Vettore casuale

Funzione di densità di probabilità congiunta di due variabili aleatorie

Sia la funzione ad avere derivate rispetto a, nonché una derivata seconda mista. La distribuzione della densità di probabilità congiunta (o bidimensionale) delle variabili casuali è la funzione

Consideriamo le proprietà di base della densità di probabilità bidimensionale.

1. Il seguente rapporto è giusto:

Per dimostrarlo usiamo l’uguaglianza (51.1), quindi:

Ora l’uguaglianza (50.2) implica (51.2). Questa relazione è di importanza pratica, poiché permette di calcolare la probabilità che un vettore bidimensionale cada in un rettangolo definito da segmenti e attraverso la densità di probabilità.

2. Considera caso speciale relazioni (51.2). Sia allora (51.2) la forma:

Questa relazione definisce la funzione di distribuzione della probabilità attraverso la densità di probabilità ed è l'inverso dell'uguaglianza (51.1).

3. Consideriamo la (51.2) nelle condizioni: , quindi dalla (51.2) segue l'uguaglianza:

perché - come probabilità di un evento affidabile. La relazione (51.5) è detta condizione di normalizzazione della densità di probabilità.

4. Se è la densità di probabilità del vettore ed è la densità di probabilità variabile casuale, Quello

Questa uguaglianza è chiamata proprietà di consistenza della densità del secondo ordine e della densità del primo ordine. Se la densità del secondo ordine è nota, utilizzando la formula (51.6) possiamo calcolare la densità di probabilità di una variabile casuale. Allo stesso modo,

Otteniamo la dimostrazione della (51.6) basata sull'uguaglianza

Rappresentiamo attraverso la densità secondo (51.4), e attraverso, quindi da (51.8) segue

La differenziazione (51.9) rispetto a porta all'uguaglianza (51.6), che completa la dimostrazione.

5. Le variabili casuali e sono dette indipendenti se gli eventi casuali sono indipendenti e per qualsiasi numero e. Per variabili casuali indipendenti e:

La dimostrazione segue dalle definizioni delle funzioni e, . Poiché e sono variabili casuali indipendenti, allora eventi della forma: e sono indipendenti per qualsiasi e. Ecco perché

L’uguaglianza (51.10) è vera. Differenziamo la (51.10) rispetto a e, poi secondo la (51.1) otteniamo un corollario per le densità:

6. Lascia che - zona arbitraria su un aereo, quindi

La probabilità che un vettore assuma qualsiasi valore dalla regione è determinata dall'integrale sulla densità di probabilità.

Consideriamo un esempio di un vettore casuale con una distribuzione di probabilità uniforme, che ha una densità di probabilità su un rettangolo e all'esterno di questo rettangolo. Il numero è determinato dalla condizione di normalizzazione:

Contributo di B.V. Gnedenko nello sviluppo della teoria della probabilità

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Variabili casuali continue. Legge della distribuzione normale

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Vettore casuale

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Vettore casuale

La distribuzione della densità di probabilità condizionale di una variabile casuale sotto una condizione è chiamata funzione: . (53.1) Sostituiamo quindi la relazione (52.5) ​​nella (53.1). (53.2) Ciò segue. (53.3) - formula di moltiplicazione per le densità...

Vettore casuale

Per variabili casuali indipendenti e covarianza. Consideriamo invece un altro caso estremo, quando le variabili casuali e sono correlate dipendenza funzionale: , (56.1) dove sono i numeri. Calcoliamo la covarianza delle variabili casuali e: . (56...

Vettore casuale

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Vettore casuale

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Vettore casuale

66.1. La relazione (65.11), che determina la densità di probabilità della variabile trasformata attraverso la densità della variabile casuale originaria, può essere generalizzata al caso di trasformazione di variabili casuali...

Processi casuali

Se ha una derivata, (71.1), allora questa derivata è chiamata densità di distribuzione di probabilità bidimensionale processo casuale. Proprietà fondamentali della densità (71...

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Aspettativa matematica: il valore (6) è chiamato aspettativa matematica. In sostanza si tratta del valore medio tenendo conto del peso dell'implementazione del valore corrente. Per chiarire il concetto di peso, supponiamo che sia una quantità discreta...

Tra i flussi di risultati dell'evento X e dell'evento Y uguale a zero. Pertanto, se si verificasse l'indipendenza stocastica, allora ci aspetteremmo che la probabilità di X = 0 e Y = 3 sia uguale a (6/27) (8/27) = 0,222 0,0658 = 0,0658. Invece, questa probabilità è zero, confermando così il teorema della probabilità condizionata accettato secondo cui le densità congiunte non possono essere ottenute dalle densità incondizionate dei componenti.  

Era noto come determinare il coefficiente di correlazione in presenza solo di densità congiunta e densità incondizionate, ma per molto tempo si credeva che fosse impossibile determinare la densità congiunta avendo solo densità incondizionate e coefficiente di correlazione del flusso. Ed è esattamente ciò di cui avevo bisogno.  

FUNZIONE DENSITÀ DI DISTRIBUZIONE COMUNE  

Consideriamo il sistema di equazioni simultanee (2.1), per il quale sono soddisfatte le condizioni di normalità (condizione 1) e di rango (condizione 2). Allora, (i) la densità congiunta (g/1,..., g/n) dipende da (Bo, Go, Ho) solo attraverso i parametri di forma ridotta (Po, o)5 (n) Po e 1 sono globalmente identificabile.  

Anzi, lasciamo

vettore di vincolo casuale b. La densità di distribuzione del componente 6 è uguale a  

Indichiamo con f la densità di distribuzione congiunta delle componenti del vettore b(w).  

Usando questa formula, puoi determinare la probabilità congiunta (densità di probabilità congiunta) di questi SV  

Probabilità congiunta, funzione di distribuzione congiunta, densità di probabilità congiunta non danno un'idea chiara del comportamento di ciascuna delle componenti della SV considerata e della loro relazione tra loro. In questo caso, è possibile costruire leggi di distribuzione per ciascuno dei componenti della SV multidimensionale. Inoltre, ciascuno di essi assume gli stessi valori, ma con le corrispondenti probabilità marginali o funzioni di distribuzione marginale calcolate utilizzando le formule (1.23), (1.24). Ad esempio, un SV discreto bidimensionale (X, Y) può essere specificato in forma tabellare  

Cos'è la probabilità congiunta, la funzione di distribuzione congiunta, la densità di probabilità congiunta  

Fornisci un esempio della funzione di densità di probabilità congiunta di due variabili casuali e traccia le loro linee di livello significati diversi coefficiente di correlazione di queste quantità.  

Questa ipotesi può essere analiticamente riscritta come segue: l'attivo/i dell'impresa genera un flusso di reddito X, (1), X, (2),..., X,(T). Gli elementi di questo flusso sono variabili casuali aventi una densità di distribuzione congiunta della forma xL-U, (1), X, (2),. .., X, (T)]. Redditività dell'i-esimo cor-  

Considereremo principalmente serie temporali , che hanno una distribuzione congiunta di variabili casuali X, . .., X ha una densità di distribuzione congiunta p(x, x,..., x).  

Sotto tali presupposti, la densità di distribuzione congiunta dei vettori casuali ul,...,un ha la forma  

Poiché u = y,T - xtB, passando quindi dalle variabili u,...,ipk alle variabili y1,...,yn, otteniamo un'espressione per la densità congiunta dei valori dei vettori y1, ...,y nella forma  

È noto che per f (x) - f(x,y)dy e ftj(y) - f(x,y)dx, la densità congiunta  

Tutte queste densità condizionali sono facilmente espresse attraverso la densità congiunta  

A causa dell'influenza combinata di fattori casuali e sistematici, i parametri tecnologici e i parametri del prodotto sono variabili casuali. Di solito sono distribuiti secondo una legge normale o normale troncata con una densità di distribuzione f(x) (-)]  

Nel corso di trecento anni di lavoro attivo congiunto di molte generazioni di fisici e matematici, sono riusciti a costruire un edificio armonioso: un sistema di modelli matematici di processi fisici. Questo edificio è composto da molti piani. Si basa su principi che servono come base per modelli di fenomeni fisici. Questi principi sono il prodotto del lungo sviluppo della scienza; incarnano l'esperienza dell'influenza umana sulla natura che lo circonda, cioè la pratica (nel senso filosofico del termine), posto importante in cui nelle scienze naturali si occupa un esperimento su vasta scala. I tre principi della meccanica, formulati da Isaac Newton, servono come base sufficiente per costruire modelli matematici in meccanica nel caso in cui gli oggetti che ci interessano possano essere descritti con un grado sufficiente di precisione sotto forma di punti materiali e delle loro velocità sono lontani dalla velocità della luce. Oggetti di questo tipo comprendono un'ampia classe di fenomeni studiati, che vanno dalle oscillazioni del pendolo al volo controllato astronave. Aggiungendo ai tre principi newtoniani i principi che descrivono la deformazione di un corpo solido, possiamo già descrivere l'interazione di corpi solidi di dimensioni finite. Aggiungendo ai principi di Newton il principio di considerare un liquido come un mezzo continuo e continuo (trascurando cioè la sua struttura molecolare), il principio di descrivere la relazione tra densità e pressione, nonché il principio di conservazione della massa, che ha il valore Sotto forma di un'equazione di continuità del mezzo, otteniamo un modello matematico del liquido.  

Questo esempio mostra che la somma delle probabilità nella prima colonna deve essere uguale alla densità incondizionata associata alla colonna Risultati buoni (0,4). Cioè, la somma delle probabilità congiunte di Guerra, Crisi, Stagnazione, Pace e Prosperità, da un lato, e di risultati Buoni, dall’altro, deve essere rigorosamente uguale a 0,4.  

Tieni presente che se ne hai bisogno probabilità congiunte in ogni riga e in ogni colonna un totale pari alla densità incondizionata associata a ciascuna riga e a ciascuna colonna (come dovrebbe essere), allora non ci sarà più bisogno di preoccuparsi di garantire che nessuna probabilità congiunta superi il limite superiore (e, mentre tutte le probabilità congiunte sono maggiori o uguali a 0, come previsto, non è necessario preoccuparsi che superino il limite inferiore). Inoltre, se le probabilità congiunte in ciascuna riga e ciascuna colonna sono uguali alle densità incondizionate associate a ciascuna riga e ciascuna colonna, allora  

Ciò che mi ha davvero infastidito è stato il famoso teorema della probabilità condizionata, il quale afferma che la densità di probabilità congiunta non può essere ottenuta dalle densità di probabilità incondizionate dei componenti. Secondo il punto di vista tradizionale, si credeva che in assenza di indipendenza stocastica, la funzione di densità di probabilità congiunta è unica, completamente indipendente, che appare dal nulla, cioè non si esprime attraverso funzioni di densità incondizionate dei componenti, ma è una nuova funzione di densità di probabilità indipendente, che non può essere ripristinata dalle funzioni delle densità incondizionate dei componenti. Per vederlo, consideriamo la seguente tabella, presa in prestito da Feller, che abbiamo illustrato graficamente in Fig. 3.1.  

La moderna società albanese è ancora meno colpita dall’industrializzazione rispetto a qualsiasi altra Paese europeo la crescita delle città, la migrazione della popolazione dai villaggi alle città, da una città all'altra, il reinsediamento delle persone che lavorano in un'impresa in diverse parti della città, la frammentazione (nuclearizzazione) delle famiglie in questo paese non sono arrivati ​​​​al punto, diciamo, in Russia. Non solo nei villaggi, ma anche nelle città dell'Albania, i vicini si conoscono fin dall'infanzia

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