Šta je metrički prostor r n. Udaljenost (metrička)

Osnovni funkcionalni prostori

Predavanje 5

Jedan od kritične operacije analiza je prelazak do granice. Ova operacija se zasniva na činjenici da je rastojanje od jedne tačke do druge definisano na brojevnoj pravoj. Mnoge fundamentalne činjenice analize nisu povezane s algebarskom prirodom realni brojevi(tj. sa činjenicom da formiraju polje), ali se oslanjaju samo na koncept udaljenosti. Generalizirajući ideju realnih brojeva kao skupa u koji se uvodi razmak između elemenata, dolazimo do koncepta metričkog prostora - jednog od najvažnijih koncepata savremena matematika.

Definicija.

Metrički prostor je par (X, ρ), koji se sastoji od nekog skupa (prostora) X elemente (tačke) i udaljenost, tj. jednovrijednu, nenegativnu, realnu funkciju ρ(x,y), definiran za bilo koji x I y od X i podložni sljedećim aksiomima;

1. ρ(x,y) ≥ 0 za sve x,y,

2. ρ(x,y) = 0 tada i samo kada x=y,

3. ρ(x,y) = ρ(y,x)(aksiom simetrije),

4. ρ(x,z) £ ρ(x,y) + ρ(y,z)(aksiom trougla).

Sam metrički prostor, tj. par (X, ρ), obično ćemo označavati jednim slovom R = (X, ρ).

U slučajevima kada su nesporazumi isključeni, često ćemo metrički prostor označavati istim simbolom kao i sam „stok tačaka“. X.

Navedimo primjere metričkih prostora. Neki od ovih prostora igraju veoma važnu ulogu u analizi. važnu ulogu.

1. Postavka za elemente proizvoljnog skupa

dobijamo, očigledno, metrički prostor. Može se nazvati prostorom izolovanih tačaka.

2. Skup realnih brojeva sa rastojanjem

formira metrički prostor R 1.

3. Skup uređenih grupa od n realni brojevi x = (x 1, …, x n) sa udaljenosti

(1)

pozvao n-dimenzionalni aritmetički euklidski prostor Rn. Valjanost aksioma 1) - 3) za Rn očigledno. Pokažimo to u Rn aksiom trougla je takođe zadovoljen.

Neka x = (x 1 ,…, x n), y = (y 1 ,…, y n),

z = (z 1 ,…, z n);

tada se aksiom trougla zapisuje kao

Uz pretpostavku, dobijamo , a nejednakost (2) poprima oblik

(3)

Ali ova nejednakost odmah slijedi iz dobro poznate nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky

(4)

Zaista, zbog ove nejednakosti imamo

Time je dokazana nejednakost (3), a time i (2).

4. Razmotrimo isti skup uređenih grupa iz n realni brojevi x = (x 1 ,…, x n) ali udaljenost u njemu definiramo formulom

. (5)

Valjanost aksioma ovdje je očigledna.

Zadatak. Dokazati aksiom 4.

Označimo ovaj metrički prostor simbolom .

5. Uzmite ponovo isti skup kao u primjerima 3 i 4 i odredite udaljenost između njegovih elemenata po formuli

. (6)

Valjanost aksioma 1) - 3) je očigledna.

Zadatak. Dokazati aksiom 4.

Ovaj prostor, koji označavamo sa , nije ništa manje zgodan u mnogim pitanjima analize od Euklidovog prostora Rn.

Posljednja tri primjera pokazuju da je ponekad zaista važno imati razne oznake za sam metrički prostor i za skup njegovih tačaka, pošto se ista količina tačaka može meriti na različite načine.

6. Lots C sve kontinuirane realne funkcije definirane na segmentu , sa udaljenosti

(7)

takođe formira metrički prostor. Aksiomi 1) - 3) se direktno provjeravaju.

Zadatak. Dokazati aksiom 4.

Ovaj prostor igra veoma važnu ulogu u analizi. Označit ćemo ga istim simbolom C, što je skup tačaka samog ovog prostora. Umjesto C pisaćemo jednostavno WITH.

7. Označimo sa l 2 metrički prostor čije su tačke svi mogući nizovi x=(x 1,...,x n,...) realni brojevi koji zadovoljavaju uslov ,

a udaljenost je određena formulom

. (8)

Iz elementarne nejednakosti slijedi da je funkcija ρ(x,y) ima smisla za sve konvergira ako

/

Pokažimo sada da funkcija (8) zadovoljava aksiome metričkog prostora. Aksiomi 1) - 3) su očigledni, a aksiom trougla ovdje ima oblik

Zbog gore navedenog, svaka od tri ovdje zapisana serija konvergira. S druge strane, svaki put n nejednakost je tačna

(vidi primjer 4). Prelazak ovdje do granice u n®∞ dobijamo (8), tj. nejednakost trougla u l 2.

8. Razmotrimo, kao u primjeru 6, skup svih funkcija kontinuiranih na intervalu , ali hajde da odredimo udaljenost drugačije, naime, stavimo

. (10)

Takav metrički prostor ćemo označiti C 2 i nazovi to prostor kontinuirane funkcije sa kvadratnom metrikom. Ovdje su svi aksiomi metričkog prostora očigledni, a aksiom trokuta direktno slijedi iz integralnog oblika nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky

9. Razmotrimo skup svih ograničenih nizova x = (x 1 , ..., x n , ...) realnih brojeva.

, (11)

dobijamo metrički prostor, koji označavamo m. Valjanost aksioma je očigledna.

10. Skup uređenih grupa od n realni brojevi sa rastojanjem

, (12)

Gdje R- bilo koji fiksni broj ≥ 1 , je metrički prostor, koji označavamo sa .

Provjerimo aksiom 4.

Neka x=(x 1 ,…,x n), y=(y 1 ,…,y n), z=(z 1 ,…,z n).

Pretpostavimo onda nejednakost

pravda koju moramo uspostaviti poprimiće oblik

(13)

Ovo je takozvana nejednakost Minkowskog. At p= 1 Minkowskijeva nejednakost je očigledna (modul zbira ne prelazi zbir modula), pa ćemo pretpostaviti da p > 1.

Dokaz nejednakosti (13) sa p>1 na osnovu takozvane Hölderove nejednakosti

(14)

gdje su brojevi p > 1 I q > 1 vezan uslovom

(15)

Imajte na umu da je nejednakost (14) homogena. To znači da ako je zadovoljeno za bilo koja dva vektora a = (a 1 ,…, a n), I b = (b 1 ,…, b n), onda važi i za vektore λa I μb, Gdje λ I μ - proizvoljnim brojevima. Stoga je dovoljno dokazati nejednakost (14) za slučaj kada

(16)

Dakle, neka je uslov (16) zadovoljen; dokažimo to

(17)

Razmislite u avionu (ξ,η) kriva definisana jednadžbom η = ξ p -1 (ξ>0), ili, što je isto, po jednačini ξ p -1 (η >0)(Sl. 1). Iz slike je jasno da je za svaki izbor pozitivne vrijednosti a I bće S 1 + S 2 > ab. Izračunajmo površinu S 1 I S 2:

Dakle, numerička nejednakost je tačna

Zamjena ovdje a on |a k | I b on |b k | i sumiranje po k od 1 do n, dobijamo, uzimajući u obzir (15) i (16),

Nejednakost (17), a samim tim i opća nejednakost (14) je dokazana.

At p = 2 Hölderova nejednakost (14) pretvara se u nejednakost Cauchy-Bunyakovsky (4).

Pređimo sada na dokaz nejednakosti Minkowskog. Da biste to učinili, razmotrite identitet

Zamjena u pisanom identitetu a on a k I b on b k i sumiranje po k od 1 prije n dobijamo

Sada primjenjujući Hölderovu nejednakost na svaki od dva zbroja s desne strane i uzimajući to u obzir (p - 1)q = p, dobijamo

Do sada, kada smo govorili o udaljenosti, uvijek smo mislili na Euklidsku udaljenost. Dakle, udaljenost između vektora definirali smo kao dužinu vektora, naime:

Ali udaljenosti se mogu izračunati na drugi način, koristeći različite mjere dužine. Na primjer, razmotrite pojednostavljenu kartu grada u obliku pravokutne mreže dvosmjernih ulica. Tada adekvatna mjera dužine može biti najkraća udaljenost koja se mora prijeći da bi se došlo od jedne raskrsnice do druge. Ponekad se ova udaljenost naziva Manhattan.

Umjesto navođenja svih mogućih mjera dužine, od kojih nam većina neće biti potrebna, sada ćemo razmotriti zahtjeve (aksiome) koje proizvoljna mjera dužine mora zadovoljiti. Sve naredne teoreme o udaljenostima će se dokazati u okviru ovih aksioma, tj. opšti pogled. U matematici je uobičajeno koristiti izraz metrika umjesto izraza "mjera dužine".

metrika.

metrika na skupu X je realna funkcija d(x, y) definirana na proizvodu x i koja zadovoljava sljedeće aksiome:

b) podrazumijeva

d) za sve (nejednakost trougla).

Metrički prostor je par Dokaz da euklidska udaljenost zadovoljava aksiome (a), (b) i (c) je trivijalan. Nejednakost trokuta:

dokazali smo to u odjeljku 3.1 (Teorema 3.1.2). Dakle, Euklidska udaljenost je metrika, koju ćemo od sada zvati Euklidska metrika.

Razmotrimo jednu važnu klasu metrike u prostoru, naime klasu -metrike. -metric je generalizacija euklidske metrike i poklapa se s njom za . Za p-metriku je definirana na sljedeći način:

Ostavićemo bez dokaza sledeću činjenicu:

Dokaz da je -metrika zaista metrika, tj. zadovoljava aksiome koje takođe izostavljamo. Ovo pitanje je delimično uključeno u vežbe.

Imajte na umu da u definiciji metrike nismo zahtijevali da elementi x i y pripadaju prostoru. Ovo nam daje priliku da definiramo skup X, kao i njegove elemente x, y, itd., od strane mnogih Različiti putevi. Naš zadatak je da ukažemo pod kojim uslovima fraktalna konstrukcija konvergira. Da biste to učinili, morate biti u mogućnosti izmjeriti udaljenost između kompaktnih skupova, odnosno morate odrediti odgovarajuću metriku.

Teorija skupova u metričkim prostorima.

Moramo napraviti veliki korak naprijed i proširiti teorijske definicije iz odjeljka 3.1, koje su podrazumijevale euklidsku metriku, na proizvoljne metrike. Otvorena lopta u metričkom prostoru (X, d) definirana je na sljedeći način:

Uzimajući u obzir (3.4), možemo ostaviti nepromijenjene gornje definicije sljedećih pojmova:

Na primjer, skup je otvoren skup ako i samo ako se za bilo koji može specificirati otvorena lopta (u smislu definicije (3.4)), koja je sadržana u E. Lista uključuje sve definicije bez promjena, osim koncept kompaktnosti. Stroga definicija kompaktnog skupa u proizvoljnom metričkom prostoru data je u dodatku. Budući da će nas uglavnom zanimati kompaktnost podskupova prostora, gore data definicija (zatvorenost i ograničenost) ostaje na snazi.

Ako je metrika na skupu X, a onda je realna funkcija jedan-na-jedan

postoji i metrika na X. Aksiomi (a) i (c) su očigledno zadovoljeni. zadovoljava aksiom (b), budući da je funkcija jedan-na-jedan. Aksiom (d) će biti zapisan kao nejednakost:

to jest klasična nejednakost trougla za realne brojeve. Primjer metrike definirane na ovaj način:

Za dvije metrike definirane na skupu X kaže se da su ekvivalentne ako je moguće specificirati tako da:

Može se pokazati da su bilo koje dvije -metrike u prostoru gdje su ekvivalentne (slučaj je prikazan u vježbi 3 na kraju ovog odjeljka). S druge strane, metrike na skupu R nisu ekvivalentne (Vježba 4 na kraju ovog odjeljka).

Očigledno, glavna posljedica ekvivalencije metrike za teoriju fraktala je činjenica da je fraktalna dimenzija (poglavlje 5) očuvana kada se metrika zamijeni ekvivalentnom. Štaviše, ako je skup otvoren (zatvoren) u jednoj metrici, onda je otvoren (zatvoren) u bilo kojoj ekvivalentnoj metrici. Nadalje, ako je skup omeđen jednom metrikom, onda je omeđen u bilo kojoj ekvivalentnoj metrici. Isto vrijedi i za savršene, povezane i potpuno diskontinuirane skupove.

Konvergencija.

Neka je metrika na skupu X. Niz tačaka metričkog prostora X konvergira do granice u metrici d ako niz brojeva konvergira na nulu u uobičajenom smislu, to jest, ako:

Ovdje se ekvivalencija metrike izražava na sljedeći način. Ako su metrike ekvivalentne, onda u -metrici ako i samo ako su u -metrici, pošto.

Jedna od najvažnijih operacija u analizi je prelazak do granice. Ova operacija se zasniva na činjenici da je rastojanje od jedne tačke do druge definisano na brojevnoj pravoj. Mnoge fundamentalne činjenice analize nisu povezane sa algebarskom prirodom realnih brojeva (to jest, sa činjenicom da oni formiraju polje), već se oslanjaju samo na koncept udaljenosti. Generalizirajući ideju realnih brojeva kao skupa u koji se uvodi razmak između elemenata, dolazimo do koncepta metričkog prostora - jednog od najvažnijih koncepata moderne matematike.

Metrički prostor pozvao par (X, r), koji se sastoji od nekih setovi(razmaci) X elementi(tačke) i udaljenosti tj. nenegativna realna funkcija r(x,y), definisano za bilo koje X I at od X i podložan sljedeća tri aksioma:

1) r(x, y)= 0 ako i samo ako X = y,

2) r(x, y) = r(y, x)(aksiom simetrije),

3) r(x, z)≤ r(x, y)+ r (y, r)(aksiom trougla).

Sam metrički prostor, tj. par (X, ρ), U pravilu ćemo označavati jednim slovom:

R = (X, ρ).

U slučajevima kada su nesporazumi isključeni, često ćemo metrički prostor označavati istim simbolom kao i sam „stok tačaka“. X.

Navedimo primjere metričkih prostora. Neki od ovih prostora igraju veoma važnu ulogu u analizi.

1. Postavka za elemente proizvoljnog skupa

dobijamo, očigledno, metrički prostor. Može se nazvati prostorom izolovanih tačaka.

2. Skup realnih brojeva sa rastojanjem

ρ(x, y) = | x - y |

formira metrički prostor R 1 .

3. Skup uređenih skupova od P realni brojevi sa udaljenosti

pozvao P-dimenzionalni aritmetički euklidski prostor Rn.

4. Razmotrite isti skup skupova od P realni brojevi, ali udaljenost u njemu definiramo formulom

Ovdje je očigledna valjanost aksioma 1)-3). Označimo ovaj metrički prostor simbolom Rn 1 .

5. Uzmite ponovo isti skup kao u primjerima 3 i 4 i odredite udaljenost između njegovih elemenata po formuli

Valjanost aksioma 1)-3) je očigledna. Ovo je prostor koji ćemo odrediti Rn¥ u mnogim pitanjima analize ništa manje zgodno od euklidskog prostora Rn.

Posljednja tri primjera pokazuju da je ponekad zaista važno imati različite oznake za sam metrički prostor i za skup njegovih tačaka, budući da se ista količina tačaka može mjeriti na različite načine.

6. Lots WITH sve kontinuirane realne funkcije definirane na intervalu sa udaljenosti

takođe formira metrički prostor. Aksiomi 1)-3) se direktno provjeravaju. Ovaj prostor igra veoma važnu ulogu u analizi. Označit ćemo ga istim simbolom WITH, što je skup tačaka samog ovog prostora.

7. Razmotrimo, kao u primjeru 6, skup svih funkcija kontinuiranih na intervalu SA , ali hajde da drugačije definišemo udaljenost, naime, stavimo

Takav metrički prostor ćemo označiti WITH 2 i nazovi prostor kontinuiranih funkcija s kvadratnom metrikom.

Formalna definicija

Metrički prostor M postoji mnogo tačaka sa udaljenosti (takođe se nazivaju metrički) d:M\puta M\to \mathbb(R)(Gdje \mathbb(R) označava skup). Za bilo koje bodove x, y, z od M ova funkcija mora zadovoljiti sljedeće uslove:

1. d(x, y) ≥ 0
2. d(x, x) = 0
3. d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y.
4. d(x, y) = d(y, x) (simetrija)
5. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ().

Ovi aksiomi odražavaju intuitivni koncept udaljenosti. Na primjer, udaljenost mora biti pozitivna, a udaljenost od x prije y isto kao i od y prije x. Nejednakost trougla znači da treba ići od toga x prije z može biti kraća, ili barem ne duža od prve šetnje x prije y, a zatim iz y prije z.

Primjeri

• Diskretna metrika: d(x,y) = 0 ako x=y, And d(x,y) = 1 u svim ostalim slučajevima.
• sa funkcijom udaljenosti d(x, y) = |y - x| i potpuni su metrički prostori.
• Manhattan, ili gradska metrika: koordinatna ravan na kojoj je udaljenost definirana kao zbir udaljenosti između koordinata. Više opšti primjer: Bilo koji se može pretvoriti u metriku definiranjem funkcije udaljenosti d(x, y) = ||y - x||, u slučaju konačne dimenzije to se zove prostor Minkovskog (ne treba ga brkati s drugim).
• Bilo koji povezan M može se pretvoriti u metrički prostor definisanjem udaljenosti kao dužine putanja koje povezuju par tačaka.
• Skup vrhova bilo koje povezane G može se pretvoriti u metrički prostor definiranjem udaljenosti kao minimalnog broja ivica na putu koji povezuje vrhove.
• Mnogi podskupovi K(M) bilo koji metrički prostor M može se pretvoriti u metrički prostor definiranjem udaljenosti pomoću tzv. U ovoj metrici, dva podskupa su bliska jedan drugom ako se za bilo koju tačku u jednom skupu može naći bliska tačka u drugom podskupu. Evo tačne definicije:

D(X, Y) = inf( r: za sve x V X postoji y V Y With d(x, y) < r i za bilo koga y V Y postoji x V X takav da d(x, y) < r)}.

• Skup svih kompaktnih metričkih prostora (do ) može se pretvoriti u metrički prostor definiranjem udaljenosti pomoću takozvane Gromov-Hausdorffove metrike.

Povezane definicije

• Metrički prostor se zove kompletan, ako neki konvergira nekom elementu ovog prostora.
• metrika d on M naziva se unutrašnja ako bilo koje dvije točke x I y V M mogu biti povezani krivom dužine proizvoljno blizu d(x, y).
• Svaki metrički prostor ima prirodni prostor čija je osnova skup otvorene lopte, tj. setovi sljedećeg tipa:

B( x; r) = {y V M:d( x,y) < r), Gdje x postoji tačka u M I r je pozitivan realan broj koji se naziva poluprečnik lopte. Drugim riječima, mnogi O je otvoren ako za bilo koju tačku x\u O tamo će biti pozitivan broj r, tako da je skup tačaka na udaljenosti manji r od x pripada O .

• Pozivaju se dvije metrike koje definiraju istu topologiju ekvivalentno.
• Topološki prostor koji se može dobiti na ovaj način naziva se .
• Poziva se metrika prostora ultrametrika, ako zadovoljava jaka nejednakost trougla:

Za sve x, y I z V M, d(x, z) ≤ max( d(x, y), d(y, z)).

• Razdaljina d(x,S) od tačke x na podskup S V M određena formulom:

d(x,S) = inf( d(x,s) : s ∈ S) Onda d(x, S) = 0, samo ako x pripada S.

• Ponekad se razmatraju metrike sa vrijednostima. Za bilo koju takvu metriku može se uzeti u obzir konačna metrika d"(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y)) ili d""(x, y) = min(1, d(x, y))). Ovi metrički prostori imaju istu topologiju.

Svojstva

• Metrički prostor ako i samo ako se konvergentni podniz može odabrati iz bilo kojeg niza tačaka.
• Metrički prostor možda nema prebrojivu bazu, ali uvijek zadovoljava - ima prebrojivu bazu u svakoj tački.
  • Štaviše, svaki kompaktni skup u metričkom prostoru ima prebrojivu bazu susjedstava.
  • Štaviše, u svakom metričkom prostoru postoji takva baza da svaka tačka u prostoru pripada samo prebrojivom skupu njegovih elemenata - baza za brojanje bodova(ali ovo svojstvo je slabije