Il cambio di variabile in un integrale indefinito viene utilizzato per trovare integrali in cui una delle funzioni è la derivata di un'altra funzione. Sia presente un integrale $ \int f(x) dx $, effettuiamo la sostituzione $ x=\phi(t) $. Nota che la funzione $ \phi(t) $ è differenziabile, quindi possiamo trovare $ dx = \phi"(t) dt $.
Ora sostituiamo $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ nell'integrale e otteniamo:
$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$
Questo è formula per trasformare una variabile in un integrale indefinito.
Algoritmo del metodo di sostituzione delle variabili
Pertanto, se al problema viene fornito un integrale della forma: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ È consigliabile sostituire la variabile con una nuova: $$ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$
Successivamente, l'integrale verrà presentato in una forma che può essere facilmente assunta con i metodi di integrazione di base: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt$$
Non dimenticare di restituire anche la variabile sostituita a $x$.
Esempi di soluzioni
| Esempio 1 |
|
Trovare l'integrale indefinito utilizzando il metodo del cambio di variabile: $$ \int e^(3x) dx $$ |
| Soluzione |
|
Sostituiamo la variabile nell'integrale con $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ L'integrale dell'esponenziale è sempre lo stesso secondo la tabella di integrazione, anche se al posto di $ x $ è scritto $ t $: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ Se non riesci a risolvere il tuo problema, inviacelo. Forniremo una soluzione dettagliata. Potrai visualizzare lo stato di avanzamento del calcolo e ottenere informazioni. Questo ti aiuterà a ottenere il voto dal tuo insegnante in modo tempestivo! |
| Risposta |
| $$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ |
Tipo di lezione: imparare nuovo materiale.
Compiti educativi:
- insegnare agli studenti a utilizzare il metodo dell'integrazione per sostituzione;
- continuare a sviluppare competenze nell'utilizzo dell'integrazione delle funzioni;
- continuare a sviluppare un interesse per la matematica attraverso la risoluzione dei problemi;
- coltivare un atteggiamento consapevole nei confronti del processo di apprendimento, instillare un senso di responsabilità per la qualità della conoscenza, esercitare l'autocontrollo sul processo di risoluzione e progettazione degli esercizi;
- ricordare che solo l'uso consapevole degli algoritmi per il calcolo dell'integrale indefinito consentirà agli studenti di padroneggiare qualitativamente l'argomento studiato.
Fornire lezioni:
- tabella delle formule base di integrazione;
- schede attività per il lavoro di prova.
Lo studente deve sapere: algoritmo per il calcolo dell'integrale indefinito utilizzando il metodo di sostituzione.
Lo studente deve essere in grado di: applicare le conoscenze acquisite al calcolo di integrali indefiniti.
Motivazione dell'attività cognitiva degli studenti.
Il docente riferisce che oltre al metodo dell'integrazione diretta, esistono altri metodi per il calcolo degli integrali indefiniti, uno dei quali è il metodo della sostituzione. Questo è il metodo più comune per integrare una funzione complessa, consistente nel trasformare l'integrale passando a un'altra variabile di integrazione.
Avanzamento della lezione
IO. Organizzare il tempo.
II. Controllo dei compiti.
Rilievo frontale:
III. Ripetizione delle conoscenze di base degli studenti.
1) Ripetere la tabella delle formule di integrazione base.
2) Ripetere qual è il metodo di integrazione diretta.
L'integrazione diretta è un metodo di integrazione in cui un dato integrale viene ridotto a uno o più integrali di tabella mediante trasformazioni identiche dell'integrando e l'applicazione delle proprietà dell'integrale indefinito.
IV. Imparare nuovo materiale.
Non è sempre possibile calcolare un dato integrale mediante integrazione diretta, e talvolta ciò comporta grandi difficoltà. In questi casi vengono utilizzate altre tecniche. Una delle tecniche più efficaci è il metodo della sostituzione o sostituzione della variabile di integrazione. L'essenza di questo metodo è che introducendo una nuova variabile di integrazione è possibile ridurre un dato integrale a un nuovo integrale, che è relativamente facile da prendere direttamente. Se dopo aver cambiato la variabile l'integrale diventa più semplice, lo scopo della sostituzione è stato raggiunto. L'integrazione con il metodo di sostituzione si basa sulla formula
Consideriamo questo metodo.
Algoritmo di calcolointegrale indefinito con il metodo di sostituzione:
- Determina a quale integrale di tabella viene ridotto questo integrale (dopo aver prima trasformato l'integrando, se necessario).
- Determina quale parte dell'integrando sostituire con una nuova variabile e annota questa sostituzione.
- Trova i differenziali di entrambe le parti del record ed esprimi il differenziale della vecchia variabile (o un'espressione contenente questo differenziale) in termini di differenziale della nuova variabile.
- Effettua una sostituzione sotto l'integrale.
- Trova l'integrale risultante.
- Di conseguenza, viene effettuata una sostituzione inversa, ad es. vai alla vecchia variabile. È utile verificare il risultato mediante differenziazione.
Diamo un'occhiata agli esempi.
Esempi. Trova gli integrali:
1) )4
Introduciamo la sostituzione:
Differenziando questa uguaglianza, abbiamo:
V. Applicazione della conoscenza durante la risoluzione di esempi tipici.
VI. Applicazione indipendente di conoscenze, competenze e abilità.
opzione 1
Trova gli integrali:
opzione 2
Trova gli integrali:
VII. Riassumendo la lezione.
VIII. Compiti a casa:
G.N. Yakovlev, parte 1, §13.2, paragrafo 2, n. 13.13 (1,4,5), 13.15 (1,2,3)
Il metodo si basa sulla seguente formula: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt, dove x = j(t) è una funzione differenziabile sull'intervallo considerato.
Prova. Troviamo le derivate rispetto alla variabile t dai lati sinistro e destro della formula.
Nota che sul lato sinistro c'è una funzione complessa il cui argomento intermedio è x = j(t). Pertanto, per differenziarlo rispetto a t, differenziamo prima l'integrale rispetto a x, e poi prendiamo la derivata dell'argomento intermedio rispetto a t.
(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)
Derivata da destra:
(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)
Poiché queste derivate sono uguali, per corollario del teorema di Lagrange, i lati sinistro e destro della formula da dimostrare differiscono di una certa costante. Poiché gli integrali indefiniti stessi sono definiti fino a un termine costante indefinito, questa costante può essere omessa dalla notazione finale. Comprovato.
Un cambio di variabile riuscito consente di semplificare l'integrale originale e, nei casi più semplici, di ridurlo a uno tabulare. Nell'applicazione di questo metodo si distingue tra metodi di sostituzione lineari e non lineari.
a) Consideriamo il metodo di sostituzione lineare utilizzando un esempio.
Esempio 1.. Sia t = 1 – 2x, allora
dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt
Va notato che la nuova variabile non necessita di essere scritta esplicitamente. In questi casi si parla di trasformare una funzione sotto il segno differenziale o di introdurre costanti e variabili sotto il segno differenziale, cioè O sostituzione implicita delle variabili.
Esempio 2. Ad esempio, troviamo òcos(3x + 2)dx. Secondo le proprietà del differenziale
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), allora òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.
In entrambi gli esempi considerati, per trovare gli integrali è stata utilizzata la sostituzione lineare t = kx + b (k ¹ 0).
Nel caso generale vale il seguente teorema.
Teorema della sostituzione lineare. Sia F(x) una qualche antiderivativa della funzione f(x). Allora òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, dove k e b sono delle costanti, k ¹ 0.
Prova.
Per definizione dell'integrale, òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. Prendiamo il fattore costante k esterno al segno di integrale: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Ora possiamo dividere i membri sinistro e destro dell'uguaglianza per k e ottenere l'affermazione da dimostrare fino alla designazione del termine costante.
Questo teorema afferma che se nella definizione dell'integrale ò f(x)dx = F(x) + C al posto dell'argomento x sostituiamo l'espressione (kx + b), ciò porterà alla comparsa di un ulteriore fattore 1/k davanti all'antiderivativa.
Usando il teorema dimostrato, risolviamo i seguenti esempi.
Esempio 3.
Troviamolo. Qui kx + b = 3 – x, cioè k = -1, b = 3. Quindi
Esempio 4.
Troviamolo. Qui kx + b = 4x + 3, cioè k = 4, b = 3. Quindi
Esempio 5.
Troviamolo. Qui kx + b = -2x + 7, cioè k = -2, b = 7. Quindi
.
Esempio 6. Troviamolo. Qui kx + b = 2x + 0, cioè k = 2, b = 0.
.
Confrontiamo il risultato ottenuto con l'esempio 8, che è stato risolto con il metodo della scomposizione. Risolvendo lo stesso problema utilizzando un metodo diverso, abbiamo ottenuto la risposta 
. Confrontiamo i risultati: . Pertanto, queste espressioni differiscono l'una dall'altra per un termine costante, vale a dire Le risposte ricevute non si contraddicono tra loro.
Esempio 7. Lo troveremo 
. Selezioniamo un quadrato perfetto al denominatore.
In alcuni casi, la modifica di una variabile non riduce direttamente l'integrale a uno tabellare, ma può semplificare la soluzione, consentendo di utilizzare il metodo di espansione in un passaggio successivo.
Esempio 8. Ad esempio, troviamo . Sostituiamo t = x + 2, quindi dt = d(x + 2) = dx. Poi
,
dove C = C 1 – 6 (sostituendo l'espressione (x + 2) al posto di t, invece dei primi due termini otteniamo ½x 2 -2x – 6).
Esempio 9. Troviamolo. Sia t = 2x + 1, allora dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t – 1)/2.
Sostituiamo t l'espressione (2x + 1), apriamo le parentesi e diamo quelle simili.
Si noti che nel processo di trasformazione ci siamo spostati su un altro termine costante, perché il gruppo di termini costanti potrebbe essere omesso durante il processo di trasformazione.
b) Consideriamo il metodo di sostituzione non lineare utilizzando un esempio.
Esempio 1.. Sia t = - x 2 . Successivamente, si potrebbe esprimere x in termini di t, quindi trovare un'espressione per dx e implementare un cambio di variabile nell'integrale desiderato. Ma in questo caso è più facile fare le cose diversamente. Troviamo dt = d(-x 2) = -2xdx. Si noti che l'espressione xdx è un fattore dell'integrando dell'integrale desiderato. Esprimiamolo dall'uguaglianza risultante xdx = - ½ dt. Poi
= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C
Diamo un'occhiata ad alcuni altri esempi.
Esempio 2. Troviamolo. Sia t = 1 - x 2 . Poi
Esempio 3. Troviamolo. Sia t = . Poi
;
Esempio 4. Nel caso della sostituzione non lineare, è conveniente utilizzare anche la sostituzione implicita delle variabili.
Ad esempio, troviamo . Scriviamo xdx =
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (sostituito implicitamente dalla variabile t = 3 - 2x 2). Poi
Esempio 5. Lo troveremo 
. Qui introduciamo anche una variabile sotto il segno differenziale: 
(sostituzione implicita t = 3 + 5x 3). Poi
Esempio 6. Troviamolo. Perché il ,
Esempio 7. Troviamolo. Da allora
Vediamo alcuni esempi in cui diventa necessario combinare varie sostituzioni.
Esempio 8. Lo troveremo 
. Permettere
t = 2x + 1, quindi x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.
Esempio 9. Lo troveremo 
. Permettere
t = x - 2, allora x = t + 2; dx = dt.
L'integrazione per cambio di variabile (metodo di sostituzione) è uno dei metodi più comuni per trovare gli integrali.
Lo scopo di introdurre una nuova variabile è semplificare l’integrazione. L'opzione migliore è sostituire una variabile e ottenere un integrale tabulare rispetto alla nuova variabile. Come determinare quale sostituzione deve essere effettuata? Le competenze si acquisiscono con l'esperienza. Più esempi vengono risolti, più velocemente verranno risolti quelli successivi. Nella fase iniziale utilizziamo il seguente ragionamento:
Questo è. se sotto il segno integrale vediamo il prodotto di una qualche funzione f(x) e della sua derivata f '(x), allora questa funzione f(x) deve essere presa come una nuova variabile t, poiché il differenziale dt=f '(x )dx esiste già.
Diamo un'occhiata a come funziona il metodo di sostituzione delle variabili utilizzando esempi specifici.
Calcolare gli integrali utilizzando il metodo di sostituzione delle variabili:
Qui 1/(1+x²) è la derivata della funzione arctan x. Pertanto, prendiamo arctan x come la nuova variabile t. Successivamente, utilizzeremo:
Dopo aver trovato l'integrale di t, eseguiamo la sostituzione inversa:
Se prendiamo il seno come t, allora deve esserci anche la sua derivata, il coseno (fino al segno). Ma non c'è coseno nell'integrando. Ma se prendiamo l'esponente come t, tutto funziona:
Per ottenere il differenziale dt desiderato, cambiare il segno al numeratore e davanti all'integrale:
(Qui (ln(cosx))’ - . )
Sostituzione di un polinomio O. Ecco un polinomio di grado, ad esempio l'espressione è un polinomio di grado.
Diciamo che abbiamo un esempio:
Usiamo il metodo di sostituzione delle variabili. Per cosa pensi che dovrebbe essere preso? Giusto, .
L'equazione diventa:
Eseguiamo un cambio inverso di variabili:
Risolviamo la prima equazione:
Decidiamo secondo l'equazione:
… Cosa significa questo? Giusto! Che non ci sono soluzioni.
Pertanto, abbiamo ricevuto due risposte: ; .
Comprendi come utilizzare il metodo di sostituzione delle variabili per un polinomio? Esercitati a farlo tu stesso:
Deciso? Ora controlliamo insieme a voi i punti principali.
Devi prenderlo.
Otteniamo l'espressione:
Risolvendo un'equazione quadratica, troviamo che ha due radici: e.
La soluzione alla prima equazione quadratica sono i numeri e
Risolvere la seconda equazione quadratica - numeri e.
Risposta: ; ; ;
Riassumiamo
Il metodo di sostituzione delle variabili presenta i principali tipi di sostituzioni di variabili nelle equazioni e disuguaglianze:
1. Sostituzione di potere, quando prendiamo come qualcosa di sconosciuto, elevato a potenza.
2. Sostituzione di un polinomio, quando prendiamo per un'intera espressione contenente un'incognita.
3. Sostituzione frazionaria-razionale, quando prendiamo qualsiasi relazione contenente una variabile sconosciuta.
Importante consiglio quando si introduce una nuova variabile:
1. La sostituzione delle variabili deve essere effettuata immediatamente, alla prima occasione.
2. L'equazione per una nuova variabile deve essere risolta fino alla fine e solo successivamente restituita alla vecchia incognita.
3. Quando ritorni allo sconosciuto originale (e in effetti durante l'intera soluzione), non dimenticare di controllare le radici per ODZ.
Una nuova variabile viene introdotta in modo simile, sia nelle equazioni che nelle disuguaglianze.
Consideriamo 3 problemi
Risposte a 3 problemi
1. Let, quindi l'espressione assume la forma.
Poiché può essere sia positivo che negativo.
Risposta:
2. Let, quindi l'espressione assume la forma.
non c'è soluzione perché...
Risposta:
3. Raggruppando otteniamo:
Lasciamo allora che l'espressione prenda forma
.
Risposta:
SOSTITUZIONE DELLE VARIABILI. LIVELLO MEDIO.
Sostituzione delle variabili- si tratta dell'introduzione di una nuova incognita, rispetto alla quale l'equazione o disuguaglianza ha una forma più semplice.
Elencherò i principali tipi di sostituzioni.
Sostituzione del potere
Sostituzione del potere.
Ad esempio, utilizzando una sostituzione, un'equazione biquadratica viene ridotta a quadratica: .
Nelle disuguaglianze tutto è simile.
Ad esempio, effettuiamo una sostituzione nella disuguaglianza e otteniamo una disuguaglianza quadratica: .
Esempio (decidi tu stesso):
Soluzione:
Questa è un'equazione frazionaria-razionale (ripeti), ma risolverla usando il metodo consueto (riduzione a un denominatore comune) è scomodo, poiché otterremo un'equazione di grado, quindi viene utilizzato un cambio di variabili.
Tutto diventerà molto più semplice dopo aver sostituito: . Poi:
Ora facciamolo sostituzione inversa:
Risposta: ; .
Sostituzione di un polinomio
Sostituzione di un polinomio o.
Ecco un polinomio di grado, cioè espressione della forma
(ad esempio, l'espressione è un polinomio di grado).
La sostituzione più comunemente usata per il trinomio quadratico è: o.
Esempio:
Risolvi l'equazione.
Soluzione:
E ancora, viene utilizzata la sostituzione delle variabili.
Quindi l’equazione assumerà la forma:
Le radici di questa equazione quadratica sono: e.
Abbiamo due casi. Facciamo una sostituzione inversa per ciascuno di essi:
Ciò significa che questa equazione non ha radici.
Le radici di questa equazione sono: i.
Risposta. .
Sostituzione frazionale-razionale
Sostituzione frazionale-razionale.
e sono polinomi di gradi e, rispettivamente.
Ad esempio, quando si risolvono equazioni reciproche, cioè equazioni della forma
di solito viene utilizzata la sostituzione.
Ora ti mostrerò come funziona.
È facile verificare quale non sia la radice di questa equazione: dopotutto, se la sostituiamo nell'equazione, otteniamo ciò che contraddice la condizione.
Dividiamo l'equazione in:
Riorganizziamoci:
Adesso facciamo una sostituzione: .
Il bello è che elevando al quadrato il doppio prodotto dei termini, x si riduce:
Ne consegue che.
Torniamo alla nostra equazione:
Ora è sufficiente risolvere l'equazione quadratica ed effettuare la sostituzione inversa.
Esempio:
Risolvi l'equazione: .
Soluzione:
Quando l'uguaglianza non regge, quindi. Dividiamo l'equazione in:
L’equazione assumerà la forma:
Le sue radici:
Facciamo una sostituzione inversa:
Risolviamo le equazioni risultanti:
Risposta: ; .
Un altro esempio:
Risolvi la disuguaglianza.
Soluzione:
Siamo convinti che la sostituzione diretta non sia inclusa nella soluzione di questa disuguaglianza. Dividi numeratore e denominatore di ciascuna frazione per:
Ora la sostituzione della variabile è ovvia: .
Allora la disuguaglianza assumerà la forma:
Usiamo il metodo dell'intervallo per trovare y:
davanti a tutti, perché
davanti a tutti, perché
Quindi la disuguaglianza è equivalente alla seguente:
davanti a tutti, perché...
Ciò significa che la disuguaglianza è equivalente alla seguente: .
Quindi la disuguaglianza risulta essere equivalente all’aggregato:
Risposta: .
Sostituzione delle variabili- uno dei metodi più importanti per risolvere equazioni e disuguaglianze.
Infine ti darò un paio di consigli importanti:
SOSTITUZIONE DELLE VARIABILI. FORMULE RIASSUNTIVE E BASE.
Sostituzione delle variabili- un metodo per risolvere equazioni e disuguaglianze complesse, che consente di semplificare l'espressione originale e portarla in una forma standard.
Tipi di sostituzione delle variabili:
- Sostituzione di potenza:è considerato uno sconosciuto, elevato a potenza - .
- Sostituzione frazionaria-razionale: qualsiasi relazione contenente una variabile sconosciuta è considerata come - , dove e sono polinomi di grado n e m, rispettivamente.
- Sostituzione di un polinomio: l'intera espressione contenente l'ignoto è considerata come - oppure, dove è un polinomio di grado.
Dopo aver risolto un'equazione/disuguaglianza semplificata, è necessario effettuare una sostituzione inversa.
