Ako je funkcija kontinuirana na nekom intervalu (zabranjenom ili otvorenom), onda to, kao što već znamo, znači da za bilo koju tačku ovog intervala, za unaprijed određeno e > 0, postoji q > 0 tako da iz nejednakosti
x 0 - x< д
slijedi nejednakost
f(x0) - f(x)<
tako da su samo tačke x također u datom intervalu.
Dakle, jasno je da q zavisi od e. q zavisi ne samo od e, već i od x 0. Zatim činjenica da je među vrijednostima dfor različite tačke interval i istovremeno je najmanja vrijednost q, ne postoji takva stvar. U prvom slučaju, za dato e > 0, može se naći vrijednost q zajednička svim tačkama intervala, a zatim se kaže da je funkcija na intervalu koji se razmatra ravnomjerno kontinuirana.
Definicija. Funkcija se naziva uniformno kontinuiranom na datom intervalu ako je, prvo, definirana u svim točkama ovog intervala, i drugo, ako je tačan sljedeći uvjet: svaki proizvoljno mali e> 0 može biti povezan s takvim q> 0, iz nejednakost x 2 - x 1< д следует неравенство f(x 2) - f(x 1) < , причем х 1 и х 2 - два значения х, взятые в котором угодно месте промежутка.
Iz definicije uniformnog kontinuiteta funkcije, slijedi da je funkcija uniformno kontinuirana na nekom intervalu i kontinuirana u svakoj tački ovog intervala. Obrnuta tvrdnja, kao što pokazuje primjer funkcije na piintervalu (0, 1), nije uvijek tačna.
Kantorova teorema (o uniformnom kontinuitetu funkcije). Ako je funkcija neprekidna na segmentu [a, b], onda je ravnomerno neprekidna na ovom segmentu.
Dokaz. Neka nam je proizvoljno mali broj e > 0. Podijelimo segment [a, b] na konačan broj m dijelova tako da se fluktuacije date funkcije nastavljaju na (a, b] na svakom od tako dobijenih dijelova segmenata
[a, s 1], [s 1, s 2], [s 2, s 3],…….., [s i, s i+1], ……., [a, b],
bio manji od. Pošto postoji konačan broj parcijalnih odsječaka, njihove dužine su također konačni brojevi, pa je među njima najmanji, koji označavamo sa q. Sada uzimamo na segment [a, b] bilo koje dvije točke x 1 i x 2 tako da razmak između njih bude manji:
x 2 - x 1< д (95)
Ove dvije točke mogu biti ili na istom privatnom segmentu ili na susjednim privatnim segmentima. U prvom slučaju
f(x2) - f(x1)< , (96)
U drugom slučaju, ako zajednički kraj susjednih privatnih segmenata označimo kroz c i , dobićemo:
f (x 2) - f (x 1) \u003d | f (x 2) - f (sa i) + f (sa i) - f (x 1) |?,
f(x2) - f(x1)< (97)
Dakle, u prvom slučaju nejednakost (95) implicira nejednakost (96), au drugom slučaju nejednakost (95) implicira nejednakost (97). Teorema je dokazana.
(Ovo svojstvo vrijedi samo za segmente, ne za intervale i poluintervale.)
Funkcija je kontinuirana na intervalu (0, a), ali nije ravnomjerno kontinuirana na njemu, jer postoji broj> 0 takav da postoje vrijednosti x 1 i x 2 takve da je f (x 1) - f (x 2)>, - bilo koji broj, pod uslovom da su x 1 i x 2 blizu nule.
Funkcija $%f(x)$% se naziva kontinuiranom na $%x_0$% ako $$\forall\varepsilon>0\ \ \exists\delta(x_0,\varepsilon)>0:\ \forall x: |x -x_0|<\delta =>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$$ На словах это означает, что в точках $%x$% близких к $%x_0$% значения функции $%f(x)$% будет близко к $%f(x_0)$%.
I kako se razlikuje od normalnog kontinuiteta?>
Običan (tačkasti) kontinuitet je lokalno vlasništvo funkcije. To znači da se izvršava u određenoj tački. Imajte na umu da je definicija kontinuiteta funkcije data tačno u tački. Istovremeno, znamo da postoje funkcije koje su kontinuirane ne samo u nekoj tački, već i na nekom skupu (na primjer, $%f(x)=\sin x$% je kontinuirano na $%\mathbb( R )$%). Ovo ne poništava lokalnu prirodu kontinuiteta, to jest, jednostavno znači da ako provjerimo $%\sin x$% za kontinuitet u svakoj pojedinačnoj tački od $%\mathbb(R)$%, onda će funkcija to zadovoljiti u ovom konkretnom trenutku. Pošto je u svakoj tački $%x_0$% skupa $%\mathbb(R)$% uslov kontinuiteta funkcije $%\sin x$% zadovoljen u tački $%x_0$%, kaže se da je funkcija biti kontinuiran na ovom skupu. Štaviše, kada smo proučavali kontinuitet funkcije u svakom od njih zasebna tačka, mi smo (za dati $%\varepsilon$%) za ovu tačku uzeli $%\delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%. To jest, za različite tačke skupa, (općenito govoreći) će se dobiti različite delte. Dakle, uočeno je neujednačeno svojstvo funkcije "da bude kontinuirana" u odnosu na deltu: grubo govoreći, u tački $%x_1$% funkcija je kontinuirana sa jednom deltom, au tački $%x_2$% - sa drugom deltom.
Kako razumjeti δ>0, ako je funkcija kontinuirana, onda za bilo koji za bilo koji epsilon mora postojati delta.>
Tačno ste to primetili ako funkcija je kontinuirana, tada za bilo koji epsilon postoji delta. Međutim, u praksi je situacija često ovakva - dobijete funkciju (na primjer, $%y=3+x$%) i poen (na primjer, $%x_0=2$%). Pitanje je da li će funkcija $%f$% biti kontinuirana u tački $%x_0$%? Kako to saznati? Većina osnovni način je provjeriti da li je ispunjena definicija kontinuiteta funkcije u nekoj tački. Naime, ja ću vam dati različite ipsilone ($%\varepsilon=1,\space\varepsilon=1/2,\space\varepsilon=1/100$% i tako dalje), a vi ćete odabrati takvu deltu u zavisnosti od ovaj epsilon i x-tačka nula na kojoj se vrši određivanje. Ako nakon što navedem sve pozitivne ipsilone (neće biti lako, ali ipak), ispadne da ste pronašli takvu deltu za svaki epsilon, onda ćemo se složiti da je funkcija u ovom trenutku kontinuirana. Ako vam u nekom trenutku kažem takav epsilon (na primjer, $%\varepsilon=1/1000$%) za koji ne možete pronaći deltu takvu da je definicija ispunjena, tada funkcija ne može biti kontinuirana u ovom trenutku (ona ne zadovoljava definiciju kontinuiteta).
Kada je uslov |x−x0|<δ может не выполняться, и значит, функция не является непрерывной?>
Zamijenio sam u ovom tvom citatu jednoliki kontinuitet na uobičajenu (čini se da se prvo morate pozabaviti time). Imajte na umu da je neophodno da se funkcija prepozna kao diskontinuirana (koja nije kontinuirana). definicija kontinuiteta(što je na početku poruke) nije izvršeno. I to ne neki dio ove definicije, nego u cjelini. U ovom slučaju, umjesto definicije, trebalo bi da bude logička negacija. Mnemoničko pravilo za negaciju je sljedeće: trebate zamijeniti sve kvantifikatore "postoji" (znak $%\exists$%) i "za bilo koji" (znak $%\forall$%) sa njihovim suprotnostima (tj. zamijeniti $%\exists$% sa $ %\forall$% i zamijenite $%\forall$% sa $%\exists$%). Također morate promijeniti predznak posljednje nejednakosti u suprotan (in ovaj slučaj$%|f(x)-f(x_0)|<$% заменить на $%|f(x)-f(x_0)|\geqslant \varepsilon$%). Получим следующее:
Funkcija $%f(x)$% je diskontinuirana (tj. nije kontinuirana) na $%x_0$% ako $$\exists\varepsilon>0:\forall\delta>0\space\exists x: |x-x_0|<\delta\space \& |f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon.$$
Iz ovoga vidimo da je vaš kriterijum za nedostatak kontinuiteta (uslov $%|x-x_0|<\delta$% не выполняется, значит функция не является непрерывной) не имеет ничего общего с отрицанием определения непрерывности, которое мы только что построили. Также отметим, что при смене кванторов $%\forall$% и $%\exists$% на противоположные меняется природа того выражения, которое стоит под квантором. Скажем, в определении непрерывности мы имели $%\exists \delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%, а в отрицании определения непрерывности $%\forall \delta$%. То есть дельта в первом случае является функцией эпсилон и точки икс нулевое, а во втором является произвольным числом. Если задуматься, то это абсолютно логично - в первом случае мы для заданных наперёд $%x_0$% и $%\varepsilon$% подбираем $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а во втором случае дельта может быть абсолютно любым и ни от чего не зависит. Аналогично, в определении непрерывности мы имеем $%\forall x$%, а в его отрицании $%\exists x=x(\varepsilon, \delta)$%.
Da bismo ovo bolje razumjeli, korisno je samostalno analizirati nekoliko osnovnih primjera na ovu temu (na primjer, istražiti neku vrlo jednostavnu funkciju za kontinuitet u tački $%x_0$% i ako je u njoj kontinuirana, onda eksplicitno naznačiti $%\delta (x_0,\varepsilon)$%, a ako je diskontinuiran, onda navedite $%\varepsilon$%, za koji se vrši negacija, itd.). Jednom kada postanete "na sebi" sa definicijom kontinuiteta i njegovom negacijom (općenito, a posebno u $%\varepsilon$%-$%\delta$% jeziku), bit će mnogo lakše preći na uniformni kontinuitet. I, naravno, morate čitati o kontinuitetu i uniformnom kontinuitetu u udžbeniku analize. Link koji ste dali sadrži neke materijale koji više podsjećaju na poticaj za ispit, gdje je ujednačen kontinuitet objašnjen u jednom redu. Kako je moguće savladati ovaj (i druge pojmove) u matematici u takvom formatu, potpuno mi je nejasno.
P.S. Molba ostalim učesnicima da provjere ovaj odgovor (u smislu da li sam sve tačno naveo), jer je metodičke prirode.
Komentar
Izbor δ u definiciji uniformnog kontinuiteta zavisi od ε, ali ne od x 1 ,x 2 .
Svojstva
- Funkcija uniformno kontinuirana na skupu M, kontinuirano Na njega. Obrnuto generalno nije tačno. Na primjer, funkcija
je kontinuirano u cijeloj domeni definicije, ali nije ravnomjerno kontinuirano, jer za bilo koji src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> možete odrediti odjeljak proizvoljno mali dužina tako da će se na svojim krajevima vrijednosti funkcije razlikovati više nego na drugom primjeru: funkcija
je kontinuirana duž cijele brojevne prave, ali nije ravnomjerno kontinuirana, jer
Za bilo koji src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> možete odabrati segment proizvoljno male dužine tako da je razlika između vrijednosti funkcije f(x) = x 2 će biti veća na krajevima segmenta. Konkretno, na segmentu razlika u vrijednostima funkcije teži ka
vidi takođe
Wikimedia fondacija. 2010 .
- Jednaka skala temperamenta
- Jednaka skala temperamenta
Pogledajte šta je "Uniformno kontinuirana funkcija" u drugim rječnicima:
kontinuirana funkcija- Ovaj članak govori o kontinuiranoj numeričkoj funkciji. Za kontinuirana preslikavanja u različitim granama matematike, pogledajte kontinuirano preslikavanje. Kontinuirana funkcija je funkcija bez "skokova", odnosno ona koja ima male promjene ... ... Wikipedia
KONTINUIONA FUNKCIJA jedan od osnovnih pojmova matematička analiza. Neka je realna funkcija f definirana na nekom podskupu E realnih brojeva, tj. . Pozvana funkcija f. kontinuirano u tački (ili, preciznije, kontinuirano u tački u odnosu na skup E), ako za ... ... Mathematical Encyclopedia
Apsolutno kontinuirana funkcija- Funkcija se naziva apsolutno kontinuirana funkcija na konačnom ili beskonačnom intervalu, ako je takva da je za bilo koji konačan skup nepreklapajućih intervala domena funkcije ... Wikipedia
RECURRENT FUNCTION- funkcija koja je rekurentna točka dinamičkih pomaka. sistemi. Ekvivalentna definicija: funkcija, gdje je S metrički. prostor, tzv ponavljajuća ako ima predkompaktni skup vrijednosti, jednoliko je kontinuirana i za bilo koje ... ... Mathematical Encyclopedia
Gotovo periodična funkcija- funkcija čije se vrijednosti, kada se pravilno odabrani konstantni brojevi (skoro tačke) dodaju argumentu, približno ponavljaju. Tačnije: kontinuirana funkcija f (x) definisano za sve stvarne vrednosti X,… … Velika sovjetska enciklopedija
OPCIJSKA FUNKCIJA- funkcija argumenta t, koja jedinstveno odgovara svakom posmatranju slučajnog procesa; ima mnogo elementarnih događaja. Često D ekvivalent V. f. termini implementacija, putanja. slučajni proces lik svrbi ...... Mathematical Encyclopedia
FUNKCIJA DISTRIBUCIJE- bilo koja slučajna varijabla X je funkcija realne varijable x, koja za svaki x uzima vrijednost jednaku vjerovatnoći nejednakosti X
GENERALIZOVANA ANALITIČKA FUNKCIJA- funkcija koja zadovoljava sistem sa realnim koeficijentima koji su funkcije realnih varijabli chi y U notaciji, originalni sistem je zapisan kao Ako su koeficijenti A i B sistema (1) na cijeloj ravni E kompleksa ... ... Mathematical Encyclopedia
HARMONIČKA FUNKCIJA- realna funkcija data u području D-euklidskog prostora, koja ima kontinuirane parcijalne izvode 1. i 2. reda u D i predstavlja Laplaceovo rješenje jednadžbe gdje su kartezijanske pravokutne koordinate točke x. Ponekad ova definicija ... ... Mathematical Encyclopedia
plurisubharmonska funkcija- Plurisubharmonična funkcija je funkcija realne vrijednosti, kompleksnih varijabli u domeni kompleksnog prostora, koja zadovoljava sljedeće uslove... Wikipedia
