Studenti i školarci - knjige, matematika, topologija. Karakteristike topologije prstena

30.04.2019 U kontaktu sa

Skup se naziva topološkim prostorom kada je data određena porodica njegovih otvorenih podskupova koja zadovoljava aksiome. Postoji mnogo mogućih načina da se definiše struktura topološkog prostora na jednom skupu: od diskretne do ne-Hausdorfove "antidiskretne (=trivijalne) topologije", lepeći sve tačke zajedno.

Osnovni koncepti teorije skupova (skup, funkcija, redni brojevi i kardinalni brojevi, aksiom izbora, Zornova lema, itd.) nisu predmet opšta topologija, ali ih aktivno koristi. Opća topologija uključuje sljedećim odjeljcima: svojstva topoloških prostora i njihovih preslikavanja, operacije nad topološkim prostorima i njihova preslikavanja, klasifikacija topoloških prostora.

Opća topologija uključuje teoriju dimenzija.

Priča

Opća topologija nastala je krajem 19. stoljeća. i formirala se kao samostalna matematička nauka početkom 20. veka. Osnovna djela pripadaju F. Hausdorffu, A. Poincareu, PS Aleksandrovu, PS Urysonu, L. Braueru. Konkretno, riješen je jedan od glavnih problema opće topologije - pronalaženje potrebnih i dovoljnih uslova za metrizabilnost topološkog prostora.

Najbrži razvoj opšte topologije kao samostalne grane znanja dogodio se sredinom 20. veka, početkom 21. veka. već je to pomoćna disciplina, koja svojim konceptualnim aparatom "opslužuje" mnoge oblasti matematike: topologiju, funkcionalnu analizu, kompleksnu analizu, teoriju grafova itd.

vidi takođe

Napomene

Koncept granice funkcije, uveden u opštu topologiju, može se dalje generalizovati u okviru teorije pseudotopoloških prostora.

Književnost

P. S. Aleksandrov, V. V. Fedorchuk, V. I. Zaitsev Glavne tačke u razvoju topologije teorijske skupove
Aleksandrov P.S. Uvod u teoriju skupova i opštu topologiju - M.: Nauka, 1977
Arkhangelsky A. V., Ponomarev V. I. Osnove opšte topologije u zadacima i vježbama - M.: Nauka, 1974.
Bourbaki N. Elementi matematike. Opća topologija. Osnovne strukture - M.: Nauka, 1968
Kelly J.L. Opća topologija - M.: Nauka, 1968
Engelking R. Opća topologija - M.: Mir, 1986
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Elementarna topologija. Tutorijal u zadacima (rus., eng.)

Wikimedia fondacija. 2010 .

Gulag
Topološki prostor

Pogledajte šta je "Opća topologija" u drugim rječnicima:

OPĆA TOPOLOGIJA- grana geometrije posvećena proučavanju kontinuiteta i prelaska do granice na tom prirodnom nivou opštosti, koji je određen prirodom ovih pojmova. Početni koncepti O. t. su koncepti topološkog prostora i kontinuiranog ... ... Mathematical Encyclopedia

Opća algebra- (takođe apstraktna algebra, viša algebra) grana matematike koja proučava algebarske sisteme (koji se ponekad nazivaju i algebarske strukture), kao što su grupe, prstenovi, polja, djelomično uređeni skupovi, rešetke, a također ... ... Wikipedia

Topologija- Ne treba se brkati sa topografijom. Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Topologiju (značenja). Površina Mobiusove trake ... Wikipedia

Topologija- (od grčkog topos mjesto i ... logika (Vidi ... Logia) dio geometrije posvećen proučavanju fenomena kontinuiteta (izraženog, na primjer, u konceptu granice). Različite manifestacije kontinuitet u matematici i širok raspon razne ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Zariski topology- Ovaj članak treba da bude vikifikovan. Molimo vas da ga formatirate prema pravilima za formatiranje članaka. Topologija Zariski u algebarskoj geometriji je posebna topologija koja odražava algebarsku na ... Wikipedia

TOPOLOGIJA- grana matematike koja se bavi proučavanjem svojstava figura (ili prostora) koji su sačuvani pod kontinuiranim deformacijama, kao što su, na primjer, napetost, kompresija ili savijanje. Kontinuirana deformacija je deformacija figure u kojoj nema ... ... Collier Encyclopedia

Zajednička tačka (matematika)- Ovaj izraz ima druga značenja, vidi Zajednička tačka. Zajednička tačka je tačka u topološkom prostoru čije se zatvaranje poklapa sa celim prostorom. Topološki prostor koji ima zajedničku tačku je nesvodljiv ... ... Wikipedia

topologija- Fizička ili logička distribucija mrežnih čvorova. Fizička topologija definira fizičke veze (kanale) između čvorova. Logička topologija opisuje moguće veze između mrežnih čvorova. U lokalnim mrežama najčešće su tri ... ... Priručnik tehničkog prevodioca

TOPOLOGIJA- u širem smislu, oblast matematike koja proučava topologiju. svojstva dif. math. i fizički objekata. Intuitivno, do topološkog uključuju kvalitativna, stabilna svojstva koja se ne mijenjaju s deformacijama. Mat. formalizacija ideje topologije svojstva ... ... Physical Encyclopedia

Opća teorija sistema- (teorija sistema) naučni i metodološki koncept proučavanja objekata koji su sistemi. Usko je povezan sa sistematskim pristupom i predstavlja specifikaciju njegovih principa i metoda. Prva verzija opšte teorije sistema bila je ... ... Wikipedia

Knjige

Opća topologija. Osnovne strukture, N. Bourbaki. Ovo novo izdanje je učinilo dosta veliki broj promjene u detaljima; osim toga, cijeli plan Ch. I i II kako bi se gradivo što bolje složilo sa opštim idejama...

Dostupno sa standardnom ili naprednom licencom.

Topologija je skup pravila koja, zajedno sa alatima i tehnologijama za uređivanje, omogućavaju preciznije modeliranje geometrijskih odnosa u bazi geopodataka. U ArcGIS-u, topologija se sprovodi kroz skup pravila koja definišu kako se karakteristike postavljaju u geografski prostor, kao i kroz skup alata za uređivanje koji se podjednako primenjuju na karakteristike sa zajedničkom geometrijom. Topologija je pohranjena u bazi geopodataka kao jedan ili više odnosa koji definiraju kako značajke u jednoj ili više klasa karakteristika koriste zajedničku geometriju. Karakteristike koje učestvuju u topologiji su jednostavne klase karakteristike - topologija ne mijenja definiciju klase karakteristika, već je sama po sebi opis prostornih odnosa tih karakteristika.

Zašto je potrebna topologija?

Dugo vremena topologija postoji ključni element GIS, koji služi za upravljanje podacima i kontrolu nad njihovim integritetom. Općenito, topološki model podataka upravlja prostornim odnosima tako što predstavlja prostorne objekte (tačke, linije i područja) kao dijagrame topoloških primitiva – čvorova, lica i ivica. Ovi primitivi, odnosi između njih, kao i sa objektima čije granice predstavljaju, određeni su mapiranjem geometrije prostornih objekata u grafu topoloških elemenata.

Topologija se uglavnom koristi za kontrolu kvaliteta podataka sa prostornim odnosima, kao i za pomoć pri kompilaciji podataka. U mnogim slučajevima, topologija se također koristi za analizu prostornih odnosa—na primjer, za uklanjanje granica između susjednih poligona koji imaju istu vrijednost atributa, ili za navigaciju mrežom elemenata u topološkom grafu.

Topologija se također koristi za modeliranje integracije geometrije između višestrukih različite klase prostorni objekti. Ovo se ponekad naziva vertikalna integracija klasa karakteristika.

Kako karakteristike u topologiji dijele zajedničku geometriju

Karakteristike mogu dijeliti geometriju unutar topologije. Slijede primjeri susjednih karakteristika:

Arealni objekti mogu koristiti zajedničke granice(poligonalna topologija).
Linijske karakteristike mogu koristiti zajedničke krajnje tačke(topologija ivica i čvorova).

Osim toga, zajednička geometrija se može dijeliti između klasa karakteristika koristeći topologiju baze geopodataka. Na primjer:

Linijske karakteristike mogu dijeliti segmente.
Arealni objekti se mogu kombinovati sa drugim arealnim objektima. Na primjer, zemljište može se sklopiti na četvrtine.
Linijske karakteristike mogu imati vrhove koji su isti kao tačkaste karakteristike (čvorna topologija).
Tačkasti objekti se mogu kombinovati sa linearnim (točkasti događaji).

Bilješka:

Parcelama se često upravlja pomoću jednostavnih klasa karakteristika i topologije baze geopodataka jer postoji skup klasa karakteristika potrebnih za modeliranje parcela, granica, kutnih tačaka i kontrolne tačke slijedite pravila podudaranja. Drugi način upravljanja parcelama je korištenje parcele koja automatski pruža ove slojeve. Tvornica parcele upravlja svojom internom topologijom, tako da nema potrebe za održavanjem topologije baze geopodataka ili izvođenjem bilo kakvog topološkog uređivanja na slojevima koje koriste parcele.

Ključna razlika između regija modeliranih kao jednostavnih objekata, a parcele u strukturi parcele je da granice parcele (linije u tvorevini parcele) nisu dijeljene u parceli—svaka parcela sadrži full set granične linije; susjedne parcelne linije se preklapaju i poklapaju jedna s drugom.

Međutim, parcele mogu učestvovati u topologiji geopodataka; tamo, granične linije koje se preklapaju imaju različite geometrije, linije su podijeljene, a topološki graf se gradi kao i obično.

Dva pogleda: karakteristike i elementi topologije

Poligonski sloj se može opisati i koristiti:

Kao skupovi geografskih karakteristika (tačke, linije i poligoni)
Kao graf topoloških elemenata (čvorovi, ivice, lica i njihovi odnosi).

To znači da postoje dvije opcije za rad sa prostornim objektima: u jednom slučaju radite sa prostornim objektima koji imaju date koordinate, au drugom radite sa objektima predstavljenim kao uređeni graf topoloških elemenata.

Evolucija pokrivenosti do topologije geobaze podataka

Bilješka:

Čitanje ovog odjeljka nije neophodno za rad s topologijom baze geopodataka. Međutim, pročitajte ovaj odjeljak ako vas zanima povijest nastanka i razvoja topologije u bazama geopodataka.

Poreklo pojmova "lučni čvor" i "georacioni"

ArcInfo Workstation pokrivenosti imaju dugu istoriju upotrebe i pokazale su važnost topologije u održavanju prostornog integriteta podataka.

Model podataka pokrivenosti sadrži sljedeće stavke.

Granice karakteristika i tačke u pokrivenosti pohranjene su u nekoliko master fajlova kojima upravlja ArcInfo Workstation. Datoteka "ARC" sadržavala je geometriju linija ili poligona u obliku topoloških ivica zvanih "lukovi". Datoteka "LAB" sadržavala je tačkaste karakteristike koje su korišćene kao početne tačke za izgradnju poligona ili kao pojedinačne tačkaste karakteristike kao što su bunari. Druge datoteke su korištene za definiranje i pohranjivanje topoloških odnosa između ivica poligona.

Na primjer, datoteka "PAL" ("Polygon-arc list") sadrži redoslijed i smjer lukova svakog poligona. Koristeći logiku programiranja u ArcInfo Workstation, koordinate svakog poligona su prikupljene za potrebe prikaza, analize i upita podataka. Naređena lista sadržana u PAL datoteci korištena je za pronalaženje i sklapanje koordinata ivica koje su pohranjene ARC fajl. Montaža poligona se odvijala po potrebi tokom rada.

Model pokrivenosti imao je nekoliko prednosti:

Koristila je jednostavna struktura za pohranjivanje topologije.
Omogućio je da se lukovi jednom digitalizuju i pohrane, koje je potom koristilo nekoliko prostornih objekata.
Mogao bi prikazati vrlo velike poligone (hiljade koordinatnih tačaka). bili su predstavljeni kao skup ivica (tj. "lukova")
Struktura skladištenja topologije pokrivenosti bila je intuitivna. Korisnici ArcInfo Workstation-a lako su razumjeli njegove datoteke fizičke topologije.

Prethodne verzije:

Zanimljiva istorijska činjenica: kombinacija Arc-a i Info table managera dovela je do naziva proizvoda ArcInfo Workstation, iz kojeg su se razvili svi naredni Arc proizvodi u porodici proizvoda Esri - ArcInfo, ArcIMS, ArcGIS, itd.

Premazi su također imali nekoliko nedostataka:

Neke operacije su bile spore zbog potrebe za sklapanjem velikog broja objekata u hodu. Ovo uključuje sve poligone i složeni objekti, kao što su regije (izraz za višedijelne poligone) i rute (obilježja složenih linija).
Topološke karakteristike (kao što su poligoni, regije i rute) nisu bile spremne za upotrebu sve dok nije izgrađena topologija pokrivenosti. Ako su rubovi uređivani, cjelokupna topologija je trebala biti ponovo izgrađena. (Napomena: djelomična obrada je na kraju korištena, dozvoljavajući samo izmijenjenim dijelovima topologije pokrivenosti da se ponovo izgradi). U osnovi, pri uređivanju topoloških karakteristika, bilo je potrebno koristiti algoritam geometrijske analize da bi se rekonstruirali topološki odnosi, bez obzira na korišteni model pohrane podataka.
Naslovnice nisu dozvoljavale višekorisničko uređivanje. Budući da je postojala potreba da se graf topologije uskladi sa geometrijom karakteristika, samo je jedan korisnik mogao uređivati topologiju u isto vrijeme. Korisnici su morali podijeliti pokrivenost na dijelove radi istovremenog uređivanja. To je omogućilo pojedinačnim korisnicima da „zatvore“ i uređuju svoj dio podataka. Da bi koristili cijeli skup podataka, korisnici su morali kopirati svoje dijelove u sloj grupnih podataka. Drugim riječima, fragmentirani skupovi podataka koje su uređivali nisu se mogli odmah koristiti dijeljenje. Prvo su se morali preobratiti, što je značilo dodatno vrijeme i rad.

Shapefiles i jednostavno skladištenje geometrije

Početkom 1980-ih, pokrivenosti su viđene kao značajno poboljšanje u odnosu na zastarjele poligone i sisteme linija, u kojima su poligoni bili pohranjeni u zatvorenim petljama. U ovim naslijeđenih sistema, sve koordinate karakteristika su pohranjene zajedno sa geometrijom tih karakteristika. Prije pokrivanja i ArcInfo Workstation-a, korištene su ove jednostavne strukture poligona i linija. Ova struktura podataka je bila jednostavna, ali je imala značajan nedostatak"dvostruko digitalizovane granice". One. u geometriji svakog poligona koji ima zajednička lica, pohranjene su dvije kopije koordinata za susjedne dijelove. Glavni nedostatak je bio to softvera GIS tog vremena nije mogao upravljati integritetom zajedničkih ivica. Osim toga, cijena pohranjivanja informacija bila je vrlo visoka, svaki bajt je morao biti sačuvan. Početkom 1980-ih, čvrsti disk od 300 MB bio je veličine veš mašina i košta 30.000 dolara. Pohranjivanje dva ili više seta koordinata bilo je skupo, a proračuni su oduzimali dosta vremena kompjuteru. Stoga je korištenje topologije pokrivenosti imalo stvarne prednosti.

Sredinom 1990-ih, u pozadini smanjenja troškova prostora na disku i povećanja računarske snage, poraslo je interesovanje za jednostavne geometrijske strukture. Istovremeno, skupovi GIS podataka postali su dostupniji, a korisnici GIS-a su počeli da prelaze sa primarne kompilacije podataka na njihovu obradu i analizu.

Korisnici su željeli poboljšanja performansi pri radu s podacima (na primjer, ne čekajući proračun geometrije poligona, koji je bio potreban u ovog trenutka, ali samo dobijete koordinate poligona što je brže moguće). Dostupna puna geometrija funkcija pokazalo se efikasnijim. Hiljade GIS korisnika su kreirali velika količina dostupni skupovi podataka.

Otprilike u isto vrijeme, Esri je razvio i objavio format shapefile-a. Shapefiles koristili su vrlo jednostavan model za pohranjivanje koordinata karakteristika. Svaki shapefile predstavlja jednu klasu karakteristika (tačka, linija ili poligon) i koristi jednostavan model za pohranjivanje koordinata karakteristika. Shapefiles su lako kreirani od pokrivenosti i drugih GIS formata. Brzo su postali de facto format, široko su se raširili i još uvijek su u upotrebi.

Nekoliko godina kasnije, ArcSDE je došao do jednostavnog modela za skladištenje podataka u tabelama. relacione baze podataka podaci. Tabela karakteristika može pohraniti jednu karakteristiku kao niz, zajedno sa informacijama o njenoj geometriji kao i atributima.

Primjer takve tabele koja sadrži poligone stanja prikazan je u nastavku. Svaki red predstavlja jedno stanje. Stupac oblika sadrži geometriju poligona svakog stanja.

Ovo jednostavan model prostorni objekti je dobro prilagođen SQL mašini za obradu. Zahvaljujući upotrebi relacionih baza podataka, povećanje obima podataka i broja korisnika nije dovelo do smanjenja performansi. Počeli smo koristiti RDBMS za upravljanje GIS podacima.

Shapefiles su postali sveprisutni i, zahvaljujući ArcSDE, ovaj jednostavan mehanizam za skladištenje geometrije postao je primarni model skladištenja za karakteristike u RDBMS-ovima. (U nastojanju da osigura interoperabilnost podataka, Esri je igrao vodeću ulogu u kreiranju OGC i ISO specifikacije jednostavne geometrije.)

Čuvanje jednostavnih predmeta imalo je jasne prednosti:

Kompletna geometrija svake karakteristike sadržana je u jednoj liniji. Montaža nije potrebna.
Struktura podataka (fizička šema) je vrlo jednostavna, i ne samo da je brza, već je i skalabilna.
Jednostavnost pisanja interfejsa.
Lakoća interakcije. Omogućava vam da jednostavno kreirate pretvarače za prijenos podataka u jednostavan geometrijski format iz velikog broja drugih formata i obrnuto. Shapefiles se naširoko koristi kao format za skladištenje podataka, kao i format za razmjenu.

Jedan od njihovih nedostataka bila je nemogućnost korištenja topologije za održavanje integriteta podataka prilikom rada s njima jednostavnih objekata. Kao rezultat toga, korisnici su koristili jedan model podataka za uređivanje i skladištenje (pokrive), a drugi za obradu (shapefiles ili ArcSDE slojevi).

Korisnici su počeli da koriste ovaj hibridni pristup za uređivanje i rad sa podacima. Na primjer, korisnici mogu uređivati podatke u pokrivenostima, CAD datotekama ili drugim formatima. Zatim bi mogli da konvertuju podatke u shape fajlove za upotrebu u mapiranju. Dakle, uprkos činjenici da je struktura jednostavnih objekata postala pogodan format direktnu upotrebu, nije podržavao topološko uređivanje i zajedničko upravljanje geometrijom. Direktne baze podataka mogu koristiti jednostavnu strukturu, ali je za uređivanje korištena drugačija topološka forma. To je dalo prednosti pri radu sa podacima. Ali, u isto vrijeme, podaci su zastarjeli, trebalo ih je ažurirati. Ova šema je funkcionirala, ali je došlo do kašnjenja u ažuriranju informacija. Suština je da ne postoji topologija.

GIS je zahtijevao mehanizam za pohranu karakteristika koji koristi jednostavnu geometriju karakteristika i omogućava korištenje topologije zajedno sa ovom strukturom podataka. To je značilo da će korisnici konačno moći kombinirati prednosti oba pristupa – transakcionog modela podataka koji omogućava topološke upite, kolaborativno uređivanje i kontrolu integriteta podataka, te jednostavan, visoko skalabilan mehanizam za pohranu podataka zasnovan na korištenju jednostavne geometrije objekta.

Ovaj model podataka pokazao se jednostavnim, brzim i efikasnim. To dozvoljava direktno uređivanje i istovremeni rad bilo koji broj korisnika.

Topološki radni stol u ArcGIS-u

U stvari, topologija uključuje više od modela skladištenja podataka. Topologija uključuje:

Kompletan model podataka (objekti, pravila integriteta, alati za uređivanje i verifikaciju, topološko-geometrijski mehanizam koji omogućava obradu skupova podataka bilo koje veličine i složenosti, kao i skup topoloških operatora, metoda prikaza i alata za pravljenje upita).
Otvoreni format za skladištenje koristi skup zapisa tipa za označavanje jednostavnih objekata i topološkog interfejsa za pravljenje upita, pronalaženje elemenata topologije i rukovanje prostornim odnosima između njih (tj. pronalaženje susednih oblasti i njihovih zajedničkih ivica, kretanje duž povezanih linija).
Sposobnost interakcije sa prostornim objektima (tačke, linije i poligoni), topološkim elementima (čvorovi, ivice, lica) i njihovim odnosima.
Mehanizam koji može podržati:
- Veoma veliki skupovi podataka koji sadrže milione funkcija.
- Istovremeno uređivanje i obrada od strane više korisnika.
- Spremna za upotrebu, uvijek dostupna geometrija karakteristika.
- Podrška za topološki integritet i ponašanje.
- Brz sistem koji se povećava sa brojem korisnika i urednika.
- Fleksibilan i jednostavan sistem.
- Sistem koji koristi prednosti mehanizma SQL relacijski DBMS i transakcijsko okruženje.
- Sistem koji podržava višekorisničko uređivanje, duge transakcije, istorijsko arhiviranje i replikaciju.

U topologiji baze geopodataka, proces validacije određuje zajedničke koordinate karakteristika (i unutar iste klase karakteristika i između klasa karakteristika). Algoritam grupisanja omogućava tačno podudaranje zajedničke koordinate. Zajedničke koordinate se pohranjuju kao dio jednostavne geometrije svake karakteristike.

Ovo omogućava brzu i skalabilnu pretragu topoloških elemenata (čvorova, ivica i lica). Dodatna prednost je rad sa SQL RDBMS mašinom i upravljanje transakcijama.

Prilikom uređivanja ili ažuriranja podataka, nove funkcije se mogu koristiti odmah nakon dodavanja. Ažurirana područja karte, takozvana "promijenjena područja", označena su u svakoj klasi karakteristika. U svakom trenutku korisnici mogu izvršiti topološku analizu i validaciju modificiranih područja. Rekonstrukcija je potrebna samo za topologiju promijenjenih područja, što smanjuje vrijeme potrebno za obradu.

Kao rezultat toga, topološki entiteti (čvorovi, ivice i lica), odnosi između njih i karakteristike kojima pripadaju mogu se brzo otkriti i sastaviti. Ova topologija ima sljedeće prednosti:

Jednostavna geometrija se koristi za pohranjivanje prostornih objekata. Model skladištenja je otvoren, efikasan i prilagođen je velikim količinama i više korisnika.
Jednostavan objektni model podataka je transakcijski i višekorisnički. Prethodni topološki modeli podataka nisu bili skalirani i imali su ozbiljna ograničenja za više korisnika.
Topologija geobaze podataka u potpunosti podržava sve karakteristike dugih transakcija i verzioniranih podataka geobaze podataka. Topologija baze geopodataka ne mora biti podijeljena za višekorisnički rad, korisnici mogu uređivati topologiju baze podataka u isto vrijeme—čak i vlastite verzije istih karakteristika.
Klase karakteristika mogu sadržavati vrlo veliki broj objekata (stotine miliona), a njihov učinak nije smanjen.
Ovo topološko rješenje je aditivno. Tipično, možete dodati topologiju postojećoj šemi prostorno povezanih klasa karakteristika. Ili ćete morati ponovo kreirati shemu koja ima mogućnost korištenja topoloških primitiva i učitavanja postojećih prostornih podataka u nju.
Za uređivanje geometrije i rad sa podacima, u pravilu je dovoljan jedan model.
Ovo je omogućeno korišćenjem Open Geospatial Consortium-a i ISO specifikacija za skladištenje geometrije svih karakteristika.
Modeliranje podataka je prirodnije jer zasniva se na prilagođenim karakteristikama (kao što su parcele, ulice, tipovi tla i slivovi) umjesto na topološkim primitivima (čvorovi, ivice i lica). Korisnici počinju da rade sa kategorijama integriteta podataka u odnosu na stvarne objekte, a ne da prate integritet topoloških primitiva. Na primjer, kako bi se ove zemljišne parcele trebale ponašati? Ovaj pristup pojednostavljuje modeliranje svih vrsta geografskih karakteristika. Pojednostavljuje predstavljanje stvarnih objekata: ulica, tipova tla, popisnih područja, željezničkih pruga, šuma, pejzaža i tako dalje.
Topologija baze geopodataka pruža isti sadržaj kao i prethodne verzije topologije – bilo da pohranjujete topološki linijski graf i izračunavate geometriju obilježja (kao u pokrivenostima) ili pohranjujete geometriju karakteristika i izračunate topologiju i odnose (kao u bazama podataka). geopodatke).

U slučajevima kada korisnici radije pohranjuju topološke primitive, mogu kreirati tabele i u njih postaviti topologiju i odnose za različite analitičke operacije i razmjenu podataka (na primjer, ako je potrebno smjestiti informacije u Oracle Spatial, koji pohranjuje tablice topoloških primitiva ).

Sa praktične tačke gledišta, rešenje ArcGIS topologije funkcioniše. Skalira se bez gubitka performansi, kako u smislu količine podataka tako i broja korisnika. Omogućava vam korištenje širokog spektra alata za pregled i uređivanje za izgradnju i manipulaciju topologijom u bazi geopodataka. Uključuje moćne i fleksibilne alate za modeliranje podataka koji omogućavaju korisnicima da kreiraju zgodne sisteme koji rade i na nivou datoteka i na nivou relacione baze podataka i koriste bilo koji broj šema.

Opća topologija zauzima posebno mjesto među oblastima topologije. Opća topologija je trenutno dostigla onaj najprirodniji nivo općenitosti, koji omogućava da se topološki principi, koncepti i konstrukcije predstave s najvećom transparentnošću i istovremeno osigura njihova najšira moguća primjenjivost u drugim granama matematike.

Opća topologija je grana matematike koja proučava opća geometrijska svojstva koja se čuvaju pod kontinuiranim i jedan-na-jedan preslikavanjima.

Zajedno sa algebrom, opšta topologija čini osnovu savremene teorijske metode u matematici.

Aksiomatski definisani objekti proučavanja opšte topologije su prostori i njihova kontinuirana preslikavanja. Topološki prostor je skup objekata proizvoljne prirode, koji se nazivaju tačke, u kojima se razlikuje određeni sistem podskupova, koji se nazivaju otvoreni skupovi prostora. Ovaj sistem mora uključivati cijeli prostor i prazan skup i sadržavati, zajedno sa bilo koja dva skupa, njihov presjek i, zajedno sa bilo kojim skupom skupova, skup koji je njihova unija.

Značajan uticaj na razvoj opšte topologije uveo je P.S. Aleksandrov koncept bikompaktnosti. Aleksandrov i Uryson stvorili su teoriju bikompaktnih prostora. Bikompaktni prostori su jedan od glavnih predmeta proučavanja opšte topologije i trenutno su u fokusu pažnje matematičara. Oni igraju važnu ulogu u teoriji dimenzija, teoriji homologije i drugim granama topologije, a takođe su od primarnog značaja u funkcionalnoj analizi. Svaki potpuno regularan prostor je podskup nekog kompaktnog Hausdorffovog prostora.

Trenutno je najčešća definicija kompaktnog prostora sljedeća: prostor se naziva kompaktnim ako se iz bilo kojeg otvorenog poklopca ovog prostora može izabrati konačan broj skupova pokrivanja.

U literaturi se mogu naći i druge klase prostora srodne bikompaktnim, na primjer, pseudokompaktni, kvazikompaktni. Bikompaktni prostori zauzimaju glavno mjesto među njima i igraju istu ulogu u općoj topologiji kao kompaktni prostori u klasi metrizabilnih prostora.

Osim toga, opća topologija je posvećena proučavanju koncepata kontinuiteta, kao i drugih koncepata kao što su kompaktnost ili odvojivost, kao takvi, bez pribjegavanja drugim alatima.

4. Topološki prostor

Topološki prostor je glavni predmet proučavanja topologije. Koncept topološkog prostora može se smatrati generalizacijom koncepta geometrijske figure, u kojoj apstrahiramo od svojstava kao što su veličina ili tačan položaj dijelova figure u prostoru i fokusiramo se samo na relativnu poziciju figure. dijelovi. Topološki prostori nastaju prirodno u gotovo svim granama matematike.

Dakle, topološki prostor je definisan kroz sistem otvorenih skupova pomoću aksioma. Naravno, sam ovaj koncept se zasniva na preliminarnim opštim konceptima "prostora" i "otvorenog skupa".

U modernoj matematici prostor se definiše kao neki apstraktni skup proizvoljnih objekata za koje je data određena operacija koja implementira poznat odnos između elemenata prostora. Osnova za konstruisanje teorije ovog ili onog apstraktnog prostora je, s jedne strane, opšti matematički koncept skupa, koji se shvata kao proizvoljna kolekcija bilo kojih objekata (elemenata), as druge strane, strukturni odnosi između ovi objekti uspostavljeni na određeni način.

Neka je zadan skup X. Skup T njegovih podskupova naziva se topologija na X ako vrijede sljedeća svojstva:

Svi X i prazan skup pripadaju T,

Unija proizvoljne porodice skupova koji pripadaju T pripada T,

Presek dva skupa koji pripadaju T pripada T.

Skup X zajedno sa topologijom T definiranom na njemu naziva se topološki prostor. Podskupovi X koji pripadaju T nazivaju se otvoreni skupovi.

Potreba za razvojem opšteg pristupa konceptu prostora javila se dosta davno – krajem prošlog i početkom ovog veka. U vezi sa razvojem teorije funkcija realne varijable i funkcionalna analiza nastali su i drugi objekti - funkcionalni prostori i njihovi podskupovi - za čije proučavanje su takođe potrebni koncepti i metode opšte topologije.

Trenutno se topološke metode istraživanja koriste ne samo u analizi, već iu mnogim drugim granama matematike. Uloga topoloških metoda u diferencijalnim jednačinama je značajna. Kao rezultat sinteze ideja opće topologije i funkcionalne analize, nastala je teorija topoloških vektorskih prostora. Apstraktni topološki prostori mogu se neočekivano pojaviti i primijeniti u najrazličitijim oblastima matematike.

Sada općeprihvaćeni koncept topološkog prostora nije se pojavio odmah. Ranije su se pojavili metrički prostori, koji su do danas važan predmet proučavanja opšte topologije, nisu mogli zadovoljiti matematičare.

Prve prilično opšte definicije topološkog prostora dali su Fréchet, Riesz i Hausdorff. Konačnu definiciju topološkog prostora formulisali su poljski matematičar K. Kuratowski i P.S. Aleksandrov.

Sve knjige se mogu preuzeti besplatno i bez registracije.

NOVO. O. Viro, O. Ivanov, N. Netsvetaev. Elementarna topologija. 2010 446 str. djvu. 2,2 MB.
Knjiga govori o osnovnim konceptima topologije. Uključuje osnovni materijal o opštoj topologiji i uvod u algebarsku topologiju, koja je izgrađena oko koncepata fundamentalne grupe i prostora koji pokriva. Glavni materijal knjige sadrži veliki broj netrivijalnih primjera i problema različitog stepena težine.
Knjiga je namijenjena studentima osnovnih studija.

Skinuti

Aleksandrov. Uvod u teoriju skupova i opću topologiju. 1977 370 strana djvu Veličina 6,3 Mb.
Jedna od najjednostavnijih, najrazumljivijih i ujedno najdubljih knjiga koja služi kao uvod u matematiku beskonačnih skupova. Napisano na pomalo staromodan način, objašnjavajući sve riječima uz minimum formula. Za neke ovo može izgledati kao nedostatak, ali za većinu je to velika prednost.

Skinuti

Buchstaber V.M., Panov T.E. Toričke akcije u topologiji i kombinatorici. 2004 272 str. djvu. 2.9 MB.
Svrha ove knjige je da uvede čitaoca u ogromno polje istraživanja bogato fundamentalnim rezultatima i važne aplikacije. Nastala je u proteklih trideset godina na osnovu međusobnog prožimanja ideja, metoda i dostignuća kombinatorne geometrije i topologije, algebarske topologije i geometrije, homološke algebre, teorije singularnosti i većine U poslednje vreme i diskretnu matematičku fiziku.
Među topološkim i kombinatornim objektima koji se proučavaju u knjizi postoje i klasični i oni koji su se pojavili sasvim nedavno. To su konveksni poliedri, simplicijski i kubični kompleksi, simplicijske particije ćelija, triangulacije sfera i općenitije mnogostrukosti, triangulacijski prostori, algebarski torički varijeteti i njihovi različiti topološki analozi, kompleksi moment-ugao, koji su nova klasa toričke akcije, konfiguracije podprostora i njihove komplemente.
Knjiga predstavlja zapanjujuće rezultate koji duguju duboke veze sa geometrijom, topologijom, kombinatorikom i homološkom algebrom. Brojni klasični i modernog dizajna da efikasno koriste ove veze. Knjiga sadrži velika lista otvorena pitanja.