Создание некоторой универсальной модели, отвечающей различным аспектам ее применения, практически невозможно. Для получения информации, отражающей те или иные свойства управляемого объекта, необходима классификация моделей. В основе классификации лежат особенности оператора φ. Все многообразие объектов управления, исходя из временного и пространственного признаков, можно разделить на следующие классы: статические или динамические; линейные или нелинейные; непрерывные или дискретные во времени; стационарные или нестационарные; процессы, в ходе которых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без пространственного изменения параметров. Так как математические моделии являются отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы. Полное наименование модели может включать в себя совокупность перечисленных признаков. Эти признаки послужили основой названия соответствующих типов моделей.
В зависимости от характера изучаемых процессов в системе все модели могут быть разделены на следующие виды:
Детерминированные модели – отображают детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий.
Стохастические модели – отображают вероятностные процессы и события; в этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса, и оцениваются средние характеристики.
Стационарные и нестационарные модели. Модель называется стационарной, если вид оператора φ и его параметры p не изменяются во времени, то есть, когда справедливо
φ= φ, т.е. y= φ(p,x).
Если же параметры модели изменяются во времени, то модель является
параметрически нестационарной
Самый общий вид нестационарности – когда от времени зависит и вид функции. Тогда в запись функции добавляется еще один аргумент
Статические и динамические модели. В основе такого разделения типов моделей лежат особенности движения исследуемого объекта как материальной системы.
Говоря о моделях с позиций задач управления, надо отметить, что под пространством здесь понимается не геометрическое пространство, а пространство состояний – координат состояний выходных переменных у . Элементами вектора y являются обычно контролируемые технологические параметры (расход, давление, температура, влажность, вязкость и т.д.). Состав элементов вектораy для самого объекта может быть шире, чем для модели этого объекта, так как при моделировании требуется изучение только части свойств реальной системы. Движение объекта управления в пространстве состояний и во времени оценивается с помощью векторного процесса y(t).
Модель системы называется статической , если состояние системы не изменяется, то есть система находится в равновесии, но движение связано со статичным состоянием объекта, находящегося в равновесии. Математическое описание в статических моделях не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравнений либо дифференциальных уравнений в случае объектов с распределенными параметрами. Статические модели обычно являются нелинейными. Они точно отражают состояние равновесия, вызванное переходом объекта от одного режима к другому.
Динамическая модель отражает изменение состояния объекта во времени. Математическое описание таких моделей обязательно включает производную во времени. Динамические модели используют дифференциальные уравнения. Точные решения этих уравненийизвестны только для некоторого класса дифференциальных уравнений. Чаще приходится прибегать к использованию численных методов, являющихся приближенными.
Для целей управления динамическую модель представляют в виде передаточной функции, связывающей входные и выходные переменные.
Линейные и нелинейные модели. Математически функция L(x) – линейна, если
L(λ 1 x 1 +λ 2 x 2)=λ 1 L(x 1)+λ 2 L(x 2).
Аналогично и для функций многих переменных. Линейной функции присуще использование только операций алгебраического сложения и умножения переменной на постоянный коэффициент. Если в выражении для оператора моделиесть нелинейные операции, то модель является нелинейной , в противном случае модель – линейна .
Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами. Следует отметить, что с учетом введенной терминологии было бы корректнее в названии модели вместо слова «параметры» употреблять понятие «координата состояния». Однако это сложившееся название, которое часто встречается во всех работах по моделированию технологических процессов.
Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве (или только в пространстве), то модели, описывающие такие процессы, называются моделями с распределенными параметрами. В этом случае вводится геометрическое пространство z=(z 1 ,z 2 ,z 3 ) и уравнения имеют вид:
y(z)=φ, p(z)=ψ.
Их математическое описание включает обычно дифференциальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравнения в случае стационарных процессов с одной пространственной координатой.
Если можно пренебречь пространственной неравномерность значений координат состояний объекта, т.е. градиент , то соответствующая модель – модель с сосредоточенными параметрами. Для них масса и энергия как бы сосредоточены в одной точке.
Трехмерность пространства не всегда обязательна. Например, модель змеевика с нагреваемым рабочим телом и с тонкостенной оболочкой обычно исходит из одномерности объекта – учитывается только длина змеевика. В то же время процесс передачи тепла в ограниченный объем рабочего тела через толстую стенку может быть описан одномерной моделью, учитывающей только толщину оболочки и т.п. Для конкретных объектов форма соответствующих уравнений требует обоснований.
Модели непрерывные и дискретные во времени. Непрерывные модели отражают непрерывные процессы в системах. Модели, описывающие состояние объектов относительно времени как непрерывного аргумента – непрерывные (по времени):
y(t)=φ, p(t)=ψ.
Дискретные модели служат для описания процессов, которые предполагаются дискретными. Дискретная модель не может дать прогноз поведения объекта на интервале между дискретными отсчетами времени. Если введем квантование по времени с шагом ∆t, то рассматривается дискретная шкала , где i=0,1,2…- приобретает смысл относительного времени. И дискретная модель:
y(i)=φ; p(i)=ψ.
При правильном выборе шага ∆t можно ожидать от дискретной модели результата с наперед заданной точностью. При изменении ∆t должны быть пересчитаны и коэффициенты разностного уравнения.
Дискретно-непрерывные модели используются для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.
Требования, предъявляемые к математическим моделям: точность – свойство, отражающее степень совпадения предсказанных с помощью модели значений параметров объекта с их истинными значениями; экономичность затрат машинного времени; универсальность – применимость к анализу группы однотипных объектов.
(4)
и т.д. Для каждого конкретного значения n будем получать новую динамическую систему, в заданном приближении описывающую процесс колебаний физического маятника .
Кинематическая интерпретация системы дифференциальных уравнений
Рассмотрим динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений . Применительно к таким системам сохранились представления и терминология, первоначально возникшие в механике. В рассматриваемом случае для определения динамической системы необходимо указать объект, допускающий описание состояния заданием величин x 1 , x 2 , ..., x N в некоторый момент времени t = t 0 . Величины x i могут принимать произвольные значения, причем двум различным наборам величин x i и отвечают два разных состояния. Закон эволюции динамической системы во времени записывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
Если рассматривать величины x 1 , x 2 , ..., x N как координаты точки x в N -мерном пространстве, то получается наглядное геометрическое представление состояния динамической системы в виде этой точки, которую называют изображающей , а чаще фазовой точкой , а пространство состояний — фазовым пространством динамической системы. Изменению состояния системы во времени отвечает движение фазовой точки вдоль некоторой линии, называемой фазовой траекторией . В фазовом пространстве системы уравнениями (5) определяется векторное поле скоростей, сопоставляющее каждой точке x выходящий из нее вектор скорости F (x ), компоненты которого даются правыми частями уравнений (5):
Динамическая система (5) может быть записана в векторной форме:
где F (x ) — вектор-функция размерности N .
Необходимо уточнить взаимосвязь понятий числа степеней свободы и размерности фазового пространства динамической системы. Под числом степеней свободы понимается наименьшее число независимых координат, необходимых для однозначного определения состояния системы. Под координатами первоначально понимались именно пространственные переменные, характеризующие взаимное расположение тел и объектов. В то же время для однозначного решения соответствующих уравнений движения необходимо помимо координат задать соответствующие начальные значения импульсов или скоростей. В связи с этим система с n степенями свободы характеризуется фазовым пространством в два раза большей размерности (N = 2n ).
Классификация динамических систем
Если динамическая система задана уравнением (7), то постулируется, что каждому x (t 0) в фазовом пространстве ставится в соответствие состояние x (t ), t > t 0 , куда за время t - t 0 переместится фазовая точка, движущаяся в соответствии с уравнением (7). В операторной форме (7) можно записать в виде
x (t ) = T t x (t 0), (8)
где T t — закон (оператор) эволюции. Если этот оператор применить к начальному состоянию x (t 0), то мы получим x (t ), то есть состояние в момент времени t > t 0 . Так как x (t 0) и x (t ) принадлежат одному и тому же фазовому пространству динамической системы, то математики говорят в данной ситуации: оператор T t отображает фазовое пространство системы на себя. В соответствии с этим можно называть оператор T t оператором отображения или просто отображением.
Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства. Если оператор предусматривает исключительно линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции: T [x (t ) + y (t )] = T x (t ) + T y (t ). Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной . Различают непрерывные и дискретные операторы и соответственно системы с непрерывным и дискретным временем . Системы, для которых отображение x (t ) с помощью оператора T может быть определено для любых t > t 0 (непрерывно во времени), называют также потоками по аналогии со стационарным течением жидкости . Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соответствующие динамические системы называют каскадами или системами с дискретным временем.
Способы задания оператора отображения T также могут различаться. Оператор T можно задать в виде дифференциального или интегрального преобразования, в виде матрицы или таблицы, в виде графика или функции и т.д.
Колебательные системы и их свойства
Важную группу динамических систем представляют системы, в которых возможны колебания. Колебательные системы с точки зрения их математических моделей разделяют на определенные классы. Различают линейные и нелинейные колебательные системы, сосредоточенные и распределенные, консервативные и диссипативные, автономные и неавтономные. Особый класс представляют так называемые автоколебательные системы. Основные свойства указанных систем подробно обсуждаются в работах по теории колебаний.
Информатика, кибернетика и программирование
Модели применяемые в управлении. Типы моделей. Масштаб времени динамических моделей. Непрерывные модели динамических систем. Уравнения состояния. Нелинейные системы. Численное моделирование динамических систем. Проблема слишком большого шага. Дискретные модели динам
Модели, применяемые в управлении. Типы моделей. Масштаб времени динамических моделей . Непрерывные модели динамических систем . Уравнения состояния. Нелинейные системы. Численное моделирование динамических систем. Проблема слишком большого шага. Дискретные модели динамических систем. Управляемость, оценка и наблюдаемость. Нечеткие системы
Модель процесса основа управления. Любая стратегия управления базируется на некотором понимании того, как физический процесс реагирует на входной сигнал. Поэтому умение анализировать и моделировать динамику системы является основной предпосылкой для успешного управления.
Типы моделей
Существует много способов описания систем с помощью моделей. Конкретный выбор зависит от предварительно имеющейся информации, возможностей собирать данные о процессе по мере его развития и, что важнее всего, от цели моделирования. В отличие от науки, где целью моделирования является глубокое проникновение в суть системы, модель в инженерном смысле считается адекватной, если соответствующие процессы управления работают предсказуемым образом, т. е. имеется устойчивый выход с малыми отклонениями от заданного значения, воспроизводимость отклика на входной сигнал и т. д
- Непрерывное во времени (аналоговое) описание . Система описывается линейными или нелинейными дифференциальными уравнениями баланса массы, энергии, сил или моментов. Во многих случаях нелинейные уравнения можно линеаризовать и тем самым упростить работу с ними.
- Дискретное во времени описание (sampled time description ). Физические свойства описываются линейными или нелинейными разностными уравнениями. Такой подход означает, что информация о системе доступна только в определенные, дискретные, моменты времени. Этот тип описания в действительности почти неизбежен при цифровом управлении потому, что компьютеры, базирующиеся на наиболее распространенной архитектуре фон Неймана (von Neumann ), выполняют инструкции последовательно. Определение интервала дискретизации, т. е. периодичности обновления или пересчета данных, является наиболее важным элементом такого моделирования.
- Модели систем, основанных на дискретных событиях (discrete events model ) или на последовательности событий (sequencing system ). Пример управления последовательностью событий был приведен в разделе 2.2.1. При таком описании входные и выходные величины системы дискретны во времени и обычно являются бинарными сигналами типа "включено/выключено". Многие системы управления последовательностью можно описать как системы очередей и моделировать так называемыми марковскими цепями или марковскими процессами.
- Модели систем с неопределенностями (system with uncertainties ). Как на сами управляемые системы, так и на измерения часто влияют нежелательные шумы и возмущения. В одних случаях возмущения и неполные знания о техническом процессе можно интерпретировать статистически. В других факторы неопределенности вместо количественных характеристик можно описывать лингвистическими и логическими выражениями. Пример такого описания правила экспертных систем "если-то-иначе". Еще одно средство описания неопределенностей так называемая нечеткая (fuzzy ) алгебра.
Масштаб времени динамических моделей
Масштаб времени одна из наиболее важных характеристик динамического процесса. Большинство технических систем и производств включают в себя несколько процессов, существенно отличающихся временем реакции. Поэтому при описании процесса важно выбрать масштаб времени, который соответствует поставленной цели.
Проиллюстрируем это на примере промышленного производства. Задачи управления можно разбить на несколько уровней. События на уровне станков происходят за доли секунды, как, например, при управлении манипулятором робота или инструментом станка. На следующем, более высоком уровне управления, на уровне участка, цель синхронизация различных механизмов, например решение, когда робот должен переместить деталь между двумя станками. Масштаб времени здесь уже имеет порядок от секунд до минут. На уровне участка предполагается, что задача управления конкретным станком уже решена на более низком уровне. Масштаб времени на уровне участка определяется задачами снабжения станка заготовками, определения, свободен ли робот, чтобы захватить новую деталь, и т. д. На еще более высоком уровне планируется производство в целом, т. е. что производить и с какими конкретными характеристиками. Решение таких проблем может занимать дни или недели, и по сравнению с этим динамика одного станка рассматривается как одномоментная.
Моделирование динамических систем
Существуют как хорошо известные и давно изученные процессы, так и процессы, о которых известно очень мало и которые трудно поддаются количественному описанию. Например, динамика самолетов и ядерных реакторов изучалась очень тщательно, и существуют достаточно точные, хотя и очень сложные модели этих процессов. Есть процессы, которые трудно описать количественно. Например, лабораторный процесс ферментации микроорганизмов одного типа в четко определенной питательной среде можно описать весьма точно. В отличие от этого, процесс биологической очистки сточных вод содержит сложную смесь организмов в среде, трудно поддающейся описанию. Такой процесс только частично можно описать обычными количественными моделями. Когда количественных моделей недостаточно или они слишком сложны, для описания процессов применяют семантические (лингвистические) модели. Другие примеры частично изученных процессов производство металла, разделение жидких и твердых субстанций, многие биохимические процессы и работа печей кругового обжига.
Для процессов, параметры которых изменяются во времени, характерны свои специфические проблемы. Например, в биологической системе добавление нового субстрата в процесс может вызвать мутацию микроорганизмов, которая приведет к значительному изменению динамики всего процесса.
Как правило, моделирование сложной системы представляет собой трудный, дорогой и требующий много времени процесс, особенно если необходима экспериментальная проверка. В принципе, существуют два способа разработки модели. При физическом подходе модель формируется исходя из физических соотношений и уравнений баланса. Другой способ построения динамической модели основан на экспериментальных данных. В технический процесс вносятся возмущения в виде различных типов входных сигналов, а затем выполняется анализ серий входных и выходных данных с помощью процедуры, которая называется идентификацией параметров . Если анализ выполняется в реальном времени, т. е. со скоростью, сопоставимой со скоростью протекания процесса, то такая процедура называется рекурсивной оценкой .
На практике обычно применяется комбинирование физического моделирования и идентификации параметров. При более глубоком изучении основных свойств процесса становится проще получить точное динамическое описание. Однако даже тщательно разработанные модели, основанные на физическом подходе, требуют экспериментальной проверки.
Параметры многих процессов и систем изменяются не только во времени, но и в пространстве, например концентрация жидкости в баке. Физический баланс таких систем описывается уравнениями в частных производных. В системах управления процессами эти уравнения обычно аппроксимируются конечными разностями по пространственным переменным для того, чтобы система описывалась обыкновенными дифференциальными уравнениями
Непрерывные модели динамических систем. Уравнения состояния
Дифференциальные уравнения, описывающие физический процесс, всегда можно преобразовать к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае говорят, что это описание в виде уравнений состояния или в пространстве состояний . Главное преимущество такой формы записи в том, что для решения этих уравнений можно использовать численные методы. Кроме того, четко прослеживается физическая сущность процесса, в частности связь между внутренними переменными и внешними входным и выходным сигналами. Аналогично, изучение систем управления с более чем одним входом и выходом, проще в форме уравнений состояния. Основой математического аппарата для моделей в пространстве состояний служит, главным образом, линейная алгебра векторная и матричная нотации значительно упрощают описание. Однако методы линейной алгебры не требуются, чтобы получить основные представления о динамике системы.
Уравнения состояния представляют собой практичный и удобный способ описания динамических систем. Состоянием называется набор всех переменных так называемых переменных состояния , производные первого порядка от, которых входят в уравнения описания динамической системы. Концепция уравнений состояния имеет фундаментальное значение. Если известны текущее состояние системы (переменные состояния) и входные сигналы, то можно предсказать ее дальнейшее поведение. При этом предысторию, т.е. как было достигнуто текущее состояние, знать не нужно. Другими словами, состояние это минимальное количество информации о системе, которое необходимо, чтобы предсказать ее будущее поведение.
Состояние х можно представить как вектор-столбец, компоненты которого переменные состояния
Непосредственно измерить все переменные состояния можно в редких случаях, т. е. существуют внутренние переменные, за которыми не удается следить с помощью датчиков. Поэтому описание в пространстве состояний называют также внутренним описанием . Выходные величины измерения, обозначаются через y 1 , у 2 ,..., у р и составляют вектор у
В общем случае число датчиков р, связанных с техническим процессом, меньше числа переменных состояния п. Поэтому вычисление х по у нетривиальная задача.
На любую техническую систему влияют входные сигналы двух типов сигналы,которые можно изменять вручную или автоматически какими-либо техническими средствами, и сигналы, которыми управлять невозможно. Сигналы первого типа называются управляющими сигналами или переменными управления U 1 , U 2 составляют вектор U
Входные сигналы второго типа могут влиять на систему, но не поддаются управлению. Величина этих сигналов отражает влияние внешней среды на систему, например изменение (возмущение) нагрузки, вызванное температурой, радиацией, нежелательным магнитным воздействием ("наводками") и т. п. Все эти сигналы обозначаются вектором v
Целью системы управления является вычисление на основе имеющихся измерений у таких управляющих сигналов и, чтобы, несмотря на влияние возмущений v , техническая система выполняла поставленные задачи. Управляемую систему можно представить в виде блок-схемы (рис. 3.13), на которой показаны управляющие сигналы, возмущения и выходные переменные
Рис. 2.1 Блок-схема управляемой системы
Область применения линейных моделей
Существуют динамические явления, которые нельзя описать линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Рассмотрим влияние нелинейности на примерах. Системы, описываемые ниже, ведут себя как линейные при малых значениях входных сигналов, а при больших появляется нелинейность.
Ограничения сигнала
В реальных условиях все сигналы ограничены. Во многих технических системах в качестве конечных управляющих элементов используются клапаны. Поскольку клапан не может быть открыт больше, чем на 100 %, рассчитанный математически сигнал управления иногда просто нельзя реализовать (рис. 2.2). Это вызывает определенные трудности в управлении.
Другой пример ограничения сигнала ток ротора электрического двигателя. Ток должен быть ограничен, иначе двигатель сгорит. Соответственно, система управления двигателем не может быть линейной, особенно при больших ускорениях и моментах, когда ток тоже должен быть большим
Рис.2.2 Выходной сигнал исполнительного механизма с ограничениями
Нелинейные системы
Описанные системы являются нелинейными, но при некоторых допущениях их можно аппроксимировать линейными уравнениями. Другие типы нелинейностей нельзя свести к линейному описанию. Наиболее часто встречающийся пример релейные системы. Реле вырабатывают бинарные сигналы типа "включено/ выключено"; идеальное реле для любого положительного входного сигнала имеет фиксированный положительный выход и, соответственно, фиксированный отрицательный выход при любом отрицательном входе. Очевидно, что в такой системе не выполняется принцип суперпозиции
Примеры систем с существенными нелинейностями:
- различные виды реле (с зоной нечувствительности, гистерезисом и т. д.);
- клапаны (зоны нечувствительности, насыщение);
- нелинейные деформации механических пружин;
- падение давления в сужении трубы;
- силы трения;
- аэродинамическое сопротивление;
- свойства пара;
- двигатели постоянного тока с последовательной обмоткой возбуждения (момент функция квадрата тока роторной цепи);
двигатели переменного тока
Нелинейные системы можно описать в следующем виде
где определены п переменных состояния и г входов, или в компактной векторной форме
Численное моделирование динамических систем
Для решения нелинейных дифференциальных уравнений в большинстве случаев используются численные методы. Основной метод решения дифференциальных уравнений аппроксимация производных по времени простыми разностными уравнениями. Этот метод называется аппроксимацией Эйлера с восходящими разностями
Если известны начальные условия х(0), то можно рассчитать состояния х(t + h ), х(t +2 h ), х(t +3 h ),..., которые являются приближениями точного решения в моменты времени t + h , t +2 h , t +3 h и т.д. Здесь очень важно выбрать шаг { step ) интегрирования h , который, в принципе, должен быть как можно меньше, однако на практике выбирается некая компромиссная величина. Слишком маленький шаг приведет к неоправданно большому времени вычислений (которое, естественно, еще серьезно зависит от сложности вычислений, типа уравнений, числа переменных и мощности процессора). С другой стороны, слишком большое значение h вызывает проблемы сходимости решения и приводит к нежелательным результатам. Эффект неправильно выбранного шага может оказаться очень существенным, особенно если моделируемая система включает в себя и быстрые, и медленные динамические процессы.
Проблема слишком большого шага
Для иллюстрации проблемы слишком большого шага рассмотрим простую систему, описываемую уравнением первого порядка
где х(0) = 1 и а > 0. Уравнение имеет аналитическое решение
С другой стороны, дифференциальное уравнение можно решить численно методом Эйлера. При аппроксимации производной конечной разностью
На рис. 2.3. показано, что происходит при различных значениях шага h . В общем случае для больших значений h таких, что h > 2/а, решение х будет иметь колебательный характер с изменением знака и ростом амплитуды. Проблема возникновения колебаний из-за слишком большого шага интегрирования называется численной неустойчивостью. Эта неустойчивость не имеет ничего общего с самой системой и вызвана только слишком грубой аппроксимацией при вычислении решения.
Существует много методов численного интегрирования, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки; наибольшее распространение получили методы Рунге-Кутта. Большинство методов интегрирования допускают варьируемую величину шага, которая выбирается автоматически, чтобы удовлетворить наперед заданному критерию погрешности
Дискретные модели динамических систем
Цифровая ЭВМ не может обрабатывать постоянно меняющиеся аналоговые данные. Соответственно, и сбор данных, и выработка управляющих сигналов происходят только в определенные моменты времени. Ситуация принципиально не меняется при повышении скорости процессора. Более быстрый процессор работает по тому же принципу, что и более медленный, он просто обрабатывает больше данных за тот же интервал времени, но данные при этом остаются дискретными.
Ниже излагается модель физического процесса, пригодная для приложений компьютерного управления. В соответствии с рассматриваемой моделью измеряемые данные процесса собираются через регулярные интервалы времени. Эти интервалы не обязательно должны быть одинаковыми, однако описание дискретной динамической модели становится проще при постоянном интервале. Данный процесс называется выборкой, дискретизацией { sampling ) или квантованием, длина интервала временем (периодом, интервалом) выборки, дискретизации { sampling time ) или квантования. Другое упрощение, используемое при разработке дискретно-временных моделей процессов, состоит в том, что измеряемые данные и сигналы управления остаются постоянными в течение интервала выборки. Фактически таким же образом работают схемы выборки и хранения интерфейса компьютера.
Описание в пространстве состояний
Нелинейный процесс можно аппроксимировать разностным уравнением
где h интервал выборки kh его порядковый номер; f (x , u ) производная по времени вектора состояния системы х. Аппроксимация справедлива, если h достаточно мал, и производная "гладкая". Разностное уравнение по существу такое же, что и при численном моделировании. Линейная система с постоянными коэффициентами в дискретном виде представляется следующим образом
В матричных обозначениях это можно записать
Для линейной или линеаризированной системы аппроксимация не обязательна. Поскольку линейные дифференциальные уравнения можно решить аналитически, соответствующие уравнения для дискретного представления можно получить из решения. Предполагается, что сигнал управления u (t ) остается постоянным между моментами выборки, т. е. система включает в себя схему удержания. Дискретную модель можно записать в матричном виде
где Ф матрица размерностью п x п, а Г матрица размерностью п x l . Связь между матрицами А и В и матрицами Ф и Г следующая
где I единичная матрица.
Преобразование между матрицами для непрерывной и дискретной моделей можно выполнить с использованием стандартных программ. Аппроксимация конечными разностями стремится к точному решению при малых значениях интервала выборки h . Поскольку измерения происходят периодически, то уравнение для дискретной модели справедливо только в моменты выборки
Решение уравнений дискретной модели на цифровой ЭВМ получается довольно просто: решения х(kh ) в последовательные моменты времени вычисляются шаг за шагом на основе разностных уравнений
Управляемость, оценка и наблюдаемость
Каждая техническая система обладает несколькими фундаментальными характеристиками, которые требуют особого внимания.
Управляемость (controllability ) это характеристика системы, которая показывает, имеет ли система достаточное количество регулируемых параметров для того, чтобы управлять ею требуемым образом. Грубо говоря, система является управляемой, если можно подобрать такие управляющие воздействия и, чтобы система достигла заданного состояния х. Только тогда, когда система управляема, ее полюса (или собственные числа) можно произвольно перемещать с помощью обратной связи.
Если процесс неуправляем, это означает, что части системы физически отсоединены от управляющих сигналов .
Управляющие сигналы влияют на каждую переменную состояния по отдельности. В управляемой системе все элементы матрицы В ненулевые, в противном случае переменные состояния, соответствующие нулевым элементам матрицы В, не могут регулироваться сигналами управления. Значения таких переменных будут определяться только свойствами системы.
Управляемость линейной системы на базе непрерывной и дискретной модели можно проверить математическими методами. Однако никакие математические методы не могут заменить понимание физической природы процесса инженером-проектировщиком. Например, часто бывает, что некоторые параметры плохо управляемы, т. е. значения соответствующих коэффициентов Р, малы. И хотя формально система управляема, реальный регулятор, пригодный для практического использования, создать невозможно.
Оценка состояния на основе измерений
Вторая характеристика системы связана с измерениями и наблюдением. Позволяет ли имеющийся состав датчиков получить достаточную информацию о состоянии системы. Возможно ли косвенным образом вычислить весь текущий вектор состояния x { t ), если известны текущее и предыдущее значения выходного сигнала у(0).Эта характеристика называется наблюдаемостью .
В большинстве случаев состояние системы не измеряется непосредственно, т. е. число датчиков меньше числа переменных состояния. Однако часто важно знать полный вектор состояния х, даже если адекватные датчики не существуют или просто слишком дороги. При определенных условиях можно вычислить вектор состояния х на основе измерений у . В последующем х будет обозначать вычисленный вектор состояния, поскольку он может отличаться от реального.
Для вычисления неизмеряемых переменных состояния можно использовать процедуру оценки (estimator ), причем как для непрерывных, так и для дискретных моделей. Здесь рассмотрен алгоритм оценки для дискретной модели, поскольку его можно непосредственно применять в компьютерном управлении. Оценка состояния фактически является описанием технического процесса разностными уравнениями, в которые введен дополнительный член для корректировки оцениваемых переменных на основе измерений у
Матрица D в большинстве случаев нулевая. Если система имеет только один датчик, тогда К является вектором, в противном случае матрицей. При "отличной" оценке х и х совпадают и последнее слагаемое в уравнении равно нулю, так как у = С х. Оценка будет подчиняться тому же динамическому уравнению, что и истинный вектор состояния х. Поскольку х отличается от х, последнее слагаемое, т. е. разность между реальным измерением у и его оценкой С*х, используется для коррекции ошибки. Матрица К есть весовой коэффициент, определяющий качество оценки.
Нечеткие системы
Многие системы не только нелинейны и нестационарны (изменяются во времени), но и вообще плохо определены. Их нельзя смоделировать уравнениями или представить набором ясных логических правил типа "если-то-иначе". Для решения подобных задач американский ученый Лотфи А. Задех (Lotfi A . Zadeh ) разработал нечеткую логику { fuzzy logic ). Термин "нечеткая" фактически использован не совсем правильно, поскольку логика прочно базируется на математической теории.
Нечеткую логику можно рассматривать как методологию дискретного управления, имитирующую человеческое мышление, с использованием такого свойства, присущего всем физическим системам, как неточность. В традиционной логике и вычислительной технике используются детерминированные множества, т. е. всегда можно сказать, принадлежит ли элемент множеству или нет. Обычная бинарная логика оперирует только противоположными состояниями "быстро/медленно", "открыто/закрыто", "горячо/холодно". В соответствии с этой логикой температуру 25 "С можно расценить как "горячо", а 24.9 °С еще "холодно", и регулятор температуры будет реагировать соответственно.
В противоположность этому нечеткая логика работает, преобразуя жесткие двоичные переменные "горячо/холодно", "быстро/медленно", "открыто/закрыто" в мягкие градации с изменяемой степенью принадлежности "тепло/прохладно", "довольно быстро/несколько медленно". Температура 20 °С может означать одновременно и "тепло", и "прохладно". Такие градации игнорируются обычной логикой, но служат краеугольным камнем нечеткой логики. Степень членства определяется доверием { confidence ) или уверенностью { certainty ) (выражается числом от 0 до 1), что конкретный элемент принадлежит нечеткому множеству.
Нечеткие системы вырабатывают свои решения на основе входной информации в форме лингвистических переменных, т. е. терминов обычного языка, например "горячо", "медленно" или "темно". Эти переменные обрабатываются правилами "если-то-иначе",и в результате формируется один или более выводов в зависимости от того, какие утверждения истинны. Вывод каждого правила взвешивается в соответствии с доверием или степенью принадлежности его входных значений.
Существует некоторая аналогия между правилами "если-то" искусственного интеллекта и нечеткой логикой, хотя искусственный интеллект есть процесс обработки символов, а нечеткая логика нет. В искусственном интеллекте нейронная сеть есть совокупность данных и выводов в виде специальных структур. Каждой входной величине назначается относительный, дискретный весовой коэффициент. Взвешенные данные точно определенным способом формируют сеть для принятия решений. В отличие от этого в нечеткой логике весовые функции непрерывно определены на множестве значений принадлежности.
Нечеткая логика часто имеет дело с переменными, которые скорее наблюдаются, чем измеряются. Управление на основе нечеткой логики имеет еще одно существенное отличие по сравнению с традиционным. Последнее основано на математической модели системы, которая предполагает наличие детальных знаний о соответствующих переменных. Моделирование на основе нечеткой логики имеет дело с отношениями вход/выход, в которых собраны вместе многие параметры. При таком управлении замена большого диапазона значений на меньшее количество градаций принадлежности помогает сократить число переменных, которыми должен оперировать регулятор. Соответственно, требуется меньшее число правил, поскольку надо оценивать меньше параметров, и во многих случаях регулятор на базе нечеткой логики может вырабатывать решения быстрее, чем экспертная система на основе правил "если-то". На экспериментальных прототипах было показано, что нечеткая логика является хорошим инструментом при недостаточных объемах информации.
Автоматический регулятор скорости поезда служит простой иллюстрацией приложений нечеткой логики. Критерием для регулятора является оптимизация времени пути при известных ограничениях. Входными данными являются текущие скорость, ускорение и расстояние до места назначения, на основе которых регулятор управляет мощностью двигателя
Функция принадлежности присваивает измеряемым величинам лингвистические значения. В приведенном случае ускорение имеет значение "торможение" из-за крутого подъема. Скорость принадлежит к множеству "медленно" (вес 0.8) и "слишком медленно" (вес 0.2), а расстояние имеет значение "очень близко к месту назначения" с весом 0.65 и "близко" с весом 0.35
Несколько правил могут дать представление о логике управления:
- если скорость имеет значение "слишком медленно", а ускорение "торможение", то следует "существенно увеличить" мощность;
- если скорость имеет значение "медленно", а ускорение "торможение", то следует "слегка увеличить" мощность;
- если расстояние имеет значение "близко", то следует "слегка снизить" мощность.
Какое правило должно быть выбрано? Выход также имеет степень доверия, которая зависит от степени доверия (т. е. веса) входных данных. Окончательный выбор в рассматриваемом примере "слегка увеличить" мощность. Даже если скорость имеет значение "слишком медленно", то поезд уже близок к месту назначения.
Нет гарантии, что нечеткая логика может успешно справляться со сложными системами. Регулятор на базе нечеткой логики является практически оценкой состояния системы, которая не основана на конкретной модели. Доказать устойчивость такого регулятора очень сложно.
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать |
|||
| 178. | Общая теория психологии. Классификация основных понятий | 282 KB | |
| Принцип детерминизма, место психологии в системе наук, понятие о сознании и самосознании. Теория личности Альфреда Адлера. Закономерности зарождения, развития и формирования личности. Операциональная концепция интеллекта. | |||
| 179. | Математические модели электрических, гидравлических и пневматических рулевых приводов | 398.92 KB | |
| Анализ статической и динамических характеристик типового рулевого привода с помощью математической модели привода, составленной в системе программирования Матлаб. Изучение устройства, принципа работы и математических моделей рулевых приводов. | |||
| 180. | Исторический очерк истории России конца ХІХ начала ХХІ столетия | 371.5 KB | |
| Причины, характер, движущие силы и особенности революции 1905 – 1907 гг. основные события и итоги революции. Сущность новой экономической политики, ее значение и причины свертывания. Изменение международной обстановки после II мировой войны. | |||
| 181. | Инструментальные средства разработки электронных учебно-методических материалов | 1.18 MB | |
| Инструментальные средства разработки ЭУММ. Сравнение различных типов инструментальных средств разработки. Выработка критериев сравнения инструментальных средств. Learning Content Development System - Community Version. IBM Workplace Collaborative Learning Authoring Tool. | |||
| 182. | Разработка телевизионных систем защиты территорий и помещений | 768.5 KB | |
| Функции систем физической защиты. Обнаружение и распознавание объектов. Классификация и параметры телевизионных камер. Работа телевизионной системы в составе СФЗ. Разработки и реализации адекватных мер защиты. | |||
| 183. | Общая социология. Конспект лекций | 678.5 KB | |
| Понятие, предмет, объект и метод социологии. Структура и уровни социологического знания. Эмиль Дюркгейм и его теория общественного развития. Культура как объект изучения социологии. Общественное мнение и социальные стереотипы как результаты массовой коммуникации. | |||
| 184. | Построение аналитических моделей алгоритмов и оценка их сложности | 770.51 KB | |
| Описание формальной модели алгоритма на основе рекурсивных функций. Описание аналитической модели алгоритма в виде элементарных машин Тьюринга и композиции МТ. Протоколы работы машины Тьюринга. Разработка аналитической модели алгоритма с использованием нормальных алгоритмов Маркова. | |||
| 185. | Информационные технологии в страховой деятельности | 67 KB | |
| Эффективное управление страховым бизнесом в связи с увеличением масштабов страхования требует создания информационных систем страховой деятельности (ИС СД). Автономные автоматизированные рабочие места. Комплекс взаимосвязанных АРМ, функционирующих на единой информационной базе. | |||
| 186. | Аудит підприємства ТОВ «ВСТ» | 3.77 MB | |
| Аудит товарно-матеріальних цінностей на підприємстві ТОВ «ВСТ». Аудит грошових коштів на підприємстві ТОВ «ВСТ». Аудит розрахункових операцій та поточних зобовязань на підприємстві ТОВ «ВСТ». Аудит праці та її оплата на підприємстві ТОВ «ВСТ». Аудит розрахунків з Фондами соціального страхування на підприємстві ТОВ «ВСТ»... | |||
Пример.
Пример.
Пример.
Пример. Модель S=gt2/2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0;100).
Пример.
a1x1 + a2x2 = S,
Детерминированные и стохастические модели
Модель детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае - модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная).
Пример. Приведенные выше физические модели - детерминированные. Если в модели S = gt2 / 2, 0 < t < 100 мы учли бы случайный параметр - порыв ветра с силой p при падении тела:
S(p) = g(p) t2 / 2, 0 < t < 100,
то мы получили бы стохастическую модель (уже не свободного) падения.
Функциональные, теоретико-множественные и логические модели
Модель функциональная, если она представима в виде системы каких- либо функциональных соотношений.
Модель теоретико-множественная, если она представима с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними.
Пример. Пусть задано множество
X = {Николай, Петр, Николаев, Петров, Елена, Екатерина, Михаил, Татьяна} и отношения:
Николай - супруг Елены,
Екатерина - супруга Петра,
Татьяна - дочь Николая и Елены,
Михаил - сын Петра и Екатерины,
семьи Михаила и Петра дружат друг с другом.
Тогда множество X и множество перечисленных отношений Y могут служить теоретико-множественной моделью двух дружественных семей.
Модель называется логической, если она представима предикатами, логическими функциями.
Например, совокупность логических функций вида:
z = x y x, p = x y
есть математическая логическая модель работы дискретного устройства.
Модель игровая, если она описывает, реализует некоторую игровую ситуацию между участниками игры.
Пример. Пусть игрок 1 - добросовестный налоговый инспектор, а игрок 2 - недобросовестный налогоплательщик. Идет процесс (игра) по уклонению от налогов (с одной стороны) и по выявлению сокрытия уплаты налогов (с другой стороны). Игроки выбирают натуральные числа i и j (i, j n), которые можно отождествить, соответственно, со штрафом игрока 2 за неуплату налогов при обнаружении игроком 1 факта неуплаты и с временной выгодой игрока 2 от сокрытия налогов. Если в качестве модели взять матричную игру с матрицей выигрышей порядка n, то в ней каждый элемент определяется по правилу aij = |i - j|. Модель игры описывается этой матрицей и стратегией уклонения и поимки. Эта игра - антагонистическая.
Лингвистические модели
Модель называется языковой, лингвистической, если она представлена некоторым лингвистическим объектом, формализованной языковой системой или структурой.
Иногда такие модели называют вербальными, синтаксическими.
Например, правила дорожного движения - языковая, структурная модель движения транспорта и пешеходов на дорогах.
Пусть B - множество производящих основ существительных, C - множество суффиксов, P - прилагательных, b i – корень слова; "+" - операция конкатенации слов, ":=" - операция присваивания, "=>" - операция вывода (выводимости новых слов), Z - множество значений (смысловых) прилагательных.
Языковая модель M словообразования может быть представлена:
= + <с i >.
При b i - "рыб(а)", с i - "н(ый)", получаем по этой модели p i - "рыбный", z i - "приготовленный из рыбы".
Система клеточных автоматов
Модель клеточно-автоматная, если она представима клеточным автоматом или системой клеточных автоматов.
Клеточный автомат - дискретная динамическая система, аналог физического (непрерывного) поля. Клеточно-автоматная геометрия - аналог евклидовой геометрии. Неделимый элемент евклидовой геометрии - точка, на основе ее строятся отрезки, прямые, плоскости и т.д.
Неделимый элемент клеточно-автоматного поля - клетка, на основе её строятся кластеры клеток и различные конфигурации клеточных структур. Представляется клеточный автомат равномерной сетью клеток ("ячеек") этого поля. Эволюция клеточного автомата разворачивается в дискретном пространстве - клеточном поле.
Смена состояний в клеточно-автоматном поле происходит одновременно и параллельно, а время идет дискретно. Несмотря на кажущуюся простоту их построения, клеточные автоматы могут демонстрировать разнообразное и сложное поведение объектов, систем.
В последнее время они широко используются при моделировании не только физических, но и социально-экономических процессов.
Фрактальные модели
Модель называется фрактальной, если она описывает эволюцию моделируемой системы эволюцией фрактальных объектов.
Если физический объект однородный (сплошной), т.е. в нем нет полостей, то можно считать, что его плотность не зависит от размера. Например, при увеличении параметра объекта R до 2R масса объекта увеличится в R 2 раз, если объект- круг и в R 3 раз, если объект - шар, т.е. существует связь массы и длины. Пусть n - размерность пространства. Объект, у которого масса и размер связаны называется "компактным". Его плотность можно рассчитать по формуле:
Если объект (система) удовлетворяет соотношению M(R) ~ R f(n) , где f(n) < n, то такой объект называется фрактальным.
Его плотность не будет одинаковой для всех значений R, то она масштабируется согласно формуле:
Так как f(n) - n < 0 по определению, то плотность фрактального объекта уменьшается с увеличением размера R, а ρ(R) является количественной мерой разряженности объекта.
Пример фрактальной модели - множество Кантора. Рассмотрим отрезок . Разделим его на 3 части и выбросим средний отрезок. Оставшиеся 2 промежутка опять разделим на три части и выкинем средние промежутки и т.д. Получим множество, называемое множеством Кантора. В пределе получаем несчетное множество изолированных точек (рис. 1.4 )
Рис. 1.4. Множество Кантора для 3-х делений
Идея генетических алгоритмов "подсмотрена" у систем живой природы, у которых эволюция развертывается достаточно быстро.
Генетический алгоритм - это алгоритм, основанный на имитации генетических процедур развития популяции в соответствии с принципами эволюционной динамики.
Генетические алгоритмы используются для решения задач оптимизации (многокритериальной), для задач поиска и управления.
Данные алгоритмы адаптивны, они развивают решения и развиваются сами.
Генетический алгоритм может быть построен на основе следующей укрупненной процедуры:.
Хотя генетические алгоритмы и могут быть использованы для решения задач, которые, нельзя решить другими методами, они не гарантируют нахождение оптимального решения, по крайней мере, за приемлемое время. Здесь более уместны критерии типа "достаточно хорошо и достаточно быстро".
Главное же преимущество их использования заключается в том, что они позволяют решать сложные задачи, для которых не разработаны пока устойчивые и приемлемые методы, особенно на этапе формализации и структурирования системы.
Генетические алгоритмы эффективны в комбинации с другими классическими алгоритмами и эвристическими процедурами.
Статические и динамические, дискретные и непрерывные модели
Классификацию моделей проводят по различным критериям.
Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" системы, ее срез.
Пример. Закон Ньютона F=a*m - это статическая модель движущейся с ускорением a материальной точки массой m. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.
Модель динамическая, если среди ее параметров есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.
Пример. Динамическая модель закона Ньютона будет иметь вид:
Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.
Пример. Если рассматривать только t=0, 1, 2, …, 10 (сек), то модель
или числовая последовательность: S0=0, S1=g/2, S2=2g, S3=9g/2, :, S10=50g может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела.
Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени некоторого промежутка времени.
Пример. Модель S=gt2/2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0;100).
Модель имитационная, если она предназначена для испытания или изучения возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели.
Пример. Пусть модель экономической системы производства товаров двух видов 1 и 2, в количестве x1 и x2 единиц и стоимостью каждой единицы товара a1 и a2 на предприятии описана в виде соотношения:
a1x1 + a2x2 = S,
где S - общая стоимость произведенной предприятием всей продукции (вида 1 и 2). Можно ее использовать в качестве имитационной модели, по которой можно определять (варьировать) общую стоимость S в зависимости от тех или иных значений объемов и стоимости производимых товаров.
