Rețeaua Markov- O rețea Markov, un câmp aleator Markov sau un model grafic nedirecționat este un model grafic în care un set de variabile aleatoare are proprietatea Markov descrisă de un grafic nedirecționat. Rețeaua Markov este diferită... Wikipedia

VECTOR RANK- statistica vectoriala R= =(R1, . . . ., Rn), construita dintr-un vector aleator de observatii X= (X 1 .. ., X n), componenta a i-a a roiului Ri=Ri(X), i=l, 2,. . ., n, este determinată de regula în care funcția caracteristică a mulțimii, adică Statistica Ri se numește ... Enciclopedie matematică

DISTRIBUȚIE CONDIȚIONATĂ este o funcție a unui eveniment elementar și a unei mulțimi Borel, care pentru fiecare eveniment elementar fix este o distribuție a probabilităților, iar pentru fiecare set Borel fix o probabilitate condiționată. Lasă probabilisticul... ... Enciclopedie matematică

LEGEA LUI GAUSS- denumirea comună pentru distribuția normală. Numele este asociat cu rolul pe care îl joacă această distribuție în erorile teoriei lui K. Gauss. Densitățile (aceștia au fost numiți inițial G.Z.) au apărut în op. K. Gauss. Teoria miscarii...... Enciclopedie matematică

Vector aleatoriu

Funcția de densitate de probabilitate comună a două variabile aleatoare

Fie ca funcția să aibă derivate în raport cu, precum și o derivată a doua mixtă. Distribuția comună (sau bidimensională) a densității de probabilitate a variabilelor aleatoare este funcția

Să luăm în considerare proprietățile de bază ale densității de probabilitate bidimensionale.

1. Următorul raport este corect:

Pentru a demonstra acest lucru folosim egalitatea (51.1), atunci:

Acum egalitatea (50.2) implică (51.2). Această relație este de importanță practică, deoarece permite să se calculeze probabilitatea ca un vector bidimensional să cadă într-un dreptunghi definit de segmente și prin densitatea probabilității.

2. Luați în considerare un caz special de relație (51.2). Fie atunci (51.2) să ia forma:

Această relație definește funcția de distribuție a probabilității prin densitatea probabilității și este inversul egalității (51.1).

3. Se consideră (51.2) în condițiile: , apoi din (51.2) rezultă egalitatea:

deoarece – ca probabilitate a unui eveniment de încredere. Relația (51.5) se numește condiție de normalizare pentru densitatea de probabilitate.

4. Dacă este densitatea de probabilitate a unui vector și este densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare, atunci

Această egalitate se numește proprietatea de consistență a densității de ordinul doi și a densității de ordinul întâi. Dacă densitatea de ordinul doi este cunoscută, atunci folosind formula (51.6) putem calcula densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare. De asemenea,

Obținem dovada (51.6) pe baza egalității

Să reprezentăm prin densitate conform (51.4), iar prin, apoi din (51.8) rezultă

Diferențierea (51.9) față de duce la egalitate (51.6), care completează demonstrația.

5. Variabile aleatoare și sunt numite independente dacă evenimentele aleatoare sunt independente și pentru orice numere și. Pentru variabile aleatoare independente și:

Dovada rezultă din definiţiile funcţiilor şi, . Deoarece și sunt variabile aleatoare independente, atunci evenimentele de forma: și sunt independente pentru orice și. De aceea

Egalitatea (51.10) este adevărată. Să diferențiem (51.10) față de și, apoi conform (51.1) obținem un corolar pentru densități:

6. Fie o zonă arbitrară pe plan, atunci

Probabilitatea ca un vector să ia orice valoare din regiune este determinată de integrala peste densitatea de probabilitate.

Să luăm în considerare un exemplu de vector aleatoriu cu o distribuție uniformă de probabilitate, care are o densitate de probabilitate pe un dreptunghi și în afara acestui dreptunghi. Numărul este determinat din condiția de normalizare:

Contribuția B.V. Gnedenko în dezvoltarea teoriei probabilităților

În anii 1930, atenția lui Boris Vladimirovici a fost atrasă de problemele legate de însumarea variabilelor aleatoare independente. Interesul pentru astfel de probleme a apărut în matematică încă din secolul al XVII-lea...

Statistici matematice

Folosind estimări punctuale ale parametrilor legii distribuției normale și notează densitatea probabilității și funcția de distribuție...

Variabile aleatoare continue. Legea distribuției normale

Fie definită o variabilă aleatoare continuă X prin densitatea distribuției f(x). Să presupunem că toate valorile posibile ale lui X aparțin segmentului [a, b]. Să împărțim acest segment în n segmente parțiale de lungime......

Vector aleatoriu

În problemele cu un rezultat aleatoriu, de obicei este necesar să se țină cont de interacțiunea mai multor variabile aleatoare. Acest lucru duce în mod natural la conceptul de variabile aleatoare multidimensionale (vectorale) sau la o colecție de mai multe variabile aleatoare...

Vector aleatoriu

Distribuția condițională a densității de probabilitate a unei variabile aleatoare într-o condiție se numește funcție: . (53.1) Înlocuim relația (52.5) ​​în (53.1), atunci. (53.2) Urmează. (53.3) - formula de multiplicare a densităților...

Vector aleatoriu

Pentru variabile aleatoare independente și covarianță. În schimb, să considerăm un alt caz extrem, când variabilele aleatoare și sunt legate printr-o dependență funcțională: , (56.1) unde sunt numere. Să calculăm covarianța variabilelor aleatoare și: . (56...

Vector aleatoriu

Fie ca un vector aleatoriu să aibă o funcție de distribuție a probabilității și există o derivată parțială, (61.1), atunci funcția se numește densitate de distribuție a probabilității a vectorului aleator sau densitate de probabilitate dimensională...

Vector aleatoriu

Fie variabile aleatoare având o densitate comună și o funcție de distribuție a probabilității comune. Să fie date și funcții și variabile. În loc de argumente ale funcției, înlocuim variabile aleatoare, apoi (64...

Vector aleatoriu

66.1. Relația (65.11), care determină densitatea de probabilitate a variabilei transformate prin densitatea variabilei aleatoare inițiale, poate fi generalizată la cazul transformării variabilelor aleatoare...

Procese aleatorii

Dacă are o derivată, (71.1) atunci această derivată se numește distribuția densității de probabilitate -dimensională a procesului aleator. Proprietățile de bază ale densității (71...

Teoria probabilității

O variabilă aleatorie este o mărime a cărei valoare numerică poate varia în funcție de rezultatul unui experiment stocastic. Să numim o variabilă aleatoare discretă ale cărei valori posibile formează o mulțime finită...

Teoria probabilității

O variabilă aleatorie este o mărime a cărei valoare numerică poate varia în funcție de rezultatul unui experiment stocastic. Continuu este o variabilă aleatoare care poate lua orice valoare dintr-un anumit interval...

Teoria probabilității și variabile aleatoare

Fie specificată o variabilă aleatoare continuă X de către funcția de distribuție f(x). Să presupunem că toate valorile posibile ale variabilei aleatoare aparțin segmentului. Definiție. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue X...

Ce este o variabilă aleatoare

Există două tipuri de variabile aleatoare: discrete și continue. Discrete sunt acele variabile aleatoare al căror set de valori este finit sau fix. Un exemplu de variabilă aleatoare discretă...

Elemente de teoria probabilității

Așteptări matematice: valoarea (6) se numește așteptare matematică. În esență, este valoarea medie ținând cont de ponderea implementării valorii curente. Pentru a clarifica conceptul de greutate, să presupunem aici că este o cantitate discretă...

Între fluxurile de rezultat ale evenimentului X și evenimentului Y este zero. Prin urmare, dacă ar avea loc independența stocastică, atunci ne-am aștepta ca probabilitatea ca X = 0 și Y = 3 să fie egală cu (6/27) (8/27) = 0,222 0,0658 = 0,0658. În schimb, această probabilitate este egală cu zero, confirmând astfel acceptarea teorema probabilității condiționale că densitățile îmbinărilor nu pot fi obținute din densitățile necondiționate ale componentelor.  

Se știa să se determine coeficient de corelațieîn prezența numai a densității articulațiilor și a densităților necondiționate, dar pentru o lungă perioadă de timp s-a crezut că a fost imposibil să se determine densitatea articulației având doar densități necondiționate și coeficient de corelație cursuri. Și exact de asta aveam nevoie.  

FUNCȚIA DE DENSITATE DE DISTRIBUȚIE articulară  

Să considerăm sistemul de ecuații simultane (2.1), pentru care conditii de normalitate(condiția 1) și rangul (condiția 2). Apoi, (i) densitatea îmbinării (g/1,..., g/n) depinde de (Bo, Go, Ho) numai prin parametrii de formă redusă (Po, o)5 (n) Po și 1 sunt global identificabile.  

Într-adevăr, să

vector de constrângere aleatorie b. Densitatea de distribuție componentele 6, egale cu  

Să notăm cu f densitatea de distribuție comună a componentelor vectorului b(w).  

Folosind această formulă, puteți determina probabilitatea comună (densitatea probabilității comune) acestor SV  

Probabilitate comună, comună functie de distributie, densitatea probabilității comune nu oferă o idee clară a comportamentului fiecăreia dintre componentele SV luate în considerare și a relației lor între ele. În acest caz, ele pot fi construite legi de distribuție fiecare dintre componentele SV multidimensionale. Mai mult, fiecare dintre ele ia aceleași valori, dar cu probabilitățile marginale sau marginale corespunzătoare functii de distributie, calculat folosind formulele (1.23), (1.24). De exemplu, un SV discret bidimensional (X, Y) poate fi specificat sub formă tabelară  

Ce este probabilitatea comună, comună functie de distributie, densitatea de probabilitate comună  

Dați un exemplu de densitate a articulațiilor distribuții de probabilitate Două variabile aleatoareși trasează liniile lor de nivel pentru diferite valori coeficient de corelație aceste cantitati.  

Această ipoteză poate fi rescrisă analitic după cum urmează: activele corporației generează flux de venituri X, (1), X, (2),..., X,(T). Elementele acestui flux sunt variabile aleatoare, având o densitate de distribuție comună de forma xL-U, (1), X, (2),. .., X, (T)]. Rentabilitatea celui de-al i-lea cor-  

Vom lua în considerare în principal serii de timp, care au rost distribuția variabilelor aleatoare X, . .., X are o densitate de distribuție comună p(x, x,..., x).  

În aceste ipoteze, densitatea distribuției comune vectori aleatori ul,...,un are forma  

Deoarece u = y,T - xtB, trecând apoi de la variabilele u,...,ipk la variabilele y1,...,yn, obținem o expresie pentru densitatea comună a valorilor vectorilor y1, ...,y în formă  

Se știe că pentru f(x) - f(x,y)dy și ftj(y) - f(x,y)dx, densitatea îmbinării  

Toate aceste densități condiționate sunt ușor exprimate prin densitatea articulației  

Datorită influenței combinate a aleatoriei și sistematice factori tehnologici parametrii și parametrii produsului sunt variabile aleatoare. Ele sunt de obicei distribuite conform unei legi normale normale sau trunchiate cu o densitate de distribuție f(x) (-)]  

Peste trei sute de ani de muncă activă comună a multor generații de fizicieni și matematicieni, au reușit să construiască o clădire armonioasă - un sistem modele matematice procese fizice. Această clădire este formată din mai multe etaje. Se bazează pe principiile care servesc drept bază modele de fizică fenomene. Aceste principii sunt produsul dezvoltării îndelungate a științei, ele întruchipează experiența influenței omului asupra naturii din jurul său, adică practica (în sensul filozofic al cuvântului), în care ocupă un loc important în științele naturii; experiment la scară completă. Trei principii ale mecanicii formulate Isaac Newton, servesc drept bază suficientă pentru construirea modelelor matematiceîn mecanică în cazul în care obiectele care ne interesează pot fi descrise cu un grad suficient de acuratețe sub formă de puncte materiale și vitezele lor sunt departe de viteza luminii. Obiectele de acest fel includ o clasă largă de fenomene studiate, variind de la oscilațiile unui pendul până la zborul controlat al unei nave spațiale. Adăugând la cele trei newtoniene principii principii descriind deformarea unui corp solid, vom putea descrie interacțiunea corpurilor solide cu dimensiuni finite. După ce a adăugat principiilor lui Newton principiul de a considera un lichid ca un mediu continuu, continuu (adică, neglijând structura sa moleculară), principiul descrierii Comunicarea între densitatea și presiunea, precum și principiul conservării masei, care are forma ecuației de continuitate a mediului, obținem model matematic lichide.  

Acest exemplu arată că suma probabilităților din prima coloană trebuie să fie egală cu densitatea necondiționată asociată cu coloana Rezultate bune (0,4). Adică, suma probabilităților comune de război, criză, stagnare, pace și prosperitate, pe de o parte, și a rezultatelor bune, pe de altă parte, trebuie să fie strict egală cu 0,4.  

Rețineți că, dacă doriți ca probabilitățile comune din fiecare rând și fiecare coloană să se adauge la densitatea necondiționată asociată fiecărui rând și fiecărei coloană (cum ar trebui), atunci nu mai trebuie să vă faceți griji pentru a vă asigura că nicio probabilitate comună nu va depăși limita superioară (și atâta timp cât toate probabilitățile tale comune sunt mai mari sau egale cu 0, așa cum ar trebui să fie, nu trebuie să-ți faci griji că trec limita inferioară). Mai mult, dacă probabilitățile comune din fiecare rând și fiecare coloană sunt egale cu densitățile necondiționate asociate cu fiecare rând și fiecare coloană, atunci  

Ceea ce mi-a provocat o adevărată suferință a fost cunoscuta teoremă despre probabilități condiționate, care a susținut că densitatea de probabilitate comună nu poate fi obținută din necondiționat densități de probabilitate componentă. Conform punct de vedere tradițional se credea că în absenţa stocasticului funcția de independență densitatea de probabilitate comună este unică, complet independentă, care apare ca de nicăieri, adică nu se exprimă prin funcțiile densităților necondiționate ale componentelor, ci este nouă, independentă. funcția de densitate de probabilitate, care nu poate fi recuperată din funcțiile densităților necondiționate ale componentelor. Pentru a vedea acest lucru, luați în considerare următorul tabel, împrumutat de la Feller, pe care l-am ilustrat grafic în Fig. 3.1.  

Societatea albaneză modernă este încă mai puțin afectată de industrializare decât orice altă țară europeană de creșterea urbană, migrația populației de la sate la orașe, de la un oraș la altul, relocarea oamenilor care lucrează la o întreprindere în diferite părți ale orașului, fragmentarea (nuclearizarea) familiilor din această țară nu au mers atât de departe, de exemplu, în Rusia. Nu doar în sate, ci și în orașele din Albania, vecinii știu din copilărie