نمونه هایی از همپوشانی توابع. ببینید «Superposition of functions» در فرهنگ‌های دیگر چیست

تابع f به دست آمده از توابع f 1 , f 2 ,...f n با استفاده از عملیات جایگزینی و تغییر نام آرگومان ها نامیده می شود. برهم نهی کارکرد.

هر فرمولی که تابع f را به‌عنوان برهم‌نهی توابع دیگر بیان می‌کند، روشی را برای محاسبه آن مشخص می‌کند، یعنی اگر مقادیر همه زیرفرمول‌های آن محاسبه شود، فرمول قابل محاسبه است. مقدار یک فرمول فرعی را می توان از مجموعه ای شناخته شده از مقادیر متغیر باینری محاسبه کرد.

با استفاده از هر فرمول، می توانید جدول یک تابع منطقی را بازیابی کنید، اما نه برعکس، زیرا هر تابع منطقی را می توان با چندین فرمول در پایه های مختلف نشان داد

فرمول های F i و F j که تابع منطقی یکسان f i را نشان می دهند فراخوانی می شوند معادل . بنابراین، فرمول های معادل عبارتند از:

1. f 2 (x 1 ; x 2)=(x 1 ×`x 2)=ù(`x 1 Úx 2)= ù(x 1 ®x 2);

2. f 6 (x 1 ; x 2)=(`x 1 ×x 2 Úx 1 ×`x 2)= ù(x 1 “x 2)=(x 1 Åx 2);

3. f 8 (x 1 ; x 2)=(`x 1 ×`x 2)= ù(x 1 Úx 2)=(x 1 ¯x 2);

4. f 14 (x 1 ;x 2)=(`x 1 Ú`x 2)= ù(x 1 ×x 2)=x 1 ½x 2 ;

5. f 9 (x 1 ;x 2)=((`x 1 ×`x 2)Ú(x 1 ×x 2))=(x 1 “x 2) ;

6. f 13 (x 1 ;x 2) = (`x 1 Úx 2) = (x 1 ®x 2).

اگر هر فرمول F حاوی زیرفرمول F i باشد، جایگزین کردن F i با F j معادل، مقدار فرمول F را برای هر مجموعه ای از بردارهای بولی تغییر نمی دهد، بلکه شکل توصیف آن را تغییر می دهد. فرمول تازه به دست آمده F` معادل فرمول F است.

برای ساده سازی عبارات جبری پیچیده، توابع بولی انجام می شود تبدیل های معادل با استفاده از قوانین جبر بولی و قوانین تعویض و جایگزینی ,

هنگام نوشتن فرمول های جبر بولی، به یاد داشته باشید:

· تعداد پرانتز چپ برابر است با تعداد پرانتز سمت راست،

· هیچ دو اتصال منطقی مجاور وجود ندارد، یعنی باید یک فرمول بین آنها وجود داشته باشد،

· هیچ دو فرمول مجاور وجود ندارد، یعنی باید یک ارتباط منطقی بین آنها وجود داشته باشد،

· رابط منطقی "×" قوی تر از رابط منطقی "Ú" است،

· اگر "ù" به فرمول (F 1 ×F 2) یا (F 1 Ú F 2) اشاره دارد، ابتدا این تبدیل ها باید طبق قانون دی مورگان انجام شود: ù(F 1 ×F 2) = ` F 1 Ú` F 2 یا ù(F 1 ÚF 2)=`F 1 ×`F 2 ;

· عمل " × قوی تر از «Ú» است که به شما اجازه می دهد پرانتز را حذف کنید.

مثال: تبدیل های معادل فرمول F=x 1 ×x 2 ×x 3 ×`x 4 Ú`x 1 ×x 3 Ú`x 2 ×x 3 Úx 3 ×x 4 را انجام دهید.

· طبق قانون جابجایی:

F=x 3 × x 1 × x 2 ×`x 4 Úx 3 ×`x 1 Úx 3 ×`x 2 Úx 3 ×x 4 ;

· طبق قانون توزیع:

F=x 3 × x 1 × x 2 ×`x 4 Úx 3 ×`x 1 Úx 3 ×(`x 2 Úx 4);

· طبق قانون توزیع:

F=x 3 × x 1 × x 2 ×`x 4 Úx 3 ×(`x 1 Ú`x 2 Úx 4);

· طبق قانون توزیع:

F=x 3 ×((x 1 × x 2 ×`x 4)Ú(`x 1 Ú`x 2 Úx 4));

· طبق قانون دی مورگان:

F=x 3 ×((x 1 ×x 2 ×`x 4)Úù(x 1 ×x 2 ×`x 4));

· طبق قانون تضاد:

بنابراین x 1 × x 2 × x 3 ×`x 4 Ú`x 1 × x 3 Ú`x 2 ×x 3 Úx 3 ×x 4 =x 3 .

مثال:تبدیل فرمول را انجام دهید

F=(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 × x 2) ×ù(x 1 ×x 2) )

· طبق قانون دی مورگان

F=(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 × x 2)×(`x 1 Ú`x 2) 2)؛

· طبق قانون توزیع:

F=x 1 ×`x 2 Ú`x 1 × x 2 Úx 1 × x 2 ;

· طبق قوانین جابجایی و توزیع:

F= `x 1 × x 2 Úx 1 ×(`x 2 Úx 2);

· طبق قانون تضاد:

F= `x 1 × x 2 Úx 1 ;

· طبق قانون پورتسکی

بنابراین (x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×x 2)Ú(x 1 ×x 2) = (x 2 Úx 1).

مثال:فرمول F=ù(`x 1 Úx 2)Ú((`x 1 Úx 3)×x 2) را تبدیل کنید.

· طبق قانون دی مورگان:

F= ù(`x 1 Úx 2)×ù((`x 1 Úx 3)×x 2);

· طبق قانون دی مورگان:

F=x 1 ×`x 2 ×(ù(`x 1 Úx 3)Ú`x 2);

· طبق قانون دی مورگان:

F=x 1 ×`x 2 ×(x 1 ×`x 3 Ú`x 2);

· طبق قانون توزیع:

F=x 1 ×`x 2 ×`x 3 Úx 1 ×`x 2 ;

· طبق قانون جذب:

بنابراین ù(`x 1 Úx 2)×((`x 1 Úx 3)×x 2)= x 1 ×`x 2 .

مثال: تبدیل فرمول:

F=ù(x 1 ®x 2)×(`x 3 Ú`x 4)Ú(x 1 ¯x 2)×ù(x 3 ×x 4).

1) فرمول را به مبنای جبر بولی تبدیل کنید:

F=ù(`x 1 Úx 2)×(`x 3 Ú`x 4)Úù(x 1 Úx 2)× ù(x 3 ×x 4);

2) علامت "`" را قبل از متغیرهای باینری حذف کنید:

F=(x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ú`x 4)Ú(`x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ú`x 4);

3) فرمول را مطابق قانون توزیع تبدیل کنید:

F=x 1 ×`x 2 ×`x 3 Úx 1 ×`x 2 ×`x 4 Ú`x 1 ×`x 2 ×`x 3 Ú`x 1 ×`x 2 ×`x 4 ;

4) طبق قانون توزیع، x 2 را خارج از پرانتز قرار دهید:

F=`x 2 ×(x 1 ×`x 3 Úx 1 ×`x 4 Ú`x 1 ×`x 3 Ú`x 1 ×`x 4);

5) تبدیل طبق قانون توزیع:

F=`x 2 ×(`x 3 ×(x 1 Ú`x 1)Ú`x 4 ×(x 1 Ú`x 1));

6) از قانون تضاد استفاده کنید:

F=`x 2 ×(`x 3 Ú`x 4)

ویژگی های توابع بولی

اغلب این سوال مطرح می شود: آیا هر تابع بولی با برهم نهی فرمول های f 0, f 1,..f 15 قابل نمایش است؟ به منظور تعیین امکان تشکیل هر تابع بولی با استفاده از برهم نهی این فرمول ها، لازم است خواص و شرایط آنها برای استفاده از یک سیستم کامل عملکردی تعیین شود.

توابع بولی خود دوگانه

خود دوگانه ، اگر f(x 1 ;x 2 ;…x n)=`f(`x 1 ;`x 2 ;…`x n).

به عنوان مثال، توابع f 3 (x 1 ;x 2) = x 1 , f 5 (x 1 ;x 2) = x 2 , f 10 (x 1 ;x 2) =`x 2 و f 12 (x 1 ;x 2)=`x 1 خود دوگانه هستند، زیرا زمانی که مقدار آرگومان تغییر می کند، ارزش خود را تغییر می دهند.

هر تابعی که توسط عملیات برهم نهی از توابع بولی خود دوگانه به دست می آید، خود دوگانه است. بنابراین مجموعه توابع بولی خود دوگانه اجازه تشکیل توابع غیر خود دوگانه را نمی دهد.

توابع بولی یکنواخت

تابع f(x 1 ; x 2 ;…x n) فراخوانی می شود یکنواخت ، اگر برای هر بردار s 1i £s 2i بولی (s 11 ; s 12 ;……;s 1n) و (s 21 ;s 22 ;……;s 2n) شرط زیر برآورده شود: f(s 11 ;s 12 ;… ;s 1i ;…;s 1n) £f(s 21 ;s 22 ;…;s 2i ;…;s 2n).

به عنوان مثال، برای توابع f(x 1 ; x 2) توابع یکنواخت عبارتند از:

اگر (0; 0) £ (0; 1)، سپس f(0; 0) £ f (0; 1)

اگر (0; 0)£(1; 0)، سپس f(0; 0)£f(1; 0)،

اگر (0; 1) £(1; 1)، سپس f(0; 1) £f(1; 1)،

اگر (1; 0) £ (1; 1)، سپس f(1; 0) £ f(1; 1).

توابع زیر این شرایط را برآورده می کنند:

f 0 (x 1 ; x 2)=0; f 1 (x 1 ; x 2) = (x 1 × x 2); f 3 (x 1 ; x 2) = x 1 ; f 5 (x 1 ; x 2) = x 2 ; f 7 (x 1 ;x 2)=(x 1 Úx 2); f 15 (x 1 ؛ x 2) = 1.

هر تابعی که با استفاده از عملیات برهم نهی از توابع بولی یکنواخت به دست آید، خود یکنواخت است. بنابراین مجموعه توابع یکنواخت اجازه تشکیل توابع غیر یکنواخت را نمی دهد.

توابع بولی خطی

جبر Zhegalkin، بر اساس F 4 =(×; Å; 1)، به هر تابع منطقی اجازه می دهد تا با یک چند جمله ای نمایش داده شود، که هر جمله آن ترکیبی از متغیرهای بولی I یک بردار بولی در 0£i£ است. n:

P(x 1 ; x 2 ;…x n)=b 0 × 1 Å b i ×x i Å 1 £ j ¹ k £ n b j ×x j ×x k Å……Å b 2n-1 ×x 1 ×x 2 ×... × x n.

به عنوان مثال، برای توابع منطقی f 8 (x 1 ; x 2)

چند جمله‌ای ژگالکین به این شکل است: P(x 1; x 2) = 1Å x 1 Å x 2 Å x 1 × x 2.

مزایای جبر Zhegalkin "حساب سازی" فرمول های منطقی است، در حالی که معایب آن پیچیدگی است، به خصوص با تعداد زیادی متغیر باینری.

چند جمله ای های ژگالکین که حاوی ربط متغیرهای باینری نیستند، یعنی. P(x 1 ; x 2 ;… خطی .

به عنوان مثال، f 9 (x 1 ; x 2) = 1Åx 1 Åx 2، یا f 12 (x 1 ؛ x 2) = 1Åx 1.

خصوصیات اصلی مدول عملیات جمع 2 در جدول 1.18 آورده شده است.

اگر یک تابع منطقی با یک جدول یا فرمول در هر مبنایی مشخص شود، به عنوان مثال. اگر مقادیر یک تابع بولی را برای مجموعه های مختلف متغیرهای بولی می دانید، می توانید همه را محاسبه کنید.

ضرایب b i از چند جمله‌ای ژگالکین، سیستمی از معادلات را برای همه مجموعه‌های شناخته شده متغیرهای باینری ایجاد می‌کند.

مثال: با یک تابع بولی f(x 1 ;x 2) = x 1 Úx 2. مقادیر این تابع برای تمام مجموعه های متغیرهای بولی شناخته شده است.

F(0;0)=0=b 0 × 1Å b 1 × 0 Å b 2 × 0 Å b 3 × 0×0;

f(1;0)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×0Å b 3 ×1×0;

f(1;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×1Å b 3 ×1×1;

از کجا پیدا می کنیم b 0 = 0; b 1 = 1; b 2 = 1; b 3 = 1.

بنابراین، (x 1 Úx 2) = x 1 Åx 2 Åx 1 × x 2، یعنی تفکیک یک تابع بولی غیر خطی است.

مثال: با یک تابع بولی f(x 1 ;x 2)=(x 1 ®x 2). مقادیر این تابع برای تمام مجموعه های متغیرهای باینری نیز شناخته شده است.

F(0;0)=1=b 0 × 1Å b 1 × 0 Å b 2 × 0 Å b 3 × 0×0;

f(0;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×1Å b 3 ×0×1;

f(1;0)=0=b 0 ×1Åb 1×1Åb 2×0Åb 3×1×0;

f(1;1)=1=b 0 ×1Åb 1×1Åb 2×1Åb 3×1×1;

از کجا پیدا می کنیم b 0 =1; b 1 = 1; b 2 = 0; b 3 = 1.

بنابراین، (x 1 ® x 2) = 1Å x 2 Å x 1 × x 2.

جدول 1.19 چند جمله ای های Zhegalkin را برای نمایندگان اصلی توابع بولی از جدول 1.15 نشان می دهد.

اگر یک عبارت تحلیلی برای یک تابع منطقی داده شود و مقادیر آن برای مجموعه‌های مختلف متغیرهای باینری ناشناخته باشد، می‌توان یک چند جمله‌ای ژگالکین را بر اساس پایه پیوندی جبر بول F 2 =(` ; ×) ساخت. :

فرض کنید f(x 1 ; x 2)=(x 1 Úx 2).

سپس (x 1 Úx 2)=ù(`x 1 ×`x 2)=((x 1 Å 1)×(x 2 Å 1))Å 1=x 1 ×x 2 Å x 1 ×1Å x 2 × 1Å 1×1Å1=

(x 1 Åx 2 Åx 1 × x 2).

اجازه دهید f(x 1 ;x 2) = (x 1 ®x 2).

سپس (x 1 ®x 2)=(`x 1 Úx 2)=ù(x 1 ×`x 2) = x 1 ×(x 2 Å 1)Å 1 = x 1 ×x 2 Å x 1 × 1Å 1 = =(1Åx 1Åx 1×x2).

اجازه دهید f(x 1 ;x 2)=(x 1 “x 2).

سپس (x 1 “x 2)=(`x 1 ×`x 2 Úx 1 ×x 2)=ù(ù(`x 1 ×`x 2)×ù(x 1 ×x 2))=((( x 1 Å1) × (x 2 Å1)) Å1) × × (x 1 × x 2 Å) Å1 = (x 1 × x 2 Åx 1 Åx 2 Å1Å1) × (x 1 × x 2 Å1) Å1 = x 1 × × 2 Åx 1 × x 2 Åx 1 × x 2 Åx 1 Å

x 1 × x 2 Åx 2 Å1 = (1Åx 1 Åx 2).

هر تابعی که با استفاده از عملیات برهم نهی از توابع منطقی خطی به دست آید، خود خطی است. بنابراین مجموعه توابع خطی اجازه تشکیل توابع غیرخطی را نمی دهد.

1.5.6.4. توابعی که "0" را ذخیره می کنند

تابع f(x 1 ; x 2 ;...x n) حفظ "0" نامیده می شود اگر برای مجموعه ای از مقادیر متغیرهای باینری (0; 0;...0) تابع مقدار f(0; 0;…0)=0.

به عنوان مثال، f 0 (0; 0)=0، f 3 (0; 0)=0، f 7 (0; 0)=0، و غیره.

هر تابعی که با استفاده از عملیات برهم نهی از توابعی که "0" را حفظ می کنند، به دست می آید، خود تابعی است که "0" را حفظ می کند. بنابراین، مجموعه توابعی که "0" را حفظ می کنند، اجازه تشکیل توابعی را نمی دهند که "0" را حفظ نمی کنند.

1.5.6.5. توابعی که "1" را ذخیره می کنند

تابع f(x 1 ; x 2 ;…x n) حفظ "1" نامیده می شود اگر برای مجموعه ای از مقادیر متغیرهای باینری (1; 1;…1) تابع مقدار f(1;1;…1 را بگیرد. )=1.

به عنوان مثال، f 1 (1; 1)=1، f3(1; 1)=1، f 5 (1; 1)=1، و غیره.

هر تابعی که با استفاده از عملیات برهم نهی از توابعی که "1" را حفظ می کنند به دست می آید، خود "1" را حفظ می کند. بنابراین، مجموعه توابعی که "1" را حفظ می کنند، اجازه تشکیل توابعی که "1" را حفظ نمی کنند را نمی دهد.

تناظر G بین مجموعه ها آو که درزیر مجموعه نامیده می شود. اگر، پس آنها می گویند ب

مطابقت دارد آ.مجموعه تمام عناصر مربوطه

تماس گرفت مسیرعنصر الف. مجموعه همه مواردی که عنصر با آنها مطابقت دارد فراخوانی می شود

نمونه اولیهعنصر ب

زوج های زیادی (ب، الف)به طوری که معکوس نامیده می شود

به سمت جیو تعیین شده است. مفاهیم تصویر و نمونه اولیه برای

«G و متقابل معکوس هستند.

مثال ها. 1) بیایید آن را با یک عدد طبیعی مطابقت دهیم پ

مجموعه ای از اعداد واقعی . تصویر عدد 5

یک نیم فاصله وجود خواهد داشت

(این به معنای بزرگترین عدد صحیح، کوچکتر یا مساوی است ایکس). نمونه اولیه عدد 5 در این مکاتبات یک مجموعه بی نهایت است: نیم فاصله.

از نظر بسته بودن می توان تعاریف دیگری از بسته بودن و کامل بودن (معادل تعاریف اصلی) ارائه داد:

K یک کلاس بسته است اگر K = [K];

K یک سیستم کامل است اگر [K] = P 2 .

مثال ها.

* (0)، (1) - کلاس های بسته.

* مجموعه ای از توابع یک متغیر یک کلاس بسته است.

* - کلاس تعطیل.

* کلاس (1، x+y) یک کلاس بسته نیست.

بیایید به برخی از مهم ترین کلاس های بسته نگاه کنیم.

1. T 0- کلاس توابعی که 0 را حفظ می کنند.

اجازه دهید کلاس تمام توابع جبر منطقی را با حفظ ثابت 0 با حفظ ثابت 0، یعنی توابعی که برای آنها f(0, ... , 0 باشد، با T 0 نشان دهیم. ) = 0.

به راحتی می توان فهمید که توابعی وجود دارند که متعلق به T 0 هستند و توابعی هستند که به این کلاس تعلق ندارند:

0, x, xy, xÚy, x+y О T 0 ;

از این واقعیت که Ï T 0 نتیجه می شود، برای مثال، نمی توان آن را از طریق تفکیک و ربط بیان کرد.

از آنجایی که جدول تابع f از کلاس T 0 حاوی مقدار 0 در خط اول است، بنابراین برای توابع T 0 می توانید مقادیر دلخواه را فقط روی 2 n - 1 مجموعه مقادیر متغیر تنظیم کنید.

,

مجموعه توابعی که 0 را حفظ می کنند و به n متغیر وابسته هستند کجاست.

اجازه دهید نشان دهیم که T 0 یک کلاس بسته است. از آنجایی که xÎT 0 است، پس برای توجیه بسته بودن کافی است بسته بودن را با توجه به عملکرد برهم نهی نشان دهیم، زیرا عملیات تغییر متغیرها یک مورد خاص از برهم نهی با تابع x است.

اجازه دهید . آنگاه نشان دادن آن کافی است. دومی از زنجیره برابری ها پیروی می کند

2. T 1- کلاس توابع حفظ 1.

اجازه دهید کلاس تمام توابع جبر منطق را با حفظ ثابت 1 با حفظ ثابت 1، یعنی توابعی که برای آنها f(1, ... , 1) با T 1 نشان دهیم. ) = 1.

به راحتی می توان فهمید که توابعی وجود دارند که به T 1 تعلق دارند و توابعی که به این کلاس تعلق ندارند:

1، x، xy، xÚy، xºy О T 1 ;

0, , x+y Ï T 1 .

از این واقعیت که x + y Ï T 0 نتیجه می شود، برای مثال، x + y را نمی توان بر حسب تفکیک و ربط بیان کرد.

نتایج مربوط به کلاس T 0 به طور ساده به کلاس T 1 منتقل می شود. بدین ترتیب داریم:

T 1 - کلاس بسته؛

.

3. ال- کلاس توابع خطی

اجازه دهید کلاس تمام توابع جبر منطق f(x 1 , x 2 , ... , x n) را که خطی هستند با L نشان دهیم:

به راحتی می توان فهمید که توابعی وجود دارند که متعلق به L و توابعی هستند که به این کلاس تعلق ندارند:

0، 1، x، x+y، x 1 º x 2 = x 1 + x 2 + 1، = x+1 О L;

اجازه دهید برای مثال ثابت کنیم که xÚy Ï L .

بیایید برعکس فرض کنیم. ما به دنبال عبارتی برای xÚy در قالب یک تابع خطی با ضرایب نامشخص خواهیم بود:

برای x = y = 0 a = 0 داریم،

برای x = 1، y = 0 b = 1 داریم،

برای x = 0، y = 1، g = 1 داریم،

اما پس از آن برای x = 1، y = 1 1v 1 ¹ 1 + 1 داریم که غیرخطی بودن تابع xy را ثابت می کند.

اثبات بسته بودن کلاس توابع خطی کاملاً آشکار است.

از آنجایی که یک تابع خطی به طور منحصر به فرد با تعیین مقادیر n+1 ضریب a 0 , ... , a n تعیین می شود، تعداد توابع خطی در کلاس L (n) توابع بسته به n متغیر برابر با 2 است. n+1 .

.

4. اس- کلاس عملکردهای خود دوگانه.

تعریف کلاس توابع خود دوگانه مبتنی بر استفاده از به اصطلاح اصل دوگانگی و توابع دوگانه است.

تابع تعریف شده توسط برابری نامیده می شود عملکرد دوگانه .

بدیهی است که جدول تابع دوگانه (با ترتیب استاندارد مجموعه مقادیر متغیر) از جدول تابع اصلی با معکوس کردن (یعنی جایگزینی 0 با 1 و 1 با 0) ستون مقادیر تابع بدست می آید. و برگرداندن آن

دیدن آن آسان است

(x 1 Ú x 2)* = x 1 Ù x 2 ,

(x 1 Ù x 2)* = x 1 Ú x 2 .

از تعریف بر می آید که (f*)* = f، یعنی تابع f دوتایی به f* است.

اجازه دهید یک تابع با استفاده از برهم نهی از طریق توابع دیگر بیان شود. سوال این است که چگونه فرمولی بسازیم که اجرا شود؟ اجازه دهید تمام نمادهای متغیر مختلف موجود در مجموعه ها را با = (x 1، ...، x n) نشان دهیم.

قضیه 2.6.اگر تابع j به عنوان برهم نهی از توابع f، f 1، f 2، ...، f m به دست آید، یعنی

تابع دوگانه به برهم نهی برهم نهی توابع دوگانه است.

اثبات.

j*(x 1 ,...,x n) = ` f(`x 1 ,...,`x n) =

قضیه ثابت شده است. ð

اصل دوگانگی از این قضیه به دست می آید: اگر یک فرمول A تابع f(x 1 , ... , x n) را تحقق بخشد، فرمول به دست آمده از A با جایگزینی توابع موجود در آن با توابع دوگانه آنها تابع دوگانه f را دریافت می کند. *(x 1 , ... , xn).

اجازه دهید کلاس تمام توابع خود دوگانه را از P 2 با S نشان دهیم:

S = (f | f* = f )

به راحتی می توان فهمید که توابعی متعلق به S و توابعی هستند که به این کلاس تعلق ندارند:

0، 1، xy، xÚy Ï S.

یک مثال کمتر پیش پا افتاده از یک تابع خود دوگانه، تابع است

h(x، y، z) = xy Ú xz Ú ​​yz;

با استفاده از قضیه تابع دوتایی به برهم نهی، داریم

h*(x, y, z)= (x Ú y)Ù(x Ú z) Ù (y Ù z) = x y Ú x z Ú y z; h = h* ; h О S.

برای یک کارکرد خود دوگانه، هویت برقرار است

به همین ترتیب در مجموعه ها و، که ما آن را مقابل می نامیم، تابع self-dual مقادیر مخالف می گیرد. نتیجه این است که تابع خود دوگانه کاملاً با مقادیر آن در نیمه اول ردیف های جدول استاندارد تعیین می شود. بنابراین، تعداد توابع خود دوگانه در کلاس S (n) توابع بسته به n متغیر برابر است با:

.

اجازه دهید اکنون ثابت کنیم که کلاس S بسته است. از آنجایی که xÎS، پس برای توجیه بسته بودن کافی است بسته بودن را با توجه به عمل برهم نهی نشان دهیم، زیرا عملیات تغییر متغیرها حالت خاصی از برهم نهی با تابع x است. اجازه دهید . آنگاه نشان دادن آن کافی است. دومی مستقیماً نصب می شود:

5. م- کلاس توابع یکنواخت.

قبل از تعریف مفهوم تابع یکنواخت در جبر منطق، لازم است یک رابطه ترتیبی بر مجموعه مجموعه های متغیرهای آن معرفی کنیم.

آنها می گویند که مجموعه قبل از تنظیم است (یا "نه بیشتر از"، یا "کمتر از یا مساوی")، و اگر a i £ b i برای همه i = 1، ...، n استفاده کنید. اگر و، می گوییم که مجموعه کاملاً قبل از مجموعه است (یا "به شدت کمتر" یا "کمتر از" مجموعه) و از علامت گذاری استفاده می کنیم. مجموعه‌ها و اگر یکی، یا . قابل مقایسه نامیده می‌شوند، در صورتی که هیچ یک از این روابط برقرار نباشد، مجموعه‌ها و غیرقابل مقایسه نامیده می‌شوند. به عنوان مثال، (0، 1، 0، 1) £ (1، 1، 0، 1)، اما مجموعه های (0، 1، 1، 0) و (1، 0، 1، 0) غیر قابل مقایسه هستند. بنابراین، رابطه £ (که اغلب رابطه تقدم نامیده می شود) یک نظم جزئی در مجموعه B n است. در زیر نمودارهایی از مجموعه های جزئی مرتب شده B 2، B 3 و B 4 آمده است.

رابطه سفارش جزئی معرفی شده یک مفهوم بسیار مهم است که بسیار فراتر از محدوده دوره ما است.

اکنون این فرصت را داریم که مفهوم تابع یکنواخت را تعریف کنیم.

تابع جبر منطقی نامیده می شود یکنواخت، اگر برای هر دو مجموعه و ، به طوری که ، نابرابری برقرار است . مجموعه همه توابع یکنواخت جبر منطق با M و مجموعه همه توابع یکنواخت بسته به n متغیر با M(n) نشان داده می شود.

به راحتی می توان فهمید که توابعی وجود دارند که متعلق به M هستند و توابعی که به این کلاس تعلق ندارند:

0, 1, x, xy, xÚy О M;

x+y، x®y، xºy Ï M.

اجازه دهید نشان دهیم که کلاس توابع یکنواخت M یک کلاس بسته است. از آنجا که xОМ، پس برای توجیه بسته بودن کافی است بسته بودن را با توجه به عمل برهم نهی نشان دهیم، زیرا عملیات تغییر متغیرها یک مورد خاص از برهم نهی با تابع x است.

اجازه دهید . آنگاه نشان دادن آن کافی است.

اجازه دهید مجموعه ای از متغیرها به ترتیب توابع j, f 1 , ... , f m باشد و مجموعه متغیرهای تابع j متشکل از آن دسته از متغیرهایی است که در توابع f 1 , ... , f m ظاهر می شوند. اجازه دهید و دو مجموعه از مقادیر متغیر باشد و . این مجموعه ها مجموعه ها را تعریف می کنند مقادیر متغیر ، به طوری که . به دلیل یکنواختی توابع f 1 , ... , f m

و به دلیل یکنواختی تابع f

از اینجا می گیریم

تعداد توابع یکنواخت بسته به n متغیر دقیقاً مشخص نیست. حد پایین را می توان به راحتی بدست آورد:

جایی که - قسمت صحیح n/2 است.

همچنین به نظر می رسد که برآورد از بالا بسیار بالا است:

پالایش این تخمین ها یک کار مهم و جالب تحقیقات مدرن است.

معیار کامل بودن

اکنون می‌توانیم یک معیار کامل بودن (قضیه پست) را تدوین و اثبات کنیم که شرایط لازم و کافی برای کامل بودن یک سیستم از توابع را تعیین می‌کند. اجازه دهید صورت‌بندی و اثبات معیار کامل بودن را با چند لم ضروری که دارای منافع مستقل هستند، مقدمه کنیم.

لم 2.7.لغت در مورد عملکرد غیر خود دوگانه.

اگر f(x 1 , ... , x n)Ï S , با جایگزین کردن توابع x و `x می توان از آن ثابت به دست آورد.

اثبات. از fÏS، مجموعه ای از مقادیر متغیرها وجود دارد
=(a 1 ,...,a n) به گونه ای که

f(`a 1 ,...,`a n) = f(a 1 ,...,a n)

بیایید آرگومان های تابع f را جایگزین کنیم:

x i جایگزین می شود ,

یعنی تابع را بگذاریم و در نظر بگیریم

بنابراین، ما یک ثابت به دست آورده‌ایم (اگرچه مشخص نیست کدام ثابت است: 0 یا 1). ð

لم 2.8.لغت در مورد عملکرد غیر یکنواخت.

اگر تابع f(x 1 ,...,xn) غیر یکنواخت باشد، f(x 1 ,...,x n) Ï M است، با تغییر متغیرها و جایگزینی ثابت های 0 و 0 می توان از آن یک نفی به دست آورد. 1.

اثبات. از آنجایی که f(x1,...,xn) Ï M، مجموعه‌ای از مقادیر متغیرهای آن وجود دارد، , ، به طوری که، و برای حداقل یک مقدار i، a i< b i . Выполним следующую замену переменных функции f:

x i جایگزین خواهد شد

پس از چنین جایگزینی تابعی از یک متغیر j(x) بدست می آوریم که برای آن داریم:

این بدان معنی است که j(x)=`x. لم ثابت شده است. ð

لم 2.9.لغت در مورد تابع غیرخطی.

اگر f(x 1 ,...,x n) Ï L , از آن با جایگزینی ثابت های 0, 1 و با استفاده از تابع `x می توانیم تابع x 1 &x 2 را بدست آوریم.

اثبات. اجازه دهید f را به عنوان یک DNF نشان دهیم (مثلاً یک DNF کامل) و از روابط استفاده کنیم:

مثال. اجازه دهید دو مثال از کاربرد این تبدیل ها را بیان کنیم.

بنابراین، تابعی که به شکل نرمال منفک نوشته شده است، پس از اعمال روابط نشان داده شده، باز کردن پرانتز و تبدیل های جبری ساده، به یک چند جمله ای mod 2 (چند جمله ای Zhegalkin) تبدیل می شود:

که در آن A 0 یک ثابت است، و A i ترکیبی از چند متغیر از عدد x 1،...، x n، i = 1، 2، ...، r است.

اگر هر حرف ربط A i فقط از یک متغیر تشکیل شده باشد، f یک تابع خطی است که با شرط لم در تضاد است.

در نتیجه، در چند جمله ای ژگالکین برای تابع f عبارتی وجود دارد که حداقل شامل دو عامل باشد. بدون از دست دادن کلیت، می توان فرض کرد که در بین این عوامل متغیرهای x 1 و x 2 وجود دارد. سپس چند جمله ای را می توان به صورت زیر تبدیل کرد:

f = x 1 x 2 f 1 (x 3،...، x n) + x 1 f 2 (x 3،...، x n) + x 2 f 3 (x 3،...، x n) + f 4 (x 3،...، x n)،

که در آن f 1 (x 3،...، x n) ¹ 0 (در غیر این صورت چند جمله ای شامل ربط حاوی ربط x 1 x 2 نمی شود).

فرض کنید (a 3 ,...,a n) به گونه ای باشد که f 1 (a 3 ,...,a n) = 1. سپس

j(x 1 , x 2) = f(x 1 , x 2 , a 3 ,..., a n) = x 1 x 2 +ax 1 +bx 2 +g ,

که در آن a، b، g ثابت هایی برابر با 0 یا 1 هستند.

بیایید از عملیات نفی که داریم استفاده کنیم و تابع y(x 1 , x 2) بدست آمده از j(x 1 ,x 2) را به صورت زیر در نظر بگیریم:

y(x 1، x 2) = j(x 1 +b، x 2 +a)+ab+g.

بدیهی است که

y(x1،x2) =(x1 +b)(x2 +a)+a(x1+b)+b(x2 +a)+g+ab+g = x 1 x 2.

از این رو،

y (x 1، x 2) = x 1 x 2.

لم کاملاً ثابت شده است. ð

لم 2.10.لم اصلی معیار کامل بودن.

اگر کلاس F=(f) توابع جبر منطقی شامل توابعی باشد که وحدت را حفظ نمی کنند، 0 را حفظ نمی کنند، غیر خود دوگانه و غیر یکنواخت هستند:

سپس از توابع این سیستم، با عملیات برهم نهی و جایگزینی متغیرها، می توان ثابت های 0، 1 و تابع را به دست آورد.

اثبات. بیایید عملکرد را در نظر بگیریم. سپس

.

دو مورد احتمالی از ملاحظات بعدی وجود دارد که در ارائه زیر به عنوان 1) و 2 تعیین شده است.

1). تابع در مجموعه واحد مقدار 0 را می گیرد:

.

بیایید همه متغیرهای تابع را با متغیر x جایگزین کنیم. سپس تابع

وجود دارد، زیرا

و .

بیایید یک تابع غیر خود دوگانه بگیریم. از آنجایی که ما قبلاً تابع را به دست آورده‌ایم، سپس توسط لم یک تابع غیرخود دوگانه (لم) 2.7. ) می توانید یک ثابت از. ثابت دوم را می توان با استفاده از تابع از اولی بدست آورد. بنابراین، در حالت اول در نظر گرفته شده، ثابت و نفی به دست می آید. . مورد دوم و همراه با آن لم اصلی معیار کامل بودن کاملاً ثابت شده است. ð

قضیه 2.11.معیاری برای کامل بودن سیستم های توابع در جبر منطق (قضیه پست).

برای اینکه سیستم توابع F = (f i) کامل باشد، لازم و کافی است که به طور کامل در هیچ یک از پنج کلاس بسته T 0، T 1، L، S، M وجود نداشته باشد، یعنی برای هر یک از کلاس های T 0 , T 1 , L , S, M در F حداقل یک تابع وجود دارد که به این کلاس تعلق ندارد.

ضرورت. بگذارید F یک سیستم کامل باشد. فرض کنید F در یکی از کلاس های مشخص شده قرار دارد، اجازه دهید آن را با K نشان دهیم، یعنی. F Í K. آخرین گنجاندن غیرممکن است، زیرا K یک کلاس بسته است که یک سیستم کامل نیست.

کفایت. اجازه دهید کل سیستم توابع F = (f i ) در هیچ یک از پنج کلاس بسته T 0 , T 1 , L , S , M قرار نگیرد. اجازه دهید توابع زیر را در F بگیریم:

سپس بر اساس لم اصلی (لم 2.10 ) از تابعی که 0 را حفظ نمی کند، تابعی که 1 را حفظ نمی کند، توابع غیر خود دوگانه و غیر یکنواخت را حفظ می کند، می توان ثابت های 0، 1 و تابع نفی را به دست آورد:

.

بر اساس لم توابع غیرخطی (لم 2.9 ) از ثابت ها، نفی و یک تابع غیرخطی می توانیم رابطه ربط را بدست آوریم:

.

سیستم عملکرد - یک سیستم کامل با توجه به قضیه در مورد امکان نمایش هر تابع از جبر منطق به صورت یک فرم عادی منفصل کامل (توجه داشته باشید که تفکیک را می توان از طریق ربط و نفی به صورت بیان کرد. ).

قضیه کاملاً ثابت شده است. ð

مثال ها.

1. اجازه دهید نشان دهیم که تابع f(x,y) = x|y یک سیستم کامل را تشکیل می دهد. بیایید جدولی از مقادیر تابع x½y بسازیم:

ایکس	y	x|y

f(0,0) = 1، بنابراین x | بله 0 .

f(1,1) = 0، بنابراین x | بله 1 .

f(0،0) = 1، f(1،1) = 0، بنابراین x | yÏM.

f(0,1) = f(1,0) = 1, - در مجموعه های مخالف x | y همان مقادیر را می گیرد، بنابراین x | بله .

در نهایت، غیر خطی بودن تابع به چه معناست؟
x | y

بر اساس معیار کامل بودن، می توانیم بیان کنیم که f(x,y) = x | y یک سیستم کامل را تشکیل می دهد. ð

2. اجازه دهید نشان دهیم که سیستم توابع یک سیستم کامل را تشکیل می دهد.

واقعا، .

بنابراین، در میان توابع سیستم ما یافتیم: تابعی که 0 را حفظ نمی کند، تابعی که 1 را حفظ نمی کند، توابع غیر خود دوگانه، غیر یکنواخت و غیرخطی. بر اساس معیار کامل بودن، می توان استدلال کرد که سیستم توابع یک سیستم کامل را تشکیل می دهد. ð

بنابراین، ما متقاعد شده‌ایم که معیار کامل بودن روشی سازنده و مؤثر برای تعیین کامل بودن سیستم‌های توابع در جبر منطق ارائه می‌کند.

اجازه دهید اکنون سه نتیجه از معیار کامل بودن را فرموله کنیم.

نتیجه 1. هر کلاس بسته K از توابع جبر منطق که با کل مجموعه توابع جبر منطق منطبق نباشد (K¹P 2) حداقل در یکی از کلاس های بسته ساخته شده وجود دارد.

تعریف.کلاس بسته K نامیده می شود پیش پر، اگر K ناقص باشد و برای هر تابع fÏ K کلاس K È (f) کامل است.

از تعریف به دست می آید که کلاس precomplete بسته است.

نتیجه 2.در جبر منطق فقط پنج کلاس پیش کامل وجود دارد که عبارتند از: T 0، T 1، L، M، S.

برای اثبات نتیجه، فقط باید بررسی کنید که هیچ یک از این کلاس ها در کلاس دیگر وجود نداشته باشد، که برای مثال با جدول زیر از توابع متعلق به کلاس های مختلف تأیید می شود:

	T0	T 1	L	اس	م
	+	-	+	-	+
	-	+	+	-	+
	-	-	+	+	-

نتیجه 3.از هر سیستم کاملی از توابع، می توان یک زیرسیستم کامل را که شامل بیش از چهار تابع نباشد، تشخیص داد.

از اثبات معیار کامل بودن نتیجه می شود که بیش از پنج تابع را نمی توان تشخیص داد. از اثبات لم اصلی (لم 2.10 ) به دنبال آن است یا غیر خود دوگانه است یا وحدت را حفظ نمی کند و یکنواخت نیست. بنابراین، بیش از چهار تابع مورد نیاز نیست.

بیایید با مفهوم برهم نهی (یا تحمیل) توابع آشنا شویم که شامل جایگزینی یک تابع از آرگومان دیگری به جای آرگومان یک تابع معین است. به عنوان مثال، برهم نهی توابع یک تابع می دهد و توابع نیز به طور مشابه به دست می آیند

به طور کلی فرض کنید که یک تابع در یک دامنه مشخص و تابع در یک دامنه تعریف شده است و مقادیر آن همه در دامنه قرار دارند سپس متغیر z به قول خودشان از طریق y خود تابعی از

با توجه به یک مقدار داده شده، ابتدا مقدار y مربوط به آن را پیدا می کنند (طبق قاعده مشخص شده با علامت)، و سپس مقدار مربوطه y را تعیین می کنند (طبق قانون).

با علامت مشخص می شود، مقدار آن مطابق با x انتخاب شده در نظر گرفته می شود. تابع به دست آمده از یک تابع یا یک تابع پیچیده، نتیجه برهم نهی توابع است

این فرض که مقادیر تابع از محدوده Y که تابع در آن تعریف شده است فراتر نمی رود بسیار مهم است: اگر حذف شود، ممکن است پوچ باشد. به عنوان مثال، با این فرض که ما فقط می‌توانیم مقادیر x را در نظر بگیریم که در غیر این صورت این عبارت برای آنها معنی ندارد.

ما در اینجا مفید می دانیم که مشخص کردن یک تابع به عنوان پیچیده به ماهیت وابستگی تابعی z به x مربوط نمی شود، بلکه فقط به نحوه تعیین این وابستگی مربوط می شود. به عنوان مثال، اجازه دهید برای y برای Then

در اینجا تابع به عنوان یک تابع پیچیده مشخص شد.

اکنون که مفهوم برهم نهی توابع به طور کامل درک شده است، می‌توانیم به طور دقیق ساده‌ترین دسته از توابع را که در تحلیل مورد مطالعه قرار می‌گیرند مشخص کنیم: اینها اول از همه، توابع ابتدایی ذکر شده در بالا و سپس همه آنهایی هستند که از آنها به دست می‌آیند. با استفاده از چهار عمل حسابی و برهم نهی، به طور متوالی تعداد محدودی اعمال می شود. گفته می شود که آنها از طریق ابتدایی در شکل نهایی خود بیان می شوند. گاهی اوقات به آنها ابتدایی نیز گفته می شود.

متعاقباً با تسلط بر دستگاه تحلیلی پیچیده تر (سری های بی نهایت، انتگرال)، با توابع دیگری آشنا می شویم که نقش مهمی در تجزیه و تحلیل دارند، اما در حال حاضر فراتر از کلاس توابع ابتدایی هستند.

موضوع: "عملکرد: مفهوم، روش های انتساب، ویژگی های اصلی. تابع معکوس. برهم نهی توابع."

خلاصه درس:

«چیزی را مطالعه کنید و به آن فکر نکنید

آموخته شده - کاملاً بی فایده است.

فکر کردن به چیزی بدون مطالعه

موضوع اولیه فکر -

کنفوسیوس

هدف و اهداف روانشناختی و تربیتی درس:

1) هدف آموزشی عمومی (هنجاری).: تعریف و ویژگی های یک تابع را با دانش آموزان مرور کنید. مفهوم برهم نهی توابع را معرفی کنید.

2) اهداف رشد ریاضی دانش آموزان: استفاده از مواد آموزشی و ریاضی غیر استاندارد برای تداوم رشد تجربه ذهنی دانش آموزان، ساختار شناختی معنادار هوش ریاضی آنها شامل توانایی های منطقی-قیاسی و استقرایی، تحلیلی و ترکیبی تفکر برگشت پذیر، تفکر جبری و تصویری- گرافیکی. تعمیم و مفهوم سازی معنادار، به تأمل و استقلال به عنوان یک توانایی فراشناختی دانش آموزان. ادامه توسعه فرهنگ گفتار نوشتاری و شفاهی به عنوان مکانیسم های روانشناختی هوش آموزشی و ریاضی.

3) وظایف آموزشی: ادامه آموزش شخصی در دانش آموزان دارای علاقه شناختی به ریاضیات، مسئولیت پذیری، احساس وظیفه، استقلال تحصیلی، توانایی ارتباطی برای همکاری با گروه، معلم، همکلاسی ها. توانایی اتوگوژیک برای فعالیت های آموزشی و ریاضی رقابتی، تلاش برای کسب نتایج بالا و بالاتر (انگیزه آکمئیک).

نوع درس: یادگیری مطالب جدید با توجه به معیار محتوای ریاضی پیشرو - یک درس عملی. با توجه به معیار نوع تعامل اطلاعاتی دانش آموزان و معلم - درس همکاری.

تجهیزات درسی:

1. ادبیات آموزشی:

1) کودریاوتسف تجزیه و تحلیل ریاضی: کتاب درسی. برای دانشجویان دانشگاه و دانشگاه در 3 جلد T. 3. – 2nd ed., revised. و اضافی - م.: بالاتر. مدرسه، 1989. – 352 ص. : بیمار

2) مسائل و تمرینات دمیدویچ در تحلیل ریاضی. – ویرایش نهم - M.: انتشارات Nauka، 1977.

2. تصاویر.

در طول کلاس ها.

1. اعلام موضوع و هدف آموزشی اصلی درس; برانگیختن احساس وظیفه، مسئولیت و علاقه شناختی دانش آموزان در آمادگی برای جلسه.

2.تکرار مطالب بر اساس سوال.

الف) یک تابع را تعریف کنید.

یکی از مفاهیم اساسی ریاضی، مفهوم تابع است. مفهوم تابع با برقراری رابطه بین عناصر دو مجموعه همراه است.

اجازه دهید دو ست غیر خالی و داده شود. تطبیق f که هر عنصر را با یک و تنها یک عنصر مطابقت دهد نامیده می شود تابع و y = f(x) را می نویسد. آنها همچنین می گویند که تابع f نمایش می دهد بسیاری بر بسیاری

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> نامیده می شود مجموعه معانیتابع f و با E(f) نشان داده می شود.

ب) توابع عددی. نمودار تابع. روش های تعیین توابع

اجازه دهید تابع داده شود.

اگر عناصر مجموعه ها و اعداد حقیقی باشند، تابع f فراخوانی می شود تابع عددی . متغیر x نامیده می شود بحث و جدلیا متغیر مستقل و y – تابعیا متغیر وابسته(از x). در مورد خود کمیت های x و y گفته می شود که در هستند وابستگی عملکردی.

نمودار تابع y = f(x) مجموعه تمام نقاط صفحه Oxy است که برای هر کدام x مقدار آرگومان و y مقدار مربوط به تابع است.

برای مشخص کردن تابع y = f(x)، لازم است قاعده ای مشخص شود که با دانستن x، مقدار متناظر y را پیدا کند.

رایج ترین سه روش برای تعیین یک تابع عبارتند از: تحلیلی، جدولی و گرافیکی.

روش تحلیلی: یک تابع به صورت یک یا چند فرمول یا معادله مشخص می شود.

مثلا:

اگر دامنه تعریف تابع y = f(x) مشخص نشده باشد، فرض بر این است که با مجموعه تمام مقادیر آرگومان که فرمول مربوطه برای آن معنا دارد، مطابقت دارد.

روش تحلیلی تعیین یک تابع پیشرفته ترین است، زیرا شامل روش های تجزیه و تحلیل ریاضی است که مطالعه کامل تابع y = f(x) را ممکن می سازد.

روش گرافیکی: نمودار تابع را تنظیم می کند.

مزیت یک کار گرافیکی وضوح آن است، عیب آن عدم دقت آن است.

روش جدولی: یک تابع با جدولی از یک سری مقادیر آرگومان و مقادیر تابع مربوطه مشخص می شود. به عنوان مثال، جداول معروف مقادیر توابع مثلثاتی، جداول لگاریتمی.

ج) ویژگی های اصلی تابع.

1. تابع y = f(x)، تعریف شده در مجموعه D، فراخوانی می شود زوج ، اگر شرایط و f(-x) = f(x) برآورده شود. فرد ، اگر شرایط و f(-x) = -f(x) برقرار باشد.

نمودار یک تابع زوج نسبت به محور Oy متقارن است و یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است. به عنوان مثال، - توابع حتی؛ و y = sinx، https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> - توابع شکل کلی، یعنی نه زوج و نه فرد.

2. اجازه دهید تابع y = f(x) در مجموعه D تعریف شود و اجازه دهید. اگر برای هر یک از مقادیر آرگومان ها نابرابری زیر وجود دارد: ، سپس تابع فراخوانی می شود افزایش می یابد در مجموعه؛ اگر ، سپس تابع فراخوانی می شود بدون کاهش در https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src=">سپس تابع فراخوانی می شود. در حال کاهش بر ؛ - غیر افزایشی .

عملکردهای افزایشی، غیرافزاینده، کاهشی و غیرکاهشی در مجموعه https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">مقدار D (x +T)D و برابری f(x+T) = f(x) برقرار است.

برای رسم نمودار یک تابع تناوبی از دوره T، کافی است آن را بر روی هر قطعه ای از طول T رسم کنیم و به صورت دوره ای آن را در کل دامنه تعریف ادامه دهیم.

اجازه دهید ویژگی های اصلی یک تابع تناوبی را یادداشت کنیم.

1) مجموع جبری توابع تناوبی با دوره T یکسان، تابع تناوبی با دوره T است.

2) اگر تابع f(x) دارای دوره T باشد، تابع f(ax) دارای دوره T/a است.

د) تابع معکوس.

اجازه دهید یک تابع y = f(x) با دامنه تعریف D و مجموعه ای از مقادیر E..gif" width="48" height="22"> داده شود، سپس یک تابع x = z(y) با یک دامنه تعریف E و مجموعه ای از مقادیر D تعریف می شود، چنین تابع z(y) نامیده می شود معکوس به تابع f(x) و به شکل زیر نوشته می شود: . توابع y = f(x) و x = z(y) به طور متقابل معکوس گفته می شود. برای یافتن تابع x = z(y)، معکوس تابع y = f(x)، کافی است معادله f(x) = y را برای x حل کنیم.

مثال ها:

1. برای تابع y = 2x تابع معکوس تابع x = ½ y است.

2. برای عملکرد تابع معکوس تابع است.

از تعریف تابع معکوس چنین بر می آید که تابع y = f(x) معکوس دارد اگر و فقط اگر f(x) مطابقت یک به یک بین مجموعه های D و E را مشخص کند. یک تابع کاملاً یکنواخت معکوس دارد . علاوه بر این، اگر تابعی افزایش یابد (کاهش یابد)، تابع معکوس نیز افزایش می یابد (کاهش).

3. مطالعه مطالب جدید.

عملکرد پیچیده

اجازه دهید تابع y = f(u) در مجموعه D و تابع u = z(x) در مجموعه و برای مقدار مربوطه تعریف شود. . سپس تابع u = f(z(x)) روی مجموعه تعریف می شود که فراخوانی می شود تابع پیچیده از x (یا برهم نهی توابع مشخص شده یا تابع از تابع ).

متغیر u = z(x) فراخوانی می شود استدلال میانیتابع پیچیده

برای مثال، تابع y = sin2x برهم نهی دو تابع y = sinu و u = 2x است. یک تابع پیچیده می تواند چندین آرگومان میانی داشته باشد.

4. حل چند مثال در تخته.

5. نتیجه گیری درس.

1) نتایج نظری و کاربردی درس عملی؛ ارزیابی متمایز از سطح تجربه ذهنی دانش آموزان؛ سطح تسلط آنها بر موضوع، شایستگی، کیفیت گفتار ریاضی شفاهی و کتبی. سطح خلاقیت نشان داده شده است. سطح استقلال و تأمل؛ سطح ابتکار، علاقه شناختی به روش های فردی تفکر ریاضی؛ سطوح همکاری، رقابت فکری، تمایل به سطوح بالای فعالیت آموزشی و ریاضی و غیره؛

2) اعلام نمرات مستدل، امتیاز درس.