Ako je funkcija kontinuirana na nekom intervalu (zabranjenom ili otvorenom), to, kao što već znamo, znači da za bilo koju točku u tom intervalu za unaprijed određeno e> 0 postoji e> 0 takvo da iz nejednakosti
x 0 - x< д
slijedi nejednakost
f(x 0) - f(x)<
tako da su samo točke x također u ovom intervalu.
Dakle, jasno je da q ovisi o e. Osim toga, za različite točke intervala i isti je, broj q također može ispasti različit, tj. d ne ovisi samo o e, već i o x0. Zatim činjenica da među vrijednostima za različite točke intervalu i ujedno je najmanja vrijednost od d, to ne postoji. U prvom slučaju za zadani e > 0 može se naći vrijednost q zajednička svim točkama intervala i tada se kaže da je funkcija na intervalu koji se razmatra uniformno kontinuirana.
Definicija. Za funkciju se kaže da je uniformno kontinuirana na zadanom intervalu ako je, prvo, definirana u svim točkama tog intervala, i drugo, ako je sljedeći uvjet istinit: svakom proizvoljno malom e> 0 možemo pridružiti takav e> 0, iz nejednakosti x 2 - x 1< д следует неравенство f(x 2) - f(x 1) < , причем х 1 и х 2 - два значения х, взятые в котором угодно месте промежутка.
Definicija uniformne neprekidnosti funkcije podrazumijeva da je funkcija uniformno kontinuirana na nekom intervalu i kontinuirana u svakoj točki tog intervala. Obratna tvrdnja, kao što je prikazano na primjeru funkcije na pivintervalu (0, 1], nije uvijek istinita.
Cantorov teorem (o uniformnoj neprekidnosti funkcije). Ako je funkcija neprekidna na odsječku [a, b], onda je i uniformno neprekidna na tom odsječku.
Dokaz. Neka imamo proizvoljno mali broj e > 0. Podijelimo segment [a, b] na konačan broj m dijelova tako da oscilacije zadane kontinuirane funkcije na (a, b] na svakom od dobivenih dijelova segmentima
[a, c 1 ], [c 1 , c 2 ], [c 2 , c 3 ],…….., [c i , c i+1 ], ……., [a, b],
bio manji od. Kako postoji konačan broj parcijalnih odsječaka, onda su njihove duljine konačni brojevi, pa je među njima i najmanji, koji označavamo s d. Sada uzmite bilo koje dvije točke x 1 i x 2 na odsječku [a, b] tako da razmak između njih bude manji:
x 2 - x 1< д (95)
Takve dvije točke mogu biti ili na istom privatnom segmentu ili na susjednim privatnim segmentima. U prvom slučaju
f(x 2) - f(x 1)< , (96)
U drugom slučaju, ako zajednički kraj susjednih privatnih segmenata označimo sa c i, dobivamo:
f(x 2) - f(x 1) =|f(x 2) - f(s i)+ f(s i) - f(x 1)|?,
f(x 2) - f(x 1)< (97)
Dakle, u prvom slučaju nejednakost (96) slijedi iz nejednakosti (95), a u drugom nejednakost (97) proizlazi iz nejednakosti (95). Teorem je dokazan.
(Ovo svojstvo vrijedi samo za segmente, a ne za intervale i poluintervale.)
Funkcija je kontinuirana na intervalu (0, a), ali nije uniformno kontinuirana na njemu, jer postoji broj >0 tako da postoje vrijednosti x 1 i x 2 takve da je f(x 1) - f(x 2)>, - bilo koji broj pod uvjetom da su x 1 i x 2 blizu nule.
Kaže se da je funkcija $%f(x)$% kontinuirana u točki $%x_0$% ako $$\forall\varepsilon>0\ \ \postoji\delta(x_0,\varepsilon)>0:\ \forall x: |x -x_0|<\delta =>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$$ На словах это означает, что в точках $%x$% близких к $%x_0$% значения функции $%f(x)$% будет близко к $%f(x_0)$%.
A koja je razlika od redovnog kontinuiteta?>
Obični (točkasti) kontinuitet je lokalno vlasništvo funkcije. To znači da se izvodi na određenom mjestu. Imajte na umu da je definicija neprekidnosti funkcije dana točno u točki. Štoviše, znamo da postoje funkcije koje su kontinuirane ne samo u jednoj točki, već i na nekom skupu (na primjer, $%f(x)=\sin x$% je kontinuirana na $%\mathbb(R )$% ). Ovo ne poništava lokalnu prirodu kontinuiteta, to jest, to jednostavno znači da ako provjerimo $%\sin x$% za kontinuitet u svakoj pojedinačnoj točki $%\mathbb(R)$%, tada će funkcija to zadovoljiti u ovoj specifičnoj točki. Budući da je u svakoj točki $%x_0$% skupa $%\mathbb(R)$% zadovoljen uvjet za kontinuitet funkcije $%\sin x$% u točki $%x_0$%, funkcija je nazivamo kontinuiranim na ovom skupu. Štoviše, kada smo proučavali kontinuitet funkcije u svakoj izdvojena točka, uzeli smo (s obzirom na $%\varepsilon$%) za ovu točku $%\delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%. To jest, za različite točke skupa (općenito govoreći) dobit će se različite delte. Dakle, postoji nejednakost u svojstvu funkcije da je "kontinuirana" u odnosu na deltu: grubo govoreći, u točki $%x_1$% funkcija je kontinuirana s jednom deltom, au točki $%x_2$% - s drugom deltom.
Kako razumjeti δ>0, ako je funkcija kontinuirana, onda za svaki epsilon mora postojati delta.>
Točno ste primijetili Ako funkcija je kontinuirana, tada za svaki epsilon postoji delta. Međutim, u praksi je situacija često ovakva - dana vam je funkcija (na primjer, $%y=3+x$%) i točka (na primjer, $%x_0=2$%). Pitanje je hoće li funkcija $%f$% biti neprekidna u točki $%x_0$%? Kako saznati? Najviše osnovna metoda- ovime se provjerava je li zadovoljena definicija kontinuiteta funkcije u točki. Naime, ja ću vam dati različiti epsilon ($%\varepsilon=1,\space\varepsilon=1/2,\space\varepsilon=1/100$% i tako dalje), a vi ćete za mene odabrati takvu deltu ovisno od ovoga epsilon i x-točka su nula, da je definicija ispunjena. Ako se, nakon što vam nabrojim sve pozitivne epsilon (ovo neće biti lako, ali ipak), ispostavi da ste pronašli takvu deltu za svaki epsilon, tada ćemo se složiti da je funkcija u ovoj točki kontinuirana. Ako vam u nekom trenutku kažem takav epsilon (na primjer, $%\varepsilon=1/1000$%), za koji ne možete pronaći deltu tako da je definicija zadovoljena, tada funkcija ne može biti kontinuirana u ovoj točki ( ako ne zadovoljava definiciju kontinuiteta).
Kada je uvjet |x−x0|<δ может не выполняться, и значит, функция не является непрерывной?>
U ovom tvom citatu sam zamijenio jednolik kontinuitet onom uobičajenom (čini se kao da se s tim prvo trebate pozabaviti). Imajte na umu da je za prepoznavanje funkcije kao diskontinuirane (ne kontinuirane) potrebno da definicija kontinuiteta(koji je na početku poruke) nije izvršen. I to ne samo dio ove definicije, već cijelu stvar. Umjesto definiranja u ovom slučaju treba ga izvršiti logična negacija. Mnemoničko pravilo za sastavljanje negacije je sljedeće: trebate zamijeniti sve kvantifikatore "postoji" (ikona $%\postoji$%) i "za bilo koji" (ikona $%\forall$%) njihovim suprotnostima (tj. $%\exists$% treba zamijeniti s $ %\forall$%, a zamijeniti $%\forall$% s $%\exists$%). Također trebate promijeniti predznak posljednje nejednakosti u suprotni (in u ovom slučaju$%|f(x)-f(x_0)|<$% заменить на $%|f(x)-f(x_0)|\geqslant \varepsilon$%). Получим следующее:
Funkcija $%f(x)$% je diskontinuirana (tj. nije kontinuirana) u točki $%x_0$% ako $$\exists\varepsilon>0:\forall\delta>0\space\exists x: |x -x_0|<\delta\space \& |f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon.$$
Iz ovoga vidimo da vaš kriterij za nedostatak kontinuiteta (uvjet $%|x-x_0|<\delta$% не выполняется, значит функция не является непрерывной) не имеет ничего общего с отрицанием определения непрерывности, которое мы только что построили. Также отметим, что при смене кванторов $%\forall$% и $%\exists$% на противоположные меняется природа того выражения, которое стоит под квантором. Скажем, в определении непрерывности мы имели $%\exists \delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%, а в отрицании определения непрерывности $%\forall \delta$%. То есть дельта в первом случае является функцией эпсилон и точки икс нулевое, а во втором является произвольным числом. Если задуматься, то это абсолютно логично - в первом случае мы для заданных наперёд $%x_0$% и $%\varepsilon$% подбираем $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а во втором случае дельта может быть абсолютно любым и ни от чего не зависит. Аналогично, в определении непрерывности мы имеем $%\forall x$%, а в его отрицании $%\exists x=x(\varepsilon, \delta)$%.
Da bismo ovo bolje razumjeli, korisno je samostalno analizirati nekoliko osnovnih primjera na ovu temu (npr. ispitati neku vrlo jednostavnu funkciju na kontinuitet u točki $%x_0$% i ako je tamo kontinuirana, onda eksplicitno naznačiti $% \delta (x_0,\varepsilon)$%, a ako je diskontinuirano, tada označite $%\varepsilon$% za koji se izvodi negacija, itd.). Nakon što se upoznate s definicijom kontinuiteta i njegove negacije (općenito, a posebno u $%\varepsilon$%-$%\delta$% jeziku), prijelaz na uniformni kontinuitet bit će puno lakši. I, naravno, trebate čitati o kontinuitetu i jedinstvenom kontinuitetu u udžbeniku analize. Link koji ste dali sadrži neke materijale koji više podsjećaju na špuru za ispit, gdje se u jednom retku objašnjava jednoobrazni kontinuitet. Kako netko može svladati ovaj (i druge pojmove) u matematici u ovakvom formatu potpuno mi je nejasno.
p.s. Molimo ostale sudionike da provjere ovaj odgovor (jesam li sve točno navela) budući da je metodološke prirode.
Komentar
Izbor δ u definiciji uniformnog kontinuiteta ovisi o ε, ali ne o x 1 ,x 2 .
Svojstva
- Funkcija jednoliko kontinuirana na skupu M, stalan Na njega. Obrnuto, općenito govoreći, nije točno. Na primjer, funkcija
kontinuirano je u cijeloj domeni definicije, ali nije uniformno kontinuirano, jer za bilo koji src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> možete navesti segment linije malen koliko hoćeš duljina tako da će se na njegovim krajevima vrijednosti funkcije razlikovati više nego na drugom primjeru: funkcija
kontinuirana je na cijelom brojevnom pravcu, ali nije uniformno kontinuirana, jer
Za bilo koji src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> možete odabrati segment proizvoljno male duljine tako da razlika u vrijednostima funkcije f(x) = x 2 na krajevima segmenta će biti više.Pogotovo na segmentu razlika u vrijednostima funkcije teži
vidi također
Zaklada Wikimedia. 2010.
- Jednako temperirana ljestvica
- Jednako temperirana ljestvica
Pogledajte što je "jednoliko kontinuirana funkcija" u drugim rječnicima:
Kontinuirana funkcija- Ovaj članak govori o kontinuiranoj numeričkoj funkciji. Za kontinuirana preslikavanja u raznim granama matematike, pogledajte kontinuirano preslikavanje. Kontinuirana funkcija je funkcija bez “skokova”, odnosno ona koja ima male promjene... ... Wikipedia
KONTINUIRANA FUNKCIJA- jedan od glavnih pojmova matematička analiza. Neka je realna funkcija f definirana na određenom podskupu od E realnih brojeva, tj. Poziva se funkcija f kontinuirano u točki (ili, detaljnije, kontinuirano u točki nad skupom E), ako je za... ... Matematička enciklopedija
Apsolutno kontinuirana funkcija- Funkcija se naziva apsolutno kontinuiranom funkcijom na konačnom ili beskonačnom intervalu ako je takva da je za bilo koji konačni skup disjunktnih intervala domena definicije funkcije ... Wikipedia
REKURENTNA FUNKCIJA- funkcija koja je rekurentna točka dinamičkih pomaka. sustava. Ekvivalentna definicija: funkcija gdje je S metrika. prostora, tzv rekurentna ako ima pretkompaktni skup vrijednosti, uniformno je kontinuirana i za svaki... ... Matematička enciklopedija
Gotovo periodična funkcija- funkcija čije se vrijednosti, kada se pravilno odabrani konstantni brojevi (skoro točke) dodaju argumentu, približno ponavljaju. Točnije: kontinuirana funkcija f (x), definiran za sve prave vrijednosti X,… … Velika sovjetska enciklopedija
SELEKTIVNA FUNKCIJA- funkcija argumenta t, koja jedinstveno odgovara svakom opažanju slučajnog procesa; ovdje ima mnogo elementarnih događaja. Često se koriste ekvivalenti V. f. termini implementacija, putanja. Slučajni proces karakter žulja..... Matematička enciklopedija
FUNKCIJA DISTRIBUCIJE- svaka slučajna varijabla X je funkcija realne varijable x, uzimajući za svaki x vrijednost jednaku vjerojatnosti nejednakosti X
GENERALIZIRANA ANALITIČKA FUNKCIJA- funkcija koja zadovoljava sustav s realnim koeficijentima koji su funkcije realnih varijabli x y U notnom zapisu, izvorni sustav je zapisan u obliku Ako su koeficijenti A i B sustava (1) na cijeloj Ecomplex ravnini... ... Matematička enciklopedija
HARMONIČKA FUNKCIJA- realna funkcija definirana u domeni euklidskog prostora koja ima kontinuirane parcijalne derivacije 1. i 2. reda u D i rješenje je Laplaceove jednadžbe gdje su kartezijeve pravokutne koordinate točke x. Ponekad ova definicija... ... Matematička enciklopedija
Plurisubharmonijska funkcija- Plurisubharmonijska funkcija je realno vrijedna funkcija kompleksnih varijabli u domeni kompleksnog prostora, koja zadovoljava sljedeće uvjete... Wikipedia
