Ako je funkcija kontinuirana na nekom intervalu (zabranjeno ili otvoreno), onda to, kao što već znamo, znači da za bilo koju tačku u ovom intervalu za unaprijed određeni e> 0 postoji e> 0 takav da iz nejednakosti
x 0 - x< д
slijedi nejednakost
f(x 0) - f(x)<
tako da su samo tačke x također u ovom intervalu.
Dakle, jasno je da q zavisi od e. Osim toga, za različite tačke intervala, a isto je, i broj q se može pokazati drugačijim, tj. d zavisi ne samo od e, već i od x0. Zatim činjenica da je među vrijednostima za različite tačke interval i istovremeno je najmanja vrijednost d, to ne postoji. U prvom slučaju, za dato e > 0, može se naći vrijednost q zajednička za sve tačke intervala, a zatim kažu da je funkcija na intervalu koji se razmatra ravnomjerno kontinuirana.
Definicija. Za funkciju se kaže da je uniformno kontinuirana na datom intervalu ako je, prvo, definirana u svim točkama ovog intervala, i drugo, ako je tačan sljedeći uvjet: za svaki proizvoljno mali e> 0 možemo pridružiti takav e> 0, iz nejednakosti x 2 - x 1< д следует неравенство f(x 2) - f(x 1) < , причем х 1 и х 2 - два значения х, взятые в котором угодно месте промежутка.
Definicija uniformnog kontinuiteta funkcije implicira da je funkcija uniformno kontinuirana na nekom intervalu i kontinuirana u svakoj tački tog intervala. Obratna izjava, kao što je prikazano na primjeru funkcije na pivintervalu (0, 1], nije uvijek tačna.
Kantorova teorema (o uniformnom kontinuitetu funkcije). Ako je funkcija neprekidna na segmentu [a, b], onda je ravnomerno neprekidna na ovom segmentu.
Dokaz. Neka nam je proizvoljno mali broj e > 0. Podijelimo segment [a, b] na konačan broj m dijelova tako da oscilacije date kontinuirane funkcije na (a, b] na svakom od dobijenih dijelova segmentima
[a, c 1 ], [c 1 , c 2 ], [c 2 , c 3 ],…….., [c i , c i+1 ], ……., [a, b],
bio manji od. Pošto postoji konačan broj parcijalnih segmenata, onda su njihove dužine konačni brojevi, pa je među njima najmanji, koji označavamo sa d. Sada uzmite bilo koje dvije točke x 1 i x 2 na segmentu [a, b] tako da udaljenost između njih bude manja:
x 2 - x 1< д (95)
Takve dvije tačke mogu biti ili na istom privatnom segmentu ili na susjednim privatnim segmentima. U prvom slučaju
f(x 2) - f(x 1)< , (96)
U drugom slučaju, ako zajednički kraj susjednih privatnih segmenata označimo sa c i, dobićemo:
f(x 2) - f(x 1) =|f(x 2) - f(sa i)+ f(sa i) - f(x 1)|?,
f(x 2) - f(x 1)< (97)
Dakle, u prvom slučaju nejednakost (96) proizlazi iz nejednakosti (95), au drugom nejednakost (97) proizlazi iz nejednakosti (95). Teorema je dokazana.
(Ovo svojstvo vrijedi samo za segmente, a ne za intervale i poluintervale.)
Funkcija je kontinuirana na intervalu (0, a), ali nije ravnomjerno kontinuirana na njemu, jer postoji broj >0 takav da postoje vrijednosti x 1 i x 2 takve da je f(x 1) - f(x 2)>, - bilo koji broj pod uslovom da su x 1 i x 2 blizu nule.
Za funkciju $%f(x)$% se kaže da je kontinuirana u tački $%x_0$% ako je $$\forall\varepsilon>0\ \ \exists\delta(x_0,\varepsilon)>0:\ \forall x: |x -x_0|<\delta =>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$$ На словах это означает, что в точках $%x$% близких к $%x_0$% значения функции $%f(x)$% будет близко к $%f(x_0)$%.
A koja je razlika od redovnog kontinuiteta?>
Običan (tačkasti) kontinuitet je lokalno vlasništvo funkcije. To znači da se izvodi u određenoj tački. Imajte na umu da je definicija kontinuiteta funkcije data tačno u tački. Štaviše, znamo da postoje funkcije koje su kontinuirane ne samo u jednoj tački, već i na nekom skupu (na primjer, $%f(x)=\sin x$% je kontinuirano na $%\mathbb(R )$% ). Ovo ne poništava lokalnu prirodu kontinuiteta, to jest, jednostavno znači da ako provjerimo $%\sin x$% za kontinuitet u svakoj pojedinačnoj tački $%\mathbb(R)$%, onda će funkcija to zadovoljiti u ovoj specifičnoj tački. Pošto je u svakoj tački $%x_0$% skupa $%\mathbb(R)$% ispunjen uslov za kontinuitet funkcije $%\sin x$% u tački $%x_0$%, funkcija je naziva kontinuiranim na ovom skupu. Štaviše, kada smo proučavali kontinuitet funkcije u svakom odvojena tačka, mi (dato je $%\varepsilon$%) za ovu tačku uzeli smo $%\delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%. To jest, za različite tačke skupa (općenito govoreći) dobiće se različite delte. Dakle, postoji neujednačenost u svojstvu funkcije da je „kontinuirana“ u odnosu na deltu: grubo govoreći, u tački $%x_1$% funkcija je kontinuirana sa jednom deltom, au tački $%x_2$% - sa drugom deltom.
Kako razumjeti δ>0, ako je funkcija kontinuirana, onda za bilo koji epsilon mora postojati delta.>
To ste tačno primetili Ako funkcija je kontinuirana, tada za bilo koji epsilon postoji delta. Međutim, u praksi je situacija često ovakva - dobijete funkciju (na primjer, $%y=3+x$%) i poen (na primjer, $%x_0=2$%). Pitanje je da li će funkcija $%f$% biti kontinuirana u tački $%x_0$%? Kako to saznati? Većina osnovna metoda- ovo je da se provjeri da li je zadovoljena definicija kontinuiteta funkcije u nekoj tački. Naime, ja ću vam dati različite epsilon ($%\varepsilon=1,\space\varepsilon=1/2,\space\varepsilon=1/100$% i tako dalje), a vi ćete za mene izabrati takvu deltu u zavisnosti iz ovog epsilona i x-tačka su nula, da je definicija ispunjena. Ako se, nakon što vam nabrojim sve pozitivne epsilone (ovo neće biti lako, ali ipak), ispostavi da ste pronašli takvu deltu za svaki epsilon, onda ćemo se složiti da je funkcija u ovom trenutku kontinuirana. Ako vam u nekom trenutku kažem takav epsilon (na primjer, $%\varepsilon=1/1000$%), za koji ne možete pronaći deltu takvu da je definicija zadovoljena, tada funkcija ne može biti kontinuirana u ovom trenutku ( ne zadovoljava definiciju kontinuiteta).
Kada je uslov |x−x0|<δ может не выполняться, и значит, функция не является непрерывной?>
U ovom tvom citatu zamijenio sam jednoliki kontinuitet na uobičajenu (čini se kao da se prvo morate pozabaviti time). Imajte na umu da je neophodno da se funkcija prepozna kao diskontinuirana (ne kontinuirana). definicija kontinuiteta(što je na početku poruke) nije izvršeno. I to ne samo dio ove definicije, već cijelu stvar. Umjesto definiranja u ovom slučaju treba ga izvršiti logička negacija. Mnemoničko pravilo za sastavljanje negacije je sljedeće: trebate zamijeniti sve kvantifikatore "postoji" (ikona $%\exists$%) i "za bilo koji" (ikona $%\forall$%) sa njihovim suprotnostima (tj. $%\exists$% treba zamijeniti sa $ %\forall$%, i zamijeniti $%\forall$% sa $%\exists$%). Također morate promijeniti predznak posljednje nejednakosti u suprotan (in u ovom slučaju$%|f(x)-f(x_0)|<$% заменить на $%|f(x)-f(x_0)|\geqslant \varepsilon$%). Получим следующее:
Funkcija $%f(x)$% je diskontinuirana (tj. nije kontinuirana) u tački $%x_0$% ako $$\exists\varepsilon>0:\forall\delta>0\space\exists x: |x -x_0|<\delta\space \& |f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon.$$
Iz ovoga vidimo da je vaš kriterijum za nedostatak kontinuiteta (uslov $%|x-x_0|<\delta$% не выполняется, значит функция не является непрерывной) не имеет ничего общего с отрицанием определения непрерывности, которое мы только что построили. Также отметим, что при смене кванторов $%\forall$% и $%\exists$% на противоположные меняется природа того выражения, которое стоит под квантором. Скажем, в определении непрерывности мы имели $%\exists \delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%, а в отрицании определения непрерывности $%\forall \delta$%. То есть дельта в первом случае является функцией эпсилон и точки икс нулевое, а во втором является произвольным числом. Если задуматься, то это абсолютно логично - в первом случае мы для заданных наперёд $%x_0$% и $%\varepsilon$% подбираем $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а во втором случае дельта может быть абсолютно любым и ни от чего не зависит. Аналогично, в определении непрерывности мы имеем $%\forall x$%, а в его отрицании $%\exists x=x(\varepsilon, \delta)$%.
Da bismo ovo bolje razumjeli, korisno je samostalno analizirati nekoliko osnovnih primjera na ovu temu (na primjer, ispitati neku vrlo jednostavnu funkciju za kontinuitet u tački $%x_0$% i ako je tamo kontinuirana, onda eksplicitno naznačiti $% \delta (x_0,\varepsilon)$%, a ako je diskontinuiran, navedite $%\varepsilon$% za koji se vrši negacija, itd.). Nakon što se upoznate sa definicijom kontinuiteta i njegovom negacijom (općenito, a posebno u jeziku $%\varepsilon$%-$%\delta$%), prijelaz na uniformni kontinuitet će biti mnogo lakši. I, naravno, morate čitati o kontinuitetu i uniformnom kontinuitetu u udžbeniku analize. Link koji ste dali sadrži neke materijale koji više podsjećaju na poticaj za ispit, gdje je ujednačen kontinuitet objašnjen u jednom redu. Kako se može savladati ovaj (i druge koncepte) u matematici u ovom formatu, potpuno mi je nejasno.
P.S. Molimo ostale učesnike da provjere ovaj odgovor (da li sam sve ispravno naveo), jer je metodološke prirode.
Komentar
Izbor δ u definiciji uniformnog kontinuiteta zavisi od ε, ali ne od x 1 ,x 2 .
Svojstva
- Funkcija ravnomjerno kontinuirana na setu M, kontinuirano je na njemu. Obrnuto, generalno govoreći, nije tačno. Na primjer, funkcija
je kontinuiran u cijelom domenu definicije, ali nije ravnomjerno kontinuiran, jer za bilo koji src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> možete specificirati segment proizvoljno male dužine kao što je da će se na svojim krajevima vrijednosti funkcije razlikovati više nego na drugom primjeru: funkcija
je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, ali nije ravnomjerno kontinuirana, jer
Za bilo koji src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> možete odabrati segment proizvoljno male dužine tako da razlika u vrijednostima funkcije f(x) = x 2 na krajevima segmenta će ih biti više. Konkretno, na segmentu teži razlika u vrijednostima funkcija
vidi takođe
Wikimedia fondacija. 2010.
- Jednako temperirana ljestvica
- Jednako temperirana ljestvica
Pogledajte šta je "uniformno kontinuirana funkcija" u drugim rječnicima:
Kontinuirana funkcija- Ovaj članak govori o kontinuiranoj numeričkoj funkciji. Za kontinuirana preslikavanja u različitim granama matematike, pogledajte kontinuirano preslikavanje. Kontinuirana funkcija je funkcija bez “skokova”, odnosno ona koja ima male promjene... ... Wikipedia
KONTINUIONA FUNKCIJA- jedan od glavnih koncepata matematička analiza. Neka je realna funkcija f definirana na određenom podskupu E realnih brojeva, tj. Poziva se funkcija f kontinuirano u tački (ili, detaljnije, kontinuirano u tački nad skupom E), ako za ... ... Mathematical Encyclopedia
Apsolutno kontinuirana funkcija- Funkcija se naziva apsolutno kontinuiranom funkcijom na konačnom ili beskonačnom intervalu ako je takva da je za bilo koji konačan skup disjunktnih intervala domen definicije funkcije ... Wikipedia
RECURRENT FUNCTION- funkcija koja je rekurentna točka dinamičkih pomaka. sistemima. Ekvivalentna definicija: funkcija gdje je S metrički. prostor, tzv ponavlja se ako ima predkompaktni skup vrijednosti, jednoliko je kontinuiran i za svaki ... ... Mathematical Encyclopedia
Skoro periodična funkcija- funkcija čije se vrijednosti, kada se pravilno odabrani konstantni brojevi (skoro tačke) dodaju argumentu, približno ponavljaju. Tačnije: kontinuirana funkcija f (x), definisano za sve stvarne vrednosti X,… … Velika sovjetska enciklopedija
SELEKTIVNA FUNKCIJA- funkcija argumenta t, koja jedinstveno odgovara svakom posmatranju slučajnog procesa; ovde ima mnogo elementarnih događaja. Često se koriste ekvivalentni V. f. termini implementacija, putanja. Slučajni proces lik svrbi..... Mathematical Encyclopedia
FUNKCIJA DISTRIBUCIJE- bilo koja slučajna varijabla X je funkcija realne varijable x, uzimajući za svako x vrijednost jednaku vjerovatnoći nejednakosti X
GENERALIZOVANA ANALITIČKA FUNKCIJA- funkcija koja zadovoljava sistem sa realnim koeficijentima koji su funkcije realnih varijabli x y U notaciji, originalni sistem je zapisan u obliku Ako su koeficijenti A i B sistema (1) na cijeloj ravni Ekompleksa... ... Mathematical Encyclopedia
HARMONIČKA FUNKCIJA- realna funkcija definirana u domeni euklidskog prostora koja ima kontinuirane parcijalne izvode 1. i 2. reda u D i rješenje je Laplaceove jednadžbe gdje su kartezijanske pravokutne koordinate tačke x. Ponekad ova definicija...... Mathematical Encyclopedia
Plurisubharmonic funkcija- Plurisubharmononska funkcija je realnovrijedna funkcija kompleksnih varijabli u domeni kompleksnog prostora, koja zadovoljava sljedeće uslove... Wikipedia
