2.9.1. Përkufizimi. Metodat e teorisë së grupeve fuzzy përshkruajnë koncepte semantike, për shembull, për konceptin e "besueshmërisë së funksionimit të një nyje" mund të përkufizohen komponentë të tillë si "jo vlera të mëdha besueshmëria e nyjeve", "vlera mesatare e besueshmërisë së nyjeve", "vlera e madhe e besueshmërisë së nyjeve", të cilat përcaktohen si grupe fuzzy në grupin bazë të përcaktuar nga të gjitha vlerat e mundshme të vlerave të besueshmërisë.
Një përgjithësim i përshkrimit të ndryshoreve gjuhësore nga pikëpamja formale është futja e variablave fuzzy dhe gjuhësore.
H variabël fuzzy quhet treshe grupesh, ku a- emri i ndryshores fuzzy, X- domeni i përkufizimit, - nëngrupi fuzzy në grupin X, që përshkruan kufizimet në vlerat e mundshme e ndryshueshme a.
variabli gjuhësor quhet një grup grupesh
Nga përkufizimi rrjedh se një variabël gjuhësor është një variabël i dhënë në një shkallë sasiore (të matur) dhe merr vlera që janë fjalë ose fraza të gjuhës natyrore të komunikimit. Variablat fuzzy përshkruajnë vlerat e një ndryshoreje gjuhësore. Në fig. 2.20 tregon marrëdhënien e koncepteve bazë.
Kështu, variablat gjuhësorë mund të përshkruajnë koncepte që janë të vështira për t'u formalizuar në formën e një përshkrimi cilësor verbal. Një variabël gjuhësor dhe të gjitha vlerat e tij shoqërohen në përshkrim me një shkallë specifike sasiore, e cila, në analogji me grupin bazë, nganjëherë quhet shkalla bazë.
Duke përdorur variabla gjuhësorë, është e mundur të formalizohet informacioni cilësor në sistemet e menaxhimit, i cili formulohet nga specialistë (ekspertë) në formë verbale. Kjo ju lejon të ndërtoni modele fuzzy të sistemeve të kontrollit (kontrollues fuzzy).
2.9.2. Lloji i funksioneve të anëtarësimit. Merrni parasysh kërkesat që i parashtrohen tipit të funksioneve të anëtarësimit të grupeve fuzzy që përshkruajnë termat e variablave gjuhësorë.
Lëreni variablin gjuhësor
Një tufë me T rendit sipas shprehjes
"T i ,T j нT i>j"($xнC i)("yнC j)(x>y). (2.5)
Shprehja (2.5) kërkon që termi, i cili ka mbështetje të vendosur në të majtë, të marrë një numër më të ulët. Atëherë grupi i termave i çdo ndryshoreje gjuhësore duhet të plotësojë kushtet e mëposhtme:
("T i nT)($xnX)( ); (2.8)
("b)($x 1 ОR 1)($x 2 ОR 2)("xОX)(x 1
Kushti (2.6) kërkon që vlerat e anëtarësimit të funksionojnë të kushteve ekstreme (T1 Dhe T2) në pika x 1 Dhe x2 përkatësisht e barabartë me një dhe për të parandaluar shfaqjen e kthesave në formë zile, siç tregohet në Fig. 2.21.
Fig.2.21
Kushti (2.7) ndalon në grupin bazë Xçift termash të tipit T1 Dhe T2, T2 Dhe T3. Për një çift T1 Dhe T2 nuk ka diferencim të natyrshëm të koncepteve. Për një çift T2 Dhe T3 segment asnjë koncept nuk përputhet. Kushti (2.7) ndalon ekzistencën e termave të llojit T4, pasi çdo koncept ka të paktën një objekt tipik. Kushti (2.8) përcakton një kufizim fizik (brenda kornizës së problemit) në vlerat numerike të parametrave.
Në fig. 2.22 tregon një shembull të vendosjes së funksioneve të anëtarësimit të termave "vlera e çmimit të vogël", "vlera e çmimit të vogël", "vlera mesatare e çmimit", "vlera mjaftueshëm e madhe e çmimit", "vlera e madhe e çmimit" të ndryshores gjuhësore "çmimi i mallrave" .
2.9.3. Peshore universale. Funksionet e anëtarësimit ndërtohen në bazë të rezultateve të anketave të ekspertëve. Sidoqoftë, procedura e përdorimit të grupeve fuzzy të ndërtuara në bazë të rezultateve të një sondazhi të ekspertëve ka një pengesë, e cila qëndron në faktin se ndryshimi i kushteve për funksionimin e modelit (objektit) kërkon rregullimin e grupeve fuzzy. Rregullimi mund të bëhet bazuar në rezultatet e një sondazhi të dytë të ekspertëve.
Një nga mënyrat për të kapërcyer këtë mangësi është kalimi në shkallët universale për matjen e vlerave të parametrave të vlerësuar. Teknika e njohur për ndërtimin e shkallëve universale përfshin përshkrimin e shpeshtësisë së fenomeneve dhe proceseve, e cila përcaktohet në mënyrë cilësore në gjuhën natyrore me fjalët dhe frazat e mëposhtme: "kurrë", "jashtëzakonisht rrallë", "rrallë", "as rrallë, as shpesh". ", "shpesh", "shumë shpesh", "pothuajse gjithmonë" (ose të ngjashme). Një person i përdor këto koncepte për të vlerësuar frekuencat subjektive të ngjarjeve (raporti i numrit të ngjarjeve të karakterizuara nga koncepti me numrin total të ngjarjeve).
Shkalla universale është ndërtuar mbi një segment dhe është një seri kthesash të kryqëzuara në formë zile që korrespondojnë me vlerësimet e shkallëzuara të frekuencës. Një shkallë universale e një ndryshoreje gjuhësore për një parametër të caktuar të vlerësuar të objektit të kontrollit ndërtohet sipas procedurës së mëposhtme.
1. Sipas anketës së ekspertëve, minimumi xmin dhe maksimale xmax vlerat e shkallës së ndryshueshme X.
2. Bazuar në rezultatet e një sondazhi ekspertësh, ndërtohen funksionet e anëtarësimit të grupeve fuzzy që përshkruajnë vlerat e një ndryshoreje gjuhësore të përcaktuar në një shkallë X. Në fig. 2.23 tregon një shembull të ndërtimit të funksioneve të anëtarësimit, ku a 1, a 2, a 3- disa emra të variablave fuzzy.
3. Pikat ( xmin,0) dhe ( xmax,1) janë të lidhura me një vijë të drejtë p0, i cili është një funksion ekrani p 0: X®.
4. Kalimi nga shkalla e frekuencave relative të shfaqjes së ngjarjeve në vlerësimet e frekuencës, të quajtura kuantifikues, ndodh si më poshtë.
Për një pikë arbitrare z në shkallën universale prototipi i tij është ndërtuar mbi shkallën X. Pastaj, sipas funksioneve të anëtarësimit të grupeve fuzzy që korrespondojnë me termat a 1, a 2, a 3, përcaktohen vlerat të cilat merren si vlera të funksioneve përkatëse të anëtarësimit në pikën z në shkallën universale. Funksioni p (p=p0 në shembullin e konsideruar) përcaktohet nga një anketë eksperti, sepse zgjedhja e tij ndikon në përshtatshmërinë e modelit me objektin në studim.
2.9.4. Funksione të shumta të ekranit. Përkufizimi i paqartë i funksionit të hartës fq kufizojnë mundësinë e marrjes parasysh njëkohësisht të kritereve të ndryshme në sistemin e kontrollit, të cilat mund të jenë edhe në antagonizëm në raport me njëri-tjetrin, si dhe mundësinë e marrjes njëkohësisht në konsideratë të kushteve të ndryshme të kontrollit të përcaktuara nga vetitë e objektit të menaxhuar.
Kontabiliteti për kushte dhe kritere të ndryshme përcaktohet nga një qasje subjektive për zgjidhjen e problemit. Sidoqoftë, nëse pranojmë funksionin e shfaqjes së një forme të paqartë, atëherë pikëpamjet e ndryshme do të reduktohen në një "emërues të përbashkët" ose, në fakt, do të refuzohen. Praktika tregon se kur menaxhohen procese të vështira për t'u formalizuar, duke marrë parasysh të gjitha variantet e pikëpamjes subjektive përmirëson cilësinë e menaxhimit, duke rritur rezistencën ndaj llojeve të ndryshme të shqetësimeve. Sidoqoftë, duhet të theksohet se pothuajse kurrë nuk është e mundur të merren parasysh te njerëzit të gjitha kushtet që ndikojnë në zgjedhjen e kontrollit dhe të gjitha karakteristikat e objektit. Le të shqyrtojmë se si kryhet shqyrtimi i formalizuar i kushteve të kontrollit gjatë sondazhit të ekspertëve në formën e funksioneve të shumëfishta të ekranit.
Lërini anketat e ekspertëve të përcaktojnë në mënyrë sasiore dhe cilësore përbërjen e gjendjeve të objektit në studim. Vlerësimi i gjendjeve të objektit bëhet sipas vlerave të shenjave y i OY=(y 1 ,y 2 ,…,y p ).
Është e pamundur të merren parasysh gjithçka, prandaj, kur vlerësohen gjendjet, është më mirë të përdoren kategoritë e paqarta, dhe përkufizimet e paqarta të vlerave të parametrave duhet të bëhen me një shkallë të caktuar pasigurie në lidhje me korrektësinë e përkufizimeve. Në të vërtetë, gjithmonë mund të supozohet se ka disa shenja 
, të pa treguara nga ekspertët për arsye të ndryshme: ishin harruar; ekspertët besojnë se këto karakteristika nuk ndikojnë në saktësinë; këto parametra nuk mund të vlerësohen, si pasojë e vështirësive teknike.
Funksionet e shfaqjes p i ОP=(p 1 ,p 2 ,…,p b ) krahasuar me shkallën e besimit b(p i)н, të cilat përcaktohen nga ekspertët. Gjithashtu çdo funksion ekrani pi pesha e përputhur a(pi), që korrespondon me nivelin e kompetencës së ekspertit. Vlerat e peshës a(pi) përcaktohen nga numrat e segmentit . Pra funksioni i ekranit të shumëfishtë P=(p 1 ,p 2 ,…,p b ) përbëhet nga një grup funksionesh hartografike pi, secilës prej të cilave i caktohet një diplomë g(pi), i përcaktuar si ndërlidhja e shkallëve të kompetencës dhe besimit në përcaktimin e saktë të funksioneve të hartës pi, d.m.th. g(pi)=a(pi)&b(pi).
Përdorimi praktik i funksioneve të shumta ka treguar se, brenda kufijve të një kompetence të caktuar ekspertësh, funksioni i ndërtuar i hartës së shumëfishtë është në përputhje të mirë me opinionet e tyre individuale për korrespondencën më të besueshme të koncepteve të paqarta me pikat e shkallës lëndore. X.
LOGJIKË E FUZIZUAR
Operacioni fuzzy "AND"
Specifikimi i grupeve fuzzy mundëson përgjithësimin e operacioneve të qarta logjike në homologët e tyre fuzzy. Një shtrirje fuzzy e operacionit AND është norma trekëndore T, emër tjetër T– normat janë S-konorm. Në fig. 3.1 tregon një paraqitje të qarkut T– normat.
Operacioni fuzzy "AND" në formë të përgjithshme përcaktohet si një hartë:
për të cilat vlejnë aksiomat:
Aksiomat e kushteve kufitare T- normat:
Aksioma e rendit:
Në teorinë e grupeve fuzzy, ekzistojnë operacione të panumërta fuzzy "AND", të cilat përcaktohen nga mënyrat e specifikimit të operacionit (T) në kushtet (3.1) - (3.2). Në teorinë e kontrollit fuzzy, metodat e mëposhtme të specifikimit të operacionit (T) janë të zbatueshme, të renditura më poshtë.
Produkt Boolean[Zade, 1973]:
, "xО R. (3.6)
Produkt algjebrik[Bandler, Kohout, 1980]:
, "xО R, (3.7)
Ku "." është një produkt i pranuar në algjebrën klasike.
produkti kufitar[Lukashevich, Giles, 1976]:
, (3.8)
ku është simboli i produktit kufitar.
Produkt i fortë, ose në mënyrë drastike (drastike).[Weber, 1983]:
(3.9)
ku D është simboli i fortë i produktit.
Në fig. 3.2 tregon funksionin e anëtarësimit për produktin logjik, algjebrik, kufitar dhe të fortë të grupeve fuzzy.
Operacioni fuzzy "OR"
Një shtrirje fuzzy e operacionit "OR" është S- normë. Ndonjëherë përdoret emri T-konorm. Në fig. 3.3 tregon një paraqitje të qarkut S– normat.
Operacioni fuzzy "OR" përcaktohet si një hartë
për të cilat kryhen hartëzimi:
Aksiomat e kushteve kufitare T- normat:
, ; (3.10)
Aksiomat e bashkimit (kryqëzimet):
Aksioma e rendit:
Nga një numër i pafund Operacionet e paqarta që plotësojnë aksiomat (3.10) - (3.14), operacionet e mëposhtme kanë gjetur zbatim në teorinë e kontrollit, të renditura më poshtë.
Shuma logjike[Zade, 1973]:
, "xО R. (3.15)
Shuma algjebrike[Bandler & Kohout, 1980]:
, "xО R, (3.16)
Shuma limit[Lukashevich, Giles, 1976]:
, (3.17)
Sasi e fortë ose drastike[Weber, 1983]:
(3.18)
Krahasimi i aksiomave T-normat me aksioma S-normat tregon se ndryshimi në to është vetëm në aksiomat e kushteve kufitare.
Në fig. 3.4 tregon funksionin e anëtarësimit për një shumë logjike, algjebrike, kufitare dhe të fortë të bashkësive fuzzy.
Operacioni i paqartë "NUK"
Operacioni fuzzy "NOT" përcaktohet si një hartë për të cilën vlejnë aksiomat e mëposhtme:
Kompleti i pasqyrimeve që plotësojnë aksiomat (3.19) - (3.21) është një mohim fuzzy. Veprimi i mohimit fuzzy në formën e një skeme është paraqitur në fig. 3.5.
Nga numri i pafundëm i operacioneve fuzzy "NUK" që plotësojnë aksiomat (3.19) - (3.21), operacionet e mëposhtme të renditura më poshtë kanë gjetur zbatim në teorinë e kontrollit.
Fuzzy "NOT" nga Zada(1973) përkufizohet si zbritje nga uniteti:
. (3.22)
Fuzzy "JO" sipas Sugeno(1977) ose l-komplementi përkufizohet si formula
. (3.23)
Në l=0 ekuacioni (3.23) përkon me ekuacionin (3.22).
Fuzzy "JO" sipas Yager(1980) përkufizohet si:
, (3.24)
Ku p>0- parametër. Në p=1 ekuacioni (3.24) përkon me ekuacionin (3.22).
Për T- normat dhe S- normat mund të ekzistojnë opsione të ndryshme mohimet për shkak të një numri të pafund të operacioneve të mundshme të paqartë "NUK". Sidoqoftë, është e dëshirueshme të zgjidhni opsione të tilla mohuese që plotësojnë kushtet:
Këto kushte, për analogji me logjikën e qartë, quhen ligjet fuzzy të de Morganit. Operacionet (3.25) dhe (3.26) quhen reciprokisht të dyfishta, sepse në teorinë e grupeve fuzzy, vërtetohet se (3.25) nënkupton (3.26) dhe, anasjelltas, (3.26) nënkupton (3.25).
Më poshtë janë gjithashtu të dyfishta. operacionet e paqarta:
; (3.29)
Algjebra e konkluzioneve fuzzy
3.4.1. Baza e rregullave të paqarta. Në logjikën fuzzy, ekziston koncepti i një propozimi fuzzy. Një fjali e paqartë përkufizohet si një deklaratë "". Simboli " x” tregon një sasi fizike (rrymë, tension, presion, shpejtësi, etj.), simboli “ ” tregon një ndryshore gjuhësore (LP), dhe simboli “ fq"- shkurtesa e propozimit - një propozim. Për shembull, në deklaratën "madhësia e rrymës është e madhe" e ndryshores fizike xështë "vlera aktuale" që mund të matet nga sensori aktual. Kompleti fuzzy përcaktohet nga LP "big" dhe zyrtarizohet nga funksioni i anëtarësimit m A (x). Lidhja "është" korrespondon me operacionin e renditjes në formën e barazisë, e cila shënohet me simbolin "=". Merr formën e formalizuar të fjalisë " » .
Një fjali e paqartë mund të përbëhet nga disa fjali të veçanta të paqarta të lidhura me lidhjet "AND", "OR". Zgjedhja e lidhëzave logjike “DHE”, “OR” nga kuptimi dhe konteksti i fjalive, nga raporti ndërmjet tyre. Vini re se operacionet e fuzzy "AND" dhe "OR" sipas Zadeh (formula (3.6) dhe (3.15)) në teorinë e kontrollit janë të preferueshme në raport me pjesën tjetër, sepse nuk kanë tepricë. Kur fjalitë e paqarta nuk janë ekuivalente, por janë të ndërlidhura dhe të ndërlidhura, atëherë është e mundur të përdoret T- normat dhe S- normat sipas Lukashevich (formula (3.8) dhe (3.17)).
Oferta fq mund të paraqitet si një lidhje fuzzy R me funksion anëtarësimi: . Për të hartuar një fjali fuzzy që përbëhet nga disa fjali të veçanta të paqarta të lidhura me lidhjet "AND", përdoret treguesi "nëse". Si rezultat, marrim një sistem deklaratash të paqarta të kushtëzuara:
.
Quhen fjali të paqarta kushtet ose parakushtet.
Bashkësia e kushteve na lejon të ndërtojmë një grup konkluzionet ose konkluzionet. Në këtë rast, përdoret treguesi "pastaj".
Rregulli i paqartë i prodhimit(rregulli fuzzy) është një grup kushtesh dhe përfundimesh:
R 1: nëse x 1 = dhe x 2 = dhe …, atëherë y 1 = dhe y 2 = Dhe…
……………………………………………………………,
ku simbol R1- shkurtesa "rregull" - rregull.
Për shembull, rregulli për kontrollin e temperaturës së ujit është formuluar si më poshtë: R1: nëse temperatura e ujit është e ftohtë dhe temperatura e ajrit është e ftohtë, atëherë kthejeni valvulën ujë i nxehtë majtas në një kënd të madh dhe valvula e ujit të ftohtë në të djathtë në një kënd të madh.
Kushtet e paqarta për zgjidhjen e problemit:
-x 1- temperatura e ujit (e matur nga një sensor); - ftohtë;
-x2- temperatura e ajrit (e matur nga një sensor); - ftohtë;
Kushtet e konkluzionit fuzzy:
-y 1- këndi i rrotullimit të valvulës në të majtë, - i madh;
-y2- këndi i rrotullimit të valvulës në të djathtë, - i madh.
Ky rregull fuzzy gjuhësor korrespondon me një shënim të zyrtarizuar:
R 1: nëse x 1 = dhe x 2 = , atëherë y 1 = dhe y 2 = , (3.31)
Ku , , dhe janë grupe të paqarta, dhënë nga funksionet aksesorë.
Seti i rregullave të prodhimit fuzzy formon bazën e rregullave fuzzy , ku R i: nëse …, atëherë …;. Për bazën e rregullave të paqarta, vetitë e mëposhtme: vazhdimësia, qëndrueshmëria, plotësia.
Vazhdimësia përcaktohet nga konceptet e mëposhtme: një grup i renditur i grupeve fuzzy; grupe fuzzy ngjitur.
Set i grupeve fuzzy (A i) thirrur i rregullt, nëse ata kanë një lidhje porosie: «<»:A 1 <…
Nëse bashkësia e bashkësive fuzzy { } urdhëruar, pastaj grupet dhe , dhe quhen ngjitur me kusht që këto grupe fuzzy të mbivendosen.
Baza e rregullave fuzzy quhet të vazhdueshme, nëse për rregullat
Rk: nëse x 1 = dhe x 2 = , pastaj y= dhe k'¹k
plotësohen kushtet:
‑ Ù dhe janë ngjitur;
‑ Ù dhe janë ngjitur;
- dhe janë ngjitur.
Ne do të shqyrtojmë konsistencën e bazës së rregullave fuzzy duke përdorur një shembull. Baza e rregullave të paqarta për kontrollin e robotit është dhënë si:
………………………………….
R i: nëse pengesa është përpara, atëherë lëvizni majtas,
R i +1: nëse pengesa është përpara, atëherë lëvizni në të djathtë,
……………………………………
Baza e rregullave është e papajtueshme.
Një shembull i një baze të qëndrueshme rregullash fuzzy është si më poshtë:
R 1: nëse x 1 = ose x 2 = , pastaj y= ;
R 2: nëse x 1 = ose x 2 = , pastaj y= ;
R 3: nëse x 1 = ose x 2 = , pastaj y= .
Nëse rregullat përmbajnë dy kushte dhe një dalje, atëherë këto rregulla janë një sistem me dy hyrje x 1 Dhe x2 dhe një dalje y. Ky sistem mund të përfaqësohet në formën e matricës:
| x2 | x 1 | ||
| y= | |||
| y= | |||
| y= |
Baza e rregullave të paqarta është e qëndrueshme.
Koncepti i variablave fuzzy dhe gjuhësor përdoret në përshkrimin e objekteve dhe fenomeneve duke përdorur grupe fuzzy.
Ndryshore fuzzy karakterizohet nga trefishi (α, X, A), Ku
α - emri i ndryshores;
X— grup universal (domeni α);
Aështë një grup fuzzy në x, duke përshkruar kufizimet (d.m.th. µ A(x) ) mbi vlerat e ndryshores fuzzy α.
Gjuhësor një ndryshore (LP) është një grup ( β , T, X, G, M), ku
β — emri i variablës gjuhësore;
T- grupi i vlerave të tij (term-bashkësi), të cilat janë emrat e variablave fuzzy, domeni i përkufizimit të secilës prej të cilave është grupi x. Një tufë me T quhet bazë grup termash variabli gjuhësor;
G është një procedurë sintaksore që ju lejon të operoni me elementët e grupit të termave T, në veçanti, për të gjeneruar terma (vlera) të reja. Bashkësia T∪G(T), ku G(T) është bashkësia e termave të gjeneruar, quhet bashkësi termash e zgjeruar e ndryshores gjuhësore;
M- një procedurë semantike që ju lejon të ktheni çdo vlerë të re të një ndryshoreje gjuhësore, të formuar nga procedura G, në një ndryshore fuzzy, d.m.th. formojnë grupin fuzzy përkatës.
Koment. Për të shmangur shumë personazhe:
1) simbol β përdoret si për emrin e vetë ndryshores, ashtu edhe për të gjitha vlerat e saj;
2) përdorni të njëjtin simbol për të treguar një grup të paqartë dhe emrin e tij, për shembull, termin "I ri", që është vlera e një ndryshoreje gjuhësore β = "mosha", në të njëjtën kohë ka një grup fuzzy M("I ri").
Caktimi i kuptimeve të shumta për simbolet sugjeron që konteksti lejon zgjidhjen e paqartësive të mundshme.
Shembull. Lëreni ekspertin të përcaktojë trashësinë e produktit të prodhuar duke përdorur konceptet "Trashësi e vogël", "Trashësi mesatare" dhe "Trashësi e madhe", ndërsa trashësia minimale është 10 mm, dhe maksimumi 80 mm.
Formalizimi i një përshkrimi të tillë mund të kryhet duke përdorur variablin gjuhësor të mëposhtëm ( β , T, X, G, M ), Ku
β - trashësia e produktit;
T— (“Trashësi e vogël”, “Trashësi mesatare”, “Trashësi e madhe”);
X— ;
G është procedura për formimin e termave të rinj duke përdorur lidhëzat "dhe", "ose" dhe modifikues si "shumë", "jo", "pak" etj. Për shembull: "Trashësia e vogël ose e mesme", "Trashësia shumë e hollë" etj.;
M- procedura e vendosjes X= nënbashkësi të paqarta A 1 = "Trashësi e vogël", A 2 = "Trashësi mesatare", A 3 = "Trashësi e madhe", si dhe grupe të paqarta për termat nga G (T) në përputhje me rregullat e përkthimit të lidhjeve dhe modifikuesve fuzzy "dhe", "ose", "jo", "shumë", "pak" dhe operacione të tjera në grupe fuzzy të formës: A⋂NË,A∪NËA, CON A =A 2 , DIL A \u003d A 0,5 e kështu me radhë.
Koment. Së bashku me vlerat bazë të diskutuara më sipër, ndryshorja gjuhësore "Trashësia" (T =("Trashësia e vogël", "Trashësia mesatare", "Trashësia e madhe")), vlerat janë të mundshme në varësi të fushës së përkufizimit X. Në këtë rast, mund të përcaktohen vlerat e ndryshores gjuhësore "Trashësia e produktit" si "rreth 20 mm", "rreth 50 mm", "rreth 70 mm", d.m.th. në formën e numrave të paqartë.
Kompleti i termave dhe grupi i afatit të zgjatur sipas kushteve të shembullit mund të karakterizohen nga funksionet e anëtarësimit të paraqitura në fig. 1.5 dhe 1.6.
Oriz. 1.5. Funksionet e anëtarësimit të grupeve fuzzy: "Trashësia e vogël" = A 1,"Trashësi mesatare" = A 2 , "Trashësi më e madhe" = A 3
Oriz. 1.6. Funksioni i anëtarësimit të grupit fuzzy "Trashësia e vogël ose e mesme" = A 1 ∪ A 2
numra të paqartë
numra të paqartë- variablat fuzzy të përcaktuara në boshtin numerik, d.m.th. një numër fuzzy përkufizohet si një grup fuzzy A në bashkësinë e numrave realë ℝme funksion anëtarësimi μ A(X) ϵ , ku Xështë një numër real, d.m.th. X ϵ ℝ.
numër i paqartë Dhe është në rregull nëse maksimumi μ A(x) = 1; konveks nëse për ndonjë X ≤ në ≤ z kryer
μ A (x)≥ μ A(në) ˄ µ A(z).
Një tufë me α - niveli i paqartë i numrit A përcaktuar si
Aα= {x/μ α (x) ≥ α } .
Nëngrupi S A⊂ ℝ quhet bartës i numrit fuzzy A, Nëse
S A= { x/μ A(x) > 0 }.
numër i paqartë Dhe unimodal nëse kusht μ A(X) = 1 vlen vetëm për një pikë të boshtit real.
numër fuzzy konveks A thirrur zero e paqartë, Nëse
μ A(0) = pije ( µ A(x)).
numër i paqartë Dhe pozitivisht nëse ∀ xϵ S A, X> 0 dhe negativ nëse ∀ X ϵ S A, X< 0.
Veprimet mbi numrat fuzzy
Operacionet aritmetike binare të zgjeruara (mbledhja, shumëzimi, etj.) për numrat e paqartë përcaktohen nëpërmjet operacioneve përkatëse për numrat e qartë duke përdorur parimin e përgjithësimit si më poshtë.
Le A Dhe NË- numra fuzzy, dhe - operacion fuzzy që korrespondon me një operacion arbitrar algjebrik * në numra të zakonshëm. Pastaj (duke përdorur këtu dhe poshtë shënimit në vend të ) ne mund të shkruajmë
Numrat Fuzzy (L-R) të tipit
Numrat fuzzy të tipit (L-R) janë një lloj numrash fuzzy të një lloji të veçantë, d.m.th. të vendosura sipas rregullave të caktuara në mënyrë që të zvogëlohet sasia e llogaritjeve gjatë operacioneve mbi to.
Funksionet e anëtarësimit të numrave fuzzy të tipit (L-R) janë specifikuar duke përdorur funksionet e ndryshores reale L( x) dhe R( x) duke kënaqur vetitë:
a) L(- x) = L( x), R(- x) = R( x);
b) L(0) = R(0).
Natyrisht, klasa e funksioneve (L-R) përfshin funksione, grafikët e të cilëve kanë formën e treguar në Fig. 1.7.
Oriz. 1.7. Forma e mundshme e funksioneve (L-R).
Shembuj të specifikimeve analitike të funksioneve (L-R) mund të jenë
Le të L( në) dhe R( në) janë funksione të tipit (L-R) (betoni). Numër fuzzy uni-modal A Me modë a(d.m.th. μ A(A) = 1) duke përdorur L( në) dhe R( në) jepet si më poshtë:
ku a është modaliteti; α > 0, β > 0 — koeficientët e paqartësisë majtas dhe djathtas.
Kështu, për L të dhënë ( në) dhe R( në) numri fuzzy (uni-modal) jepet nga trefishi A = (A, α, β ).
Numri fuzzy tolerant jepet, përkatësisht, nga katër parametrat A = (a 1 , A 2 , α, β ), Ku A 1 dhe A 2 - kufijtë e tolerancës, d.m.th. ne nderkohe [ a 1 , A 2 ] vlera e funksionit të anëtarësimit është e barabartë me 1.
Shembuj të grafikëve të funksioneve të anëtarësimit të tipit të numrave fuzzy (L-R) janë paraqitur në fig. 1.8.
Oriz. 1.8. Shembuj të grafikëve të funksioneve të anëtarësimit të numrave fuzzy (L-R) të tipit
Vini re se në situata specifike funksionet L (y), R (y), si dhe parametrat A, β numra të paqartë (A, α, β ) Dhe ( a 1 , A 2 , α, β ) duhet të zgjidhet në atë mënyrë që rezultati i veprimit (mbledhja, zbritja, pjesëtimi, etj.) të jetë saktësisht ose afërsisht i barabartë me një numër fuzzy me të njëjtën L (y) dhe R (y), dhe parametrave α" Dhe β" i rezultatit nuk shkoi përtej kufijve të këtyre parametrave për numrat fillestarë të paqartë, veçanërisht nëse rezultati do të marrë pjesë më vonë në operacione.
Koment. Zgjidhja e problemeve të modelimit matematikor të sistemeve komplekse duke përdorur aparatin e grupeve fuzzy kërkon kryerjen e një sasie të madhe operacionesh mbi lloje të ndryshme të variablave gjuhësorë dhe të tjerë fuzzy. Për lehtësinë e kryerjes së operacioneve, si dhe për hyrje-daljet dhe ruajtjen e të dhënave, është e dëshirueshme të punoni me funksionet e anëtarësimit të një forme standarde.
Kompletet fuzzy që duhet të përdoren në shumicën e problemeve janë, si rregull, unimodal dhe normal. Një nga metodat e mundshme për përafrimin e grupeve fuzzy unimodale është përafrimi duke përdorur funksione të tipit (L-R).
Shembuj të paraqitjeve (L-R) të disa ndryshoreve gjuhësore janë dhënë në tabelë. 1.2.
Tabela 1.2. e mundur (L- R)-përfaqësim i disa ndryshoreve gjuhësore
S.D. Shtovba "Hyrje në teorinë e grupeve fuzzy dhe logjikës fuzzy"
1.7. logjikë e paqartë
Logjika fuzzy është një përgjithësim i logjikës tradicionale aristoteliane për rastin kur e vërteta konsiderohet si një variabël gjuhësor që merr vlera si: "shumë e vërtetë", "pak a shumë e vërtetë", "jo shumë e rreme" etj. Vlerat e treguara gjuhësore përfaqësohen nga grupe të paqarta.
1.7.1. Ndryshoret gjuhësore
Kujtoni se një variabël quhet gjuhësor nëse merr vlera nga një grup fjalësh ose frazash të një gjuhe natyrore ose artificiale. Grupi i vlerave të pranueshme të një ndryshoreje gjuhësore quhet grup termash. Vendosja e vlerës së një ndryshoreje me fjalë, pa përdorur numra, është më e natyrshme për një person. Çdo ditë marrim vendime bazuar në informacione gjuhësore si: “temperaturë shumë e lartë”; "udhetim i gjate"; "përgjigje të shpejtë"; "buqetë e bukur"; "shije harmonike" etj. Psikologët kanë vërtetuar se në trurin e njeriut, pothuajse të gjitha informacionet numerike rikodohen verbalisht dhe ruhen si terma gjuhësorë. Koncepti i një variabli gjuhësor luan një rol të rëndësishëm në konkluzionet e paqarta dhe në marrjen e vendimeve bazuar në arsyetimin e përafërt. Formalisht, një variabël gjuhësor përcaktohet si më poshtë.
Përkufizimi 44.variabli gjuhësor jepet me pesë , ku - ; emri i ndryshores; - ; term-bashkësi, çdo element i të cilit (termi) përfaqësohet si një grup fuzzy në grupin universal; - ; rregulla sintaksore, shpesh në formë gramatikore, që gjenerojnë emrat e termave; - ; rregullat semantike që përcaktojnë funksionet e anëtarësimit të termave fuzzy të gjeneruara nga rregullat sintaksore.
Shembull 9. Konsideroni një variabël gjuhësor të quajtur "temperatura e dhomës". Pastaj katërfishi i mbetur mund të përcaktohet si më poshtë:
Tabela 4 - Rregullat për llogaritjen e funksioneve të anëtarësimit
Në Fig. 13.
Figura 13 - Ndryshorja gjuhësore "temperatura e dhomës"
1.7.2. e vërteta e paqartë
Një vend të veçantë në logjikën fuzzy zë variabli gjuhësor "e vërteta". Në logjikën klasike, e vërteta mund të marrë vetëm dy vlera: e vërtetë dhe e rreme. Në logjikën fuzzy, e vërteta është "fuzzy". E vërteta e paqartë përcaktohet në mënyrë aksiomatike dhe autorë të ndryshëm e bëjnë atë ndryshe. Intervali përdoret si një grup universal për të vendosur variablin gjuhësor "të vërtetën". E vërteta e zakonshme, e qartë mund të përfaqësohet nga grupe fuzzy singleton. Në këtë rast, një koncept i qartë i vërtetë do të korrespondojë me funksionin e anëtarësimit 
, dhe një koncept i qartë është i rremë - ; 
, .
Për të vendosur të vërtetën e paqartë, Zade propozoi funksionet e mëposhtme të anëtarësimit për termat "e vërtetë" dhe "e rreme":
;
Ku - ; një parametër që përcakton bartësit e grupeve fuzzy "true" dhe "false". Për një grup fuzzy "true" bartësi do të jetë intervali, dhe për një grup fuzzy false" - ; .
Funksionet e anëtarësimit të termave fuzzy "true" dhe "false" janë paraqitur në fig. 14. Ndërtohen me vlerën e parametrit . Siç mund ta shihni, grafikët e funksioneve të anëtarësimit të termave "e vërtetë" dhe "e rreme" janë imazhe pasqyre.
Figura 14 - Ndryshorja gjuhësore "e vërteta" sipas Zadeh
Për të vendosur të vërtetën fuzzy, Baldwin propozoi funksionet e mëposhtme të anëtarësimit të fuzzy "true" dhe "false":
Kuantifikuesit "pak a shumë" dhe "shumë" shpesh aplikohen për grupet fuzzy "true" dhe "false", duke përftuar kështu termat "shumë e gabuar", "pak a shumë e gabuar", "pak a shumë e vërtetë", "shumë". e vërtetë", "shumë, shumë e vërtetë", "shumë, shumë e rreme", etj. Funksionet e anëtarësimit të termave të rinj përftohen duke kryer operacione të përqendrimit dhe shtrirjes së grupeve të paqarta "të vërtetë" dhe "false". Operacioni i përqendrimit korrespondon me kuadrimin e funksionit të anëtarësimit, dhe operacioni i shtrirjes korrespondon me ngritjen në fuqinë ½. Prandaj, funksionet e anëtarësimit të termave "shumë, shumë e rreme", "shumë e rreme", "pak a shumë e rreme", "pak a shumë e vërtetë", "e vërtetë", "shumë e vërtetë" dhe "shumë, shumë e vërtetë" jepen si më poshtë:
Grafikët e funksioneve të anëtarësimit të këtyre termave janë paraqitur në fig. 15.
Figura 15 - Ndryshorja gjuhësore "e vërteta" sipas Baldwin
1.7.3. Operacionet Fuzzy Boolean
Së pari, kujtoni shkurtimisht dispozitat kryesore të logjikës së zakonshme (Boolean). Konsideroni dy pohime A dhe B, secila prej të cilave mund të jetë e vërtetë ose e gabuar, d.m.th. merrni vlerat "1" ose "0". Për këto dy pohime, ekzistojnë gjithsej operacione të ndryshme logjike, nga të cilat vetëm pesë janë interpretuar me kuptim: AND (), OSE (), OSE ekskluzive (), nënkuptim () dhe ekuivalencë (). Tabelat e së vërtetës për këto operacione janë dhënë në tabelë. 5.
Tabela 5 - Tabelat e së vërtetës së logjikës Boolean
Supozoni se një pohim logjik mund të marrë jo dy vlera të vërteta, por tre, për shembull: "e vërtetë", "e rreme" dhe "e papërcaktuar". Në këtë rast do të merremi jo me logjikë dyvlerore, por me tre vlera. Numri i përgjithshëm i operacioneve binare dhe, rrjedhimisht, tabelat e vërtetësisë, në logjikën me tre vlera është . Logjika fuzzy është një lloj logjike shumëvlerëshe në të cilën vlerat e së vërtetës jepen nga variabla gjuhësorë ose terma të ndryshores gjuhësore "e vërteta". Rregullat për kryerjen e operacioneve logjike fuzzy merren nga operacionet logjike Boolean duke përdorur parimin e përgjithësimit.
Përkufizimi 45. Le të përcaktojmë variablat logjike të paqarta përmes dhe, dhe funksionet e anëtarësimit që përcaktojnë vlerat e vërtetësisë së këtyre variablave përmes dhe , . Operacionet Fuzzy Boolean DHE (), OSE (),
NOT () dhe implikimi () kryhen sipas rregullave të mëposhtme:
;
Në logjikën me shumë vlera, operacionet logjike mund të specifikohen nga tabelat e së vërtetës. Në logjikën fuzzy, numri i vlerave të mundshme të së vërtetës mund të jetë i pafund, prandaj, në përgjithësi, një paraqitje tabelore e operacioneve logjike është e pamundur. Megjithatë, në formë tabelare është e mundur të paraqiten operacione logjike të paqarta për një numër të kufizuar vlerash të vërteta, për shembull, për një grup termash ("e vërtetë", "shumë e vërtetë", "jo e vërtetë", "pak a shumë e gabuar" , "i rremë"). Për logjikën me tre vlera me vlera të paqarta të së vërtetës T - ; "e vërtetë", F - ; "false" dhe T+F - "e panjohur" L Zadeh propozoi tabelat e mëposhtme të së vërtetës gjuhësore:
Duke zbatuar rregullat për kryerjen e operacioneve logjike fuzzy nga përkufizimi 45, tabelat e së vërtetës mund të zgjerohen për më shumë terma. Si ta bëni këtë, merrni parasysh shembullin e mëposhtëm.
Shembulli 10 Janë dhënë vlerat e mëposhtme të së vërtetës fuzzy:
Duke zbatuar rregullin nga përkufizimi 45, gjejmë të vërtetën e paqartë të shprehjes "pothuajse e vërtetë OSE e vërtetë":
Le të krahasojmë grupin fuzzy që rezulton me grupin fuzzy "pak a shumë të vërtetë". Ato janë pothuajse të barabarta, që do të thotë:
Si rezultat i kryerjes së operacioneve logjike, shpesh përftohet një grup fuzzy, i cili nuk është i barabartë me asnjë nga vlerat e vërteta fuzzy të prezantuara më parë. Në këtë rast, midis vlerave të së vërtetës fuzzy, është e nevojshme të gjendet një që korrespondon me rezultatin e kryerjes së operacionit logjik fuzzy në masën maksimale. Me fjalë të tjera, është e nevojshme të kryhen të ashtuquajturat përafrim gjuhësor, i cili mund të konsiderohet si një analog i përafrimit të shpërndarjes statistikore empirike sipas funksioneve standarde të shpërndarjes së variablave të rastit. Si shembull, ne paraqesim tabelat e së vërtetës gjuhësore të propozuara nga Baldwin për ato të paraqitura në Fig. 15 vlera të paqarta të së vërtetës:
| në mënyrë të pacaktuar |
në mënyrë të pacaktuar |
||
| në mënyrë të pacaktuar |
në mënyrë të pacaktuar |
||
| në mënyrë të pacaktuar |
në mënyrë të pacaktuar |
në mënyrë të pacaktuar |
në mënyrë të pacaktuar |
| shumë e vërtetë |
shumë e vërtetë |
||
| pak a shumë e vërtetë |
pak a shumë e vërtetë |
1.7.3. Baza e njohurive fuzzy
Përkufizimi 46.Baza e njohurive fuzzyështë një grup rregullash fuzzy "Nëse - atëherë" që përcaktojnë marrëdhëniet midis hyrjeve dhe daljeve të objektit në studim. Formati i përgjithësuar i rregullave fuzzy është si më poshtë:
Nëserregulli i dërgimit,Sepërfundimi i rregullit.
Premisa e një rregulli ose paraardhësi është një pohim si "x është i ulët", ku "i ulët" është një term (vlerë gjuhësore) i përcaktuar nga një grup fuzzy në grupin universal të ndryshores gjuhësore x. Kuantifikuesit "shumë", "pak a shumë", "jo", "pothuajse" etj. mund të përdoret për të modifikuar termat paraardhës.
Përfundimi ose pasoja e rregullit është një deklaratë si "y është d", në të cilën mund të jepet vlera e ndryshores së prodhimit (d):
- term fuzzy: "y është i lartë";
- klasa e vendimit: "y ka bronkit"
- një konstante e qartë: "y=5";
- funksion i qartë i variablave hyrëse: "y=5+4*x".
Nëse vlera e ndryshores së daljes në rregull jepet nga një grup fuzzy, atëherë rregulli mund të përfaqësohet nga një relacion fuzzy. Për rregullin fuzzy "Nëse x është , atëherë y është", lidhja fuzzy jepet në produktin kartezian, ku - ; grup universal i ndryshores hyrëse (dalëse). Për të llogaritur raportin fuzzy, mund të përdorni implikimin fuzzy dhe normën t. Kur përdorni funksionin e gjetjes së minimumit si një normë t, raporti fuzzy llogaritet si më poshtë:
Shembulli 11. Baza e njohurive fuzzy e mëposhtme përshkruan marrëdhënien midis moshës së shoferit (x) dhe mundësisë së një aksidenti trafiku (y):
Nësex = i ri,Sey = i lartë;
Nësex = Mesatar,Sey = i ulët;
Nësex = shumë i vjetër,Sey = Lartë.
Lërini funksionet e anëtarësimit të termave të kenë formën e treguar në fig. 16. Atëherë relacionet fuzzy që korrespondojnë me rregullat e bazës së njohurive do të jenë të njëjta si në fig. 17.
Figura 16 - Funksionet e anëtarësimit të termave
Figura 17 - Marrëdhëniet e paqarta që korrespondojnë me rregullat e bazës së njohurive nga shembulli 11
Për të specifikuar varësitë shumëdimensionale "hyrje-dalje", përdoren operacionet logjike fuzzy AND dhe OR. Është i përshtatshëm për të formuluar rregullat në atë mënyrë që brenda çdo rregulli variablat të kombinohen nga operacioni logjik AND, dhe rregullat në bazën e njohurive të lidhen me operacionin OR. Në këtë rast, baza e njohurive fuzzy që lidh inputet 
me dalje , mund të paraqitet në formën e mëposhtme.
Një aspekt i rëndësishëm i konceptit variabli gjuhësorështë se kjo ndryshore është e rendit më të lartë se ndryshorja fuzzy, në kuptimin që vlerat variabli gjuhësor janë variabla fuzzy. Për shembull, vlerat variabli gjuhësor“MOSHË” mund të jetë: “I RI, MË I MADHË, I PLAKU, SHUMË I PLAKU, JO I RI DHE JO PLAK” etj. Secila prej këtyre vlerave është emri variabël fuzzy. Nëse është emri i ndryshores fuzzy, atëherë kufizimi i vendosur nga ky emër mund të interpretohet si kuptim variabël fuzzy .
Një tjetër aspekt i rëndësishëm i konceptit variabli gjuhësor eshte ajo variabli gjuhësor ka dy rregulla:
- Sintaksore, e cila mund të jepet në formën e një gramatike që gjeneron emrin e vlerave të ndryshores;
- Semantike, e cila përcakton një procedurë algoritmike për llogaritjen e kuptimit të secilës vlerë.
Përkufizimi. variabli gjuhësor karakterizohet nga një grup vetish, në të cilat:
Emri i ndryshores;
Tregon bashkësinë e termave të ndryshores , d.m.th. një grup emrash të vlerave gjuhësore të një ndryshoreje, dhe secila prej këtyre vlerave është variabël fuzzy me vlera nga grupi universal me variablin bazë;
Rregulli sintaksor që gjeneron emrat e vlerave të ndryshores;
Rregulli semantik që përputhet me secilën variabël fuzzy kuptimi i saj, d.m.th. nënbashkësi fuzzy set universal .
Emri specifik i krijuar nga rregulli sintaksor quhet term. Një term që përbëhet nga një fjalë ose nga disa fjalë që shfaqen gjithmonë së bashku me njëra-tjetrën quhet term atomik. Një term që përbëhet nga më shumë se një term atomik quhet term i përbërë.
Shembull. Merrni parasysh variabli gjuhësor me emrin “TEMPERATURA E DHOMËS”. Pastaj katër të mbeturit 
, mund të përkufizohet si kjo:
