Dan znanja 1. septembra u 5. razredu. Scenario
Prvi čas posvećen Danu znanja održava se 1. septembra. Odeljenjski starešina 5. razreda treba pažljivo da se pripremi za ovaj događaj. Uostalom, ovo je njegov prvi susret sa razredom, koji omogućava uspostavljanje kontakta sa decom, stvaranje atmosfere poverenja, lakoće i iskrenosti.
Važno je da na ovaj dan djeca budu vesela, raspoložena. Dobro je ako djeca kući donesu male poklone.
Ciljevi: da upozna odeljenskog starešinu, sa novim predmetima; utvrditi motivaciju za učenje; prilagoditi učenike petih razreda novom sistemu obrazovanja; stvoriti pozitivnu atmosferu u učionici.
Oprema:
a) značke sa imenima i prezimenima djece;
b) svakom učeniku na klupu staviti papirić iz školske sveske (na ovom papiru svaki učenik će napisati čestitku svom razredu);
c) nacrtajte šematskog čovječuljka na velikom listu papira za crtanje (lice će se crtati tokom časa); lijevo u koloni upisati karakteristike koje će se popuniti tokom lekcije; odvojeno pripremiti dva papirna lica: veselo i tužno; jedan od njih učitelj će zatim pričvrstiti na lik malog čovjeka;
.jpg)
d) napisati bilješke sa zagonetkama o školskim predmetima (iz teksta skripte) i staviti ih u kutiju;
e) pripremite mikrofon (možete koristiti igračku);
f) pripremiti jednostavne nagrade za učesnike igara (bilježnice, medalje, zastavice) tako da svaki učenik dobije neku vrstu nagrade.
Muzički aranžman
Dječije pjesme: "Osmeh", "Zajedno je zabavno šetati po prostranstvima", "Sve delimo na pola", "Pravi prijatelj" itd.
Class decoration
Na odmoru prije nastave pripremite ploču:
a) nacrtati kartu "Planeta znanja 5-A klase"; na kartu nasumično upiši nazive školskih disciplina koje se izučavaju u 5. razredu: ruski jezik, književnost, retorika, strani jezik, matematika, informatika, istorija, građansko vaspitanje, prirodna istorija, muzika, likovna umetnost, fizičko vaspitanje, radna obuka;
razredni plan
1. Uvodne napomene.
2. Konferencija za novinare razrednog starešine.
3. Kreiranje autoportreta razreda.
4. Igra "Putovanje kroz planetu znanja".
5. Igra "Mikrofon".
6. Kompozicija-minijatura "Čestitam".
7. Sumiranje (refleksija).
8. Obilazak škole. Uvod u učionice.
Napredak časova
I. Uvodne riječi
Profesorica razredne nastave. Dragi momci! Danas cijela naša zemlja obilježava Dan znanja. Ovo je neobičan dan za vas, jer ste danas prvi put prešli prag srednje škole. Peti razred je njegov prvi korak, ali postepeno, dižući se od stepenice do stepenice, postaćete maturanti, bićete lepi i pametni kao naši maturanti danas. Znanje stečeno u školi pomoći će vam da odaberete profesiju, postanete cijenjeni ljudi i budete od koristi našoj zemlji.
5. razred će donijeti puno novih i neobičnih stvari u vaš život: to su i novi predmeti, i novi nastavnici, i novi problemi, ali nadam se da ćemo sve probleme prebroditi, jer ćemo ih zajedno rješavati, pomagati jedni drugima. Trudićemo se da se svi u našem razredu osećaju dobro, kao u velikoj i prijateljskoj porodici.
II. Konferencija za novinare razrednog starešine
Profesorica razredne nastave. A sada da se predstavim: ja sam vaš razredni starešina (prezime, ime, patronim). I počinjem svoju konferenciju za štampu. Vi ćete se ponašati kao novinari. Možete mi postaviti svoja pitanja ako želite saznati više o meni. Neposredno prije nego što mi postavite pitanje, navedite svoje ime i prezime.
Primjeri pitanja za djecu:
Koliko imaš godina?
Koji predmet predajete?
Imate li djecu?
Imaš li kućne ljubimce?
koji su tvoji hobiji?
III. Kreiranje klasnog autoportreta
Profesorica razredne nastave. Ovim je moja konferencija za štampu završena. Hvala na pitanjima.
Čeka nas mnogo teških i zanimljivih stvari i nadam se da ćemo se bolje upoznati. Ali sada bih želeo da znam nešto o misterioznom strancu po imenu Razred 5-A. (Pokazuje na list papira za crtanje pričvršćen za zid.)
Pomozite mi da saznam nešto o ovom misterioznom 5-A. Koja je njegova visina, težina, fizička forma? Šta zanima naš 5-A? Koja je njegova disciplina? Kako se on osjeća prema učenju? Kakav je njegov karakter? I na kraju, kakvo je njegovo lice? Sve to ćemo sada saznati i zapisati pored ovog portreta. A pomoći će mi onaj koji ima najljepši i najčitljiviji rukopis. Ima li među vama?
Jedan od učenika dolazi do table, uzima flomaster.
Prvo pitanje, najlakše, je rast 5-A. Prosječna visina učenika petog razreda je obično 145-150 cm Šta ćemo napisati u ovoj koloni? Koliko je visok naš razred? Visoka ili niska, ili možda srednja?
Djeca (u horu). Nisko, srednje, visoko.
Učenik piše.
Profesorica razredne nastave. Sada je težina normalna, nedovoljna ili možda prevelika?
Djeca (u horu). Normalno.
Učenik piše markerom.
Profesorica razredne nastave. Fizički razvoj - bavi li se naš 5-A sportom? I kako?
Djeca podižu ruke, naizmjence nazivaju sportove kojima se bave.
Pa, dobro, da zapišemo da je fizička forma odlična! Ali što se tiče hobija, opet pitanje. Šta su hobiji 5-A?
Djeca naizmjence govore o svojim hobijima. Učenik piše.
Pa, hajde da to zapišemo: hobiji su raznovrsni.
A kakav je naš 5-A sa disciplinom - dobar ili loš?
Djeca (u horu). U redu.
Učenik zapisuje riječ “dobar” nasuprot stavke “Disciplina”.
Profesorica razredne nastave. Ali što se studija tiče, tu još ne možemo ništa napisati. Zašto mislite?
Primjeri odgovora djece:
Jer 5-A razred se još nije pokazao u školi.
Jer u 5. razredu još nismo imali ni jedan čas.
Jer ne znamo ni kakve ćemo lekcije imati u 5. razredu.
Profesorica razredne nastave. Da, 5-A će nam otkriti ovu tajnu na kraju prve četvrtine. Nadamo se da je odgovor broj...
Djeca (u horu). Pet! Četiri!
Profesorica razredne nastave. Najjednostavnije je da zapišete karakterne osobine našeg 5-A. Šta je on? Ljubazan, veseo, druželjubiv, poslušan, aktivan, pošten, pouzdan, pametan, jak, hrabar, pošten?
Djeca naizmjence odgovaraju. Učenik piše.
Da bismo dovršili portret našeg razreda, ostaje samo nacrtati lice. Šta mislite kakvo mu je lice?
Učiteljica pokazuje dva lica, nasmijana i tužna. Djeca biraju jednu od njih. Učitelj pričvršćuje lice koje su djeca odabrala na figuru nacrtanu na papiru.
Tako smo dobili portret 5. razreda. Hvala svima koji su pomogli u izradi ovog portreta. Sada ćemo ga objesiti na istaknuto mjesto i pažljivo ćemo promatrati kako naš 5-A raste, postaje pametniji, jači, bolji. I mi ćemo rasti s tim.
Ali nećemo samo rasti, već ćemo putovati Planetom znanja. Da se ne biste izgubili na ovoj planeti, nacrtao sam vam njenu mapu. (Pokazuje na tablu.)
Nazivi predmeta koji će se izučavati u 5. razredu ispisani su na tabli po slučajnom redoslijedu.
IV. Igra "Putovanje kroz planetu znanja"
Profesorica razredne nastave. Pred vama je mapa Planete znanja 5. razreda. Na ovoj mapi postoje zemlje i kontinenti koje ste već upoznati, a tu su i neistražene teritorije o kojima tek treba da saznate. Sada ćemo putovati kroz sve kontinente Planete znanja. Ali imena kontinenata na koje ćemo ići su kodirana u zagonetkama. Zagonetke se nalaze u ovoj škrinji (pokazuje kutiju u kojoj su presavijene bilješke sa zagonetkama.)
Na put će ići 3 tima, koje ću nazvati po imenima prvih sovjetskih svemirskih raketa (u redovima): Sojuz, Buran i Vostok.
Predstavnici timova moraju izaći do table, izvaditi zagonetke iz kutije, pročitati zagonetku naglas, pogoditi je uz pomoć svojih drugova i precrtati naziv kontinenta koji su posjetili.
Za tačne odgovore svi će dobiti nagrade!
Učenici naizmjenično dolaze do table, izvlače bilješke sa zagonetkama iz kutije, čitaju, djeca složno pogađaju nazive školskih predmeta. Učesnici koji su pročitali zagonetke i dali odgovore, razredni starešina nagrađuje.
Zagonetke o školskim predmetima (za kartice):
1. Neophodna nauka, gimnastika za um,
Naučit ćemo razmišljati ... (matematika).
2. Svaki učenik će biti pismen,
Ako zna... (ruski).
3. Želite li putovati u različite zemlje,
Morate znati jezik ... (strani).
4. Volite knjige, unaprijedite kulturu
U učionici smo ... (književnost).
5. Ojačati mišiće za svu djecu... (tjelesni odgoj).
6. Pronalaženje vokalnih talenata kod djece,
Trebaju im lekcije... (muzika).
7. Slike, boje, visoka osećanja -
Poučava ... (likovna umjetnost).
8. Zanat, rad sa strašću -
Za to vam treba ... (radna obuka).
9. Daleka prošlost, drevne teritorije -
Ovo proučava nauka ... (istorija).
10. Poznavati i voljeti prirodu će naučiti ... (prirodna istorija),
Biti građanin Rusije će učiti ... (civilne nauke).
11. U svijet kompjuterske gramatike
Uče nas lekcije ... (informatika).
12. Političari i istoričari mogu lijepo govoriti,
I nauka ovo uči... (retorika).
Profesorica razredne nastave. Pa, naše putovanje je završeno. Među timovima nema gubitnika, što znači da na Planeti znanja nema više bijelih mrlja. A da bismo dublje istražili svaki kontinent, pred nama je cijela školska godina!
V. Igra "Mikrofon"
Razrednik (gleda u tablu). O, koliko različitih složenih predmeta i nauka! Zašto ih treba učiti? Pozivam vas da razmislite i odgovorite na ovo pitanje u jednoj rečenici: „Zašto je potrebno učiti školske predmete?“
Pozivam po tri predstavnika iz svakog tima pred mikrofon. kako ih zovemo? Sećaš se? Kao prvi sovjetski svemirski brodovi.
Djeca (u horu). Vostok, Sojuz, Buran. Profesorica razredne nastave. U redu. Molim vas, možete otići do mikrofona i odgovoriti na pitanje: „Zašto je potrebno učiti školske predmete?“
Djeca naizmjence uzimaju mikrofon, izgovaraju jednu po jednu rečenicu.
Primjeri odgovora djece:
Da steknete znanje i iskoristite svoju zemlju.
Da razvijamo svoje sposobnosti i talente za koje još i ne znamo.
Da znaju kako se ponašati u teškim situacijama.
Da znaju kako su ljudi živjeli u davna vremena, a ne da ponavljaju svoje greške danas.
Otkriti tajne prirode i iskoristiti ih za dobrobit cijelog čovječanstva.
Napraviti pametne mašine koje će ljudima olakšati posao.
Da bi došli do naučnih otkrića, postali nobelovci i veličali svoju zemlju.
Da biste bili razumni, naučite da rasuđujete i ne radite gluposti.
Sakupiti svo znanje i prenijeti ga našim potomcima. Profesorica razredne nastave. Čini mi se da sve ekipe
odgovorio kratko i ubedljivo. Dakle, svi njihovi predstavnici zaslužuju ohrabrenje.
Razrednik daje poklone učesnicima.
VI. Kompozicija-minijatura "Čestitam"
Profesorica razredne nastave. Nešto je našem 5-A dosadilo na pozornici. A danas mu je rođendan. I još mu niko nije čestitao. Šta ćemo da radimo?
Djeca daju svoje prijedloge.
Sastavimo naše 5-A čestitke za početak školske godine i želje za cijelu godinu. Imate papire na stolovima. Za samo 5 minuta, dok svira muzika, pokušajte smisliti nekoliko toplih i lijepih riječi za 5-A. Tada možete doći i priložiti čestitke na portret našeg razreda. A autori najboljih čestitki će dobiti i nagrade!
Uključuje se vesela muzika. Djeca sastavljaju čestitke. Zatim se pričvršćuju ljepljivom trakom na "portret" 5-A.
Učitelj dodjeljuje nagrade djeci.
VII. Sumiranje (razmišljanje)
Profesorica razredne nastave. Dakle, momci, naš svečani čas posvećen Danu znanja je završen. Šta ste naučili tokom ovog časa?
Primjeri odgovora djece:
Sreli smo se sa razrednicom.
Saznali smo koje ćemo predmete učiti u 5. razredu.
Saznali smo nazive sovjetskih projektila.
Naučili smo zašto je potrebno predavati školske nauke.
Profesorica razredne nastave. čega se sjećaš?
Primjeri odgovora djece:
Kako smo napravili portret našeg razreda.
Kako smo pogodili nazive školskih predmeta.
Dok smo pisali čestitke našem razredu.
VIII. Školski obilazak. Upoznavanje učionica
Profesorica razredne nastave. Ljudi, na tabli vidite raspored časova za danas. To znači da se naše putovanje kroz Planetu znanja nastavlja. Samo stvarno. Svaki čas će se održavati u posebnoj učionici. Sada ćemo se upoznati sa lokacijom ovih ureda. Da bismo to uradili, izaći ćemo iz učionice i proći kroz školu. Niste zaboravili da je naš 5-A poslušan, kulturan i pristojan. Stoga će se ponašati dobro, neće praviti buku - uostalom, u školi postoje lekcije!
Učiteljica izvodi djecu iz učionice i šeta po školi pokazujući gdje su učionice.
Nathan je mlad, naivan i iznenađujuće savitljiv. Dozvoljava da ga jebaju bilo gdje i bilo kada. I Colin to rado ponavlja iznova i iznova nakon prvog.
Nathan nije nimalo ogorčen kada se na sljedećoj neformalnoj školskoj zabavi Colin sruši u toalet za njim i bez ikakvih preduslova nagne ga nad lavabo, ulazi brzo i ne mareći za pripremu. Colin diše brzo, često, ne otvara potpuno pijane kapke i mlati se pohlepno i sebično. Gura se za vrat i usisava miris, a zatim bučno izdahne uz blažen osmeh, kao da je popušio poslednji džoint najboljeg šmala na svetu.
Skoro je zadovoljan. Skoro. Dok ne otvori oči.
Skoro opipljivo razočaranje ga presijeca. Iluzija se brzo i neizbježno raspada, opet zatvorene oči neće pomoći. I Colin odlazi ne objašnjavajući ništa.
Ne, on se ne oseća krivim. Dovoljno je sebičan za to. Ali kada mu Nathan dođe i ponudi da nastavi, Colin je iznenađen. Dragi omega, mlađi brat njegovog školskog druga Geralda, nije nimalo ljut i ne izaziva bijes, samo se nježno uhvati za ruke i kune se da nije bio protiv i općenito mu se Colin sviđa već dugo. Posjete Kavanaghovoj kući više nisu samo za Geralda.
Tokom šest mjeseci njegove veze s Nathanom, njegov brat je sve više ispred Colina u rastu. A Colin se sve češće hvata kako gleda u udubljenje svojih ključnih kostiju. Svako malo gleda kako nervozno guta na kontrolnoj. Prvi put je primijetio da ga Geraldov miris pali prije godinu dana na lacrosseu. Gleda, u neverici, u potiljak davno poznatog alfe u redu da servira loptu. A onda, ne čekajući svoj red, trči u toalet i povraća sve dok ne zazvoni, puštajući učenike iz zagušljivih učionica.
Alfa imati odnos sa alfom nije prihvaćena. A Colin je navikao da bude kao i svi ostali, samo malo hladniji. Uhvatite požudne poglede omega i zavidnih drugih alfa.
I tako Colin pronalazi rješenje. Nathan miriše iznenađujuće slično, možda malo mekše, ali razlika nije bitna. Izvana se razlikuju: Geraldova kosa nije nimalo kovrčava, za razliku od Nathana, a tamniji, čak i gotovo crni, puni obrazi također se ne primjećuju, a Nathan ne nosi naočale. Ali to se ne vidi u mraku. Nathan je godinu dana mlađi, ali već aktivno uči užitke seksa. Jedina šteta je što je previše slab, morate zatvoriti oči, duboko udahnuti i što manje ga maziti po tijelu. Razlika se očituje i Colin misli da se Gerald ne bi tako migoljio.
Na božićnoj večeri u Kavanovoj kući, Nathan privlači stolicu što je bliže moguće i stišće mu ruku. A kada porodica priča o piti s limunom, on klizi rukom duž Kolinove butine i, pipajući izbočinu njegovih izbočenih pantalona, zadovoljno se smiješi. Samo razlog nije u njemu, već u njegovom starijem bratu, koji sjedi s druge strane Kolina. Colin nehotice izdahne, sretan što mu niko ne može pročitati misli.
Nathan stenje na bratovom krevetu. Njegov vlastiti krevet je samo dva metra udaljen u istoj prostoriji. Ali Colin ga, kao slučajno, gura upravo na ovaj. Nathan se počeše po leđima, a Colin zabije glavu u jastuk, konačno tačno udahnuvši to miris. Um mu se zamagljuje i on zamalo šapće "Džerald", ali ponovo preuzima kontrolu na vreme. Nathana nije šteta: on uživa, ali ne možeš izgorjeti od riječi.
Colin se noću zaključava u spavaću sobu i slaže fotografije nasumičnim redoslijedom. Oni sa Geraldom uvijek su prvi. Oči mu lutaju po njima, pokušavajući dovršiti lanac prijelaza od Geralda do Nathana, ne samo na sjajnom papiru, već i u njegovoj glavi. Biće bolje ovako. Ali još ne izlazi.
On jebe Nathana u Geraldovom autu, gdje njegov miris nikad ne nestaje, gubi se u presvlakama i miješa se s osvježivačem koji visi s tanke elastične trake vezane za retrovizor. Auto je usko. A Nathan je bio prepun. Navikneš se na nešto, ali nešto se rastegne, poput onih prokletih dana kada ne možeš podnijeti da izbaciš omražene misli iz glave. Kao sat za satom u razredu, vrlo blizu Geralda kada je njegov brat bio van domašaja.
Colin se moli bogovima u koje prije nije vjerovao i zahvaljuje im što postoji barem neki način da se oslobodi stresa.
Nathan oblači bratov džemper, crven i visi s mršavog tijela omege. A Colinu se čini da on sve zna i provocira namjerno. Ali Nathanove oči su sjajne, mirne, bez i najmanjeg znaka ljubomore ili ljutnje. Colin ga zgrabi ispod pazuha, smjesti ga na prozorsku dasku i ponovo se vrati u normalu, prislonivši obraz na šiljasto krzno. Sve je uredu.
Na ceremoniji dodjele diploma studenti se prozivaju nasumično, a Colin odlazi po svjedodžbu za Geraldom, trudeći se da ne udiše zrak dok prolazi pored njega, već kao da automatski usisava aromu koja nagriza prisebnost. Diže se na scenu blijed i kiselkastog lica. Drugovi iz razreda misle da su zabrinuti za ocjene ili se boje da će sva njegova hladnokrvnost ostati na pragu škole. Neki se čak ushićeno nadaju potonjem. Nathan maše dok snima ceremoniju, a Colin misli da će ga za nekoliko minuta prikovati u stražnjoj sobi. Da, nije bitno gde, samo da izbacim ove gluposti iz glave.
Sada posjete Kavanaghovoj kući pripadaju gotovo isključivo Nathanu. Gerald je strastven za koledž, pa čak i kada ga Colin nađe kod kuće, uronjen je u svoje bilješke i samo nakratko pozdravi.
U drugom semestru, Gerald donosi omegu da upozna svoju porodicu. Colin je također pozvan i gleda ga malo više nego što je želio. Omega je umjereno društven, inteligentan i radoznao - upravo ono što Geraldu treba. I iskreno se raduje što se njegovoj porodici dopao njegov izbor.
Colin nije ljubomoran: nikada nije želio vezu s alfom. Takvi odnosi. Namažite podebljani krst na čelu, što ukazuje na gubitnika koji pati od istospolne ljubavi. Nije za njega. Ali ovaj miris doziva u sebe, kao sirene na stijenama, o koje su se mornari srušili. I zaista ne želim da se srušim.
Colin ide u teretanu i tvrdoglavo pritiska šipke, isključujući misli koje ga iscrpljuju gore od treninga s utezima.
Čini se kao glupa opsesija kojoj je on sam dozvolio da obavi svoj život. I pravi grimasu na svoj odraz, iritira se. Ali opet dolazi u Kavanovu kuću.
Više ga ne zanimaju tračevi bivših školskih drugara, ali i dalje želi da ostane isti kao i svi ostali.
Tako da smo oboje našli ono što nam treba - smiješi se Gerald na jednom od ljetnih druženja, kada Kolin okrene komad mesa na roštilju. Iznenadna emocija na njegovom obično hladnom, neprobojnom licu natjera Kolina da nehotice zuri. Udarajući o vruću rešetku, on psuje, salo se cijedi na ugalj i šišti. Colin se grleno ceri, a mišići koji vire ispod košulja kratkih rukava napinju se od čvrsto stisnutih šaka. Nathan gleda izdaleka, ali opet ništa ne pita. A Colin krije prste u kosi sa obrijanim sljepoočnicama, baš kao u školi, da smiri malu drhtavicu. Ljut je svojom reakcijom. Toliko je bijesno da se uveče napije u uložak, a Nathan mora da ga vuče kući.
Colin se nikada ne izvinjava, samo nastavlja da jebe Nathana na bratovom krevetu, što postepeno počinje gubiti svoj šarm. Miris Geraldove omege zadržava se na posteljini, izjeda presvlake automobila, kožu na volanu. Čak ni osvježivač zraka na retrovizoru ne miriše na alpske livade, već na ovog sveprisutnog tipa. Miris je posvuda, a Colin se osjeća kao da je i sam bio zasićen njime.
Život nam omogućava da se krećemo nasumičnim redoslijedom, gradeći našu igru na šahovskoj tabli, a finale se ne može predvidjeti.
Colin šalje zagušljivu opsesiju u pakao. Začudo, Nathan ne plače, ne postavlja pitanja i ne grebe po prozoru noću. Postaje sasvim jasno: znao je. Nisam samo nagađao, nego sam sigurno znao i namjerno ušao u takvu vezu. Ali Colina i dalje nije briga.
On sebe smatra omegom: neverovatno bezukusno. Sterilno, poput stakla vaze na stolu u njihovom novom domu, ne uzbuđuje receptore, ne izvrće se naopačke. Postaje neophodan izlaz. Samo je tiho oko njega. On nije. Ali Colin to voli.
Izbori, svjesni i ne sasvim, tkaju mrežu sa prekrasnim šarama, ljepljivim, primamljivim, ali koji se možda neće svima svidjeti. Glavna stvar je da se ne zbunite u tome, ako to ne želite.
Percivalov dvorac imao je kvadratni oblik. Jednom je Percival odlučio proširiti svoje posjede i dvorcu je dodao kvadratno proširenje. Kao rezultat toga, obim dvorca se povećao za 10%. Za koji procenat se povećala površina dvorca?
odgovor: 4%.
Rješenje. Neka bude širina dvorca a, a širina proširenja - b. Tada je originalni opseg 4 a, a rezultirajući obim je 4 a+ 2b.
1, 1 · 4a= 4a+ 2b⇔ b= 0, 2a.
Tako je površina dvorca postala jednaka a 2 +(0, 2a) 2 = 1, 04a 2, odnosno površina je povećana za 4%.
Kriterijumi.
Strana produžetka je ispravno pronađena, ali dalje rješenje nedostaje ili je netačno: 4 boda.
Zadatak 2. (7 bodova)
To je poznato a 2 + b= b 2 + c= c 2 + a. Koje vrijednosti može poprimiti izraz? a(a 2 — b 2) + b(b 2 — c 2) + c(c 2 — a 2)?
odgovor: 0.
Rješenje. Imajte na umu da je jednakost a 2 + b= b 2 + c može se napisati kao:
a 2 — b 2 = c— b. Slično, imamo b 2 — c 2 = a— c, c 2 — a 2 = b— a. Zamjenom ovih jednakosti u željene izraze dobijamo to
a(a 2 — b 2) + b(b 2 — c 2) + c(c 2 — a 2) = a(c— b) + b(a— c) + c(b— a) = 0 .
Kriterijumi. Svaki tačan odgovor: 7 bodova.
Daje se samo tačan odgovor: 0 bodova.
Zadatak 3. (7 bodova)
Brojevi od 1 do 2017 ispisani su na tabli po slučajnom redoslijedu. Dva broja se mogu zamijeniti ako je jedan od njih djeljiv drugim. Dokažite da se nakon nekoliko takvih operacija brojevi mogu poredati u rastućem redoslijedu.
Rješenje. Pokaži mi kako da stavim broj k≠ 1 on k th place. Pusti k-mesto je broj n. Hajde da se prvo promenimo n od 1, a zatim promijenite k od 1. Zatim k zaista će se uklopiti.
Dosljedno stavljajući brojeve 2017, 2016,. . . , stavićemo sve brojeve uzlaznim redom.
Kriterijumi. Bilo koji ispravan algoritam radnji: 7 bodova.
Na primjeru malog broja brojeva (na primjer, za tri ili četiri), pokazano je kako se brojevi rasporede u rastućem redoslijedu: 0 bodova.
Zadatak 4. (7 bodova)
Uporedite uglove BAC I CED(vidi sliku). Obrazložite svoj odgovor.
odgovor: ovi uglovi su jednaki.
Rješenje. Neka bude K je baza ispuštene okomice B na AC.
Razmotrite trougloveABK I EDC. Obojica su pravougaona, a kraci su im povezani kao 1:3. To znači da su tangente označenih uglova 1/3, odnosno da su i sami uglovi jednaki.
Kriterijumi. Svaki tačan odgovor: 7 bodova.
Daje se samo tačan odgovor: 0 bodova.
Zadatak 5. (7 bodova)
Ljoša nije bio previše lijen da izračuna iznos
i zapiši to na tabli. Koliko puta se broj 1 pojavljuje u konačnom rezultatu?
odgovor: 2013.
Rješenje. Transformirajmo izraz:
Kriterijumi. Svaki tačan odgovor: 7 bodova.
Pokazano je da je početni zbir jednak
ali daljeg rješenja nema ili je u njemu dozvoljena aritmetička greška: 5 bodova.
Daje se samo tačan odgovor: 1 bod.
Zadatak 6. (7 bodova)
Nekoliko mudraca postrojilo se u koloni. Svi su nosili ili crne ili bijele kape. Ispostavilo se da među bilo kojih 10 mudraca u nizu ima podjednako mudraca s bijelim i crnim kapama, a među bilo kojih 12 uzastopnih mudraca - ne podjednako. Koji je najveći broj mudraca koji bi mogao postojati?
odgovor: 15 mudraca.
Rješenje. Dokažimo da ne može biti više od 15 mudraca. Pretpostavimo suprotno, neka bude najmanje 16 mudraca. Pobrojimo sve mudrace redom. Uzmite u obzir devet uzastopnih mudraca. Ako im se doda jedan od dva susjedna mudraca, onda će među njima biti isti broj mudraca s bijelim i crnim kapama, dakle, svi mudraci između kojih je 9 mudraca nose kape iste boje.
Bez gubitka općenitosti, prvi mudrac nosi crnu kapu. Zatim jedanaesti mudrac takođe nosi crnu kapu. Ako dvanaesti mudar nosi bijelu kapu, onda će među prvih dvanaest mudraca biti podjednako bijele i crne kape. Dakle, dvanaesti mudrac nosi crnu kapu, od koje i drugi mudrac nosi crnu kapu. Nakon što smo na sličan način ispitali mudrace od drugog do jedanaestog, dobili smo da mudraci 3 i 13 nose crne kape. Uzimajući u obzir mudrace od trećeg do dvanaestog, dobijamo da mudraci 4 i 14 nose crne kape. Slično, mudraci 5 i 15, 6 i 16 nose crne kape. Ali onda, među prvih deset mudraca, prvih šest ima crne kape, tako da će biti još crnih kapa. Kontradikcija.
Može biti 15 mudraca: neka prvih 5 i zadnjih 5 mudraca nose crne kape, a preostalih 5 bijele. Lako je shvatiti da će tada uslov zadatka biti ispunjen.
Kriterijumi. Svaki tačan odgovor: 7 bodova.
Dokazano je da ne može biti više od 15 mudraca, ali nije dat primjer kako staviti kape na 15 mudraca: 6 bodova.
Dokazano je da dva mudraca, između kojih je 9 mudraca, nose kape iste boje, ali dalje rezonovanje nedostaje ili je pogrešno: 2 boda.
Naveden je primjer rasporeda od 15 mudraca koji zadovoljava uslov, ali nije dokazano da se ne može staviti više mudraca: 1 bod.
Daje se samo tačan odgovor: 0 bodova.
U rješavanju problema o konačnim nizovima cijelih brojeva, slova, žetona, njihovom postavljanju u krug ili u tablicu, kombiniraju se različita razmatranja vezana za djeljivost, kombinatoriku i procjene pomoću indukcije.
Problemi sa rešenjima
1. Sto različitih žetona je postavljeno u jedan red. Bilo koja dva čipa koja prođu kroz jedan mogu se zamijeniti. Hoće li biti moguće preurediti čipove obrnutim redoslijedom?
Pošto je dozvoljena zamjena samo čipova koji su kroz jedan, čip koji je na parnom mjestu može biti samo na ravnom mjestu, pa na primjer stoti čip ne može postati prvi.
Odgovor: neće.
2. Data je tabela 4 sa 4 ćelije, u čijim je pojedinim ćelijama stavljena zvjezdica. Pokažite da je moguće rasporediti sedam zvjezdica na način da ako su bilo koja dva reda i bilo koje dvije kolone ove tabele precrtane, preostale ćelije bi uvijek imale barem jednu zvjezdicu. Dokažite da ako ima manje od sedam zvjezdica, tada je uvijek moguće precrtati dva reda i dvije kolone na način da sve preostale ćelije budu prazne.
Jasno je da raspored sedam zvijezda prikazan na donjoj slici zadovoljava uslov problema.
Ako ima šest ili manje zvijezda, tada postoje dvije kolone, od kojih svaka ne sadrži više od jedne zvijezde. Prekrižite preostale dvije kolone. Nakon toga neće ostati više od dvije zvjezdice, koje se mogu precrtati zajedno s linijama u kojima stoje.
Komentar. Bilo bi zanimljivo istražiti opšti analogni problem: koji je najmanji broj zvjezdica koji se može rasporediti m po n u tabeli tako da barem jedna zvjezdica ostane nakon brisanja bilo kojih k kolona i t redova. (Ovde su k, t, m, n prirodni brojevi, k
3. Dat je običan 45-gon. Da li je moguće poredati brojeve 0, 1, ..., 9 na njegovim vrhovima tako da za bilo koji par različitih brojeva postoji strana čiji su krajevi numerisani ovim brojevima?
Cifra a čini 9 parova (sa svakim od ostalih devet cifara). Da bi svi ovi parovi pronašli stranu 45-ugla, numerisanu odgovarajućim brojevima, potrebno je staviti a u najmanje pet njegovih vrhova. Pošto ima samo deset brojeva, potrebno je 50 mjesta za njihovo postavljanje. Stoga je postavljanje cifara potrebnih u uslov nemoguće.
Komentar. S druge strane, ako je n paran, onda se brojevi 0, 1, 2, ... , n mogu postaviti na vrhove pravilnog (n+1)(n+2)/2-ugla u takvom način da za svaki par ovih brojeva postoji strana sa odgovarajućim brojevima na krajevima.
Odgovor: ne možete.
4. a) Da li je moguće napisati 25 brojeva u red tako da je zbir bilo koja tri susjedna broja pozitivan, a zbir svih brojeva negativan?
b) Jedno lice je svakog mjeseca evidentiralo svoje prihode i rashode. Da li je moguće da za bilo kojih pet uzastopnih mjeseci njegovi ukupni rashodi premašuju njegove prihode, a za cijelu godinu njegovi prihodi premašuju njegove rashode?
a) Evo primjera:
–9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9, 5, 5, –9.
Ovdje je šesnaest brojeva 5, a devet brojeva je -9. Očigledno, zbir bilo koja tri susjedna broja je 1, a zbir svih 25 brojeva je -1.
Odgovor: možete.
b) Evo primjera:
2, 2, 2, 2, –9, 2, 2, 2, 2, –9, 2, 2.
Ovdje se redom (uzimajući u obzir znak) ispisuju razlike između prihoda i rashoda (bilansa) osobe za svaki mjesec u godini. Vidimo da je zbir bilo kojih pet uzastopnih brojeva ispisanog lanca negativan, jednak -1, a općenito za godinu je zbir svih brojeva pozitivan, jednak 2.
Odgovor: možete.
Komentar. Generalizacija razmatranih problema: n brojeva je napisano u liniji, dok je zbir svih k susednih brojeva pozitivan (negativan); može li zbir svih n brojeva biti negativan (pozitivan) u takvoj situaciji? Odgovor je sljedeći: ako je n višekratnik k, onda to ne može biti, a ako n nije djeljivo sa k, onda može. U zadatku a) n = 25, k = 3, u zadatku b) n = 12, k = 5.
5. Da li je moguće postaviti brojeve u krug
a) 0, 1, 2, ... , 9 tako da se bilo koja dva susjeda razlikuju za 3, 4 ili 5;
b) 1, 2, 3, ... , 13 tako da se bilo koja dva susjedna broja razlikuju za 3, 4 ili 5?
a) Imajte na umu da dva broja 0, 1, 7, 8, 9 ne mogu biti susjedna. To znači da moraju stajati kroz jedan, a preostalih pet brojeva - između njih. Međutim, broj 2 ne može biti ni na jednom od pet preostalih mjesta, jer samo 7 od ispisanih brojeva može stajati pored njega.
Odgovor: ne možete.
b) Nijedna dva broja 1, 2, 3, 11, 12, 13 ne mogu stajati jedan pored drugog. Prema tome, preostalih sedam brojeva mora biti postavljeno na šest razmaka između njih. U jednom od ovih intervala biće dva broja od preostalih, u ostalim jedan po jedan. Razmotrimo sada brojeve 4 i 10. Samo 1 može biti pored 4, a samo 13 može biti pored 10. Tada 4 i 10 moraju biti jedan pored drugog, ali to je u suprotnosti sa uslovom.
Odgovor: ne možete.
6. a) Dokažite da se brojevi 1, 2, 3, ... , 32 mogu poredati u takvom redoslijedu da ni za jedna dva broja njihov poluzbir nije jednak bilo kojem od brojeva postavljenih između njih.
b) Da li je moguće rasporediti brojeve 1, 2, 3, ..., 100 takvim redoslijedom da ni za jedna dva broja njihov poluzbir nije jednak bilo kojem od brojeva koji se nalaze između njih?
a) Da bismo dobili traženi raspored, u jednu polovinu reda upisujemo parne brojeve, a u drugu neparne brojeve. U ovom slučaju, poluzbir bilo koja dva broja iz različitih polovica neće biti cijeli broj i stoga se ne nalazi između njih. Zatim ćemo uraditi sličan postupak sa prvom i drugom polovinom: svaku od njih podijelimo na dvije četvrtine i u njih stavimo brojeve oblika 4k, 4k+2, 4k+1 i 4k+3: u ovom slučaju, poluzbir brojeva iz različitih četvrtina u lijevoj polovini bit će neparan, a na desnoj - paran i stoga se ne nalazi između njih, tada svaku četvrtinu dijelimo na pola, a uloga "parnih" i "neparnih" brojevi će se sada igrati brojevima s različitim ostacima nakon dijeljenja sa 8 i tako dalje. Kao rezultat, ispostavit će se sljedeći aranžman:
8, 24, 16, 32, 4, 20, 12, 28, 6, 22, 14, 30, 2, 18, 10, 26,
7, 23, 15, 31, 3, 19, 11, 27, 5, 21, 13, 29, 1, 17, 9, 25.
Dokaz je gotov.
b) Da bi se dokazala ova tvrdnja za bilo koji broj N brojeva, dovoljno je dokazati je za N = 2 n (dodatni brojevi se mogu odbaciti; na primjer, iz rasporeda od 128 = 2 7 brojeva, brojevi veći od 100 može se odbaciti i može se dobiti željeni raspored od N = 100 brojeva). Glavna ideja je već prikazana u rješenju a); formalnije i ukratko, dokaz se može navesti kao indukcija na n.
Za n = 1 i n = 2, izjava je očigledna: aranžmani (1, 2), (2, 4, 1, 3) su prikladni.
Ako je a 1 , a 2 , ... , a N raspored N = 2 n brojeva 1, 2, ... , N koji zadovoljava uvjet, tada
2a 1 , 2a 2 , ... , 2a N , 2a 1 – 1, 2a 2 – 1, ... , 2a N – 1
biće raspored 2N = 2 n+1 brojeva 1, 2, ... , 2N, takođe, kao što je lako videti, zadovoljava sledeći uslov: za brojeve iz različitih polovina - iz razloga parnosti, za brojeve iz jedne polovina - po induktivnoj pretpostavci.
Odgovor: možete.
7. Koji je najmanji broj žetona koji treba da stavite na polja šahovske table
a) 8 sa 8 ćelija,
b) n sa n ćelija,
tako da na svakoj liniji koja prolazi kroz centar proizvoljnog polja i paralelna sa bilo kojom stranom ili dijagonalom ploče, postoji barem jedan čip? (Čipovi se postavljaju u središta polja.)
Raspored takvog broja žetona je jasan sa slika 1 i 2. Dokaz da se manji broj ne može izostaviti je jednostavniji za čak n; na svakoj pravoj liniji paralelnoj s jednom dijagonalom, trebao bi biti čip, a na samoj dijagonali - dva (u uglovima).
Još jedan dokaz: na svakoj liniji prikazanoj na slikama isprekidanom linijom trebao bi biti čip. Upravo je ovaj dokaz preinačen za slučaj neparnog n (slika 2): pored 2n–2 isprekidane linije (svaka sa žetonom), treba uzeti u obzir još šest linija koje povezuju centre ćelija A, B, C, D; morate potrošiti još najmanje 3 čipa na njih.
Odgovor: a) 16 čipova sa n = 8; b) 2n žetona za parno n, 2n+1 za neparno n.
8. Brojevi 1, 2, 3, ..., 63, 64 upisani su slučajnim redoslijedom u ćelije šahovske ploče, po jedan u svakoj ćeliji. Za jedno pitanje, koje označava bilo koji skup polja, možete saznati skup brojeva upisanih u ova polja. Dokažite da se za šest takvih pitanja može saznati raspodjela brojeva od 1 do 64 po ćelijama šahovske ploče.
Formuliramo šest pitanja, čiji odgovori nam omogućavaju da saznamo raspodjelu brojeva od 1 do 64 po ćelijama šahovske ploče.
Neka je M i skup svih brojeva zapisanih u ćelijama 1. horizontale ploče, gdje je i = 1, 2, ... , 8. Prvo, ukazujemo na tri pitanja koja nam omogućavaju da odredimo distribuciju brojeva duž horizontala, odnosno odrediti skupove M 1 , M 2 , ... , M 8 .
Prvo pitanje: "Imenujte skup A svih brojeva zapisanih u ćelijama 1., 2., 3., 4. horizontale table - unija skupova M 1, M 2, M 3, M 4".
Imajte na umu da nakon odgovora na ovo pitanje ne postaje poznat samo skup A, već i skup A' svih brojeva zapisanih u ćelijama 5., 6., 7., 8. horizontale ploče - unija skupova M 5 , M 6 , M 7 , M 8 .
Drugo pitanje: "Imenujte skup B svih brojeva zapisanih u ćelijama 1., 2., 5., 6. horizontale table - unija skupova M 1, M 2, M 5, M 6".
Nakon odgovora na ovo pitanje postaje poznat skup B' svih brojeva upisanih u ćelije 3., 4., 7., 8. horizontale table, što je unija skupova M 3 , M 4 , M 7 , M 8 .
Treće pitanje: "Imenujte skup C svih brojeva zapisanih u ćelijama 1., 3., 5., 7. horizontale table - unija skupova M 1, M 3, M 5, M 7".
Ako je skup C poznat, onda je, očigledno, poznat i skup C’, koji je unija skupova M 2 , M 4 , M 6 , M 8 .
Poznavajući skupove A, B, C (i, prema tome, skupove A’, B’, C’), možete pronaći bilo koji od skupova M 1 , M 2 , ... , M 8 . Zaista, skup M 1 je zajednički dio skupova A, B, C; skup M 2 je zajednički dio skupova A, B, C '; skup M 3 je zajednički dio skupova A, B', C; skup M 4 je zajednički dio skupova A, B', C', itd.
Poznavajući skupove M 1 , M 2 , ... , M 8 i skupove N 1 , N 2 , ... , N 8 , možete odrediti broj u bilo kojoj ćeliji šahovske ploče. Zaista, u ćeliji na presjeku i-te horizontale i j-te vertikale nalazi se broj koji je zajednički skupovima M i i N j .
9. Postoji li 10 različitih cijelih brojeva tako da su svi zbroji sastavljeni od njih 9 tačni kvadrati?
Označite željene brojeve i njihov zbir, redom, kroz x 1 , x 2 , ... , x 10 i S. Tada
S - x 1 \u003d n 1 2,
S - x 2 \u003d n 2 2,
S - x 10 \u003d n 10 2,
gdje je n i prirodan broj. Dakle, S = (n 1 2 + n 2 2 + … + n 10 2)/9. Neka je n k = 3k (k =1, ... , 10). Tada je zbir kvadrata djeljiv sa 9. Jasno je da brojevi x i = S – n i 2 zadovoljavaju zahtjeve zadatka. Na primjer,
x 1 + x 2 + ... + x 9 = 9S - (n 1 2 + n 2 2 + ... + n 9 2) \u003d n 10 2.
Odgovor: da, postoje.
10. Pravilni šestougao je podeljen na 24 trougla. Na svih 19 čvorova na slici prikazanoj na slici
ispisani različiti brojevi. Dokažite da među 24 trougla particije postoji najmanje 7 trouglova na čijim vrhovima su trojke brojeva ispisane rastućim redoslijedom, ako brojimo suprotno od kazaljke na satu.
Neka su brojevi a i b (a
Ako se brojevi zapisani na vrhovima određenog trougla povećavaju kada se vrte oko vrhova u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se unutar ovog trokuta nalaze tačno 2 strelice, ako u smjeru kazaljke na satu, onda točno jedna. Neka je n broj trouglova prvog tipa, drugog - m (n + m = 24). Ukupan broj N strelica unutar šesterokuta je
2n + m = 2n + 24 – n = n + 24.
Ostaje dokazati da je N > 31 (onda n = N – (n + m) > 31 – 24 = 7).
Strelice koje odgovaraju 30 unutrašnjih segmenata pregrade leže unutar šesterokuta. Od 12 preostalih strelica smještenih duž konture šesterokuta, barem jedna mora biti usmjerena prema unutra. (U suprotnom, obilazeći granicu šesterokuta u smjeru kazaljke na satu, svaki put bismo sreli sve veći broj.) Dakle, N > 30.
Dokaz je gotov.
Problemi bez rješenja
1. Koliki je maksimalni broj kraljeva koji se može postaviti na crna polja šahovske ploče 8 sa 8 tako da svaku damu pobijedi barem jedan od ostalih?
2. Da li je moguće nabrojati vrhove kocke različitim trocifrenim brojevima, sastavljenim od brojeva 1 i 2, tako da se brojevi bilo koja dva susjedna vrha razlikuju za najmanje dvije cifre?
3. Da li je moguće zapisati svih 12 brojeva 1, 2, ..., 12 u krug tako da za bilo koja tri uzastopna broja a, b, c, broj b 2 = a c bude djeljiv sa 13?
4. Na listu kariranog papira dimenzija 50 puta 50 ćelija, u svakoj ćeliji je napisan broj. Poznato je da se u svake četiri ćelije može prekriti lik oblika
zbir brojeva je 4. Dokažite da je svaki broj 1.
5. Na krajevima prečnika kruga nalaze se jedinice. Svaki od dobijenih polukrugova podijeljen je na pola, au njegovoj sredini je upisan zbir brojeva na krajevima (prvi korak). Zatim se svaki od četiri rezultirajuća luka podijeli na pola, a u njegovoj sredini se upisuje broj jednak zbiru brojeva na krajevima luka (drugi korak). Ova operacija se radi n puta. Pronađite zbir svih zapisanih brojeva.
