روش جایگزینی متغیر (روش جایگزینی). روش تغییر متغیر در انتگرال نامعین نحوه حل انتگرال با تغییر متغیر

تغییر متغیر در یک انتگرال نامعین برای یافتن انتگرال هایی استفاده می شود که در آنها یکی از توابع مشتق تابع دیگری است. اجازه دهید $ \int f(x) dx $ انتگرال وجود داشته باشد، اجازه دهید $ x=\phi(t) $ را جایگزین کنیم. توجه داشته باشید که تابع $ \phi(t) $ قابل تفکیک است، بنابراین می‌توانیم $ dx = \phi"(t) dt $ را پیدا کنیم.

حالا $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ را در انتگرال جایگزین می کنیم و به این نتیجه می رسیم:

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

این یکی هست فرمول تغییر یک متغیر در یک انتگرال نامعین.

الگوریتم روش جایگزینی متغیر

بنابراین، اگر به مشکل یک انتگرال از شکل داده شود: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$، بهتر است متغیر را با متغیر جدیدی جایگزین کنید: $$ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$

پس از این، انتگرال به شکلی ارائه می‌شود که به راحتی می‌توان با روش‌های ادغام اولیه دریافت کرد: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$

فراموش نکنید که متغیر جایگزین شده را نیز به $x$ برگردانید.

نمونه هایی از راه حل ها

مثال 1

انتگرال نامعین را با استفاده از روش تغییر متغیر پیدا کنید: $$ \int e^(3x) dx $$

راه حل

متغیر را در انتگرال با $ t = 3x، dt = 3dx $ جایگزین می کنیم: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ انتگرال نمایی طبق جدول ادغام همچنان یکسان است، اگرچه به جای $ x $ $ t $ نوشته شده است: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ اگر نمی توانید مشکل خود را حل کنید، آن را برای ما ارسال کنید. ما راه حل دقیق ارائه خواهیم داد. شما می توانید پیشرفت محاسبات را مشاهده کرده و اطلاعاتی به دست آورید. این به شما کمک می کند نمره خود را به موقع از معلم خود بگیرید!

پاسخ

$$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$

نوع درس:یادگیری مطالب جدید

وظایف آموزشی:

• به دانش آموزان آموزش دهید تا از روش ادغام با جایگزینی استفاده کنند.
• به توسعه مهارت ها در استفاده از ادغام توابع ادامه دهید.
• به توسعه علاقه خود به ریاضیات از طریق حل مسئله ادامه دهید.
• پرورش نگرش آگاهانه نسبت به فرآیند یادگیری، القای احساس مسئولیت در قبال کیفیت دانش، اعمال خودکنترلی بر فرآیند حل و طراحی تمرین ها.
• یادآوری کنید که فقط استفاده آگاهانه از الگوریتم ها برای محاسبه انتگرال نامعین به دانش آموزان اجازه می دهد تا به طور کیفی بر موضوع مورد مطالعه تسلط پیدا کنند.

ارائه کلاس ها:

• جدول فرمول های ادغام اولیه؛
• کارت های وظیفه برای کارهای آزمایشی

دانشجو باید بداند:الگوریتم محاسبه انتگرال نامعین با استفاده از روش جایگزینی.

دانش آموز باید بتواند:دانش به دست آمده را برای محاسبه انتگرال های نامعین به کار ببرید.

انگیزه فعالیت شناختی دانش آموزان.

معلم گزارش می دهد که علاوه بر روش انتگرال گیری مستقیم، روش های دیگری نیز برای محاسبه انتگرال های نامعین وجود دارد که یکی از آنها روش جایگزینی است. این رایج ترین روش ادغام یک تابع پیچیده است که شامل تبدیل انتگرال با انتقال به متغیر ادغام دیگری است.

پیشرفت درس

من. زمان سازماندهی

II. بررسی تکالیف

بررسی پیشانی:

III. تکرار دانش پایه دانش آموزان.

1) جدول فرمول های ادغام اولیه را تکرار کنید.

2) روش ادغام مستقیم چیست را تکرار کنید.

انتگرال مستقیم روشی از انتگرال است که در آن یک انتگرال معین به یک یا چند انتگرال جدول با استفاده از تبدیل های یکسان انتگرال و اعمال ویژگی های انتگرال نامعین کاهش می یابد.

IV. یادگیری مطالب جدید.

همیشه نمی توان یک انتگرال معین را با ادغام مستقیم محاسبه کرد و گاهی اوقات این امر با مشکلات زیادی همراه است. در این موارد از تکنیک های دیگری استفاده می شود. یکی از موثرترین تکنیک ها روش جایگزینی یا جایگزینی متغیر ادغام است. ماهیت این روش این است که با معرفی یک متغیر یکپارچه سازی جدید، می توان یک انتگرال معین را به یک انتگرال جدید کاهش داد که گرفتن مستقیم آن نسبتاً آسان است. اگر پس از تغییر متغیر، انتگرال ساده تر شود، هدف از جایگزینی محقق شده است. ادغام با روش جایگزینی بر اساس فرمول است

بیایید این روش را در نظر بگیریم.

الگوریتم محاسبهانتگرال نامعین به روش جایگزینی:

1. تعیین کنید که این انتگرال به کدام انتگرال جدول کاهش می یابد (در صورت لزوم پس از تبدیل انتگرال ابتدا).
2. تعیین کنید که کدام قسمت از انتگرال را با یک متغیر جدید جایگزین کنید و این جایگزینی را یادداشت کنید.
3. دیفرانسیل هر دو قسمت رکورد را بیابید و دیفرانسیل متغیر قدیمی (یا عبارتی حاوی این دیفرانسیل) را بر حسب دیفرانسیل متغیر جدید بیان کنید.
4. زیر انتگرال یک تعویض انجام دهید.
5. انتگرال حاصل را بیابید.
6. در نتیجه، جایگزینی معکوس ساخته می شود، یعنی. به متغیر قدیمی بروید بررسی نتیجه با تمایز مفید است.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال ها.انتگرال ها را بیابید:

1) )4

بیایید جایگزین را معرفی کنیم:

با تمایز این برابری، داریم:

V. کاربرد دانش در حل مثال های معمولی.

VI. کاربرد مستقل دانش، مهارت ها و توانایی ها.

انتخاب 1

انتگرال ها را بیابید:

گزینه 2

انتگرال ها را بیابید:

VII. جمع بندی درس.

هشتم. مشق شب:

G.N. یاکولف، قسمت 1، §13.2، بند 2، شماره 13.13 (1،4،5)، 13.15 (1،2،3)

این روش بر اساس فرمول زیر است: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt، که در آن x = j(t) یک تابع قابل تمایز در بازه مورد بررسی است.

اثبات بیایید مشتقات مربوط به متغیر t را از سمت چپ و راست فرمول پیدا کنیم.

توجه داشته باشید که در سمت چپ یک تابع پیچیده وجود دارد که آرگومان میانی آن x = j(t) است. بنابراین، برای متمایز کردن آن نسبت به t، ابتدا انتگرال را نسبت به x متمایز می کنیم و سپس مشتق آرگومان میانی را نسبت به t می گیریم.

(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)

مشتق از سمت راست:

(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)

از آنجایی که این مشتقات برابر هستند، بر اساس قضیه لاگرانژ، سمت چپ و راست فرمول ثابت شده با یک ثابت مشخص متفاوت است. از آنجایی که انتگرال های نامعین خود تا یک مدت ثابت نامعین تعریف می شوند، این ثابت را می توان از نماد نهایی حذف کرد. اثبات شده است.

تغییر موفقیت آمیز متغیر به شما امکان می دهد انتگرال اصلی را ساده کنید و در ساده ترین موارد آن را به جدولی کاهش دهید. در کاربرد این روش بین روش های جایگزینی خطی و غیرخطی تمایز قائل می شود.

الف) اجازه دهید روش جایگزینی خطی را با استفاده از یک مثال در نظر بگیریم.

مثال 1.. بگذارید t = 1 – 2x، سپس

dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt

لازم به ذکر است که متغیر جدید نیازی به نوشتن صریح ندارد. در چنین مواردی، آنها در مورد تبدیل یک تابع تحت علامت دیفرانسیل یا در مورد معرفی ثابت ها و متغیرها در زیر علامت دیفرانسیل صحبت می کنند، یعنی. O جایگزینی متغیر ضمنی.

مثال 2.برای مثال، بیایید òcos(3x + 2)dx را پیدا کنیم. با توجه به خواص دیفرانسیل
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2)، سپس òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.

در هر دو مثال در نظر گرفته شده، جایگزینی خطی t = kx + b (k 1 0) برای یافتن انتگرال ها استفاده شد.

در حالت کلی، قضیه زیر معتبر است.

قضیه جانشینی خطی. فرض کنید F(x) پاد مشتق تابع f(x) باشد. سپس òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C، که در آن k و b چند ثابت هستند، k¹ 0.

اثبات

با تعریف انتگرال، òf(kx + b)d (kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. اجازه دهید ضریب ثابت k را خارج از علامت انتگرال بگیریم: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. حالا می‌توانیم سمت چپ و راست تساوی را بر k تقسیم کنیم و گزاره‌ای را به دست آوریم که باید اثبات شود. تا تعیین مدت ثابت.

این قضیه بیان می کند که اگر در تعریف انتگرال ò f(x)dx = F(x) + C به جای آرگومان x عبارت (kx + b) را جایگزین کنیم، این منجر به ظهور یک اضافی می شود. فاکتور 1/k در مقابل ضد مشتق.

با استفاده از قضیه اثبات شده، مثال های زیر را حل می کنیم.

مثال 3.

بیا پیداش کنیم در اینجا kx + b = 3 - x، یعنی. k = -1، b = 3. سپس

مثال 4.

بیا پیداش کنیم در اینجا kx + b = 4x + 3، یعنی. k = 4، b = 3. سپس

مثال 5.

بیا پیداش کنیم در اینجا kx + b = -2x + 7، یعنی. k = -2، b = 7. سپس

.

مثال 6.بیا پیداش کنیم در اینجا kx + b = 2x + 0، یعنی. k = 2، b = 0.

.

اجازه دهید نتیجه به دست آمده را با مثال 8 مقایسه کنیم که با روش تجزیه حل شد. حل مشکل مشابه با استفاده از روشی متفاوت، به جواب رسیدیم . بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم: . بنابراین، این عبارات با یک عبارت ثابت با یکدیگر تفاوت دارند، یعنی. پاسخ های دریافتی هیچ تناقضی با یکدیگر ندارند.

مثال 7.پیدا خواهیم کرد . بیایید یک مربع کامل در مخرج انتخاب کنیم.

در برخی موارد، تغییر یک متغیر انتگرال را مستقیماً به جدولی کاهش نمی دهد، اما می تواند راه حل را ساده کند و استفاده از روش بسط را در مرحله بعدی ممکن می کند.

مثال 8.مثلا بیایید پیدا کنیم. t = x + 2 را جایگزین می کنیم، سپس dt = d(x + 2) = dx را جایگزین می کنیم. سپس

,

که در آن C = C 1 – 6 (هنگام جایگزینی عبارت (x + 2) به جای t، به جای دو عبارت اول، ½x 2 -2x – 6 دریافت می کنیم).

مثال 9.بیا پیداش کنیم بگذارید t = 2x + 1، سپس dt = 2dx. dx = ½ dt; x = (t – 1)/2.

بیایید عبارت (2x + 1) را جایگزین t کنیم، پرانتزها را باز کنیم و موارد مشابه بدهیم.

توجه داشته باشید که در فرآیند تبدیل ما به یک ترم ثابت دیگر حرکت کردیم، زیرا گروه اصطلاحات ثابت را می توان در طول فرآیند تبدیل حذف کرد.

ب) اجازه دهید روش جایگزینی غیرخطی را با استفاده از یک مثال در نظر بگیریم.

مثال 1.. اجازه دهید t = - x 2. در مرحله بعد، می توان x را بر حسب t بیان کرد، سپس یک عبارت برای dx پیدا کرد و تغییری از متغیر را در انتگرال مورد نظر پیاده کرد. اما در این مورد ساده تر است که کارها را متفاوت انجام دهید. بیایید dt = d(-x 2) = -2xdx را پیدا کنیم. توجه داشته باشید که عبارت xdx فاکتوری از انتگرال انتگرال مورد نظر است. اجازه دهید آن را از برابری حاصل از xdx = - ½ dt بیان کنیم. سپس

= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C

بیایید به چند نمونه دیگر نگاه کنیم.

مثال 2.بیا پیداش کنیم بگذارید t = 1 - x 2. سپس

مثال 3.بیا پیداش کنیم بگذارید t = سپس

;

مثال 4.در مورد جایگزینی غیرخطی، استفاده از جایگزینی متغیر ضمنی نیز راحت است.

مثلا بیایید پیدا کنیم. بیایید xdx = بنویسیم
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (به طور ضمنی با متغیر t = 3 - 2x 2 جایگزین شده است). سپس

مثال 5.پیدا خواهیم کرد . در اینجا یک متغیر زیر علامت دیفرانسیل نیز معرفی می کنیم: (جایگزینی ضمنی t = 3 + 5x 3). سپس

مثال 6.بیا پیداش کنیم زیرا،

مثال 7.بیا پیداش کنیم از آن به بعد

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم که در آنها ترکیب جایگزین های مختلف ضروری می شود.

مثال 8.پیدا خواهیم کرد . اجازه دهید
t = 2x + 1، سپس x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.

مثال 9.پیدا خواهیم کرد . اجازه دهید
t = x - 2، سپس x = t + 2. dx = dt.

یکپارچه سازی با تغییر متغیر (روش جایگزینی) یکی از متداول ترین روش ها برای یافتن انتگرال است.

هدف از معرفی یک متغیر جدید، ساده سازی یکپارچه سازی است. بهترین گزینه جایگزینی یک متغیر و به دست آوردن یک انتگرال جدولی با توجه به متغیر جدید است. چگونه تعیین کنیم که چه جایگزینی باید ساخته شود؟ مهارت ها با تجربه به دست می آیند. هر چه مثال های بیشتری حل شوند، نمونه های بعدی سریعتر حل می شوند. در مرحله اولیه از استدلال زیر استفاده می کنیم:

به این معنا که. اگر در زیر علامت انتگرال حاصل ضرب یک تابع f(x) و مشتق آن f'(x) را ببینیم، این تابع f(x) باید به عنوان یک متغیر جدید t در نظر گرفته شود، زیرا دیفرانسیل dt=f '(x) )dx از قبل وجود دارد.

بیایید به نحوه عملکرد روش جایگزینی متغیر با استفاده از مثال های خاص نگاه کنیم.

محاسبه انتگرال ها با استفاده از روش جایگزینی متغیر:

در اینجا 1/(1+x²) مشتق تابع arctan x است. بنابراین، arctan x را به عنوان متغیر جدید t در نظر می گیریم. در مرحله بعد استفاده خواهیم کرد:

بعد از اینکه انتگرال t را پیدا کردیم، جایگزینی معکوس را انجام می دهیم:

اگر سینوس را t بگیریم، پس باید مشتق آن یعنی کسینوس (تا علامت) نیز وجود داشته باشد. اما کسینوس در انتگرال وجود ندارد. اما اگر توان را به صورت t بگیریم، همه چیز درست می شود:

برای بدست آوردن دیفرانسیل مورد نظر dt علامت را در صورت و جلوی انتگرال تغییر دهید:

(اینجا (ln(cosx))’ - . )

جایگزینی چند جمله اییا. در اینجا یک چند جمله ای درجه است، برای مثال، عبارت یک چند جمله ای درجه است.

فرض کنید یک مثال داریم:

بیایید از روش جایگزینی متغیر استفاده کنیم. به نظر شما برای چه کاری باید گرفت؟ درست، .

معادله تبدیل می شود:

ما یک تغییر معکوس متغیرها را انجام می دهیم:

بیایید معادله اول را حل کنیم:

بیا تصمیم بگیریم دومینمعادله:

… این یعنی چی؟ درست! که هیچ راه حلی وجود ندارد.

بنابراین، ما دو پاسخ دریافت کردیم - ; .

آیا می دانید چگونه از روش جایگزینی متغیر برای چند جمله ای استفاده کنید؟ خودتان این کار را تمرین کنید:

تصمیم گرفت؟ حالا بیایید نکات اصلی را با شما بررسی کنیم.

شما باید آن را بگیرید.

این عبارت را دریافت می کنیم:

با حل یک معادله درجه دوم، متوجه می شویم که دارای دو ریشه است: و.

راه حل معادله درجه دوم اعداد و

حل معادله دوم دوم - اعداد و.

پاسخ: ; ; ;

بیایید آن را جمع بندی کنیم

روش جایگزینی متغیر دارای انواع اصلی جایگزینی متغیر در معادلات و نابرابری است:

1. جانشینی قدرت، زمانی که برخی ناشناخته ها را به یک توان افزایش می دهیم.

2. جایگزینی یک چند جمله ای، زمانی که یک عبارت کامل حاوی یک مجهول را در نظر می گیریم.

3. جایگزینی کسری-عقلانی، زمانی که هر رابطه ای حاوی متغیر مجهول را در نظر می گیریم.

مهم مشاورههنگام معرفی یک متغیر جدید:

1. تعویض متغیرها باید بلافاصله و در اولین فرصت انجام شود.

2. معادله یک متغیر جدید باید تا انتها حل شود و تنها پس از آن به مجهول قبلی بازگردانده شود.

3. هنگام بازگشت به ناشناخته اصلی (و در واقع در کل راه حل)، فراموش نکنید که ریشه ها را برای ODZ بررسی کنید.

یک متغیر جدید به روشی مشابه، هم در معادلات و هم در نابرابری ها معرفی می شود.

بیایید به 3 مشکل نگاه کنیم

پاسخ به 3 مشکل

1. اجازه دهید، سپس عبارت شکل می گیرد.

از آنجایی که می تواند هم مثبت و هم منفی باشد.

پاسخ:

2. اجازه دهید، سپس عبارت شکل می گیرد.

هیچ راه حلی وجود ندارد زیرا ...

پاسخ:

3. با گروه بندی دریافت می کنیم:

اجازه دهید سپس عبارت شکل بگیرد
.

پاسخ:

جایگزینی متغیرها. سطح متوسط.

جایگزینی متغیرها- این معرفی یک مجهول جدید است که با توجه به آن معادله یا نابرابری شکل ساده تری دارد.

من انواع اصلی جایگزین ها را لیست می کنم.

تعویض نیرو

تعویض نیرو

به عنوان مثال، با استفاده از یک جایگزین، یک معادله دو درجه به یک درجه دوم کاهش می یابد: .

در نابرابری ها همه چیز مشابه است.

به عنوان مثال، ما یک جایگزین در نامساوی ایجاد می کنیم و یک نامساوی درجه دوم می گیریم: .

مثال (خودتان تصمیم بگیرید):

راه حل:

این یک معادله کسری - منطقی (تکرار) است، اما حل آن با استفاده از روش معمول (کاهش به مخرج مشترک) ناخوشایند است، زیرا معادله درجه را به دست خواهیم آورد، بنابراین از تغییر متغیرها استفاده می شود.

همه چیز پس از جایگزینی بسیار ساده تر می شود: . سپس:

حالا بیایید آن را انجام دهیم تعویض معکوس:

پاسخ: ؛ .

جایگزینی چند جمله ای

جایگزینی چند جمله ای یا.

در اینجا یک چند جمله ای درجه است، یعنی. بیان فرم

(به عنوان مثال، عبارت چند جمله ای درجه است، یعنی).

متداول ترین جایگزینی که برای مثلث درجه دوم استفاده می شود عبارت است از: یا.

مثال:

معادله را حل کنید.

راه حل:

و مجدداً از جایگزینی متغیرها استفاده می شود.

سپس معادله به شکل زیر در می آید:

ریشه های این معادله درجه دوم عبارتند از: و.

ما دو مورد داریم. بیایید یک جایگزین معکوس برای هر یک از آنها انجام دهیم:

یعنی این معادله ریشه ندارد.

ریشه های این معادله عبارتند از: i.

پاسخ. .

جایگزینی کسری-عقلانی

جایگزینی کسری-عقلانی.

و به ترتیب چند جمله ای درجه و.

به عنوان مثال، هنگام حل معادلات متقابل، یعنی معادلات شکل

جایگزینی معمولا استفاده می شود.

حالا من به شما نشان خواهم داد که چگونه کار می کند.

بررسی اینکه چه چیزی ریشه این معادله نیست آسان است: به هر حال، اگر آن را در معادله جایگزین کنیم، آنچه را که با شرط در تضاد است به دست می آوریم.

بیایید معادله را به زیر تقسیم کنیم:

بیایید دوباره گروه بندی کنیم:

حالا جایگزین می کنیم: .

زیبایی آن در این است که هنگام مجذور حاصلضرب دو عبارت، x کاهش می یابد:

نتیجه می شود که.

بیایید به معادله خود بازگردیم:

اکنون کافی است معادله درجه دوم را حل کرده و جایگزینی معکوس را انجام دهیم.

مثال:

معادله را حل کنید: .

راه حل:

بنابراین وقتی برابری برقرار نیست. بیایید معادله را به زیر تقسیم کنیم:

معادله به شکل زیر خواهد بود:

ریشه های آن:

بیایید یک جایگزین معکوس ایجاد کنیم:

بیایید معادلات حاصل را حل کنیم:

پاسخ: ؛ .

مثالی دیگر:

نابرابری را حل کنید.

راه حل:

با جایگزینی مستقیم ما متقاعد شده ایم که در حل این نابرابری گنجانده نشده است. صورت و مخرج هر کسر را بر دو تقسیم کنید:

اکنون جایگزینی متغیر واضح است: .

سپس نابرابری به شکل زیر در می آید:

برای یافتن y از روش بازه استفاده می کنیم:

جلوی همه، چون

جلوی همه، چون

بنابراین نابرابری برابر با زیر است:

جلوی همه چون...

این به این معنی است که نابرابری معادل زیر است: .

بنابراین، نابرابری معادل جمع است:

پاسخ: .

جایگزینی متغیرها- یکی از مهم ترین روش ها برای حل معادلات و نابرابری ها.

در پایان، من به شما چند نکته مهم را ارائه می کنم:

جایگزینی متغیرها. خلاصه و فرمول های اساسی.

جایگزینی متغیرها- روشی برای حل معادلات و نابرابری های پیچیده که به شما امکان می دهد عبارت اصلی را ساده کنید و آن را به یک فرم استاندارد برسانید.

انواع جایگزینی متغیر:

1. جایگزینی برق:در نظر گرفته شده است برخی ناشناخته، مطرح شده به یک قدرت - .
2. جایگزینی کسری-عقلانی:هر رابطه ای که حاوی یک متغیر مجهول باشد به صورت - ، که در آن و به ترتیب چند جمله ای های درجه n و m هستند.
3. جایگزینی چند جمله ای:کل عبارت حاوی مجهول به صورت - یا، جایی که چند جمله ای درجه است.

پس از حل یک معادله/نابرابری ساده شده، لازم است یک جایگزین معکوس انجام شود.