Rete di Markov- Una rete di Markov, un campo casuale di Markov o un modello grafico non orientato è un modello grafico in cui un insieme di variabili casuali ha la proprietà di Markov descritta da un grafico non orientato. La rete di Markov è diversa... Wikipedia

VETTORE RANGO- statistica vettoriale R= =(R1, . . ., Rn), costruita a partire da un vettore casuale di osservazioni X= (X 1 .. ., X n), componente i-esimo dello sciame Ri=Ri(X), io=l, 2, . . ., n, è determinato dalla regola secondo cui la funzione caratteristica dell'insieme, cioè Statistica Ri, è chiamata ... Enciclopedia matematica

DISTRIBUZIONE CONDIZIONATAè una funzione di un evento elementare e di un insieme Borel, che per ogni evento elementare fisso è una distribuzione di probabilità, e per ogni insieme Borel fisso una probabilità condizionata. Lasciamo che il probabilistico... ... Enciclopedia matematica

LEGGE DI GAUSS- il nome comune della distribuzione normale. Il nome è associato al ruolo che questa distribuzione gioca negli errori della teoria di K. Gauss. Le densità (erano loro che originariamente si chiamavano G.Z.) compaiono nell'op. Teoria del movimento... ... Enciclopedia matematica

Vettore casuale

Funzione di densità di probabilità congiunta di due variabili aleatorie

Sia la funzione ad avere derivate rispetto a, nonché una derivata seconda mista. La distribuzione della densità di probabilità congiunta (o bidimensionale) delle variabili casuali è la funzione

Consideriamo le proprietà di base della densità di probabilità bidimensionale.

1. Il seguente rapporto è giusto:

Per dimostrarlo usiamo l’uguaglianza (51.1), quindi:

Ora l’uguaglianza (50.2) implica (51.2). Questa relazione è di importanza pratica, poiché permette di calcolare la probabilità che un vettore bidimensionale cada in un rettangolo definito da segmenti e attraverso la densità di probabilità.

2. Consideriamo un caso speciale di relazione (51.2). Sia allora (51.2) la forma:

Questa relazione definisce la funzione di distribuzione della probabilità attraverso la densità di probabilità ed è l'inverso dell'uguaglianza (51.1).

3. Consideriamo la (51.2) nelle condizioni: , quindi dalla (51.2) segue l'uguaglianza:

perché - come probabilità di un evento affidabile. La relazione (51.5) è detta condizione di normalizzazione della densità di probabilità.

4. Se è la densità di probabilità di un vettore ed è la densità di probabilità di una variabile casuale, allora

Questa uguaglianza è chiamata proprietà di consistenza della densità del secondo ordine e della densità del primo ordine. Se la densità del secondo ordine è nota, utilizzando la formula (51.6) possiamo calcolare la densità di probabilità di una variabile casuale. Allo stesso modo,

Otteniamo la dimostrazione della (51.6) basata sull'uguaglianza

Rappresentiamo attraverso la densità secondo (51.4), e attraverso, quindi da (51.8) segue

La differenziazione (51.9) rispetto a porta all'uguaglianza (51.6), che completa la dimostrazione.

5. Le variabili casuali e sono dette indipendenti se gli eventi casuali sono indipendenti e per qualsiasi numero e. Per variabili casuali indipendenti e:

La dimostrazione segue dalle definizioni delle funzioni e, . Poiché e sono variabili casuali indipendenti, allora eventi della forma: e sono indipendenti per qualsiasi e. Ecco perché

L’uguaglianza (51.10) è vera. Differenziamo la (51.10) rispetto a e, poi secondo la (51.1) otteniamo un corollario per le densità:

6. Sia allora un'area arbitraria del piano

La probabilità che un vettore assuma qualsiasi valore dalla regione è determinata dall'integrale sulla densità di probabilità.

Consideriamo un esempio di un vettore casuale con una distribuzione di probabilità uniforme, che ha una densità di probabilità su un rettangolo e all'esterno di questo rettangolo. Il numero è determinato dalla condizione di normalizzazione:

Contributo di B.V. Gnedenko nello sviluppo della teoria della probabilità

Negli anni ’30 l’attenzione di Boris Vladimirovich fu attratta dai problemi legati alla somma di variabili casuali indipendenti. L'interesse per tali problemi apparve in matematica già nel XVII secolo...

Statistiche matematiche

Utilizzando stime puntuali dei parametri della legge di distribuzione normale e annotando la densità di probabilità e la funzione di distribuzione...

Variabili casuali continue. Legge della distribuzione normale

Sia una variabile casuale continua X definita dalla densità di distribuzione f(x). Supponiamo che tutti i possibili valori di X appartengano al segmento [a, b]. Dividiamo questo segmento in n segmenti parziali di lunghezza......

Vettore casuale

Nei problemi con esito casuale, di solito è necessario tenere conto dell'interazione di diverse variabili casuali. Ciò porta naturalmente al concetto di variabili casuali multidimensionali (vettoriali) o di un insieme di più variabili casuali...

Vettore casuale

La distribuzione della densità di probabilità condizionale di una variabile casuale sotto una condizione è chiamata funzione: . (53.1) Sostituiamo quindi la relazione (52.5) ​​nella (53.1). (53.2) Ciò segue. (53.3) - formula di moltiplicazione per le densità...

Vettore casuale

Per variabili casuali indipendenti e covarianza. Consideriamo invece un altro caso estremo, quando le variabili casuali e sono legate da una dipendenza funzionale: , (56.1) dove sono numeri. Calcoliamo la covarianza delle variabili casuali e: . (56...

Vettore casuale

Supponiamo che un vettore casuale abbia una funzione di distribuzione di probabilità e che esista una derivata parziale, (61.1), quindi la funzione è chiamata densità di distribuzione di probabilità del vettore casuale o densità di probabilità dimensionale...

Vettore casuale

Siano variabili casuali aventi una densità congiunta e una funzione di distribuzione di probabilità congiunta. Siano date anche funzioni e variabili. Invece degli argomenti della funzione, sostituiamo le variabili casuali, quindi (64...

Vettore casuale

66.1. La relazione (65.11), che determina la densità di probabilità della variabile trasformata attraverso la densità della variabile casuale originaria, può essere generalizzata al caso di trasformazione di variabili casuali...

Processi casuali

Se ha una derivata, (71.1), allora questa derivata è chiamata distribuzione di densità di probabilità bidimensionale del processo casuale. Proprietà fondamentali della densità (71...

Teoria della probabilità

Una variabile casuale è una quantità il cui valore numerico può variare a seconda del risultato di un esperimento stocastico. Chiamiamo una variabile casuale discreta i cui possibili valori formano un insieme finito...

Teoria della probabilità

Una variabile casuale è una quantità il cui valore numerico può variare a seconda del risultato di un esperimento stocastico. La variabile continua è una variabile casuale che può assumere qualsiasi valore in un determinato intervallo...

Teoria della probabilità e variabili casuali

Sia una variabile casuale continua X specificata dalla funzione di distribuzione f(x). Supponiamo che tutti i possibili valori della variabile casuale appartengano al segmento. Definizione. L'aspettativa matematica di una variabile casuale continua X...

Cos'è una variabile casuale

Esistono due tipi di variabili casuali: discrete e continue. Discrete sono quelle variabili casuali il cui insieme di valori è finito o fisso. Un esempio di variabile casuale discreta...

Elementi di teoria della probabilità

Aspettativa matematica: il valore (6) è chiamato aspettativa matematica. In sostanza si tratta del valore medio tenendo conto del peso dell'implementazione del valore corrente. Per chiarire il concetto di peso, supponiamo che sia una quantità discreta...

Tra i flussi di risultato dell'evento X e dell'evento Y c'è zero. Pertanto, se si verificasse l'indipendenza stocastica, allora ci aspetteremmo che la probabilità di X = 0 e Y = 3 sia uguale a (6/27) (8/27) = 0,222 0,0658 = 0,0658. Invece questa probabilità è pari a zero, confermando così quanto accettato teorema della probabilità condizionata che le densità congiunte non possono essere ottenute dalle densità incondizionate dei componenti.

Si sapeva come determinarlo coefficiente di correlazione in presenza solo di densità congiunta e densità incondizionate, ma per molto tempo si è creduto che fosse impossibile determinare la densità congiunta avendo solo densità incondizionate e coefficiente di correlazione flussi. Ed è esattamente ciò di cui avevo bisogno.

FUNZIONE DENSITÀ DI DISTRIBUZIONE COMUNE

Consideriamo il sistema di equazioni simultanee (2.1), per il quale condizioni di normalità(condizione 1) e il grado (condizione 2). Allora, (i) la densità congiunta (g/1,..., g/n) dipende da (Bo, Go, Ho) solo attraverso i parametri di forma ridotta (Po, o)5 (n) Po e 1 sono globalmente identificabile.

Anzi, lasciamo

vettore di vincolo casuale b. Densità di distribuzione componenti 6, pari a

Indichiamo con f la densità di distribuzione congiunta delle componenti del vettore b(w).

Usando questa formula, puoi determinare la probabilità congiunta (densità di probabilità congiunta) di questi SV

Probabilità congiunta, congiunta funzione distributiva, la densità di probabilità congiunta non dà un'idea chiara del comportamento di ciascuna delle componenti della SV considerata e della loro relazione tra loro. In questo caso, possono essere costruiti leggi di distribuzione ciascuno dei componenti della SV multidimensionale. Inoltre, ciascuno di essi assume gli stessi valori, ma con le corrispondenti probabilità marginali o marginali funzioni di distribuzione, calcolato utilizzando le formule (1.23), (1.24). Ad esempio, un SV discreto bidimensionale (X, Y) può essere specificato in forma tabellare

Cos'è la probabilità congiunta, congiunta funzione distributiva, densità di probabilità congiunta

Fornisci un esempio di densità congiunta distribuzioni di probabilità due variabili casuali e disegna le loro linee di livello per valori diversi coefficiente di correlazione queste quantità.

Questa assunzione può essere riscritta analiticamente come segue: l'asset/i dell'impresa genera flusso di reddito X, (1), X, (2),..., X,(T). Gli elementi di questo flusso sono variabili casuali, avente una densità di distribuzione congiunta della forma xL-U, (1), X, (2),. .., X, (T)]. Redditività dell'i-esimo cor-

Considereremo principalmente serie temporali, che hanno uno spinello distribuzione delle variabili casuali X, . .., X ha una densità di distribuzione congiunta p(x, x,..., x).

Con queste ipotesi, la densità di distribuzione congiunta vettori casuali ul,...,un ha la forma

Poiché u = y,T - xtB, passando quindi dalle variabili u,...,ipk alle variabili y1,...,yn, otteniamo un'espressione per la densità congiunta dei valori dei vettori y1, ...,y nella forma

È noto che per f (x) - f(x,y)dy e ftj(y) - f(x,y)dx, la densità congiunta

Tutte queste densità condizionali sono facilmente espresse attraverso la densità congiunta

A causa dell'influenza combinata di casuale e sistematico fattori tecnologici parametri e parametri dei prodotti sono variabili casuali. Di solito sono distribuiti secondo una legge normale o normale troncata con una densità di distribuzione f(x) (-)]

Nel corso di trecento anni di lavoro attivo congiunto di molte generazioni di fisici e matematici, sono riusciti a costruire un edificio armonioso: un sistema modelli matematici processi fisici. Questo edificio è composto da molti piani. Si basa sui principi che servono come base modelli di fisica fenomeni. Questi principi sono il prodotto del lungo sviluppo della scienza; incarnano l’esperienza dell’influenza dell’uomo sulla natura che lo circonda, cioè la pratica (nel senso filosofico del termine), nella quale nelle scienze naturali occupa un posto importante esperimento su vasta scala. Formulati tre principi della meccanica Isacco Newton, servire come base sufficiente per costruzione di modelli matematici in meccanica nel caso in cui gli oggetti che ci interessano possono essere descritti con un sufficiente grado di precisione sotto forma di punti materiali e le loro velocità sono lontane dalla velocità della luce. Oggetti di questo tipo comprendono un'ampia classe di fenomeni studiati, che vanno dalle oscillazioni di un pendolo al volo controllato di un veicolo spaziale. Sommando ai tre newtoniani principi principi descrivendo la deformazione di un corpo solido, potremo descrivere l'interazione di corpi solidi aventi dimensioni finite. Avendo aggiunto ai principi di Newton il principio di considerare un liquido come un mezzo continuo e continuo (trascurando cioè la sua struttura molecolare), il principio di descrizione Comunicazione tra densità e pressione, nonché il principio di conservazione della massa, che ha la forma dell'equazione di continuità del mezzo, otteniamo modello matematico liquidi.

Questo esempio mostra che la somma delle probabilità nella prima colonna deve essere uguale alla densità incondizionata associata alla colonna Risultati buoni (0,4). Cioè, la somma delle probabilità congiunte di Guerra, Crisi, Stagnazione, Pace e Prosperità, da un lato, e di risultati Buoni, dall’altro, deve essere rigorosamente uguale a 0,4.

Nota che se richiedi che le probabilità congiunte in ogni riga e in ogni colonna si sommino alla densità incondizionata associata a ciascuna riga e ogni colonna (come dovrebbero), allora non dovrai più preoccuparti se qualsiasi probabilità congiunta supererebbe il valore superiore limite (e finché tutte le tue probabilità congiunte sono maggiori o uguali a 0, come dovrebbero essere, non devi preoccuparti che superino il limite inferiore). Inoltre, se le probabilità congiunte in ciascuna riga e ciascuna colonna sono uguali alle densità incondizionate associate a ciascuna riga e ciascuna colonna, allora

Ciò che mi ha causato vera sofferenza è stato il noto teorema sull'argomento probabilità condizionali, che sosteneva che la densità di probabilità congiunta non può essere ottenuta da incondizionata densità di probabilità componente. Secondo punto di vista tradizionale si credeva che in assenza di stocastico funzione di indipendenza la densità di probabilità congiunta è unica, del tutto indipendente, che appare dal nulla, cioè non si esprime attraverso funzioni delle densità incondizionate dei componenti, ma è nuova, indipendente densità di probabilità, che non può essere recuperato dalle funzioni delle densità incondizionate dei componenti. Per vederlo, consideriamo la seguente tabella, presa in prestito da Feller, che abbiamo illustrato graficamente in Fig. 3.1.

La moderna società albanese è ancora meno colpita dall’industrializzazione di qualsiasi altro paese europeo dalla crescita urbana, migrazione della popolazione dai villaggi alle città, da una città all'altra, il reinsediamento delle persone che lavorano in un'impresa in diverse parti della città, la frammentazione (nuclearizzazione) delle famiglie in questo paese non è arrivata fino a quanto, diciamo, in Russia. Non solo nei villaggi, ma anche nelle città dell'Albania, i vicini si conoscono fin dall'infanzia