Cila është forma e zgjeruar e shkrimit të një numri. Cila është forma e zgjeruar e shkrimit të një numri?

16.03.2024 Gabimet

Baza e sistemit të numrave pozicional është numri i plotë q, i cili është ngritur në një fuqi.

Baza e një sistemi numrash pozicional është një sekuencë numrash, secili prej të cilëve përcakton ekuivalentin sasior (peshën) e një simboli në varësi të vendit të tij në kodin e numrave.

Baza dhjetore: …10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…

Baza e një sistemi numrash pozicional arbitrar: ... qn, qn –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …

Baza në çdo sistem përfaqësohet si 10, por ka një vlerë sasiore të ndryshme. Tregon sa herë ndryshon vlera sasiore e një shifre kur ajo zhvendoset në një pozicion ngjitur. Shumë sisteme pozicionale janë të mundshme, pasi çdo numër jo më i vogël se 2 mund të merret si bazë e sistemit të numrave.

Emri i sistemit të numrave korrespondon me bazën e tij (dhjetëshe, binar, kuinar, etj.).

Në një sistem numrash me bazë q (q-sistemi i numrave ary) njësitë e shifrave janë fuqi të njëpasnjëshme të një numri q, me fjale te tjera, q njësitë e çdo kategorie formojnë një njësi të kategorisë tjetër.

Për të shkruar numrat në q- Kërkohet sistemi i numrave ary q shenja (shifra) të ndryshme që përfaqësojnë numrat 0, 1, ..., q – 1.

Prandaj, baza e një sistemi numrash pozicional është e barabartë me numrin e simboleve (shenjave) në alfabetin e tij. Shkrimi i një numri q V q-Sistemi i numrave ary ka formën 10.

Shembulli 1. Sistemi i numrave oktal.

Baza: q = 8.

Alfabeti: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dhe 7.

Numrat: për shembull, 45023.152 8; 751,001 8 .

Shembulli 2. Sistemi i numrave pesëfish .

Baza: q = 5.

Alfabeti: 0, 1, 2, 3 dhe 4.

Numrat: për shembull, 20304 5 ; 324,03 5.

Shembulli 3. Sistemi i numrave heksadecimal.

Baza: q = 16.

Alfabeti: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Këtu, vetëm dhjetë nga gjashtëmbëdhjetë shifrat kanë përcaktimin e pranuar përgjithësisht 0-9. Për të shkruar karakteret e mbetura të alfabetit (10, 11, 12, 13, 14 dhe 15), zakonisht përdoren pesë shkronjat e para të alfabetit latin.

Numrat: për shembull, В5С3,1А2 16; 355.0FA01 8.

Në sistemin e numrave pozicional, çdo numër real mund të përfaqësohet në formën e mëposhtme:

Një q = ±( a n– 1 × qn –1 + a n– 2 × qn –2 +…+ a 0 × q 0 + a– 1 × q –1 + a– 2 × q –2 +…+ a –m × q–m), (1) ose ±.

Këtu A - vetë numri; q- radix;
edhe une- numrat që i përkasin alfabetit të një sistemi të caktuar numrash; P - numri i shifrave të plota; T - numri i shifrave thyesore të një numri.

Zbërthimi i një numri sipas formulës (1) quhet formulari i zgjeruar i hyrjes . Përndryshe, kjo formë regjistrimi quhet polinom ose qetësues.

Shembulli 1. Numri dhjetor A 10 = 5867.91 sipas formulës (1) përfaqësohet si më poshtë:

A 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.

Shembulli 2. Formula (1) për sistemin e numrave oktal ka formën:

A 8 = ±( a n– 1 × 8 n –1 + a n-2 × 8 n –2 +…+ a 0 × 8 0 + a–1 × 8 –1 + a–2 ×8 –2 +…+ jam× 8 - m),

Ku edhe une- numrat 0–7.

Numri oktal A 8 = 7064.3 në formën (1) do të shkruhet si më poshtë:

A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.

Shembulli 3. Numri pesëfish A 5 = 2430.21 sipas formulës (1) do të shkruhet si më poshtë:

A 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5" + 0 × 5° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.

Duke llogaritur këtë shprehje, mund të merrni ekuivalentin dhjetor të numrit pesëfish të specifikuar: 365.44 10.

Shembulli 4. Në sistemin e numrave heksadecimal hyrja është 3 A.F. 16 do të thotë:

3A.F. 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.

Le Aq- numri në sistemin bazë q, ai - shifrat e një sistemi të caktuar numrash të pranishëm në regjistrimin e numrave A, n+ 1 - numri i shifrave të pjesës së plotë të numrit, m- numri i shifrave të pjesës thyesore të numrit:

Forma e zgjeruar e numrit A quhet rekord në formën:

Për shembull, për një numër dhjetor:

Shembujt e mëposhtëm tregojnë formën e zgjeruar të numrave heksadecimal dhe binar:

Në çdo sistem numrash, baza e tij shkruhet si 10.

Nëse të gjithë termat në formën e zgjeruar të një numri jo dhjetor përfaqësohen në sistemin dhjetor dhe shprehja që rezulton llogaritet sipas rregullave të aritmetikës dhjetore, atëherë do të merret një numër në sistemin dhjetor i barabartë me atë të dhënë. Ky parim përdoret për të kthyer nga sistemi jo dhjetor në sistemin dhjetor. Për shembull, konvertimi i numrave të shkruar më sipër në sistemin dhjetor bëhet kështu:

Shndërrimi i numrave dhjetorë në sisteme të tjera numrash

Konvertimi i numrave të plotë

Numër dhjetor i plotë X duhet të konvertohet në një sistem me bazë q: X = (a n a n-1... a 1 a 0) q. Duhet të gjeni shifrat domethënëse të numrit: Le ta paraqesim numrin në formë të zgjeruar dhe të kryejmë transformimin identik:

Nga kjo është e qartë se a 0 është mbetja kur pjesëtohet një numër X për numër q. Shprehja në kllapa është herësi i plotë i kësaj ndarjeje. Le ta shënojmë me X 1. Duke kryer transformime të ngjashme, marrim:

Prandaj, a 1 është pjesa e mbetur e ndarjes X 1 për q. Duke vazhduar ndarjen me pjesën e mbetur, do të marrim një sekuencë shifrash të numrit të dëshiruar. Numri një në këtë zinxhir ndarjesh do të jetë herësi i fundit, aq më i vogël q.

Le të formulojmë rregullin që rezulton: për të kthyer një numër dhjetor të plotë në një sistem numrash me një bazë të ndryshme, ju duhet:

1) të shprehë bazën e sistemit të ri të numrave në sistemin e numrave dhjetorë dhe të kryejë të gjitha veprimet e mëvonshme sipas rregullave të aritmetikës dhjetore;

2) pjesëtojmë në mënyrë sekuenciale numrin e dhënë dhe herësit jo të plotë që rezultojnë me bazën e sistemit të ri të numrave derisa të marrim një herës jo të plotë që është më i vogël se pjesëtuesi;

3) sillni bilancet që rezultojnë, të cilat janë shifra të një numri në sistemin e ri të numrave, në përputhje me alfabetin e sistemit të ri të numrave;

4) hartoni një numër në sistemin e ri të numrave, duke e shkruar atë duke filluar nga herësi i fundit.

Shembulli 1. Shndërroni numrin 37 10 në binar.

Për të përcaktuar shifrat në një numër, ne përdorim simbolikën: a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0

Prandaj: 37 10 = l00l0l 2

Shembulli 2. Shndërroni numrin dhjetor 315 në sisteme oktal dhe heksadecimal:

Më poshtë vijon: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Kujtoni se 11 10 = B 16.

Thyesë dhjetore X < 1 требуется перевести в систему с основанием q: X = (0, a –1 a –2 … a–m+1 a–m) q. Duhet të gjeni shifrat domethënëse të numrit: a –1 ,a –2 , …, a–m .Paraqisni numrin në formë të zgjeruar dhe shumëzojeni me q:

Nga kjo është e qartë se a–1 ka një pjesë të tërë të punës X për numër q. Le të shënojmë me X 1 pjesë e pjesshme e produktit dhe shumëzojeni atë me q:

Prandaj, a-2 është një pjesë e tërë e punës X 1 për numër q. Duke vazhduar shumëzimin, do të marrim një sekuencë numrash. Tani le të formulojmë një rregull: për të kthyer një thyesë dhjetore në një sistem numrash me një bazë të ndryshme, ju duhet:

1) shumëzoni në mënyrë të njëpasnjëshme numrin e dhënë dhe pjesët thyesore që rezultojnë të produkteve me bazën e sistemit të ri të numrave derisa pjesa thyesore e produktit të bëhet e barabartë me zero ose të arrihet saktësia e kërkuar për paraqitjen e numrit në sistemin e ri të numrave;

2) sillni pjesët e plota që rezultojnë të punimeve, të cilat janë shifra të numrit në sistemin e ri të numrave, në përputhje me alfabetin e sistemit të ri të numrave;

3) hartoni pjesën thyesore të numrit në sistemin e ri të numrave, duke u nisur nga pjesa e plotë e prodhimit të parë.

Shembulli 3. Shndërroni thyesën dhjetore 0,1875 në sisteme binar, oktal dhe heksadecimal.

Këtu kolona e majtë përmban pjesën e plotë të numrave, dhe kolona e djathtë përmban pjesën thyesore.

Prandaj: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Konvertimi i numrave të përzier që përmban pjesë të plota dhe thyesore kryhet në dy faza. Pjesët e plota dhe të pjesshme të numrit origjinal përkthehen veçmas duke përdorur algoritme të përshtatshme. Në regjistrimin përfundimtar të një numri në sistemin e ri të numrave, pjesa e plotë ndahet nga pjesa thyesore me presje (pikë).

Tema “Sistemet e numrave” lidhet drejtpërdrejt me teorinë matematikore të numrave. Megjithatë, si rregull, nuk studiohet në kurset e matematikës shkollore. Nevoja për të studiuar këtë temë në një kurs të shkencave kompjuterike lidhet me faktin se numrat në kujtesën e kompjuterit përfaqësohen në sistemin e numrave binar, dhe sistemet heksadecimal ose oktal përdoren për të përfaqësuar nga jashtë përmbajtjen e memories dhe adresat e memories. Kjo është një nga temat tradicionale të një kursi të shkencave kompjuterike ose programimit. Duke qenë ngjitur me matematikën, kjo temë kontribuon edhe në edukimin themelor matematikor të nxënësve të shkollës.

Për një kurs të shkencave kompjuterike, interesi kryesor është njohja me sistemin e numrave binar. Përdorimi i sistemit binar të numrave në një kompjuter mund të konsiderohet në dy aspekte: 1) numërimi binar, 2) aritmetika binar, d.m.th. kryerja e njehsimeve aritmetike mbi numrat binarë.

Numërimi binar

Nxënësit ndeshen me numërimin binar në temën “Përfaqësimi i tekstit në kujtesën e kompjuterit”. Kur flasim për tabelën e kodimit, mësuesi duhet t'u thotë nxënësve se kodi i brendshëm binar i një simboli është numri i tij serial në sistemin e numrave binar. Për shembull, numri i shkronjës S në tabelën ASCII është 83. Kodi binar tetë-bit i shkronjës S është i barabartë me vlerën e këtij numri në sistemin e numrave binar: 01010011.

Llogaritjet binare

Sipas parimit të John von Neumann, një kompjuter kryen llogaritjet në sistemin e numrave binar. Në kuadrin e kursit bazë, mjafton të kufizohemi në marrjen në konsideratë të llogaritjeve me numra të plotë binarë. Për të kryer llogaritjet me numra shumëshifrorë, duhet të dini rregullat e mbledhjes dhe rregullat e shumëzimit të numrave njëshifrorë. Këto janë rregullat:

Parimi i ndërrueshmërisë së mbledhjes dhe shumëzimit funksionon në të gjitha sistemet e numrave. Teknikat e kryerjes së llogaritjeve me numra shumëshifrorë në sistemin binar janë të ngjashme me sistemin dhjetor. Me fjalë të tjera, procedurat e mbledhjes, zbritjes dhe shumëzimit me një "kolona" dhe pjesëtimi me "kënd" në sistemin binar kryhen në të njëjtën mënyrë si në sistemin dhjetor.

Le të shohim rregullat për zbritjen dhe pjesëtimin e numrave binarë. Operacioni i zbritjes është i anasjellta e mbledhjes. Nga tabela e mësipërme e mbledhjes vijojnë rregullat e zbritjes:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Këtu është një shembull i zbritjes së numrave shumëshifrorë:

Rezultati i marrë mund të kontrollohet duke shtuar diferencën me subtrahend. Rezultati duhet të jetë një numër në rënie.

Pjesëtimi është veprim i kundërt i shumëzimit.
Në asnjë sistem numrash nuk mund të pjesëtosh me 0. Rezultati i pjesëtimit me 1 është i barabartë me dividentin. Pjesëtimi i një numri binar me 10 2 e zhvendos vendin dhjetor një vend në të majtë, ngjashëm me pjesëtimin e një numri dhjetor me dhjetë. Për shembull:

Pjesëtimi me 100 e zhvendos pikën dhjetore 2 vende majtas, etj. Në kursin bazë, nuk keni nevojë të merrni parasysh shembuj kompleks të pjesëtimit të numrave binarë shumëshifrorë. Edhe pse studentët e aftë mund t'i përballojnë ato, duke kuptuar parimet e përgjithshme.

Përfaqësimi i informacionit të ruajtur në kujtesën e kompjuterit në formën e tij të vërtetë binare është mjaft i rëndë për shkak të numrit të madh të shifrave. Kjo i referohet regjistrimit të një informacioni të tillë në letër ose shfaqjes së tij në ekran. Për këto qëllime, është zakon të përdoren sisteme të përziera binare-oktal ose binare-heksadecimal.

Ekziston një marrëdhënie e thjeshtë midis paraqitjes binare dhe heksadecimal të një numri. Kur konvertohet një numër nga një sistem në tjetrin, një shifër heksadecimal korrespondon me një kod binar katërshifror. Kjo korrespondencë pasqyrohet në tabelën binare-heksadecimal:

Tabela heksadecimal binare

Kjo lidhje bazohet në faktin se 16 = 2 4 dhe numri i kombinimeve të ndryshme katërshifrore të numrave 0 dhe 1 është 16: nga 0000 në 1111. Prandaj shndërrimi i numrave nga heksadecimal në binar dhe anasjelltas kryhet me konvertim formal duke përdorur tabelën binare-heksadecimal.

Këtu është një shembull i konvertimit të binares 32-bit në heksadecimal:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Nëse jepet një paraqitje heksadecimal e informacionit të brendshëm, atëherë është e lehtë ta konvertosh atë në kod binar. Avantazhi i paraqitjes heksadecimal është se është 4 herë më i shkurtër se binar. Është e këshillueshme që nxënësit të mësojnë përmendësh tabelën binare-heksadecimal. Atëherë në të vërtetë për ta paraqitja heksadecimal do të bëhet ekuivalente me atë binar.

Në sistemin oktal binar, çdo shifër oktal korrespondon me një treshe të shifrave binare. Ky sistem ju lejon të zvogëloni kodin binar me 3 herë.

Shënimi

Shënimi - kjo është një mënyrë për të paraqitur numrat dhe rregullat përkatëse për të vepruar me numra. Sistemet e ndryshme të numrave që kanë ekzistuar në të kaluarën dhe që përdoren sot mund të ndahen në jopozicionale Dhe pozicionale. Shenjat që përdoren gjatë shkrimit të numrave, quhen në numra.

NË sistemet e numrave jopozicionalë kuptimi i një shifre nuk varet nga pozicioni i saj në numër.

Një shembull i një sistemi numrash jopozicional është sistemi romak (numrat romakë). Në sistemin romak, shkronjat latine përdoren si numra:

Shembulli 1. Numri CCXXXII përbëhet nga dyqind, tre dhjetëshe dhe dy njësi dhe është i barabartë me dyqind e tridhjetë e dy.

Në numrat romakë, numrat shkruhen nga e majta në të djathtë në rend zbritës. Në këtë rast, vlerat e tyre shtohen së bashku. Nëse një numër më i vogël shkruhet në të majtë dhe një më i madh në të djathtë, atëherë vlerat e tyre zbriten.

Shembulli 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

Shembulli 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

NË sistemet e numrave pozicional vlera e shënuar me një shifër në shënimin e një numri varet nga pozicioni i saj. Numri i shifrave të përdorura quhet baza e sistemit të numrave pozicional.

Sistemi numerik i përdorur në matematikën moderne është sistemi dhjetor pozicional. Baza e saj është dhjetë, sepse Çdo numër shkruhet duke përdorur dhjetë shifra:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Natyra pozicionale e këtij sistemi është e lehtë për t'u kuptuar duke përdorur shembullin e çdo numri shumëshifror. Për shembull, në numrin 333, tre të parat do të thotë treqind, e dyta - tre dhjetëra, e treta - tre njësi.

Për të shkruar numra në një sistem pozicional me një radix n Duhet të ketë alfabeti nga n numrat Zakonisht për këtë n < 10 используют n numrat e parë arabë dhe kur n> 10 shkronja u shtohen dhjetë numrave arabë. Këtu janë shembuj të alfabeteve të disa sistemeve:

Nëse duhet të tregoni bazën e sistemit të cilit i përket një numër, atëherë atij i caktohet një nënshkrim për këtë numër. Për shembull:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

Në një sistem numrash me bazë q (q-sistemi i numrave ary) njësitë e shifrave janë fuqi të njëpasnjëshme të një numri q. q njësitë e çdo kategorie formojnë një njësi të kategorisë tjetër. Për të shkruar një numër në q- Kërkohet sistemi i numrave ary q shenja (shifra) të ndryshme që përfaqësojnë numrat 0, 1, ..., q– 1. Shkrimi i një numri q V q-Sistemi i numrave ary ka formën 10.

Forma e zgjeruar e shkrimit të një numri

Forma e zgjeruar e numrit A quhet rekord në formën:

Për shembull, për një numër dhjetor:

Shembujt e mëposhtëm tregojnë formën e zgjeruar të numrave heksadecimal dhe binar:

Në çdo sistem numrash, baza e tij shkruhet si 10.

Si të kalojmë nga forma e shembur e shkrimit të një numri dhjetor në formën e tij të zgjeruar?

Përgjigju

Konsideroni numrin dhjetor 14351.1. Forma e tij e shembur e shënimit është aq e njohur sa nuk e vërejmë se si në mendjet tona kalojmë në një shënim të zgjeruar, duke shumëzuar shifrat e numrit me "peshat" e shifrave dhe duke shtuar produktet që rezultojnë:

1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1.

Kalimi nga një formë e shembur në një formë të zgjeruar

1. Shikoni numrin që ju është dhënë dhe përcaktoni numrin e shifrave të tij.

Shembull:
Shkruani 5827 në formë të zgjeruar.

Lexoni numrin me zë të lartë: pesë mijë e tetëqind e njëzet e shtatë.

Ju lutemi vini re se ky numër ka katër shifra. Si rezultat, forma e zgjeruar do të përmbajë katër terma.

2. Rishkruajeni numrin si shumën e shifrave të tij, duke lënë pak hapësirë midis tyre për të shumëzuar secilën shifër me një shifër të caktuar (më shumë për këtë më vonë).

Shembull:
5827 rishkruajeni kështu:

3. Shifrat e një numri janë të vendosura në pozicione të caktuara që u korrespondojnë (nga e djathta në të majtë) njësive, dhjetësheve, qindrave, mijërave etj. Përcaktoni emrin e pozicionit dhe kuptimin e tij për secilën shifër (nga e djathta në të majtë).

Shembull:
Meqenëse ky numër ka katër shifra, ju duhet të përcaktoni emrat e katër pozicioneve (nga e djathta në të majtë).

7 korrespondon me njësitë (vlera = 1 = 10 0).
2 korrespondon me dhjetëra (vlera = 10 = 10 1).
8 korrespondon me qindra (vlera = 100 = 10 2).
5 korrespondon me mijëra (vlera = 1000 = 10 3).

4. Shumëzoni çdo shifër të një numri të caktuar me vlerën e pozicionit të tij përkatës.

Shembull:
5 10 3 + 8 10 2 + 2 10 1 + 7 10 0

Fjalë kyçe:

shënim
numri
alfabeti
sistemi i numrave pozicional
bazë
formë e zgjeruar e shkrimit të një numri
formë e shembur e shkrimit të një numri
sistemi binar i numrave
sistemi i numrave oktal
sistemi heksadecimal i numrave

1.1.1. Informacione të përgjithshme rreth sistemeve të numrave

Oriz. 1.1.
Shenjat që përdoren për të shkruar numra në sisteme të ndryshme numrash

Në çdo sistem numrash, shifrat përdoren për të përcaktuar numrat e quajtur numra nyjesh; numrat e mbetur (algoritmik) fitohen si rezultat i disa veprimeve nga numrat e nyjeve.

Shembulli 1. Ndër babilonasit, numrat kryesorë ishin 1, 10, 60; në sistemin romak të numrave, numrat kyç janë 1, 5, 10, 50, 100, 500 dhe 1000, të shënuar përkatësisht I, V, X, L, C, D, M.

Sistemet e numrave ndryshojnë në zgjedhjen e numrave nodalë dhe metodat e gjenerimit të numrave algoritmik. Llojet e mëposhtme të sistemeve të numrave mund të dallohen:

sisteme unare;
sistemet jo-pozicionale;
sistemet e pozicionit.

Sistemi më i thjeshtë dhe më i lashtë është i ashtuquajturi sistem i numrave unar. Përdor vetëm një simbol për të shkruar çdo numër - një shkop, një nyjë, një nivel, një guralec. Gjatësia e një numri në këtë kodim lidhet drejtpërdrejt me vlerën e tij, gjë që e bën këtë metodë të ngjashme me paraqitjen gjeometrike të numrave në formën e segmenteve. Është sistemi unar ai që qëndron në themelin e aritmetikës dhe është ky sistem që ende i fut nxënësit e klasës së parë në botën e numërimit. Sistemet unare quhen gjithashtu sisteme etiketash.

Në sistemet e numrave jopozicionalë, numrat formohen duke shtuar numrat e nyjeve.

Shembulli 2. Në sistemin e numrave të lashtë egjiptian, numrat 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 u caktuan përkatësisht si më poshtë:

Të njëjtët numra në sistemin numerik romak përcaktohen si më poshtë: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Këtu, numrat algoritmikë fitohen duke mbledhur dhe zbritur numrat kryesorë, duke marrë parasysh rregullin e mëposhtëm: çdo shenjë më e vogël e vendosur në të djathtë të një më të madhe i shtohet vlerës së saj dhe çdo shenjë më e vogël e vendosur në të majtë të një më të madhe është zbritet prej saj.

Sistemi i numrave dhjetorë, të cilin jemi mësuar ta përdorim në jetën e përditshme, me të cilin jemi njohur që nga fëmijëria, në të cilin kryejmë të gjitha llogaritjet tona, është një shembull i një sistemi numrash pozicional. Në të, numrat algoritmikë formohen si më poshtë: vlerat e shifrave shumëzohen me "peshat" e shifrave përkatëse dhe shtohen të gjitha vlerat që rezultojnë. Kjo mund të shihet qartë në numrat e gjuhës ruse, për shembull: "treqind e pesë-dhjetë shtatë".

Baza e sistemit të numrave pozicional mund të jetë çdo numër natyror q > 1.

Alfabeti i sistemit dhjetor përbëhet nga numrat 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Alfabeti i një sistemi numrash pozicional arbitrar me bazë q është numrat 0, 1, .. ., q-1, secila prej të cilave mund të shkruhet duke përdorur një karakter unik; Shifra më e ulët është gjithmonë O.

Përparësitë kryesore të çdo sistemi numrash pozicional janë lehtësia e kryerjes së veprimeve aritmetike dhe numri i kufizuar i simboleve të nevojshme për të shkruar çdo numër.

a 1 - numrat që i përkasin alfabetit të një sistemi të caktuar numrash;

q 1 - "pesha" e shifrës i-të.

Shkrimi i një numri duke përdorur formulën (1) quhet formë e zgjeruar e shkrimit. Forma e shembur e shkrimit të një numri është paraqitja e tij në formën ±a n-1 a n-2 ...a 1 a 0 ,a -1 ...a -m 1

1 Në vijim, do të merren parasysh vetëm numrat e plotë pozitivë.

Shembulli 3. Konsideroni numrin dhjetor 14351.1. Forma e tij e shembur e shënimit është aq e njohur sa nuk e vërejmë se si në mendjet tona kalojmë në një shënim të zgjeruar, duke shumëzuar shifrat e numrit me "peshat" e shifrave dhe duke shtuar produktet që rezultojnë:

1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1 .

1.1.2. Sistemi binar i numrave

Sistemi i numrave binar është një sistem numrash pozicional me bazën 2. Për të shkruar numrat në sistemin e numrave binar përdoren vetëm dy shifra: 0 dhe 1.

Bazuar në formulën (1) për numrat binarë të plotë mund të shkruajmë:

Për shembull:

10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 19 10 .

Kjo formë e shkrimit "sugjeron" rregullin për shndërrimin e numrave binarë natyrorë në sistemin e numrave dhjetorë: është e nevojshme të llogaritet shuma e fuqive të dy që korrespondojnë me njësitë në formën e shembur të shkrimit të një numri binar.

Ne marrim nga formula (1") rregullin për konvertimin e numrave dhjetorë të plotë në sistemin e numrave binar.

Le të ndajmë

a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n-2 + ... + a 0 2 0 me 2.

Herësi do të jetë i barabartë me

a n-1 2 n-2 + ... + a 1 ,

dhe pjesa e mbetur do të jetë e barabartë me 0.

Le ta ndajmë përsëri herësin që rezulton me 2, pjesa e mbetur e pjesëtimit do të jetë e barabartë me 1.

Nëse vazhdojmë këtë proces të ndarjes, atëherë në hapin e n-të marrim një grup numrash:

a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n-1

të cilat përfshihen në paraqitjen binar të numrit origjinal dhe përkojnë me mbetjet kur ai pjesëtohet në mënyrë sekuenciale me 2. Gjatë shkrimit të numrit origjinal në sistemin e numrave binar, duhet pasur parasysh se mbetjet i kemi marrë nga pjesëtimi me 2. në rendin e kundërt të renditjes së shifrave përkatëse në paraqitjen binar të numrit origjinal.

Shembulli 4. Le ta kthejmë numrin dhjetor 11 në sistemin e numrave binar. Sekuenca e veprimeve të diskutuara më sipër (algoritmi i përkthimit) mund të përshkruhet si më poshtë:

Duke shkruar mbetjet e ndarjes në drejtimin e treguar nga shigjeta, marrim: 11 10 = 1011 2.

Shembulli 5. Nëse numri dhjetor është mjaft i madh, atëherë mënyra e mëposhtme e shkrimit të algoritmit të diskutuar më sipër është më e përshtatshme:

363 10 = 101101011 2

1.1.3. Sistemi i numrave oktal

Sistemi i numrave oktal është një sistem numrash pozicional me bazën 8. Për të shkruar numrat në sistemin e numrave oktal përdoren numrat e mëposhtëm: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Bazuar në formulën (1) për një numër të plotë oktal mund të shkruajmë:

Për shembull: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10

Kështu, për të kthyer një numër të plotë oktal në sistemin e numrave dhjetorë, duhet të shkoni në formën e tij të zgjeruar dhe të llogarisni vlerën e shprehjes që rezulton.

Për të kthyer një numër dhjetor të plotë në sistemin e numrave oktal, duhet të ndani në mënyrë sekuenciale numrin e dhënë dhe herësit e plotë që rezultojnë me 8 derisa të merrni një herës të barabartë me zero. Numri origjinal në sistemin e ri të numrave përpilohet duke regjistruar në mënyrë sekuenciale bilancet që rezultojnë, duke filluar nga ai i fundit.

Shembulli 6. Të konvertojmë numrin dhjetor 103 në sistemin e numrave oktal.

1.1.4. Sistemi i numrave heksadecimal

Baza: q = 16.

Alfabeti: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Këtu, vetëm dhjetë nga gjashtëmbëdhjetë shifrat kanë emërtimin e pranuar përgjithësisht 0,..., 9. Për të shkruar numra me ekuivalente sasiore dhjetore 10, 11, 12, 13, 14, 15, zakonisht pesë shkronjat e para të alfabetit latin janë të përdorura.

Kështu, hyrja 3AF16 do të thotë:

3AF 16 = 3 16 2 + 10 16 1 + 15 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.

Shembulli 7. Le ta kthejmë numrin dhjetor 154 në sistemin heksadecimal të numrave.

1.1.5. Rregulli për konvertimin e numrave dhjetorë të plotë në sistemin numerik me bazë q

Për të kthyer një numër dhjetor të plotë në një sistem numrash me bazë q:

pjesëtojmë në mënyrë sekuenciale numrin e dhënë dhe herësit e plotë që rezultojnë me bazën e sistemit të ri të numrave derisa të marrim një herës të barabartë me zero;
bilancet që rezultojnë, të cilat janë shifra të një numri në sistemin e ri të numrave, duhet të jenë në përputhje me alfabetin e sistemit të ri të numrave;
hartoni një numër në sistemin e ri të numrave, duke e shkruar atë duke filluar nga pjesa e fundit e marrë.

Le të bëjmë një tabelë të korrespondencës midis numrave dhjetorë, binar, oktalë dhe heksadecimalë nga 0 në 20.

Koleksioni i Unifikuar i Burimeve Dixhitale Arsimore (http://school-collection.edu.ru/) përmban një animacion interaktiv "Konvertimi i një numri dhjetor në një sistem tjetër numrash". Me ndihmën e tij, ju mund të vëzhgoni përkthimin e një numri të plotë arbitrar nga 0 në 512 në një sistem numrash pozicional, baza e të cilit nuk kalon 16.

Në laboratorin virtual "Digital Scales" që ndodhet atje, mund të mësoni një mënyrë tjetër për të kthyer numrat dhjetorë të plotë në sisteme të tjera numrash - metodën e dallimeve.

1.1.6. Aritmetika binare

Aritmetika e sistemit binar të numrave bazohet në përdorimin e tabelave të mëposhtme të mbledhjes dhe shumëzimit:

Shembulli 8. Tabela e mbledhjes binare është jashtëzakonisht e thjeshtë. Meqenëse 1 + 1 = 10, atëherë 0 mbetet në këtë shifër, dhe 1 transferohet në shifrën tjetër.

Shembulli 9. Operacioni i shumëzimit kryhet sipas skemës së zakonshme të përdorur në sistemin e numrave dhjetorë, me shumëzim sekuencial të shumëzuesit me shifrën pasardhëse të shumëzuesit.

Kështu, në sistemin binar, shumëzimi reduktohet në ndërrime të shumëzuesit dhe shtesa.

1.1.7. Sistemet e numrave "kompjuterike".

Teknologjia kompjuterike përdor një sistem numrash binar, i cili ofron një numër avantazhesh ndaj sistemeve të tjera:

numrat binarë përfaqësohen në një kompjuter duke përdorur elementë teknikë mjaft të thjeshtë me dy gjendje të qëndrueshme;
prezantimi i informacionit vetëm përmes dy gjendjeve është i besueshëm dhe rezistent ndaj zhurmës;
aritmetika binare është më e thjeshta;
Ekziston një aparat matematikor që ofron transformime logjike të të dhënave binare.

Shkëmbimi i informacionit ndërmjet pajisjeve kompjuterike kryhet duke transmetuar kode binare. Është e papërshtatshme që një person të përdorë kode të tilla për shkak të gjatësisë së tyre të madhe dhe uniformitetit vizual. Prandaj, specialistët (programuesit, inxhinierët) në disa faza të zhvillimit, krijimit dhe konfigurimit të sistemeve kompjuterike zëvendësojnë kodet binare me vlera ekuivalente në sistemet e numrave oktal ose heksadecimal. Si rezultat, gjatësia e fjalës origjinale zvogëlohet përkatësisht me tre dhe katër herë. Kjo e bën informacionin më të përshtatshëm për rishikim dhe analizë.

Duke përdorur burimin "Libri i problemeve ndërvepruese, seksioni "Sistemet e numrave" (http://school-collection.edu.ru/), mund të kontrolloni se sa mirë e keni zotëruar materialin e studiuar në këtë paragraf.

Më e rëndësishmja

Një sistem numrash është një sistem shenjash në të cilin miratohen rregulla të caktuara për shkrimin e numrave. Shenjat me të cilat shkruhen numrat quhen shifra dhe kombinimi i tyre quhet alfabeti i sistemit të numrave.

Një sistem numrash quhet pozicional nëse ekuivalenti sasior i një shifre në një numër varet nga pozicioni i tij në shënimin e numrit. Baza e një sistemi numrash pozicional është e barabartë me numrin e shifrave që përbëjnë alfabetin e tij.

Baza e sistemit të numrave pozicional mund të jetë çdo numër natyror q > 1.

Në një sistem numrash pozicional me bazë q, çdo numër mund të përfaqësohet si:

Një numër;

q - baza e sistemit të numrave;

dhe i janë numra që i përkasin alfabetit të një sistemi të caktuar numrash;

n - numri i shifrave të plota;

m - numri i shifrave thyesore të numrit;

q i - “pesha” e shifrës i-të.