Za studente i školarce - knjige, matematika, topologija. Karakteristike topologije prstena

Skup se naziva topološkim prostorom kada je dana određena obitelj njegovih otvorenih podskupova koja zadovoljava aksiome. Postoji mnogo načina da se definira struktura topološkog prostora na jednom skupu: od diskretne do ne-Hausdorffove “anti-diskretne (= trivijalne) topologije”, spajajući sve točke zajedno.

Osnovni pojmovi teorije skupova (skup, funkcija, redni i kardinalni brojevi, aksiom izbora, Zornova lema itd.) nisu predmet opća topologija, ali ih aktivno koristi. Opća topologija uključuje sljedeće odjeljke: svojstva topoloških prostora i njihovih preslikavanja, operacije na topološkim prostorima i njihovim preslikavanjima, klasifikacija topoloških prostora.

Opća topologija uključuje teoriju dimenzija.

Priča

Opća topologija nastala je krajem 19. stoljeća. a samostalna matematička znanost postala je početkom 20. stoljeća. Temeljna djela pripadaju F. Hausdorffu, A. Poincaréu, P. S. Aleksandrovu, P. S. Urysonu, L. Brouweru. Konkretno, riješen je jedan od glavnih problema opće topologije - pronalaženje potrebnih i dovoljnih uvjeta za metričnost topološkog prostora.

Najbrži razvoj opće topologije kao samostalne grane znanja dogodio se sredinom 20. stoljeća i početkom 21. stoljeća. nego je to pomoćna disciplina koja svojim pojmovnim aparatom “opslužuje” mnoga područja matematike: topologiju, funkcionalnu analizu, kompleksnu analizu, teoriju grafova itd.

vidi također

Bilješke

• Pojam limita funkcije, uveden u opću topologiju, dopušta daljnju generalizaciju u okviru teorije pseudotopoloških prostora.

Književnost

• P. S. Aleksandrov, V. V. Fedorchuk, V. I. Zaitsev Glavne točke u razvoju teorijske topologije skupova
• Aleksandrov P. S. Uvod u teoriju skupova i opću topologiju - M.: Nauka, 1977
• Arkhangelsky A.V., Ponomarev V.I. Osnove opće topologije u problemima i vježbama - M.: Nauka, 1974
• Bourbaki N. Elementi matematike. Opća topologija. Osnovne strukture - M.: Nauka, 1968
• Kelly J.L. Opća topologija - M.: Nauka, 1968
• Engelking R. Opća topologija - M.: Mir, 1986
• Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Elementarna topologija. Udžbenik u problemima (ruski, engleski)

Zaklada Wikimedia. 2010.

• GULAG
• Topološki prostor

Pogledajte što je "Opća topologija" u drugim rječnicima:

OPĆA TOPOLOGIJA- grana geometrije posvećena proučavanju kontinuiteta i prijelaza do granice na onoj prirodnoj razini općenitosti, koja je određena prirodom ovih koncepata. Početni pojmovi O. t. su pojmovi topološkog prostora i kontinuiranog... ... Matematička enciklopedija

Opća algebra- (također apstraktna algebra, viša algebra) grana matematike koja proučava algebarske sustave (također ponekad zvane algebarske strukture), kao što su grupe, prstenovi, polja, djelomično uređeni skupovi, rešetke, kao i ... ... Wikipedia

Topologija- Ne brkati s topografijom. Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Topologija (značenja). Površina Möbiusove trake... Wikipedia

Topologija- (od grčkog topos mjesto i ... logika (Vidi ... Logia) dio geometrije posvećen proučavanju fenomena kontinuiteta (izraženog, na primjer, u konceptu granice). Raznolikost manifestacija kontinuiteta u matematici i širok raspon razne..... Velika sovjetska enciklopedija

Zariski topologija- Ovaj bi članak trebao biti Wikificiran. Molimo formatirajte ga prema pravilima oblikovanja članka. Zariskijeva topologija u algebarskoj geometriji je posebna topologija koja odražava algebarsku na ... Wikipedia

TOPOLOGIJA- grana matematike koja proučava svojstva figura (ili prostora) koja su sačuvana pod kontinuiranim deformacijama, kao što su rastezanje, sabijanje ili savijanje. Kontinuirana deformacija je deformacija figure u kojoj nema... ... Collierova enciklopedija

Zajednička točka (matematika)- Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi Opću točku. Zajednička točka je točka u topološkom prostoru čije se zatvaranje poklapa s cijelim prostorom. Topološki prostor koji ima zajedničku točku je nesvodiv... ... Wikipedia

topologija- Fizička ili logička distribucija mrežnih čvorova. Fizička topologija definira fizičke veze (linkove) između čvorova. Logička topologija opisuje moguće veze između mrežnih čvorova. U lokalnim mrežama tri najčešća... ... Vodič za tehničke prevoditelje

TOPOLOGIJA- u širem smislu, područje matematike koje proučava topologiju. svojstva dekomp. matematika. i fizički objekti. Intuitivno, do topološki To uključuje visokokvalitetna, stabilna svojstva koja se ne mijenjaju s deformacijom. matematika formalizacija ideje topološkog Svojstva... ... Fizička enciklopedija

Opća teorija sustava- (teorija sustava) znanstveni i metodološki koncept proučavanja objekata koji su sustavi. Usko je povezan sa sistemskim pristupom i predstavlja konkretizaciju njegovih principa i metoda. Prva verzija opće teorije sustava bila je... ... Wikipedia

knjige

• Opća topologija. Osnovne strukture, N. Bourbaki. Ovo novo izdanje učinilo je dosta veliki broj promjene detalja; Osim toga, cijeli plan Ch. I i II s ciljem što boljeg rasporeda gradiva prema općim idejama...

Dostupno sa standardnom ili naprednom licencom.

Topologija je skup pravila koja vam, zajedno s alatima i tehnologijama za uređivanje, omogućuju točnije modeliranje geometrijskih odnosa u geobazi podataka. U ArcGIS-u, topologija je osigurana kroz skup pravila koja definiraju kako su značajke raspoređene u geografskom prostoru i kroz skup alata za uređivanje koji se isto primjenjuju na značajke koje dijele geometriju. Topologija je pohranjena u geobazi podataka kao jedan ili više odnosa koji definiraju kako značajke iz jedne ili više klasa značajki dijele zajedničku geometriju. Prostorni objekti koji sudjeluju u topologiji pripadaju jednostavne klase prostorni objekti - topologija ne mijenja definiciju klase prostornih objekata, već sama služi kao opis prostornih odnosa tih objekata.

Zašto je potrebna topologija?

Dugo vremena je topologija bila ključni element GIS, koji služi za upravljanje podacima i kontrolu njihove cjelovitosti. Općenito, topološki podatkovni model upravlja prostornim odnosima predstavljajući prostorne objekte (točke, linije i značajke područja) kao dijagrame topoloških primitiva—čvorova, lica i rubova. Ove primitive, odnosi između njih i s objektima čije granice predstavljaju, određeni su preslikavanjem geometrije prostornih objekata u graf topoloških elemenata.

Topologija se prvenstveno koristi za kontrolu kvalitete podataka s prostornim odnosima, a također pomaže u kompilaciji podataka. U mnogim slučajevima topologija se također koristi za analizu prostornih odnosa—na primjer, za uklanjanje granica između susjednih poligona koji imaju iste vrijednosti atributa ili za stvaranje putanje kroz mrežu elemenata u topološkom grafu.

Topologija se također koristi za modeliranje integracije geometrije između višestrukih različite klase prostorni objekti. Ovo se ponekad naziva vertikalna integracija klasa značajki.

Kako objekti u topologiji koriste zajedničku geometriju

Značajke mogu dijeliti geometriju unutar topologije. Slijede primjeri susjednih značajki:

• Površinski objekti mogu koristiti zajedničke granice(poligonalna topologija).
• Linearni objekti mogu koristiti zajedničke krajnje točke(topologija bridova i čvorova).

Dodatno, zajednička geometrija može se dijeliti između klasa značajki koristeći topologiju baze geopodataka. Na primjer:

• Linijske značajke mogu imati zajedničke segmente.
• Površinski objekti mogu se kombinirati s drugim površinskim objektima. Na primjer, zemljište mogu se oblikovati u četvrtine.
• Linijske značajke mogu imati vrhove koji se podudaraju s točkastim značajkama (topologija čvorova).
• Točkasti objekti mogu se kombinirati s linijskim objektima (točkasti događaji).

Bilješka:

Parcelama se često upravlja pomoću jednostavnih klasa značajki i topologije baze geopodataka jer postoji skup klasa značajki potrebnih za modeliranje parcela, granica, kutnih točaka i kontrolne točke slijedite pravila podudaranja. Drugi način za upravljanje parcelama je korištenje paketne tkanine koja automatski osigurava te slojeve. Mreža parcela upravlja svojom internom topologijom, tako da nema potrebe za održavanjem topologije baze geopodataka ili izvođenjem bilo kakvog topološkog uređivanja na slojevima koje parcele koriste.

Ključna razlika između područja modeliranih kao jednostavnih predmeta, a parcela u strukturi parcele je da u parceli granice parcela (linije u strukturi parcele) nisu zajedničke - svaka parcela sadrži cijeli set granične crte; susjedne linije parcele preklapaju se i podudaraju jedna s drugom.

Međutim, tkanine parcela mogu sudjelovati u topologiji geobaze podataka; tamo granične linije koje se preklapaju imaju različite geometrije, linije su podijeljene, a topološki graf se konstruira kao i obično.

Dva pogleda: objekti i elementi topologije

Sloj poligona može se opisati i koristiti:

• Kao zbirke geografskih značajki (točaka, linija i poligona)
• Kao graf topoloških elemenata (čvorovi, bridovi, plohe i njihovi odnosi).

To znači da postoje dvije opcije za rad s prostornim objektima: u jednom slučaju radite s prostornim objektima koji imaju zadane koordinate, au drugom slučaju radite s objektima predstavljenim kao uređeni graf topoloških elemenata.

Evolucija pokrivenosti u topologije geobaze podataka

Bilješka:

Čitanje ovog odjeljka nije nužno za rad s topologijom geobaze podataka. No, pročitajte ovaj dio ako vas zanima povijest nastanka i razvoja topologije u geobazama podataka.

Podrijetlo pojmova "lučni čvor" i "georelacijski"

Pokrivanje ArcInfo radnih stanica ima dugu povijest korištenja i pokazalo je važnost topologije u osiguravanju integriteta prostornih podataka.

Model podataka o pokrivenosti sadrži sljedeće elemente.

Granice značajki i točke u pokrivenosti pohranjene su u nekoliko glavnih datoteka kojima upravlja ArcInfo Workstation. Datoteka "ARC" sadržavala je linearnu ili poligonalnu graničnu geometriju u obliku topoloških rubova zvanih "lukovi". Datoteka "LAB" sadržavala je točkaste značajke koje su korištene kao početne točke za konstrukciju poligona ili kao pojedinačne točkaste značajke kao što su bušotine. Ostale datoteke korištene su za definiranje i pohranjivanje topoloških odnosa između rubova poligona.

Na primjer, "PAL" datoteka ("Polygon-arc list") sadržavala je redoslijed i smjer lukova svakog poligona. Koristeći softversku logiku u ArcInfo Workstation, koordinate svakog poligona su sastavljene za potrebe prikaza, analize i upita podataka. Uređeni popis sadržan u PAL datoteci korišten je za pronalaženje i sastavljanje koordinata rubova, koje su pohranjene u ARC datoteka. Poligoni su se sklapali po potrebi tijekom rada.

Model premaza imao je nekoliko prednosti:

• Koristila se jednostavna struktura za pohranu topologije.
• Omogućio je digitalizaciju i spremanje lukova jednom, koje je zatim koristilo više prostornih objekata.
• Mogao bi prikazati vrlo velike poligone (s tisućama koordinatnih točaka), jer bili su predstavljeni kao skup rubova (tj. "lukovi")
• Struktura pohrane topologije pokrivenosti bila je intuitivna. Njegove datoteke fizičke topologije lako su razumjeli korisnici ArcInfo Workstation.

Prethodne verzije:

Zanimljiva povijesna činjenica: kombinacija Arca i Info table managera rodila je naziv proizvoda ArcInfo Workstation, iz kojeg su se razvili svi kasniji Arc proizvodi u Esri obitelji proizvoda - ArcInfo, ArcIMS, ArcGIS itd.

Premazi su također imali nekoliko nedostataka:

• Neke su operacije bile spore zbog potrebe sastavljanja velikog broja objekata u hodu. Ovo uključuje sve poligone i kompozitni objekti, kao što su regije (pojam koji označava poligone sastavljene od više dijelova) i rute (kompozitne linearne značajke).
• Topološke značajke (kao što su poligoni, regije i rute) nisu bile spremne za upotrebu sve dok nije izgrađena topologija pokrivenosti. Ako su rubovi uređeni, cijela topologija zahtijeva ponovnu izgradnju. (Napomena: djelomična obrada je na kraju korištena, dopuštajući da se ponovna izgradnja samo promijenjenih dijelova topologije pokrivenosti). U osnovi, prilikom uređivanja topoloških značajki bilo je potrebno koristiti algoritam geometrijske analize za ponovnu izgradnju topoloških odnosa, bez obzira na korišteni model pohrane podataka.
• Pokrivanja nisu dopuštala uređivanje za više korisnika. Budući da je postojala potreba da se graf topologije uskladi s geometrijom značajki, samo je jedan korisnik mogao uređivati ​​topologiju odjednom. Korisnici su morali rastaviti prilog na dijelove za istovremeno uređivanje. To je omogućilo pojedinim korisnicima da “zatvore” i uređuju svoj dio podataka. Kako bi koristili cijeli skup podataka, korisnici su morali kopirati njihove dijelove u složeni podatkovni sloj. Drugim riječima, podijeljeni skupovi podataka koje su uredili nisu se mogli odmah upotrijebiti u njima dijeljenje. Prvo su se morali preobratiti, što je značilo dodatno vrijeme i rad.

Datoteke oblika i jednostavna pohrana geometrije

U ranim 1980-ima, pokrivenost je viđena kao značajno poboljšanje u odnosu na zastarjele sustave poligona i linija, u kojima su poligoni pohranjeni u zatvorenim petljama. U ovim naslijeđeni sustavi, pohranjene su sve koordinate prostornih objekata zajedno s geometrijom tih objekata. Prije pokrivanja i ArcInfo Workstation, korištene su ove jednostavne strukture poligona i linija. Ova struktura podataka bila je jednostavna, ali je imala značajan nedostatak„dva puta digitalizirane granice“. Oni. u geometriji svakog poligona koji je imao zajedničke bridove pohranjene su dvije kopije koordinata za susjedna područja. Glavni nedostatak bio je taj softver GIS tog vremena nije mogao upravljati cjelovitošću zajedničkih rubova. Osim toga, troškovi pohranjivanja informacija bili su vrlo visoki; svaki bajt je morao biti ušteđen. Početkom 1980-ih tvrdi disk od 300 MB bio je veličine perilica za rublje i košta 30.000 dolara. Pohranjivanje dva ili više skupova koordinata bilo je skupo, a izračuni su oduzimali mnogo računalnog vremena. Stoga su postojale stvarne prednosti korištenja topologije premaza.

Sredinom 1990-ih, kako su se smanjivali troškovi skladišnog prostora i povećavala računalna snaga, porastao je interes za jednostavne geometrijske strukture. Istodobno, skupovi GIS podataka postali su dostupniji, a korisnici GIS-a počeli su prelaziti s primarne kompilacije podataka na njihovu obradu i analizu.

Korisnici su željeli poboljšanu izvedbu pri radu s podacima (na primjer, ne moraju čekati izračun geometrije poligona, što je bilo potrebno u ovaj trenutak, ali samo uzmite koordinate poligona što je brže moguće). Dostupnost cijele geometrije značajki pokazala se učinkovitijom. Tisuće GIS korisnika stvorilo je veliki iznos dostupne skupove podataka.

Otprilike u to vrijeme Esri je razvio i objavio format shapefile. Shapefiles je koristio vrlo jednostavan model za pohranu koordinata prostornih objekata. Svaki shapefile predstavljao je jednu klasu obilježja (točka, linija ili poligon) i koristio jednostavan model za pohranu koordinata obilježja. Datoteke oblika lako su stvorene iz pokrivenosti i formata drugih GIS-ova. Brzo su postali de facto format, proširili se i koriste se i danas.

Nekoliko godina kasnije, ArcSDE je ponudio jednostavan model za pohranu podataka u tablice relacijske baze podataka podaci. Tablica značajki može pohraniti jednu značajku kao niz, zajedno s informacijama o njezinoj geometriji kao i atributima.

Primjer takve tablice koja sadrži poligone stanja prikazan je u nastavku. Svaka linija predstavlja jedno stanje. Stupac oblika sadrži geometriju poligona svakog stanja.

Ovaj jednostavan model prostorni objekti su prikladni za SQL procesor. Zahvaljujući korištenju relacijskih baza podataka, povećanje količine podataka i broja korisnika nije dovelo do pada performansi. Počeli smo koristiti RDBMS za upravljanje GIS podacima.

Shapefileovi su postali sveprisutni i, zahvaljujući ArcSDE-u, ovaj mehanizam za pohranjivanje jednostavne geometrije postao je primarni model za pohranjivanje prostornih objekata u RDBMS-ovima. (U nastojanju da osigura interoperabilnost podataka, Esri je odigrao vodeću ulogu u stvaranju OGC i ISO specifikacije jednostavne geometrije.)

Pohranjivanje jednostavnih objekata imalo je jasne prednosti:

• Potpuna geometrija svake značajke sadržana je u jednom retku. Nije potrebna montaža.
• Struktura podataka (fizički sklop) je vrlo jednostavna, osim toga, nije samo brza, već i skalabilna.
• Lakoća pisanja sučelja.
• Jednostavnost interakcije. Omogućuje vam jednostavno stvaranje pretvarača za prijenos podataka u jednostavan geometrijski format iz velikog broja drugih formata i obrnuto. Shape datoteke naširoko su korištene kao format za pohranu podataka i kao format za razmjenu.

Jedan od njihovih nedostataka bila je nemogućnost korištenja topologije za održavanje integriteta podataka pri radu jednostavnih predmeta. Kao rezultat toga, korisnici su koristili jedan podatkovni model za uređivanje i pohranjivanje (pokrivanja), a drugi za obradu (shapefiles ili ArcSDE slojevi).

Korisnici su počeli koristiti ovaj hibridni pristup uređivanju i radu s podacima. Na primjer, korisnici mogu uređivati ​​podatke u pokrivenosti, CAD datotekama ili drugim formatima. Zatim su mogli pretvoriti podatke u shapefile za kartografsku upotrebu. Dakle, iako je struktura jednostavnih objekata postala prikladan format izravnu upotrebu, nije podržavao topološko uređivanje i upravljanje zajedničkom geometrijom. Baze podataka za izravnu upotrebu mogle su koristiti jednostavnu strukturu, ali se za uređivanje koristio drugačiji topološki oblik. To je omogućilo prednosti pri radu s podacima. No, u isto vrijeme, podaci su bili zastarjeli i trebalo ih je ažurirati. Ova shema je funkcionirala, ali je došlo do kašnjenja u ažuriranju informacija. Zaključak – nema topologije.

GIS je zahtijevao mehanizam za pohranu značajki koji je koristio jednostavnu geometriju značajki i dopuštao korištenje topologije u kombinaciji s tom strukturom podataka. To je značilo da korisnici konačno mogu kombinirati prednosti oba pristupa - transakcijski podatkovni model koji omogućuje topološke upite, zajedničko uređivanje i kontrolu integriteta podataka te jednostavan, visoko skalabilan mehanizam za pohranu podataka koji se temelji na korištenju jednostavne geometrije objekata.

Ovaj podatkovni model pokazao se kao jednostavan, brz i učinkovit. Ona dopušta izravno uređivanje I simultani rad bilo koji broj korisnika.

Topološki radni prostor u ArcGIS-u

Zapravo, topologija uključuje više od samog modela pohrane podataka. Topologija uključuje:

• Potpuni model podataka (objekti, pravila integriteta, alati za uređivanje i provjeru, topološko-geometrijski mehanizam koji vam omogućuje obradu skupova podataka bilo koje veličine i složenosti, kao i skup topoloških operatora, metode prikaza i alate za izgradnju upita).
• Format otvorene pohrane koristi skup standardnih zapisa za predstavljanje jednostavnih objekata i topološko sučelje za konstruiranje upita, traženje elemenata topologije i obradu prostornih odnosa između njih (tj. pronalaženje susjednih regija i njihovih zajedničkih rubova, kretanje duž povezanih linija).
• Sposobnost interakcije s prostornim objektima (točke, linije i poligoni), topološkim elementima (čvorovi, rubovi, lica) i njihovim odnosima.
• Mehanizam koji može podržati:
  • Vrlo veliki skupovi podataka koji sadrže milijune značajki.
  • Istodobno uređivanje i obrada od strane više korisnika.
  • Geometrija značajki spremna za korištenje, uvijek dostupna.
  • Održavati topološki integritet i ponašanje.
  • Brz sustav koji se skalira ovisno o broju korisnika i urednika.
  • Fleksibilan i jednostavan sustav.
  • Sustav koji koristi prednosti mehanizma SQL relacijski DBMS i transakcijsko okruženje.
  • Sustav koji podržava višekorisničko uređivanje, duge transakcije, povijesno arhiviranje i replikaciju.

U topologiji geobaze podataka, proces provjere valjanosti određuje zajedničke koordinate značajki (i unutar iste klase značajki i između klasa značajki). Algoritam klasteriranja osigurava točno podudaranje opće koordinate. Globalne koordinate pohranjuju se kao dio jednostavne geometrije svake značajke.

To omogućuje brzo i skalabilno pretraživanje topoloških elemenata (čvorova, rubova i ploha). Dodatna pogodnost radi sa SQL motorom RDBMS-a i upravlja transakcijama.

Prilikom uređivanja ili ažuriranja podataka, nove značajke mogu se koristiti odmah nakon što su dodane. Ažurirana područja karte, nazvana "promijenjena područja", označena su u svakoj klasi značajki. U svakom trenutku korisnici mogu izvršiti topološku analizu i provjeriti promijenjena područja. Ponovna izgradnja je potrebna samo za topologiju promijenjenih područja, smanjujući vrijeme obrade.

Kao rezultat toga, topološki primitivi (čvorovi, rubovi i lica), odnosi između njih i značajke kojima pripadaju mogu se brzo otkriti i sastaviti. Ova topologija ima sljedeće prednosti:

• Za pohranjivanje prostornih objekata koristi se jednostavna geometrija. Model pohrane je otvoren, učinkovit i prilagodljiv velikim količinama i više korisnika.
• Jednostavni objektni podatkovni model je transakcijski i višekorisnički. Prethodni modeli topoloških podataka nisu skalirani i imali su ozbiljna ograničenja pri radu s više korisnika.
• Topologija geobaze podataka u potpunosti podržava sve mogućnosti dugih transakcija i verzioniranih podataka geobaze podataka. Topologija baze geopodataka ne mora se raščlanjivati ​​za višekorisnički rad, a korisnici mogu istovremeno uređivati ​​bazu podataka topologije—čak i vlastite verzije istih značajki.
• Klase značajki mogu sadržavati vrlo veliki broj objekata (stotine milijuna), dok se njihova produktivnost ne smanjuje.
• Ovo topološko rješenje je aditivno. Tipično, možete dodati topologiju postojećem prostorno povezanom dijagramu klase značajki. Ili ćete morati ponovno izraditi dijagram koji ima mogućnost korištenja topoloških primitiva i u njega učitati postojeće prostorne podatke.
• Za uređivanje geometrije i rad s podacima u pravilu je dovoljan jedan model.
• To je omogućeno korištenjem Open Geospatial Consortiuma i ISO specifikacija za pohranjivanje geometrije svih značajki.
• Modeliranje podataka je prirodnije jer... temelji se na prilagođenim značajkama (kao što su parcele, ulice, tipovi tla i slivovi) umjesto na topološkim primitivima (čvorovi, rubovi i lica). Korisnici počinju djelovati u smislu integriteta podataka u odnosu na stvarne objekte, umjesto da nadziru integritet topoloških primitiva. Na primjer, kako bi se te parcele trebale ponašati? Ovaj pristup pojednostavljuje modeliranje svih vrsta geografskih obilježja. Pojednostavljuje razumijevanje stvarnih objekata: ulica, tipova tla, popisnih područja, željezničkih tračnica, šuma, krajolika itd.
• Topologija baze geopodataka pruža isti informacijski sadržaj kao i prethodne verzije topologije — bilo da pohranjujete topološki linijski grafikon i izračunavate geometriju značajki (kao u pokrivenosti) ili pohranjujete geometriju značajki i izračunavate topologiju i elemente povezivanja (kao u geobazama podataka). geopodaci).

U slučajevima kada korisnici više vole pohranjivati ​​topološke primitive, mogu izraditi tablice i u njih smjestiti topologiju i odnose za razne analitičke operacije i razmjenu podataka (na primjer, ako trebaju smjestiti informacije u Oracle Spatial, koji pohranjuje tablice topoloških primitiva ).

S praktičnog gledišta, topološko rješenje ArcGIS funkcionira. Skalira se bez gubitka performansi, kako u smislu količine podataka tako i broja korisnika. Omogućuje vam korištenje širokog raspona alata za provjeru valjanosti i uređivanje za izgradnju i manipuliranje topologijom u geobazi podataka. Uključuje snažne i fleksibilne alate za modeliranje podataka koji korisnicima omogućuju stvaranje sustava prilagođenih korisniku koji rade i na razini datoteke i na razini relacijske baze podataka i koriste neograničeni broj shema.

Opća topologija zauzima posebno mjesto među područjima topologije. Trenutačno je opća topologija dosegla onu najprirodniju razinu općenitosti, koja omogućuje da se topološki principi, pojmovi i konstrukcije iznesu s najvećom transparentnošću te da se ujedno osigura njihova najšira primjenjivost u drugim granama matematike.

Opća topologija je grana matematike koja proučava opća geometrijska svojstva koja su sačuvana pod kontinuiranim preslikavanjem i preslikavanjem jedan na jedan.

Zajedno s algebrom, opća topologija čini osnovu moderne metode teorije skupova u matematici.

Aksiomatski određeni objekti proučavanja opće topologije su prostori i njihova kontinuirana preslikavanja. Topološki prostor shvaća se kao skup objekata proizvoljne prirode, nazvanih točkama, u kojima je identificiran određeni sustav podskupova, nazvanih otvoreni skupovi prostora. Ovaj sustav mora uključivati ​​sav prostor i prazan skup te sadržavati, uz bilo koja dva skupa, njihovo sjecište i, zajedno s bilo kojim skupom skupova, skup koji je njihova unija.

Na razvoj opće topologije značajno je utjecalo uvođenje P.S. Aleksandrovljev koncept kompaktnosti. Aleksandrov i Uryson stvorili su teoriju kompaktnih prostora. Bikompaktni prostori jedan su od glavnih objekata istraživanja opće topologije i trenutno su u središtu pažnje matematičara. Oni se igraju važna uloga u teoriji dimenzija, teoriji homologije i drugim dijelovima topologije, a također su od temeljne važnosti u funkcionalnoj analizi. Svaki potpuno pravilan prostor je podskup nekog kompaktnog Hausdorffovog prostora.

Trenutno je najčešća definicija bikompaktnog prostora sljedeća: prostor se naziva bikompaktnim ako se iz bilo kojeg otvorenog pokrivanja tog prostora može izabrati konačan broj skupova koji pokrivaju.

U literaturi se mogu naći i druge klase prostora srodne bikompaktnim, na primjer, pseudokompaktni, kvazikompaktni. Bikompaktni prostori zauzimaju glavno mjesto među njima i igraju istu ulogu u općoj topologiji kao i kompaktni prostori u klasi metrizabilnih prostora.

Štoviše, opća topologija je posvećena proučavanju koncepata kontinuiteta, kao i drugih koncepata kao što su kompaktnost ili odvojivost, kao takvi, bez pribjegavanja drugim alatima.

4. Topološki prostor

Topološki prostor je glavni predmet proučavanja topologije. Koncept topološkog prostora može se promatrati kao generalizacija koncepta geometrijskog lika, u kojem apstrahiramo od svojstava poput veličine ili točnog položaja dijelova lika u prostoru, i usredotočujemo se samo na relativne položaje dijelova . Topološki prostori nastaju prirodno u gotovo svim granama matematike.

Dakle, topološki prostor je definiran kroz sustav otvorenih skupova pomoću aksioma. Naravno, sam ovaj koncept temelji se na preliminarnim općim konceptima "prostora" i "otvorenog skupa".

U modernoj matematici prostor se definira kao neki apstraktni skup proizvoljnih objekata za koje je zadana određena operacija koja provodi poznati odnos između elemenata prostora. Osnova za izgradnju teorije određenog apstraktnog prostora je, s jedne strane, opći matematički koncept skupa, koji se shvaća kao proizvoljna zbirka bilo kojih objekata (elemenata), i, s druge strane, strukturni odnosi uspostavljeni u određeni put između tih objekata.

Neka je dan skup X. Skup T njegovih podskupova naziva se topologija na X ako su zadovoljena sljedeća svojstva:

Svi X i prazan skup pripadaju T,

Unija proizvoljne obitelji skupova koji pripadaju T pripada T,

Presjek dvaju skupova koji pripadaju T pripada T.

Skup X zajedno s na njemu zadanom topologijom T naziva se topološki prostor. Podskupovi X koji pripadaju T nazivaju se otvoreni skupovi.

Potreba za razvojem općeg pristupa pojmu prostora pojavila se dosta davno - krajem prošlog i početkom ovog stoljeća. U vezi s razvojem teorije funkcija realne varijable i funkcionalna analiza Pojavili su se i drugi objekti - funkcijski prostori i njihovi podskupovi - čije proučavanje također zahtijeva koncepte i metode opće topologije.

Trenutno se topološke metode istraživanja koriste ne samo u analizi, već iu mnogim drugim granama matematike. Uloga topoloških metoda u diferencijalnim jednadžbama je značajna. Kao rezultat sinteze ideja opće topologije i funkcionalne analize nastala je teorija topoloških vektorskih prostora. Apstraktni topološki prostori mogu nastati na neočekivane načine i koristiti se u velikom broju područja matematike.

Danas općeprihvaćen koncept topološkog prostora nije nastao odmah. Metrički prostori koji su se pojavili ranije, a koji su do danas važan predmet proučavanja opće topologije, nisu mogli zadovoljiti matematičare.

Prve prilično općenite definicije topološkog prostora dane su u djelima Frecheta, Riesza i Hausdorffa. Konačnu definiciju topološkog prostora formulirali su poljski matematičar K. Kuratowski i P.S. Aleksandrov.

Da bi se definirala određena topologija Ω na skupu X, nema potrebe izravno naznačiti sve podskupove obitelji Ω. Postoji još jedan vrlo prikladan način za konstruiranje topologije pomoću koncepta baze.

Zbirka β otvorenih skupova u prostoru (X,Ω) naziva se baza topologijeΩ ili baza prostora(X,Ω), ako se svaki neprazan otvoreni skup topološkog prostora (X,Ω) može prikazati kao unija određene kolekcije skupova koji pripadaju β. Konkretno, X je jednako uniji svih skupova u bazi.

Teorem 1.9.

Skup β otvorenih skupova topologije Ω je osnova ove topologije ako i samo ako za svaki otvoreni skup U Ω i za svaku točku x U postoji skup V β takav da je x V U.

Dokaz. Neka je β baza topologije Ω. U je proizvoljan otvoreni skup iz familije Ω, x je proizvoljna točka skupa U. Tada je po definiciji baze skup , gdje je određena familija skupova koja pripada kolekciji β. Budući da je x U, tada postoji indeks α 0 J takav da je x V α0 β, i V α0 U. Obrnuto, ako je U proizvoljan otvoren skup iz obitelji Ω, tada za bilo koju točku x U postoji skup V x β takav da je x V x U. Izravno se provjerava da se unija svih takvih V x podudara s U: . Dakle, svaki otvoreni skup iz obitelji Ω je unija neke kolekcije skupova koji pripadaju β. To znači da je β, po definiciji, baza topologije Ω.

Teorem je dokazan.

Sustav podskupova S α od X naziva se premazani X ako se unija podudara s X. Pokrov S se zove otvoren, ako je svaki S α otvoren u prostoru (X,Ω).

Konkretno, baza prostora (X,Ω) je otvoreni pokrov od X. Međutim, ne može svaki pokrov od X poslužiti kao baza neke topologije na X.

Postavlja se pitanje: ako postoji neko pokrivanje X, pod kojim se uvjetima može konstruirati topologija na X tako da ta obitelj bude osnova te topologije? Sljedeći teorem daje odgovor na ovo pitanje.

Teorem 1.10.

Neka . Pokrivanje β = je baza neke topologije na X ako i samo ako za svako V α od β, svako V β od β i za svaku točku x V α V β postoji V γ β tako da x V γ (V α V β).

Dokaz. Neka je β = baza prostora (X,Ω). Kako je β Ω, onda je, prema aksiomu c) topološkog prostora, presjek bilo koja dva skupa iz kolekcije β otvoren skup, tj. V α V β Ω. Dakle, prema teoremu 1.9, za bilo koju točku x V α V β postoji V γ β tako da je x V γ (V α V β).

Obrnuto, neka pokrivanje β zadovoljava uvjete iz teorema. Definirajmo familiju Ω koja se sastoji od praznog skupa i svih mogućih unija skupova iz β. Pokažimo da konstruirana obitelj Ω zadovoljava aksiome a) - c) topološkog prostora. Aksiom a) je očit: prazan skup je uključen u Ω po uvjetu, a skup pripada Ω kao uniji svih skupova iz β. Provjerimo aksiom b). Neka je familija skupova, gdje je U α Ω za bilo koji indeks α iz J. Svaki skup U α je unija neke kolekcije skupova iz β: gdje je V α,γ β za svaki indeks α J i svaki indeks γ G. Zatim, tj. skup je unija neke kolekcije skupova iz β i, prema tome, pripada obitelji Ω. Za provjeru aksioma c) dovoljno je pokazati da je presjek bilo koja dva skupa U iz Ω. pripada Ω. Predstavimo skupove U u sljedećem obliku: gdje je V γ β za svaki γ G, δ β za svaki δ D. Razmotrimo sjecište . Najprije se uvjerimo da svaki skup oblika V γ δ pripada Ω. Zaista, za bilo koju točku x V γ δ, prema uvjetima teorema, postoji skup W x β takav da je x W x V γ δ . Stoga je skup V γ δ = . Rezultirajuća jednakost pokazuje da je skup V γ δ Ω unija određene obitelji skupova iz kolekcije β. Stoga je skup U unija određene obitelji skupova koji pripadaju Ω, pa prema tome, prema aksiomu b), U Ω. Dakle, obitelj Ω zadovoljava aksiome a) - c) topološkog prostora, tj. je topologija na X, a pokrivanje β služi kao baza za Ω, po definiciji.

Teorem je dokazan.

Primijetite da dokaz teorema 1.10 ukazuje na metodu za konstruiranje topologije na X ako je dana pokrivenost β koja zadovoljava uvjete teorema.

Je li moguće konstruirati topologiju na X ako je dana proizvoljna pokrivenost? Odgovor na ovo pitanje daje sljedeći teorem.

Teorem 1.11.

Neka je proizvoljna pokrivenost skupa X. Tada familija svih mogućih konačnih presjeka elemenata iz S tvori bazu neke topologije na X.

Dokaz. Provjerimo da pokrivanje gdje je K proizvoljni konačni podskup od I zadovoljava osnovni kriterij. Napominjući da je presjek bilo koja dva elementa obitelji β opet element obitelji β, primjenjujemo teorem 1.10: za bilo koje skupove U α, V β koji pripadaju β, postavljamo V γ = V α V β. Tada je V γ β kao sjecište konačnog broja skupova iz S. Dakle, za bilo koju točku x V α V β vrijedi: x V γ = (V α V β). Dakle, prema teoremu 1.10, β je baza neke topologije na X.

Teorem je dokazan.

Poziva se obitelj γ otvorenih podskupova prostora (X,Ω). predbazna topologijaΩ ako obitelj β, koja se sastoji od svih mogućih konačnih sjecišta skupova iz γ, čini osnovu topologije Ω.

Teorem 1.11 tvrdi da je svaki pokrov od X predbaza neke topologije na X.

Očito je da je svaka baza prostora ujedno i njegova predbaza. Tipično, topologija ima mnogo baza i predbaza. Prednost se može dati jednom ili drugom od njih, ovisno o problemu koji se rješava.