Regresiona i korelaciona analiza - statističke metode istraživanja. Ovo su najčešći načini da se pokaže zavisnost parametra od jedne ili više nezavisnih varijabli.
U nastavku ćemo, koristeći konkretne praktične primjere, razmotriti ove dvije vrlo popularne analize među ekonomistima. Navest ćemo i primjer dobijanja rezultata kada se kombinuju.
Regresiona analiza u Excelu
Pokazuje uticaj nekih vrednosti (nezavisnih, nezavisnih) na zavisnu varijablu. Na primjer, kako broj ekonomski aktivnog stanovništva zavisi od broja preduzeća, plata i drugih parametara. Ili: kako strane investicije, cijene energije itd. utiču na nivo BDP-a.
Rezultat analize vam omogućava da odredite prioritete. I na osnovu glavnih faktora, predviđati, planirati razvoj prioritetnih oblasti, donositi upravljačke odluke.
Regresija se dešava:
- linearni (y = a + bx);
- parabolični (y = a + bx + cx 2);
- eksponencijalni (y = a * exp(bx));
- snaga (y = a*x^b);
- hiperbolično (y = b/x + a);
- logaritamski (y = b * 1n(x) + a);
- eksponencijalni (y = a * b^x).
Razmotrite primjer izgradnje regresijskog modela u Excelu i interpretacije rezultata. Uzmimo linearni tip regresije.
Zadatak. U 6 preduzeća analizirana je prosječna mjesečna plata i broj zaposlenih koji su otišli. Potrebno je utvrditi zavisnost broja zaposlenih u penziji od prosječne plate.
Model linearne regresije ima sljedeći oblik:
Y \u003d a 0 + a 1 x 1 + ... + a k x k.
Gdje su a koeficijenti regresije, x su varijable koje utiču, a k je broj faktora.
U našem primjeru, Y je indikator radnika koji su dali otkaz. Faktor uticaja su plate (x).
Excel ima ugrađene funkcije koje se mogu koristiti za izračunavanje parametara modela linearne regresije. Ali dodatak Analysis ToolPak će to učiniti brže.
Aktivirajte moćan analitički alat:
Kada se aktivira, dodatak će biti dostupan na kartici Podaci.
Sada ćemo se direktno pozabaviti regresijskom analizom.
Prije svega, obraćamo pažnju na R-kvadrat i koeficijente.
R-kvadrat je koeficijent determinacije. U našem primjeru to je 0,755, odnosno 75,5%. To znači da izračunati parametri modela objašnjavaju odnos između proučavanih parametara za 75,5%. Što je veći koeficijent determinacije, to je model bolji. Dobro - iznad 0,8. Loše - manje od 0,5 (ovakva analiza se teško može smatrati razumnom). U našem primjeru - "nije loše".
Koeficijent 64,1428 pokazuje koliki će biti Y ako su sve varijable u modelu koji se razmatraju jednake 0. Odnosno, na vrijednost analiziranog parametra utiču i drugi faktori koji nisu opisani u modelu.
Koeficijent -0,16285 pokazuje težinu varijable X na Y. Odnosno, prosječna mjesečna plata u okviru ovog modela utiče na broj onih koji odustaju sa ponderom od -0,16285 (ovo je mali stepen uticaja). Znak “-” ukazuje na negativan uticaj: što je veća plata, to je manje otkaza. Što je pošteno.
Korelaciona analiza u Excel-u
Korelaciona analiza pomaže da se utvrdi da li postoji veza između indikatora u jednom ili dva uzorka. Na primjer, između vremena rada mašine i troškova popravki, cijene opreme i trajanja rada, visine i težine djece itd.
Ako postoji veza, onda da li povećanje jednog parametra dovodi do povećanja (pozitivna korelacija) ili smanjenja (negativna) u drugom. Korelaciona analiza pomaže analitičaru da utvrdi da li vrijednost jednog indikatora može predvidjeti moguću vrijednost drugog.
Koeficijent korelacije označava se r. Varira od +1 do -1. Klasifikacija korelacija za različita područja bit će različita. Kada je vrijednost koeficijenta 0, ne postoji linearna veza između uzoraka.
Razmislite kako koristiti Excel za pronalaženje koeficijenta korelacije.
CORREL funkcija se koristi za pronalaženje uparenih koeficijenata.
Zadatak: Utvrditi postoji li veza između vremena rada tokarilice i troškova njenog održavanja.
Stavite kursor u bilo koju ćeliju i pritisnite dugme fx.
- U kategoriji "Statistički" odaberite funkciju CORREL.
- Argument "Niz 1" - prvi raspon vrijednosti - vrijeme mašine: A2: A14.
- Argument "Niz 2" - drugi raspon vrijednosti - cijena popravka: B2:B14. Kliknite OK.
Da biste odredili vrstu veze, potrebno je pogledati apsolutni broj koeficijenta (svako polje aktivnosti ima svoju skalu).
Za korelacione analize nekoliko parametara (više od 2) pogodnije je koristiti "Analizu podataka" (dodatak "Paket analize"). Na listi morate odabrati korelaciju i odrediti niz. Sve.
Dobijeni koeficijenti će biti prikazani u korelacionoj matrici. kao ovaj:
Korelaciono-regresiona analiza
U praksi se ove dvije tehnike često koriste zajedno.
primjer:
Sada su vidljivi podaci regresione analize.
Izgradnja linearne regresije, procjena njenih parametara i njihovog značaja može se uraditi mnogo brže kada se koristi Excel paket za analizu (Regression). Razmotrimo interpretaciju dobijenih rezultata u opštem slučaju ( k objašnjavajuće varijable) prema primjeru 3.6.
Table regresijska statistika date su vrijednosti:
Višestruko R – koeficijent višestruke korelacije;
R- kvadrat- koeficijent odlučnosti R 2 ;
Normalizovano R - kvadrat- prilagođeno R 2 prilagođen broju stupnjeva slobode;
standardna greška je standardna greška regresije S;
Zapažanja - broj zapažanja n.
Table Analiza varijanse dato:
1. Kolona df - broj stepena slobode, jednak
za niz Regresija df = k;
za niz Ostatakdf = n – k – 1;
za niz Ukupnodf = n– 1.
2. Kolona SS- zbir kvadrata odstupanja, jednak
za niz Regresija ;
za niz Ostatak ;
za niz Ukupno .
3. Kolona GOSPOĐA varijanse određene formulom GOSPOĐA = SS/df:
za niz Regresija– faktorska varijansa;
za niz Ostatak je rezidualna varijansa.
4. Kolona F - izračunata vrijednost F-kriterijumi izračunati po formuli
F = GOSPOĐA(regresija)/ GOSPOĐA(ostatak).
5. Kolona Značaj F je vrijednost nivoa značajnosti koja odgovara izračunatoj F-statistika .
Značaj F= FRIST( F- statistika, df(regresija), df(ostatak)).
Ako značaj F < стандартного уровня значимости, то R 2 je statistički značajno.
| Koeficijenti | standardna greška | t-statistika | p-vrijednost | donjih 95% | Top 95% | |
| Y | 65,92 | 11,74 | 5,61 | 0,00080 | 38,16 | 93,68 |
| X | 0,107 | 0,014 | 7,32 | 0,00016 | 0,0728 | 0,142 |
Ova tabela pokazuje:
1. Odds– vrijednosti koeficijenata a, b.
2. Standardna greška su standardne greške koeficijenata regresije S a, Sb.
3. t- statistika– izračunate vrijednosti t -kriterijumi izračunati po formuli:
t-statistic = Koeficijenti / Standardna greška.
4.R-vrijednost (značaj t) je vrijednost nivoa značajnosti koji odgovara izračunatom t- statistika.
R-vrijednost = STUDRASP(t-statistika, df(ostatak)).
Ako R-značenje< стандартного уровня значимости, то соответствующий коэффициент статистически значим.
5. Donjih 95% i gornjih 95% su donja i gornja granica 95% intervala povjerenja za koeficijente teorijske jednačine linearne regresije.
| PREOSTALO POVLAČENJE | ||
| Opservacija | Predviđeno y | Ostaje e |
| 72,70 | -29,70 | |
| 82,91 | -20,91 | |
| 94,53 | -4,53 | |
| 105,72 | 5,27 | |
| 117,56 | 12,44 | |
| 129,70 | 19,29 | |
| 144,22 | 20,77 | |
| 166,49 | 24,50 | |
| 268,13 | -27,13 |
Table PREOSTALO POVLAČENJE naznačeno:
u koloni Opservacija– broj posmatranja;
u koloni predviđeno y su izračunate vrijednosti zavisne varijable;
u koloni Ostaje e je razlika između posmatrane i izračunate vrednosti zavisne varijable.
Primjer 3.6. Dostupni podaci (arb. jedinice) o izdacima za hranu y i dohodak po glavi stanovnika x za devet grupa porodica:
| x | |||||||||
| y |
Koristeći rezultate Excel paketa analize (Regresija), analiziramo zavisnost troškova hrane od vrijednosti dohotka po glavi stanovnika.
Rezultati regresione analize se obično pišu kao:
gdje su u zagradama standardne greške koeficijenata regresije.
Regresijski koeficijenti ali = 65,92 i b= 0,107. Smjer komunikacije između y I x određuje predznak koeficijenta regresije b= 0,107, tj. odnos je direktan i pozitivan. Koeficijent b= 0,107 pokazuje da sa povećanjem dohotka po glavi stanovnika za 1 arb. jedinice troškovi hrane rastu za 0,107 konv. jedinice
Procijenimo značaj koeficijenata dobijenog modela. Značaj koeficijenata ( a, b) se provjerava t- test:
p-vrijednost ( a) = 0,00080 < 0,01 < 0,05
p-vrijednost ( b) = 0,00016 < 0,01 < 0,05,
dakle koeficijenti ( a, b) su značajni na nivou od 1%, a još više na nivou značajnosti od 5%. Dakle, koeficijenti regresije su značajni i model je adekvatan originalnim podacima.
Rezultati procjene regresije su kompatibilni ne samo s dobivenim vrijednostima regresijskih koeficijenata, već i sa nekim njihovim skupom (interval pouzdanosti). Sa vjerovatnoćom od 95%, intervali povjerenja za koeficijente su (38,16 - 93,68) za a i (0,0728 - 0,142) za b.
Kvaliteta modela se ocjenjuje koeficijentom determinacije R 2 .
Vrijednost R 2 = 0,884 znači da faktor dohotka po glavi stanovnika može objasniti 88,4% varijacije (raspršenosti) u potrošnji na hranu.
Značaj R 2 provjerio F- test: značaj F = 0,00016 < 0,01 < 0,05, следовательно, R 2 je značajan na nivou od 1%, a još više na nivou značajnosti od 5%.
U slučaju parne linearne regresije, koeficijent korelacije se može definirati kao 
. Dobijena vrijednost koeficijenta korelacije ukazuje da je veza između izdataka za hranu i dohotka po glavi stanovnika veoma bliska.
Za teritorije regiona dati su podaci za 200X.
| Broj regije | Prosječni egzistencijalni minimum po glavi stanovnika dnevno za jednu radno sposobnu osobu, rub., x | Prosječna dnevna plata, rub., at |
|---|---|---|
| 1 | 78 | 133 |
| 2 | 82 | 148 |
| 3 | 87 | 134 |
| 4 | 79 | 154 |
| 5 | 89 | 162 |
| 6 | 106 | 195 |
| 7 | 67 | 139 |
| 8 | 88 | 158 |
| 9 | 73 | 152 |
| 10 | 87 | 162 |
| 11 | 76 | 159 |
| 12 | 115 | 173 |
Zadatak:
1. Izgradite korelacijsko polje i formulirajte hipotezu o obliku odnosa.
2. Izračunajte parametre jednačine linearne regresije
4. Koristeći prosječni (opći) koeficijent elastičnosti, dajte komparativnu ocjenu jačine veze između faktora i rezultata.
7. Izračunajte predviđenu vrijednost rezultata ako se predviđena vrijednost faktora poveća za 10% od njegovog prosječnog nivoa. Odredite interval pouzdanosti predviđanja za nivo značajnosti.
Rješenje:
Rešimo ovaj problem koristeći Excel.
1. Upoređujući dostupne podatke x i y, na primjer, rangirajući ih uzlaznim redoslijedom faktora x, može se uočiti direktna veza između znakova kada povećanje egzistencijalnog minimuma po glavi stanovnika povećava prosječnu dnevnu platu. Na osnovu toga može se pretpostaviti da je odnos između znakova direktan i da se može opisati jednadžbom prave linije. Isti zaključak potvrđuje se i na osnovu grafičke analize.
Da biste izgradili polje korelacije, možete koristiti Excel PPP. Unesite početne podatke u nizu: prvo x, zatim y.
Odaberite područje ćelija koje sadrže podatke.
Zatim odaberite: Insert / Scatter / Scatter sa markerima kao što je prikazano na slici 1.
Slika 1 Konstrukcija korelacionog polja
Analiza korelacionog polja pokazuje postojanje zavisnosti bliske pravoj liniji, jer se tačke nalaze skoro u pravoj liniji.
2. Izračunati parametre jednačine linearne regresije
koristite ugrađenu statističku funkciju LINEST.
Za ovo:
1) Otvorite postojeću datoteku koja sadrži podatke za analizu;
2) Odaberite područje praznih ćelija 5×2 (5 redaka, 2 kolone) za prikaz rezultata statistike regresije.
3) Aktivirajte Čarobnjak za funkcije: u glavnom meniju izaberite Formule / Funkcija umetanja.
4) U prozoru Kategorija ti uzmeš Statistički, u funkcijskom prozoru - LINEST. Kliknite na dugme uredu kao što je prikazano na slici 2;
Slika 2 Dijaloški okvir čarobnjaka za funkcije
5) Popunite argumente funkcije:
Poznate vrijednosti
Poznate x vrijednosti
Konstantno- logička vrijednost koja ukazuje na prisustvo ili odsustvo slobodnog člana u jednačini; ako je Constant = 1, onda se slobodni termin izračunava na uobičajen način, ako je Constant = 0, onda je slobodni termin 0;
Statistika- logička vrijednost koja pokazuje da li treba prikazati dodatne informacije o regresionoj analizi ili ne. Ako je Statistika = 1, tada se prikazuju dodatne informacije, ako je Statistika = 0, tada se prikazuju samo procjene parametara jednadžbe.
Kliknite na dugme uredu;
Slika 3. Dijaloški okvir LINEST Arguments
6) Prvi element konačne tabele će se pojaviti u gornjoj lijevoj ćeliji odabranog područja. Da proširite cijelu tabelu, pritisnite dugme
Dodatna statistika regresije će biti ispisana redoslijedom prikazanim u sljedećoj šemi:
| Vrijednost koeficijenta b | Vrijednost koeficijenta a |
| b standardna greška | standardna greška a |
| standardna greška y | |
| F-statistika | |
| Regresijski zbir kvadrata
|
Slika 4 Rezultat izračunavanja funkcije LINEST
Dobili smo jednačinu regresije:
Zaključujemo: Uz povećanje životnog minimuma po glavi stanovnika za 1 rub. prosječna dnevna plata raste u prosjeku za 0,92 rublje.
To znači da se 52% varijacije plata (y) objašnjava varijacijom faktora x - prosječnog egzistencijalnog minimuma po glavi stanovnika, a 48% - djelovanjem drugih faktora koji nisu uključeni u model.
Prema izračunatom koeficijentu determinacije moguće je izračunati koeficijent korelacije: 
.
Veza je ocijenjena kao bliska.
4. Pomoću prosječnog (općeg) koeficijenta elastičnosti određujemo jačinu utjecaja faktora na rezultat.
Za jednadžbu pravolinijske, prosječni (opći) koeficijent elastičnosti je određen formulom:
Pronađemo prosječne vrijednosti odabirom područja ćelija sa x vrijednostima i odabiremo Formule / AutoSum / Average, i uradite isto sa vrijednostima y.
Slika 5 Izračunavanje srednjih vrijednosti funkcije i argumenta
Dakle, ako se prosječni egzistencijalni minimum po glavi stanovnika promijeni za 1% od njegove prosječne vrijednosti, prosječna dnevna plata će se promijeniti u prosjeku za 0,51%.
Korištenje alata za analizu podataka Regresija dostupno:
- rezultate regresijske statistike,
- rezultate analize disperzije,
- rezultati intervala povjerenja,
- grafikoni uklapanja reziduala i regresijskih linija,
- reziduali i normalna vjerovatnoća.
Procedura je sljedeća:
1) provjerite pristup Paket analiza. U glavnom meniju birajte redom: Fajl/Postavke/Dodaci.
2) Pad Kontrola odaberite stavku Excel dodaci i pritisnite dugme Idi.
3) U prozoru dodaci potvrdite polje Paket analiza, a zatim kliknite na dugme uredu.
Ako Paket analiza nedostaje sa liste polja Dostupni dodaci, pritisnite dugme Pregled za pretragu.
Ako dobijete poruku u kojoj se navodi da paket za analizu nije instaliran na vašem računaru, kliknite Da da ga instalirate.
4) U glavnom meniju izaberite redom: Podaci / Analiza podataka / Alati za analizu / Regresija, a zatim kliknite na dugme uredu.
5) Popunite dijaloški okvir opcija unosa i izlaza podataka:
Interval unosa Y- opseg koji sadrži podatke efektivnog atributa;
Interval unosa X- opseg koji sadrži podatke faktorskog atributa;
Oznake- zastavicu koja pokazuje da li prvi red sadrži nazive kolona ili ne;
Konstanta - nula- zastavicu koja označava prisustvo ili odsustvo slobodnog člana u jednačini;
izlazni interval- dovoljno je naznačiti gornju lijevu ćeliju budućeg raspona;
6) Novi radni list - možete postaviti proizvoljan naziv za novi list.
Zatim pritisnite dugme uredu.
Slika 6 Dijaloški okvir za unos parametara alata Regresija
Rezultati regresione analize za podatke o problemu prikazani su na slici 7.
Slika 7 Rezultat primjene alata za regresiju
5. Procijenimo kvalitet jednačina koristeći prosječnu grešku aproksimacije. Koristimo rezultate regresione analize prikazane na slici 8.
Slika 8 Rezultat primjene alata za regresiju "Residual Inference"
Sastavimo novu tabelu kao što je prikazano na slici 9. U koloni C izračunavamo relativnu grešku aproksimacije koristeći formulu:
Slika 9. Proračun prosječne greške aproksimacije
Prosječna greška aproksimacije se izračunava po formuli:
Kvalitet izrađenog modela ocjenjuje se dobrim, jer ne prelazi 8 - 10%.
6. Iz tabele sa statistikom regresije (slika 4) ispisujemo stvarnu vrijednost Fišerovog F-testa: 
Ukoliko 
na nivou značajnosti od 5%, onda možemo zaključiti da je jednačina regresije značajna (odnos je dokazan).
8. Procijenit ćemo statističku značajnost parametara regresije korištenjem Studentove t-statistike i izračunavanjem intervala povjerenja za svaki od indikatora.
Postavili smo hipotezu H 0 o statistički beznačajnoj razlici indikatora od nule:
.
za broj stepeni slobode
Slika 7 prikazuje stvarne vrijednosti t-statistike:
T-test za koeficijent korelacije može se izračunati na dva načina:
ja način:
gdje 
- slučajna greška koeficijenta korelacije.
Podatke za proračun uzimamo iz tabele na slici 7.
II način:
Stvarne vrijednosti t-statistike su superiornije od vrijednosti u tabeli:
Stoga se hipoteza H 0 odbacuje, odnosno regresijski parametri i koeficijent korelacije nisu nasumično različiti od nule, već su statistički značajni.
Interval pouzdanosti za parametar a definiran je kao
Za parametar a, granice od 95%, kao što je prikazano na slici 7, bile su:
Interval pouzdanosti za koeficijent regresije je definiran kao
Za koeficijent regresije b, granice od 95% kao što je prikazano na slici 7 bile su:
Analiza gornje i donje granice intervala povjerenja dovodi do zaključka da s vjerovatnoćom 
parametri a i b, koji su unutar navedenih granica, ne uzimaju nulte vrijednosti, tj. nisu statistički značajne i značajno se razlikuju od nule.
7. Dobijene procjene regresione jednačine nam omogućavaju da je koristimo za predviđanje. Ako je prognozirana vrijednost egzistencijalnog minimuma:
Tada će predviđena vrijednost egzistencijalnog minimuma biti:
Grešku prognoze izračunavamo pomoću formule:
gdje 
Također izračunavamo varijansu koristeći Excel PPP. Za ovo:
1) Aktivirajte Čarobnjak za funkcije: u glavnom meniju izaberite Formule / Funkcija umetanja.
3) Popunite opseg koji sadrži numeričke podatke faktorske karakteristike. Kliknite uredu.
Slika 10 Proračun varijanse
Dobijte vrijednost varijanse 
Za izračunavanje preostale varijanse po jednom stepenu slobode koristimo rezultate analize varijanse kao što je prikazano na slici 7.
Intervali povjerenja za predviđanje pojedinačnih vrijednosti y at sa vjerovatnoćom od 0,95 određeni su izrazom:
Interval je prilično širok, prvenstveno zbog malog obima posmatranja. Generalno, ispunjena prognoza prosječne mjesečne plate pokazala se pouzdanom.
Uslov problema je preuzet iz: Radionica o ekonometriji: Proc. dodatak / I.I. Eliseeva, S.V. Kurysheva, N.M. Gordeenko i drugi; Ed. I.I. Eliseeva. - M.: Finansije i statistika, 2003. - 192 str.: ilustr.
MS Excel paket vam omogućava da većinu posla obavite vrlo brzo prilikom konstruisanja jednačine linearne regresije. Važno je razumjeti kako interpretirati rezultate. Da biste napravili regresijski model, izaberite Alati\Analiza podataka\Regresija (u Excelu 2007 ovaj način se nalazi u odjeljku Podaci/Analiza podataka/Regresija). Zatim kopirajte dobijene rezultate u blok za analizu.
IN excel postoji još brži i pogodniji način za crtanje linearne regresije (pa čak i glavne vrste nelinearnih regresija, pogledajte dolje). Ovo se može uraditi ovako:
1) odaberite kolone sa podacima X I Y(moraju biti tim redoslijedom!);
2) poziv Čarobnjak za karte i izaberite u grupi Tip – tačkasta i odmah pritisnite Spreman;
3) bez poništavanja izbora dijagrama, izaberite stavku glavnog menija koja se pojavi Dijagram, u kojem trebate odabrati stavku Dodajte liniju trenda;
4) u dijalogu koji se pojavi linija trenda tab Tip izaberite Linearno;
5) tab Parametri prekidač se može aktivirati Pokažite jednačinu na grafikonu, što će vam omogućiti da vidite jednačinu linearne regresije (4.4), u kojoj će se izračunati koeficijenti (4.5).
6) U istoj kartici možete aktivirati prekidač Stavite na dijagram vrijednost pouzdanosti aproksimacije (R^2). Ova vrijednost je kvadrat koeficijenta korelacije (4.3) i pokazuje koliko dobro izračunata jednačina opisuje eksperimentalnu ovisnost. Ako R 2 je blizu jedinice, tada teorijska regresijska jednadžba dobro opisuje eksperimentalnu ovisnost (teorija se dobro slaže s eksperimentom), a ako R 2 je blizu nule, onda ova jednadžba nije prikladna za opisivanje eksperimentalne ovisnosti (teorija se ne slaže s eksperimentom).
Kao rezultat izvođenja opisanih radnji, dobit ćete dijagram s grafom regresije i njegovom jednadžbom.
§4.3. Glavne vrste nelinearne regresije
Parabolična i polinomska regresija.
Parabolic zavisnost vrednosti Y od vrijednosti X zavisnost izražena kvadratnom funkcijom (parabola 2. reda) naziva se:
Ova jednačina se zove parabolična regresija Y na X. Parametri ali, b, od pozvao koeficijenti paraboličke regresije. Izračunavanje koeficijenata paraboličke regresije je uvijek glomazno, pa se preporučuje korištenje računara za proračune.
Jednačina (4.8) paraboličke regresije je poseban slučaj općenitije regresije koja se naziva polinom. polinom zavisnost vrednosti Y od vrijednosti X naziva se zavisnost izražena polinomom n-ti red:
gdje su brojevi a i (i=0,1,…, n) su pozvani koeficijenti polinomske regresije.
Regresija snage.
Snaga zavisnost vrednosti Y od vrijednosti X naziva se zavisnost oblika:
Ova jednačina se zove jednadžba regresije snage Y na X. Parametri ali I b pozvao koeficijenti regresije snage.
ln=ln a+b ln x. (4.11)
Ova jednadžba opisuje pravu liniju u ravni sa logaritamskim koordinatnim osa ln x i ln. Stoga je kriterij primjenjivosti regresije stepena zahtjev da tačke logaritama empirijskih podataka ln x i i ln i bili najbliži pravoj liniji (4.11).
eksponencijalna regresija.
uzorno(ili eksponencijalna) zavisnost količine Y od vrijednosti X naziva se zavisnost oblika:
(ili ). (4.12)
Ova jednačina se zove eksponencijalna jednačina(ili eksponencijalna) regresija Y na X. Parametri ali(ili k) I b pozvao eksponencijalna(ili eksponencijalna) regresija.
Ako uzmemo logaritam obje strane jednadžbe regresije moći, dobićemo jednačinu
ln = x ln a+ln b(ili ln = k x+ln b). (4.13)
Ova jednadžba opisuje linearnu ovisnost logaritma jedne veličine ln od druge veličine x. Stoga je kriterij primjenjivosti regresije snage zahtjev da empirijski podaci ukazuju na istu veličinu x i i logaritmi druge vrijednosti ln i bili najbliži pravoj liniji (4.13).
logaritamska regresija.
Logaritamski zavisnost vrednosti Y od vrijednosti X naziva se zavisnost oblika:
=a+b ln x. (4.14)
Ova jednačina se zove logaritamska regresija Y na X. Parametri ali I b pozvao koeficijenti logaritamske regresije.
hiperbolička regresija.
Hyperbolic zavisnost vrednosti Y od vrijednosti X naziva se zavisnost oblika:
Ova jednačina se zove jednadžba hiperboličke regresije Y na X. Parametri ali I b pozvao koeficijenti hiperboličke regresije a određuju se metodom najmanjih kvadrata. Primjenom ove metode dolazi se do formula:
U formulama (4.16-4.17) sumiranje se vrši preko indeksa i od jednog do broja zapažanja n.
Nažalost, in excel ne postoji funkcija koja izračunava koeficijente hiperboličke regresije. U onim slučajevima kada se ne zna pouzdano da su izmjerene vrijednosti povezane inverznom proporcionalnošću, preporučljivo je tražiti jednadžbu regresije snage umjesto jednačine hiperboličke regresije, tako da u excel postoji procedura za pronalaženje. Ako se između izmjerenih vrijednosti pretpostavi hiperbolička zavisnost, tada će se njeni regresijski koeficijenti morati izračunati korištenjem pomoćnih proračunskih tablica i operacijama sumiranja pomoću formula (4.16-4.17).
