Promijenjena teoretska granica mase zvijezda. Granica funkcije - definicije, teoreme i svojstva

Posvećen jednom od osnovnih pojmova matematičke analize - granici. I u slučaju numeričkog niza i u slučaju realne funkcije realne varijable istražuje se neograničena aproksimacija određenoj konstantnoj vrijednosti varijable u zavisnosti od druge varijable s određenom promjenom. U ovom poglavlju pokušaćemo da generalizujemo pojam granice za preslikavanja proizvoljnih metričkih prostora, a generalizacija će se dotaknuti i načina na koji nezavisna varijabla teži datoj vrednosti. 8.1. Pojam granice preslikavanja Neka su X i Y metrički prostori sa metrikama p i d datim na njima, respektivno, a X je neki podskup X sa istom metrikom />, koji ima 6 X kao graničnu tačku. Naglašavamo da, na osnovu definicije 5.9, ova granična tačka za A može ili ne mora pripadati podskupu A. Razmotrićemo TEORIJU GRANICA. Pojam granice preslikavanja probušenog susjedstva U(a) = U(a) \ (a) date tačke. Neka domen preslikavanja /: ​​A Y uključuje skup A. Napominjemo da za tačku a ovo preslikavanje možda nije definirano. Definicija 8.1. Tačka 6 ∈ Y naziva se granica preslikavanja /: ​​A -f Y u tački a iznad skupa A i pišemo b = lim f(x) ili f(x) -> b za x -» a , ako, bez obzira na okolinu V(6) tačke 6, postoji probušena okolina U(a) tačke a u X tako da je njena slika za bilo koju tačku Kada je (8.1) zadovoljena, takođe se kaže da funkcija f(x) teži b kao što x teži tački a duž skupa A. Definicija 8.1 je prilično opšta. U zavisnosti od toga koji su skupovi X, Y, ACX i koja je tačka a ∈ X, mogu se dobiti različite konkretizacije ove definicije. Podsjećamo (vidi 5.2) da bilo koja okolina tačke uključuje e-susjedstvo ove tačke, a svaka ^-okrug je susjedstvo. Stoga, zamjenom u (8.1) proizvoljnog susjedstva V (6) tačke b ∈ Y sa ^-susjedstvom i probušenog susjedstva tačke a € X sa probušenim -susjedstvom, dolazimo do sljedećeg simboličkog prikaza definicija granice preslikavanja, koja je ekvivalentna definiciji 8.1: Za Y sa R ​​iz (8.1) slijedi simbolička notacija definicije granice preslikavanja /: ​​(granica realne funkcije): . Ako je u (8.5) 6 = 0), onda se funkcija f(x) naziva beskonačno malom jer x teži tački a ∈ X duž skupa A i zapisuje se Za YCR možemo govoriti o beskonačnim granicama preslikavanja ako je tačka 6 jedna od beskonačnih tačaka (+oo ili -oo) produžene brojevne prave R ili njihove unije (oo). U ovom slučaju, susjedstvo svake od navedenih tačaka, pri odabiru proizvoljnog M > O, poprimiće oblik. Tada iz (8.1) slijede tri prilično slična unosa u simboličkom obliku definicija beskonačnih granica funkcije: . Primjer 8.1. Pokažimo da je lim f(x) = c ako preslikavanje / u tačkama skupa A ima istu vrijednost c. U stvari, šta god da je komšiluk, TEORIJA GRANICA. Koncept granice preslikavanja V(c) tačke c) Vx u U (a) PA /(x) = c, pošto je xe A. Prema tome /(U (a) PA) = c ∈ V(c ), što odgovara definiciji 8.1. Provjerimo da je lim /(x) = a ako je preslikavanje / identično, tj. /(n) = x Vx 6 A. U ovom slučaju, za bilo koju okolinu V(a), kada biramo U(a) = V(a) \ (a) za mapiranje identiteta, dobijamo da odgovara (8.1) . Konkretno, kada A = R i a odgovara beskonačnoj tački + oo produžene realne linije, imamo: /(x) -f oo za x + oo. Zaista, za proizvoljno M > 0 dovoljno je odabrati skup U (+oo) = (s € R: x > M) kao probušenu okolinu beskonačne tačke +oo da bi se dobio /(x) > M i zadovoljio uslov (8.7). # Ako je u definiciji 8.1 X = Y = R i podskup A = = (a: € R: x > a), tada dolazimo do koncepta desne granice realne funkcije realne varijable u tački a, označeno u 7.2 lim fix). Ako je X = Y = R Imajte na umu da se skup A može poklapati sa cijelim skupom X. Za X = Y = R, ovaj slučaj u definiciji 8.1 odgovara konceptu dvostranog ograničenja realne funkcije realne varijable, i (ako ne postoji opasnost od zabune) umjesto lim /( x) samo napišite lim /(x). Naravno, govoreći o lim /(x), mogu se uzeti u obzir svi mogući zamislivi podskupovi A, ali to ne vodi uvijek do smislenih netrivijalnih rezultata. Dakle, ako se Dirichletova funkcija razmatra na podskupu Q ⊂ R racionalnih brojeva, onda dobijamo jednostavno konstantnu funkciju, čija je granica utvrđena u primjeru 8.1. Kada će definicija 8.1 dovesti do koncepta granice niza tačaka proizvoljnog metričkog prostora Y. U vezi s tim, dajemo sljedeću definiciju. Definicija 8.2. Tačka 6 ∈ Y naziva se granica niza (yn) tačaka yn metričkog prostora Y ako, bez obzira na susjedstvo V(6) CY tačke 6, postoji prirodan broj N takav da, počevši od broja N + 1, sve tačke ovog niza spadaju u ovu okolinu, tj. TEORIJA GRANICA. Koncept granice karte Kada je (8.10) zadovoljeno, takođe se kaže da (yn) teži tački 6. Koristeći u (8.10) umjesto proizvoljnog susjedstva tačke 6 njeno proizvoljno ^-susjedstvo, dobijamo d(yn > 6)) udaljenosti d(yni b) € R je beskonačno mala, tj. Drugim riječima, proučavanje ponašanja nizova tačaka u proizvoljnom metričkom prostoru zasniva se na proučavanju konvergencije numeričkih nizova. Štaviše, granica preslikavanja proizvoljnih metričkih prostora usko je povezana sa granicom nizova. Ova veza je uspostavljena sljedećom teoremom. Teorema 8.1. Preslikavanje /:Y ima tačku 6 ∈ Y kao svoju granicu dok x teži tački a u skupu A ako i samo ako je, pod preslikavanjem /, slika bilo kojeg niza tačaka iz A koja teži ka a niz tačaka iz Y koji teži 6, odnosno e. Pretpostavimo da tačka 6 6 Y zadovoljava definiciju 8.1 granice preslikavanja i (xn) je proizvoljan niz tačaka xn iz A koji teži tački a ∈ X. Tada, prema (8.1), bez obzira na okolinu V(b) ⊂ Y tačka 6, postoji probušena okolina U(a) ⊂ X od a takva da je /(u(a)PA) ⊂ V(6). Prema definiciji 8.2, počevši od nekog broja W + 1, sve tačke niza (xn) koje teže a moraju ležati u U(a)nA, tj. na osnovu (8.10) Tada, počevši od istog broja, sve tačke f(xn) EY niza (f(xn)) leže u V(6), što, prema definiciji 8.2, znači da ovaj niz teži 6. Da bismo dokazali dovoljnost uslova teoreme, pretpostavimo da za bilo koji niz (xn) tačaka xn iz A koji teži ka a, niz (/(xn)) tačaka f(xn) iz Y teži 6. Ako lim f(x) φ 6, onda bi to značilo postojanje broja e > 0 takvog da, za bilo koji izbor od 8 > 0, postoji tačka x € A koja zadovoljava uslove p(x, a) i d( f(x)y 6) > e. Za proizvoljno mali S > O možete specificirati prirodan broj N) takav da je 1 /N . Tada za svaki broj n > N postoji barem jedna tačka iz A, koju označavamo sa xn, tako da , dok (/(xn)) ne teži ka 6, a to je u suprotnosti sa prvobitnom pretpostavkom. Dobivena kontradikcija dokazuje dovoljnost uslova teoreme Ova teorema nam omogućava da formulišemo definiciju koja je ekvivalentna definiciji 8.1. Definicija 8.3. Tačka 6 € Y naziva se granica preslikavanja /: ​​A -> Y u tački a iznad skupa A ako je, pod preslikavanjem /, slika bilo kojeg niza tačaka iz A koja teži ka a niz tačaka od Y koji teži b. Simbolični oblici ove definicije i teoreme 8.1 se poklapaju. Primjer 8.2. Neka je X = R, A = R, a = +oo, a u preslikavanju /: R R f(x) = cos2 Vx 6 R. Pokažimo da je lim f(x) = lim cos a; ne postoji. Uzmite niz (a:n) = (2nm), koji teži +oo. Tada je cosin = cos2nm = 1, a na osnovu (6.9) lim (cos xn) = 1. Ako uzmemo niz (xn) = ((2n + 1)m/2) koji takođe teži +oo, onda je njegov slika konvergira na nulu. Ovo je u suprotnosti sa definicijom 8.3 granice mapiranja, tj. gornja granica ne postoji. Ispitivanje sekvenci (2n(-1)n7r) i ((2n+ 1)(-1)nm/2) koje teže oo dovodi do istog zaključka. Imajte na umu da ako označimo tada, možemo napisati lim cosx = 1 i limcoex = 0. # Upoređujući definicije 8.1 i 5.13, možemo dokazati sljedeću teoremu. Teorema 8.2. Preslikavanje /: X -+Y će biti kontinuirano u tački a € X ako i samo ako se granica preslikavanja kao x teži tački a duž skupa X poklapa sa vrijednošću /(a), tj. kada je A Neka je preslikavanje / kontinuirano u tački a u X. Tada, prema definiciji 5.13 kontinuiranog preslikavanja, bez obzira na susjedstvo V(6) tačke 6 = /(a) ∈ Y, postoji takva okolina U (a) tačke a ∈ A ) da je /(U(a)) C V(6), ali TEORIJA GRANICA. Pojam granice preslikavanja, dakle, postoji i probušena okolina U(a) tačke a takva da je /(U(a)) ⊂ V(b). Prema definiciji 8.1, to znači da je (8.12) tačno. Obrnuto, neka vrijedi (8.12). Tada, prema definiciji 8.1, za bilo koju okolinu V(b) tačke b = /(a) postoji probušena okolina U(a) tačke a takva da je /(U(a)) ⊂ V(6). Razmotrimo susjedstvo U(a) = U(a) U (a). Pošto /(a) G V(6), prema svojstvima preslikavanja skupova (vidi 2.1), imamo 4 tj. preslikavanje /, po definiciji 5.13, je kontinuirano u tački aeX. Uzimajući u obzir teoremu 8.2, možemo formulisati definiciju ekvivalentnu definiciji 5.13. Definicija 8.4. Preslikavanje /: naziva se neprekidnim u tački a 6 Xy ako vrijedi (8.12). Uzimajući u obzir teoreme 8.1 i 8.2, dobijamo sljedeću tvrdnju. Izjava 8.1. Da bi preslikavanje /: X -YY bilo kontinuirano u graničnoj tački abX, potrebno je i dovoljno da slika ispod preslikavanja / bilo kojeg niza tačaka iz X koji teži ka a bude niz tačaka iz Y koji konvergiraju u tačku /(a). 8.2. Neka svojstva granice preslikavanja Neka su X i Y, kao u 8.1, metrički prostori, AC X i a € X granična tačka A. Teorema 8.3. Ako, kako x teži tački a duž skupa A, preslikavanje /: X Y ima granicu, onda je jedinstveno. Pretpostavimo da za χ -> a preslikavanje / ima dvije granice 6i i 62, sa 61 φ 62. Zatim, pod izborom susjedstva ovih tačaka koje se ne sijeku (V(61)flV(62) = 0), prema definiciji 8.1, tačka a ima probušenu okolinu U(a) takvu da i, što je nemoguće prema definiciji 2.1 preslikavanja. Teorema 8.4 (o granici kompozicije). Ako postoje granice preslikavanja /: ​​AC X i g: YZ, i ((x) φ L kao r — > a, gdje su Xy, Y i Z metrički prostori, granične točke, respektivno, za ACX i f(A ) CY, tada postoji kao χ —> a i granica kompozicije (kompleksna funkcija) Biramo proizvoljno susjedstvo W(c) tačke c. Tada se, prema definiciji 8.1 granice preslikavanja, uvijek može naći probušeno susjedstvo V(6) tačke 6 tako da je g(V(6) P f)