U neformalnoj raspravi o konceptu jezičke varijable u §1, naveli smo da se jezička varijabla razlikuje od numeričke varijable po tome što njene vrijednosti nisu brojevi, već riječi ili rečenice u prirodnom ili formalnom jeziku. Budući da su riječi općenito manje precizne od brojeva, koncept lingvističke varijable omogućava aproksimaciju fenomena koji su toliko složeni da se ne mogu opisati konvencionalnim kvantitativnim terminima. Konkretno, rasplinuti skup, koji je ograničenje povezano s vrijednostima lingvističke varijable, može se smatrati agregatnom karakteristikom različitih podklasa elemenata univerzalnog skupa. U tom smislu, uloga rasplinutih skupova je slična ulozi koju imaju riječi i rečenice u prirodnom jeziku. Na primjer, pridjev predivno odražava kompleks karakteristika izgleda pojedinca. Ovaj pridev se takođe može smatrati imenom rasplinutog skupa, što je ograničenje koje nameće rasplinuta varijabla. predivno. Sa ove tačke gledišta, termini veoma lijepo, ružan, izuzetno zgodan, prilično lijepa itd. - imena rasplinutih skupova formiranih djelovanjem modifikatora vrlo, ne, ekstremno, prilično itd. do rasplinutog skupa predivno. U suštini, ovi rasplinuti skupovi, zajedno sa prekrasnim rasplinutim skupom, igraju ulogu vrijednosti jezičke varijable Izgled.
Važan aspekt koncepta jezičke varijable je da je ova varijabla višeg reda od fuzzy varijable, u smislu da su vrijednosti lingvističke varijable nejasne varijable. Na primjer, vrijednosti lingvističke varijable Dob može biti: mladi, sredovečni, stari, veoma stari, sredovečni i ne stari, prilično stari itd. Svaka od ovih vrijednosti je ime fuzzy varijable. Ako je ime fuzzy varijable, onda se ograničenje koje nameće ovo ime može tumačiti kao značenje rasplinute varijable. Dakle, ako je ograničenje zbog fuzzy varijable star, je rasplinuti podskup skupa forme
, , (5.1)
Drugi važan aspekt koncepta jezičke varijable je da jezičkoj varijabli odgovaraju dva pravila: (1) sintaksičko pravilo, koje se može dati u obliku gramatike koja generiše imena za vrijednosti varijable; (2) semantičko pravilo koje definira algoritamsku proceduru za izračunavanje značenja svake vrijednosti. Ova pravila čine bitan dio opisa strukture jezičke varijable.
Rice. 5.1. Funkcije kompatibilnosti za vrijednosti i 
.
Pošto je lingvistička varijabla varijabla višeg reda od fuzzy varijable, njen opis bi također trebao biti komplikovaniji od opisa fuzzy varijable datog u definiciji 4.1.
Definicija 5.1. Jezičku varijablu karakterizira skup 
, gdje je ime varijable; (ili jednostavno ) označava skup termina varijable, odnosno skup imena jezičkih vrijednosti varijable, a svaka od ovih vrijednosti je rasplinuta varijabla sa vrijednostima iz univerzalnog skupa sa osnovnom varijablom ; - sintaktičko pravilo (obično u obliku gramatike) koje generiše nazive vrijednosti varijable i - semantičko pravilo koje povezuje svaku rasplinutu varijablu sa njenim značenjem, tj. nejasnim podskupom univerzalnog skupa. Specifično ime koje generiše sintaksičko pravilo naziva se termin. Pojam koji se sastoji od jedne riječi ili više riječi koje se uvijek pojavljuju jedna s drugom naziva se atomski termin. Termin koji se sastoji od jednog ili više atomskih pojmova naziva se složeni termin. Povezivanje nekih komponenti složenog pojma je podtermin. Ako - termini u , onda se može predstaviti kao unija
(5.2)
Ako je potrebno eksplicitno navesti šta je generisano gramatikom, napisaćemo.
Značenje pojma je definisano kao ograničenje osnovne varijable zbog nejasne varijable:
, (5.3)
imajući u vidu da se i, stoga, može smatrati kao rasplinut podskup skupa , koji ima ime . Odnos između njegovog jezičkog značenja i osnovne varijable ilustrovan je na Sl. 1.3.
Napomena 5.2. Kako bi se izbjegao veliki broj znakova, preporučljivo je dodijeliti više vrijednosti nekim od znakova koji se susreću u definiciji 5.1, oslanjajući se na kontekst za rješavanje mogućih nejasnoća. posebno:
a) Često ćemo koristiti simbol da označimo i ime same varijable i opšte ime njenih vrednosti. Slično, označit će i opći naziv vrijednosti varijable i ime same varijable.
b) Koristićemo isti simbol za skup i njegovo ime. Dakle, simboli , i biće zamjenjivi, iako, strogo govoreći, kao ime (ili ) nije isto što i rasplinuti skup. Drugim riječima, kada kažemo da je pojam (npr. mlad) je vrijednost varijable (na primjer, Dob), tada mislimo da je prava vrijednost , i da je samo ime ove vrijednosti.
Primjer 5.3. Dob, tj. , pusti to . Jezičko značenje varijable Dob možda, na primjer, star, i vrijednost star je atomski termin. Druga vrijednost bi mogla biti veoma star, tj. složeni izraz u kojem stara - atomski termin, i vrlo I star- subtherms.
Značenje manje-više mlad varijabla Dob - složeni pojam u kojem je pojam mlad - atomski, i Više ili manje- subtherm. Skup termina varijable Dob može se napisati na sljedeći način:
(5.4)
Ovdje je svaki pojam ime fuzzy varijable u univerzalnom skupu. Ograničenje zbog pojma, recimo, je značenje jezičkog značenja star. Dakle, ako je definirano prema (5.1), onda je značenje jezičkog značenja star je definisan izrazom
, (5.5)
ili jednostavnije (vidi napomenu 5.2)
. (5.6)
Slično, značenje takvog jezičkog značenja kao što je veoma star, može se izraziti na sljedeći način (vidi sliku 5.1):
Jednačina dodjele u slučaju lingvističke varijable ima oblik
odakle slijedi da je značenje koje se pripisuje terminu izraženo jednakošću
Drugim riječima, značenje pojma dobija se primjenom semantičkog pravila na vrijednost pojma koji je dodijeljen prema desnoj strani jednačine (5.8). Štaviše, iz definicije (5.3) proizlazi da je identično ograničenju zbog člana .
Napomena 5.4. U skladu sa napomenom 5.2(a), jednačina dodjele će se obično pisati kao
, (5.10)
shvatajući to na takav način da star- ograničenje na vrijednosti osnovne varijable definisane (5.1), - dodijeljeno lingvističkoj varijabli Dob. Važno je napomenuti da znak jednakosti u (5.10) ne označava simetričnu relaciju, kao u slučaju aritmetičke jednakosti. Dakle, nema smisla pisati (5.11) u formu
Da bismo ilustrirali pojam lingvističke varijable, prvo ćemo razmotriti vrlo jednostavan primjer u kojem postoji samo mali broj pojmova, a sintaktička i semantička pravila su trivijalna.
Primjer 5.5. Uzmite u obzir lingvističku varijablu Broj, čiji konačni skup termina ima oblik
gdje je svaki pojam ograničenje na vrijednosti osnovne varijable u univerzalnom skupu
Pretpostavlja se da su ova ograničenja neizraziti podskupovi skupa i definisana su na sledeći način:
, (5.15) sa binarnim ograničenjem su približno jednake.
Za dodjelu vrijednosti, recimo približno jednaka lingvistička varijabla, pišemo
gdje, kao u (5.18), mislimo da je binarna rasplinuta relacija dodijeljena kao vrijednost varijable približno jednaka, što je binarno ograničenje na vrijednosti osnovne varijable u univerzalnom skupu (5.20).
Rice. 5.2. Analogija sa torbom za lingvističku varijablu
Napomena 5.7. Koristeći analogiju sa vrećom (vidi napomenu 4.3), lingvistička varijabla u smislu definicije 5.1 može se uporediti sa tvrdom vrećom u koju se mogu staviti meke vreće, kao što je prikazano na sl. 5.2. Mekana vrećica odgovara fuzzy varijabli, koja je jezička vrijednost varijable , ali igra ulogu etikete na mekoj vrećici.
Fuzzy setovi. jezička varijabla. Fuzzy logika. Nejasan zaključak. pravilo zaključivanja kompozicije.
(sažetak)
Koncept rasplinutog skupa (NS) zasniva se na ideji da elementi određenog skupa koji imaju zajedničku osobinu mogu imati različite stepene degeneracije ovog svojstva, a samim tim i različite stepene pripadnosti ovom svojstvu.
Neka je U neki skup. Fazi skup à u U je skup parova oblika ((µ à (u), u)), gdje je u U, µ à .
Vrijednost µ G naziva se stepen pripadnosti objekta rasplinutom skupu U.
µ Ã : U
µ Ã se zove funkcija članstva.
Primjer rasplinutih skupova je starost ljudi (slika 19.1).
Po analogiji s tradicionalnom teorijom skupova, NM teorija definira sljedeće operacije:
sindikat:
, gdje 
Nabrajanje:
,
dodatak:
Algebarski proizvod:
, gdje
n-narna rasplinuta relacija definisana na skupovima je rasplinuti podskup kartezijanskih proizvoda 
Pošto je fazi relacija skup, sve operacije definisane za rasplinute skupove važe za nju. U praktičnim primenama teorije rasplinutih skupova, kompozicija fazi relacija igra važnu ulogu.
Kompozicija fuzzy relacija
Neka su date 2 nejasne relacije na dva mjesta:
Kompozicija fuzzy relacija određena je sljedećim izrazom:
Stepeni članstva specifičnih izraza
Jezička varijabla je petostruki X – ime varijable (starost), U – osnovni skup (0…150), T(h) – skup termin. Skupovi jezičkih značenja (mladi, sredovečni, stariji, stari). Svaka lingvistička vrijednost je oznaka nejasnog skupa definiranog na U. G je sintaksičko pravilo koje generiše lingvističku vrijednost varijable X (vrlo mlada, vrlo stara). M je semantičko pravilo koje svakoj lingvističkoj vrijednosti dodjeljuje neizraziti podskup osnovnog skupa, odnosno funkciju članstva.
Nejasna izjava je izjava prema kojoj je u datom trenutku moguće suditi o stepenu njene istinitosti ili neistinitosti. Istina uzima vrijednost u intervalu . Fazni iskaz koji ne dozvoljava podjelu na jednostavnije naziva se elementarnim.
Fazni iskaz izgrađen na elementarnim pomoću logičkih spojeva naziva se složeni fuzzy iskaz. Logički spojevi odgovaraju operacijama na istinitosti fuzzy iskaza. - stepen istinitosti konkretnih izjava.
1)
2)
Dakle, algebra rasplinutih skupova je izomorfna algebri rasplinutih propozicija.
4) operacija implikacije
Predloženo je nekoliko definicija za operaciju implikacije u fazi logici. Glavni:
1)
2)
3)
5) Ekvivalencija
Fazi predikat na n mjesta definiran na skupovima U 1 , U 2 ,…,U n je izraz koji sadrži varijable subjekta ovih skupova i koji se pretvara u rasplinute iskaze kada se varijable subjekta zamjene elementima skupova U 1, U 2 ,…,U n .
Neka su U 1 , U 2 ,…,U n osnovni skupovi jezičkih varijabli, a jen lingvističkih varijabli neka djeluje kao simbol predmetnih varijabli. Zatim su primjeri nejasnih predikata:
"pritisak u cilindru je nizak" - predikat na jednom mjestu
"temperatura u kotlu je mnogo viša od temperature u izmjenjivaču topline" - predikat na dva mjesta.
Ako je U k = 1,5, dakle "pritisak u kotlu je nizak" = 0,7
U konstrukciji i implementaciji rasplinutih algoritama, pravilo kompozicionog zaključivanja igra važnu ulogu.
Neka je rasplinuto preslikavanje
Fazi podskup univerzuma U tada generiše u V rasplinuti podskup
pravilo kompozicionog zaključivanja je osnova za konstruisanje logičkog zaključivanja u fazi logici.
Neka je dat rasplinuti iskaz , gdje su i rasplinuti skupovi. Neka se da i neka izjava (bliska A, ali ne identična njoj).
U klasičnoj logici, Modus Ponensovo pravilo zaključivanja se široko koristi
Ovo pravilo je generalizovano na slučaj fuzzy logike na sledeći način:
Neka je skup i definiran na osnovnom skupu X, i na osnovnom skupu Y. Prirodno je pretpostaviti da iskaz if definira neko nejasno preslikavanje iz skupa X u Y
Tada, u skladu sa pravilom zaključivanja kompozicije, imamo:
Relacija je izgrađena na osnovu definicije operacije implikacije u fazi logici.
1)
Ako je temperatura u kotlu niska (), tada se grijanje povećava ()
Pravi fuzzy logički algoritmi sadrže ne jedno, već mnogo pravila proizvodnje
Ako je S 1 , onda R 1 , inače
Ako je S n , onda R n , inače
Stoga, neizraziti odnosi moraju biti izgrađeni za svako pojedinačno pravilo, a zatim agregirani tako što se međusobno nalažu
Kao operacija agregiranja bira se ili min ili max, ovisno o vrsti implikacije.
Kada se neizrazito zaključivanje koristi u kontrolnoj petlji stvarnog objekta, objektu se mora dati jasna kontrolna akcija. Stoga je neophodno pretvoriti rasplinuti skup formiran na osnovu pravila o kompozicionom zaključivanju u jasnu vrijednost. Ovaj postupak se zove postupak defuzifikacije. Postoje 2 najčešće korištene metode defuzzifikacije:
1) Sredina "visoravni"
2) Centar gravitacije, određuje se tačka koja dijeli površinu rasplinutog skupa na pola.
2.9.1. Definicija. Metode teorije fuzzy skupova opisuju semantičke koncepte, na primjer, za koncept "pouzdanosti rada čvora" mogu se definirati komponente kao što su "mala vrijednost pouzdanosti čvora", "prosječna vrijednost pouzdanosti čvora". čvor", "velika vrijednost pouzdanosti čvora", koji su dati kao fuzzy skupovi na osnovnom skupu definisanom svim mogućim vrijednostima vrijednosti pouzdanosti.
Generalizacija opisa jezičkih varijabli sa formalne tačke gledišta je uvođenje fuzzy i lingvističkih varijabli.
H fuzzy varijabla naziva se trojka skupova, gdje a- naziv fuzzy varijable, X- domen definicije, - rasplinuti podskup u skupu X, koji opisuje ograničenja na moguće vrijednosti varijable a.
jezička varijabla se naziva skup skupova
Iz definicije proizilazi da je lingvistička varijabla varijabla data na kvantitativnoj (mjerenoj) skali i uzima vrijednosti koje su riječi ili fraze prirodnog jezika komunikacije. Fuzzy varijable opisuju vrijednosti lingvističke varijable. Na sl. 2.20 pokazuje odnos osnovnih pojmova.
Dakle, lingvističke varijable mogu opisati koncepte koje je teško formalizirati u obliku kvalitativnog, verbalnog opisa. Jezička varijabla i sve njene vrijednosti povezane su u opisu s određenom kvantitativnom skalom, koja se, po analogiji s osnovnim skupom, ponekad naziva i bazna skala.
Koristeći lingvističke varijable, moguće je formalizovati kvalitativne informacije u sistemima upravljanja, koje formulišu stručnjaci (eksperti) u verbalnom obliku. Ovo vam omogućava da izgradite fuzzy modele upravljačkih sistema (fazi kontroleri).
2.9.2. Vrsta funkcije članstva. Razmotrimo zahtjeve koji se postavljaju za tip funkcija pripadnosti rasplinutih skupova koji opisuju termine lingvističkih varijabli.
Neka je lingvistička varijabla
Mnogo T red prema izrazu
"T i ,T j nT i>j"($xnC i)("ynC j)(x>y). (2.5)
Izraz (2.5) zahtijeva da pojam, koji ima podršku smještenu lijevo, dobije manji broj. Tada skup termina bilo koje lingvističke varijable mora zadovoljiti sljedeće uslove:
("T i nT)($xnX)( ); (2.8)
("b)($x 1 ILI 1)($x 2 ILI 2)("xOX)(x 1
Uvjet (2.6) zahtijeva da vrijednosti pripadnosti funkcionišu ekstremnih članova (T1 I T2) u tačkama x 1 I x2 odnosno jednak jedan i da bi se sprečilo pojavljivanje zvonastih krivina, kao što je prikazano na Sl. 2.21.
Sl.2.21
Uslov (2.7) zabranjuje u osnovnom skupu X par termina tipa T1 I T2, T2 I T3. Za par T1 I T2 nema prirodne diferencijacije pojmova. Za par T2 I T3 segment nema podudaranja koncepta. Uslov (2.7) zabranjuje postojanje termina tipa T4, budući da svaki koncept ima barem jedan tipičan objekt. Uslov (2.8) definira fizičko ograničenje (u okviru problema) na numeričke vrijednosti parametara.
Na sl. 2.22 prikazuje primjer postavljanja funkcija članstva za pojmove "mala vrijednost cijene", "mala vrijednost cijene", "prosječna vrijednost cijene", "dovoljno velika vrijednost cijene", "velika vrijednost cijene" lingvističke varijable "cijena robe".
2.9.3. Univerzalne vage. Funkcije članstva se grade na osnovu rezultata stručnih istraživanja. Međutim, postupak za korišćenje rasplinutih skupova izgrađen na osnovu rezultata ankete stručnjaka ima nedostatak, koji leži u činjenici da promena uslova za funkcionisanje modela (objekta) zahteva prilagođavanje rasplinutih skupova. Prilagođavanje se može izvršiti na osnovu rezultata drugog istraživanja stručnjaka.
Jedan od načina da se ovaj nedostatak prevaziđe je prelazak na univerzalne skale za mjerenje vrijednosti procijenjenih parametara. Poznata tehnika konstruisanja univerzalnih skala podrazumeva opisivanje učestalosti pojava i procesa, koja je kvalitativno definisana prirodnim jezikom sledećim rečima i frazama: „nikad“, „izuzetno retko“, „retko“, „ni retko niti često“. “, “često”, “veoma često”, “skoro uvijek” (ili slično). Osoba koristi ove koncepte za procjenu subjektivne frekvencije događaja (odnos broja događaja okarakteriziranih konceptom prema ukupnom broju događaja).
Univerzalna skala je izgrađena na segmentu i predstavlja niz krivulja u obliku zvona koje se ukrštaju koje odgovaraju skaliranim procjenama frekvencije. Univerzalna skala lingvističke varijable za dati procijenjeni parametar kontrolnog objekta gradi se prema sljedećem postupku.
1. Prema stručnoj anketi, minimum xmin i maksimum xmax varijabilne vrijednosti skale X.
2. Na osnovu rezultata stručne ankete, konstruiraju se funkcije pripadnosti rasplinutih skupova koje opisuju vrijednosti jezičke varijable definisane na skali X. Na sl. 2.23 pokazuje primjer izgradnje funkcija članstva, gdje a 1, a 2, a 3- neka imena rasplinutih varijabli.
3. Tačke ( xmin,0) i ( xmax,1) povezani su pravom linijom p0, što je funkcija prikaza p 0:X®.
4. Prijelaz sa skale relativnih frekvencija pojavljivanja događaja na procjene učestalosti, koje se nazivaju kvantifikatori, odvija se na sljedeći način.
Za proizvoljnu tačku z na univerzalnoj skali njen prototip je izgrađen na skali X. Zatim, prema funkcijama pripadnosti rasplinutih skupova koji odgovaraju terminima a 1, a 2, a 3, određuju se vrijednosti koje se uzimaju kao vrijednosti odgovarajućih funkcija pripadnosti u tački z na univerzalnoj skali. Funkcija p (p=p0 u razmatranom primjeru) utvrđuje se stručnom anketom, jer njegov izbor utiče na adekvatnost modela predmetu koji se proučava.
2.9.4. Višestruke funkcije prikaza. Definicija nedvosmislene funkcije mapiranja str ograničavaju mogućnost istovremenog uzimanja u obzir različitih kriterijuma u sistemu upravljanja, koji mogu biti i u antagonizmu jedni prema drugima, kao i mogućnost istovremenog uzimanja u obzir različitih uslova upravljanja koji su određeni svojstvima upravljanog objekta.
Obračun različitih uslova i kriterijuma određen je subjektivnim pristupom rešavanju problema. Ako, međutim, prihvatimo funkciju prikazivanja nedvosmislene forme, tada će se različita gledišta svesti na „zajednički nazivnik“ ili, zapravo, odbaciti. Praksa pokazuje da pri upravljanju procesima koje je teško formalizovati, uzimanje u obzir svih varijanti subjektivnog pogleda poboljšava kvalitet upravljanja, povećavajući otpornost na razne vrste poremećaja. Međutim, treba napomenuti da kod ljudi gotovo nikada nije moguće uzeti u obzir sve uslove koji utiču na izbor kontrole i sve karakteristike objekta. Razmotrimo kako se vrši formalizirano razmatranje kontrolnih uslova pri anketiranju stručnjaka u obliku višestrukih funkcija prikaza.
Neka stručni pregledi kvantitativno i kvalitativno odrede sastav stanja objekta koji se proučava. Procjena stanja objekta vrši se prema vrijednostima znakova y i OY=(y 1 ,y 2 ,…,y p ).
Nemoguće je sve uzeti u obzir, stoga je pri procjeni stanja bolje koristiti nejasne kategorije, a nejasne definicije vrijednosti parametara treba napraviti sa određenim stepenom nesigurnosti u ispravnost definicija. Zaista, uvijek se može pretpostaviti da postoji neki skup znakova 
, koje stručnjaci nisu naznačili iz raznih razloga: na njih se zaboravilo; stručnjaci vjeruju da ove karakteristike ne utječu na točnost; ovi parametri se ne mogu procijeniti, što je posljedica tehničkih poteškoća.
Funkcije prikaza p i OP=(p 1 ,p 2 ,…,p b ) u poređenju sa stepenom samopouzdanja b(p i)n, koje postavljaju stručnjaci. Također svaka funkcija prikaza pi težina usklađena a(pi), što odgovara nivou stručne kompetencije. Vrijednosti težine a(pi) određuju se brojevima segmenta . Dakle, funkcija višestrukog prikaza P=(p 1 ,p 2 ,…,p b ) sastoji se od skupa funkcija mapiranja pi, od kojih je svakom dodijeljena diploma g(pi), definiran kao spoj stupnjeva kompetencije i povjerenja u ispravnu definiciju funkcija mapiranja pi, tj. g(pi)=a(pi)&b(pi).
Praktična upotreba višestrukih funkcija pokazala je da se, u okviru određene kompetencije stručnjaka, konstruisana funkcija višestrukog prikaza dobro slaže sa njihovim individualnim mišljenjima o najvjerovatnijem podudaranju rasplinutih pojmova sa tačkama predmetne skale. X.
FUZZY LOGIC
Nejasna operacija "I"
Specifikacija rasplinutih skupova omogućava da se generalizuju jasne logičke operacije na njihove nejasne parnjake. Neizrazito proširenje operacije I je trokutna norma T, drugo ime T– norme su S–konorm. Na sl. 3.1 prikazuje prikaz kola T– norme.
Fazi operacija "AND" u opštem obliku je definisana kao preslikavanje:
za koje vrijede aksiomi:
Aksiomi graničnih uslova T– norme:
Aksiom poretka:
U teoriji rasplinutih skupova postoji bezbroj rasplinutih operacija "I", koje su određene načinima specificiranja operacije (T) pod uslovima (3.1) - (3.2). U teoriji rasplinutog upravljanja primjenjive su sljedeće metode specificiranja operacije (T), koje su navedene u nastavku.
Boolean proizvod[Zade, 1973]:
, "xO R. (3.6)
Algebarski proizvod[Bandler, Kohout, 1980]:
, "xO R, (3.7)
gdje "." je proizvod prihvaćen u klasičnoj algebri.
granični proizvod[Lukashevich, Giles, 1976]:
, (3.8)
gdje je simbol graničnog proizvoda.
Jak, ili drastično (drastičan), proizvod[Weber, 1983]:
(3.9)
gdje je D simbol jakog proizvoda.
Na sl. 3.2 prikazuje funkciju članstva za logički, algebarski, granični i jak proizvod rasplinutih skupova.
Fuzzy operacija "ILI"
Neizrazito proširenje operacije "ILI" je S-norm. Ponekad se koristi ime T–konorm. Na sl. 3.3 prikazuje prikaz kola S– norme.
Fazi operacija "ILI" je definisana kao mapiranje
za koje se vrši preslikavanje:
Aksiomi graničnih uslova T– norme:
, ; (3.10)
Aksiomi unije (presjeci):
Aksiom poretka:
Od beskonačnog broja rasplinutih operacija koje zadovoljavaju aksiome (3.10) - (3.14), sljedeće operacije navedene u nastavku našle su primjenu u teoriji upravljanja.
Boolean zbroj[Zade, 1973]:
, "xO R. (3.15)
Algebarski zbir[Bandler & Kohout, 1980]:
, "xO R, (3.16)
Limit suma[Lukashevich, Giles, 1976]:
, (3.17)
Jaka ili drastična količina[Weber, 1983]:
(3.18)
Poređenje aksioma T-norme sa aksiomima S-norme pokazuje da je razlika u njima samo u aksiomima graničnih uslova.
Na sl. 3.4 prikazuje funkciju članstva za logički, algebarski, granični i jak zbir rasplinutih skupova.
Nejasna operacija "NE"
Neizrazita operacija "NE" definirana je kao preslikavanje za koje vrijede sljedeći aksiomi:
Skup preslikavanja koji zadovoljava aksiome (3.19) - (3.21) je rasplinuta negacija. Operacija fuzzy negacije u obliku šeme prikazana je na sl. 3.5.
Od beskonačnog broja rasplinutih operacija "NE" koje zadovoljavaju aksiome (3.19) - (3.21), sljedeće operacije navedene u nastavku našle su primjenu u teoriji upravljanja.
Nejasno "NE" od Zade(1973) se definiše kao oduzimanje od jedinice:
. (3.22)
Nejasno "NE" prema Sugenu(1977) ili je l-komplement definiran kao formula
. (3.23)
At l=0 jednačina (3.23) se poklapa sa jednačinom (3.22).
Nejasno "NE" prema Yageru(1980) se definiše kao:
, (3.24)
gdje p>0- parametar. At p=1 jednačina (3.24) se poklapa sa jednačinom (3.22).
Za T- norme i S- norme, mogu postojati razne varijante negacija zbog beskonačnog broja mogućih rasplinutih operacija "NE". Međutim, poželjno je odabrati takve opcije negacije koje zadovoljavaju uvjete:
Ovi uslovi, po analogiji sa jasnom logikom, nazivaju se de Morganovim rasplinutim zakonima. Operacije (3.25) i (3.26) nazivaju se uzajamno dualnim, jer u teoriji rasplinutih skupova, dokazano je da (3.25) implicira (3.26) i, obrnuto, (3.26) implicira (3.25).
Sljedeće fuzzy operacije su također međusobno dualne:
; (3.29)
Algebra rasplinutog zaključivanja
3.4.1. Baza fuzzy pravila. U fazi logici postoji koncept rasplinute propozicije. Nejasna rečenica se definiše kao izjava "". simbol " x” označava fizičku veličinu (struja, napon, pritisak, brzina itd.), simbol “ ” označava jezičku varijablu (LP), a simbol “ str“- skraćenica od proposition – prijedlog. Na primjer, u izjavi "veličina struje je velika" fizičke varijable x je "trenutna vrijednost" koju može izmjeriti trenutni senzor. Fazi skup je definisan LP "velikim" i formalizovan funkcijom članstva m A (x). Veza "je" odgovara operaciji naručivanja u obliku jednakosti, koja je označena simbolom "=". Dobiva formalizirani oblik rečenice " » .
Nejasna rečenica može se sastojati od nekoliko zasebnih nejasnih rečenica povezanih vezama "I", "ILI". Izbor logičkih veziva "I", "ILI" iz značenja i konteksta rečenica, iz odnosa među njima. Imajte na umu da su operacije fuzzy "AND" i "OR" prema Zadehu (formule (3.6) i (3.15)) u teoriji upravljanja poželjnije u odnosu na ostale, jer nemaju višak. Kada nejasne rečenice nisu ekvivalentne, već su u korelaciji i međusobno povezane, tada je moguće koristiti T- norme i S- norme prema Lukaševiču (formule (3.8) i (3.17)).
Rečenica str može se predstaviti kao rasplinuta relacija R sa funkcijom članstva: . Za sastavljanje nejasne rečenice koja se sastoji od nekoliko odvojenih nejasnih rečenica povezanih vezama "I", koristi se indikator "ako". Kao rezultat, dobijamo sistem uslovnih rasplinutih iskaza:
.
Zovu se nejasne rečenice uslovima ili preduslovi.
Skup uslova nam omogućava da konstruišemo skup zaključci ili zaključci. U ovom slučaju se koristi indikator "tada".
Proizvodno nejasno pravilo(fazi pravilo) je skup uslova i zaključaka:
R 1: ako je x 1 = i x 2 = i …, tada je y 1 = i y 2 = I…
……………………………………………………………,
gdje simbol R1- skraćenica "pravilo" - pravilo.
Na primjer, pravilo za kontrolu temperature vode je formulirano na sljedeći način: R1: ako je temperatura vode hladna, a temperatura zraka hladna, onda okrenite ventil tople vode ulijevo za veliki ugao, a ventil za hladnu vodu udesno za veliki ugao.
Nejasni uslovi za rešavanje problema:
-x 1- temperatura vode (mjerena senzorom); - hladno;
-x2- temperatura vazduha (merena senzorom); - hladno;
Uvjeti nejasnog zaključivanja:
-y 1- ugao rotacije ventila ulijevo, - veliki;
-y2- ugao rotacije ventila udesno, - veliki.
Ovo lingvističko nejasno pravilo odgovara formaliziranoj notaciji:
R 1: ako je x 1 = i x 2 = , tada je y 1 = i y 2 = , (3.31)
gdje , , i su fazi skupovi definisani funkcijama članstva.
Skup rasplinutih pravila proizvodnje čini osnovu rasplinutih pravila , gdje R i: ako …, onda …;. Fazi baza pravila ima sljedeća svojstva: kontinuitet, konzistentnost, potpunost.
Kontinuitet je definisan sledećim konceptima: uređeni skup rasplinutih skupova; susedni rasplinuti skupovi.
Skup rasplinutih skupova (A i) pozvao uredno, ako imaju odnos poretka: «<»:A 1 <…
Ako je skup rasplinutih skupova { } naređeno, zatim skupovi i , i se pozivaju susjedni pod uslovom da se ovi rasplinuti skupovi preklapaju.
Fazi baza pravila se zove kontinuirano, ako se radi o pravilima
Rk: ako je x 1 = i x 2 = , zatim y= i k'¹k
ispunjeni su uslovi:
‑ Ù i susjedni su;
‑ Ù i susjedni su;
- i susjedni su.
Razmotrit ćemo konzistentnost neizrazite baze pravila koristeći primjer. Osnova fuzzy pravila za upravljanje robotom data je kao:
………………………………….
R i: ako je prepreka ispred, onda se pomaknite lijevo,
R i +1: ako je prepreka ispred, onda se pomaknite udesno,
……………………………………
Baza pravila je nedosljedna.
Primjer dosljedne nejasne baze pravila je sljedeći:
R 1: ako je x 1 = ili x 2 = , zatim y= ;
R 2: ako je x 1 = ili x 2 = , zatim y= ;
R 3: ako je x 1 = ili x 2 = , zatim y= .
Ako pravila sadrže dva uslova i jedan izlaz, onda su ova pravila sistem sa dva ulaza x 1 I x2 i jedan izlaz y. Ovaj sistem se može predstaviti u matričnom obliku:
| x2 | x 1 | ||
| y= | |||
| y= | |||
| y= |
Baza fuzzy pravila je konzistentna.
Podsjetimo da se varijabla naziva lingvističkom ako uzima vrijednosti iz skupa riječi ili fraza nekog prirodnog ili umjetnog jezika. Skup dopuštenih vrijednosti jezičke varijable naziva se skup termina. Postavljanje vrijednosti varijable riječima, bez korištenja brojeva, prirodnije je za osobu. Svakodnevno donosimo odluke na osnovu lingvističkih informacija kao što su: „veoma visoka temperatura“; "dugo putovanje"; "brzi odgovor"; "predivan buket"; "harmoničan ukus" itd. Psiholozi su ustanovili da se u ljudskom mozgu gotovo sve numeričke informacije verbalno prekodiraju i pohranjuju kao lingvistički termini. Koncept lingvističke varijable igra važnu ulogu u fazi zaključivanja i donošenju odluka na osnovu približnog zaključivanja. Formalno, lingvistička varijabla je definirana na sljedeći način.
Definicija 44.jezička varijabla je dato sa pet , gdje je - ; ime varijable; - ; skup termina, čiji je svaki element (term) predstavljen kao rasplinuti skup na univerzalnom skupu; - ; sintaktička pravila, često u obliku gramatike, koja generišu nazive pojmova; - ; semantička pravila koja definiraju funkcije pripadnosti rasplinutih pojmova generiranih sintaksičkim pravilima.
Primjer 9 Razmotrite jezičku varijablu pod nazivom "sobna temperatura". Tada se preostala četvorka može definirati na sljedeći način:
Tabela 4 – Pravila za izračunavanje funkcija članstva
Grafikoni funkcija pripadnosti pojmova "hladno", "nije baš hladno", "udobno", "manje ili više ugodno", "vruće" i "veoma vruće" jezičke varijable "sobna temperatura" prikazani su na Sl. 13.
Slika 13 - Jezička varijabla "sobna temperatura"
nejasna istina
Posebno mjesto u fuzzy logici zauzima jezička varijabla "istina". U klasičnoj logici, istina može imati samo dvije vrijednosti: istinitu i lažnu. U rasplinutoj logici, istina je "fazi". Nejasna istina se definiše aksiomatski, a različiti autori to različito rade. Interval se koristi kao univerzalni skup za postavljanje lingvističke varijable "istina". Uobičajena, jasna istina može biti predstavljena nejasnim singleton skupovima. U ovom slučaju, jasan koncept istinitog će odgovarati funkciji članstva 
, a jasan koncept je lažan - ; 
, .
Da bi postavio nejasnu istinu, Zade je predložio sljedeće funkcije članstva za pojmove "tačno" i "lažno":
;
gdje - ; parametar koji određuje nosioce rasplinutih skupova "true" i "false". Za rasplinuti skup "tačno" nosilac će biti interval , a za rasplinuti skup false" - ; .
Funkcije pripadnosti rasplinutih pojmova "tačno" i "netačno" prikazane su na sl. 14. Izgrađeni su sa vrijednošću parametra . Kao što vidite, grafovi funkcija članstva pojmova "tačno" i "netačno" su slike u zrcalu.
Slika 14 - Lingvistička varijabla "istina" prema Zadehu
Da bi postavio nejasnu istinu, Baldwin je predložio sljedeće funkcije pripadnosti nejasne "tačno" i "netačno":
Kvantifikatori "manje ili više" i "veoma" se često primjenjuju na nejasne skupove "tačno" i "netačno", čime se dobijaju pojmovi "veoma netačno", "manje ili više netačno", "manje ili više istinito", "veoma istinito" , "veoma, vrlo istinito", "veoma, vrlo netačno" itd. Funkcije članstva novih termina dobijaju se izvođenjem operacija koncentracije i rastezanja rasplinutih skupova "true" i "false". Operacija koncentracije odgovara kvadriranju funkcije pripadnosti, a operacija rastezanja odgovara podizanju na stepen od ½. Prema tome, članstvo funkcionira pojmova "veoma, vrlo lažno", "veoma lažno", "manje ili više netačno", "manje ili više istinito", "tačno", "veoma istinito" i "veoma, vrlo istinito" date su kako slijedi.
