Odjeljak Fuzzy Logic Toolbox. S.D.Shtovba

U našoj neformalnoj raspravi o konceptu lingvističke varijable u §1, naveli smo da se lingvistička varijabla razlikuje od numeričke varijable po tome što njezine vrijednosti nisu brojevi, već riječi ili rečenice na prirodnom ili formalnom jeziku. Budući da su riječi općenito manje precizne od brojeva, koncept lingvističke varijable omogućuje aproksimaciju fenomena koji su toliko složeni da se ne mogu opisati uobičajenim kvantitativnim terminima. Konkretno, neizraziti skup, koji je ograničenje povezano s vrijednostima lingvističke varijable, može se smatrati kolektivnom karakteristikom različitih podklasa elemenata univerzalnog skupa. U tom smislu uloga nejasni skupovi slično ulozi koju imaju riječi i rečenice u prirodnom jeziku. Na primjer, pridjev Lijep odražava kompleks karakteristika izgleda pojedinca. Ovaj pridjev se također može smatrati nazivom neizrazitog skupa, koji je ograničenje nametnuto neizrazitom varijablom Lijep. S ove točke gledišta pojmovi vrlo lijepa, ružan, izuzetno lijepa, prilično lijepa itd. - imena neizrazitih skupova nastalih djelovanjem modifikatora Vrlo, Ne, krajnje, dosta itd. na nejasnom skupu Lijep. U biti, ovi neizraziti skupovi, zajedno s prekrasnim neizrazitim skupom, igraju ulogu vrijednosti lingvističke varijable Izgled.

Važan aspekt koncepta lingvističke varijable je da je to varijabla višeg reda od neizrazite varijable u smislu da su vrijednosti lingvističke varijable neizrazite varijable. Na primjer, vrijednosti lingvističke varijable Dob Može biti: mlad, ne mlad, star, vrlo star, ne mlad i nestar, prilično star itd. Svaka od ovih vrijednosti je naziv neizrazite varijable. Ako je naziv neizrazite varijable, tada se ograničenje nametnuto tim imenom može protumačiti kao značenje neizrazite varijable. Dakle, ako je ograničenje zbog neizrazite varijable star, neizraziti je podskup skupa obrasca

, , (5.1)

Još jedan važan aspekt koncepta lingvističke varijable je da lingvistička varijabla odgovara dvama pravilima: (1) sintaktičkom pravilu, koje se može dati u obliku gramatike koja generira nazive vrijednosti varijable; (2) semantičko pravilo koje specificira algoritamski postupak za izračunavanje značenja svake vrijednosti. Ova pravila čine bitan dio opisa strukture jezične varijable.

Riža. 5.1. Funkcije kompatibilnosti za vrijednosti i .

Budući da je lingvistička varijabla varijabla višeg reda od neizrazite varijable, njezin bi opis trebao biti složeniji od opisa neizrazite varijable danog u Definiciji 4.1.

Definicija 5.1. Jezičnu varijablu karakterizira skup , u kojem je naziv varijable; (ili jednostavno) označava termin-skup varijable, tj. skup imena jezičnih vrijednosti varijable, svaka od takvih vrijednosti je neizrazita varijabla s vrijednostima iz univerzalnog skupa s baznom varijablom ; - sintaktičko pravilo (obično ima oblik gramatike) koje generira nazive vrijednosti varijable i - semantičko pravilo koje pridružuje svaku neizrazitu varijablu s njezinim značenjem, tj. neizraziti podskup univerzalnog skupa. Specifično ime generiran sintaktičkim pravilom naziva se termin. Pojam koji se sastoji od jedne riječi ili više riječi koje se uvijek pojavljuju zajedno jedna s drugom naziva se atomski pojam. Termin koji se sastoji od jednog ili više atomskih termina naziva se složeni termin. Ulančavanje nekih sastavnica složenog pojma je podpojam. Ako su pojmovi u , tada se mogu predstaviti kao unija

(5.2)

Ako je potrebno eksplicitno naznačiti što je generirano gramatikom, napisat ćemo .

Značenje pojma definirano je kao ograničenje na osnovnu varijablu uvjetovano neizrazitom varijablom:

, (5.3)

imajući na umu da se i, stoga, može smatrati neizrazitim podskupom skupa koji ima ime . Odnos između njegovog jezičnog značenja i temeljne varijable ilustriran je na sl. 1.3.

Napomena 5.2. Kako bi se izbjeglo velika količina simbola, prikladno je dodijeliti više značenja nekim od simbola koji se pojavljuju u definiciji 5.1, oslanjajući se na kontekst za rješavanje mogućih dvosmislenosti. Posebno:

a) Simbolom ćemo često označavati i naziv same varijable i opći naziv njezinih vrijednosti. Isto tako, označavat će i opći naziv vrijednosti varijable i naziv same varijable.

b) Istim ćemo simbolom označiti skup i njegovo ime. Stoga će simboli , i biti međusobno zamjenjivi, iako, strogo govoreći, kao ime (ili ) nije isto što i neizraziti skup. Drugim riječima, kada kažemo da je pojam (npr. mladi) postoji varijabilna vrijednost (npr. Dob), onda mislimo na to prava vrijednost je , a je samo naziv ove vrijednosti.

Primjer 5.3. Dob, tj. , Pusti to . Jezično značenje varijable Dob možda npr. star, i vrijednost star je atomski pojam. Drugo značenje bi moglo biti vrlo stara, tj. složeni pojam u kojem stari - atomski izraz, i Vrlo I star- podpojmovi.

Značenje više ili manje mladi varijabla Dob - složeni pojam u kojem pojam mladi - atomski, i Više ili manje- podpojam. Skup pojmova varijable Dob može se napisati na sljedeći način:

(5.4)

Ovdje je svaki izraz naziv neizrazite varijable u univerzalnom skupu. Ograničenje koje nameće termin, recimo, jest značenje jezičnog značenja star. Dakle, ako se određuje prema (5.1), onda je značenje jezičnog značenja star određuje se izrazom

, (5.5)

ili jednostavnije (vidi napomenu 5.2)

. (5.6)

Slično tome, značenje takvog jezičnog značenja kao vrlo stara, može se izraziti na sljedeći način (vidi sliku 5.1):

Jednadžba dodjele u slučaju lingvističke varijable ima oblik

odakle slijedi da je značenje pripisano pojmu izraženo jednakošću

Drugim riječima, značenje pojma dobiva se primjenom semantičkog pravila na značenje pojma dodijeljeno prema desnoj strani jednadžbe (5.8). Štoviše, iz definicije (5.3) slijedi da je ona identična ograničenju zbog člana .

Napomena 5.4. U skladu s primjedbom 5.2(a), jednadžba dodjeljivanja obično se piše kao

, (5.10)

shvaćajući ovo na takav način da star- ograničenje vrijednosti osnovne varijable, definirano (5.1), - dodijeljeno lingvističkoj varijabli Dob. Važno je napomenuti da znak jednakosti u (5.10) ne označava simetričnu relaciju, kao u slučaju aritmetičke jednakosti. Dakle, nema smisla pisati (5.11) u obliku

Kako bismo ilustrirali koncept lingvističke varijable, prvo ćemo razmotriti vrlo jednostavan primjer u kojem samo mali broj termini, a sintaktička i semantička pravila su trivijalna.

Primjer 5.5. Razmotrite lingvističku varijablu Broj, čiji konačni skup članova ima oblik

gdje svaki član predstavlja ograničenje na vrijednosti bazne varijable u univerzalnom skupu

Pretpostavlja se da su ta ograničenja neizraziti podskupovi skupa i definirana su na sljedeći način:

, (5.15) s binarnim ograničenjem približno jednaki.

Dodijeliti vrijednost, recimo približno jednaki jezična varijabla, pišemo

gdje se, kao u (5.18), misli da je binarna neizrazita relacija dodijeljena kao vrijednost varijable približno jednaki, što je binarno ograničenje na vrijednosti osnovne varijable u univerzalnom skupu (5.20).

Riža. 5.2. Carpetbag analogija za lingvističku varijablu

Napomena 5.7. Koristeći analogiju putne torbe (vidi napomenu 4.3), lingvistička varijabla u smislu definicije 5.1 može se usporediti s tvrdom putnom torbom u koju se mogu staviti mekane putne torbe, kao što je prikazano na slici. 5.2. Mekana vrećica odgovara neizrazitoj varijabli, koja je lingvistička vrijednost varijable, i igra ulogu oznake na mekoj vrećici.

Nejasni skupovi. Jezična varijabla. Mutna logika. Nejasan izlaz. Pravilo kompozicionog zaključivanja.

(Sažetak)

Koncept neizrazitog skupa (FS) temelji se na ideji da elementi određenog skupa koji imaju zajedničko svojstvo mogu imati različite stupnjeve degeneriranosti tog svojstva i, posljedično, različite stupnjeve pripadnosti tom svojstvu.

Neka je U neki skup. Neizraziti skup à u U je kolekcija parova oblika ((µ à (u), u)), gdje je u U, µ à .

Vrijednost µ Ã naziva se stupanj pripadnosti objekta neizrazitom skupu U.

µ Ã : U 

µ Ã – naziva se funkcija pripadnosti.

Primjer neizrazitih skupova je dob ljudi (slika 19.1).

Po analogiji s tradicionalnom teorijom skupova, u NM teoriji definirane su sljedeće operacije:

Udruga:

, Gdje

popis:

,

Dodatak:

Algebarski proizvod:

, Gdje

N-arna neizrazita relacija definirana na skupovima je neizraziti podskup Kartezijevih proizvoda

Budući da je neizrazita relacija skup, sve operacije definirane za neizrazite skupove vrijede za nju. U praktičnim primjenama teorije neizrazitih skupova važna uloga igra operaciju kompozicije nejasnih odnosa.

Kompozicija neizrazitih relacija

Neka su zadane 2 dvomjesne neizrazite relacije:

Kompozicija neizrazitih relacija određena je sljedećim izrazom:

Stupnjevi pripadnosti specifičnih izraza

Jezična varijabla je petorka X – naziv varijable (dob), U – osnovni skup (0…150), T(x) – termin skupa. Višestruka jezična značenja (mlad, sredovječan, star, star). Svaka lingvistička vrijednost je oznaka neizrazitog skupa definiranog na U. G je sintaktičko pravilo koje generira lingvističku vrijednost varijable X (vrlo mlad, vrlo star). M je semantičko pravilo koje povezuje svako lingvističko značenje s neizrazitim podskupom osnovnog skupa, to jest funkcijom pripadnosti.

Nejasna izjava je izjava u vezi s kojom ovaj trenutak vrijeme, može se prosuditi stupanj njegove istinitosti ili lažnosti. Istina ima vrijednost u intervalu . Nejasna izjava koja ne dopušta dijeljenje na jednostavnije naziva se elementarnom.

Nejasna izjava izgrađena na elementarnim izjavama koje koriste logičke veze naziva se složena neizrazita izjava. Logičke veze odgovaraju operacijama nad istinitošću nejasnih izjava. - stupanj istinitosti pojedinih izjava.

1)

2)

Dakle, algebra neizrazitih skupova je izomorfna algebri neizrazitih iskaza.

4) operacija implikacije

Predloženo je nekoliko definicija za operaciju implikacije u neizrazitoj logici. Osnovni, temeljni:

1)

2)

3)

5) Ekvivalencija

Neizraziti predikat na n-mjestu definiran na skupovima U 1 , U 2 ,…,U n je izraz koji sadrži objektivne varijable ovih skupova i pretvara se u neizrazite iskaze kada se ciljne varijable zamijene elementima skupova U 1 , U 2 ,…,U n .

Neka su U 1 , U 2 ,…,U n osnovni skupovi lingvističkih varijabli, a simboli predmetnih varijabli jen lingvističkih varijabli. Zatim su primjeri nejasnih predikata:

"tlak u cilindru je nizak" - predikat na jednom mjestu

“temperatura u kotlu je znatno viša od temperature u izmjenjivaču topline” je dvostruki predikat.

Ako je U k =1,5 dakle “tlak u kotlu je nizak” = 0,7

Kod konstruiranja i implementacije neizrazitih algoritama, pravilo zaključivanja sastava igra važnu ulogu.

Neka je neizrazito preslikavanje

Neizraziti podskup svemira U zatim generira neizraziti podskup u V

Pravilo kompozicionog zaključivanja osnova je za konstruiranje logičkog zaključivanja u neizrazitoj logici.

Neka je dana neizrazita izjava , gdje su i neizraziti skupovi. Neka je također dan neki iskaz (blizak A, ali ne identičan s njim).

U klasičnoj logici široko se koristi pravilo zaključivanja Modus Ponens.

Ovo pravilo je generalizirano na slučaj neizrazite logike na sljedeći način:

Neka su skup i definirani na osnovnom skupu X i na osnovnom skupu Y. Prirodno je pretpostaviti da iskaz if definira neko neizrazito preslikavanje iz skupa X u Y

Tada, u skladu s pravilom zaključivanja kompozicije, imamo:

Odnos se gradi na temelju definicije operacije implikacije u neizrazitoj logici.

1)

Ako je temperatura u kotlu niska (), zagrijavanje se povećava ()

Pravi neizraziti logički algoritmi ne sadrže jedno, već više proizvodnih pravila

Ako je S 1, tada je R 1, inače

Ako je S n, tada je R n, inače

Stoga se neizraziti odnosi moraju izgraditi za svako pojedinačno pravilo, a zatim agregirati međusobnim preklapanjem

Kao operacija združivanja odabire se ili min ili max, ovisno o vrsti implikacije.

Kada se u kontrolnoj petlji stvarnog objekta koristi neizraziti izlaz, objektu se mora izdati jasna kontrolna akcija. Stoga je neizraziti skup generiran na temelju pravila kompozicionog zaključivanja potrebno transformirati u jasnu vrijednost. Taj se postupak naziva postupak defuzizacije. Postoje dvije najčešće korištene metode defuzzifikacije:

1) Sredina "platoa"

2) Težište, određena je točka koja dijeli područje neizrazitog skupa na pola.

2.9.1. Definicija. Koristeći metode teorije neizrazitih skupova, opisuju se semantički koncepti, na primjer, za koncept "pouzdanosti rada čvora" mogu se definirati takve komponente kao "ne velika vrijednost pouzdanost čvora”, “prosječna pouzdanost čvora”, “pouzdanost velikog čvora”, koji su definirani kao neizraziti skupovi na osnovnom skupu definiranom svim mogućim vrijednostima vrijednosti pouzdanosti.

Generalizacija opisa lingvističkih varijabli s formalnog gledišta je uvođenje neizrazitih i lingvističkih varijabli.

N jasna varijabla naziva se trojka skupova, gdje a- naziv neizrazite varijable, x- domena definicije, - neizraziti podskup u skupu X, koji opisuje ograničenja na moguće vrijednosti varijabla a.

Jezična varijabla naziva se skup skupova , Gdje b- naziv lingvističke varijable, T(b)– skup lingvističkih (verbalnih) vrijednosti varijable b, koji se također naziva skup pojmova lingvističke varijable, x- domena, G- sintaktičko pravilo u obliku gramatike koja generira imena aÎT(b) verbalna značenja jezičnih varijabli b, M- semantičko pravilo koje dodjeljuje svaku neizrazitu varijablu a neizraziti skup – značenje neizrazite varijable a.

Iz definicije proizlazi da je lingvistička varijabla varijabla navedena na kvantitativnoj (mjerljivoj) ljestvici koja ima vrijednosti koje su riječi ili izrazi prirodnog jezika komunikacije. Neizrazite varijable opisuju vrijednosti lingvističke varijable. Na sl. Slika 2.20 prikazuje odnos između osnovnih pojmova.

Stoga se lingvističke varijable mogu koristiti za opisivanje koncepata koje je teško formalizirati u obliku kvalitativnog, verbalnog opisa. Kada se opisuje jezična varijabla i sve njezine vrijednosti, ona se povezuje s određenom kvantitativnom ljestvicom, koja se, analogno osnovnom skupu, ponekad naziva i osnovnom ljestvicom.

Pomoću lingvističkih varijabli moguće je formalizirati kvalitativne informacije u sustavima upravljanja, koje u verbalnom obliku formuliraju stručnjaci (eksperti). To vam omogućuje izgradnju neizrazitih modela upravljačkih sustava (neizrazitih regulatora).

2.9.2. Vrsta funkcija članstva. Razmotrimo zahtjeve koji se postavljaju za tip funkcija pripadnosti neizrazitih skupova koji opisuju termine lingvističkih varijabli.

Neka lingvistička varijabla sadrži osnovni skup pojmova T=(Ti),. Neizrazita varijabla koja odgovara terminu T i, dana je skupom , gdje je neizraziti skup . Definirajmo skup sa i kao nositelj neizrazitog skupa. Pretpostavit ćemo da XÍR 1, Gdje R 1- naručeni set realni brojevi. Označimo donju granicu skupa x kroz infX=x 1, a gornja granica je supX=x 2.

Gomila T rasporediti prema izrazu

"T i ,T j ÎT i>j«($xÎC i)("yÎC j)(x>y). (2.5)

Izraz (2.5) zahtijeva da član koji ima oslonac s lijeve strane dobije manji broj. Tada skup pojmova bilo koje lingvističke varijable mora zadovoljiti uvjete:

("T i ÎT)($xÎX)( ); (2.8)

("b)($x 1 ILI 1)($x 2 ILI 2)("xOX)(x 1 . (2.9)