Operatorul liniar adjunct. Valori proprii și elemente proprii

27.04.2019 Windows 8

Fie X un spațiu Banach și A un mărginit operator liniar, definit pe X, cu interval în spațiul Banach Y. Fie x нX și f нY*. Apoi se definește valoarea f(Ax), iar inegalitățile | f(Ax)| £ ||f ||?||Ax|| £ ||f ||?||A||?||x||.

Aceste inegalități arată că funcționarea liniară j(х) definită de egalitatea j(х) = f(Ax) este o funcțională mărginită. Astfel, fiecărei funcționale liniare mărginite f нY cu ajutorul operatorului A se pune în corespondență o funcțională liniară continuă j нХ*. Schimbând elementul f vom obține, în general, elemente diferite j; astfel obținem operatorul

definit pe Y*, cu interval în spațiul X*. Acest operator A* este legat de operatorul A prin egalitatea (A*f)(x) = f(Ax). Dacă aplicăm notația introdusă în Secțiunea 2 pentru funcționarea liniară f(x) = (x, f), atunci conexiunea operatorilor va părea simetrică:

(Ax, f)=(x, A*f). (unu)

Operatorul A* este determinat în mod unic prin formula (1) și este numit operator adjunct operatorului A.

Într-adevăr, dacă pentru toate x și y egalitățile sunt valabile

(Ax, y) = (x, A*y) = (x, A 1 *y),

apoi din Corolarul 4 al teoremei Hahn-Banach rezultă că A 1 *y= A*y pentru tot y, ceea ce înseamnă că A*=A 1 *.

Teorema 11. Operatorul adjunct A* este liniar şi .

Dovada. Să demonstrăm aditivitatea operatorului A*. Într-adevăr, dacă y, z нY*, atunci argumentele de mai sus implică existența unui element unic (y + z)* нX astfel încât (Ax, y + z)=(x, (y + z)*) pentru tot x нX.

Pe de altă parte, folosind formula (1), avem

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A*y) + (x, A*z) = (x, A*y + A*z) = (x , (y+z)*),

acestea. (y+z)* = A*x + A*y, de unde A*(y+z)=A*y+A*z. Aceasta demonstrează aditivitatea operatorului A*. Omogenitatea este, de asemenea, ușor de verificat.

Pentru a calcula norma operatorului A* facem estimările

Aceasta implică faptul că operatorul A* este mărginit și .

Operatorul A*, la rândul său, are un adjunct - A**, definit printr-o egalitate similară cu (1)

(A*y, x) = (y, A**x) (2).

Dar, deoarece din (2) A**x este determinat în mod unic pentru fiecare xОХ, dintr-o comparație a egalităților (1) și (2) rezultă că

(Ax, y) = (A**x, y) "хОХ, "yОY.

Prin corolarul 4 al teoremei Hahn-Banach, acesta din urmă înseamnă că A**x=Ax pentru toate xнX, adică, A**= A pe spațiul X. Aplicând inegalitatea de mai sus pentru norma operatorului adjunct la A* și A**, avem , care dă egalitatea cerută: . Teorema a fost demonstrată.

Teorema. 12. Dacă A și B sunt operatori liniari mărginiți de la un spațiu Banach X la un spațiu Banach Y, atunci

1. (A+B)*=A*+B*

2. (λА)*= λА*

3. Presupunând X \u003d Y, egalitatea (AB) * \u003d B * A * este adevărată.

Dovada. Proprietățile de mai sus rezultă din următoarele relații:

1. ((A+B)x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =(x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B*) )y);

2. ((λA)x,y) = λ(Ax,y) = λ(x, A*y) = (x, (λA*y));

3. ((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B*(A*y)) = (x, (B*A*)y ).

Teorema a fost demonstrată.

Exemplul 8. În spațiul L 2, se consideră operatorul integral Fredholm

cu un miez având un pătrat integrabil. Avem, folosind teorema Fubini,

, Unde

Astfel, trecerea la operatorul adjunct este că integrarea se realizează peste prima variabilă. În timp ce în declarația inițială se efectuează conform celei de-a doua.

Mai multe despre subiectul 6. Operator adjunct. Condiții de existență a operatorului adjunct. Închiderea operatorului adjunct. Operatorul adjunct operatorului mărginit și norma acestuia.:

2. Teorema lui Schauder privind continuitatea completă a operatorului adjunct. Ecuații de primul și al doilea fel cu operatori complet continui. Teoremă asupra domeniului închis al unui operator
1. Operatori liniari în spații normate liniare. Echivalența între continuitatea și mărginirea unui operator liniar. Conceptul de normă a unui operator mărginit. Diverse formule de calcul a normelor. Exemple de operatori liniari mărginiți.
4. Miezul operatorului. Criteriul de limitare pentru operatorul invers. Teoreme de operator invers
2. Spațiul operatorilor liniari continui și completitatea acestuia în raport cu convergența uniformă a operatorilor
5. Exemple de operatori inversi. Invertibilitatea operatorilor de forma (I - A) și (A - C).
1. Operatori complet continui și proprietățile acestora. Operatori Fredholm și Hilbert-Schmidt
6. Graficul unui operator și operatori închiși. Criteriul de închidere. Teorema grafului închis al Banach. Deschide teorema de cartografiere

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Spațiu liniar general

Lasa $E, \, L$ sunt spații liniare și $E^*, \, L^*$ - spații liniare conjugate (spații ale funcționalelor liniare definite pe $E, \, L$ ). Apoi pentru orice operator liniar $A\colon E\la L$ și orice funcțional liniar $g \în L^*$ funcţional liniar este definit $f \în E^*$ - suprapunerea $g$ Și $A$ : $f(x)=g(A(x))$ . Afişa $g\mapsto f$ se numește operator liniar adjunct și se notează $A^*\colon L^* \to E^*$ .

Pe scurt, atunci $(A^*g, x) = (g, Ax)$ , Unde $(B, x)$ - acţiune funcţională $B$ pe vector $X$ .

Spațiu liniar topologic

Lasa $E, \, L$ sunt spații liniare topologice și $E^*, \, L^*$ - conjugați spații liniare topologice (spații continuu funcţionale liniare definite pe $E, \, L$ ). Pentru orice operator liniar continuu $A\colon E\la L$ și orice funcțional liniar continuu $g \în L^*$ este definită o funcțională liniară continuă $f \în E^*$ - suprapunerea $g$ Și $A$ : $f(x)=g(A(x))$ . Este ușor să verificați dacă maparea $g\mapsto f$ liniară și continuă. Se numește operator adjunct și este de asemenea notat $A^*\colon L^* \to E^*$ .

Spațiul Banach

Lasa $A\coloan X\la Y$ este un operator liniar continuu care actioneaza dintr-un spatiu Banach $X$ într-un spațiu Banach $Y$ lăsați-l să plece $X^*, Y^*$ - spații conjugate. Denota $\forall x\in X, f\in Y^* =f(Ax)$ . Dacă $f$ este fix, atunci este o funcțională liniară continuă în $X, \în X^*$ . Prin urmare $\forall f\in Y^*$ o funcţională liniară continuă este definită din $X^*$ , deci operatorul este definit $A^*\colon Y^*\la X^*$ , astfel încât $=$ .

$A^*$ numit operator conjugat. În mod similar, se poate defini un operator adjunct unui operator liniar nemărginit, dar acesta nu va fi definit pe întregul spațiu.

Pentru $A^*$ următoarele proprietăți sunt valabile:

Operator $A^*$ - liniară.
Dacă $A$ este un operator liniar continuu, atunci $A^*$ de asemenea un operator liniar continuu.
Lasa $O$ este operatorul nul și $E$ este operatorul unității. Apoi $O^*=O, E^*=E$ .
$(A+B)^*=A^*+B^*$ .
$\forall\alpha\in\mathbb C, (\alpha A)^*=\bar(\alpha)A^*$ .
$(AB)^*=B^*A^*$ .
$(A^(-1))^*=(A^*)^(-1)$ .

Spațiul Hilbert

În spațiul Hilbert $H$ teorema Riesz dă o identificare a unui spațiu cu dualul său, deci pentru operator $A\coloană H \la H$ egalitate $(Ax, y) = (x, A^*y)$ definește operatorul adjunct $A^*\colon H \la H$ . Aici $(X y)$ - produs scalar în spațiu $H$ .

Vezi si

Scrieți o recenzie la articolul „Operator conjugat”

Note

Literatură

Schaefer H. Spații vectoriale topologice. - M .: Mir, 1971.
Vorovich I.I. , Lebedev L.P. analiza functionalași aplicațiile sale în mecanica continuumului. - M .: Carte universitară, . - 320 s.
Trenogin V. A. Analiza functionala. - M .: Știință, . - 495 p.
Analiză funcțională / editor S. G. Krein. - al 2-lea, revizuit și completat. - M .: Știință, . - 544 p. - (Biblioteca matematică de referință).
Halmosh P. Spații vectoriale cu dimensiuni finite = Spații vectoriale cu dimensiuni finite. - M .: Fizmatgiz, . - 264 p.
Shilov G.E. Analiza matematică(funcțiile unei variabile), partea 3. - M .: Nauka, . - 352 p.

Un fragment care caracterizează operatorul adjunct

Adjutanții au galopat înaintea lui în curte. Kutuzov, împingându-și nerăbdător calul, care umbla sub greutatea lui, și dând constant din cap, a dus mâna la nenorocirea gărzii de cavalerie (cu bandă roșie și fără vizor) care era pe el. După ce s-a apropiat de garda de onoare a tinerilor grenadieri, preponderent cavaleri, care l-au salutat, timp de un minut el i-a privit cu atenție, cu o privire încăpățânată poruncitoare și s-a întors spre mulțimea de generali și ofițeri care stăteau în jurul lui. Chipul lui a căpătat deodată o expresie subtilă; a ridicat din umeri cu un gest de nedumerire.
- Și cu oameni atât de buni, totul se retrage și se retrage! - el a spus. „Ei bine, la revedere, generale”, a adăugat el și a atins calul prin poartă pe lângă prințul Andrei și Denisov.
- Ura! Ura! Ura! strigă din spatele lui.
De când prințul Andrei nu-l văzuse, Kutuzov s-a îngrășat, flasc și umflat de grăsime. Dar familiarul ochi alb, și rana și expresia de oboseală din chipul și silueta lui erau aceleași. Era îmbrăcat într-o redingotă de uniformă (pe umăr îi atârna un bici pe o centură subțire) și o șapcă albă de cavalerie. El, încețoșându-se și legănându-se puternic, s-a așezat pe calul său vesel.
„Fu… fu… fu…” fluieră el aproape audibil în timp ce intra în curte. Chipul lui exprima bucuria de a liniști un bărbat care intenționează să se odihnească după reprezentare. Și-a scos piciorul stâng din etrier, căzând cu tot corpul și strâmbându-se de efort, cu greu l-a adus pe șa, s-a sprijinit în genunchi, a mormăit și a coborât pe mâini la cazacii și adjutanții care îl sprijineau. .
Și-a revenit, s-a uitat în jur cu ochii mijiți și, uitându-se la prințul Andrei, aparent că nu-l recunoaște, a mers cu mersul lui de scufundare spre pridvor.
„Fu… fu… fu”, fluieră el și se uită înapoi la Prințul Andrei. Impresia feței prințului Andrei abia după câteva secunde (cum este adesea cazul bătrânilor) a fost asociată cu amintirea personalității sale.
„Ah, salut, prințe, salut, draga mea, hai să mergem...” spuse el obosit, uitându-se în jur și intră cu greu în verandă, scârțâind sub greutatea lui. S-a descheiat și s-a așezat pe o bancă de pe verandă.
- Ei bine, ce zici de tată?
„Ieri am primit vestea morții lui”, a spus scurt prințul Andrei.
Kutuzov s-a uitat la prințul Andrei cu ochii deschiși înspăimântați, apoi și-a scos șapca și și-a făcut cruce: „Împărăția lui în ceruri! Fie ca voia lui Dumnezeu să fie peste noi toți! Oftă din greu, cu tot pieptul, și tăcu. „L-am iubit și respectat și vă simpatizez din toată inima.” L-a îmbrățișat pe prințul Andrei, l-a lipit de pieptul lui gras și nu l-a lăsat multă vreme. Când l-a eliberat, prințul Andrei a văzut că buzele umflate ale lui Kutuzov tremurau și îi erau lacrimi în ochi. Oftă și apucă banca cu ambele mâini ca să se ridice.
„Vino, vino la mine, vorbim”, a spus el; dar în acest moment Denisov, la fel de puțin timid în fața superiorilor ca și în fața dușmanului, în ciuda faptului că adjutanții de la pridvor l-au oprit în șoaptă supărată, cu îndrăzneală, lovind pintenii în trepte, a intrat în pridvor. Kutuzov, lăsându-și mâinile sprijinite pe bancă, se uită nemulțumit la Denisov. Denisov, identificându-se, a anunțat că trebuie să informeze domnia sa despre o problemă de mare importanță pentru binele patriei. Kutuzov a început să se uite la Denisov cu o privire obosită și cu un gest enervat, luându-și mâinile și îndoindu-le pe burtă, a repetat: „Pentru binele patriei? Ei bine, ce este? Vorbi." Denisov s-a înroșit ca o fată (era atât de ciudat să vezi culoarea acelui chip cu mustață, bătrân și beat) și a început cu îndrăzneală să-și contureze planul de a tăia linia de operațiuni a inamicului dintre Smolensk și Vyazma. Denisov locuia în aceste părți și cunoștea bine zona. Planul lui părea fără îndoială bun, mai ales în ceea ce privește forța de convingere care era în cuvintele lui. Kutuzov se uită la picioarele lui și, din când în când, se uită înapoi la curtea unei cabane vecine, de parcă s-ar fi așteptat la ceva neplăcut de acolo. Într-adevăr, în timpul discursului lui Denisov, din coliba pe care o privea a apărut un general cu o servietă sub braț.
- Ce? - în mijlocul prezentării lui Denisov, a spus Kutuzov. - Gata?
— Gata, domnule, spuse generalul. Kutuzov a clătinat din cap, de parcă ar fi spus: „Cum poate o persoană să facă toate acestea” și a continuat să-l asculte pe Denisov.
„Vă dau un cuvânt nobil de la un ofițer husian”, a spus Denisov, „că sunt g” azog „wu din mesajele lui Napoleon.

Un element diferit de zero x G V se numește element propriu al operatorului liniar A: V V, dacă există un astfel de număr A - o valoare proprie a operatorului liniar A, astfel încât Valori propriiȘi elemente proprii. Operator asociat. nu are elemente proprii. Fie un polinom trigonometric a cos t + 0 sin t să devină proporțional după diferențiere: Aceasta înseamnă că sau, care este același, Ultima egalitate este satisfăcută dacă și numai dacă rezultă că a = p = 0 și, prin urmare, polinomul poate fie doar zero. Teorema 6. Un număr real A este o valoare proprie a unui operator liniar A dacă și numai dacă acest număr este rădăcina polinomului său caracteristic: x(A) = 0. Necesitate. Fie A o valoare proprie a operatorului A. Atunci există un element diferit de zero x pentru care Ax = Ax. Să fie baza spațiului. Apoi ultima egalitate poate fi rescrisă într-o formă de matrice echivalentă sau, care este aceeași, Și aceasta, că x este un element propriu, rezultă că coloana sa de coordonate x(c) este diferită de zero. Aceasta înseamnă că sistemul liniar (1) are o soluție diferită de zero. Aceasta din urmă este posibilă numai cu condiția ca sau, ceea ce este la fel, Suficiența. O modalitate de a-ți construi propriul element. Fie A rădăcina unui polinom Să considerăm un sistem liniar omogen cu o matrice A(c) - AI: Datorită condiției (2), acest sistem are o soluție diferită de zero Să construim elementul x după regula Coloana de coordonate x(c) a acestui element satisface condiția sau, care este, de asemenea, Acesta din urmă este echivalent cu sau, mai detaliat, În consecință, x este un element propriu al operatorului liniar A și A este valoarea proprie corespunzătoare. Cometariu. Pentru a găsi toate elementele proprii corespunzătoare unei valori proprii date A, este necesar să se construiască FSR-ul sistemului (3). Exemplul 1. Găsiți vectorii proprii ai unui operator liniar care acționează conform regulii (operatorul de proiecție) (Fig. 6). M Se consideră acțiunile operatorului liniar P asupra vectorilor de bază. Avem Notați matricea operatorului: Valori proprii și elemente proprii. Operator asociat. construiți un polinom caracteristic și găsiți-i rădăcinile. Avem Construct omogen sisteme liniare cu matrice: Se obține, respectiv: Să găsim sistemele fundamentale de soluții pentru fiecare dintre aceste sisteme. Avem 1 Astfel, vectorii proprii ai acestui operator de proiectie sunt: vectorul k cu valoare proprie 0 si orice vector cu baza valorii proprii I, t, O are forma polinomul caracteristic -A3 are exact o radacina A = 0. Solutia sistem este mulțimea 1,0,0, care corespunde unui polinom de grad zero. §cinci. Operator adjunct În spațiul euclidian peste operatori liniari, se mai poate introduce o acțiune - operația de conjugare. Fie V un spațiu euclidian n-dimensional. Cu fiecare operator liniar care acționează în acest spațiu; un alt operator liniar alăturat celui dat este conectat în mod natural. Definiție. Un operator liniar (a se citi: „a cu o stea”) se numește adjunct unui operator liniar A: V - * V, dacă pentru orice elemente x și y din spațiul V egalitatea este îndeplinită Operatorul liniar A *, adjunct acest operator Ah, există întotdeauna. Fie c = (et,..., en) ortobaza spațiului V și A = A(c) = (o^) fie matricea operatorului liniar A în această bază, adică prin calcule directe se poate verificați că pentru operatorul liniar A": V -> V, definit de regulă, egalitatea (1) este valabilă pentru orice x și y. Reamintim că, conform teoremei 1, pentru a construi un operator liniar, este suficient să specificați actiunea acesteia asupra elementelor de baza.Exemplu.Introducem in spațiu liniar M\ polinoame cu coeficienți reali de grad nu mai mari decât prima operație de înmulțire scalară cu următoarea regulă. Fie Astfel, M\ un spațiu euclidian bidimensional. Fie V: M\ - M\ operatorul de diferențiere: V(a + d»f) = b. Să construim un operator adjunct. Matricea operatorului V în această bază are forma. Atunci este matricea operatorului adjunct V, acționând conform regulii: Pentru un polinom arbitrar, obținem Proprietățile operației de conjugare 1. Pentru fiecare operator liniar, există exact un operator conjugat cu acesta. Fie B și C operatori conjugați la un uoperator dat A. Aceasta înseamnă că pentru orice elemente x și y din spațiul V, egalitățile sunt îndeplinite. Rezultă că valorile proprii și elementele proprii. Operator asociat. și mai departe, în virtutea arbitrarului alegerii elementului x, concluzionăm că elementul Vu-Su este ortogonal oricărui element al spațiului V și, în special, față de el însuși. Aceasta din urmă este posibilă numai în cazul în care By - Cy = 0 și, prin urmare, By = C y. Datorită faptului că y este un element arbitrar, obținem B ~ C. 2. (a.4)* = aL*, unde a este un număr real arbitrar. Fie A:V -+ V și B:V -+ V operatori liniari. Apoi, proprietățile 2-5 devin ușor din unicitatea operatorului adjunct. 6. Fie c o ortobază a spațiului V. sunt îndeplinite egalitățile B = A", A = B*, este necesar și suficient ca matricele lor A = A(c) și B = B(c) să se obțină una de la alta prin transpunere. Observație. Subliniem că proprietatea 6 este valabil doar pentru matricea 7. Dacă un operator liniar A este nedegenerat, atunci operatorul său conjugat A* este, de asemenea, nedegenerat, iar egalitatea

Să studiem proprietăți suplimentare ale operatorilor liniari legate de conceptul de ortogonalitate în spațiul euclidian. Să demonstrăm mai întâi următoarea proprietate: dacă A Și B sunt operatori liniari care acţionează în n-spaţiu euclidian dimensional V, Și ( X , Ay ) = (X , De ), X , y V, apoi A = B .

Într-adevăr, punând în egalitate ( X , Ay ) = (X , De ) Û ( X , (A – B )y ) = 0 vector X = (A – B )y , primim (( A –B )y , (A – B )y ) = ||(A – B )y || 2 = 0, y V, care este echivalent cu ( A – B )y = 0 , y V, adică A – B = O , sau A = B .

Definiție 11.1. Operator liniar A * chemat conjuga operator A , dacă

(Topor , y ) = (X , A * y ), X , y V. (11.1)

Întrebarea apare în mod firesc: există pentru un anumit operator A conjuga?

Teorema 11.1. Fiecare operator de linie A are un singur operator adjunct A * .

Dovada. Să alegem în spațiu V baza ortonormala u 1 , u 2 ,…, u n. Fiecare operator liniar A : V® Vîn această bază corespunde matricea DAR = , i, j = 1, 2,..., n. Fie matricea obținută din matrice DAR transpunere. Corespunde operatorului liniar B . Apoi

(Au j, u i) = (dar 1 ju 1 + dar 2 ju 2 +…+ și nju n, u i) = şi ij;

(u j, Bu i) = (u j, un i 1 u 1 + un i 2 u 2 +…+ si inu n) = şi ij.

(Au j, u i) = (u j, Bu i), i, j = 1, 2,..., n. (11.2)

Lasă mai departe X = X 1 u 1 + X 2 u 2 +…+ x nu nȘi y = la 1 u 1 + la 2 u 2 +…+ la nu n sunt oricare doi vectori din V. Luați în considerare produsele scalare ( Topor , y ) Și ( X , De ):

(Topor , y ) = (Au j, u i),

(X , De ) = (u j, Bu i).

Comparând aceste expresii, ținând cont de egalitatea (11.2) și de proprietatea notă mai sus, obținem egalitatea ( Topor , y ) = (X , De ), X , y V, adică B = A * .

Astfel, am demonstrat că pentru fiecare operator liniar A într-un spațiu euclidian finit-dimensional există un operator alăturat acestuia A * a cărui matrice în orice bază ortonormală este transpusă în raport cu matricea operatorului A . Unicitatea operatorului A * rezultă din definiția operatorului adjunct și a proprietății dovedite mai sus.¨

Este ușor de verificat dacă operatorul A * adjunct operatorului liniar A , este liniar.

Deci operatorul A * este liniar și are o matrice corespunzătoare A*. Prin urmare, relația matriceală corespunzătoare formulei (11.1) are forma

(DARX , y ) = (X , A * y ), X , y V.

Operatorii adjuncţi au următoarele proprietăți:

1°. E * = E .

2°. ( A *) * = A .

3°. ( A + B ) * = A * + B * .

4°. ( DAR ) * = A * , R.

5°. ( AB ) * = B * A * .

6°. ( A –1) * = (A *) –1 .

Valabilitatea proprietăților 1°–5° rezultă din proprietățile transpunerii matricei.

Să verificăm validitatea proprietății 6°. Lasa A -1 există. Apoi din egalităţi AA –1 = A –1 A = E și proprietățile 1°, 5° rezultă că ( AA –1) * = (A –1 A ) * = E * = = E Și ( AA –1) * = (A –1) * A * , (A –1 A ) * = A * (A –1) * , adică că ( A –1) * = (A *) -unu . Din aceasta obținem o altă proprietate importantă a transpunerii matricei:

(A –1) * = (A *) –1 .

Exemplul 1 Lasa A – rotirea planului euclidian R 2 pe colt j cu matrice

pe o bază ortonormală i , j . Atunci matricea operatorului adjunct în această bază este

= .

Prin urmare, A * - rotirea planului cu un unghi jîn sens opus.·

Operator invers

Fie V un spațiu liniar peste un câmp P și fie A un operator (nu neapărat liniar) care acționează pe V.

Definiție. Se spune că un operator A este inversabil dacă există un operator B care acționează pe V astfel încât BA = AB = I.

Definiție. Operatorul B care îndeplinește condiția BA = AB = I se numește inversul lui A și se notează.

Astfel, operatorul invers operatorului A satisface condiția A = A = I. Pentru un operator inversabil A, egalitățile Ax = y și y = x sunt echivalente. Într-adevăr, fie Ax = y, apoi y = (Ax) = (A)x = Ix = x.

Dacă y = x, atunci

Ax \u003d A (y) \u003d (A) y \u003d Iy \u003d y.

Teorema. Dacă un operator liniar este inversabil, atunci operatorul său invers este și liniar.

Dovada. Fie A un operator liniar inversabil care acționează într-un spațiu liniar V peste un câmp P, fie A un operator invers cu A. Luați vectori și numere arbitrare Fie . Atunci A=, A=. Datorită liniarității operatorului A

De aici obținem:

= = ,

Adică operatorul este liniar.

Operator liniar adjunct

Să fie date două spații unitare X, Y.

Definiție. Operatorul A*, care acționează de la Y la X, se numește adjunct față de operatorul A, care acționează de la X la Y, dacă pentru orice vector xX, yY egalitatea

(Ax, y) = (x, A*y). (unu)

Teorema. Pentru orice operator liniar A există un operator adjunct A* și doar unul.

Dovada. Să alegem o bază ortonormală în X. Pentru orice vector xX, există o descompunere

Dacă operatorul A* există, atunci, conform acestei formule, pentru orice vector yY avem

Sau prin definiție

Dar asta înseamnă că dacă operatorul A* există, atunci este unic.

Operatorul A* astfel construit este liniar. De asemenea, satisface egalitatea (Ax, y) = (x, A*y). Într-adevăr, ținând cont de ortonormalitatea sistemului și ținând cont de (1), (2), obținem pentru orice vector xX, yY

(Ax, y) = (A) =,

(x, A*y) = (A) =