Semnale modulate în amplitudine și spectrele acestora

În modulația de amplitudine (AM), amplitudinea semnalului purtător este afectată de semnalul mesajului. Valoare instantanee Oscilațiile AM ​​cu o purtătoare armonică pot fi scrise ca

unde U m (t) – „amplitudine variabilă” sau anvelopă de amplitudine;

– frecvența unghiulară a semnalului purtător;

– faza iniţială a semnalului purtător.

„Amplitudinea variabilă” U m (t) este proporțională cu semnalul de control (semnal de mesaj) U c (t):

, (2.17)

unde U m 0 este amplitudinea semnalului purtător înainte de modularea în amplitudine, adică ajungerea la modulator;

– coeficientul de proporționalitate.

La modularea unui semnal purtător cu un semnal de mesaj, este necesar să se asigure că U m (t) este o valoare pozitivă. Această cerinţă este îndeplinită prin alegerea coeficientului .

Pentru a elimina influența proceselor tranzitorii în circuitul radio-electronic al modulatorului și a altor circuite de conversie a semnalului modulat asupra spectrului semnalului de mesaj, trebuie îndeplinită următoarea condiție: componenta spectrală de cea mai înaltă frecvență din spectrul limitat al semnalului de mesaj trebuie să aibă o frecvență , care este asigurată de alegerea frecvenței semnalului purtător.

În fig. Figurile 2.10 și 2.11 prezintă două exemple de reprezentare grafică a oscilațiilor AM. Următoarele grafice sunt prezentate în figuri:

a – semnal de mesaj u c (t);

b – semnal purtător u 0 (t);

c – anvelopa de amplitudine U m (t);

d – semnal AM u(t).

Pentru a înțelege formarea spectrului unui semnal AM, să luăm în considerare un caz simplu: o oscilație modulată în amplitudine cu un singur ton. În acest caz, semnalul de modulare este armonic (un singur ton):

cu amplitudinea U mc, frecvența și faza inițială.

Anvelopa de amplitudine a unei oscilații AM cu un singur ton are forma:

unde este incrementul maxim de amplitudine. Valoarea instantanee a oscilației AM cu un singur ton

Relația se numește factorul de adâncime a modulației sau doar factor de modulație. Deoarece U m (t) > 0 apoi 0 < m < 1. Adesea m este măsurat ca procent, apoi 0 < m < 100%. Ținând cont de introducerea coeficientului de modulație, scriem oscilația modulată cu un singur ton sub forma:

Graficele care explică procesul de modulare a amplitudinii cu un singur ton sunt prezentate în Fig. 2.12.

Orez. 2.12. Modulație de amplitudine a unui singur ton

Pentru a găsi spectrul unui semnal modulat în amplitudine cu un singur ton, este necesar să faceți următoarele transformări:

(2.20)

La derivarea expresiei (2.20), a fost utilizată formula trigonometrică

Astfel, cu modularea în amplitudine cu un singur ton a semnalului purtător, spectrul conţine trei componente: una la frecvenţa purtătoare are o amplitudine U m 0 şi două la frecvenţele laterale cu amplitudini mU m 0 /2, în funcţie de coeficientul de modulaţie; la m < 1 amplitudinile lor nu depășesc jumătate din amplitudinea armonicii purtătoare. Fazele inițiale ale oscilațiilor componentelor spectrale laterale diferă de faza inițială printr-o cantitate. În fig. Figura 2.13 prezintă grafice ale ASF și FSF ale unei oscilații modulate în amplitudine cu un singur ton.

Orez. 2.13. Spectrul unei oscilații cu un singur ton cu amplitudine modulată

Din analiza spectrului rezultă că ASF este par în raport cu frecvența, iar FSF este impar în raport cu punctul cu coordonatele ( , ).

Cu condiția ca toate componentele spectrului să fie de înaltă frecvență, prin urmare, un astfel de semnal poate fi transmis eficient folosind unde electromagnetice.

Să luăm în considerare parametrii energetici ai unui semnal AM cu un singur ton. Puterea medie eliberată pe unitate de rezistență pe perioada semnalului purtător este

În absența modulării, această putere este egală cu

iar în timpul modulării variază de la

.

Dacă m = 100%, atunci , și P min = 0. Puterea medie a semnalului pe perioada de modulație va fi suma puterilor componentelor spectrale

În cazul lui m=100% P av = 1,5P 0 .

Să trecem la considerare caz general la așa-numitul semnal AM multiton. Semnalul modulator, adică semnalul de mesaj, are un spectru de forma (1.22)

.

Anvelopa de amplitudine are forma:

unde este incrementul maxim al amplitudinii armonicii a n-a a semnalului modulator.

Expresia pentru un semnal AM cu mai multe tonuri va lua următoarea formă:

(2.23)

unde este coeficientul de modulație al armonicii a n-a a semnalului modulator. Aplicând transformări trigonometrice similare cu cele făcute pentru modulația de amplitudine cu un singur ton, obținem

(2.24)

Expresia (2.24) reprezintă spectrul semnalului modulat în amplitudine. În ceea ce privește oscilațiile cu frecvența, există două rânduri de componente cu frecvențe laterale superioare și inferioare. Aceste componente formează așa-numitele superioare și inferioare dungi laterale spectru

Este imposibil să transmiteți întregul spectru al semnalului AM prin canalul de informații. următoarele motive. În primul rând, este imposibil să se creeze un circuit liniar ideal în domeniul de frecvență, vezi paragraful 1.4. În al doilea rând, cu creșterea lățimii de bandă circuit liniar Raportul dintre puterea semnalului și puterea zgomotului poate scădea (a se vedea clauza 1.5). În al treilea rând, lățimea de bandă, dacă este posibil, ar trebui să fie minimă, astfel încât într-un anumit moment gama de frecvente cât mai multe linii radio (canale radio) au funcționat fără a se afecta reciproc, adică fără a crea interferențe între ele. În consecință, spectrul semnalului este limitat la frecvența cea mai îndepărtată de frecvența semnalului purtător. În fig. 2.14 este spectrul de amplitudine redusă al semnalului AM. Se determină lățimea spectrului frecventa maximaîn spectrul semnalului modulator și este 2. Lățimile aproximative ale spectrului pentru unele semnale AM ​​sunt prezentate în tabel. 1.1.

În acest articol vom vorbi despre spectrul unui semnal cu modulație unghiulară. În primul rând, vom lua în considerare modulația unghiulară cu un singur ton, după care vom lua în considerare un caz mai general cu un semnal de modulare arbitrar. Trebuie remarcat faptul că în formă analitică este posibil să se obțină o expresie pentru spectru numai în cazul unui singur ton. modulația unghiulară.

Să prezentăm mai întâi câteva relații matematice din teoria funcțiilor Bessel și a numerelor complexe, de care vom avea nevoie în analiză.

În matematică se dovedește că o funcție poate fi extinsă într-o serie infinită:

(1)

Unde este funcția Bessel a primului tip de ordin întreg de argument, este unitatea imaginară. În mod similar, funcția este reprezentată lângă ea:

Să reamintim din teoria funcțiilor complexe că:

Unde este semnalul de modulare, este indicele de modulație de fază, este frecvența purtătoarei, este faza inițială aleatorie a oscilației purtătoarei. Să luăm în considerare cazul modulației de fază cu un singur ton, când unde este frecvența semnalului de modulare și este faza inițială a semnalului de modulare. Apoi

Să o împărțim în trei sume:

Să luăm partea adevărată acum:

(12)

Analiza spectrului unui semnal cu modulație unghiulară cu un singur ton

Acum hai să ne dăm seama. Spectrul este infinit și constă din armonici care sunt multipli ai frecvenței semnalului modulator la dreapta și la stânga frecvenței centrale. Amplitudinile armonice depind de indicele de modulație. În acest caz, cinci termeni arată comportamentul spectrului.

Primul termen arată că amplitudinile armonicilor pare sub frecvența centrală sunt egale , iar faza acestor armonice este egală cu , în timp ce fiecare a patra armonică, începând de la a doua (2,6,10,14,18... armonice) capătă o deplasare cu datorită multiplicatorului. Spectrele de amplitudine și de fază pentru prima componentă a semnalului sunt prezentate în Figura 1 în purpuriu.

Al doilea termen arată amplitudinile și fazele armonicilor impare sub frecvența centrală. Amplitudinile armonicilor impare sub frecvența centrală sunt egale , și faze . Defazatul se datorează faptului că a doua sumă include sinusuri, nu cosinusuri. Ca și în primul termen, fiecare a patra armonică, începând de la prima (1,5,9,13,17...) capătă o deplasare cu datorită multiplicatorului. Spectrele de amplitudine și fază pentru a doua componentă a semnalului sunt prezentate în Figura 1 cu albastru.

Al treilea termen arată armonica frecvenței purtătoare. Amplitudinea sa, faza. În figura 1, armonica frecvenței centrale este neagră.

Al patrulea termen arată amplitudinile și fazele armonicilor pare deasupra frecvenței centrale. Amplitudinile sunt aceleași cu cele ale armonicilor pare sub frecvența centrală, iar fazele sunt egale , iar factorul deja cunoscut se deplasează la fiecare a patra fază cu , începând din a doua. În figura 1, armonicile celui de-al patrulea termen sunt prezentate cu roșu.

Și, în sfârșit, ultimul cincilea termen corespunde armonicilor impare deasupra celui central. Amplitudinile sunt aceleași cu cele ale armonicilor impare sub frecvența centrală, fazele sunt egale. Defazatul se datorează faptului că suma include sinusuri, nu cosinusuri și, desigur, fiecare a patra armonică este deplasată pornind de la prima. În figura 1, armonicile celui de-al cincilea termen sunt prezentate cu verde.

Figura 1: Spectrele de amplitudine și fază ale unui semnal cu modularea fazei la m = 10

Câteva comentarii la Figura 1. Lățimea de bandă a semnalului cu modulație unghiulară la un nivel de 0,5 (-3 dB) depinde de indicele de modulație și de frecvența semnalului de modulare:

(13)

Unde este deviația de frecvență. Cu cât frecvența semnalului de modulare este mai mare și cu cât indicele de modulație este mai mare, cu atât lățimea de bandă a semnalului este mai mare. Din figura 1 se vede clar că la exact 10 armonici din dreapta și stânga au o amplitudine peste jumătate din maxim. Spectrul de fază arată linii drepte paralele trasate prin spectrul de fază atingând fiecare a patra armonică și arătând schimbarea de fază atunci când numărul armonicii se schimbă. Trebuie remarcat faptul că spectrul de fază prezentat în Figura 1 nu ține cont de periodicitatea fazei. Spectrul de fază ținând cont de periodicitatea fazelor este prezentat în Figura 2.

Figura 2: Spectrul de fază ținând cont de periodicitatea fazelor

În acest caz, spectrul rezultat cu modulație de fază cu un singur ton la frecvența semnalului de modulare și indicele de modulație corespunde spectrului unui semnal cu modulație de frecvență cu un singur ton la deviația de frecvență Astfel, modularea de fază și frecvență cu un singur ton nu se distinge. Se vor observa diferențe dacă se modifică frecvența semnalului modulator. Să ne uităm la asta cu un exemplu concret.

Să existe un semnal modulator cu o frecvență de 10 kHz.

(14)

Să luăm în considerare două semnale - semnal PM și - semnal FM. Vom seta abaterea de fază pentru PM și abaterea de frecvență pentru FM. Setăm frecvența purtătoare a ambelor semnale egale

Spectrele de amplitudine ale semnalelor FM și PM la acești parametri sunt prezentate în Figura 3.

Figura 3: Spectre ale semnalelor FM și PM la o frecvență de bandă de bază de 10 kHz

Spectrele de amplitudine s-au dovedit a fi identice, de când parametrii dați Semnal FM obținem abaterea de fază a semnalului FM ca și pentru PM. Astfel, am obținut semnale într-o bandă de 200 kHz cu același număr de armonici la dreapta și la stânga purtătorului.

Acum să reducem frecvența semnalului de modulare de 2 ori, adică Nu modificăm frecvența purtătoarei, precum și frecvența și deviația de fază. Spectrele de amplitudine în acest caz sunt prezentate în Figura 4.

Figura 4: Spectre ale semnalelor FM și PM la o frecvență de bandă de bază de 5 kHz

Spectrele s-au schimbat. Să ne dăm seama. Pasul dintre armonici a scăzut de 2 ori (comparativ cu figura 3), deoarece pasul dintre armonici egală cu frecvența semnal modulator și a scăzut de 2 ori.

Deoarece abaterea de frecvență este specificată în FM, lățimea de bandă a semnalului FM nu s-a schimbat în comparație cu lățimea de bandă a semnalului FM din Figura 3. Deoarece abaterea de frecvență și abaterea de fază sunt legate de apoi abaterea de fază cu FM a crescut de 2 ori datorită scăderii frecvenței semnalului modulator (abaterea de frecvență cu FM nu se poate modifica).

Într-adevăr, numărul de armonici din banda de semnal FM s-a dublat. În PM, dimpotrivă, se specifică abaterea de fază, adică numărul de armonici din spectru, prin urmare, pe măsură ce distanța dintre armonici scade, deviația de frecvență a semnalului PM scade, în în acest caz, De 2 ori comparativ cu Figura 3. Spectrul PM pare să fie comprimat de-a lungul axei frecvenței fără a-și schimba forma, în timp ce spectrul FM, dimpotrivă, capătă mai multe armonice. Dacă reducem și mai mult frecvența oscilației de modulare, de exemplu, la 2 kHz, atunci spectrul FM va rămâne la fel de larg, deoarece abaterea de frecvență nu s-a schimbat, dar va fi și mai saturat de armonici, deoarece abaterea de fază va fi egal cu spectrul PM, iar spectrul PM se va „comprima” și mai mult, lăsând același număr de armonici. Abaterea de frecvență la PM va fi doar. Aceasta poate fi verificată uitându-se la Figura 5.

Figura 5: Spectre ale semnalelor FM și PM la o frecvență de bandă de bază de 2 kHz

Caz general al spectrului unui semnal cu modulație unghiulară

În cazul modulației unghiulare cu un singur ton, spectrul semnalului este simetric, dar în general spectrul unui semnal cu modulație unghiulară nu este simetric. Simetria spectrală apare atunci când forma semnalului de modulare deasupra și dedesubt este aceeași. Figura prezintă un exemplu de semnal modulator, a cărui modulare unghiulară va duce la un spectru asimetric în raport cu frecvența centrală. În ambele cazuri, frecvența centrală este de 200 kHz.

Figura 6: Spectrul dezechilibrat al semnalului FM și PM

Figura arată clar că spectrele semnalelor FM și PM sunt asimetrice față de 200 kHz, iar formele spectrelor sunt clar diferite. Asimetria spectrelor semnalelor cu modulație unghiulară face imposibilă implementarea modulării unghiulare cu o singură bandă laterală.

Concluzii

Astfel, am obținut o expresie analitică pentru spectrul unui semnal cu modulație unghiulară, am examinat diferența dintre semnalele FM și PM atunci când frecvența semnalului modulator se modifică și am arătat, de asemenea, asimetria spectrului semnalului cu modulație unghiulară pentru un semnal de modulare arbitrar.

Prelegerea nr. 6 Semnale modulate

Modulația este înțeleasă ca un proces (lent în comparație cu perioada oscilației purtătorului) în care unul sau mai mulți parametri ai oscilației purtătorului sunt modificați conform legii mesajului transmis. Oscilațiile obținute în timpul procesului de modulare se numesc semnale radio În funcție de care dintre parametrii numiți ai oscilației purtătoarei este supusă modificării, există două tipuri principale de modulație analogică: amplitudine și unghiulară. Cel din urmă tip de modulație, la rândul său, este împărțit în frecvență și fază sisteme digitaleÎn transmiterea informațiilor, modulația în cuadratura (amplitudine-fază sau fază-amplitudine - FAM; amplitudine fază modulație), în care atât amplitudinea, cât și faza semnalului se schimbă simultan, a devenit larg răspândită. Acest tip de modulație este clasificat atât ca tip analog și digital.

În sistemele radio sunt adesea folosite și vor fi folosite diverse tipuri puls și modulația digitală, în care semnalele radio sunt prezentate sub formă de așa-numite impulsuri radio.

Semnale radio de la tipuri analogice modulareÎn procesul de modulare a amplitudinii undei purtătoare (1)

amplitudinea sa trebuie să se schimbe conform legii: (2)

unde U H este amplitudinea purtătorului în absența modulației; ω 0 - frecventa unghiulara; φ 0 - faza initiala; ψ(t) = ω 0 + φ 0 - faza totală (actuală sau instantanee) a purtătorului; k A - coeficient de proporționalitate adimensional; e(t) - semnal modulator. U H (t) în inginerie radio se numește de obicei anvelopa unui semnal modulat în amplitudine (semnal AM).

Înlocuind (2) în (1) obținem formula generala semnal AM (3)

Modulație de amplitudine a unui singur ton dacă semnalul de modulare este o oscilație armonică (4)

unde E 0 - amplitudine; Ω = 2π/T 1 = 2πF - frecvența de modulație unghiulară; F-

frecvența de modulație ciclică; T 1 - perioada de modulaţie; θ 0 - faza initiala.

Înlocuind formula (4) în relația (3), obținem expresia semnalului AM (5)

DESPRE notând prin ∆U = k A E 0 - abaterea maximă a amplitudinii semnalului AM de la amplitudinea purtătoarei U H și efectuând calcule simple, obținem (6)

Raportul de modulație a amplitudinii sau adâncimea.

Spectrul semnalului AM. Aplicând formula trigonometrică pentru produsul cosinusului în expresia (5), după calcule simple obținem (7)

Din formula (7) este clar că, cu modulația de amplitudine cu un singur ton, spectrul semnalului AM este format din trei componente de înaltă frecvență. Prima dintre ele este vibrația purtătoare inițială cu amplitudine U H și frecvență constantă c ω 0. A doua și a treia componentă caracterizează noi oscilații armonice care apar în timpul procesului de modulare a amplitudinii și reflectă semnalul transmis. Oscilațiile cu frecvențele ω 0 + Ω și ω 0 - Ω se numesc, respectiv, componentele laterale superioare (banda laterală superioară - USB) și inferioară (banda laterală inferioară - LSB).

Lățimea reală a spectrului de semnal AM cu modulație cu un singur ton (8)

În practică, semnalele AM ​​cu un singur ton sunt utilizate fie în scopuri de predare, fie de cercetare. Semnalul modulator real are o compoziție spectrală complexă. Matematic, un astfel de semnal, format din N armonici, poate fi reprezentat prin seria trigonometrică N (10)

Aici amplitudinile armonicilor semnalului modulator complex E i sunt arbitrare, iar frecvențele lor formează un spectru ordonat Ω 1< Ω 2 < ...< Ω i < ...< Ω N . В отличие от ряда Фурье частоты Ω i не обязательно кратны друг другу. Подставляя (10) в (3), после несложных преобразований, получим выражение АМ-сигнала с начальной фазой несущего ф0 = О (11)

(12)

Un set de coeficienți de modulație parțial (parțial) Acești coeficienți caracterizează influența componentelor armonice ale semnalului de modulare asupra modificării generale a amplitudinii oscilației de înaltă frecvență. Folosind formula trigonometrică pentru produsul a două cosinusuri și efectuând transformări simple, scriem (11) sub forma (13)

Orez. 2. Diagrame spectrale la modularea cu un semnal complex:

a - semnal modulator; b - semnal AM

Lățimea spectrului unui semnal AM complex este egală cu de două ori cea mai mare frecvență din spectrul semnalului modulator Ω N, adică (14)

Modulația de frecvență

La modulația de frecvență(modulație în frecvență; FM) valoarea instantanee a frecvenței purtătoare ω(t) este legată de semnalul modulator e(t) prin dependență (15)

aici k H este coeficientul de proporționalitate dimensională între frecvență și tensiune, rad/(V-s).

Faza completă a semnalului FM în orice moment t este determinată prin integrarea frecvenței instantanee exprimată prin formula (15),

Orez. 3. Modulație cu un singur ton de frecvență:

a - vibrația purtătorului; b - semnal modulator; c - semnal FM

Abaterea de frecvență maximă de la valoarea ω 0 sau abaterea de frecvență (deviația de frecvență) în timpul modulării frecvenței;

Abaterea maximă de la faza curentă ω 0 t sau abaterea de fază a oscilației purtătorului se numește indice de modulație a frecvenței. Acest parametru determină intensitatea oscilațiilor fazei inițiale a semnalului radio.

Ținând cont de relațiile obținute (1) și (16), semnalul cu frecvență modulată se va scrie sub următoarea formă:

Spectrul unui semnal FM cu modulație cu un singur ton. Să transformăm expresia rezultată (17)

Spectrul unui semnal FM la m «1 (o astfel de modulație unghiulară se numește bandă îngustă). În acest caz, sunt valabile următoarele egalități aproximative: (18)

Înlocuind formulele (18) în expresia (17), după transformări matematice simple se obține (cu fazele inițiale oscilații modulante și purtătoare θ 0 = 0 și φ 0 = 0): (19)

Vedem că din notația analitică, spectrul unui semnal FM cu modulație cu un singur ton seamănă cu spectrul unui semnal AM și constă, de asemenea, dintr-o vibrație purtătoare și două componente laterale cu frecvențe (ω 0 + Ω) și (ω 0 - Ω), iar amplitudinile lor sunt calculate în mod similar (doar în locul coeficientului de modulație de amplitudine M, indicele de modulație unghiulară m apare în formula pentru semnalul FM). Dar există și o diferență fundamentală care se transformă modulația de amplitudine la frecvență, un semn minus în fața uneia dintre componentele laterale.

Spectrul semnalului FM lam> 1 .

Este cunoscut din matematică (20) (21)

unde J n (m) este funcția Bessel de primul fel de ordin al n-lea.
ÎN

Teoria funcțiilor Bessel, se demonstrează că funcțiile cu indici pozitivi și negativi sunt legate între ele prin formula (22)

Inlocuim seriile (20) si (21) in formula (17) si apoi inlocuim produsul cosinusurilor si sinusurilor cu jumatati de sume ale cosinusurilor argumentelor corespunzatoare. Apoi, ținând cont de (22), obținem următoarea expresie pentru semnalul FM (23)

modulația m > 1 constă din multe armonice de înaltă frecvență: o vibrație purtătoare și un număr infinit de componente laterale cu frecvențe ω 0 + nΩ. şi ω 0 -nΩ, situate în perechi şi simetric faţă de frecvenţa purtătoare ω 0 .

În acest caz, pe baza (22), se poate observa că fazele inițiale ale oscilațiilor laterale cu frecvențele ω 0 + nΩ. și ω 0 -nΩ coincid dacă m este un număr par și diferă cu 180° dacă m este impar. Teoretic, spectrul unui semnal FM (precum și al unui semnal FM) este infinit, dar în cazuri reale este limitat. Lățimea de bandă practică a semnalelor modulate în unghi

Semnalele FM și FM utilizate în practică în inginerie radio și comunicații au un indice de modulație m>> 1, prin urmare

P Banda de frecvență a unui semnal FM cu modulație cu un singur ton este egală cu dublul abaterii de frecvență și nu depinde de frecvența de modulație.

Comparația imunității la zgomot a sistemelor radio cu modulația de amplitudine și unghi. Trebuie remarcat faptul că semnalele radio modulate în unghi au o serie de avantaje importante față de oscilațiile modulate în amplitudine.

1. Deoarece cu modulația unghiulară amplitudinea oscilațiilor modulate nu transportă nicio informație și constanța acesteia nu este necesară (spre deosebire de modulația de amplitudine), aproape orice modificări neliniare dăunătoare ale amplitudinii semnalului radio în timpul comunicării nu conduc la o distorsiune vizibilă a mesajul transmis.

2. Constanța amplitudinii semnalului radio în timpul modulării unghiulare vă permite să utilizați pe deplin capacitățile energetice ale generatorului de frecvență purtătoare, care funcționează la o putere medie de oscilație constantă.

Întrebarea 14, 16

Modulația în frecvență (FM) modifică frecvența unui semnal armonic în funcție de poziția semnificativă a semnalului de date. Elementele unității corespunzătoare simbolurilor de date 1 și 0 sunt reprezentate ca (Fig. 3.7):

Unde

Diferența se numește abatere de frecvență, raportul este indicele de modulație și și sunt frecvențele caracteristice. Spectrul semnalului FM ocupă o bandă de frecvență semnificativ mai mare decât cu DM (în mod firesc, la aceeași viteză de transmisie).

Datorită limitării spectrului, are loc un proces tranzitoriu atât în ​​amplitudine, cât și în frecvență. Durata stabilirii frecvenței de la până la depinde de raportul în care este setată banda de frecvență necesară pentru transmiterea unui semnal FM binar. La valori de .

Astfel, banda de frecvență necesară pentru transmiterea unui semnal FM binar cu distorsiune acceptabilă este determinată de expresia

Rata de transmisie specifică la m>1 este aproape de 0,5 bit/s*Hz

S-a stabilit că pentru m<1 основная энергия сигнала сосредоточена вблизи несущей частоты , поэтому можно достичь удельной скорости передачи 1бит/с*Гц. Например, при

Apoi

Pentru a genera un semnal FM, se folosește un oscilator controlat (CG), a cărui frecvență poate varia fără salturi de fază și cu salturi de fază. Implementarea FM fără întrerupere de fază se realizează prin influența directă a semnalului primar A(t) asupra frecvenței generatorului de oscilație purtătoare. FM cu o întrerupere de fază se obține folosind oscilatoare independente reglate la frecvențele necesare, iar spectrul de amplitudine al semnalului modulat ocupă o bandă de frecvență mai largă decât atunci când este generat fără întrerupere de fază.

Demodularea semnalelor FM poate fi efectuată folosind metode coerente și incoerente. Acesta din urmă este utilizat pe scară largă la transmiterea datelor la viteze specifice scăzute. Principiul general al demodulării este detectarea frecvenței (FD) folosind discriminatori care convertesc o modificare a frecvenței într-o modificare a amplitudinii.

Deoarece parametrul variabil al semnalului este frecvența, limitatorii de amplitudine Ogr sunt utilizați pentru a reduce influența interferenței, ceea ce crește semnificativ imunitatea la zgomot a FM în comparație cu AM. Figura 3.8 prezintă schema bloc a unui modem cu FM.

Semnalul de date controlează frecvența generatorului de unde purtătoare. Suprimarea subproduselor de modulare în transmisie și interferență în recepție este realizată de filtrele de transmisie F per și filtrele de recepție F in. Limitatorul de limitare reduce distorsiunea de amplitudine. Discriminatorul D transformă modificările frecvenței semnalului în modificări ale amplitudinii. Filtrul trece-jos suprimă componentele semnalului convertit prin frecvențe etc. Decizia asupra semnalului recepționat este luată de dispozitivul de decizie al aparatului de comutare.

Modemurile FM, datorită implementării lor tehnice simple și imunității relativ ridicate la zgomot, sunt recomandate de CCITT pentru transmisia de date pe canale FM standard la viteze de până la 1200 bps.

Modulația de frecvență are un dezavantaj inerent - sensibilitate ridicată la modificările frecvenței semnalului atunci când este transmis prin canalul PM

Deoarece semnalul FM este convertit într-un semnal AM în discriminator, atunci, cu un prag de înregistrare constant, deplasarea de frecvență se transformă într-o schimbare de durată, adică. așa-numitele distorsiuni de tip dominanță apar „când durata trimiterilor unei polarități depășește durata trimiterilor unei alte polarități. Figura 3.9 arată cu o linie punctată transmiterea unei secvențe bipolare de semnale de date ("puncte") pe un canal fără modificarea frecvenței semnalului și cu o linie continuă - peste un canal cu o modificare a frecvenței semnalului cu . În figură, durata unui singur element al semnalului de date este frecvența caracteristică.

Pentru a elimina acest tip de distorsiune, atunci când reglați un canal FM discret, se face întotdeauna o ajustare la neutralitate.

Modulare de fază

Cu modulația de fază, purtătorul de informații este o schimbare în faza unei oscilații armonice. Elementele unității sunt prezentate astfel:

unde este indicele de modulație de fază;

Faza inițială.

Corespondența semnalului PM cu simbolurile și semnalele de date este prezentată în Fig. 3.10.

După cum se poate observa în Figura 3.10, o schimbare de fază are loc ori de câte ori se schimbă polaritatea semnalului de date.

Rețineți că cu PM, este fundamental ca fazele inițiale ale receptorului și ale emițătorului să corespundă strict. Cu toate acestea, atunci când un semnal FM călătorește de-a lungul canalului PM din cauza unei modificări a fazei semnalului transmis (comutarea echipamentului generator al echipamentului de formare a canalului), așa-numita „funcționare inversă” are loc atunci când în loc de simbolul transmis 1 , se primește simbolul 0 Prin urmare, în practică, FM nu este utilizat, dar este utilizată modificarea acestuia. Omul de știință sovietic K.T Petrovici a propus modularea fazei relative (RPM).

În OFM, parametrul reprezentativ al semnalului care transportă informații este schimbarea de fază în timpul transmiterii fiecărui interval de unitate de o singură polaritate, de exemplu, așa cum se arată în Fig. 3.11, pozitiv. Astfel, în timpul transmiterii pe termen lung doar a mesajelor pozitive, frecvența schimbărilor de fază va corespunde vitezei de transmisie a elementelor individuale.

Pentru a implementa OPM, este necesară o corespondență uniformă între valorile de polaritate ale pachetelor și valorile diferenței de fază pentru emițător și receptor.

Dacă simbolul de date 1 corespunde unui mesaj pozitiv, iar simbolul 0 corespunde unui mesaj negativ, atunci algoritmul de modulație pentru OPM este formulat după cum urmează: la transmiterea i-lea mesaj corespunzător lui 1, faza oscilației purtătorului se modifică brusc cu 180° față de faza celui de-al doilea (i-1) parcelei anterioare, iar la transmiterea unei parcele corespunzătoare lui 0, acesta rămâne același cu cel al celui de-al-lea (i-1) parcel.

Figura 3.12 prezintă diagrame ale emițătorului și receptorului, explicând principiul formării și procesării semnalelor OFM.

Un declanșator cu un tranzistor de control la intrare este folosit ca codificator. Cu fiecare mesaj pozitiv (Rtrans. - înalt), declanșatorul este declanșat și comută diodele modulatorului de fază (adică se schimbă faza oscilației purtătorului).

Recepția semnalului OFM este posibilă în două moduri:

• compararea fazelor;
• compararea polarităților,

Prima metodă este utilizată mai des, deoarece în acest caz distorsiunea unui singur element duce la o eroare, iar cu metoda de comparare a polarității, dacă mijlocul unui singur element este distorsionat, atunci sunt posibile două erori.

Cu metoda de comparare a fazelor într-un detector de fază (PD), fazele elementelor unității i-a și (i-1)-lea sunt comparate la frecvența purtătoare. Această comparație se realizează folosind un element de memorie de linie de întârziere (DL), care creează o întârziere egală cu durata elementului. Această metodă nu necesită cunoașterea fazei inițiale a semnalului.

Spectrul semnalului OFM ocupă aceeași bandă de frecvență ca și cu AM-DBP (Fig. 3.6), dar diferă în valorile frecvenței purtătoare de amplitudine și frecvențele laterale. Prin urmare, rata de transmisie specifică maximă este de 1 bit/s Hz.

Cu OPM, puteți utiliza, de asemenea, limitarea uneia dintre benzile de frecvență laterale și, astfel, obțineți OPM cu o frecvență laterală OPM-OBP cu o rată de transmisie specifică maximă de 2 biți/s*Hz.

Modemurile cu OFM, în comparație cu AM și FM, sunt mai complexe de implementat din punct de vedere tehnic, dar au imunitate mai mare la zgomot la aceeași viteză de transmisie.

Cu toate acestea, cel mai important avantaj al OFM, care a condus la utilizarea sa pe scară largă, este capacitatea de a utiliza multe valori (pliuri) de faze și de a obține mai multe OFM, de exemplu, dublu - DOPSK, triplu - TOPM, și astfel crește viteza de transmisie cu un factor de câteva ori.

Întrebarea nr. 14

Baskakov p. 100 – 101

Întrebarea nr. 16

Întrebarea nr. 17

Dispozitivele care generează auto-oscilații sunt numite sisteme auto-oscilante sau autogeneratoare.

amplitudinea, frecvența sau faza de oscilație, poate provoca interferențe în canalul de comunicație radio. Cerința de monocromaticitate include și cerința de stabilitate a frecvenței de auto-oscilație.

Întrebarea nr. 18

Baskakov p. 374-376.

Gonorovski 1986:

Întrebarea nr. 19

Baskakov p. 122 – 124

Întrebarea #20

Procese aleatorii, definiții de bază.

Semnale aleatorii (procese) sunt semnale a căror descriere matematică este o funcție aleatorie a timpului. Un proces aleatoriu este o schimbare în timp a oricărei mărimi fizice care nu poate fi prezisă în avans.

Aleatoriu numit funcţie , ale căror valori pentru fiecare valoare a argumentului sunt variabile aleatorii. O funcție aleatoare a timpului, care descrie un proces aleatoriu, ca urmare a experienței, poate lua una sau alta formă specifică, necunoscută dinainte (Fig. 1). Aceste forme posibile ale unei funcții aleatoare se numesc realizări ale unui proces aleator La un moment fix în timp, valorile unui proces aleator sunt o variabilă aleatoare cu o anumită distribuție de probabilitate. Procesele aleatorii pot fi continue sau discrete. Realizările primelor sunt funcții continue ale timpului

Caracteristici probabilistice.

Dacă luăm în considerare nu fiecare implementare separat, ci totalitatea unui număr mare dintre ele, se dovedește că unele rezultate medii sunt stabile statistic, adică. pot fi cuantificate. Stabilitatea rezultatelor medii este de natură probabilistică.

Să existe un proces aleatoriu, care este specificat de set N implementare (Fig. 2). Să luăm o secțiune transversală a unui proces aleatoriu la un moment fix în timp t. Să alegem din numărul total N acele realizări ale căror valori la momentul actual sunt mai mici decât un anumit nivel. Când este suficient de mare N ponderea relativă a vânzărilor care se află în momentul de faţă sub nivelul va avea stabilitate statistică, aceste. va rămâne aproximativ constantă, fluctuant ca Nși în jurul unei valori medii. Această valoare medie determină probabilitatea ca valorile aleatorii ale procesului să rămână sub nivelul. Funcția care determină probabilitatea de a găsi valorile unui proces aleatoriu la un moment în timp sub nivelul se numește unidimensional funcția de distribuție a probabilității integrale a unui proces aleatoriu. Derivatul său, dacă există, se numește densitate de probabilitate unidimensională sau funcție de distribuție diferențială a unui proces aleatoriu.

Funcțiile introduse oferă o idee despre proces doar pentru momente de timp izolate unele de altele. Pentru o caracterizare mai completă a procesului, este necesar să se țină cont de relația statistică dintre valorile procesului aleatoriu în diferite momente de timp. Această conexiune pentru două momente în timp este luată în considerare de o funcție de distribuție a probabilității integrale bidimensionale, care determină probabilitatea ca valorile unui proces aleatoriu la un moment dat să fie sub nivelul și la un moment dat. timp - sub nivelul. Derivată parțială de ordinul doi

se numește densitatea de probabilitate bidimensională a unui proces aleatoriu. Aceste funcții depind deja de patru argumente.

Funcțiile de distribuție integrală și diferențială multidimensională ale unui proces aleatoriu sunt definite în mod similar

care depind de 2 n-argumente.

Dacă valorile procesului aleator pentru orice valoare t dependentă, atunci funcția de distribuție multidimensională este egală cu produsul unidimensional

1. Caracteristicile numerice ale semnalelor aleatorii.

Cea mai simplă caracteristică a unui proces aleatoriu este valoarea sa medie sau așteptările matematice

Varianta unui proces aleatoriu este o funcție non-aleatoare ale cărei valori pentru fiecare moment de timp t sunt egali, adică așteptarea matematică a abaterii pătrate a unui proces aleatoriu de la valoarea sa medie:

În consecință, dispersia determină gradul în care valorile unui proces aleatoriu se împrăștie în jurul valorii medii. Media și varianța caracterizează comportamentul unui proces aleatoriu în anumite momente de timp. Ca o caracteristică care ia în considerare dependența statistică dintre valorile unui proces aleatoriu în diferite momente de timp, este utilizată funcția de corelare (cunoscută și sub numele de autocorelare) a procesului aleator.

definită ca așteptarea matematică a produsului valorilor procesului în două momente diferite în timp. Funcția de corelare determină gradul de dependență liniară dintre valorile unui proces aleatoriu în diferite momente de timp. În fig. Figurile 3.5 și 3.6 prezintă, respectiv, două procese aleatorii cu o dependență statistică puternică și slabă a valorilor lor la momente și .

Din definiția funcției de corelare rezultă

aceste. este simetric în raport cu originea timpului.

Pentru un set de două dependențe aleatorii și statistice între valorile lor în momente diferite este determinată de funcția de corelație încrucișată

În unele cazuri, în locul funcției de corelare se introduce o funcție de corelație normalizată sau, pe scurt, un coeficient de corelație

Proprietăţi ale densităţii de probabilitate şi ale funcţiilor de distribuţie.

Baskakov pagina 144

Întrebarea 21

Spectrul energetic al unui proces aleator, teorema Khinchin-Wiener.

Baskakov p. 164-166

Lățimea efectivă a spectrului, relația sa cu intervalul de corelație.

Baskakov p. 169-170

Procese aleatorii în bandă largă și în bandă îngustă.

Un proces aleator de bandă îngustă este un proces cu un spectru continuu, care este concentrat în jurul unei frecvențe fixe ω 0.

Δω<< ω 0 Если данное условие не выполняется, то спектр называется широкополосным.

Funcțiile de corelare ale unor astfel de spectre vor diferi semnificativ unele de altele.

Zgomotul alb, funcția sa de corelare.

Baskakov p. 170.

Întrebarea nr. 22

Trecerea semnalelor aleatorii prin circuite inerțiale liniare

Luați în considerare un sistem inerțial liniar cu o funcție de transfer cunoscută sau răspuns la impuls. Fie intrarea unui astfel de sistem un proces aleator staționar cu caracteristici date: densitate de probabilitate, funcție de corelație sau spectru energetic. Să determinăm caracteristicile procesului la ieșirea sistemului: , și .

Cel mai simplu mod de a găsi spectrul de energie al procesului este la ieșirea sistemului. Într-adevăr, implementările individuale ale procesului de intrare sunt deterministe

funcții, iar aparatul Fourier le poate fi aplicat. Să fie o implementare trunchiată a duratei T proces aleatoriu la intrare și

(3.4.1)

Densitatea sa spectrală. Densitatea spectrală a implementării la ieșirea sistemului liniar va fi egală cu

Spectrul de energie al procesului la ieșire conform (3.3.3) va fi determinat de expresia

(3.4.3)

aceste. va fi egal cu spectrul de energie al procesului la intrare, înmulțit cu pătratul caracteristicii amplitudine-frecvență a sistemului și nu va depinde de caracteristica fază-frecvență.

Funcția de corelare a procesului la ieșirea sistemului liniar poate fi definită ca transformată Fourier a spectrului de energie:

(3.4.4)

În consecință, atunci când un proces staționar aleator acționează asupra unui sistem liniar, rezultatul produce, de asemenea, un proces aleator staționar cu un spectru de energie și o funcție de corelare definite prin expresiile (3.4.3) și (3.4.4). Puterea de proces la ieșirea sistemului va fi egală cu

(3.4.5)

Densitatea distribuției probabilității și caracteristicile numerice ale semnalului la ieșirea unui circuit neliniar fără inerție.

Baskakov p. 300 – 302

Trecerea semnalelor aleatorii prin circuite neliniare fără inerție.

Să luăm acum în considerare problema trecerii unui proces aleator printr-un sistem neliniar. În cazul general, această problemă este foarte complexă, dar este mult simplificată atunci când sistemul neliniar este lipsit de inerție. În sistemele neliniare fără inerție, valorile procesului de ieșire la un moment dat sunt determinate de valorile procesului de intrare în același moment de timp. Pentru transformările neliniare fără inerție, o sarcină mai simplă este de a determina funcțiile de distribuție la ieșire într-una mult mai complexă - determinând funcția de corelație sau spectrul de energie.

După cum s-a menționat mai sus, funcția de distribuție n-dimensională a unui proces aleatoriu este în esență o funcție de distribuție a n variabile aleatoare care reprezintă valorile procesului aleator în n momente diferite în timp o sarcină relativ simplă.

Semnalele modulate în unghi, cum ar fi AM, pot fi reprezentate ca o sumă de oscilații armonice. Acest lucru se poate face relativ ușor pentru modularea tonului. Cu modulația tonală, spectrele PM și FM sunt aceleași dacă , așa că vom lua în considerare doar spectrul semnalului FM.

Să transformăm (2.15) folosind formula cosinus pentru suma a două argumente:

unde este funcția Bessel de ordinul al treilea a argumentului . Înlocuind (2.17) în (2.16), efectuând transformările algebrice obișnuite și dezvăluind produsul funcțiilor trigonometrice, obținem:

.

Astfel, spectrul chiar și pentru modulația unghiulară cu un singur ton este destul de complex. În formula (2.18), primul termen este componenta armonică cu frecvența purtătoare. Grup de componente armonice cu frecvențe definește banda laterală superioară și grupul de componente cu frecvențe banda laterală inferioară. Numărul de armonici superioare și inferioare ale frecvențelor laterale este teoretic infinit. Vibrațiile armonice laterale sunt situate simetric față de distanță. Amplitudinile tuturor componentelor spectrului, inclusiv cele cu frecvență, sunt proporționale cu valorile funcțiilor Bessel.

Formula (2.18) poate fi prezentată într-o formă mai compactă. Chiar având în vedere , obținem:

.

Pentru a construi diagrame spectrale, este necesar să cunoașteți funcțiile Bessel pentru diferite valori ale și . Aceste informații sunt disponibile în cărțile de referință matematică. În fig. 2.6 prezintă grafice ale funcțiilor Bessel pentru . Valorile funcțiilor Bessel care lipsesc pe grafice pot fi găsite folosind formula recurentă:

.

Exemplul 2.1. Este dată o expresie analitică pentru semnalul modulat. Construiți o diagramă spectrală a acestui semnal.

Din ecuația matematică a semnalului rezultă că aceasta este o modulație unghiulară cu un singur ton cu indice . Componentele spectrale ale semnalului se determină din ecuația (2.18), luând , până când se precizează amplitudinea componentelor, de exemplu, mai mică de 2% din . Pe baza rezultatelor calculului a fost construită o diagramă spectrală (Fig. 2.7).

Analiza graficelor funcțiilor Bessel arată că, cu cât ordinea funcției Bessel este mai mare, cu atât argumentele maxime sunt observate, cu toate acestea, la valorile funcțiilor Bessel se dovedesc a fi mici. În consecință, componentele corespunzătoare ale spectrului vor fi și ele mici; pot fi neglijate. Prin urmare, lățimea spectrului de semnale cu modulație unghiulară poate fi determinată aproximativ prin formulă.