Vector aleatoriu

Funcția de densitate de probabilitate comună a două variabile aleatoare

Fie ca funcția să aibă derivate în raport cu, precum și o derivată a doua mixtă. Distribuția comună (sau bidimensională) a densității de probabilitate a variabilelor aleatoare este funcția

Să luăm în considerare proprietățile de bază ale densității de probabilitate bidimensionale.

1. Următorul raport este corect:

Pentru a demonstra acest lucru folosim egalitatea (51.1), atunci:

Acum egalitatea (50.2) implică (51.2). Această relație este de importanță practică, deoarece permite să se calculeze probabilitatea ca un vector bidimensional să cadă într-un dreptunghi definit de segmente și prin densitatea probabilității.

2. Luați în considerare caz special relaţii (51.2). Fie atunci (51.2) să ia forma:

Această relație definește funcția de distribuție a probabilității prin densitatea probabilității și este inversul egalității (51.1).

3. Se consideră (51.2) în condițiile: , apoi din (51.2) rezultă egalitatea:

deoarece – ca probabilitate a unui eveniment de încredere. Relația (51.5) se numește condiție de normalizare pentru densitatea de probabilitate.

4. Dacă este densitatea de probabilitate a vectorului și este densitatea de probabilitate variabilă aleatorie, Acea

Această egalitate se numește proprietatea de consistență a densității de ordinul doi și a densității de ordinul întâi. Dacă densitatea de ordinul doi este cunoscută, atunci folosind formula (51.6) putem calcula densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare. De asemenea,

Obținem dovada (51.6) pe baza egalității

Să reprezentăm prin densitate conform (51.4), iar prin, apoi din (51.8) rezultă

Diferențierea (51.9) față de duce la egalitate (51.6), care completează demonstrația.

5. Variabile aleatoare și sunt numite independente dacă evenimentele aleatoare sunt independente și pentru orice numere și. Pentru variabile aleatoare independente și:

Dovada rezultă din definiţiile funcţiilor şi, . Deoarece și sunt variabile aleatoare independente, atunci evenimentele de forma: și sunt independente pentru orice și. De aceea

Egalitatea (51.10) este adevărată. Să diferențiem (51.10) față de și, apoi conform (51.1) obținem un corolar pentru densități:

6. Să - zonă arbitrarăîntr-un avion, atunci

Probabilitatea ca un vector să ia orice valoare din regiune este determinată de integrala peste densitatea de probabilitate.

Să luăm în considerare un exemplu de vector aleatoriu cu o distribuție uniformă de probabilitate, care are o densitate de probabilitate pe un dreptunghi și în afara acestui dreptunghi. Numărul este determinat din condiția de normalizare:

Contribuția B.V. Gnedenko în dezvoltarea teoriei probabilităților

În anii 1930, atenția lui Boris Vladimirovici a fost atrasă de problemele legate de însumarea variabilelor aleatoare independente. Interesul pentru astfel de probleme a apărut în matematică încă din secolul al XVII-lea...

Statistici matematice

Folosind estimări punctuale ale parametrilor legii distribuției normale și notează densitatea probabilității și funcția de distribuție...

Variabile aleatoare continue. Legea distribuției normale

Fie definită o variabilă aleatoare continuă X prin densitatea distribuției f(x). Să presupunem că totul valori posibile X aparțin segmentului [a, b]. Să împărțim acest segment în n segmente parțiale de lungime......

Vector aleatoriu

În problemele cu un rezultat aleatoriu, de obicei este necesar să se țină cont de interacțiunea mai multor variabile aleatoare. Acest lucru duce în mod natural la conceptul de variabile aleatoare multidimensionale (vectorale) sau la o colecție de mai multe variabile aleatoare...

Vector aleatoriu

Distribuția condițională a densității de probabilitate a unei variabile aleatoare într-o condiție se numește funcție: . (53.1) Înlocuim relația (52.5) ​​în (53.1), atunci. (53.2) Urmează. (53.3) - formula de multiplicare a densităților...

Vector aleatoriu

Pentru variabile aleatoare independente și covarianță. În schimb, luați în considerare un alt caz extrem, când variabilele aleatoare și sunt legate dependenta functionala: , (56.1) unde sunt numere. Să calculăm covarianța variabilelor aleatoare și: . (56...

Vector aleatoriu

Fie ca un vector aleatoriu să aibă o funcție de distribuție a probabilității și există o derivată parțială, (61.1), atunci funcția se numește densitate de distribuție a probabilității a vectorului aleator sau densitate de probabilitate dimensională...

Vector aleatoriu

Fie variabile aleatoare având o densitate comună și o funcție de distribuție a probabilității comune. Să fie date și funcții și variabile. În loc de argumente ale funcției, înlocuim variabile aleatoare, apoi (64...

Vector aleatoriu

66.1. Relația (65.11), care determină densitatea de probabilitate a variabilei transformate prin densitatea variabilei aleatoare inițiale, poate fi generalizată la cazul transformării variabilelor aleatoare...

Procese aleatorii

Dacă are o derivată, (71.1) atunci această derivată se numește densitatea distribuției de probabilitate -dimensională proces aleatoriu. Proprietățile de bază ale densității (71...

Teoria probabilității

O variabilă aleatorie este o mărime a cărei valoare numerică poate varia în funcție de rezultatul unui experiment stocastic. Să numim o variabilă aleatoare discretă ale cărei valori posibile formează o mulțime finită...

Teoria probabilității

O variabilă aleatorie este o mărime a cărei valoare numerică poate varia în funcție de rezultatul unui experiment stocastic. Continuu este o variabilă aleatoare care poate lua orice valoare dintr-un anumit interval...

Teoria probabilității și variabile aleatoare

Fie specificată o variabilă aleatoare continuă X de către funcția de distribuție f(x). Să presupunem că toate valorile posibile ale variabilei aleatoare aparțin segmentului. Definiție. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue X...

Ce este o variabilă aleatoare

Există două tipuri de variabile aleatoare: discrete și continue. Discrete sunt acele variabile aleatoare al căror set de valori este finit sau fix. Un exemplu de variabilă aleatoare discretă...

Elemente de teoria probabilității

Așteptări matematice: Valoarea (6) se numește așteptare matematică. În esență, este valoarea medie ținând cont de ponderea implementării valorii curente. Pentru a clarifica conceptul de greutate, să presupunem aici că este o cantitate discretă...

Între fluxurile de rezultate ale evenimentului X și evenimentului Y egal cu zero. Prin urmare, dacă ar avea loc independența stocastică, atunci ne-am aștepta ca probabilitatea ca X = 0 și Y = 3 să fie egală cu (6/27) (8/27) = 0,222 0,0658 = 0,0658. În schimb, această probabilitate este zero, confirmând astfel teorema probabilității condiționate acceptată conform căreia densitățile de îmbinare nu pot fi obținute din densitățile necondiționate ale componentelor.

Se știa cum să se determine coeficientul de corelație în prezența doar a densității articulare și a densităților necondiționate, dar pentru o lungă perioadă de timp s-a crezut că este imposibil să se determine densitatea îmbinării doar cu densități necondiționate și coeficientul de corelație a fluxului. Și exact de asta aveam nevoie.

FUNCȚIA DE DENSITATE DE DISTRIBUȚIE articulară

Să considerăm sistemul de ecuații simultane (2.1), pentru care sunt îndeplinite condițiile de normalitate (condiția 1) și rangul (condiția 2). Apoi, (i) densitatea îmbinării (g/1,..., g/n) depinde de (Bo, Go, Ho) numai prin parametrii de formă redusă (Po, o)5 (n) Po și 1 sunt global identificabile.

Într-adevăr, să

vector de constrângere aleatorie b. Densitatea de distribuție a componentei 6 este egală cu

Să notăm cu f densitatea de distribuție comună a componentelor vectorului b(w).

Folosind această formulă, puteți determina probabilitatea comună (densitatea probabilității comune) acestor SV

Probabilitatea comună, funcția de distribuție comună, densitatea probabilității comune nu oferă o idee clară despre comportamentul fiecăreia dintre componentele SV luate în considerare și relația lor între ele. În acest caz, se pot construi legi de distribuție pentru fiecare dintre componentele SV multidimensionale. Mai mult, fiecare dintre ele ia aceleași valori, dar cu probabilitățile marginale corespunzătoare sau cu funcțiile de distribuție marginală calculate folosind formulele (1.23), (1.24). De exemplu, un SV discret bidimensional (X, Y) poate fi specificat sub formă tabelară

Ce este probabilitatea comună, funcția de distribuție comună, densitatea probabilității comune

Dați un exemplu de funcție de densitate de probabilitate comună a două variabile aleatoare și trasați liniile lor de nivel pentru sensuri diferite coeficientul de corelaţie al acestor mărimi.

Această ipoteză poate fi rescrisă analitic după cum urmează: activele corporației generează un flux de venituri X, (1), X, (2),..., X, (T). Elementele acestui flux sunt variabile aleatoare având o densitate de distribuție comună de forma xL-U, (1), X, (2),. .., X, (T)]. Rentabilitatea celui de-al i-lea cor-

Vom lua în considerare în principal seriile de timp , care au o distribuție comună a variabilelor aleatoare X, . .., X are o densitate de distribuție comună p(x, x,..., x).

În aceste ipoteze, densitatea de distribuție comună a vectorilor aleatori ul,...,un are forma

Deoarece u = y,T - xtB, trecând apoi de la variabilele u,...,ipk la variabilele y1,...,yn, obținem o expresie pentru densitatea comună a valorilor vectorilor y1, ...,y în formă

Se știe că pentru f(x) - f(x,y)dy și ftj(y) - f(x,y)dx, densitatea îmbinării

Toate aceste densități condiționate sunt ușor exprimate prin densitatea articulației

Datorită influenței combinate a factorilor aleatori și sistematici, parametrii tehnologici și parametrii produsului sunt variabile aleatorii. Ele sunt de obicei distribuite conform unei legi normale normale sau trunchiate cu o densitate de distribuție f(x) (-)]

Peste trei sute de ani de muncă activă comună a multor generații de fizicieni și matematicieni, au reușit să construiască o clădire armonioasă - un sistem de modele matematice ale proceselor fizice. Această clădire este formată din mai multe etaje. Se bazează pe principii care servesc drept bază pentru modele de fenomene fizice. Aceste principii sunt produsul dezvoltării îndelungate a științei; ele întruchipează experiența influenței umane asupra naturii din jurul său, adică practica (în sensul filozofic al cuvântului), loc importantîn care în ştiinţele naturii se ocupă un experiment la scară largă. Cele trei principii ale mecanicii, formulate de Isaac Newton, servesc drept bază suficientă pentru construirea modelelor matematice în mecanică în cazul în care obiectele care ne interesează pot fi descrise cu un grad suficient de acuratețe sub forma punctelor materiale și a vitezelor acestora. sunt departe de viteza luminii. Obiectele de acest fel includ o clasă largă de fenomene studiate, variind de la oscilații pendulului până la zbor controlat. nava spatiala. Adăugând celor trei principii newtoniene principiile de descriere a deformării unui corp solid, putem deja descrie interacțiunea corpurilor solide cu dimensiuni finite. Adăugând la principiile lui Newton principiul de a considera un lichid ca un mediu continuu, continuu (adică neglijând structura sa moleculară), principiul descrierii relației dintre densitate și presiune, precum și principiul conservării masei, care are forma unei ecuații de continuitate a mediului, obținem un model matematic al lichidului.

Acest exemplu arată că suma probabilităților din prima coloană trebuie să fie egală cu densitatea necondiționată asociată cu coloana Rezultate bune (0,4). Adică, suma probabilităților comune de război, criză, stagnare, pace și prosperitate, pe de o parte, și a rezultatelor bune, pe de altă parte, trebuie să fie strict egală cu 0,4.

Rețineți că dacă aveți nevoie de asta probabilități comuneîn fiecare rând și fiecare coloană total egal cu densitatea necondiționată asociată cu fiecare rând și fiecare coloană (cum ar trebui să fie), atunci nu va mai fi nevoie să vă faceți griji pentru a vă asigura că nicio probabilitate comună nu depășește limita superioară (și, în timp ce toate probabilitățile tale comune sunt mai mari sau egale cu 0, așa cum era de așteptat, nu trebuie să-ți faci griji că trec limita inferioară). Mai mult, dacă probabilitățile comune din fiecare rând și fiecare coloană sunt egale cu densitățile necondiționate asociate cu fiecare rând și fiecare coloană, atunci

Ceea ce m-a deranjat cu adevărat a fost celebra teoremă a probabilității condiționate, care afirmă că densitatea de probabilitate comună nu poate fi obținută din densitățile de probabilitate necondiționate ale componentelor. Conform punctului de vedere tradițional, se credea că, în absența independenței stocastice, funcția de densitate de probabilitate comună este unică, complet independentă, care apare ca de nicăieri, adică nu se exprimă prin funcții ale densităților necondiționate. a componentelor, ci este o funcție nouă, independentă de densitate de probabilitate, care nu poate fi restabilită din funcțiile densităților necondiționate ale componentelor. Pentru a vedea acest lucru, luați în considerare următorul tabel, împrumutat de la Feller, pe care l-am ilustrat grafic în Fig. 3.1.

Societatea albaneză modernă este încă mai puțin afectată de industrializare decât oricare alta tara europeana creșterea orașelor, migrația populației de la sate la orașe, de la un oraș la altul, relocarea oamenilor care lucrează la o întreprindere în diferite părți ale orașului, fragmentarea (nuclearizarea) familiilor din această țară nu au mers atât de departe, să zicem, în Rusia. Nu numai în sate, ci și în orașele din Albania, vecinii știu din copilărie

Densitatea de distribuție condiționată. Fie spațiul de probabilitate algebra mulțimilor Borel pe linie, sub algebră distribuția condiționată X față de algebră și... Enciclopedie matematică

entropia diferenţială a distribuţiei de probabilitate condiţionată- O măsură a incertitudinii distribuției de probabilitate condiționată a unei variabile aleatoare continue, cu condiția ca valoarea unei alte variabile aleatoare continue să fie dată, mediată peste valorile acesteia din urmă; expresia sa are forma în care w(xn, ym)=w(x1, ...,… … Ghidul tehnic al traducătorului

FUNCȚIA DE DISTRIBUȚIE CONDIȚIONATĂ- funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare X în condiția B, unde B eveniment aleatoriu, P(B) > 0: Dacă X, Y sunt variabile aleatoare continue, f(x,y) este densitatea lor comună, atunci densitatea condiționată a lui X, cu condiția ca Y să fi acceptat data... ... Enciclopedie geologică

Statistici ordinale- Statistica ordinală în statistici matematice Acesta este un eșantion ordonat crescător. Aceasta este o statistică care ocupă un loc strict definit într-o populație clasată. Cuprins 1 Definiție 2 Note ... Wikipedia

STATISTICI SUFICIENTE- pentru o familie de distribuții de probabilitate (Pq;) sau pentru un parametru statistic (variabilă aleatorie vectorială) astfel încât pentru orice eveniment A există o variantă a probabilității condiționate Pq(A|X=x), independentă de 9. Aceasta este echivalent cu cerința ca... ... Enciclopedie matematică

STATISTICA COMANDA- un membru al seriei de variații construite pe baza rezultatelor observațiilor. Să fie observat un vector aleatoriu X = (X 1, X 2, ..., X n), luând valorile x = (x 1, x 2, ..., x n). în spațiul euclidian n-dimensional, și lăsați să intre funcția dată,... ... Enciclopedie matematică

PROBABILITATI- (densitatea distribuției de probabilitate) a variabilei aleatoare X funcție p (x) cum ar fi pentru orice a Enciclopedie fizică