Использование фильтров Винера. Оптимальный фильтр Винера

Результаты восстановления расфокусированных изображений

При расфокусировке искажающая система хорошо аппроксимируется цилиндрической функцией рассеяния точки (ФРТ) радиуса r.

Цилиндрическая ФРТ

Ниже приведены результаты восстановления трёх реальных расфокусированных изображений одного и того же объекта (страницы книги). Съёмка проводилась без штатива с расстояния примерно 50 см. Степень расфокусировки объектива вручную увеличивалась от кадра к кадру. Параметры фильтра Винера r и отношение сигнал/шум (SNR) подбирались вручную таким образом, чтобы обеспечить наилучшее визуальное качество восстановления. Для компенсации краевых эффектов производится плавное уменьшение яркости изображения на краях.

Изображение A

Результат восстановления изображения A. r = 53, SNR = 5200

Изображение B

Результат восстановления изображения B. r = 66, SNR = 4400

Изображение C

Результат восстановления изображения C. r = 102, SNR = 7100

Видно, что даже при существенной расфокусировке читаемость текста практически
полностью восстанавливается.

Результаты восстановления смазанных изображений автомобильных номеров

Смаз изображения возникает при взаимном движении камеры и объекта относительно друг друга во время экспозиции. Рассмотрим только тот случай, когда снимаемый объект линейно перемещается относительно неподвижной камеры. В таком случае искажающая система хорошо аппроксимируется ФРТ в виде отрезка, который направлен вдоль движения объекта. Такая ФРТ задаётся двумя параметрами: L длина и THETA угол смаза.

ФРТ при линейном смазе

Ниже представлено искажённое изображение двух легковых автомобилей, полученное при недостаточно короткой экспозиции, приведшей к появлению заметного смаза.

Искажённое изображение двух легковых автомобилей

Ниже представлены результаты восстановления номеров обоих автомобилей с помощью фильтра Винера. Значение параметров L, THETA и SNR подбирались таким образом, чтобы обеспечить наилучшее визуальное качество восстановления номера автомобиля.

Результат восстановления номера светлого автомобиля. L = 78, THETA = 15, SNR = 300

Результат восстановления номера тёмного автомобиля. L = 125, THETA = 0, SNR = 700

Видно, что даже при значительном смазе удаётся восстановить читаемость номеров
автомобилей.

Алгоритм фильтрации реализован на C++ OpenCV в виде консольного приложения.
Исходные коды можно найти по ссылкам ниже.

Литература

1. R.C. Gonzalez, R.E. Woods. Digital image fundamentals. 1987.
2. И.С. Грузман, В.С. Киричук, В.П. Косых, Г.И. Перетягин, А.А. Спектор. Цифровая обработка изображений в информационных системах. 2000.

Инверсная фильтрация обладает низкой помехоустойчивостью, потому что этот метод не учитывает зашумленность наблюдаемого изображения. Значительно менее подвержен влиянию помех и сингулярностей, обусловленных нулями передаточной функции искажающей системы, фильтр Винера , т.к. при его синтезе наряду с видом ФРТ используется информация о спектральных плотностях мощности изображения и шума.

Спектральная плотность сигнала определяется соотношением:

где – автокорреляционная функция.

Взаимная спектральная плотность сигнала определяется соотношением:

, (14)

где – функция взаимной корреляции.

При построении фильтра Винера ставится задача минимизации среднеквадратического отклонения обработанного изображения от предмета:

где – математическое ожидание. Преобразуя эти выражения можно показать, что минимум достигается, когда передаточная функция определяется следующим выражением:

.

Дальнейший анализ показывает, что восстановление изображения, формирование которого описывается выражением должно осуществляться с использованием следующего ОПФ восстанавливающего преобразователя:

Если шума на изображении нет, то спектральная плотность функции шума равна 0 и выражение, которое называют фильтром Винера, превращается в обычный обратный фильтр.

При уменьшении спектральной плотности мощности исходного изображения передаточная функция фильтра Винера стремится к нулю. Для изображений это характерно на верхних частотах.

На частотах, соответствующих нулям передаточной функции формирующей системы, передаточная функция фильтра Винера также равна нулю. Таким образом, решается проблема сингулярности восстанавливающего фильтра.

Рис. 1. Примеры фильтров

Примеры восстановления показывают, что фильтр Винера значительно лучше подавляет шумы. Осциллирующая помеха на результатах восстановления изображения вызвана краевыми эффектами. Очевидно, что ее уровень существенно меньше, чем при инверсной фильтрации, однако винеровский фильтр лишь частично компенсирует краевые эффекты, которые делают качество восстановления неудовлетворительным. Компенсацией краевых эффектов занимаются специально. Однако эти методы не являются оптимальными и не всегда обеспечивают эффективную компенсацию искажений и избавление от краевых эффектов одновременно.

Концепции оптимального линейного оценивания являются фундаментальными при любом рассмотрении адаптивных фильтров. Процесс адаптивной фильтрации включает два этапа проведения оценивания: 1) оценивание искомого выхода фильтра и 2) оценивание весов фильтра, необходимых для достижения вышеупомянутой цели. Второй из этих двух этапов необходим вследствие того, что в случае адаптивной фильтрации характеристики входного сигнала априорно не известны.

Наиболее широко распространенным типом структуры адаптивного фильтра является структура, в которой используется архитектура с конечной импульсной характеристикой (КИХ). Эти фильтры должны сходится к решению с помощью оптимального нерекурсивного устройства оценки, причем решение задается уравнением Винера – Хопфа.

Синтез КИХ и БИХ устройств оценки существенно зависит от определения стоимостной функции, в соответствии с которым качество оценивания характеризуется разностью между выходным сигналом устройства оценки и истинным параметром, подлежащим оцениванию:

Здесь e(n) – ошибка оценивания; x(n) – случайная величина, которую необходимо оценить и которая может быть детерминированной, а – оценка , выполненная с помощью нашей системы оценивания, причем

т.е. x(n) – линейная функция последовательности входных сигналов y(n) и набора весов фильтра h(n) . Наблюдаемую последовательность сигналов y(n) в общем виде можно представить как исходную последовательность x(n) , искаженную адаптивным белым шумом v(n) с дисперсией σ v 2:

. (5.26)

Наиболее употребительным при проведении оптимального оценивания является метод наименьших квадратов (МНК). Среднеквадратическая ошибка определяется как

Она минимизируется относительно весовых коэффициентов устройства оценки для получения оптимального оценивания по критерию МНК. Следует отметить, что можно применять не только описанную функцию стоимости. Альтернативными будут такие функции, как абсолютная величина ошибки и нелинейная пороговая функция. Такая функция ошибки используется в том случае, когда имеется приемлемый интервал ошибок (т.е. существует заданная допустимая ошибка). При использовании критерия наименьшего среднеквадратичного малые ошибки вносят меньший вклад, чем большие ошибки (в противоположность критерию абсолютной величины ошибки, который дает одинаковый вес для всех ошибок).

Рис. 5.9. Обобщенный нерекурсивный фильтр или устройство оценки.

В нерекурсивном устройстве оценки оценка x(n) определяется в виде конечного линейного полинома y(n) :

, (5.28)

где h k – отдельные веса в структуре нерекурсивного фильтра КИХ-типа, показанного на рис. 5.9. Выражение (5.28) можно переписать в матрично-векторной системе обозначений:

И ,

а верхний индекс Т обозначает транспонирование матрицы. Тогда функция среднеквадратичной ошибки принимает вид

Это выражение описывает стандартную поверхность квадратичной ошибки с одним единственным минимумом. Дифференцирование (5.30) по дает

. (5.31)

а допуская, что (5.31) равно нулю, имеем

(5.32)

Полагая, что весовой вектор и вектор сигнала Y(n) не коррелированы, получаем

Члены математического ожидания, входящие в (5.33), можно определить следующим образом:

P=E{x(n)Y(n)} – взаимная корреляция между входным сигналом и оцениваемым параметром;

R=E{Y(n)Y T (n)} – автокорреляционая матрица входной сигнальной последовательности.

Тогда (5.33) можно переписать в виде

P T =H T opt R. (5.34)

Уравнение (5.34) является общеизвестным уравнением Винера – Хопфа, которое дает оптимальное (по методу наименьших квадратов) винеровское решение для H.

Адаптивная обработка

сигналов

2012 / 13- й учебный год

Оптимальный

фильтр Винера

доц. Щетинин Ю.И.

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра систем сбора и обработки данных

Факультет автоматики и вычислительной техники

Кафедра систем сбора и обработки данных

Фильтр Винера

Цель лекции – рассмотрение фильтра Винера. Задача заключается в получении передаточной функции фильтра, обеспечивающего наилучшую по критерию минимума среднеквадратичной ошибки фильтрацию полезного сигнала, при воздействии на него аддитивного случайного шума. Адаптивные фильтры, являющиеся основным содержанием данного курса, можно рассматривать как приближенную, более простую для практики реализацию линейного оптимального фильтра Винера.

Задача впервые была решена независимо двумя учеными:

Американским ученым – математиком Н. Винером, опубликовавшим результат в 1949 г. в статье «The Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series with Engineering Applications», J. Wiley, New York, USA, 1949. Но сам результат был получен ранее в 1942 г. в отчете «MIT Radiation Laboratory Report».

Поэтому соответствующие оптимальные фильтры получили название фильтров Винера – Колмогорова. И такое название встречается во многих публикациях. Но чаще используется название «фильтры Винера». Видимо, причинами такой терминологии является то обстоятельство, что статья А. Колмогорова – это теоретическая работа ученого - математика. Для инженеров - практиков она оказалась мало доступной. Кроме того, русский язык менее распространен по сравнению с английским. Поэтому более широкую известность и понимание нашли результаты работы Н. Винера, хотя она была опубликована позже.

Общий вид фильтра Винера показан ниже на рис.

Опорный вход

Задача состоит в фильтрации сигнала y(k), искаженного аддитивным шумом n1(k). На фильтр поступают два сигнала:x k - (шум, помеха) иy k - (сумма полезного сигнала и шума). При этом суммаy k содержит две составляющие – полезный сигналs(k), который не коррелирован сx k и шумовую составляющуюn 1(k ), коррелированную (статистически взаимосвязанную) сx k . Фильтр Винера должен иметь такую системную функцию (частотную характеристику), которая обеспечивает на выходе оценку коррелированной части сигнала (шума)y k . Эта оценка вычитается из y k и выход (ошибка) фильтраe k – это наилучшая оценка полезного сигнала. Т.о., фильтр Винера обеспечивает оптимальную оценку полезного сигнала, смешанного с аддитивным шумом, по критерию минимума среднеквадратической ошибкиmin M{e 2 (k)}. Меньшее значение среднеквадратичной ошибки, чем в фильтре Винера, в любом линейном фильтре получить нельзя.

В тех случаях, когда на входе системы автоматического управления (см. рис. 9.16) действуют полезный сигнал и помеха которые являются коррелированными между собой стационарными случайными процессами с равными нулю средними значениями, оптимальная импульсная переходная функция системы удовлетворяющая условию физической реализуемости при и обеспечивающая минимум средней квадратической ошибки, должна удовлетворять следующему интегральному уравнению:

где корреляционная функция суммарного входного сигнала - взаимная корреляционная функция воспроизводимого выходного сигнала и суммарного входного сигнала

Уравнение (9.124) было получено Н. Винером в 1949 г. и называется интегральным уравнением Винера - Хопфа.

На основе решения уравнения (9.124) Н. Винером была предложена общая формула для нахождения реализуемой оптимальной частотной передаточной функции (оптимального фильтра Винера)

где - взаимная спектральная плотность воспроизводимого выходного сигнала и суммарного входного сигнала причем

Следует обратить внимание, на то, что в (9.125) нижний предел внешнего интеграла должен быть равен нулю.

Если корреляция между управляющим сигналом и помехой отсутствует, то при применении (9.125) следует учесть, что

На основе общей формулы (9.125) как частные случаи могут быть получены выражения для оптимальных частотных передаточных функций систем (оптимальных фильтров), осуществляющих при наличии помех воспроизведение полезного сигнала, статистическое упреждение (предсказание), дифференцирование и другие линейные преобразования управляющего сигнала в соответствии с (9.107).

Например, если рассматривают задачу воспроизведения полезного сигнала при наличии помех, то преобразующий оператор тогда

В этом случае (9.125) может быть представлено в более простом виде:

Чтобы найти числитель выражения (9.128), разложим на простые дроби:

где - полюсы расположенные в верхней полуплоскости; - полюсы расположенные в нижней полуплоскости; - нули .

Затем, отбрасывая слагаемые, имеющие полюсы в нижней полуплоскости, получим

где коэффициенты определяют по формуле

Формулы (9.129) и (9.131) относятся к тому случаю, когда отношение не имеет кратных полюсов.

Если это отношение имеет кратные полюсы, то методика определения остается прежней, но формулы разложения на простые дроби будут другими.

Частным, но весьма важным и распространенным на практике является случай, когда помеха является белым шумом со спектральной плотностью а спектральная плотность управляющего сигнала описывается дробно-рациональной функцией

где порядок превышает порядой

Полезно запомнить, что в этом случае оптимальная частотная передаточная функция может быть определена следующим образом:

Пример 9.7. Условия задали такие же, как в примере 9.6. Определить оптимальную частотную передаточную функцию системы.

Так как спектральная плотность помехи

а спектральная плотность полезного сигнала

то оптимальная частотная передаточная функция может быть определена по

Подставляя в выражение для значение

найденное в примере 9.6, получаем

Так как (см. пример 9.6)

то второе мнимое слагаемое равно нулю и поэтому оптимальная частотная передаточная функция системы

Найденное выражение для как и следовало ожидать, полностью совпадает с результатом, полученным в примере 9.6.

Основополагающие результаты Н. Винера были получены для случая, когда ко входу линейной системы приложены стационарные случайные воздействия с равными нулю средними значениями (центрированные случайные процессы).

В результате дальнейшего развития и обобщения методов синтеза динамических систем при случайных воздействиях были разработаны, например, методы синтеза при случайных воздействиях, приложенных в разных точках системы; методы синтеза при одновременном воздействии на систему регулярных и случайных сигналов; методы синтеза систем с ограниченной длительностью переходного процесса (с «конечной памятью»); методы синтеза систем, содержащих случайные параметры; методы синтеза систем при нестационарных случайных

воздействиях; методы синтеза нелинейных систем, в том числе с применением цифровых вычислительных машин, и т. д.

В последнее время при расчете систем, находящихся под воздействием случайных (в том числе и нестационарных) процессов, широкое применение нашла теория оптимальных фильтров, разработанная Р. Калманом и Р. Бьюси,