پیوستگی یکنواخت یک تابع در یک مجموعه. توابع پیوسته یکنواخت

اگر تابع در یک بازه (ممنوع یا باز) پیوسته باشد، همانطور که قبلاً می دانیم، به این معنی است که برای هر نقطه از این بازه برای یک ε> 0 از پیش تعیین شده، q> 0 وجود دارد که از نابرابری

x 0 - x< д

نابرابری به دنبال دارد

f (x 0) - f (x)<

به طوری که فقط نقاط x نیز در بازه داده شده قرار می گیرند.

بنابراین، واضح است که q به e بستگی دارد. علاوه بر این، برای نقاط مختلف بازه برای یکسان، عدد q نیز ممکن است متفاوت باشد، یعنی. q نه تنها به e، بلکه به x 0 نیز بستگی دارد. پس از اهمیت اساسی این واقعیت است که در میان ارزش ها برای نقاط مختلففاصله زمانی و در عین حال کوچکترین مقدار q است، چنین چیزی وجود ندارد. در حالت اول، برای یک e> 0 داده شده، می توان مقدار مشترک را برای تمام نقاط بازه پیدا کرد و سپس می گویند که تابع در بازه مورد نظر به طور یکنواخت پیوسته است.

تعریف. یک تابع به طور یکنواخت پیوسته در یک بازه معین نامیده می شود اگر اولاً در تمام نقاط این بازه تعریف شده باشد و ثانیاً اگر شرط زیر صادق باشد: هر ε> 0 دلخواه کوچک را می توان با چنین q> 0 مرتبط کرد، از نابرابری x 2 - x 1< д следует неравенство f(x 2) - f(x 1) < , причем х 1 и х 2 - два значения х, взятые в котором угодно месте промежутка.

با تعریف تداوم یکنواخت یک تابع، نتیجه می شود که تابع در برخی بازه ها به طور یکنواخت پیوسته و در هر نقطه از این بازه پیوسته است. گزاره معکوس، همانطور که مثال یک تابع در فاصله زمانی (0، 1] نشان می دهد، همیشه درست نیست.

قضیه کانتور (در مورد تداوم یکنواخت یک تابع). اگر تابعی در قطعه [a, b] پیوسته باشد، در این پاره به طور یکنواخت پیوسته است.

اثبات فرض کنید یک عدد دلخواه کوچک e> 0 داشته باشیم. پاره [a, b] را به تعداد متناهی m قسمت تقسیم کنید تا نوسانات یک پیوسته معین در (a, b) روی هر یک از قسمت های به دست آمده از بخش ها

[a، c 1]، [c 1، c 2]، [c 2، c 3]، …… ..، [c i، c i + 1]، …….، [a، b]،

کمتر از از آنجایی که تعداد پاره های خصوصی محدود است، طول آنها نیز محدود است، بنابراین در بین آنها کوچکترین قطعه وجود دارد که آن را با d نشان می دهیم. حال هر دو نقطه x 1 و x 2 را در قطعه [a, b می گیریم. ] به طوری که فاصله بین آنها کمتر شود:

x 2 - x 1< д (95)

چنین دو نقطه را می توان در یک بخش خصوصی یا در بخش های خصوصی مجاور قرار داد. در مورد اول

f (x 2) - f (x 1)< , (96)

در حالت دوم، اگر انتهای مشترک بخش های خصوصی مجاور را با c i نشان دهیم، به دست می آید:

f (x 2) - f (x 1) = | f (x 2) - f (c i) + f (c i) - f (x 1) | ?,

f (x 2) - f (x 1)< (97)

بنابراین، در حالت اول، نابرابری (95) بر نابرابری (96) و در مورد دوم، نابرابری (95) دلالت بر نابرابری (97) دارد. قضیه ثابت می شود.

(این ویژگی فقط برای پاره های خط معتبر است، نه برای فواصل و نیم بازه ها.)

تابع در بازه (0، a) پیوسته است، اما در آن به طور یکنواخت پیوسته نیست، زیرا یک عدد> 0 وجود دارد به طوری که مقادیر x 1 و x 2 وجود دارد به طوری که f (x 1) - f (x 2)>، - هر عددی به شرطی که x 1 و x 2 نزدیک به صفر باشند.

تابع $% f (x) $% در نقطه $% x_0 $% پیوسته نامیده می شود اگر $$ \ forall \ varepsilon> 0 \ \ \ وجود داشته باشد \ delta (x_0, \ varepsilon)> 0: \ \ forall x: | x -x_0 |<\delta =>| f (x) -f (x_0) |<\varepsilon.$$ На словах это означает, что в точках $%x$% близких к $%x_0$% значения функции $%f(x)$% будет близко к $%f(x_0)$%.

و چه تفاوتی با تداوم منظم دارد؟>

تداوم معمولی (نقطه ای) است دارایی محلیکارکرد. این بدان معنی است که در یک نقطه خاص انجام می شود. توجه داشته باشید که تعریف تداوم یک تابع دقیقاً در یک نقطه ارائه شده است. علاوه بر این، ما می دانیم که توابعی وجود دارند که نه تنها در یک نقطه، بلکه در مجموعه ای نیز پیوسته هستند (برای مثال، $% f (x) = \ sin x $% در $% \ mathbb (R ) $% پیوسته است. ). این امر ماهیت محلی تداوم را لغو نمی کند، به این معناست که اگر $% \ sin x $% را برای تداوم در هر نقطه جداگانه $% \ mathbb (R) $% بررسی کنیم، تابع راضی خواهد شد. در این نقطه خاص... از آنجایی که در هر نقطه $% x_0 $% از مجموعه $% \ mathbb (R) $% شرایط تداوم تابع $% \ sin x $% در نقطه $% x_0 $% برآورده می‌شود، تابع پیوسته نامیده می‌شود. در این مجموعه علاوه بر این، زمانی که ما تداوم تابع را در هر یک مطالعه کردیم تک نقطه، ما (برای یک $% \ varepsilon $%) برای این نقطه $% \ delta = \ delta (x_0, \ varepsilon) $% گرفتیم. یعنی برای نقاط مختلف مجموعه، (به طور کلی) دلتاهای متفاوتی به دست خواهد آمد. بنابراین، یک ویژگی ناهموار از تابع "مستمر بودن" در امتداد دلتا وجود دارد: به طور تقریبی، در نقطه $% x_1 $% تابع با یک دلتا پیوسته است، و در نقطه $% x_2 $% - با دیگری. دلتا

نحوه درک δ> 0، اگر تابع پیوسته است، برای هر اپسیلون باید یک دلتا وجود داشته باشد.>

به درستی اشاره کردی اگرتابع پیوسته است، پس برای هر دلتای اپسیلون وجود دارد. با این حال، در عمل وضعیت اغلب به این صورت است - به شما یک تابع داده می شود (به عنوان مثال، $% y = 3 + x $%) و یک امتیاز (به عنوان مثال، $% x_0 = 2 $%). سوال این است که آیا تابع $% f $% در نقطه $% x_0 $% پیوسته خواهد بود؟ چگونه متوجه شویم؟ اکثر راه اساسیبررسی اینکه آیا تعریف تداوم یک تابع در یک نقطه برآورده شده است یا خیر. یعنی من به شما اپسیلون های مختلفی می دهم ($% \ varepsilon = 1 ، \ space \ varepsilon = 1/2 ، \ space \ varepsilon = 1/100 $٪ و غیره) و شما چنین دلتای را برای من انتخاب خواهید کرد. ، بسته به اینکه از این اپسیلون و نقطه x صفر باشد که تعریف برآورده می شود. اگر بعد از اینکه تمام اپسیلون های مثبت را برای شما لیست کردم (آسان نخواهد بود، اما باز هم)، معلوم شد که برای هر اپسیلون چنین دلتای پیدا کرده اید، پس ما موافقت می کنیم که عملکرد در این نقطه پیوسته است. اگر در نقطه‌ای به شما چنین اپسیلونی را بگویم (مثلاً $% \ varepsilon = 1/1000 $%) که نمی‌توانید دلتای برای آن پیدا کنید تا تعریف برآورده شود، در این صورت تابع در این نقطه نمی‌تواند پیوسته باشد ( تعریف تداوم را برآورده نمی کند).

زمانی که شرایط | x - x0 |<δ может не выполняться, и значит, функция не является непрерывной?>

در این نقل قول شما جایگزین کرده ام تداوم یکنواختبه حالت معمولی (به نظر می رسد ابتدا باید با آن مقابله کنید). توجه داشته باشید که برای تشخیص یک تابع به عنوان ناپیوسته (نه پیوسته) لازم است که تعریف تداوم(که در ابتدای پیام) اجرا نشد. و نه تنها بخشی از این تعریف، بلکه به طور کامل. به جای تعریف در این مورد، باید اجرا شود نفی منطقی... قانون یادگاری برای نگارش نفی به این صورت است: همه کمیت‌کننده‌ها "وجود دارند" (نماد $% \ وجود دارد $%) و "for any" (نماد $% \ forall $%) باید با موارد مخالف جایگزین شوند (یعنی ، $% \ موجود است $% باید با $ % \ forall $% جایگزین شود و $% \ forall $% با $% \ موجود است $% جایگزین شود. همچنین باید علامت آخرین نابرابری را به عکس تغییر دهید (in در این مورد$% | f (x) -f (x_0) |<$% заменить на $%|f(x)-f(x_0)|\geqslant \varepsilon$%). Получим следующее:
تابع $% f (x) $% ناپیوسته است (یعنی پیوسته نیست) در نقطه $% x_0 $% اگر $$ \ وجود داشته باشد \ varepsilon> 0: \ forall \ delta> 0 \ space \ وجود داشته باشد x: | x- x_0 |<\delta\space \& |f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon.$$
از اینجا می بینیم که معیار شما برای ناپیوستگی (شرط $% | x-x_0 |<\delta$% не выполняется, значит функция не является непрерывной) не имеет ничего общего с отрицанием определения непрерывности, которое мы только что построили. Также отметим, что при смене кванторов $%\forall$% и $%\exists$% на противоположные меняется природа того выражения, которое стоит под квантором. Скажем, в определении непрерывности мы имели $%\exists \delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%, а в отрицании определения непрерывности $%\forall \delta$%. То есть дельта в первом случае является функцией эпсилон и точки икс нулевое, а во втором является произвольным числом. Если задуматься, то это абсолютно логично - в первом случае мы для заданных наперёд $%x_0$% и $%\varepsilon$% подбираем $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а во втором случае дельта может быть абсолютно любым и ни от чего не зависит. Аналогично, в определении непрерывности мы имеем $%\forall x$%, а в его отрицании $%\exists x=x(\varepsilon, \delta)$%.
برای درک بهتر این موضوع، تحلیل مستقل چند مثال اساسی در این موضوع مفید است (به عنوان مثال، برای بررسی یک تابع بسیار ساده برای تداوم در نقطه $% x_0 $% و اگر در آن پیوسته است، سپس به صراحت مشخص کنید. $% \ delta (x_0، \ varepsilon) $٪، و اگر ناپیوسته است، سپس $% \ varepsilon $% را مشخص کنید که برای آن نفی انجام می شود و غیره). بعد از اینکه با تعریف تداوم و نفی آن آشنا شدید (به طور کلی و به طور خاص در زبان $% \ varepsilon $% - $% \ delta $%)، انتقال به تداوم یکنواخت بسیار آسان تر خواهد شد. و البته لازم است در کتاب تحلیل در مورد تداوم و تداوم یکنواخت مطالعه کنید. با توجه به لینکی که دادید، مطالبی هست که بیشتر شبیه یک خار برای امتحان هستند که در یک خط تداوم یکنواخت توضیح داده شده است. اینکه چگونه می توان به این (و مفاهیم دیگر) در ریاضیات در این قالب تسلط یافت، برای من کاملاً نامشخص است.
P.S. از سایر شرکت کنندگان می خواهیم که این پاسخ را بررسی کنند (این که آیا همه چیز را به درستی بیان کرده ام)، زیرا ماهیت روش شناختی دارد.

اظهار نظر

انتخاب δ در تعریف تداوم یکنواخت به ε بستگی دارد، اما نه ایکس 1 ,ایکس 2 .

خواص

• عملکرد یکنواخت مداوم در مجموعه م، روی آن ممتد است. به طور کلی، برعکس آن درست نیست. به عنوان مثال، تابع

در کل منطقه تعریف پیوسته است، اما به طور یکنواخت پیوسته نیست، زیرا برای هر src = "/ pictures / wiki / files / 98 /.png" border = "0"> می توانید یک بخش با طول دلخواه خود را مشخص کنید. که انتهای مقادیر تابع بیشتر از یک مثال دیگر: تابع متفاوت خواهد بود

در کل محور اعداد پیوسته است، اما به طور یکنواخت پیوسته نیست، زیرا

برای هر src = "/ تصاویر / ویکی / فایل ها / 98 /.png" border = "0"> می توانید یک بخش با طول دلخواه خود انتخاب کنید به طوری که تفاوت در مقادیر تابع f(ایکس) = ایکس 2 در انتهای بخش بیشتر خواهد بود. به ویژه، در بخش، تفاوت در مقادیر تابع تمایل به

را نیز ببینید

بنیاد ویکی مدیا 2010.

• مقیاس به طور مساوی
• مقیاس یکنواخت

ببینید «عملکرد یکنواخت پیوسته» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

عملکرد پیوسته- این مقاله در مورد تابع عددی پیوسته است. برای نگاشت پیوسته در شاخه های مختلف ریاضی، به نگاشت پیوسته مراجعه کنید. تابع پیوسته تابعی است بدون «پرش»، یعنی تابعی با تغییرات کوچک ... ... ویکی پدیا

تابع پیوسته- یکی از مفاهیم اساسی تجزیه و تحلیل ریاضی... اجازه دهید یک تابع واقعی f روی زیرمجموعه خاصی از Reals تعریف شود، یعنی. تابع f فراخوانی می شود پیوسته در یک نقطه (یا با جزئیات بیشتر، پیوسته در یک نقطه در امتداد مجموعه E)، اگر برای ... ... دایره المعارف ریاضیات

عملکرد کاملاً پیوسته- یک تابع به یک تابع کاملاً پیوسته در یک پاره متناهی یا نامتناهی گفته می شود اگر برای هر مجموعه متناهی از فواصل غیرمتناسب دامنه تابع ... ویکی پدیا

عملکرد مکرر- تابعی که نقطه بازگشتی از تغییرات پویا است. سیستم های. تعریف معادل: تابع، که در آن S متریک است. فضا، نامیده می شود. مکرر اگر مجموعه ای از مقادیر پیش فشرده داشته باشد، به طور یکنواخت پیوسته است و برای هر ... ... دایره المعارف ریاضیات

تابع تقریبا دوره ای- تابعی که مقادیر آن تقریباً زمانی تکرار می شود که اعداد ثابت به درستی انتخاب شده (تقریباً نقطه ها) به آرگومان اضافه شوند. دقیقتر: عملکرد پیوسته f (x) برای همه تعریف شده است مقادیر معتبرایکس،… … دایره المعارف بزرگ شوروی

تابع انتخابی- تابع آرگومان t، که به طور منحصر به فرد مربوط به هر مشاهده یک فرآیند تصادفی است. بسیاری از رویدادهای ابتدایی در اینجا وجود دارد. اغلب از D معادل V. f استفاده می شود. اجرای شرایط، مسیر. فرآیند تصادفیمشخص کردنش...... دایره المعارف ریاضیات

تابع توزیع- چه نوع مقدار تصادفی X تابعی از یک متغیر واقعی x است که برای هر x مقداری برابر با احتمال نابرابری X می گیرد. دایره المعارف ریاضیات

تابع تحلیلی تعمیم یافته- تابعی که سیستم را با ضرایب واقعی که تابعی از متغیرهای واقعی x و y هستند برآورده می کند. در نماد، سیستم اصلی به صورت نوشته می شود. دایره المعارف ریاضیات

تابع هارمونیک- یک تابع واقعی تعریف شده در ناحیه فضای اقلیدسی دارای مشتقات جزئی پیوسته از مرتبه 1 و 2 در D و حل معادله لاپلاس است که در آن مختصات مستطیلی دکارتی نقطه x است. گاهی این تعریف...... دایره المعارف ریاضیات

عملکرد چندگانه ساب هارمونیک- تابع Plurisubharmonic یک تابع با ارزش واقعی از متغیرهای پیچیده در منطقه فضای پیچیده است که شرایط زیر را برآورده می کند ... ویکی پدیا