PËRKUFIZIMI I MATRIKSËS. LLOJET E MATRICES

Matrica e madhësisë m× n quhet një grup m·n numrat e renditur në një tabelë drejtkëndëshe prej m linjat dhe n kolonat. Kjo tabelë zakonisht mbyllet në kllapa. Për shembull, matrica mund të duket si kjo:

Për shkurtësi, një matricë mund të shënohet me një shkronjë të madhe të vetme, për shembull, A ose NË.

Në përgjithësi, një matricë e madhësisë m× n shkruaje keshtu

.

Numrat që përbëjnë matricën quhen elementet e matricës. Është i përshtatshëm për të siguruar elementë matricë me dy indekse një ij: E para tregon numrin e rreshtit dhe e dyta tregon numrin e kolonës. Për shembull, një 23- elementi është në rreshtin e dytë, kolonën e tretë.

Nëse një matricë ka të njëjtin numër rreshtash si numri i kolonave, atëherë matrica quhet katrore, dhe thirret numri i rreshtave ose kolonave të tij në rregull matricat. Në shembujt e mësipërm, matrica e dytë është katrore - rendi i saj është 3, dhe matrica e katërt është rendi 1.

Quhet një matricë në të cilën numri i rreshtave nuk është i barabartë me numrin e kolonave drejtkëndëshe. Në shembujt kjo është matrica e parë dhe e treta.

Ka edhe matrica që kanë vetëm një rresht ose një kolonë.

Një matricë me vetëm një rresht quhet matricë - rresht(ose varg), dhe një matricë me vetëm një kolonë matricë - kolonë.

Quhet një matricë, elementët e së cilës janë të gjithë zero i pavlefshëm dhe shënohet me (0), ose thjesht 0. Për shembull,

.

Diagonalja kryesore të një matrice katrore e quajmë diagonale që shkon nga e majta e sipërme në këndin e poshtëm djathtas.

Quhet një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët nën diagonalen kryesore janë të barabartë me zero trekëndëshi matricë.

.

Një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët, përveç ndoshta atyre në diagonalen kryesore, janë të barabartë me zero, quhet diagonale matricë. Për shembull, ose.

Quhet një matricë diagonale në të cilën të gjithë elementët diagonale janë të barabartë me një beqare matricë dhe shënohet me shkronjën E. Për shembull, matrica e identitetit të rendit të tretë ka formën .

VEPRIMET MBI MATRICAT

Barazia e matricës. Dy matrica A Dhe B thuhet se janë të barabartë nëse kanë të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash dhe elementet përkatëse të tyre janë të barabarta një ij = b ij. Keshtu nese Dhe , Kjo A=B, Nëse a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Dhe a 22 = b 22.

Transpozoni. Konsideroni një matricë arbitrare A nga m linjat dhe n kolonat. Mund të shoqërohet me matricën e mëposhtme B nga n linjat dhe m kolona, ​​në të cilat çdo rresht është një kolonë matrice A me të njëjtin numër (prandaj çdo kolonë është një rresht i matricës A me të njëjtin numër). Keshtu nese , Kjo .

Kjo matricë B thirrur transpozuar matricë A, dhe kalimi nga A te B transpozim.

Kështu, transpozimi është një përmbysje e roleve të rreshtave dhe kolonave të një matrice. Matrica e transpozuar në matricë A, zakonisht shënohet Një T.

Komunikimi ndërmjet matricës A dhe transpozimi i tij mund të shkruhet në formën .

Për shembull. Gjeni matricën e transpozuar të asaj të dhënë.

Shtimi i matricës. Lërini matricat A Dhe B përbëhet nga i njëjti numër rreshtash dhe i njëjti numër kolonash, d.m.th. kanë të njëjtat madhësi. Pastaj për të shtuar matricat A Dhe B të nevojshme për elementët e matricës A shtoni elementë të matricës B duke qëndruar në të njëjtat vende. Kështu, shuma e dy matricave A Dhe B quhet matricë C, e cila përcaktohet nga rregulli, për shembull,

Shembuj. Gjeni shumën e matricave:

Është e lehtë të verifikohet se mbledhja e matricës u bindet ligjeve të mëposhtme: komutative A+B=B+A dhe asociative ( A+B)+C=A+(B+C).

Shumëzimi i një matrice me një numër. Për të shumëzuar një matricë A për numër kçdo element i matricës është i nevojshëm A shumëzojeni me këtë numër. Kështu, produkti i matricës A për numër k ka një matricë të re, e cila përcaktohet nga rregulli ose .

Për çdo numër a Dhe b dhe matricat A Dhe B vlejnë barazitë e mëposhtme:

Shembuj.

Shumëzimi i matricës. Ky operacion kryhet sipas një ligji të veçantë. Para së gjithash, vërejmë se madhësitë e matricave të faktorëve duhet të jenë të qëndrueshme. Ju mund të shumëzoni vetëm ato matrica në të cilat numri i kolonave të matricës së parë përkon me numrin e rreshtave të matricës së dytë (d.m.th., gjatësia e rreshtit të parë është e barabartë me lartësinë e kolonës së dytë). Puna matricat A jo një matricë B quhet matrica e re C=AB, elementet e të cilit përbëhen si më poshtë:

Kështu, për shembull, për të marrë produktin (d.m.th. në matricë C) element i vendosur në rreshtin e parë dhe në kolonën e tretë nga 13, duhet të merrni rreshtin e parë në matricën e parë, kolonën e 3-të në të dytin dhe më pas të shumëzoni elementët e rreshtit me elementët e kolonës përkatëse dhe të shtoni produktet që rezultojnë. Dhe elementë të tjerë të matricës së produktit merren duke përdorur një produkt të ngjashëm të rreshtave të matricës së parë dhe kolonave të matricës së dytë.

Në përgjithësi, nëse shumëzojmë një matricë A = (a ij) madhësia m× n te matrica B = (b ij) madhësia n× fq, atëherë marrim matricën C madhësia m× fq, elementet e të cilit llogariten si më poshtë: element c ij përftohet si rezultat i prodhimit të elementeve i rreshti i matricës A tek elementët përkatës j kolona e matricës B dhe shtesat e tyre.

Nga ky rregull rrjedh se gjithmonë mund të shumëzoni dy matrica katrore të të njëjtit rend, dhe si rezultat marrim një matricë katrore të rendit të njëjtë. Në veçanti, një matricë katrore gjithmonë mund të shumëzohet në vetvete, d.m.th. katrore atë.

Një rast tjetër i rëndësishëm është shumëzimi i një matrice rreshti me një matricë kolone, dhe gjerësia e së parës duhet të jetë e barabartë me lartësinë e së dytës, duke rezultuar në një matricë të rendit të parë (d.m.th. një element). Vërtet,

.

Shembuj.

Kështu, këta shembuj të thjeshtë tregojnë se matricat, në përgjithësi, nuk lëvizin me njëra-tjetrën, d.m.th. A∙B ≠ B∙A . Prandaj, kur shumëzoni matricat, duhet të monitoroni me kujdes renditjen e faktorëve.

Mund të vërtetohet se shumëzimi i matricës u bindet ligjeve asociative dhe distributive, d.m.th. (AB)C=A(BC) Dhe (A+B)C=AC+BC.

Është gjithashtu e lehtë të kontrollohet kur shumëzohet një matricë katrore A në matricën e identitetit E me të njëjtin rend fitojmë përsëri një matricë A, dhe AE=EA=A.

Mund të vërehet fakti i mëposhtëm interesant. Siç e dini, prodhimi i 2 numrave jozero nuk është i barabartë me 0. Për matricat mund të mos jetë kështu, d.m.th. prodhimi i 2 matricave jozero mund të rezultojë i barabartë me matricën zero.

Për shembull, Nëse , Kjo

.

KONCEPTI I PËRCAKTORËVE

Le të jepet një matricë e rendit të dytë - një matricë katrore e përbërë nga dy rreshta dhe dy kolona .

Përcaktues i rendit të dytë që korrespondon me një matricë të caktuar është numri i marrë si më poshtë: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Përcaktori tregohet me simbolin .

Pra, për të gjetur përcaktuesin e rendit të dytë, duhet të zbritni produktin e elementeve përgjatë diagonales së dytë nga produkti i elementeve të diagonales kryesore.

Shembuj. Llogaritni përcaktorët e rendit të dytë.

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të konsiderojmë një matricë të rendit të tretë dhe përcaktuesin përkatës të saj.

Përcaktori i rendit të tretë, që i korrespondon një matrice të caktuar katrore të rendit të tretë, është numri i shënuar dhe i marrë si më poshtë:

.

Kështu, kjo formulë jep zgjerimin e përcaktorit të rendit të tretë për sa i përket elementeve të rreshtit të parë një 11, një 12, një 13 dhe zvogëlon llogaritjen e përcaktorit të rendit të tretë në llogaritjen e përcaktorit të rendit të dytë.

Shembuj. Llogaritni përcaktorin e rendit të tretë.

Në mënyrë të ngjashme, mund të prezantohen konceptet e përcaktorëve të katërt, të pestës, etj. urdhrat, duke ulur renditjen e tyre duke u zgjeruar në elementët e rreshtit të parë, me shenjat "+" dhe "-" të termave të alternuara.

Pra, ndryshe nga një matricë, e cila është një tabelë numrash, një përcaktues është një numër që i caktohet matricës në një mënyrë të caktuar.

Matricë dimensioni është një tabelë numrash që përmban rreshta dhe kolona. Numrat quhen elementë të kësaj matrice, ku është numri i rreshtit, është numri i kolonës në kryqëzimin e së cilës qëndron ky element. Një matricë që përmban rreshta dhe kolona ka formën: .

Llojet e matricave:

1) në - katrore , dhe ata thërrasin renditja e matricës ;

2) një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët jo diagonale janë të barabartë me zero

– diagonale ;

3) një matricë diagonale në të cilën të gjithë elementët diagonalë janë të barabartë

njësi - beqare dhe shënohet me ;

4) në - drejtkëndëshe ;

5) kur – matrica e rreshtit (vektori i rreshtit);

6) kur – matricë-kolona (vektor-kolona);

7) për të gjithë - matrica zero.

Vini re se karakteristika kryesore numerike e një matrice katrore është përcaktuesi i saj. Përcaktori që i korrespondon një matrice të rendit të th gjithashtu ka rendin e th.

Përcaktori i një matrice të rendit të parë numri i thirrur.

Përcaktues i një matrice të rendit të dytë numri i thirrur . (1.1)

Përcaktuesi i një matrice të rendit të tretë numri i thirrur . (1.2)

Le të paraqesim përkufizimet e nevojshme për prezantim të mëtejshëm.

E mitura M ij element A ij matricat n- Rendi A quhet përcaktor i matricës ( n-1)- rendi i marrë nga matrica A duke fshirë i-linja e th dhe j kolona e th.

Komplementi algjebrik A ij element A ij matricat n- i rendit A është minorja e këtij elementi, marrë me shenjën .

Le të formulojmë vetitë themelore të përcaktorëve që janë të natyrshme në përcaktuesit e të gjitha rendeve dhe të thjeshtojmë llogaritjen e tyre.

1. Kur një matricë transpozohet, përcaktori i saj nuk ndryshon.

2. Kur riorganizoni dy rreshta (kolona) të një matrice, përcaktori i saj ndryshon shenjën.

3. Një përcaktor që ka dy rreshta (kolona) proporcionale (të barabarta) është e barabartë me zero.

4. Faktori i përbashkët i elementeve të çdo rreshti (kolone) të përcaktorit mund të nxirret jashtë shenjës së përcaktorit.

5. Nëse elementet e ndonjë rreshti (kolone) të një përcaktori janë shuma e dy termave, atëherë përcaktori mund të zbërthehet në shumën e dy përcaktorëve përkatës.

6. Përcaktori nuk do të ndryshojë nëse elementeve të ndonjë prej rreshtave (kolonave) të tij, elementet përkatëse të rreshtit tjetër (kolonës), të shumëzuar më parë me ndonjë numër, i shtohen elementeve.

7. Përcaktori i një matrice është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve të cilësdo prej rreshtave (kolonave) të saj nga plotësimet algjebrike të këtyre elementeve.

Le ta shpjegojmë këtë veti duke përdorur shembullin e një përcaktori të rendit të tretë. Në këtë rast, prona 7 do të thotë se – zbërthimi i përcaktorit në elementë të rreshtit të parë. Vini re se për zbërthimin, zgjidhni rreshtin (kolonën) ku ka zero elementë, pasi termat përkatës në zbërthim kthehen në zero.

Vetia 7 është një teoremë dekompozimi përcaktuese e formuluar nga Laplace.

8. Shuma e prodhimeve të elementeve të çdo rreshti (kolone) të një përcaktori nga plotësimet algjebrike të elementeve përkatëse të rreshtit (kolonës) tjetër të saj është e barabartë me zero.

Vetia e fundit shpesh quhet pseudozbërthim i përcaktorit.

Pyetje vetë-testimi.

1. Çfarë quhet matricë?

2. Cila matricë quhet katror? Çfarë nënkuptohet me porosinë e tij?

3. Cila matricë quhet diagonale, identitet?

4. Cila matricë quhet matricë rreshti dhe matricë kolone?

5. Cila është karakteristika kryesore numerike e një matrice katrore?

6. Cili numër quhet përcaktor i rendit 1, 2 dhe 3?

7. Si quhet komplementi minor dhe algjebrik i një elementi matricë?

8. Cilat janë vetitë kryesore të përcaktorëve?

9. Duke përdorur çfarë vetie mund të llogaritet përcaktorja e çdo rendi?

Veprimet në matrica(skema 2)

Një numër operacionesh përcaktohen në një grup matricash, më kryesoret që janë si më poshtë:

1) transpozim – zëvendësimi i rreshtave të matricës me kolona dhe kolonave me rreshta;

2) shumëzimi i një matrice me një numër bëhet element për element, domethënë , Ku , ;

3) shtimi i matricës, i përcaktuar vetëm për matricat me të njëjtin dimension;

4) shumëzimi i dy matricave, i përcaktuar vetëm për matricat e përputhura.

Shuma (diferenca) e dy matricave quhet një matricë e tillë që rezulton, çdo element i së cilës është i barabartë me shumën (diferencën) e elementeve përkatëse të komandave të matricës.

Të dy matricat quhen rënë dakord , nëse numri i kolonave të së parës është i barabartë me numrin e rreshtave të tjetrës. Produkt i dy matricave të përputhura dhe një matricë e tillë që rezulton quhet , Çfarë , (1.4)

Ku, . Nga kjo rrjedh se elementi i rreshtit të tretë dhe i kolonës së matricës është i barabartë me shumën e produkteve në çift të elementeve të rreshtit të matricës dhe elementeve të kolonës së matricës.

Prodhimi i matricave nuk është komutativ, domethënë A . B B . A. Një përjashtim është, për shembull, prodhimi i matricave katrore dhe njësisë A . E = E . A.

Shembulli 1.1. Shumëzoni matricat A dhe B nëse:

.

Zgjidhje. Meqenëse matricat janë të qëndrueshme (numri i kolonave të matricës është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës), ne do të përdorim formulën (1.4):

Pyetje vetë-testimi.

1. Çfarë veprimesh kryhen në matrica?

2. Si quhet shuma (diferenca) e dy matricave?

3. Si quhet prodhimi i dy matricave?

Metoda e Kramerit për zgjidhjen e sistemeve kuadratike të ekuacioneve algjebrike lineare(skema 3)

Le të japim një sërë përkufizimesh të nevojshme.

Sistemi i ekuacioneve lineare quhet heterogjene , nëse të paktën një nga termat e tij të lirë është i ndryshëm nga zero, dhe homogjene , nëse të gjithë termat e tij të lirë janë të barabartë me zero.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh është një grup i renditur numrash që, kur zëvendësohen me variabla në një sistem, e kthen secilin prej ekuacioneve të tij në një identitet.

Sistemi i ekuacioneve quhet të përbashkët , nëse ka të paktën një zgjidhje, dhe jo të përbashkët , nëse ajo nuk ka zgjidhje.

Sistemi i njëkohshëm i ekuacioneve quhet të caktuara , nëse ka një zgjidhje unike, dhe i pasigurt , nëse ka më shumë se një zgjidhje.

Le të shqyrtojmë një sistem kuadratik johomogjen të ekuacioneve algjebrike lineare që kanë formën e përgjithshme vijuese:

. (1.5) Matrica kryesore e sistemit ekuacionet lineare algjebrike janë një matricë e përbërë nga koeficientë të lidhur me të panjohurat: .

Përcaktori i matricës kryesore të sistemit quhet përcaktues kryesor dhe është caktuar.

Përcaktori ndihmës merret nga përcaktorja kryesore duke zëvendësuar kolonën e th me një kolonë me terma të lirë.

Teorema 1.1 (teorema e Kramerit). Nëse përcaktori kryesor i një sistemi kuadratik të ekuacioneve lineare algjebrike është jozero, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, të llogaritur me formulat:

Nëse përcaktori kryesor është , atëherë sistemi ose ka një numër të pafund zgjidhjesh (për të gjithë përcaktuesit ndihmës zero) ose nuk ka fare zgjidhje (nëse të paktën një nga përcaktorët ndihmës ndryshon nga zero)

Në dritën e përkufizimeve të mësipërme, teorema e Cramer-it mund të formulohet ndryshe: nëse përcaktori kryesor i një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare është jozero, atëherë sistemi është i përcaktuar bashkërisht dhe në të njëjtën kohë ; nëse përcaktori kryesor është zero, atëherë sistemi është ose bashkërisht i pacaktuar (për të gjithë ) ose jo konsistent (nëse të paktën njëri prej tyre ndryshon nga zero).

Pas kësaj, zgjidhja që rezulton duhet të kontrollohet.

Shembulli 1.2. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën e Cramer

Zgjidhje. Meqenëse përcaktori kryesor i sistemit

është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike. Le të llogarisim përcaktorët ndihmës

Le të përdorim formulat e Cramer (1.6): , ,

Pyetje vetë-testimi.

1. Çfarë quhet zgjidhja e një sistemi ekuacionesh?

2. Cili sistem ekuacionesh quhet i pajtueshëm apo i papajtueshëm?

3. Cili sistem ekuacionesh quhet i caktuar apo i pacaktuar?

4. Cila matricë e sistemit të ekuacioneve quhet kryesore?

5. Si llogariten përcaktorët ndihmës të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare?

6. Cili është thelbi i metodës së Cramer-it për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare?

7. Si mund të jetë një sistem ekuacionesh algjebrike lineare nëse përcaktorja kryesore e tij është zero?

Zgjidhja e sistemeve kuadratike të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e matricës së kundërt(skema 4)

Një matricë që ka një përcaktor jozero quhet jo i degjeneruar ; ka një përcaktor të barabartë me zero - i degjeneruar .

Matrica quhet e anasjelltë për një matricë të caktuar katrore, nëse kur shumëzohet matrica me inversin e saj si në të djathtë ashtu edhe në të majtë, merret matrica e identitetit, d.m.th. (1.7)

Vini re se në këtë rast prodhimi i matricave dhe është komutativ.

Teorema 1.2. Një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për ekzistencën e një matrice të anasjelltë për një matricë katrore të caktuar është që përcaktori i matricës së dhënë të jetë i ndryshëm nga zero.

Nëse matrica kryesore e sistemit rezulton të jetë njëjës gjatë testimit, atëherë nuk ka të kundërt për të dhe metoda në shqyrtim nuk mund të zbatohet.

Nëse matrica kryesore është jo njëjëse, domethënë përcaktori është 0, atëherë matrica e anasjelltë mund të gjendet për të duke përdorur algoritmin e mëposhtëm.

1. Llogaritni plotësimet algjebrike të të gjithë elementëve të matricës.

2. Shkruani shtesat algjebrike të gjetura në matricën e transpozuar.

3. Krijo një matricë të kundërt duke përdorur formulën: (1.8)

4. Kontrolloni korrektësinë e matricës së gjetur A-1 sipas formulës (1.7). Vini re se ky kontroll mund të përfshihet në kontrollin përfundimtar të vetë zgjidhjes së sistemit.

Sistemi (1.5) i ekuacioneve algjebrike lineare mund të paraqitet si një ekuacion matricor: , ku është matrica kryesore e sistemit, është kolona e të panjohurave dhe është kolona e termave të lirë. Le të shumëzojmë këtë ekuacion në të majtë me matricën e kundërt, marrim:

Meqenëse, sipas përkufizimit të matricës së kundërt, ekuacioni merr formën ose . (1.9)

Kështu, për të zgjidhur një sistem kuadratik të ekuacioneve algjebrike lineare, duhet të shumëzoni kolonën e termave të lirë në të majtë me matricën e kundërt të matricës kryesore të sistemit. Pas kësaj, duhet të kontrolloni zgjidhjen që rezulton.

Shembulli 1.3. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën e matricës së kundërt

Zgjidhje. Le të llogarisim përcaktuesin kryesor të sistemit

. Rrjedhimisht, matrica është josingulare dhe ekziston matrica e saj e kundërt.

Le të gjejmë plotësimet algjebrike të të gjithë elementëve të matricës kryesore:

Le të shkruajmë shtesat algjebrike të transpozuara në matricë

. Le të përdorim formulat (1.8) dhe (1.9) për të gjetur një zgjidhje për sistemin

Pyetje vetë-testimi.

1. Cila matricë quhet singulare, jo e degjeneruar?

2. Cila matricë quhet inversi i një të dhënë? Cili është kushti i ekzistencës së tij?

3. Cili është algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt për një të dhënë?

4. Cili ekuacion matricor është i barabartë me një sistem ekuacionesh algjebrike lineare?

5. Si të zgjidhet një sistem ekuacionesh algjebrike lineare duke përdorur matricën e anasjelltë për matricën kryesore të sistemit?

Studimi i sistemeve johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare(skema 5)

Studimi i çdo sistemi të ekuacioneve algjebrike lineare fillon me transformimin e matricës së tij të zgjeruar me metodën Gaussian. Le të jetë dimensioni i matricës kryesore të sistemit të barabartë me .

Matricë quhet e zgjeruar matricës së sistemit , nëse, së bashku me koeficientët e të panjohurave, ai përmban një kolonë me terma të lirë. Prandaj, dimensioni është .

Metoda Gaussian bazohet në transformimet elementare , të cilat përfshijnë:

– rirregullimi i rreshtave të matricës;

– shumëzimi i rreshtave të matricës me një numër të ndryshëm nga timoni;

– shtimi sipas elementeve të rreshtave të matricës;

– fshirja e vijës zero;

– transpozimi i matricës (në këtë rast, transformimet kryhen me kolona).

Transformimet elementare e çojnë sistemin origjinal në një sistem të barabartë me të. Sistemet quhen ekuivalente , nëse kanë të njëjtin grup zgjidhjesh.

Rangu i matricës quhet rendi më i lartë i minoreve të tij jozero. Transformimet elementare nuk e ndryshojnë rangun e matricës.

Teorema e mëposhtme i përgjigjet pyetjes për ekzistencën e zgjidhjeve për një sistem johomogjen ekuacionesh lineare.

Teorema 1.3 (teorema Kronecker-Capelli). Një sistem jo-homogjen i ekuacioneve algjebrike lineare është i qëndrueshëm nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së zgjeruar të sistemit është i barabartë me gradën e matricës së tij kryesore, d.m.th.

Le të shënojmë numrin e rreshtave të mbetur në matricë pas metodës Gaussian me (në përputhje me numrin e ekuacioneve të mbetura në sistem). Këto linjat quhen matricat bazë .

Nëse , atëherë sistemi ka një zgjidhje unike (përcaktohet bashkërisht), matrica e tij reduktohet në një formë trekëndore nga transformimet elementare. Një sistem i tillë mund të zgjidhet duke përdorur metodën Cramer, duke përdorur matricën e kundërt ose metodën universale të Gausit.

Nëse (numri i variablave në sistem është më i madh se ekuacionet), matrica reduktohet në një formë hap pas hapi nga transformimet elementare. Një sistem i tillë ka shumë zgjidhje dhe është bashkërisht i pasigurt. Në këtë rast, për të gjetur zgjidhje për sistemin, është e nevojshme të kryhen një sërë operacionesh.

1. Lëreni sistemin e të panjohurave në anën e majtë të ekuacioneve ( variablat bazë ), pjesa tjetër e të panjohurave zhvendosen në anët e djathta ( variabla të lirë ). Pas ndarjes së variablave në bazë dhe të lirë, sistemi merr formën:

. (1.10)

2. Nga koeficientët e variablave bazë, bëni një minor ( bazë e vogël ), i cili duhet të jetë jo zero.

3. Nëse minorja bazë e sistemit (1.10) është e barabartë me zero, atëherë një nga variablat bazë zëvendësohet me një të lirë; Kontrolloni bazën minore që rezulton për jo zero.

4. Duke zbatuar formulat (1.6) të metodës Cramer, duke i konsideruar anët e djathta të ekuacioneve si terma të lirë të tyre, gjeni një shprehje për variablat bazë në terma të atyre të lirë në formën e përgjithshme. Grupi i renditur i variablave të sistemit që rezulton është i tij vendim i përgjithshëm .

5. Duke dhënë variabla të lira në (1.10) vlera arbitrare, llogaritni vlerat përkatëse të variablave bazë. Quhet grupi i renditur i vlerave që rezulton i të gjitha variablave zgjidhje private sistemet që korrespondojnë me vlerat e dhëna të variablave të lirë. Sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh të veçanta.

6. Merrni zgjidhje bazë sistem - një zgjidhje e veçantë e marrë për vlerat zero të ndryshoreve të lira.

Vini re se numri i grupeve bazë të variablave të sistemit (1.10) është i barabartë me numrin e kombinimeve të elementeve sipas elementeve. Meqenëse çdo grup bazë variablash ka zgjidhjen e vet bazë, prandaj sistemi ka edhe zgjidhjet bazë.

Një sistem homogjen ekuacionesh është gjithmonë konsistent, pasi ka të paktën një zgjidhje – zero (të parëndësishme). Që një sistem homogjen ekuacionesh lineare me ndryshore të ketë zgjidhje jo zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që përcaktori kryesor i tij të jetë i barabartë me zero. Kjo do të thotë që rangu i matricës së tij kryesore është më i vogël se numri i të panjohurave. Në këtë rast, studimi i një sistemi homogjen ekuacionesh për zgjidhje të përgjithshme dhe të veçanta kryhet në mënyrë të ngjashme me studimin e një sistemi johomogjen. Zgjidhjet e një sistemi homogjen ekuacionesh kanë një veti të rëndësishme: nëse njihen dy zgjidhje të ndryshme për një sistem homogjen ekuacionesh lineare, atëherë kombinimi i tyre linear është gjithashtu një zgjidhje për këtë sistem. Është e lehtë të verifikohet vlefshmëria e teoremës së mëposhtme.

Teorema 1.4. Zgjidhja e përgjithshme e një sistemi johomogjen ekuacionesh është shuma e zgjidhjes së përgjithshme të sistemit homogjen përkatës dhe disa zgjidhjeve të veçanta të sistemit johomogjen të ekuacioneve.

Shembulli 1.4.

Eksploroni sistemin e dhënë dhe gjeni një zgjidhje të veçantë:

Zgjidhje. Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe të zbatojmë transformimet elementare në të:

. Meqenëse dhe , atëherë nga Teorema 1.3 (Kronecker-Capelli) sistemi i dhënë i ekuacioneve algjebrike lineare është konsistent. Numri i variablave, d.m.th., do të thotë se sistemi është i pasigurt. Numri i grupeve bazë të variablave të sistemit është i barabartë me

. Rrjedhimisht, 6 grupe variablash mund të jenë bazë: . Le të shqyrtojmë një prej tyre. Pastaj sistemi i marrë si rezultat i metodës Gauss mund të rishkruhet në formë

. Përcaktori kryesor . Duke përdorur metodën e Cramer-it, ne kërkojmë një zgjidhje të përgjithshme për sistemin. Kualifikuesit ndihmës

Sipas formulave (1.6) kemi

. Kjo shprehje e variablave bazë në terma të atyre të lirë paraqet zgjidhjen e përgjithshme të sistemit:

Për vlerat specifike të ndryshoreve të lira, nga zgjidhja e përgjithshme marrim një zgjidhje të veçantë të sistemit. Për shembull, një zgjidhje private korrespondon me vlerat e variablave të lirë . Në të marrim zgjidhjen bazë të sistemit

Pyetje vetë-testimi.

1. Cili sistem ekuacionesh quhet homogjen apo johomogjen?

2. Cila matricë quhet e zgjeruar?

3. Renditni shndërrimet elementare bazë të matricave. Cila metodë e zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare bazohet në këto shndërrime?

4. Sa është rangu i një matrice? Si mund ta llogarisni?

5. Çfarë thotë teorema Kronecker-Capelli?

6. Në çfarë forme mund të reduktohet një sistem ekuacionesh algjebrike lineare si rezultat i zgjidhjes së tij me metodën e Gausit? Çfarë do të thotë kjo?

7. Cilat rreshta të matricës quhen bazë?

8. Cilat variabla të sistemit quhen bazë dhe cilat janë të lira?

9. Cila zgjidhje e sistemit johomogjen quhet private?

10.Cila nga zgjidhjet e tij quhet themelore? Sa zgjidhje themelore ka një sistem johomogjen ekuacionesh lineare?

11.Cila zgjidhje e sistemit johomogjen të ekuacioneve algjebrike lineare quhet e përgjithshme? Formuloni një teoremë për zgjidhjen e përgjithshme të një sistemi johomogjen ekuacionesh.

12. Cilat janë vetitë kryesore të zgjidhjeve të një sistemi homogjen të ekuacioneve algjebrike lineare?

Qëllimi i shërbimit. Llogaritësi i matricës projektuar për zgjidhjen e shprehjeve të matricës, të tilla si 3A-CB 2 ose A -1 +B T .

Udhëzimet. Për një zgjidhje në internet, duhet të specifikoni një shprehje matrice. Në fazën e dytë, do të jetë e nevojshme të sqarohet dimensioni i matricave.

Veprimet në matrica

Veprime të vlefshme: shumëzim (*), mbledhje (+), zbritje (-), matricë e anasjelltë A^(-1), fuqizim (A^2, B^3), transpozim i matricës (A^T).

Veprime të vlefshme: shumëzim (*), mbledhje (+), zbritje (-), matricë e anasjelltë A^(-1), fuqizim (A^2, B^3), transpozim i matricës (A^T).
Për të kryer një listë operacionesh, përdorni një ndarës me pikëpresje (;). Për shembull, për të kryer tre operacione:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
do t'ju duhet ta shkruani kështu: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Një matricë është një tabelë numerike drejtkëndëshe me m rreshta dhe n kolona, ​​kështu që matrica mund të përfaqësohet skematikisht si një drejtkëndësh.
Matricë zero (matricë zero)është një matricë, elementët e së cilës janë të gjithë të barabartë me zero dhe shënohen me 0.
Matrica e identitetit quhet matricë katrore e formës

Dy matrica A dhe B janë të barabarta, nëse kanë të njëjtën madhësi dhe elementët përkatës janë të barabartë.
Matricë njëjësështë një matricë përcaktorja e së cilës është e barabartë me zero (Δ = 0).

Le të përcaktojmë veprimet bazë në matrica.

Shtimi i matricës

Përkufizimi . Shuma e dy matricave me të njëjtën madhësi është një matricë me të njëjtat dimensione, elementët e së cilës gjenden sipas formulës . Shënohet me C = A+B.

Shembulli 6. .
Operacioni i mbledhjes së matricës shtrihet në rastin e çdo numri termash. Është e qartë se A+0=A.
Le të theksojmë edhe një herë se mund të shtohen vetëm matrica me të njëjtën madhësi; Për matricat e madhësive të ndryshme, operacioni i mbledhjes nuk është i përcaktuar.

Zbritja e matricave

Përkufizimi . Dallimi B-A i matricave B dhe A me të njëjtën madhësi është një matricë C e tillë që A+ C = B.

Shumëzimi i matricës

Përkufizimi . Prodhimi i një matrice me një numër α është një matricë e përftuar nga A duke shumëzuar të gjithë elementët e saj me α, .
Përkufizimi . Le të jepen dy matrica dhe , dhe numri i kolonave të A është i barabartë me numrin e rreshtave të B. Prodhimi i A nga B është një matricë elementet e së cilës gjenden sipas formulës .
Shënohet me C = A·B.
Skematikisht, funksionimi i shumëzimit të matricës mund të përshkruhet si më poshtë:

dhe rregulli për llogaritjen e një elementi në një produkt:

Le të theksojmë edhe një herë se prodhimi A·B ka kuptim nëse dhe vetëm nëse numri i kolonave të faktorit të parë është i barabartë me numrin e rreshtave të të dytit dhe produkti prodhon një matricë, numri i rreshtave të së cilës është i barabartë me numri i rreshtave të faktorit të parë, dhe numri i kolonave është i barabartë me numrin e kolonave të të dytit. Ju mund të kontrolloni rezultatin e shumëzimit duke përdorur një kalkulator të veçantë në internet.

Shembulli 7. Matricat e dhëna Dhe . Gjeni matricat C = A·B dhe D = B·A.
Zgjidhje. Para së gjithash, vini re se prodhimi A·B ekziston sepse numri i kolonave të A është i barabartë me numrin e rreshtave të B.

Vini re se në rastin e përgjithshëm A·B≠B·A, d.m.th. produkti i matricave është antikomutativ.
Le të gjejmë B·A (shumëzimi është i mundur).

Shembulli 8. Jepet një matricë . Gjeni 3A 2 – 2A.
Zgjidhje.

.
; .
.
Le të vërejmë faktin interesant të mëposhtëm.
Siç e dini, prodhimi i dy numrave jozero nuk është i barabartë me zero. Për matricat, një rrethanë e ngjashme mund të mos ndodhë, domethënë, produkti i matricave jo zero mund të rezultojë i barabartë me matricën zero.

>> Matricat

4.1.Matricat. Veprimet në matrica

Një matricë drejtkëndore me madhësi mxn është një koleksion numrash mxn të renditur në formën e një tabele drejtkëndore që përmban m rreshta dhe n kolona. Do ta shkruajmë në formë

ose të shkurtuar si A = (a i j) (i = ; j = ), numrat a i j quhen elementë të tij; Indeksi i parë tregon numrin e rreshtit, i dyti - numrin e kolonës. A = (a i j) dhe B = (b i j) me të njëjtën madhësi quhen të barabarta nëse elementët e tyre që qëndrojnë në të njëjtat vende janë të barabartë në çift, domethënë A = B nëse a i j = b i j.

Një matricë e përbërë nga një rresht ose një kolonë quhet përkatësisht vektor rreshti ose vektor kolone. Vektorët e kolonave dhe vektorët e rreshtave quhen thjesht vektorë.

Një matricë e përbërë nga një numër identifikohet me këtë numër. A me madhësi mxn, të gjithë elementët e të cilit janë të barabartë me zero, quhen zero dhe shënohen me 0. Elementet me tregues të njëjtë quhen elementë të diagonales kryesore. Nëse numri i rreshtave është i barabartë me numrin e kolonave, domethënë m = n, atëherë matrica quhet matricë katrore e rendit n. Matricat katrore në të cilat vetëm elementet e diagonales kryesore janë jozero quhen diagonale dhe shkruhen si më poshtë:

Nëse të gjithë elementët a i i të diagonales janë të barabartë me 1, atëherë ajo quhet njësi dhe shënohet me shkronjën E:

.

Një matricë katrore quhet trekëndore nëse të gjithë elementët mbi (ose poshtë) diagonales kryesore janë të barabarta me zero. Transpozimi është një transformim në të cilin rreshtat dhe kolonat ndërrohen duke ruajtur numrat e tyre. Transpozimi tregohet me një T në krye.

Nëse i riorganizojmë rreshtat dhe kolonat në (4.1), marrim

,

i cili do të transpozohet në lidhje me A. Në veçanti, kur transpozohet një vektor kolone, fitohet një vektor rreshti dhe anasjelltas.

Prodhimi i A dhe numrit b është një matricë elementet e së cilës fitohen nga elementët përkatës të A duke shumëzuar me numrin b: b A = (b a i j).

Shuma A = (a i j) dhe B = (b i j) me madhësi të njëjtë quhet C = (c i j) me të njëjtën madhësi, elementet e së cilës përcaktohen me formulën c i j = a i j + b i j.

Produkti AB përcaktohet me supozimin se numri i kolonave të A është i barabartë me numrin e rreshtave të B.

Prodhimi AB, ku A = (a i j) dhe B = (b j k), ku i = , j= , k= , i dhënë në një renditje të caktuar AB, quhet C = (c i k), elementet e të cilit përcaktohen nga rregulli i mëposhtëm:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Me fjalë të tjera, elementi i prodhimit AB përcaktohet si më poshtë: elementi i rreshtit të i-të dhe i kolonës k-të C është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve të rreshtit të i-të A dhe elementet përkatëse të kolonës k-të B.

Shembulli 2.1. Gjeni prodhimin e AB dhe .

Zgjidhje. Kemi: A me madhësi 2x3, B me madhësi 3x3, atëherë prodhimi AB = C ekziston dhe elementet e C janë të barabartë

Nga 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, nga 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, nga 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, dhe produkti BA nuk ekziston.

Shembulli 2.2. Tabela tregon numrin e njësive të produkteve që dërgohen çdo ditë nga qumështoret 1 dhe 2 në dyqanet M 1, M 2 dhe M 3, dhe dërgimi i një njësie të produktit nga secila qumështore në depo M 1 kushton 50 den. njësitë, te dyqani M 2 - 70, dhe M 3 - 130 den. njësi Llogaritni kostot ditore të transportit të çdo impianti.

Bimë qumështi

Zgjidhje. Le të shënojmë me A matricën që na është dhënë në kusht dhe me
B - matrica që karakterizon koston e dërgimit të një njësie produkti në dyqane, d.m.th.

,

Atëherë matrica e kostos së transportit do të duket si kjo:

.

Pra, fabrika e parë shpenzon 4750 denier për transport çdo ditë. njësi, e dyta - 3680 njësi monetare.

Shembulli 2.3. Kompania e rrobaqepësisë prodhon pallto dimërore, pallto demi-sezoni dhe mushama. Prodhimi i planifikuar për një dekadë karakterizohet nga vektori X = (10, 15, 23). Përdoren katër lloje të pëlhurave: T 1, T 2, T 3, T 4. Tabela tregon normat e konsumit të pëlhurës (në metra) për çdo produkt. Vektori C = (40, 35, 24, 16) specifikon koston e një metri pëlhure të çdo lloji dhe vektori P = (5, 3, 2, 2) specifikon koston e transportit të një metri pëlhure të secilit lloj.

	Konsumi i pëlhurës
Pallto dimri
Pallto gjysmë sezonale

1. Sa metra nga çdo lloj pëlhure do të nevojiten për të përfunduar planin?

2. Gjeni koston e pëlhurës së shpenzuar për qepjen e çdo lloj produkti.

3. Përcaktoni koston e gjithë pëlhurës së nevojshme për të përfunduar planin.

Zgjidhje. Le të shënojmë me A matricën që na është dhënë në kushtin, d.m.th.

pastaj për të gjetur numrin e metrave të pëlhurës që nevojiten për të përfunduar planin, duhet të shumëzoni vektorin X me matricën A:

Ne gjejmë koston e rrobave të shpenzuara për qepjen e produkteve të secilit lloj duke shumëzuar matricën A dhe vektorin C T:

.

Kostoja e të gjithë pëlhurës së nevojshme për të përfunduar planin do të përcaktohet nga formula:

Së fundi, duke marrë parasysh shpenzimet e transportit, e gjithë shuma do të jetë e barabartë me koston e pëlhurës, gjegjësisht 9472 den. njësi, plus vlerë

X A P T =
.

Pra, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (njësi parash).