
• Această soluție de topologie este aditivă. De obicei, puteți adăuga topologie la o schemă existentă a claselor de caracteristici legate spațial. Sau, ar putea fi necesar să recreați schema care poate folosi primitive topologice și să încărcați datele spațiale existente în ea.
• Pentru editarea geometriei și lucrul cu date, de regulă, un model este suficient.
• Acest lucru este posibil prin utilizarea Open Geospatial Consortium și a specificațiilor ISO pentru a stoca geometria tuturor caracteristicilor.
• Modelarea datelor este mai naturală deoarece se bazează pe caracteristici personalizate (cum ar fi parcele, străzi, tipuri de sol și bazine hidrografice) în loc de primitive topologice (noduri, margini și fețe). Utilizatorii încep să opereze cu categorii de integritate a datelor în raport cu obiectele reale, și nu monitorizează integritatea primitivelor topologice. De exemplu, cum ar trebui să se comporte aceste terenuri? Această abordare simplifică modelarea tuturor tipurilor de caracteristici geografice. Simplifică înțelegerea caracteristicilor din lumea reală: străzi, tipuri de sol, districte de recensământ, șine de tren, păduri, peisaje etc.
• O topologie de geodatabase oferă același conținut ca versiunile anterioare de topologie - indiferent dacă stocați un grafic linie topologic și calculați geometria caracteristicilor (ca în acoperiri) sau stocați geometria caracteristicilor și calculați topologia și relațiile (ca în seturile de date) geodate).

În cazurile în care utilizatorii preferă să stocheze primitive topologice, ei pot crea tabele și pot plasa topologie și relații în ele pentru diverse operațiuni analitice și pentru schimbul de date (de exemplu, dacă este necesar să plaseze informații în Oracle Spatial, care stochează tabele cu primitive topologice). ).

Ca aspect practic, soluția de topologie ArcGIS funcționează. Se scalează fără a sacrifica performanța, atât în ​​ceea ce privește volumul de date, cât și numărul de utilizatori. Vă permite să utilizați o gamă largă de instrumente de validare și editare pentru a construi și manipula topologia într-o bază de date geografice. Include instrumente puternice și flexibile de modelare a datelor care permit utilizatorilor să creeze sisteme flexibile care funcționează atât la nivel de fișier, cât și la nivel de baze de date relaționale și care utilizează orice număr de scheme.

Topologia generală ocupă un loc special printre domeniile topologiei. În prezent, topologia generală a atins cel mai natural nivel de generalitate care permite prezentarea principiilor, conceptelor și construcțiilor topologice cu cea mai mare transparență și, în același timp, le oferă cea mai largă aplicabilitate posibilă în alte ramuri ale matematicii.

Topologia generală este un domeniu al matematicii care studiază proprietățile geometrice generale care sunt păstrate sub mapări continue și unu-la-unu.

Alături de algebra, topologia generală formează baza metodei moderne de teorie a mulțimilor în matematică.

Spațiile și mapările lor continue sunt obiecte de studiu ale topologiei generale determinate axiomatic. Spațiul topologic este înțeles ca o mulțime de obiecte de natură arbitrară, numite puncte, în care se distinge un anumit sistem de submulțimi, numite mulțimi deschise de spațiu. Acest sistem ar trebui să includă tot spațiul și setul gol și să conțină, împreună cu oricare două mulțimi, intersecția lor și împreună cu orice set de mulțimi, o mulțime care este uniunea lor.

Dezvoltarea topologiei generale a fost influențată semnificativ de introducerea P.S. Aleksandrov, conceptul de compactitate. Aleksandrov și Uryson au creat teoria spațiilor compacte. Spațiile bicompacte sunt unul dintre principalele obiecte de cercetare în topologia generală și se află în prezent în centrul atenției matematicienilor. Ei se joaca rol importantîn teoria dimensiunilor, teoria omologiei și alte ramuri ale topologiei și sunt, de asemenea, de importanță primordială în analiza funcțională. Orice spațiu complet regulat este un subset al unui spațiu Hausdorff compact.

În prezent, cea mai comună definiție a unui spațiu compact este următoarea: un spațiu se numește compact dacă din orice capac deschis al acestui spațiu se poate alege un număr finit de seturi de acoperire.

În literatură, se pot găsi și alte clase de spații care sunt asemănătoare cu cele bicompacte, de exemplu, pseudocompacte, cvasicompacte. Spațiile compacte ocupă locul principal printre ele și joacă același rol în topologia generală ca și spațiile compacte din clasa spațiilor metrizabile.

În plus, topologia generală este dedicată studiului conceptelor de continuitate, precum și a altor concepte precum compactitatea sau separabilitatea, ca atare, fără a recurge la alte instrumente.

4. Spațiul topologic

Spațiul topologic este obiectul principal al studiului topologiei. Conceptul de spațiu topologic poate fi văzut ca o generalizare a conceptului de figură geometrică, în care facem abstracție de proprietăți precum dimensiunea sau poziția exactă a părților unei figuri în spațiu și ne concentrăm doar pe poziția relativă a părților. Spațiile topologice apar în mod natural în aproape toate ramurile matematicii.

Deci, un spațiu topologic este definit printr-un sistem de mulțimi deschise prin intermediul axiomelor. Desigur, acest concept în sine se bazează pe conceptele generale preliminare de „spațiu” și „mult deschis”.

În matematica modernă, spațiul este definit ca un ansamblu abstract de obiecte arbitrare, pentru care se specifică o anumită operație, realizând o relație cunoscută între elementele spațiului. Baza pentru construirea unei teorii a acestui sau aceluia spațiu abstract este, pe de o parte, conceptul matematic general al unei mulțimi, care este înțeles ca o mulțime arbitrară a oricăror obiecte (elemente), iar pe de altă parte, relațiile structurale stabilite în o anumită cale între aceste obiecte.

Fie dată o mulțime X. O mulțime T a submulțimii sale se numește topologie pe X dacă sunt îndeplinite următoarele proprietăți:

Tot X și setul gol îi aparțin lui T,

Unirea unei familii arbitrare de mulțimi aparținând lui T aparține lui T,

Intersecția a două mulțimi aparținând lui T aparține lui T.

Mulțimea X împreună cu topologia T definită pe ea se numește spațiu topologic. Submulțimile lui X aparținând lui T se numesc mulțimi deschise.

Necesitatea dezvoltării unei abordări generale a conceptului de spațiu a apărut cu destul de mult timp în urmă - la sfârșitul ultimului și începutul acestui secol. În legătură cu dezvoltarea teoriei funcţiilor unei variabile reale şi analiza functionala au aparut si alte obiecte - spatii functionale si submultimile lor - pentru studiul carora s-au cerut si conceptele si metodele de topologie generala.

În prezent, metodele de cercetare topologică sunt utilizate nu numai în analiză, ci și în multe alte ramuri ale matematicii. Rolul metodelor topologice în ecuațiile diferențiale este semnificativ. Ca urmare a sintezei ideilor de topologie generală și analiză funcțională, a luat naștere teoria spațiilor vectoriale topologice. Spațiile topologice abstracte pot apărea în moduri neașteptate și sunt aplicate într-o mare varietate de domenii ale matematicii.

Conceptul general acceptat de spațiu topologic nu a apărut imediat. Spațiile metrice care au apărut mai devreme, care până astăzi reprezintă un subiect important pentru studiul topologiei generale, nu puteau satisface matematicienii.

Primele definiții destul de generale ale unui spațiu topologic au fost date în lucrările lui Frechet, Riesz și Hausdorff. Definiția unui spațiu topologic a fost formulată în cele din urmă de către matematicianul polonez K. Kuratovsky și P.S. Alexandrov.

Pentru a defini o anumită topologie Ω pe o mulțime X, nu este nevoie să indicați direct toate submulțimile familiei Ω. Există o altă modalitate foarte convenabilă de a construi o topologie folosind conceptul de bază.

Se numește colecția β de mulțimi deschise ale spațiului (X, Ω). topologie de bazăΩ sau spațiu de bază(X, Ω) dacă orice mulțime deschisă nevidă a spațiului topologic (X, Ω) poate fi reprezentată ca uniunea unei colecții de mulțimi aparținând lui β. În special, X este egal cu uniunea tuturor mulțimilor de baze.

Teorema 1.9.

Colecția β de mulțimi deschise a topologiei Ω este baza acestei topologii dacă și numai dacă, pentru orice mulțime deschisă U Ω și pentru orice punct х U, există o mulțime V β astfel încât х V U.

Dovada. Fie β baza topologiei Ω. U este o mulțime deschisă arbitrară din familia Ω, х este un punct arbitrar al mulțimii U. Apoi, prin definiția bazei, mulțimea, unde este o familie de mulțimi aparținând colecției β. Deoarece x U, atunci există un indice α 0 J astfel încât x V α0 β și V α0 U. În schimb, dacă U este o mulțime deschisă arbitrară din familia Ω, atunci pentru orice punct x U există o mulțime V x β astfel încât x V x U. Se verifică direct că unirea tuturor acestor V x coincide cu U:. Astfel, orice mulțime deschisă din familia Ω este uniunea unei colecții de mulțimi aparținând lui β. Prin urmare, β este, prin definiție, baza topologiei Ω.

Teorema este demonstrată.

Se numește un sistem de submulțimi S α din X acoperire X dacă unirea coincide cu X. Se numește un capac S deschis dacă fiecare S α este deschis în spațiul (X, Ω).

În special, baza spațiului (X, Ω) este o acoperire deschisă a lui X. Cu toate acestea, nu fiecare acoperire a lui X poate servi ca bază a unei topologii pe X.

Se pune întrebarea: dacă există o acoperire a lui X, atunci în ce condiții poate fi construită o topologie pe X, astfel încât această familie să fie baza acestei topologii? Următoarea teoremă răspunde la această întrebare.

Teorema 1.10.

Lasa . O acoperire β = este o bază a unei topologii pe X dacă și numai dacă, pentru fiecare V α din β, fiecare V β din β și pentru fiecare punct x V α V β, există un V γ β astfel încât x V γ (V α V β).

Dovada. Fie β = baza spațiului (X, Ω). Deoarece β Ω, în virtutea axiomei c) a unui spațiu topologic, intersecția oricăror două mulțimi din colecția β este o mulțime deschisă, adică V α V β Ω. Prin urmare, prin teorema 1.9, pentru orice punct х V α V β există V γ β astfel încât x V γ (V α V β).

Invers, fie acoperirea β satisface condiția teoremei. Să definim o familie Ω constând dintr-o mulțime goală și toate uniunile posibile de mulțimi din β. Să arătăm că familia construită Ω satisface axiomele a) - c) ale unui spațiu topologic. Axioma a) este evidentă: mulțimea goală intră în Ω prin ipoteză, iar mulțimea aparține lui Ω ca unire a tuturor mulțimilor din β. Să verificăm axioma b). Fie o familie de mulțimi, unde U α Ω pentru orice indice α din J. Fiecare mulțime U α este uniunea unei colecții de mulțimi din β: unde V α, γ β pentru fiecare indice α J și fiecare indice γ G. Atunci, adică... multimea este unirea unei colectii de multimi din β si, prin urmare, apartine familiei Ω. Pentru a verifica axioma c), este suficient să arătăm că intersecția oricăror două mulțimi U, din Ω. aparține lui Ω. Reprezentăm mulțimile U în următoarea formă: unde V γ β pentru fiecare γ G, δ β pentru fiecare δ D. Se consideră intersecția. În primul rând, să ne asigurăm că fiecare mulțime de forma V γ δ aparține lui Ω. Într-adevăr, pentru orice punct x V γ δ, prin ipoteza teoremei, există o mulțime W x β astfel încât x W x V γ δ. Prin urmare, mulțimea V γ δ =. Egalitatea obținută arată că mulțimea V γ δ Ω este uniunea unei familii de mulțimi din colecția β. Prin urmare, mulțimea U este uniunea unei familii de mulțimi aparținând lui Ω și, prin urmare, prin axioma b), U Ω. Astfel, familia Ω satisface axiomele a) - c) ale unui spațiu topologic, adică este o topologie pe X, iar acoperirea β este, prin definiție, o bază pentru Ω.

Teorema este demonstrată.

Rețineți că în demonstrația teoremei 1.10, este indicată o metodă pentru construirea unei topologii pe X dacă este dată o acoperire β care îndeplinește condițiile teoremei.

Este posibil să se construiască o topologie pe X dacă se oferă o acoperire arbitrară? Răspunsul la această întrebare este dat de următoarea teoremă.

Teorema 1.11.

Fie o acoperire arbitrară a mulțimii X. Atunci familia tuturor intersecțiilor finite posibile ale elementelor din S formează baza unei topologii pe X.

Dovada. Să verificăm dacă acoperirea în care K este o submulțime finită arbitrară a lui I satisface criteriul de bază. Observând că intersecția oricăror două elemente ale familiei β este din nou un element al familiei β, aplicăm Teorema 1.10: pentru orice mulțimi U α, V β aparținând lui β, punem V γ = V α V β. Atunci V γ β ca intersecția unui număr finit de mulțimi din S. Prin urmare, pentru orice punct х V α V β avem: х V γ = (V α V β). Astfel, prin teorema 1.10, β este o bază a unei topologii pe X.

Teorema este demonstrată.

Se numește familia γ de submulțimi deschise ale spațiului (X, Ω). topologie pre-bazăΩ dacă familia β, constând din toate intersecțiile finite posibile ale mulțimilor din γ, formează baza topologiei Ω.

Teorema 1.11 afirmă că fiecare acoperire a mulțimii X este o prebază a unei topologii pe X.

Evident, fiecare bază a unui spațiu este și prebază. De obicei, o topologie are multe baze și prebaze. Se poate da preferință unuia sau altuia dintre ele, în funcție de problema care se rezolvă.