Sia X uno spazio di Banach e A un operatore lineare limitato definito su X con un intervallo in uno spazio di Banach Y. Siano x ÎX ef ÎY *. Allora il valore f (Ax) è definito, e le disuguaglianze | f (Ascia) | £ || f ||? || Ascia || £ || f ||? || A ||? || x ||.

Queste disuguaglianze mostrano che il funzionale lineare j (x) definito dall'uguaglianza j (x) = f (Ax) è un funzionale limitato. Quindi, ogni funzionale lineare limitato f ÎY con l'aiuto dell'operatore A è associato a un funzionale lineare continuo j ÎX *. Cambiando l'elemento f otterremo, in generale, diversi elementi J; quindi otteniamo l'operatore

definito su Y*, con intervallo nello spazio X*. Questo operatore A * è correlato all'operatore A dall'uguaglianza (A * f) (x) = f (Ax). Se applichiamo la notazione introdotta nella Sezione 2 per il funzionale lineare f (x) = (x, f), allora la connessione tra gli operatori apparirà simmetrica:

(Ax, f) = (x, A * f). (uno)

L'operatore A * è determinato in modo univoco dalla formula (1) ed è chiamato operatore coniugato all'operatore A.

Infatti, se per tutti x e y valgono le uguaglianze

(Ax, y) = (x, A * y) = (x, A 1 * y),

quindi dal Corollario 4 del teorema di Hahn-Banach segue che A 1 * y = A * y per ogni y, il che significa che A * = A 1 *.

Teorema 11. L'operatore aggiunto A * è lineare e.

Prova. Dimostriamo l'additività dell'operatore A *. Infatti, se y, z ÎY *, allora il ragionamento sopra implica l'esistenza di un unico elemento (y + z) * ÎX tale che (Ax, y + z) = (x, (y + z) *) per ogni x X.

D'altra parte, usando la formula (1), abbiamo

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A * y) + (x, A * z) = (x, A * y + A * z) = (x , (y + z) *),

quelli. (y + z) * = A * x + A * y, da cui A * (y + z) = A * y + A * z. Ciò dimostra l'additività dell'operatore A *. Anche l'uniformità è facilmente verificabile.

Per calcolare la norma dell'operatore A*, stimiamo

Ne segue che l'operatore A * è limitato e.

L'operatore A *, a sua volta, ha un coniugato - A **, definito da un'uguaglianza simile a (1)

(A * y, x) = (y, A ** x) (2).

Ma, poiché da (2) A ** x è determinato in modo univoco per ogni xÎХ, da un confronto delle uguaglianze (1) e (2) segue che

(Ax, y) = (A ** x, y) "xÎX," yÎY.

In virtù del Corollario 4 del teorema di Hahn-Banach, quest'ultimo significa che A ** x = Ax per ogni xÎX, cioè A ** = A sullo spazio X. Applicando la disuguaglianza dimostrata per la norma dell'operatore aggiunto ad A * e A **, si ha , che fornisce l'uguaglianza richiesta:. Il teorema è dimostrato.

Teorema. 12. Se A e B sono operatori lineari limitati da uno spazio di Banach X a uno spazio di Banach Y, allora

1. (A + B) * = A * + B *

2. (λА) * = λА *

3. Sotto l'ipotesi X = Y, l'uguaglianza (AB) * = B * A * è vera.

Prova. Le proprietà di cui sopra derivano dalle seguenti relazioni:

1. ((A + B) x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) = (x, A * y) + (x, B * y) = (x, (A * + B * ) y);

2. ((λA) x, y) = (Ax, y) = (x, A * y) = (x, (λA * y));

3. ((AB) x, y) = (A (Bx), y) = (Bx, A * y) = (x, B * (A * y)) = (x, (B * A *) y ).

Il teorema è dimostrato.

Esempio 8. Nello spazio L2, si consideri l'operatore integrale di Fredholm

con un kernel con un quadrato integrabile. Abbiamo, usando il teorema di Fubini,

, dove

.

Pertanto, il passaggio all'operatore aggiunto è che l'integrazione viene eseguita sulla prima variabile. Mentre nell'operatore originale segue il secondo.

Maggiori informazioni sull'argomento 6. Operatore coniugato. Condizioni per l'esistenza dell'operatore aggiunto. Chiusura dell'operatore aggiunto. Operatore aggiunto a un operatore limitato e sua norma .:

1. 2. Teorema di Schauder sulla continuità completa dell'operatore aggiunto. Equazioni di prima e seconda specie con operatori completamente continui. Un teorema sulla chiusura dell'intervallo di valori di un operatore
2. 1. Operatori lineari in spazi lineari normati. Equivalenza di continuità e limitatezza di un operatore lineare. Il concetto di norma di operatore limitato. Varie formule per il calcolo delle norme. Esempi di operatori lineari limitati.
3. 4. Il cuore dell'operatore. Criterio di limitatezza per l'operatore inverso. Teoremi dell'operatore inverso
4. 2. Lo spazio degli operatori lineari continui e la sua completezza rispetto alla convergenza uniforme degli operatori
5. 5. Esempi di operatori inversi. Invertibilità degli operatori della forma (I - A) e (A - C).
6. 1. Operatori completamente continui e loro proprietà. Operatori Fredholm e Hilbert-Schmidt
7. 6. Grafico degli operatori e operatori chiusi. Criterio di chiusura. Teorema del grafo chiuso di Banach. Teorema della mappatura aperta

Un elemento diverso da zero x GV è detto autovalore di un operatore lineare A: VV se esiste un tale numero A - un autovalore di un operatore lineare A tale che Esempio 1. Qualsiasi polinomio di grado zero è un autovalore dell'operatore di derivazione; l'autovalore corrispondente è zero: Esempio 2. L'operatore di derivazione autovalori e propri elementi... Operatore coniugato. non ha elementi propri. Sia un polinomio trigonometrico a cos t + 0 sin t dopo differenziazione diventa proporzionale: Ciò significa che o, che è lo stesso, L'ultima uguaglianza vale se e solo se da dove segue che a = p = 0 e, quindi, il polinomio può essere solo zero. Teorema 6. Un numero reale A è un autovalore di un operatore lineare A se e solo se questo numero è radice del suo polinomio caratteristico: x (A) = 0. Necessità. Sia A l'autovalore dell'operatore A. Allora esiste un elemento x diverso da zero per cui Ax = Ax. Sia la base dello spazio. Allora l'ultima uguaglianza può essere riscritta in una forma matriciale equivalente oppure, che è la stessa, E questo, che x è un elemento proprio, ne segue che la sua colonna coordinata x (c) è diversa da zero. Ciò significa che il sistema lineare (1) ha una soluzione diversa da zero. Quest'ultimo è possibile solo a condizione che o, che è lo stesso, Sufficienza. Un modo per costruire il proprio elemento. Sia A radice di un polinomio Consideriamo un sistema lineare omogeneo di matrice A (c) - AI: Per la condizione (2), questo sistema ha soluzione diversa da zero. Costruiamo un elemento x secondo la regola La colonna coordinata x (c) di questo elemento soddisfa la condizione o, che è anche, quest'ultima è equivalente al fatto che o, più in dettaglio, Di conseguenza, x è un autovalore di l'operatore lineare A, e A è il suo autovalore corrispondente. Commento. Per trovare tutti gli autovalori corrispondenti ad un dato autovalore A è necessario costruire il FSR del sistema (3). Esempio 1. Trovare gli autovettori di un operatore lineare che agisce secondo la regola (operatore di proiezione) (Fig. 6). M Si consideri l'azione dell'operatore lineare P sui vettori di base. Abbiamo Scriviamo la matrice degli operatori: Autovalori e autovalori. Operatore coniugato. costruiamo un polinomio caratteristico e troviamo le sue radici. Abbiamo Costrutto omogeneo sistemi lineari con matrici: Otteniamo, rispettivamente: Troviamo i sistemi fondamentali di soluzioni per ciascuno di questi sistemi. Abbiamo 1 Quindi, gli autovettori di questo operatore di proiezione sono: un vettore k con autovalore 0 e qualsiasi vettore con autovalore Esempio 2. Trova gli autovalori di un operatore di derivazione lineare V agente nello spazio Afj dei polinomi di grado al massimo due: La matrice D di un dato operatore in base I, t, O ha la forma il polinomio caratteristico -A3 ha esattamente una radice A = 0. La soluzione del sistema è l'insieme 1,0,0, che corrisponde al polinomio di grado zero. §5. Operatore coniugato In uno spazio euclideo su operatori lineari, possiamo introdurre un'azione: l'operazione di coniugazione. Sia V uno spazio euclideo n-dimensionale. Con ogni operatore lineare che agisce in questo spazio; un altro operatore lineare coniugato a quello dato è naturalmente correlato. Definizione. L'operatore lineare (leggi: "e con una stella") si chiama coniugato operatore lineare A: V - * V se per qualsiasi elemento xey dallo spazio V vale l'uguaglianza. L'operatore lineare A *, coniugato questo operatore Ah, esiste sempre. Sia c = (et, ..., en) l'ortobasi dello spazio V e sia A = A (c) = (o ^) la matrice dell'operatore lineare A in questa base, cioè per calcoli diretti si può verificare che per dell'operatore lineare A ": V -» V, definita dalla regola l'uguaglianza (1) è soddisfatta per qualsiasi e y. Ricordiamo che, secondo il Teorema 1, per costruire un operatore lineare, è sufficiente per specificare la sua azione sugli elementi di base Esempio. spazio lineare M \ polinomi con coefficienti reali di grado al massimo la prima operazione di moltiplicazione scalare rispetto a seguente regola... Mettiamo così, M \ è uno spazio euclideo bidimensionale. Sia V: M \ - M \ l'operatore di derivazione: V (a + d »f) = b. Costruiamo l'operatore aggiunto. La matrice dell'operatore V in questa base ha la forma. Allora è la matrice dell'operatore aggiunto V, che agisce secondo la regola: Per un polinomio arbitrario, si ottengono le Proprietà dell'operazione di coniugazione 1. Per ogni operatore lineare esiste un operatore che gli è esattamente aggiunto. Siano B e C gli operatori coniugati al dato operatore A. Ciò significa che per qualsiasi elemento x e y dallo spazio V valgono le uguaglianze, quindi ne segue che gli Autovalori e gli autoelementi. Operatore coniugato. e, inoltre, Per l'arbitrarietà della scelta dell'elemento x, concludiamo che l'elemento Vu-Su è ortogonale a qualsiasi elemento dello spazio V e, in particolare, a se stesso. Quest'ultimo è possibile solo nel caso in cui By - Cy = 0 e, quindi, By = C y. Poiché y è un elemento arbitrario, otteniamo B ~ C. 2. (a.4) * = aA *, dove a è un numero reale arbitrario. Siano A: V - + V e B: V - + V operatori lineari. Allora le Proprietà 2-5 seguono facilmente dall'unicità dell'operatore aggiunto. 6. Sia c l'ortobasi dello spazio V. Affinché gli operatori A: V V e B: V - »V siano mutuamente coniugati, cioè le uguaglianze B = A ", A = B * sono soddisfatte, è necessario e sufficiente che le loro matrici A = A (c) e B = B (c) siano ottenute l'una dall'altra per trasposizione. Nota. Si sottolinea che la proprietà 6 è valido solo per la matrice, 7. Se l'operatore lineare A è non degenere, allora anche l'operatore A * coniugato ad esso è non degenere e l'uguaglianza

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Spazio lineare generale

Permettere $E,\; \backslash ,\; L$- spazi lineari, e $E\; ^\; *,\; \backslash ,\; L\; ^\; *$ sono spazi lineari coniugati (spazi di funzionali lineari definiti su $E,\; \backslash ,\; L$). Allora per ogni operatore lineare $A\; \backslash \; due\; punti\; E\; \backslash \; a\; L$ e qualsiasi funzionale lineare $g\; \backslash \; in\; L\; ^\; *$ un funzionale lineare è definito $f\; \backslash \; in\; E\; ^\; *$- sovrapposizione $G$ e $UN$: $f\; (x)\; =\; g\; (A\; (x))$... Schermo $g\; \backslash \; mapto\; f$è detto operatore lineare aggiunto ed è denotato $A\; ^\; *\; \backslash \; due\; punti\; L\; ^\; *\; \backslash \; a\; E\; ^\; *$.

Insomma, allora $(A\; ^\; *\; g,\; x)\; =\; (g,\; Ax)$, dove $(B,\; x)$- azione funzionale $B$ per vettore $X$.

Spazio lineare topologico

Permettere $E,\; \backslash ,\; L$ sono spazi lineari topologici, e $E\; ^\; *,\; \backslash ,\; L\; ^\; *$- coniugare spazi lineari topologici (spazi continuo funzionali lineari definiti su $E,\; \backslash ,\; L$). Per qualsiasi operatore lineare continuo $A\; \backslash \; due\; punti\; E\; \backslash \; a\; L$ e qualsiasi funzionale lineare continuo $g\; \backslash \; in\; L\; ^\; *$ un funzionale lineare continuo è definito $f\; \backslash \; in\; E\; ^\; *$- sovrapposizione $G$ e $UN$: $f\; (x)\; =\; g\; (A\; (x))$... È facile verificare che la mappatura $g\; \backslash \; mapto\; f$ lineare e continuo. Si chiama operatore aggiunto ed è anche denotato $A\; ^\; *\; \backslash \; due\; punti\; L\; ^\; *\; \backslash \; a\; E\; ^\; *$.

Spazio Banach

Permettere $A\; \backslash \; due\; punti\; X\; \backslash \; a\; Y$è un operatore lineare continuo che agisce da uno spazio di Banach $X$ allo spazio di Banach $sì$ Lasciarlo andare $X^*,\; Y^*$- spazi coniugati. indichiamo $\backslash \; forall\; x\; \backslash \; in\; X,\; f\; \backslash \; in\; Y\; ^\; *\; =\; f\; (Ax)$... Se $F$- risolto, allora $$è un funzionale continuo lineare in $X,\; \backslash \; in\; X\; ^\; *$... Così, per $\backslash \; per\; tutti\; f\; \backslash \; in\; Y\; ^\; *$ un funzionale continuo lineare da $X^*$, quindi l'operatore è definito $A\; ^\; *\; \backslash \; due\; punti\; Y\; ^\; *\; \backslash \; a\; X\; ^\; *$ tale che $=$.

$A\; ^\; *$ chiamato operatore coniugato... Allo stesso modo, si può definire l'operatore aggiunto a un operatore lineare illimitato, ma non sarà definito sull'intero spazio.

Per $A\; ^\; *$ sono vere le seguenti proprietà:

• Operatore $A\; ^\; *$- lineare.
• Se $UN$è un operatore lineare continuo, allora $A\; ^\; *$ anche un operatore lineare continuo.
• Permettere $oh$è l'operatore zero, e $E$- singolo operatore. Poi $O\; ^\; *\; =\; O,\; E\; ^\; *\; =\; E$.
• $(A\; +\; B)\; ^\; *\; =\; A\; ^\; *\; +\; B\; ^\; *$.
• $\backslash \; forall\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; C,\; (\backslash \; alpha\; A)\; ^\; *\; =\; \backslash \; bar\; (\backslash \; alpha)\; A\; ^\; *$.
• $(AB)\; ^\; *\; =\; B\; ^\; *\; A\; ^\; *$.
• $(A\; ^\; (-\; 1))\; ^\; *\; =\; (A\; ^\; *)\; ^\; (-\; 1)$.

spazio di Hilbert

Nello spazio di Hilbert $h$ Il teorema di Riesz identifica uno spazio con il suo duale, quindi, per l'operatore $A\; \backslash \; due\; punti\; H\; \backslash \; in\; H$ uguaglianza $(Ax,\; y)\; =\; (x,\; A\; ^\; *\; y)$ definisce l'operatore aggiunto $A\; ^\; *\; \backslash \; due\; punti\; H\; \backslash \; a\; H$... Qui $(x,\; y)$- prodotto scalare nello spazio $h$.

Guarda anche

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Note (modifica)

Letteratura

• Schäfer H. Spazi vettoriali topologici. - M.: Mir, 1971.
• Vorovich I.I. , Lebedev L.P. Analisi funzionale e le sue applicazioni nella meccanica dei continui. - M .: Libro universitario,. - 320 pag.
• Trenogin V.A. Analisi funzionale. - M .: Scienza,. - 495 pagg.
• Analisi funzionale/editore S.G. Kerin. - 2°, riveduto e ampliato. - M .: Scienza,. - 544 pagg. - (Biblioteca di riferimento per la matematica).
• Halmos P. Spazi vettoriali a dimensione finita. - M.: Fizmatgiz,. -264 pagg.
• Shilov G.E. Analisi matematica(funzioni di una variabile), parte 3. - M.: Science,. - 352 pagg.

Un estratto che caratterizza l'operatore Coniugato

Gli aiutanti galopparono davanti a lui nel cortile. Kutuzov, spingendo con impazienza il suo cavallo, camminava sotto il suo peso, e annuendo incessantemente con la testa, mise la mano al problema del berretto della guardia di cavalleria (con una fascia rossa e senza visiera) che era su di lui. Avvicinatosi alla guardia d'onore dei valorosi granatieri, la maggior parte dei quali cavalieri che lo salutavano, li guardò in silenzio per un minuto con uno sguardo ostinato di comando e si voltò verso la folla di generali e ufficiali che gli stavano intorno. Il suo viso assunse improvvisamente un'espressione delicata; si strinse nelle spalle con un gesto di smarrimento.
- E con tali bravi ragazzi tutto per ritirarsi e ritirarsi! - Egli ha detto. "Bene, arrivederci, generale", aggiunse, e spinse il cavallo attraverso il cancello, oltre il principe Andrey e Denisov.
- Evviva! Evviva! Evviva! - gridò da dietro di lui.
Dal momento che il principe Andrey non lo ha visto, Kutuzov è diventato grasso, flaccido e gonfio di grasso. Ma il familiare occhio bianco, la ferita e l'espressione di stanchezza sul viso e sulla figura erano gli stessi. Era vestito con una redingote uniforme (una frusta gli pendeva sulla spalla da una cintura sottile) e con un berretto bianco da cavalleria. Lui, che si allargava pesantemente e ondeggiava, era seduto sul suo cavallo gonfiabile.
- Fyu... fyu... fyu... - fischiò in modo quasi udibile, entrando nel cortile. Il suo volto esprimeva la gioia di calmare un uomo che intendeva riposare dopo la missione. Staccò la gamba sinistra dalla staffa, crollando con tutto il corpo e facendo una smorfia di sforzo, a fatica la portò in sella, si appoggiò al ginocchio, grugnì e scese tra le sue braccia verso i cosacchi e gli aiutanti che lo sostenevano.
Si riprese, si guardò intorno con gli occhi socchiusi e, lanciando un'occhiata al principe Andrey, apparentemente non riconoscendolo, si diresse con la sua andatura da tuffatore verso il portico.
- Fyu... fyu... fyu, - fischiò e guardò di nuovo il principe Andrey. L'impressione del viso del principe Andrey solo dopo pochi secondi (come spesso accade con le persone anziane) è stata associata al ricordo della sua personalità.
“E, ciao, principe, ciao, tesoro, andiamo…” disse stancamente, guardandosi intorno, ed entrò pesantemente nel portico scricchiolando sotto il suo peso. Si sbottonò e si sedette su una panchina in veranda.
- Beh, che mi dici di papà?
"Ieri ho ricevuto notizia della sua morte", ha detto brevemente il principe Andrei.
Kutuzov guardò con occhi spalancati il ​​principe Andrej, poi si tolse il berretto e si fece il segno della croce: “Il regno dei cieli per lui! La volontà di Dio sarà su tutti noi! ”Sospirò pesantemente, con tutto il petto e rimase in silenzio. "Lo amavo e lo rispettavo e ti simpatizzo con tutto il cuore." Abbracciò il principe Andrea, lo strinse al suo petto grasso e non lo lasciò andare per molto tempo. Quando lo lasciò andare, il principe Andrei vide che le labbra sfocate di Kutuzov tremavano e c'erano lacrime nei suoi occhi. Sospirò e afferrò la panca con entrambe le mani per alzarsi.
«Vieni, vieni da me, parliamo», disse; ma in quel momento Denisov, che era altrettanto poco timido dei suoi superiori quanto del nemico, nonostante il fatto che gli aiutanti del portico con un sussurro rabbioso lo fermassero, audacemente, battendo gli speroni sui gradini, entrò nel portico . Kutuzov, lasciando le mani sulla panchina, guardò con dispiacere Denisov. Denisov, presentandosi, annunciò che doveva informare sua signoria di una questione di grande importanza per il bene della patria. Kutuzov iniziò a guardare Denisov con sguardo stanco e con un gesto fastidioso, prendendogli le mani e piegandole sul ventre, ripeté: “Per il bene della patria? Che cos'è? Parlare. " Denisov arrossì come una ragazza (era così strano vedere la pittura su questa faccia baffuta, vecchia e ubriaca) e iniziò audacemente a delineare il suo piano per tagliare la linea operativa del nemico tra Smolensk e Vyazma. Denisov abitava da queste parti e conosceva bene la zona. Il suo piano sembrava senza dubbio buono, soprattutto per la forza di convinzione che c'era nelle sue parole. Kutuzov si guardava i piedi e di tanto in tanto guardava il cortile della capanna vicina, come se si aspettasse qualcosa di spiacevole da lì. Dalla capanna, che stava guardando, infatti, durante il discorso di Denisov, apparve un generale con una valigetta sotto il braccio.
- Che cosa? - nel bel mezzo della presentazione di Denisov, ha detto Kutuzov. - Pronto?
«Pronto, Vostra Grazia», disse il generale. Kutuzov scosse la testa, come se dicesse: "Come può un uomo riuscire a fare tutto questo", e continuò ad ascoltare Denisov.
"Offro l'onesta nobile parola dell'ufficiale guss", disse Denisov, "che sono un dio del messaggio di Napoleone.

Operatore inverso

Sia V uno spazio lineare su un campo P, A un operatore (non necessariamente lineare) agente in V.

Definizione. Un operatore A si dice invertibile se esiste un operatore B che agisce in V tale che BA = AB = I.

Definizione. Un operatore B che soddisfa la condizione BA = AB = I si dice inverso ad A e si denota.

Pertanto, l'operatore inverso all'operatore A soddisfa la condizione A = A = I. Per un operatore A invertibile, le uguaglianze Ax = y e y = x sono equivalenti. Infatti, sia Ax = y, allora y = (Ax) = (A) x = Ix = x.

Se y = x, allora

Ax = A (y) = (A) y = Iy = y.

Teorema. Se un operatore lineare è invertibile, anche il suo operatore inverso è lineare.

Prova. Sia A un operatore lineare invertibile che agisce in uno spazio lineare V su un campo P, un operatore inverso ad A. Prendiamo vettori e numeri arbitrari. Allora A =, A =. A causa della linearità dell'operatore A

Da qui otteniamo:

= = ,

Cioè, l'operatore è lineare.

Operatore lineare coniugato

Siano dati due spazi unitari X, Y.

Definizione. Un operatore A * che agisce da Y a X si dice coniugato rispetto a un operatore A che agisce da X a Y se per qualsiasi vettore xX, yY l'uguaglianza

(Ax, y) = (x, A * y). (uno)

Teorema. Per ogni operatore lineare A, esiste un operatore aggiunto A *, e inoltre, uno solo.

Prova. Scegliamo una base ortonormale in X. Per ogni vettore xX, la decomposizione

Se esiste l'operatore A *, allora, secondo questa formula, per ogni vettore yY abbiamo

O per definizione

Ma questo significa che se l'operatore A * esiste, allora è l'unico.

L'operatore A * così costruito è lineare. Soddisfa anche l'uguaglianza (Ax, y) = (x, A * y). Infatti, tenendo conto dell'ortonormalità del sistema e tenendo conto di (1), (2), si ottiene per qualsiasi vettore xX, yY

(Ax, y) = (A) =,

(x, A * y) = (A) =

Il teorema è dimostrato.

L'operatore aggiunto A * è correlato all'operatore A da determinate relazioni. Ne ricordiamo alcuni:

Prova. Consideriamo un operatore arbitrario A e il suo operatore coniugato A *. A sua volta, l'operatore (A *) * sarà coniugato per l'operatore A *. Ora per ogni xX, yY abbiamo

(y, (A *) * x) = (A * y, x) == = (y, Ax).

Studiamo ulteriori proprietà degli operatori lineari relative al concetto di ortogonalità nello spazio euclideo. Innanzitutto, dimostriamo la seguente proprietà: se UN e B - operatori lineari agenti in n spazio euclideo bidimensionale V, e ( X , Ay ) = (X , Di ), X , sì V, poi UN = B .

Infatti, mettendo l'uguaglianza ( X , Ay ) = (X , Di ) Û ( X , (UN – B )sì ) = 0 vettore X = (UN – B )sì , noi abbiamo (( UN –B )sì , (UN – B )sì ) = ||(UN – B )sì || 2 = 0, sì V, che è equivalente all'uguaglianza ( UN – B )sì = 0 , sì V, cioè. UN – B = oh , o UN = B .

Definizione 11.1. Operatore lineare UN * chiamato coniugare operatore UN , Se

(Ascia , sì ) = (X , UN * sì ), X , sì V. (11.1)

La domanda sorge spontanea: esiste per un dato operatore? UN coniugare?

Teorema 11.1. Ogni operatore lineare UN ha un singolo operatore aggiunto UN * .

Prova. Scegliamo nello spazio V base ortonormale tu 1 , tu 2 ,…, tu n... Ad ogni operatore lineare UN : V® V a questa base corrisponde la matrice UN = , io, J = 1, 2,..., n... Sia la matrice ottenuta dalla matrice UN trasposizione. Corrisponde all'operatore lineare B ... Poi

(Au J, tu io) = (un 1 Jtu 1 + un 2 Jtu 2 +…+ e njtu n, tu io) = e ij;

(tu J, bu io) = (tu J, e io 1 tu 1 + e io 2 tu 2 +…+ e intu n) = e ij.

(Au J, tu io) = (tu J, bu io), io, J = 1, 2,..., n. (11.2)

Lascia che oltre X = X 1 tu 1 + X 2 tu 2 +…+ x ntu n e sì = in 1 tu 1 + in 2 tu 2 +…+ a ntu n- due vettori qualsiasi da V... Considera i prodotti scalari ( Ascia , sì ) e ( X , Di ):

(Ascia , sì ) = (Au J, tu io),

(X , Di ) = (tu J, bu io).

Confrontando queste espressioni tenendo conto dell'uguaglianza (11.2) e della proprietà sopra indicata, si ottiene l'uguaglianza ( Ascia , sì ) = (X , Di ), X , sì V, cioè. B = UN * .

Pertanto, è stato dimostrato che per ogni operatore lineare UN in uno spazio euclideo di dimensione finita esiste un operatore ad esso coniugato UN *, la cui matrice in any base ortonormaleè trasposto rispetto alla matrice dell'operatore UN ... Unicità dell'operatore UN * segue dalla definizione dell'operatore aggiunto e dalla proprietà dimostrata sopra.

È facile verificare che l'operatore UN * coniugato all'operatore lineare UN , è lineare.

Quindi l'operatore UN * è lineare e corrisponde a una matrice UN*. Pertanto, la relazione matriciale corrispondente alla formula (11.1) ha la forma

(UNX , sì ) = (X , UN * sì ), X , sì V.

Gli operatori coniugati hanno seguenti proprietà:

1°. E * = E .

2°. ( UN *) * = UN .

3°. ( UN + B ) * = UN * + B * .

4°. ( UN ) * = UN * , R.

5°. ( AB ) * = B * UN * .

6°. ( UN –1) * = (UN *) –1 .

La validità delle proprietà 1° –5° segue dalle proprietà di trasposizione matriciale.

Verifichiamo la validità della proprietà 6°. Permettere UN -1 esiste. Quindi dalle uguaglianze aa –1 = UN –1 UN = E e proprietà 1°, 5° ne consegue che ( aa –1) * = (UN –1 UN ) * = E * = = E e ( aa –1) * = (UN –1) * UN * , (UN –1 UN ) * = UN * (UN –1) *, ovvero che ( UN –1) * = (UN *) -uno . Questo ci dà un'altra importante proprietà della trasposizione matriciale:

(UN –1) * = (UN *) –1 .

Esempio 1. Permettere UN - rotazione del piano euclideo R 2 all'angolo J con matrice

in base ortonormale io , J ... Allora la matrice dell'operatore aggiunto in questa base è

= .

Quindi, UN * - rotazione del piano ad angolo J nella direzione opposta.·