Fie X un spațiu Banach și A un operator liniar mărginit definit pe X cu un interval într-un spațiu Banach Y. Fie x ÎX și f ÎY *. Apoi se definește valoarea f (Ax), iar inegalitățile | f (Ax) | £ || f ||? || Ax || £ || f ||? || A ||? || x ||.

Aceste inegalități arată că funcționarea liniară j (x) definită de egalitatea j (x) = f (Ax) este o funcțională mărginită. Astfel, fiecare funcțională liniară mărginită f ÎY cu ajutorul operatorului A este asociată cu o funcțională liniară continuă j ÎX *. Schimbând elementul f vom obține, în general, diferite elemente ale lui j; astfel obținem operatorul

definit pe Y *, cu interval în X * spațiu. Acest operator A * este legat de operatorul A prin egalitatea (A * f) (x) = f (Ax). Dacă aplicăm notația introdusă în Secțiunea 2 pentru funcționalitatea liniară f (x) = (x, f), atunci conexiunea dintre operatori va părea simetrică:

(Ax, f) = (x, A * f). (unu)

Operatorul A * este determinat în mod unic de formula (1) și este numit operator conjugat cu operatorul A.

Într-adevăr, dacă pentru toate x și y egalitățile sunt valabile

(Ax, y) = (x, A * y) = (x, A 1 * y),

apoi din Corolarul 4 din teorema Hahn-Banach rezultă că A 1 * y = A * y pentru tot y, ceea ce înseamnă că A * = A 1 *.

Teorema 11. Operatorul adjunct A * este liniar şi.

Dovada. Să demonstrăm aditivitatea operatorului A *. Într-adevăr, dacă y, z ÎY *, atunci raționamentul de mai sus implică existența unui element unic (y + z) * ÎX astfel încât (Ax, y + z) = (x, (y + z) *) pentru tot x ÎX.

Pe de altă parte, folosind formula (1), avem

(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) = (x, A * y) + (x, A * z) = (x, A * y + A * z) = (x , (y + z) *),

acestea. (y + z) * = A * x + A * y, de unde A * (y + z) = A * y + A * z. Aceasta dovedește aditivitatea operatorului A *. De asemenea, uniformitatea este ușor de verificat.

Pentru a calcula norma operatorului A *, estimăm

Rezultă că operatorul A * este mărginit și.

Operatorul A *, la rândul său, are un conjugat - A **, definit printr-o egalitate similară cu (1)

(A * y, x) = (y, A ** x) (2).

Dar, deoarece din (2) A ** x este determinat în mod unic pentru fiecare xÎХ, dintr-o comparație a egalităților (1) și (2) rezultă că

(Ax, y) = (A ** x, y) „xÎX”, yÎY.

În virtutea corolarului 4 al teoremei Hahn-Banach, acesta din urmă înseamnă că A ** x = Ax pentru toate xÎX, adică A ** = A pe spațiul X. Aplicând inegalitatea demonstrată pentru norma operatorului adjunct la A * și A **, avem , care dă egalitatea cerută:. Teorema este demonstrată.

Teorema. 12. Dacă A și B sunt operatori liniari mărginiți de la un spațiu Banach X la un spațiu Banach Y, atunci

1. (A + B) * = A * + B *

2. (λА) * = λА *

3. În ipoteza X = Y, egalitatea (AB) * = B * A * este adevărată.

Dovada. Proprietățile de mai sus rezultă din următoarele relații:

1. ((A + B) x, y) = (Ax, y) + (Bx, y) = (x, A * y) + (x, B * y) = (x, (A * + B *) ) y);

2. ((λA) x, y) = λ (Ax, y) = λ (x, A * y) = (x, (λA * y));

3. ((AB) x, y) = (A (Bx), y) = (Bx, A * y) = (x, B * (A * y)) = (x, (B * A *) y ).

Teorema este demonstrată.

Exemplul 8. În spațiul L2, se consideră operatorul integral Fredholm

cu un miez cu un pătrat integrabil. Avem, folosind teorema lui Fubini,

, Unde

.

Astfel, trecerea la operatorul adjunct este că integrarea se realizează peste prima variabilă. În timp ce în operatorul original îl urmează pe al doilea.

Mai multe despre subiectul 6. Operator conjugat. Condiții de existență a operatorului adjunct. Închiderea operatorului adjunct. Operator adjunct la un operator mărginit și norma acestuia .:

1. 2. Teorema lui Schauder privind continuitatea completă a operatorului adjunct. Ecuații de primul și al doilea fel cu operatori complet continui. O teoremă privind închiderea intervalului de valori al unui operator
2. 1. Operatori liniari în spații liniare normate. Echivalența continuității și a mărginirii unui operator liniar. Conceptul de normă a unui operator mărginit. Diverse formule de calcul a normelor. Exemple de operatori liniari mărginiți.
3. 4. Miezul operatorului. Criteriul de limitare pentru operatorul invers. Teoreme ale operatorului invers
4. 2. Spațiul operatorilor liniari continui și completitatea acestuia în raport cu convergența uniformă a operatorilor
5. 5. Exemple de operatori inversi. Invertibilitatea operatorilor de forma (I - A) și (A - C).
6. 1. Operatori complet continui și proprietățile acestora. Operatori Fredholm și Hilbert-Schmidt
7. 6. Graficul operator și operatori închiși. Criteriul de închidere. Teorema grafului închis a lui Banach. Deschide teorema de cartografiere

Să studiem proprietăți suplimentare ale operatorilor liniari legate de conceptul de ortogonalitate în spațiul euclidian. Mai întâi, demonstrăm următoarea proprietate: dacă A și B - operatori liniari care acţionează în n-spaţiu euclidian dimensional V, și ( X , Ay ) = (X , De ), X , y V, atunci A = B .

Într-adevăr, punând în egalitate ( X , Ay ) = (X , De ) Û ( X , (A – B )y ) = 0 vector X = (A – B )y , primim (( A –B )y , (A – B )y ) = ||(A – B )y || 2 = 0, y V, care este echivalent cu egalitatea ( A – B )y = 0 , y V, adică A – B = O , sau A = B .

Definiție 11.1. Operator liniar A * chemat conjuga operator A , dacă

(Topor , y ) = (X , A * y ), X , y V. (11.1)

Întrebarea apare în mod firesc: există pentru un anumit operator A conjuga?

Teorema 11.1. Fiecare operator liniar A are un singur operator adjunct A * .

Dovada. Să alegem în spațiu V baza ortonormala u 1 , u 2 ,…, u n... Pentru fiecare operator liniar A : V® Vîn această bază corespunde matricea A = , i, j = 1, 2,..., n... Fie matricea obtinuta din matrice A transpunere. Corespunde operatorului liniar B ... Atunci

(Au j, u i) = (A 1 ju 1 + A 2 ju 2 +…+ și nju n, u i) = şi ij;

(u j, Bu i) = (u j, și eu 1 u 1 + și eu 2 u 2 +…+ si inu n) = şi ij.

(Au j, u i) = (u j, Bu i), i, j = 1, 2,..., n. (11.2)

Lasă mai departe X = X 1 u 1 + X 2 u 2 +…+ x nu nși y = la 1 u 1 + la 2 u 2 +…+ la nu n- oricare doi vectori din V... Luați în considerare produsele punctiforme ( Topor , y ) și ( X , De ):

(Topor , y ) = (Au j, u i),

(X , De ) = (u j, Bu i).

Comparând aceste expresii ținând cont de egalitatea (11.2) și de proprietatea menționată mai sus, obținem egalitatea ( Topor , y ) = (X , De ), X , y V, adică B = A * .

Astfel, s-a demonstrat că pentru fiecare operator liniar A într-un spațiu euclidian cu dimensiuni finite, există un operator conjugat cu acesta A *, a cărui matrice în orice bază ortonormală este transpusă în raport cu matricea operatorului A ... Unicitatea operatorului A * rezultă din definiția operatorului adjunct și a proprietății dovedite mai sus.

Este ușor de verificat dacă operatorul A * conjugat la operatorul liniar A , este liniar.

Deci operatorul A * este liniar și corespunde unei matrice A*. Prin urmare, relația matriceală corespunzătoare formulei (11.1) are forma

(AX , y ) = (X , A * y ), X , y V.

Operatorii conjugați au următoarele proprietăți:

1 °. E * = E .

2 °. ( A *) * = A .

3 °. ( A + B ) * = A * + B * .

4 °. ( A ) * = A * , R.

5 °. ( AB ) * = B * A * .

6 °. ( A –1) * = (A *) –1 .

Valabilitatea proprietăților 1 ° –5 ° rezultă din proprietățile transpunerii matricei.

Să verificăm validitatea proprietății 6 °. Lăsa A -1 există. Apoi din egalităţi AA –1 = A –1 A = E și proprietățile 1 °, 5 ° rezultă că ( AA –1) * = (A –1 A ) * = E * = = E și ( AA –1) * = (A –1) * A * , (A –1 A ) * = A * (A –1) *, adică că ( A –1) * = (A *) -unu . Aceasta ne oferă o altă proprietate importantă a transpunerii matricei:

(A –1) * = (A *) –1 .

Exemplul 1. Lăsa A - rotirea planului euclidian R 2 la colt j cu matrice

în baza ortonormală i , j ... Atunci matricea operatorului adjunct în această bază este

= .

Prin urmare, A * - rotirea planului la un unghi jîn sens invers.·

Un element diferit de zero x GV se numește valoare proprie a unui operator liniar A: VV dacă există un număr A - o valoare proprie a unui operator liniar A astfel încât Exemplul 1. Orice polinom de gradul zero este o valoare proprie a operatorului de diferențiere; valoarea proprie este zero: Exemplul 2. Operatorul de diferențiere Valori proprii și elemente proprii. Operator conjugat. nu are elemente proprii. Fie un polinom trigonometric a cos t + 0 sin t după diferențiere devine proporțional: Aceasta înseamnă că sau, care este același, Ultima egalitate este valabilă dacă și numai dacă de unde rezultă că a = p = 0 și, prin urmare, polinomul poate fie doar zero. Teorema 6. Un număr real A este o valoare proprie a unui operator liniar A dacă și numai dacă acest număr este o rădăcină a polinomului său caracteristic: x (A) = 0. Necesitate. Fie A valoarea proprie a operatorului A. Atunci există un element diferit de zero x pentru care Ax = Ax. Să fie baza spațiului. Apoi ultima egalitate poate fi rescrisă într-o formă de matrice echivalentă sau, care este aceeași, Și aceasta, că x este un element propriu, rezultă că coloana sa de coordonate x (c) este diferită de zero. Aceasta înseamnă că sistemul liniar (1) are o soluție diferită de zero. Aceasta din urmă este posibilă numai cu condiția ca sau, ceea ce este la fel, Suficiența. O modalitate de a-ți construi propriul element. Fie A o rădăcină a unui polinom Considerăm un sistem liniar omogen cu matricea A (c) - AI: Prin condiția (2), acest sistem are o soluție diferită de zero. Să construim un element x după regula. Coloana de coordonate x (c) a acestui element satisface condiția sau, care este, de asemenea, aceasta din urmă echivalează cu faptul că sau, mai detaliat, În consecință, x este o valoare proprie a operatorul liniar A și A este valoarea proprie corespunzătoare. Cometariu. Pentru a găsi toate valorile proprii corespunzătoare unei valori proprii A date, este necesar să se construiască FSR-ul sistemului (3). Exemplul 1. Găsiți vectorii proprii ai unui operator liniar care acționează conform regulii (operatorul de proiecție) (Fig. 6). M Se consideră acțiunea operatorului liniar P asupra vectorilor de bază. Avem Să scriem matricea operatorului: Valori proprii și valori proprii. Operator conjugat. construim un polinom caracteristic și găsim rădăcinile acestuia. Avem Construim sisteme liniare omogene cu matrice: Obținem, respectiv: Găsim sistemele fundamentale de soluții pentru fiecare dintre aceste sisteme. Avem 1 Astfel, vectorii proprii ai acestui operator de proiecție sunt: ​​un vector k cu o valoare proprie de 0 și orice vector cu o valoare proprie Exemplul 2. Aflați valorile proprii ale unui operator de diferențiere liniară V care acționează în spațiul Afj al polinoamelor de grad cel mult două: Matricea D a unui operator dat în baza I, t, O are forma polinomul caracteristic -A3 are exact o rădăcină A = 0. Soluția sistemului este mulțimea 1,0,0, care corespunde la polinomul de grad zero. §5. Operator conjugat Într-un spațiu euclidian peste operatori liniari, putem introduce o acțiune - operația de conjugare. Fie V un spațiu euclidian n-dimensional. Cu fiecare operator liniar care acționează în acest spațiu; un alt operator liniar conjugat cu cel dat este în mod natural înrudit. Definiție. Un operator liniar (a se citi: „a cu o stea”) se numește conjugat la un operator liniar A: V - * V dacă pentru orice elemente x și y din spațiul V este valabilă egalitatea. Operatorul liniar A *, conjugat la a dat operatorul A, există întotdeauna. Fie c = (et, ..., en) ortobaza spațiului V și fie A = A (c) = (o ^) matricea operatorului liniar A în această bază, adică prin calcule directe se poate verifica că pentru al operatorului liniar A ": V -» V, definit de regula egalitatea (1) este îndeplinită pentru oricare și y. Reamintim că, conform teoremei 1, pentru a construi un operator liniar, este suficient pentru a-si defini actiunea asupra elementelor de baza.de polinoame cu coeficienti reali de grad cel mult o operatie de inmultire scalara dupa urmatoarea regula.Construiti operatorul adjunct.Matricea operatorului V in aceasta baza are forma.Atunci este matricea al operatorului adjunct V, acţionând conform regulii: Pentru un polinom arbitrar, obţinem sunt conjugate cu operatorul dat A. Aceasta înseamnă că pentru orice elemente x și y din spațiul V sunt valabile egalitățile. Prin urmare, rezultă că valorile proprii și elementele proprii. Operator conjugat. și, mai departe, Prin arbitrariul alegerii elementului x, concluzionăm că elementul Vu-Su este ortogonal oricărui element al spațiului V și, în special, față de el însuși. Aceasta din urmă este posibilă numai în cazul în care By - Cy = 0 și, prin urmare, By = C y. Datorită faptului că y este un element arbitrar, obținem B ~ C. 2. (a.4) * = aA *, unde a este un număr real arbitrar. Fie A: V - + V și B: V - + V operatori liniari. Apoi, proprietățile 2-5 urmează cu ușurință din unicitatea operatorului adjunct. 6. Fie c ortobaza spațiului V. Pentru ca operatorii A: V V și B: V - »V să fie reciproc conjugați, adică egalitățile B = A ", A = B * sunt îndeplinite, este necesar și suficient ca matricele lor A = A (c) și B = B (c) să fie obținute una de la alta prin transpunere. Notă. Subliniem că proprietatea 6 este valabil doar pentru matrice, 7. Dacă operatorul liniar A este nedegenerat, atunci operatorul A * conjugat cu acesta este și el nedegenerat și egalitatea

Operator invers

Fie V un spațiu liniar peste un câmp P, A un operator (nu neapărat liniar) care acționează în V.

Definiție. Un operator A se numește inversabil dacă există un operator B care acționează în V astfel încât BA = AB = I.

Definiție. Un operator B care îndeplinește condiția BA = AB = I se numește invers cu A și se notează.

Astfel, operatorul invers operatorului A satisface condiția A = A = I. Pentru un operator inversabil A, egalitățile Ax = y și y = x sunt echivalente. Într-adevăr, fie Ax = y, apoi y = (Ax) = (A) x = Ix = x.

Dacă y = x, atunci

Ax = A (y) = (A) y = Iy = y.

Teorema. Dacă un operator liniar este inversabil, atunci operatorul său invers este și liniar.

Dovada. Fie A un operator liniar inversabil care acționează într-un spațiu liniar V peste un câmp P, un operator invers cu A. Luați vectori și numere arbitrare. Atunci A =, A =. Datorită liniarității operatorului A

De aici obținem:

= = ,

Adică, operatorul este liniar.

Operator liniar conjugat

Să fie date două spații unitare X, Y.

Definiție. Un operator A * care acționează de la Y la X se numește conjugat față de un operator A care acționează de la X la Y dacă pentru orice vector xX, yY egalitatea

(Ax, y) = (x, A * y). (unu)

Teorema. Pentru orice operator liniar A, există un operator adjunct A * și, în plus, doar unul.

Dovada. Să alegem o bază ortonormală în X. Pentru orice vector xX, descompunerea

Dacă operatorul A * există, atunci, conform acestei formule, pentru orice vector yY avem

Sau prin definiție

Dar asta înseamnă că dacă operatorul A * există, atunci este singurul.

Operatorul A * construit în acest fel este liniar. De asemenea, satisface egalitatea (Ax, y) = (x, A * y). Într-adevăr, ținând cont de ortonormalitatea sistemului și ținând cont de (1), (2), obținem pentru orice vector xX, yY

(Ax, y) = (A) =,

(x, A * y) = (A) =

Teorema este demonstrată.

Operatorul adjunct A * este legat de operatorul A prin anumite relații. Să notăm câteva dintre ele:

Dovada. Considerăm un operator arbitrar A și operatorul său conjugat A *. La rândul său, operatorul (A *) * va fi conjugat pentru operatorul A *. Acum, pentru orice xX, yY avem

(y, (A *) * x) = (A * y, x) == = (y, Ax).