2.9.1. Definicija. Metode teorije rasplinutih skupova opisuju semantičke koncepte, na primjer, za koncept "pouzdanosti rada čvora" mogu se definirati komponente kao "ne velika vrijednost pouzdanost čvora“, „prosječna vrijednost pouzdanosti čvora“, „velika vrijednost pouzdanosti čvora“, koji su definirani kao rasplinuti skupovi na osnovnom skupu definiranom svim mogućim vrijednostima vrijednosti pouzdanosti.
Generalizacija opisa jezičkih varijabli sa formalne tačke gledišta je uvođenje fuzzy i lingvističkih varijabli.
H fuzzy varijabla naziva se trojka skupova, gdje a- naziv fuzzy varijable, X- domen definicije, - rasplinuti podskup u skupu X, koji opisuje ograničenja na moguće vrijednosti varijabla a.
jezička varijabla se naziva skup skupova
Iz definicije proizilazi da je lingvistička varijabla varijabla data na kvantitativnoj (mjerenoj) skali i koja uzima vrijednosti koje su riječi ili fraze prirodnog jezika komunikacije. Fuzzy varijable opisuju vrijednosti lingvističke varijable. Na sl. 2.20 pokazuje odnos osnovnih pojmova.
Dakle, lingvističke varijable mogu opisati koncepte koje je teško formalizirati u obliku kvalitativnog, verbalnog opisa. Jezička varijabla i sve njene vrijednosti povezane su u opisu s određenom kvantitativnom skalom, koja se, po analogiji s osnovnim skupom, ponekad naziva i bazna skala.
Koristeći lingvističke varijable, moguće je formalizovati kvalitativne informacije u sistemima upravljanja, koje formulišu stručnjaci (eksperti) u verbalnom obliku. Ovo vam omogućava da izgradite fuzzy modele upravljačkih sistema (fazi kontroleri).
2.9.2. Vrsta funkcije članstva. Razmotrimo zahtjeve koji se postavljaju za tip funkcija pripadnosti rasplinutih skupova koji opisuju termine lingvističkih varijabli.
Neka je lingvistička varijabla
Mnogo T red prema izrazu
"T i ,T j nT i>j"($xnC i)("ynC j)(x>y). (2.5)
Izraz (2.5) zahtijeva da pojam, koji ima podršku smještenu lijevo, dobije manji broj. Tada skup termina bilo koje lingvističke varijable mora zadovoljiti sljedeće uslove:
("T i nT)($xnX)( ); (2.8)
("b)($x 1 ILI 1)($x 2 ILI 2)("xOX)(x 1
Uvjet (2.6) zahtijeva da vrijednosti pripadnosti funkcionišu ekstremnih članova (T1 I T2) u tačkama x 1 I x2 odnosno jednak jedan i da bi se sprečilo pojavljivanje zvonastih krivina, kao što je prikazano na Sl. 2.21.
Sl.2.21
Uslov (2.7) zabranjuje u osnovnom skupu X par termina tipa T1 I T2, T2 I T3. Za par T1 I T2 nema prirodne diferencijacije pojmova. Za par T2 I T3 segment nema podudaranja koncepta. Uslov (2.7) zabranjuje postojanje termina tipa T4, budući da svaki koncept ima barem jedan tipičan objekt. Uslov (2.8) definira fizičko ograničenje (u okviru problema) na numeričke vrijednosti parametara.
Na sl. 2.22 prikazuje primjer postavljanja funkcija članstva za pojmove "mala vrijednost cijene", "mala vrijednost cijene", "prosječna vrijednost cijene", "dovoljno velika vrijednost cijene", "velika vrijednost cijene" lingvističke varijable "cijena robe".
2.9.3. Univerzalne vage. Funkcije članstva se grade na osnovu rezultata stručnih istraživanja. Međutim, postupak za korišćenje rasplinutih skupova izgrađen na osnovu rezultata ankete stručnjaka ima nedostatak, koji leži u činjenici da promena uslova za funkcionisanje modela (objekta) zahteva prilagođavanje rasplinutih skupova. Prilagođavanje se može izvršiti na osnovu rezultata drugog istraživanja stručnjaka.
Jedan od načina da se ovaj nedostatak prevaziđe je prelazak na univerzalne skale za mjerenje vrijednosti procijenjenih parametara. Poznata tehnika konstruisanja univerzalnih skala podrazumeva opisivanje učestalosti pojava i procesa, koja je kvalitativno definisana prirodnim jezikom sledećim rečima i frazama: „nikad“, „izuzetno retko“, „retko“, „ni retko niti često “, “često”, “veoma često”, “skoro uvijek” (ili slično). Osoba koristi ove koncepte za procjenu subjektivne frekvencije događaja (odnos broja događaja okarakteriziranih konceptom prema ukupnom broju događaja).
Univerzalna skala je izgrađena na segmentu i predstavlja niz krivulja u obliku zvona koje se ukrštaju koje odgovaraju skaliranim procjenama frekvencije. Univerzalna skala lingvističke varijable za dati procijenjeni parametar kontrolnog objekta gradi se prema sljedećem postupku.
1. Prema stručnoj anketi, minimum xmin i maksimum xmax varijabilne vrijednosti skale X.
2. Na osnovu rezultata stručnog istraživanja, konstruiraju se funkcije pripadnosti rasplinutih skupova koje opisuju vrijednosti jezičke varijable definisane na skali X. Na sl. 2.23 pokazuje primjer izgradnje funkcija članstva, gdje a 1, a 2, a 3- neka imena rasplinutih varijabli.
3. Tačke ( xmin,0) i ( xmax,1) povezani su pravom linijom p0, što je funkcija prikaza p 0:X®.
4. Prijelaz sa skale relativnih frekvencija pojavljivanja događaja na procjene učestalosti, koje se nazivaju kvantifikatori, odvija se na sljedeći način.
Za proizvoljnu tačku z na univerzalnoj skali njen prototip je izgrađen na skali X. Zatim, prema funkcijama pripadnosti rasplinutih skupova koji odgovaraju terminima a 1, a 2, a 3, određuju se vrijednosti koje se uzimaju kao vrijednosti odgovarajućih funkcija pripadnosti u tački z na univerzalnoj skali. Funkcija p (p=p0 u razmatranom primjeru) utvrđuje se stručnom anketom, jer njegov izbor utiče na adekvatnost modela predmetu koji se proučava.
2.9.4. Višestruke funkcije prikaza. Definicija nedvosmislene funkcije mapiranja str ograničavaju mogućnost istovremenog uzimanja u obzir različitih kriterijuma u sistemu upravljanja, koji mogu biti čak i u antagonizmu jedni prema drugima, kao i mogućnost istovremenog uzimanja u obzir različitih uslova upravljanja koji su određeni svojstvima upravljanog objekta.
Obračun različitih uslova i kriterijuma određen je subjektivnim pristupom rešavanju problema. Ako, međutim, prihvatimo funkciju prikazivanja nedvosmislene forme, tada će se različita gledišta svesti na „zajednički nazivnik“ ili, zapravo, odbaciti. Praksa pokazuje da pri upravljanju procesima koje je teško formalizovati, uzimanje u obzir svih varijanti subjektivnog pogleda poboljšava kvalitet upravljanja, povećavajući otpornost na razne vrste poremećaja. Međutim, treba napomenuti da kod ljudi gotovo nikada nije moguće uzeti u obzir sve uslove koji utiču na izbor kontrole i sve karakteristike objekta. Razmotrimo kako se vrši formalizirano razmatranje kontrolnih uslova pri anketiranju stručnjaka u obliku višestrukih funkcija prikaza.
Neka stručni pregledi kvantitativno i kvalitativno odrede sastav stanja objekta koji se proučava. Procjena stanja objekta vrši se prema vrijednostima znakova y i OY=(y 1 ,y 2 ,…,y p ).
Nemoguće je sve uzeti u obzir, stoga je pri procjeni stanja bolje koristiti nejasne kategorije, a nejasne definicije vrijednosti parametara treba napraviti s određenim stepenom nesigurnosti u ispravnost definicija. Zaista, uvijek se može pretpostaviti da postoji neki skup znakova 
, koje stručnjaci nisu naznačili iz raznih razloga: na njih se zaboravilo; stručnjaci vjeruju da ove karakteristike ne utječu na točnost; ovi parametri se ne mogu procijeniti, što je posljedica tehničkih poteškoća.
Funkcije prikaza p i OP=(p 1 ,p 2 ,…,p b ) u poređenju sa stepenom samopouzdanja b(p i)n, koje postavljaju stručnjaci. Također svaka funkcija prikaza pi težina usklađena a(pi), što odgovara nivou stručne kompetencije. Vrijednosti težine a(pi) određuju se brojevima segmenta . Dakle, funkcija višestrukog prikaza P=(p 1 ,p 2 ,…,p b ) sastoji se od skupa funkcija mapiranja pi, od kojih je svakom dodijeljena diploma g(pi), definiran kao spoj stupnjeva kompetencije i povjerenja u ispravnu definiciju funkcija mapiranja pi, tj. g(pi)=a(pi)&b(pi).
Praktična upotreba višestrukih funkcija pokazala je da se, u okviru određene kompetencije stručnjaka, konstruisana funkcija višestrukog prikaza dobro slaže sa njihovim individualnim mišljenjima o najvjerovatnijem podudaranju rasplinutih pojmova sa tačkama predmetne skale. X.
FUZZY LOGIC
Nejasna operacija "I"
Specifikacija rasplinutih skupova omogućava da se generalizuju jasne logičke operacije na njihove nejasne parnjake. Neizrazito proširenje operacije I je trokutna norma T, drugo ime T– norme su S–konorm. Na sl. 3.1 prikazuje prikaz kola T– norme.
Fazi operacija "AND" u opštem obliku je definisana kao preslikavanje:
za koje vrijede aksiomi:
Aksiomi graničnih uslova T– norme:
Aksiom poretka:
U teoriji rasplinutih skupova postoji bezbroj rasplinutih operacija "I", koje su određene načinima specificiranja operacije (T) pod uslovima (3.1) - (3.2). U teoriji rasplinutog upravljanja primjenjive su sljedeće metode specificiranja operacije (T), koje su navedene u nastavku.
Boolean proizvod[Zade, 1973]:
, "xO R. (3.6)
Algebarski proizvod[Bandler, Kohout, 1980]:
, "xO R, (3.7)
gdje "." je proizvod prihvaćen u klasičnoj algebri.
granični proizvod[Lukashevich, Giles, 1976]:
, (3.8)
gdje je simbol graničnog proizvoda.
Jak, ili drastično (drastičan), proizvod[Weber, 1983]:
(3.9)
gdje je D simbol jakog proizvoda.
Na sl. 3.2 prikazuje funkciju članstva za logički, algebarski, granični i jak proizvod rasplinutih skupova.
Fuzzy operacija "ILI"
Neizrazito proširenje operacije "ILI" je S-norm. Ponekad se koristi ime T–konorm. Na sl. 3.3 prikazuje prikaz kola S– norme.
Fazi operacija "ILI" je definisana kao mapiranje
za koje se vrši preslikavanje:
Aksiomi graničnih uslova T– norme:
, ; (3.10)
Aksiomi unije (presjeci):
Aksiom poretka:
Od beskonačan broj fuzzy operacije koje zadovoljavaju aksiome (3.10) - (3.14), sledeće operacije su našle primenu u teoriji upravljanja, navedene u nastavku.
Boolean zbroj[Zade, 1973]:
, "xO R. (3.15)
Algebarski zbir[Bandler & Kohout, 1980]:
, "xO R, (3.16)
Limit iznos[Lukashevich, Giles, 1976]:
, (3.17)
Jaka ili drastična količina[Weber, 1983]:
(3.18)
Poređenje aksioma T-norme sa aksiomima S-norme pokazuje da je razlika u njima samo u aksiomima graničnih uslova.
Na sl. 3.4 prikazuje funkciju članstva za logički, algebarski, granični i jak zbir rasplinutih skupova.
Nejasna operacija "NE"
Neizrazita operacija "NE" definirana je kao preslikavanje za koje vrijede sljedeći aksiomi:
Skup preslikavanja koji zadovoljava aksiome (3.19) - (3.21) je rasplinuta negacija. Operacija fuzzy negacije u obliku šeme prikazana je na sl. 3.5.
Od beskonačnog broja rasplinutih operacija "NE" koje zadovoljavaju aksiome (3.19) - (3.21), sljedeće operacije navedene u nastavku našle su primjenu u teoriji upravljanja.
Nejasno "NE" od Zade(1973) se definiše kao oduzimanje od jedinice:
. (3.22)
Nejasno "NE" prema Sugenu(1977) ili je l-komplement definiran kao formula
. (3.23)
At l=0 jednačina (3.23) se poklapa sa jednačinom (3.22).
Nejasno "NE" prema Yageru(1980) se definiše kao:
, (3.24)
gdje p>0- parametar. At p=1 jednačina (3.24) se poklapa sa jednačinom (3.22).
Za T- norme i S- norme mogu postojati razne opcije negacije zbog beskonačnog broja mogućih fuzzy "NE" operacija. Međutim, poželjno je odabrati takve opcije negacije koje zadovoljavaju uvjete:
Ovi uslovi, po analogiji sa jasnom logikom, nazivaju se de Morganovim rasplinutim zakonima. Operacije (3.25) i (3.26) nazivaju se uzajamno dualnim, jer u teoriji rasplinutih skupova, dokazano je da (3.25) implicira (3.26) i, obrnuto, (3.26) implicira (3.25).
Sljedeće su također međusobno dvojne. fuzzy operacije:
; (3.29)
Algebra rasplinutog zaključivanja
3.4.1. Baza fuzzy pravila. U fazi logici postoji koncept rasplinute propozicije. Nejasna rečenica se definiše kao izjava "". simbol " x” označava fizičku veličinu (struja, napon, pritisak, brzina itd.), simbol “ ” označava jezičku varijablu (LP), a simbol “ str“- skraćenica od proposition – prijedlog. Na primjer, u izjavi "veličina struje je velika" fizičke varijable x je "trenutna vrijednost" koju može izmjeriti trenutni senzor. Fazi skup je definisan LP "velikim" i formalizovan funkcijom članstva m A (x). Veza "je" odgovara operaciji naručivanja u obliku jednakosti, koja je označena simbolom "=". Dobiva formalizirani oblik rečenice " » .
Nejasna rečenica može se sastojati od nekoliko zasebnih nejasnih rečenica povezanih vezama "I", "ILI". Izbor logičkih veziva "I", "ILI" iz značenja i konteksta rečenica, iz odnosa među njima. Imajte na umu da su operacije fuzzy "AND" i "OR" prema Zadehu (formule (3.6) i (3.15)) u teoriji upravljanja poželjnije u odnosu na ostale, jer nemaju višak. Kada nejasne rečenice nisu ekvivalentne, već su u korelaciji i međusobno povezane, tada je moguće koristiti T- norme i S- norme prema Lukaševiču (formule (3.8) i (3.17)).
Rečenica str može se predstaviti kao rasplinuta relacija R sa funkcijom članstva: . Za sastavljanje nejasne rečenice koja se sastoji od nekoliko odvojenih nejasnih rečenica povezanih vezama "I", koristi se indikator "ako". Kao rezultat, dobijamo sistem uslovnih rasplinutih iskaza:
.
Zovu se nejasne rečenice uslovima ili preduslovi.
Skup uslova nam omogućava da konstruišemo skup zaključci ili zaključci. U ovom slučaju se koristi indikator "tada".
Proizvodno nejasno pravilo(fazi pravilo) je skup uslova i zaključaka:
R 1: ako je x 1 = i x 2 = i …, tada je y 1 = i y 2 = I…
……………………………………………………………,
gdje simbol R1- skraćenica "pravilo" - pravilo.
Na primjer, pravilo za kontrolu temperature vode je formulirano na sljedeći način: R1: ako je temperatura vode hladna, a temperatura zraka hladna, onda okrenite ventil vruća voda lijevo pod velikim uglom i ventil za hladnu vodu desno pod velikim uglom.
Nejasni uslovi za rešavanje problema:
-x 1- temperatura vode (mjerena senzorom); - hladno;
-x2- temperatura vazduha (merena senzorom); - hladno;
Uvjeti nejasnog zaključivanja:
-y 1- ugao rotacije ventila ulijevo, - veliki;
-y2- ugao rotacije ventila udesno, - veliki.
Ovo lingvističko nejasno pravilo odgovara formaliziranoj notaciji:
R 1: ako je x 1 = i x 2 = , tada je y 1 = i y 2 = , (3.31)
gdje , , i su rasplinuti skupovi, dato funkcijama dodaci.
Skup rasplinutih pravila proizvodnje čini osnovu rasplinutih pravila , gdje R i: ako …, onda …;. Za osnovu fuzzy pravila, sljedeća svojstva: kontinuitet, konzistentnost, potpunost.
Kontinuitet je definisan sledećim konceptima: uređeni skup rasplinutih skupova; susedni rasplinuti skupovi.
Skup rasplinutih skupova (A i) pozvao uredno, ako imaju odnos poretka: «<»:A 1 <…
Ako je skup rasplinutih skupova { } naređeno, zatim skupovi i , i se pozivaju susjedni pod uslovom da se ovi rasplinuti skupovi preklapaju.
Neizrazita baza pravila se zove kontinuirano, ako se radi o pravilima
Rk: ako je x 1 = i x 2 = , zatim y= i k'¹k
ispunjeni su uslovi:
‑ Ù i susjedni su;
‑ Ù i susjedni su;
- i susjedni su.
Razmotrit ćemo konzistentnost neizrazite baze pravila koristeći primjer. Osnova fuzzy pravila za upravljanje robotom data je kao:
………………………………….
R i: ako je prepreka ispred, onda se pomaknite lijevo,
R i +1: ako je prepreka ispred, onda se pomaknite udesno,
……………………………………
Baza pravila je nedosljedna.
Primjer dosljedne nejasne baze pravila je sljedeći:
R 1: ako je x 1 = ili x 2 = , zatim y= ;
R 2: ako je x 1 = ili x 2 = , zatim y= ;
R 3: ako je x 1 = ili x 2 = , zatim y= .
Ako pravila sadrže dva uslova i jedan izlaz, onda su ova pravila sistem sa dva ulaza x 1 I x2 i jedan izlaz y. Ovaj sistem se može predstaviti u matričnom obliku:
| x2 | x 1 | ||
| y= | |||
| y= | |||
| y= |
Baza fuzzy pravila je konzistentna.
Koncept rasplinutih i lingvističkih varijabli koristi se u opisivanju objekata i pojava pomoću rasplinutih skupova.
Fuzzy varijabla karakterizira trostruko (α, X, A), gdje
α — naziv varijable;
X— univerzalni skup (domen α);
ALI je fuzzy set on x, opisivanje ograničenja (tj. µ A(x) ) na vrijednostima fuzzy varijable α.
Lingvistički varijabla (LP) je skup ( β , T,X, G, M), gdje
β — naziv lingvističke varijable;
T- skup njegovih vrijednosti (term-set), a to su imena rasplinutih varijabli, od kojih je domen definicije svake od njih skup x. Mnogo T naziva se osnovnim termin set jezička varijabla;
G je sintaktička procedura koja vam omogućava da operišete sa elementima skupa termina T, posebno za generisanje novih termina (vrednosti). Skup T∪G(T), gdje je G(T) skup generiranih pojmova, naziva se prošireni skup termina lingvističke varijable;
M- semantička procedura koja vam omogućava da svaku novu vrijednost lingvističke varijable, formiranu postupkom G, pretvorite u rasplinutu varijablu, tj. formiraju odgovarajući rasplinuti skup.
Komentar. Da biste izbjegli puno znakova:
1) karakter β koristi se i za ime same varijable i za sve njene vrijednosti;
2) koristiti isti simbol za označavanje rasplinutog skupa i njegovog naziva, na primjer, termin "Young", što je vrijednost jezičke varijable β = "starost", u isto vrijeme postoji rasplinuti skup M("Mladi").
Dodjeljivanje višestrukih značenja simbolima sugerira da kontekst omogućava rješavanje mogućih nejasnoća.
Primjer. Neka stručnjak odredi debljinu proizvedenog proizvoda koristeći koncepte "Mala debljina", "Srednja debljina" i "Velika debljina", pri čemu je minimalna debljina 10 mm, a maksimalna 80 mm.
Formalizacija takvog opisa može se provesti korištenjem sljedeće lingvističke varijable ( β , T,X, G, M ), gdje
β - debljina proizvoda;
T— („Mala debljina“, „Srednja debljina“, „Velika debljina“);
X— ;
G je postupak za formiranje novih pojmova pomoću veziva "i", "ili" i modifikatora kao što su "veoma", "ne", "malo" itd. Na primjer: "Mala ili srednja debljina", "Vrlo tanka debljina" itd.;
M- postupak postavljanja X= rasplinuti podskupovi ALI 1 = "Mala debljina", ALI 2 = "Srednja debljina", A 3 = "Velika debljina", kao i rasplinuti skupovi za pojmove iz G (T) u skladu sa pravilima prevođenja rasplinutih spojeva i modifikatora "i", "ili", "ne", "veoma", "malo" i drugim operacijama na rasplinutim skupovima oblika: ALI⋂IN,A∪INA, CON A =A 2 , DIL A \u003d A 0,5 itd.
Komentar. Zajedno sa osnovnim vrijednostima o kojima se govorilo, lingvistička varijabla "Debljina" (T =(“Mala debljina”, “Srednja debljina”, “Velika debljina”)), vrijednosti su moguće u zavisnosti od područja definicije X. U ovom slučaju, vrijednosti jezičke varijable “Debljina proizvoda” mogu se definirati kao “oko 20 mm”, “oko 50 mm”, “oko 70 mm”, tj. u obliku rasplinutih brojeva.
Skup termina i prošireni skup termina u uslovima primera mogu se okarakterisati funkcijama članstva prikazanim na sl. 1.5 i 1.6.
Rice. 1.5. Funkcije članstva rasplinutih skupova: "Mala debljina" = A 1 ,"Srednja debljina" = ALI 2 , "Veća debljina" = ALI 3
Rice. 1.6. Funkcija pripadnosti rasplinutog skupa "Mala ili srednja debljina" = A 1 ∪ ALI 2
fuzzy numbers
fuzzy numbers- fuzzy varijable definisane na brojevnoj osi, tj. rasplinuti broj je definisan kao rasplinut skup ALI na skupu realnih brojeva ℝs funkcijom članstva μ A(X) ϵ , gdje X je realan broj, tj. X ϵ ℝ.
fuzzy number I u redu je ako je max μ A(x) = 1; konveksan ako za bilo koji X ≤ at ≤ z izvedeno
μ A (x)≥ μ A(at) ˄ µ A(z).
Mnogo α - nivo rasplinutog broja ALI definisano kao
Aα= {x/μ α (x) ≥ α } .
Podset S A⊂ ℝ se naziva nosilac nejasnog broja ALI, ako
S A= { x/μ A(x) > 0 }.
fuzzy number I unimodalno ako stanje μ A(X) = 1 vrijedi samo za jednu tačku realne ose.
konveksni rasplinuti broj ALI pozvao nejasna nula, ako
μ A(0) = sup ( µ A(x)).
fuzzy number I to pozitivno ako ∀ xϵ S A, X> 0 i negativan ako ∀ X ϵ S A, X< 0.
Operacije nad fuzzy brojevima
Proširene binarne aritmetičke operacije (sabiranje, množenje, itd.) za nejasne brojeve su definisane kroz odgovarajuće operacije za jasne brojeve koristeći princip generalizacije kako slijedi.
Neka bude ALI I IN- rasplinuti brojevi, i - rasplinuta operacija koja odgovara proizvoljnoj algebarskoj operaciji * nad običnim brojevima. Tada (koristeći ovdje i ispod oznake umjesto umjesto ) možemo pisati
Tip Fuzzy Numbers (L-R).
Fazi brojevi (L-R) tipa su vrsta rasplinutih brojeva posebne vrste, tj. postavljene prema određenim pravilima kako bi se smanjila količina kalkulacija tokom operacija na njima.
Funkcije pripadnosti neizrazitih brojeva (L-R) tipa specificiraju se korištenjem funkcija realne varijable L( x) i R( x) zadovoljava svojstva:
a) L(- x) = L( x), R(- x) = R( x);
b) L(0) = R(0).
Očigledno, klasa (L-R)-funkcija uključuje funkcije čiji grafovi imaju oblik prikazan na Sl. 1.7.
Rice. 1.7. Mogući oblik (L-R)-funkcija
Primjeri analitičke specifikacije (L-R)-funkcija mogu biti
Neka L( at) i R( at) su funkcije tipa (L-R) (beton). Unimodalni fuzzy broj ALI od moda a(tj. μ A(ali) = 1) koristeći L( at) i R( at) daje se na sljedeći način:
gdje je a mod; α > 0, β > 0 — levi i desni koeficijenti rasplinutosti.
Dakle, za dati L( at) i R( at) rasplinuti broj (uni-modalni) je dat trojkom ALI = (ali, α, β ).
Tolerantni fuzzy broj je dat, respektivno, sa četiri parametra ALI = (a 1 , ali 2 , α, β ), gdje ali 1 i ali 2 - granice tolerancije, tj. u međuvremenu [ a 1 , ali 2 ] vrijednost funkcije članstva jednaka je 1.
Primjeri grafova funkcija pripadnosti rasplinutih brojeva (L-R) tipa prikazani su na sl. 1.8.
Rice. 1.8. Primjeri grafova funkcija pripadnosti rasplinutih brojeva (L-R) tipa
Imajte na umu da u određenim situacijama funkcije L (y), R (y), kao i parametri ali, β fuzzy numbers (ali, α, β ) I ( a 1 , ali 2 , α, β ) treba odabrati tako da rezultat operacije (sabiranje, oduzimanje, deljenje itd.) bude tačno ili približno jednak nejasnom broju sa istim L (y) i R (y), i parametri α" I β" rezultata nije išlo dalje od ograničenja ovih parametara za originalne fuzzy brojeve, posebno ako će rezultat kasnije učestvovati u operacijama.
Komentar. Rešavanje problema matematičkog modeliranja složenih sistema korišćenjem aparata rasplinutih skupova zahteva izvođenje velikog broja operacija nad različitim vrstama lingvističkih i drugih rasplinutih varijabli. Za praktičnost izvođenja operacija, kao i za unos-izlaz i skladištenje podataka, poželjno je raditi sa funkcijama članstva standardne forme.
Fazni skupovi kojima se mora raditi u većini problema su po pravilu unimodalni i normalni. Jedna od mogućih metoda za aproksimaciju unimodalnih rasplinutih skupova je aproksimacija pomoću funkcija (L-R) tipa.
Primjeri (L-R) reprezentacija nekih lingvističkih varijabli dati su u tabeli. 1.2.
Tabela 1.2. moguće (L- R)-reprezentacija nekih lingvističkih varijabli
S.D. Shtovba "Uvod u teoriju fazi skupova i fuzzy logike"
1.7. fuzzy logika
Fuzzy logika je generalizacija tradicionalne aristotelovske logike na slučaj kada se istina smatra lingvističkom varijablom koja uzima vrijednosti kao što su: "veoma istinito", "manje ili više istinito", "nije baš lažno" itd. Navedene lingvističke vrijednosti su predstavljene nejasnim skupovima.
1.7.1. Lingvističke varijable
Podsjetimo da se varijabla naziva lingvističkom ako uzima vrijednosti iz skupa riječi ili fraza nekog prirodnog ili umjetnog jezika. Skup dopuštenih vrijednosti jezičke varijable naziva se skup termina. Postavljanje vrijednosti varijable riječima, bez korištenja brojeva, prirodnije je za osobu. Svakodnevno donosimo odluke na osnovu lingvističkih informacija kao što su: „veoma visoka temperatura“; "dugo putovanje"; "brzi odgovor"; "predivan buket"; "harmoničan ukus" itd. Psiholozi su ustanovili da se u ljudskom mozgu gotovo sve numeričke informacije verbalno prekodiraju i pohranjuju kao lingvistički termini. Koncept lingvističke varijable igra važnu ulogu u fazi zaključivanja i donošenju odluka na osnovu približnog zaključivanja. Formalno, lingvistička varijabla je definirana na sljedeći način.
Definicija 44.jezička varijabla je dato sa pet , gdje je - ; ime varijable; - ; skup termina, čiji je svaki element (term) predstavljen kao rasplinuti skup na univerzalnom skupu; - ; sintaktička pravila, često u obliku gramatike, koja generišu nazive pojmova; - ; semantička pravila koja definiraju funkcije pripadnosti rasplinutih pojmova generiranih sintaksičkim pravilima.
Primjer 9. Razmotrite jezičku varijablu pod nazivom "sobna temperatura". Tada se preostala četvorka može definirati na sljedeći način:
Tabela 4 – Pravila za izračunavanje funkcija članstva
Grafikoni funkcija pripadnosti pojmova "hladno", "nije baš hladno", "udobno", "manje ili više ugodno", "vruće" i "veoma vruće" jezičke varijable "sobna temperatura" prikazani su na Sl. 13.
Slika 13 - Jezička varijabla "sobna temperatura"
1.7.2. nejasna istina
Posebno mjesto u fuzzy logici zauzima jezička varijabla "istina". U klasičnoj logici, istina može imati samo dvije vrijednosti: istinitu i lažnu. U rasplinutoj logici, istina je "fazi". Nejasna istina se definiše aksiomatski, a različiti autori to različito rade. Interval se koristi kao univerzalni skup za postavljanje lingvističke varijable "istina". Uobičajena, jasna istina može biti predstavljena nejasnim singleton skupovima. U ovom slučaju, jasan koncept istinitog će odgovarati funkciji članstva 
, a jasan koncept je lažan - ; 
, .
Da bi postavio nejasnu istinu, Zade je predložio sljedeće funkcije članstva za pojmove "tačno" i "lažno":
;
gdje - ; parametar koji određuje nosioce rasplinutih skupova "true" i "false". Za rasplinuti skup "tačno" nosilac će biti interval , a za rasplinuti skup false" - ; .
Funkcije pripadnosti rasplinutih pojmova "tačno" i "netačno" prikazane su na sl. 14. Izgrađeni su sa vrijednošću parametra . Kao što vidite, grafovi funkcija članstva pojmova "tačno" i "netačno" su slike u zrcalu.
Slika 14 - Lingvistička varijabla "istina" prema Zadehu
Da bi postavio nejasnu istinu, Baldwin je predložio sljedeće funkcije pripadnosti nejasne "tačno" i "netačno":
Kvantifikatori "manje ili više" i "veoma" se često primjenjuju na nejasne skupove "tačno" i "netačno", čime se dobijaju pojmovi "veoma netačno", "manje ili više netačno", "manje ili više istinito", "veoma istinito" , "veoma, vrlo istinito", "veoma, vrlo netačno" itd. Funkcije članstva novih pojmova dobijaju se izvođenjem operacija koncentracije i rastezanja rasplinutih skupova "tačno" i "netačno". Operacija koncentracije odgovara kvadriranju funkcije pripadnosti, a operacija rastezanja odgovara podizanju na stepen od ½. Prema tome, članstvo funkcionira pojmova "veoma, vrlo lažno", "veoma lažno", "manje ili više netačno", "manje ili više istinito", "tačno", "veoma istinito" i "veoma, vrlo istinito" dati su kako slijedi:
Grafikoni funkcija pripadnosti ovih pojmova prikazani su na sl. 15.
Slika 15 - Lingvistička varijabla "istina" prema Baldwinu
1.7.3. Fuzzy Boolean operacije
Prvo, ukratko se prisjetimo glavnih odredbi obične (Booleove) logike. Razmotrimo dva iskaza A i B, od kojih svaki može biti istinit ili netačan, tj. uzmite vrijednosti "1" ili "0". Za ove dvije izjave ukupno postoje različite logičke operacije, od kojih se samo pet smisleno tumači: I (), ILI (), isključivo OR (), implikacija () i ekvivalencija (). Tablice istinitosti za ove operacije su date u tabeli. pet.
Tabela 5 - Logičke tablice istinitosti
Pretpostavimo da logička izjava može uzeti ne dvije istinite vrijednosti, već tri, na primjer: "tačno", "netačno" i "neodređeno". U ovom slučaju nećemo se baviti dvovrijednom, već trovrijednom logikom. Ukupan broj binarnih operacija, a samim tim i tablica istinitosti, u trovrijednoj logici je . Fuzzy logika je vrsta viševrijedne logike u kojoj se vrijednosti istine daju jezičkim varijablama ili terminima jezičke varijable "istina". Pravila za izvođenje rasplinutih logičkih operacija se dobijaju iz Booleovih logičkih operacija koristeći princip generalizacije.
Definicija 45. Označimo neizrazite logičke varijable kroz i , i funkcije članstva koje definiraju istinite vrijednosti ovih varijabli kroz i , . Fuzzy Boolean operacije I (), ILI (),
NOT () i implikacija () se izvode prema sljedećim pravilima:
;
U višeznačnoj logici, logičke operacije se mogu specificirati pomoću tabela istinitosti. U fazi logike, broj mogućih istinitih vrijednosti može biti beskonačan, stoga je općenito nemoguć tabelarni prikaz logičkih operacija. Međutim, u obliku tabele moguće je predstaviti nejasne logičke operacije za ograničen broj istinitih vrijednosti, na primjer, za skup pojmova ("tačno", "veoma tačno", "nije tačno", "manje ili više netačno" , "netačno"). Za trovrednosnu logiku sa nejasnim vrednostima istinitosti T - ; "tačno", F - ; "lažno" i T+F - "nepoznato" L Zadeh je predložio sljedeće tablice lingvističke istinitosti:
Primjenom pravila za izvođenje rasplinutih logičkih operacija iz definicije 45, tablice istinitosti mogu se proširiti za više pojmova. Kako to učiniti, razmotrite sljedeći primjer.
Primjer 10 Date su sljedeće nejasne istinite vrijednosti:
Primjenjujući pravilo iz definicije 45, nalazimo nejasnu istinitost izraza "skoro tačno ILI tačno":
Uporedimo rezultirajući rasplinuti skup sa "manje ili više istinitim" rasplinutim skupom. Oni su skoro jednaki, što znači:
Kao rezultat izvođenja logičkih operacija, često se dobija rasplinuti skup, koji nije ekvivalentan nijednoj od prethodno uvedenih fuzzy istinitih vrijednosti. U ovom slučaju, među neizrazitim istinitosnim vrijednostima potrebno je pronaći onu koja maksimalno odgovara rezultatu izvođenja fuzzy logičke operacije. Drugim riječima, potrebno je provesti tzv lingvistička aproksimacija, koji se može smatrati analogom aproksimacije empirijske statističke distribucije standardnim funkcijama distribucije slučajnih varijabli. Kao primjer, predstavljamo tablice lingvističke istine koje je predložio Baldwin za one prikazane na sl. 15 nejasnih istinitih vrijednosti:
| na neodređeno vreme |
na neodređeno vreme |
||
| na neodređeno vreme |
na neodređeno vreme |
||
| na neodređeno vreme |
na neodređeno vreme |
na neodređeno vreme |
na neodređeno vreme |
| veoma istinito |
veoma istinito |
||
| manje-više istinito |
manje-više istinito |
1.7.3. Nejasna baza znanja
Definicija 46.Nejasna baza znanja je skup fuzzy pravila "Ako - onda" koja određuju odnos između ulaza i izlaza objekta koji se proučava. Generalizovani format fuzzy pravila je sledeći:
Akopravilo slanja,ondazaključak pravila.
Premisa pravila ili antecedenta je izjava kao što je "x je nizak", gdje je "nisko" termin (jezička vrijednost) definiran nejasnim skupom na univerzalnom skupu jezičke varijable x. Kvantifikatori "veoma", "više ili manje", "ne", "skoro" itd. može se koristiti za modifikaciju prethodnih pojmova.
Zaključak ili posljedica pravila je izjava poput "y je d", u kojoj se može dati vrijednost izlazne varijable (d):
- nejasni termin: "y je visoko";
- klasa odluke: "imaš bronhitis"
- jasna konstanta: "y=5";
- jasna funkcija ulaznih varijabli: "y=5+4*x".
Ako je vrijednost izlazne varijable u pravilu data rasplinutim skupom, onda se pravilo može predstaviti rasplinutom relacijom. Za rasplinuto pravilo "Ako je x, onda je y", fuzzy relacija je data na kartezijanskom proizvodu, gdje je - ; univerzalni skup ulaznih (izlaznih) varijable. Za izračunavanje fazi omjera možete koristiti rasplinutu implikaciju i t-normu. Kada se koristi operacija pronalaženja minimuma kao t-norme, rasplinuti omjer se izračunava na sljedeći način:
Primjer 11. Sljedeća nejasna baza znanja opisuje odnos između starosti vozača (x) i mogućnosti saobraćajne nesreće (y):
Akox = mladi,onday = visoka;
Akox = srednji,onday = nisko;
Akox = veoma star,onday = Visoka.
Neka funkcije članstva termina imaju oblik prikazan na sl. 16. Tada će fuzzy relacije koje odgovaraju pravilima baze znanja biti iste kao na sl. 17.
Slika 16 – Funkcije članstva termina
Slika 17 - Fazni odnosi koji odgovaraju pravilima baze znanja iz primjera 11
Za specifikaciju višedimenzionalnih zavisnosti "ulazi-izlazi", koriste se neizrazite logičke operacije AND i OR. Pogodno je formulisati pravila na način da se unutar svakog pravila varijable kombinuju logičkom AND operacijom, a pravila u bazi znanja su povezana operacijom ILI. U ovom slučaju, neizrazita baza znanja koja povezuje ulaze 
sa izlazom, može se predstaviti u sljedećem obliku.
Važan aspekt koncepta jezička varijabla je da je ova varijabla višeg reda od fuzzy varijable , u smislu da su vrijednosti jezička varijabla su fuzzy varijable. Na primjer, vrijednosti jezička varijabla"STAROST" može biti: "MLADI, STARIJI, STARI, JAKO STARI, NE MLADI I NE STARI" itd. Svaka od ovih vrijednosti je ime fuzzy varijabla. Ako je ime fuzzy varijable, onda se ograničenje koje nameće ovo ime može tumačiti kao značenje fuzzy varijabla .
Još jedan važan aspekt koncepta jezička varijabla je li to jezička varijabla postoje dva pravila:
- Sintaktička, koja se može dati u obliku gramatike koja generiše ime vrednosti varijable;
- Semantički, koji definira algoritamsku proceduru za izračunavanje značenja svake vrijednosti.
Definicija. jezička varijabla karakterizira skup svojstava, u kojima:
Ime varijable;
Označava skup termina varijable, tj. skup imena lingvističkih vrijednosti varijable, a svaka od ovih vrijednosti je fuzzy varijabla sa vrijednostima iz univerzalnog skupa sa osnovnom varijablom;
Sintaktičko pravilo koje generira imena vrijednosti varijable;
Semantičko pravilo koje odgovara svakom od njih fuzzy varijabla njegovo značenje, tj. rasplinuti podskup univerzalni set .
Specifično ime koje generiše sintaksičko pravilo naziva se termin. Termin koji se sastoji od jedne riječi ili više riječi koje se uvijek pojavljuju jedna s drugom naziva se atomski termin. Naziv koji se sastoji od više atomskih pojmova složeni pojam.
Primjer. Razmislite jezička varijabla pod nazivom "SOBNA TEMPERATURA". Zatim preostala četiri 
, može se definirati ovako:
