تابع بولیتابعی است که در آن متغیرها فقط دو مقدار می گیرند: یک منطقی یا یک صفر منطقی. صدق یا نادرستی گزاره های پیچیده تابعی از صدق یا نادرستی گزاره های ساده است. این تابع تابع قضاوت بولی f (a, b) نامیده می شود.

هر تابع منطقی را می توان با استفاده از یک جدول صدق مشخص کرد که در سمت چپ آن مجموعه ای از آرگومان ها نوشته شده است و در سمت راست - مقادیر مربوط به تابع منطقی.

هنگام ساخت جدول حقیقت، باید ترتیب انجام عملیات منطقی را در نظر گرفت. عملیات در یک عبارت بولی از چپ به راست، شامل پرانتز، به ترتیب زیر انجام می شود:

• 1. وارونگی;
• 2. پیوند;
• 3. تفکیک;
• 4. دلالت و هم ارزی.

از پرانتز برای تغییر ترتیب مشخص شده عملیات منطقی استفاده می شود.

به شرح زیر الگوریتم جدول حقیقت.

• 1. تعیین کنید تعداد مجموعه ای از متغیرهای ورودی- تمام ترکیبات ممکن از مقادیر متغیرهای موجود در عبارات، طبق فرمول: Q=2 n، که در آن n تعداد متغیرهای ورودی است. تعداد ردیف های جدول را مشخص می کند.
• 2. تمام مجموعه متغیرهای ورودی را در جدول وارد کنید.
• 3. تعداد عملیات منطقی و ترتیب اجرای آنها را تعیین کنید.
• 4. ستون ها را با نتایج انجام عملیات منطقی به ترتیب مشخص شده پر کنید.

برای اینکه ترکیبی از مقادیر متغیرهای ورودی را تکرار یا نادیده نگیرید، باید از یکی از روش های زیر برای پر کردن جدول استفاده کنید.

روش 1. هر مجموعه از مقادیر متغیرهای ورودی یک کد عددی در سیستم اعداد باینری است و تعداد ارقام عدد برابر با تعداد متغیرهای ورودی است. مجموعه اول عدد 0 است. هر بار با اضافه کردن 1 به عدد فعلی، مجموعه بعدی را بدست می آوریم. آخرین مجموعه حداکثر مقدار یک عدد باینری برای طول کد معین است.

به عنوان مثال، برای تابعی از سه متغیر، دنباله مجموعه ها از اعداد تشکیل شده است:

روش 2. برای تابعی از سه متغیر، توالی داده ها را می توان به روش زیر بدست آورد:

• الف) ستون مقادیر متغیر اول را به نصف تقسیم کنید و نیمه بالایی را با صفر و نیمه پایینی را با یک ها پر کنید.
• ب) در ستون بعدی برای متغیر دوم، دوباره نصف را به دو نیم تقسیم کنید و با گروه های صفر و یک پر کنید. به طور مشابه نیمه دوم را پر کنید.
• ج) این کار را تا زمانی انجام دهید که گروه های صفر و یک از یک کاراکتر تشکیل شوند.

روش 3. از جدول حقیقت شناخته شده برای دو آرگومان استفاده کنید. هنگام اضافه کردن آرگومان سوم ابتدا 4 سطر اول جدول را بنویسید و آنها را با مقدار آرگومان سوم برابر با 0 ترکیب کنید و سپس همان 4 سطر را دوباره بنویسید اما اکنون با مقدار آرگومان سوم برابر با 1 است. در نتیجه، جدول سه آرگومان دارای 8 خط خواهد بود:

به عنوان مثال، بیایید یک جدول حقیقت برای یک تابع منطقی بسازیم:

تعداد متغیرهای ورودی در عبارت داده شده سه متغیر است (A,B,C). بنابراین تعداد مجموعه های ورودی Q=2 3 =8 .

ستون های جدول صدق با مقادیر عبارات اصلی مطابقت دارند A,B,C، نتایج میانی و ( ب V سیو همچنین مقدار نهایی مورد نظر یک عبارت پیچیده حسابی:

• 0 0 0 1 0 0
• 0 0 1 1 1 1
• 0 1 0 1 1 1
• 0 1 1 1 1 1
• 1 0 0 0 0 0
• 1 0 1 0 1 0
• 1 1 0 0 1 0
• 1 1 1 0 1 0
• 7.4. توابع منطقی و تبدیل آنها قوانین منطق

برای عملیات پیوند، تفکیک و وارونگی، قوانین جبر بولی تعریف شده است که به فرد اجازه انجام تبدیلات یکسان (معادل) عبارات منطقی.

قوانین منطق

• 1. ¬¬ A
• 2.A&B
• 3. AVB
• 4.A&(B&C)
• 5.AV (BVC)
• 6. A&(BVC)
• 7.AV (B&C)
• 8.A&A
• 9. آوا
• 10. AV-A
• 11. A&¬A
• 12. A&I
• 13. AVI
• 14. A&L
• 15. AVL
• 16. ¬(A&B)
• 17. ¬(AVB)
• 18. الف => ب

بر اساس قوانین، می توانید عبارات منطقی پیچیده را ساده کنید. این فرآیند جایگزینی یک تابع منطقی پیچیده با یک تابع ساده تر اما معادل، کمینه سازی تابع نامیده می شود.

مثال 1 عبارات را ساده کنید تا فرمول های به دست آمده حاوی نفی عبارات پیچیده نباشند.

راه حل

مثال 2 به حداقل رساندن عملکرد

هنگام ساده سازی بیان، از فرمول های جذب و چسب استفاده شد.

مثال 3 نفی عبارت زیر را بیابید: "اگر درس جالب باشد، هیچ یک از دانش آموزان (میشا، ویکا، سوتا) به بیرون از پنجره نگاه نمی کنند."

راه حل

بیایید عبارات را نشان دهیم:

Y- "درس جالب است"؛

م- "میشا از پنجره به بیرون نگاه می کند"؛

ب- "ویکا از پنجره به بیرون نگاه می کند"؛

سی- "سوتا از پنجره به بیرون نگاه می کند."

هنگام ساده سازی عبارت، از فرمول جایگزینی عملیات و قانون دی مورگان استفاده شد.

مثال 4 شرکت کننده در جرم را بر اساس دو فرض تعیین کنید: جدول منطقی کامپیوتر

• 1) "اگر ایوانف شرکت نکرد یا پتروف شرکت کرد، سیدوروف شرکت کرد"؛
• 2) "اگر ایوانف شرکت نکرد، سیدوروف شرکت نکرد."

راه حل

بیایید عباراتی بسازیم:

من- "ایوانف در جنایت شرکت کرد"؛

پ- "پتروف در جنایت شرکت کرد"؛

اس- "سیدوروف در جنایت شرکت کرد."

بسته ها را به صورت فرمول می نویسیم:

بیایید نتیجه را با استفاده از جدول حقیقت بررسی کنیم:

پاسخ:ایوانف در این جنایت شرکت داشت.

ساخت یک تابع منطقی از جدول صدق آن

ما یاد گرفته ایم که چگونه یک جدول صدق برای یک تابع منطقی بسازیم. بیایید سعی کنیم مشکل معکوس را حل کنیم.

سطرهایی را در نظر بگیرید که مقدار صدق تابع Z درست است (Z=1). تابع این جدول صدق را می توان به صورت زیر نوشت: Z(X,Y) = (¬X& ¬Y)V(X& ¬Y).

هر خطی که تابع درست است (برابر 1) مربوط به یک براکت است که ترکیبی از آرگومان ها است و اگر مقدار آرگومان 0 باشد، آن را با یک نفی می گیریم. همه براکت ها توسط عملیات جداسازی به هم متصل می شوند. فرمول حاصل را می توان با اعمال قوانین منطق ساده کرد:

Z(X,Y)<=>((¬X& ¬Y) VX)&((¬X&Y)V ¬Y)<=>(XV(¬X&¬Y)) &(¬YV(¬X&¬Y))<=>((XV¬X)&(XV ¬Y))&((Y¬V ¬X)&(¬YV ¬Y))<=>(1&(XV ¬Y))&((¬YV ¬X)&¬Y)<=>(XV ¬Y)&((¬YV ¬X)& ¬Y).

فرمول حاصل را بررسی کنید: یک جدول صدق برای تابع Z(X,Y) بسازید.

قوانین ساخت یک تابع منطقی را با توجه به جدول صدق آن بنویسید:

• 1. در جدول صدق آن سطرهایی را انتخاب کنید که مقدار تابع در آنها 1 است.
• 2. فرمول مورد نظر را به صورت تفکیک چند عنصر منطقی بنویسید. تعداد این عناصر برابر با تعداد ردیف های انتخاب شده است.
• 3. هر عنصر منطقی را در این تفکیک به صورت ترکیبی از آرگومان های تابع بنویسید.
• 4. اگر مقدار هر آرگومان تابعی در خط مربوطه جدول 0 باشد، این آرگومان را با یک نفی می گیریم.

1. مسیر عمل را تعیین کنید.

2. بعد جدول صدق را تعیین کنید.

تعداد ستون ها با تعداد متغیرهای منطقی (دو مورد از آنها A، B وجود دارد) و تعداد اقدامات (همچنین دو مورد از آنها وجود دارد) تعیین می شود.

4. پاسخ را فرموله کنید.
آخرین ستون دارای یک "0" است که مربوط به A که "1" و B بودن "0" است. معلوم می شود که این تابع اگر و فقط در صورتی نادرست است که متغیر منطقی A درست باشد و متغیر منطقی B نادرست است که با تابع منطقی CONSEQUENCE مطابقت دارد.
این بدان معنی است که این تابع با نتیجه منطقی متغیرهای A و B برابر است: اگر A، سپس B.

یک جدول حقیقت برای یک تابع منطقی بسازید:

1. مسیر عمل را تعیین کنید.

2. بعد جدول صدق را تعیین کنید.

"هدر" جدول شامل دو ردیف است - تعداد اقدامات و عملیات منطقی اقدامات.
تعداد ستون ها با تعداد متغیرهای منطقی (دو مورد از آنها A، B وجود دارد) و تعداد اقدامات (پنج مورد از آنها وجود دارد) تعیین می شود.
تعداد ردیف های جدول دو به توان برابر با تعداد متغیرهای بولی است - در مورد دو متغیر، 4 ردیف به دست می آید.
3. ستون های جدول را یکی یکی مطابق با عملکرد منطقی این ستون پر کنید.


4. پاسخ را فرموله کنید.
در ستون آخر، "1" مربوط به A برابر با B، و "0" به A برابر با B نیست. معلوم می شود که این تابع زمانی که A برابر با B باشد، درست است و زمانی که A برابر با B نباشد، نادرست است. که با تابع منطقی IDENTITY مطابقت دارد.
این بدان معنی است که این تابع برابر با IDENTITY منطقی متغیرهای A و B است: A با B یکسان است.

انفورماتیک: سخت افزار رایانه شخصی یاشین ولادیمیر نیکولاویچ

4.3. توابع منطقی و جداول صدق

روابط بین متغیرهای منطقی و توابع منطقی در جبر منطق را می توان با استفاده از جداول مربوطه که به آنها جداول صدق می گویند نیز نمایش داد. جداول حقیقت به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرند زیرا به وضوح نشان می دهند که یک تابع منطقی چه مقادیری را برای همه ترکیبات مقادیر متغیرهای منطقی خود می گیرد. جدول حقیقت دارای دو بخش است. قسمت اول (سمت چپ) به متغیرهای منطقی اشاره دارد و شامل لیست کاملی از ترکیبات احتمالی متغیرهای منطقی است. الف، ب، ج...قسمت دوم (راست) این جدول حالت های خروجی را به عنوان تابعی منطقی از ترکیب مقادیر ورودی تعریف می کند.

به عنوان مثال، برای تابع منطقی F=A v B v C(انفکاک) از سه متغیر بولی الف، بو از جانبجدول صدق مانند آنچه در شکل نشان داده شده است خواهد بود. 4.1. برای ثبت مقادیر متغیرهای منطقی و یک تابع منطقی، این جدول صدق شامل 8 سطر و 4 ستون است، یعنی تعداد خطوط ثبت مقادیر آرگومان ها و توابع هر جدول صدق برابر است با 2 nجایی که پ -تعداد آرگومان های تابع بولی و تعداد ستون ها است n+ 1.

برنج. 4.1. جدول حقیقت برای تابع منطقی F=A v که در v C

جدول صدق را می توان برای هر تابع منطقی کامپایل کرد، به عنوان مثال، در شکل. 4.2 جدول صدق تابع منطقی را نشان می دهد F=A؟ ب سی(معادل).

توابع منطقی دارای نام های مربوطه هستند. برای دو متغیر باینری، شانزده تابع بولی وجود دارد که نام آنها در زیر آمده است. روی انجیر 4.3 جدولی است که توابع منطقی را نشان می دهد F1، F2، F3, … , F 16دو متغیر بولی آو که در.

تابع F1 = 0و تابع ثابت صفر یا مولد صفر نامیده می شود.

برنج. 4.2. جدول حقیقت برای تابع منطقی F=A؟ ب سی

برنج. 4.3. توابع منطقی F 1 , F 2 , F 3 ,… F 16 از دو آرگومان ولیو که در

تابع F2=A&Bتابع ربط نامیده می شود.

ولی.

تابع F 4 \u003d A ولی.

تابع ممنوعیت توسط متغیر بولی نامیده می شود که در.

تابع F 6 \u003d Bتابع تکرار روی یک متغیر بولی نامیده می شود که در.

تابع XOR نامیده می شود.

تابع F 8 \u003d A v Bتابع تفکیک نامیده می شود.

تابع Pierce نامیده می شود.

تابع معادل نامیده می شود.

که در.

تابع F 12 \u003d B؟ آ ب آ.

تابع نفی (وارونگی) با توجه به متغیر بولی نامیده می شود ولی.

تابع F 14 \u003d A بتابع ضمنی نامیده می شود آ؟ ب.

تابع شفر نامیده می شود.

تابع F16= 1 تابع مولد 1 نامیده می شود.

در میان توابع منطقی متغیرهای ذکر شده در بالا، چندین تابع منطقی وجود دارد که می توان از آنها برای بیان سایر توابع منطقی استفاده کرد. عمل جایگزینی یک تابع منطقی با تابع دیگر در جبر منطق را عملیات برهم نهی یا روش برهم نهی می گویند. برای مثال، تابع شفر را می توان با استفاده از توابع منطقی تفکیک و نفی، با استفاده از قانون دی مورگان بیان کرد:

توابع بولی که می توانند برای بیان سایر توابع منطقی با استفاده از روش برهم نهی استفاده شوند، توابع منطقی پایه نامیده می شوند. به چنین مجموعه ای از توابع منطقی پایه، مجموعه ای کامل از توابع منطقی می گویند. در عمل، سه تابع منطقی به عنوان یک مجموعه به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرند: پیوند، تفکیک و نفی. اگر یک تابع منطقی با استفاده از توابع پایه نمایش داده شود، این شکل از نمایش عادی نامیده می شود. در مثال قبل، تابع بولی شفر که بر حسب توابع پایه بیان می شود، به شکل نرمال است.

با استفاده از مجموعه ای از توابع اساسی و دستگاه های فنی مربوط به آنها که این توابع منطقی را پیاده سازی می کنند، می توانید هر دستگاه یا سیستم منطقی را توسعه و ایجاد کنید.

برنج. 4.4. Function Wizard - مرحله 1 از 2 کادر گفتگو

همانطور که در شکل دیده میشود. 4.4، در ترکیب توابع منطقی برنامه MS Excelشامل یک مجموعه عملکردی کامل از توابع منطقی، متشکل از توابع منطقی زیر است: AND (ارتباط)، OR (انفصال)، NOT (نفی). بنابراین، با کمک یک مجموعه عملکردی کامل از توابع منطقی برنامه MS Excelتوابع دیگر را می توان پیاده سازی کرد. تابع منطقی IF (پیمایش)، همچنین در توابع منطقی گنجانده شده است ام اس اکسل،یک بررسی منطقی انجام می دهد و بسته به نتیجه بررسی، یکی از دو عمل ممکن را انجام می دهد. در این برنامه، فرمت زیر را دارد: = IF (arg1; arg2; arg3)، که در آن arg1 یک شرط منطقی است. arg2 مقدار بازگشتی است مشروط بر اینکه مقدار آرگومان arg1 true باشد (TRUE). arg3 مقدار بازگشتی است به شرطی که مقدار آرگومان arg1 برآورده نشود (FALSE). به عنوان مثال، اگر در یک سلول دلخواه از برگه برنامه MS Excelعبارت "= IF (A1 = 5؛ "پنج"؛ "نه پنج") را وارد کنید، سپس وقتی عدد 5 را در سلول A1 وارد کنید و کلید "Enter" را در سلول A1 فشار دهید، کلمه "پنج" خواهد بود. به صورت خودکار نوشته می شود، وقتی هر عدد دیگری را در سلول A1 وارد می کنید، کلمه "نه پنج" در آن نوشته می شود. همانطور که قبلا ذکر شد، با استفاده از توابع منطقی برنامه ام اس اکسل می تواندسایر توابع منطقی و جداول صدق متناظر آنها را ارائه دهید.

ما با استفاده از توابع منطقی IF و AND جدول صدق تغییر یافته تابع منطقی را پیاده سازی می کنیم F = A & B(ارتباط)، متشکل از دو ردیف و سه ستون، که به شما امکان می دهد مقادیر (0 یا 1) متغیرهای منطقی را تغییر دهید. الف و ببرای مثال در سلول E6 مقدار تابع را بطور خودکار تنظیم کنید F = A و B،مربوط به مقادیر این متغیرهای بولی است. برای انجام این کار، عبارت زیر را در سلول E6 وارد کنید: "=IF (AND (C6; D6؛ 1; 0)"، سپس وقتی 0 یا 1 را در سلول های C6 و D6 وارد می کنید، یک تابع منطقی در سلول انجام می شود. E6 F = A & B.نتیجه این اقدامات در شکل نشان داده شده است. 4.5.

برنج. 4.5. پیاده سازی جدول صدق تابع منطقی اصلاح شده F=A&B

این متن یک مقدمه است.برگرفته از کتاب علوم کامپیوتر و فناوری اطلاعات: نکات سخنرانی نویسنده Tsvetkov A V

1. دستورات منطقی در کنار ابزارهای محاسبات حسابی، سیستم فرمان ریزپردازنده دارای ابزارهای تبدیل منطقی داده نیز می باشد. با ابزارهای منطقی چنین تبدیل داده ها، که بر اساس قوانین رسمی است

از کتاب کامپیوتر 100. شروع با ویندوز ویستا نویسنده زوزولیا یوری

توابع منطقی در اکسل در محاسبات اغلب لازم است بسته به شرایط خاص فرمولی انتخاب شود. به عنوان مثال، هنگام محاسبه دستمزد، بسته به مدت خدمت، صلاحیت ها یا شرایط کاری خاص که محاسبه می شود، ممکن است کمک هزینه های متفاوتی اعمال شود.

از یک کتاب کار اکسل. دوره چند رسانه ای نویسنده مدینوف اولگ

توابع منطقی توابع منطقی را می توان در تحلیل داده های ریاضی، مهندسی یا مقایسه ای استفاده کرد. ما با استفاده از تابع IF به عنوان مثال به یک تابع منطقی نگاه خواهیم کرد. با تابع IF، می توانید یک عبارت منطقی ایجاد کنید و

برگرفته از کتاب علوم کامپیوتر: سخت افزار کامپیوتر شخصی نویسنده یاشین ولادیمیر نیکولایویچ

4.1. متغیرهای منطقی و عملیات منطقی اطلاعات (داده‌ها، دستورالعمل‌های ماشین، و غیره) در یک رایانه در سیستم باینری نشان داده می‌شود که از دو رقم - 0 و 1 استفاده می‌کند. سیگنال الکتریکی که از مدارهای الکترونیکی عبور می‌کند و متصل می‌شود.

از کتاب راهنمای PHP نویسنده

is_scalar ساده بودن یک متغیر را آزمایش می کند نحو: bool is_scalar(var مخلوط) اگر var از نوع اسکالر باشد (chila، رشته، بولی) اما پیچیده نباشد (آرایه ها یا اشیاء) درست را برمی گرداند.

از کتاب HTML 5، CSS 3 و Web 2.0. توسعه وب سایت های مدرن نویسنده درونوف ولادیمیر

عملگرهای منطقی عملگرهای منطقی عملیاتی را بر روی مقادیر بولی انجام می دهند. همه آنها در جدول آورده شده است. 14.5. و در جدول 14.6 و 14.7 نتایج اجرای این عملگرها را نشان می دهد. حوزه اصلی کاربرد عملگرهای منطقی عبارت های مقایسه است (به بخش مراجعه کنید.

از کتاب XSLT نویسنده هولزنر استفان

توابع XPath Boolean XPath همچنین از مجموعه توابع Boolean زیر پشتیبانی می کند: boolean(). آرگومان را به یک مقدار بولی می فرستد. false(). false (false) را برمی گرداند. lang(). بررسی می کند که آیا زبان تنظیم شده در ویژگی xml:lang با زبان ارسال شده به تابع مطابقت دارد یا خیر. نه ().

برگرفته از کتاب فناوری XSLT نویسنده والیکوف الکسی نیکولاویچ

عملگرهای منطقی در XSLT دو عملگر منطقی یا و و وجود دارد. این عملیات باینری هستند، یعنی هر کدام برای دو عملوند تعریف شده است. اگر عملوندها مقادیر بولی نباشند، به طور ضمنی به نوع بولی ریخته می شوند. معنایی یا و و واضح است - آنها

برگرفته از کتاب زبان برنامه نویسی سی برای کامپیوتر شخصی نویسنده Bochkov S. O.

عملیات منطقی عملیات منطقی توابع منطقی AND (&&) و OR (||) را روی عملوندهای خود انجام می دهند. عملگرهای عملیات منطقی می توانند از نوع صحیح، شناور یا اشاره گر باشند. نوع عملوند اول و دوم ممکن است متفاوت باشد. همیشه اول

برگرفته از کتاب مقدمه ای کوتاه بر برنامه نویسی Bash نویسنده رودریگز هارولد

Logical AND و OR قبلاً دیدید که ساختارهای کنترلی چیست و چگونه از آنها استفاده کنید. دو راه دیگر برای حل مشکلات مشابه وجود دارد. این AND منطقی است - "&&" و منطقی "OR" - "|| ". AND منطقی به این صورت استفاده می شود: express_1&&expression_2First

برگرفته از کتاب Firebird DATABASE DEVELOPER'S GUIDE نویسنده بوری هلن

عملگرهای منطقی Firebird سه عملگر منطقی را ارائه می‌کند که می‌توانند با گزاره‌های دیگر به روش‌های مختلف کار کنند. بالاترین اولویت را دارد

برگرفته از کتاب زبان سی - راهنمای مبتدیان نویسنده پراتا استفان

درک درست و نادرست از نظر معنایی، اگر یک محمول «عدم قطعیت» را برگرداند، نه درست است و نه نادرست. در SQL، عبارات فقط به عنوان "درست" یا "نادرست" مجاز هستند - عبارتی که به "درست" ارزیابی نمی شود به عنوان "درست" در نظر گرفته می شود.

از کتاب 100% بازیابی اطلاعات نویسنده تاشکوف پتر آندریویچ

IV. عملیات منطقی عملیات منطقی معمولاً با عبارات شرطی به عنوان عملوند برخورد می کند. عمل! یک عملوند در سمت راست دارد. بقیه عملیات دو عملوند دارند: یکی در سمت چپ و دیگری در سمت راست. && Boolean AND: نتیجه عملیات درست است،

از کتاب C++ برای مبتدیان نویسنده لیپمن استنلی

تخلفات منطقی اگر درایو از نظر فیزیکی سالم باشد، اما خالی یا فرمت نشده به نظر برسد و داده های روی آن برای سیستم عامل قابل مشاهده نباشد، در این صورت جداول سرویس فایل سیستم آسیب می بیند. داده ها تقریباً همیشه روشن می مانند.

برگرفته از کتاب Description of the PascalABC.NET Language نویسنده تیم RuBoard

12.3.4. اشیاء تابع بولی اشیاء تابع بولی از "logical AND" پشتیبانی می کنند (در صورتی که هر دو عملوند درست باشند، true را برمی گرداند - از عملگر && مرتبط با نوع Type استفاده می کند)، "logical OR" (اگر حداقل یکی از عملوندها برابر با true باشد، true را برمی گرداند-

از کتاب نویسنده

عملیات بولی عملیات منطقی شامل عملیات باینری و، یا، و xor و همچنین عملیات unary not است که دارای عملوندهایی از نوع بولی هستند و مقداری از نوع بولی برمی‌گردانند. این عملیات از قوانین استاندارد منطق تبعیت می کنند: a و b تنها زمانی درست هستند که a و b هر دو درست باشند، a یا b درست باشد.

خطوط جایی را انتخاب کنید
و حروف ربط همه متغیرها را بنویسید، به علاوه، اگر متغیر این مجموعه برابر با 1 باشد، آن را یادداشت می کنیم و اگر متغیر = 0 باشد، نفی آن.

برای این مثال

ترکیب این تفکیک ها فرمول مورد نظر خواهد بود:

تعریف: پیوستگی تماس گرفت ابتدایی، اگر همه متغیرهای موجود در آن متفاوت باشند. به تعداد حروف وارد شده در ربط ابتدایی یا تفکیک ابتدایی گفته می شود رتبه

عدد 1 یک رابطه ربط ابتدایی از رتبه 0 در نظر گرفته می شود. یک متغیر به عنوان ربط ابتدایی یا تفکیک ابتدایی رتبه 1 در نظر گرفته می شود. عدد 0 به عنوان یک ربط ابتدایی از رتبه 0 در نظر گرفته می شود. به یک شکل ابتدایی، و هر تفکیک حروفی که به طور یکسان درست نیست، نیز می تواند به شکل ابتدایی کاهش یابد. برای انجام این کار، لازم است ویژگی‌های جابه‌جایی، ناتوانی و تداعی پیوند و منفصل را اعمال کنیم.

به طور دقیق ثابت شده است که هر فرمول جبر بولی را می توان با استفاده از عملیات ، &،  بیان کرد. به طور شهودی، این واقعیت بدیهی است، بیایید الگوریتم کامپایل یک فرمول را با توجه به جدول حقیقت به یاد بیاوریم. در این مورد، ما فقط از این عملیات استفاده می کنیم. این شکل از نوشتن نامیده می شود فرم نرمال منفصل(DNF). این یک نوع مکانیسم برای عادی سازی فرمول های جبر منطق است.

تعریف: DNFجدایی از ربط های ابتدایی مختلف است (یعنی هر حرف ربط از قضایای ابتدایی یا نفی آنها تشکیل شده است).

به طور مشابه، CNF تعریف شده است - فرم نرمال پیوندی.

تعریف: اگر در یک DNF همه ربط های ابتدایی دارای رتبه یکسانی برابر با تعداد متغیرهایی باشند که DNF به آنها بستگی دارد، آنگاه نامیده می شود. کامل (SDNF).

قضیه. برای هر تابعی که یکسان نادرست نیست، یک SDNF منحصر به فرد وجود دارد.

نتیجه . هر تابع بولی که یکسان نادرست نباشد می تواند به صورت برهم نهی &,, نمایش داده شود و نفی فقط برای متغیرها اعمال می شود.

تعریف: اگر بتوان هر تابعی از جبر بولی را با استفاده از این عملیات و ثابت های این سیستم نمایش داد، یک سیستم عملیات منطقی از نظر عملکردی کامل نامیده می شود.

سیستم ها (&,,); (،)؛ (&،)،(/) از نظر عملکردی کامل هستند

(&،) - از نظر عملکردی ناقص است.

ما این حقایق را بدون اثبات می پذیریم و هنگام حل مسائل سعی می کنیم هر فرمولی را با استفاده از (&, , ) نشان دهیم. بعداً در مورد کامل بودن عملکرد و ناقص بودن سیستم عملیات با جزئیات بیشتری صحبت خواهیم کرد.

مبحث 1.7. روش های ساده سازی عبارات منطقی روش های حل مسائل منطقی

مثالی از حل یک مسئله منطقی را در نظر بگیرید.

مثال :

پس از بحث در مورد ترکیب شرکت کنندگان در اکسپدیشن، تصمیم گرفته شد که دو شرط رعایت شود.

اگر آربوزوف برود، بریوکوین یا ویشنفسکی باید بروند

اگر آربوزوف و ویشنفسکی بروند، بریوکوین می رود

یک فرمول منطقی برای تصمیم گیری به شکل نمادین بنویسید، فرمول حاصل را ساده کنید و یک شرط جدید برای تشکیل یک اکسپدیشن بر اساس آن تنظیم کنید.

اجازه دهید متغیرها و گزاره های ابتدایی مربوط به آنها را معرفی کنیم.

- آربوزوف خواهد رفت

- بریوکوین خواهد رفت

- ویشنفسکی خواهد رفت

سپس شرایط توسعه یافته برای تشکیل اکسپدیشن به این صورت خواهد بود:

بیایید یک فرمول کلی بسازیم و عبارت را ساده کنیم

آن ها اگر آربوزوف برود، بریوکوین خواهد رفت.

مثال:

اگر فردا هوا خوب باشد به ساحل می رویم یا به جنگل. بیایید یک فرمول از رفتار خود برای فردا بسازیم.

- هوای خوب

- ما به ساحل خواهیم رفت

- ما به جنگل می رویم

حال بیایید نفی این عبارت را بسازیم

سپس. این عبارت را دریافت کنید: "فردا هوا خوب است و ما به جنگل و ساحل نخواهیم رفت.

کسانی که مایلند می توانند یک جدول حقیقت بسازند و این بیانیه را بررسی کنند.

مثال :

براون، جان و اسمیت به ظن یک جنایت بازداشت می شوند. یکی از آن ها پیرمرد محترم شهر، دومی مقام و سومی کلاهبردار سرشناس. در جریان تحقیقات، پیرمرد راست گفت، کلاهبردار دروغ و سومین بازداشت شده در یک مورد راست و در مورد دیگر دروغ گفت.

در اینجا چیزی است که آنها گفتند:

براون: من این کار را کردم. جان مقصر نیست (B&D)

جان: تقصیر براون نیست. اسمیت جنایتکار (B&S)

اسمیت: تقصیر من نیست. سرزنش براون (C&B)

اجازه دهید این اظهارات را به طور رسمی شرح دهیم:

براون این جنایت را مرتکب شد

جان مرتکب جنایت شد

اسمیت این جنایت را مرتکب شد

سپس کلمات آنها با عبارات زیر توصیف می شود:

رنگ قهوه ای:

جان:

اسمیت:

زیرا با توجه به شرایط مسئله، دو مورد از این و نادرست است و یکی درست است، پس

بیایید یک جدول حقیقت درست کنیم

فقط مورد 2 باقی می ماند، یعنی. جنایتکار اسمیت است و هر دو اظهارات او نادرست است.

در نتیجه - نادرست و - درست است، واقعی

= 1 - جان به پیرمرد احترام گذاشت

باقی می ماند که براون یک مقام رسمی است و از آن زمان - پس دروغه - درست است، واقعی.

با استفاده از قوانین و هویت های جبر بولی، می توانید عبارات منطقی را ساده کنید.

مثال :

تمرین:

واگذاری خدمات. ماشین حساب آنلاین برای ساخت جدول حقیقت برای یک عبارت منطقی.
جدول حقیقت - جدولی که شامل تمام ترکیبات ممکن از متغیرهای ورودی و مقادیر خروجی مربوطه آنهاست.
جدول حقیقت شامل 2n ردیف است که n تعداد متغیرهای ورودی است و n+m ستون هستند که m متغیرهای خروجی هستند.

دستورالعمل. هنگام ورود از صفحه کلید، از قراردادهای زیر استفاده کنید: به عنوان مثال، عبارت منطقی abc+ab~c+a~bc باید به این صورت وارد شود: a*b*c+a*b=c+a=b*c
برای وارد کردن داده ها در قالب یک نمودار منطقی از این سرویس استفاده کنید.

قوانین ورودی تابع منطقی

1. به جای v از علامت + استفاده کنید (انفصال، OR).
2. قبل از تابع منطقی، نیازی به تعیین نام تابع ندارید. برای مثال، به جای F(x,y)=(x|y)=(x^y) به سادگی (x|y)=(x^y) را تایپ کنید.
3. حداکثر تعداد متغیرها 10 است.

طراحی و تجزیه و تحلیل مدارهای منطقی کامپیوتر با کمک بخش خاصی از ریاضیات - جبر منطق انجام می شود. در جبر منطق، سه تابع منطقی اصلی قابل تشخیص است: "NOT" (نفی)، "AND" (ربط)، "OR" (انفصال).
برای ایجاد هر وسیله منطقی، لازم است وابستگی هر یک از متغیرهای خروجی به متغیرهای ورودی فعلی تعیین شود، چنین وابستگی را تابع سوئیچینگ یا تابعی از جبر منطقی می نامند.
یک تابع جبر منطقی کاملاً تعریف شده نامیده می شود اگر همه 2 n از مقادیر آن داده شود، جایی که n تعداد متغیرهای خروجی است.
اگر همه مقادیر تعریف نشده باشند، تابع جزئی تعریف شده نامیده می شود.
دستگاهی منطقی نامیده می شود که حالت آن با استفاده از تابعی از جبر منطق توصیف شود.
روش های زیر برای نمایش تابع جبر منطقی استفاده می شود:

• توصیف شفاهی فرمی است که در مرحله طراحی اولیه استفاده می شود و دارای نمایش شرطی است.
• شرح عملکرد جبر منطق در قالب جدول صدق.
• شرح عملکرد جبر منطق در قالب یک عبارت جبری: دو شکل جبری از FAL استفاده می شود:
  ولی) DNF - فرم نرمال منفصلمجموع منطقی محصولات منطقی ابتدایی است. DNF از جدول صدق مطابق الگوریتم یا قانون زیر به دست می آید:
  1) آن ردیف از متغیرها که تابع خروجی = 1 در جدول انتخاب شده اند.
  2) برای هر ردیف از متغیرها، یک محصول منطقی نوشته می شود. و متغیرهای =0 با وارونگی نوشته می شوند.
  3) محصول حاصل به طور منطقی خلاصه می شود.
  Fdnf = X 1 * X 2 * X 3 ∨ X 1 x 2 X 3 ∨ X 1 X 2 x 3 ∨ X 1 X 2 X 3
  اگر همه متغیرها رتبه یا ترتیب یکسانی داشته باشند، DNF کامل است. هر اثر الزاماً باید شامل همه متغیرها به صورت مستقیم یا معکوس باشد.
  ب) CNF - فرم طبیعی اتصالیمحصول منطقی حاصل جمع های منطقی ابتدایی است.
  CNF را می توان از جدول صدق با استفاده از الگوریتم زیر بدست آورد:
  1) مجموعه ای از متغیرها را انتخاب کنید که تابع خروجی آنها 0 است
  2) برای هر مجموعه از متغیرها یک مجموع منطقی ابتدایی می نویسیم و متغیرهای =1 با وارونگی نوشته می شوند.
  3) مقادیر به دست آمده به طور منطقی ضرب می شوند.
  Fsknf=(X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3)
  CNF کامل نامیده می شوداگر همه متغیرها رتبه یکسانی داشته باشند.

از شکل جبری می توان یک مدار دستگاه منطقی با استفاده از گیت های منطقی ساخت.

شکل 1 - نمودار یک دستگاه منطقی

تمام عملیات جبر منطق تعریف شده است جداول حقیقتارزش های. جدول حقیقت نتیجه انجام یک عملیات را برای همه ممکن است x مقادیر منطقی عبارات اصلی. تعداد گزینه هایی که نتیجه اعمال عملیات را منعکس می کنند به تعداد عبارات در عبارت منطقی بستگی دارد. اگر تعداد عبارات در عبارت منطقی N باشد، جدول صدق شامل 2 N ردیف خواهد بود، زیرا 2 N ترکیب مختلف از مقادیر آرگومان ممکن وجود دارد.

عملیات NOT - نفی منطقی (وارونگی)

عملیات منطقی برای یک آرگومان منفرد، که می تواند یک عبارت منطقی ساده یا پیچیده باشد، اعمال نمی شود. نتیجه عملیات به شرح زیر نیست:

• اگر عبارت اصلی درست باشد، نتیجه نفی آن نادرست خواهد بود.
• اگر عبارت اصلی نادرست باشد، نتیجه نفی آن صادق خواهد بود.

قراردادهای زیر برای عملیات نفی پذیرفته نمی شوند:
نه A، À، نه A، ¬A، !A
نتیجه عملیات نفی توسط جدول صدق زیر تعیین نمی شود:

آ	نه A
0	1
1	0

نتیجه عملیات نفی زمانی درست است که عبارت اصلی نادرست باشد و بالعکس.

عملیات OR - جمع منطقی (انفصال، اتحاد)

عملیات OR منطقی عملکرد ترکیب دو عبارت را انجام می دهد که می تواند یک عبارت منطقی ساده یا پیچیده باشد. عباراتی که برای یک عملیات منطقی اولیه هستند، آرگومان نامیده می شوند. نتیجه عملیات OR عبارتی است که اگر و تنها اگر حداقل یکی از عبارات اصلی درست باشد درست خواهد بود.
نام های مورد استفاده: A یا B، A V B، A یا B، A||B.
نتیجه عملیات OR توسط جدول حقیقت زیر تعیین می شود:
نتیجه عملیات OR زمانی درست است که A درست باشد، یا B درست است، یا هر دو A و B درست هستند، و زمانی که A و B هر دو نادرست باشند، نادرست است.

عملیات AND - ضرب منطقی (پیوند ربط)

عملیات منطقی AND عملکرد تقاطع دو عبارت (آرگمون) را انجام می دهد که می تواند یک عبارت منطقی ساده یا پیچیده باشد. نتیجه عملیات AND عبارتی است که اگر و فقط در صورتی درست باشد که هر دو عبارت اصلی درست باشند.
نمادهای مورد استفاده: A و B، A Λ B، A & B، A و B.
نتیجه عمل AND توسط جدول حقیقت زیر تعیین می شود:

آ	ب	الف و ب
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

نتیجه عمل AND اگر و فقط در صورتی درست است که گزاره های A و B هر دو درست و در سایر موارد نادرست باشند.

عملیات "IF-THEN" - نتیجه منطقی (پیمایش)

این عملیات دو عبارت منطقی ساده را به هم متصل می کند که اولی یک شرط و دومی نتیجه این شرط است.
نامگذاری های کاربردی:
اگر A، سپس B; الف ب را جذب می کند. اگر A سپس B; A → B.
جدول درستی:

آ	ب	A→B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

نتیجه عملیات پیامد (تلویحات) تنها زمانی نادرست است که مقدمه A درست و نتیجه B (نتیجه) نادرست باشد.

عملیات "A اگر و فقط اگر B" (معادل، هم ارزی)

نام کاربردی: A ↔ B، A ~ B.
جدول درستی:

آ	ب	A↔B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

عملیات اضافه کردن Modulo 2 (XOR، انحصاری یا، جداسازی دقیق)

نماد استفاده شده: A XOR B، A ⊕ B.
جدول درستی:

آ	ب	A⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

نتیجه عمل هم ارزی تنها در صورتی درست است که A و B هر دو درست یا هر دو نادرست باشند.

تقدم عملیات منطقی

• اقدامات داخل پرانتز
• وارونگی
• پیوستگی (&)
• Disjunction (V)، Exclusive OR (XOR)، مجموع modulo 2
• مفهوم (→)
• معادل (↔)

فرم نرمال منفک کامل

فرم نرمال منفک کامل از یک فرمول(SDNF) یک فرمول معادل آن است که جدایی از حروف ربط ابتدایی است که دارای ویژگی های زیر است:

1. هر عبارت منطقی فرمول شامل تمام متغیرهای موجود در تابع F(x 1 , x 2 ,...x n) می باشد.
2. همه اصطلاحات منطقی فرمول متفاوت هستند.
3. هیچ عبارت منطقی حاوی متغیر و نفی آن نیست.
4. هیچ عبارت منطقی در یک فرمول شامل یک متغیر دو بار نیست.

SDNF را می توان با استفاده از جداول حقیقت یا با استفاده از تبدیل های معادل به دست آورد.
برای هر تابع، SDNF و SKNF به طور منحصر به فرد تا یک جایگشت تعریف می شوند.

فرم طبیعی ربطی کامل

فرمول نرمال پیوندی کامل (SKNF)فرمولی معادل آن است که ترکیبی از تفکیک های ابتدایی است که ویژگی های زیر را برآورده می کند:

1. همه تفکیک های ابتدایی شامل همه متغیرهای موجود در تابع F (x 1 , x 2 ,...x n) هستند.
2. همه تفکیک های ابتدایی متمایز هستند.
3. هر تفکیک ابتدایی شامل یک متغیر است.
4. هیچ تفکیک ابتدایی حاوی متغیر و نفی آن نیست.