мы изменим третий элемент массива. Или, после введения:
» al(2)=(al(1)+al(3))/2;
второй элемент массива станет равным среднему арифметическому первого и третьего элементов. Запись несуществующего элемента вполне допустима – она означает добавление нового элемента к уже существующему массиву:
Применяя после выполнения этой операции к массиву а1 функцию length, находим, что количество элементов в массиве возросло до четырех:
» length(al) ans = 4
Тоже самое действие – «удлинение массива а1» - можно выполнить и с помощью операции конкатенации:
Можно задать массив, прописывая все его элементы по отдельности:
» a3(1)=67; a3(2)=7.8; a3(3)=0.017;
Однако этот способ создания не является эффективным.
Еще один способ создания одномерного массива основан на применении специальной функции, обозначаемой двоеточием (операция формирования диапазона числовых значений). Через двоеточие следует набрать первое число диапазона, шаг (приращение) и конечное число диапазона. Например:
» diap=3.7:0.3:8.974;
Если не нужно выводить на экран весь получившийся массив, то в конце набора (после конечного числа диапазона) следует набрать точку с запятой. Чтобы узнать, сколько элементов в массиве, следует вызвать функцию length (имя массива).
Для создания двумерного массива (матрицы) также можно использовать операцию конкатенацию. Элементы массива набираются один за другим со-
12 гласно их расположению в строках, в качестве разделителя строк используется точка с запятой.
Введите с клавиатуры:
» a=
Нажмите ENTER, получим:
Полученную матрицу а размером 3x2 (первым указывается число строк, вторым – число столбцов) можно сформировать также вертикальной конкатенацией вектор-строк:
» a=[;;];
или горизонтальной конкатенацией вектор-столбцов:
» a=[,];
Структуру созданных массивов можно узнать с помощью команды whos(имя массива), размерность массива – функцией ndims, а размер массива – size.
Двумерные массивы можно задать также с помощью операции индексации, прописывая по отдельности его элементы. Номер строки и столбца, на пересечении которых находится задаваемый элемент массива, указываются через запятую в круглых скобках. Например:
» a(1,1)=1; a(1,2)=2; a(2,1)=3;
» a(2,2)=4; a(3,1)=5; a(3,2)=6;
Однако будет намного эффективнее, если до начала прописывания элементов массива, создать массив нужного размера функциями ones (m,n) или zeros(m,n), заполненный единицами или нулями (m – число строк, n – число столбцов). При вызове этих функций предварительно выделяется память под заданный размер массива, после этого постепенное прописывание элементов нужными
13 значениями не требует перестройки структуры памяти, отведенной под массив.
Использование этих функций возможно и при задании массивов других размерностей.
Если после формирования массива Х потребуется, не изменяя элементов массива, изменить его размеры, можно воспользоваться функцией reshape (Х, М, N), где M и N – новые размеры массива Х
Объяснить работу этой функции можно, только исходя из способа, каким система MATLAB хранит элементы массивов в памяти компьютера. Она хранит их в непрерывной области памяти упорядоченно по столбцам: сначала располагаются элементы первого столбца, вслед за ними расположены элементы второго столбца и т.д. Помимо собственно данных (элементов массива) в памяти компьютера хранится также управляющая информация: тип массива (например, double), размерность и размер массива, другая служебная информация. Этой информации достаточно для определения границ столбцов. Отсюда следует, что для переформирования матрицы функцией reshape достаточно изменить только служебную информацию и не трогать собственные данные.
Поменять местами строки матрицы с ее столбцам можно операцией транспортирования, которая обозначается знаком." (точка и апостроф). Например,
» A=;
» B=A."
Операция " (апостроф) выполняет транспонирование для вещественных матриц и транспонирование с одновременным комплексным сопряжением для комплексных матриц.
Объекты, с которыми работает MATLAB, являются массивами. Даже одно заданное число во внутреннем представлении MATLAB является массивом,
состоящим из одного элемента. MATLAB позволяет делать вычисления с огромными массивами чисел также легко как и с одиночными числами, и это является одним из самых заметных и важных преимуществ системы MATLAB над другими программными пакетами, ориентированными на вычисления и программирование. Помимо памяти, необходимой для хранения числовых элементов (по 8 байт на каждый в случае вещественных чисел и по 16 байт в случае комплексных чисел), MATLAB автоматически при создании массивов выделяет еще и память для управляющей информации.
Вычисления с массивами
В традиционных языках программирования вычисления с массивами осуществляются поэлементно в том смысле, что нужно запрограммировать каждую отдельную операцию над отдельным элементом массива. В М-языке системы MATLAB допускаются мощные групповые операции над всем массивом сразу. Именно групповые операции системы MATLAB позволяют чрезвычайно компактно задавать выражения, при вычислении которых реально выполняется гигантский объем работы.
Операции сложения и вычитания матриц (знакомые вам из линейной алгебры) обозначаются стандартными знаками + и -.
Задайте матрицы А и В и выполните операцию сложения матриц:
» A=; B=;
» A+B
Если используются операнды разных размеров, выдается сообщение об ошибке, за исключением случая, когда один из операндов является скаляром. При выполнении операции А + скаляр (А – матрица) система расширит скаляр до массива размера А, который и складывается далее поэлементно с А.
15 Для поэлементного перемножения и поэлементного деления массивов
одинаковых размеров, а также поэлементного возведения в степень массивов, применяются операции, обозначаемые комбинациями двух символов: .* , ./, и
.^. Использование комбинаций символов объясняется тем, что символами * и / обозначены специальные операции линейной алгебры над векторами и матрицами.
Кроме операции./, называемой операцией правого поэлементного деления, есть еще операция левого поэлементного деления.\. Объясним разницу между
этими операциями. Выражение А./ В приводит к матрице с элементами А (k, m) /В (k, m), а выражение А.\ В приводит к матрице с элементами В (k, m) /А (k, m).
Знак * закреплен за перемножением матриц и векторов в смысле линейной алгебры.
Знак \ закреплен в системе MATLAB за решением довольно сложной задачи линейной алгебры – нахождением корней системы линейных уравнений. Например, если требуется решить систему линейных уравнений
где А – заданная квадратная матрица размера N x N, b – заданный векторстолбец длины N, то для нахождения неизвестного вектор-столбца у достаточно вычислить выражение А \ b (это равносильно операции:A −1 B ).
Типичные задачи аналитической геометрии в пространстве, связанные с нахождением длин векторов и углов между ними, с вычислением скалярного и векторного произведений, легко решаются разнообразными средствами системы MATLAB. Например, для нахождения векторного произведения векторов предназначена специальная функция cross, например:
» u=; v=;
» cross(u,v)
16 Скалярное произведение векторов можно вычислить с помощью функции
общего назначения sum, вычисляющей сумму всех элементов векторов (для матриц эта функция вычисляет суммы для всех столбцов). Скалярное произведение, как известно, равно сумме произведений соответствующих координат (элементов) векторов. Таким образом, выражение:
вычисляет скалярное произведение двух векторов u и v. Скалярное произведение можно также вычислить как: u*v′.
Длина вектора вычисляется с помощью скалярного произведения и функции извлечения квадратного корня, например:
» sqrt(sum(u.*u))
Ранее рассмотренные для скаляров операции отношения и логические операции выполняются в случае массивов поэлементно. Оба операнда должны быть одинаковых размеров, при этом операция возвращает результат такого же размера. В случае, когда один из операндов скаляр, производится его предварительное расширение, смысл которого уже был пояснен на примере арифметических операций.
Среди функций, генерирующих матрицы с заданными свойствами, упомянем здесь функцию eye, производящую единичные квадратные матрицы, а также широко применяемую на практике функцию rand, генерирующую массив со случайными элементами, равномерно распределенными на интервале от 0 до1. Например, выражение
порождает массив случайных чисел размером 3х3 с элементами, равномерно распределенными на интервале от 0 до 1.
Если вызвать эту функцию с двумя аргументами, например R=rand(2,3),то получится матрица R случайных элементов размером 2x3. При вызове функции rand с тремя и более скалярными аргументами производятся многомерные массивы случайных чисел.
Определитель квадратной матрицы вычисляется с помощью функции det. Среди функций, производящих простейшие вычисления над массивами,
помимо рассмотренной выше функции sum, упомянем еще функцию prod, которая во всем аналогична функции sum, только вычисляет она не сумму элементов, а их произведение. Функции max и min ищут соответственно максимальный и минимальный элементы массивов. Для векторов они возвращают единственное числовое значение, а для матриц они порождают набор экстремальных элементов, вычисленных для каждого столбца. Функция sort сортирует в возрастающем порядке элементы одномерных массивов, а для матриц она производит такую сортировку для каждого столбца отдельно.
Наконец, рассмотрим уникальную возможность М-языка системы MATLAB производить групповые вычисления над массивами, используя обычные математические функции, которые в традиционных языках программирования работают только со скалярными аргументами. В результате с помощью крайне компактных записей, удобных для ввода с клавиатуры в интерактивном режиме работы с командным окном системы MATLAB, удается произвести большой объем вычислений. Например, всего два коротких выражения
» x=0:0.01:pi/2; y=sin(x);
вычисляют значения функции sin сразу в 158 точках, формируя два вектора x и у со 158 элементами каждый.
Построение графиков функци
Графические возможности системы MATLAB являются мощными и разнообразными. Изучим наиболее простые в использовании возможности (высокоуровневую графику).
Сформируйте два вектора х и y:
» x=0:0.01:2; y=sin(x);
Вызовите функцию:
» plot(x,y)
и вы получите на экране график функции (рис. 1).
Рис. 1. График функции y=sin(x)
MATLAB показывает графические объекты в специальных графических окнах, имеющих в заголовке слово Figure.
Не убирая с экрана дисплея первое графическое окно, введите с клавиатуры выражения
» z=cos(x);
» plot(x,z)
и получите новый график функции в том же самом графическом окне (при этом старые оси координат и график пропадают – этого также можно добиться командой clf, командой cla удаляют только график с приведением осей координат к их стандартным диапазонам от 0 до 1).
Если нужно второй график провести «поверх первого графика», то перед вторичным вызовом графической функции plot нужно выполнить команду hold on, которая предназначена для удержания текущего графического окна:
» x=0:0.01:2; y=sin(x);
» plot(x,y)
» z=cos(x);
» hold on
» plot(x,z)
Практически тоже самое получится (рис. 2), если набрать:
» x=0:0.01:2; y=sin(x); z=cos(x);
» plot(x,y,x,z)
Рис. 2. Графики функций y=sin(x), z=cos(x), построенные в одном графическом окне
Если нужно одновременно визуализировать несколько графиков так, чтобы они не мешали друг другу, то это можно сделать двумя способами. Первым решением является построение их в разных графических окнах. Для этого перед вторичным вызовом функции plot следует набрать команду figure, которая создает новое графическое окно и заставляет все последующие за ней функции построения графиков выводить их туда.
Вторым решением показа нескольких графиков без конфликта диапазонов осей координат является использование функции subplot. Эта функция позволя-
20 ет разбить область вывода графической информации на несколько подобластей,
в каждую из которых можно вывести графики различных функций.
Например, для ранее выполненных вычислений с функциями sin и cos постройте графики этих двух функций в первой подобласти, а график функции exp(х) – во второй подобласти одного и того же графического окна (рис. 3):
» w=exp(x);
» subplot(1,2,1); plot(x,y,x,z)
» subplot(1,2,2); plot(x,w)
Рис. 3. Графики функций y=sin(x), z=cos(x) и w=exp(x), построенные в двух подобластях одного графического окна
Диапазоны изменения переменных на осях координат этих подобластей независимы друг от друга. Функция subplot принимает три числовых аргумента, первый из которых равен числу рядов подобластей, второй равен числу колонок подобластей, а третий аргумент – номеру подобласти (номер отсчитывается
Индексы . Элемент массива А, расположенный на пересечении строки i и столбца j, обозначается как А(i, j).
Пример
Рассмотрим в качестве массива А матрицу magic(4):
А = magic(4)
А =
| 16 | 2 | 3 | 13 |
| 5 | 11 | 10 | 8 |
| 9 | 7 | 6 | 12 |
| 4 | 14 | 15 | 1 |
Тогда А(4, 3) - это элемент, расположенный на пересечении строки 4 и столбца 3, равный 15.
Можно также вычислить сумму элементов четвертого столбца
A(1, 4) + A(2, 4) + A(3, 4) +
A(4, 4)
ans =
34
На элементы массива А можно ссылаться, используя единственный индекс, А(k). Это обычный способ ссылки на элементы векторов. Но точно так же можно ссылаться на элементы двумерного массива, и в этом случае этот массив рассматривается как один длинный вектор-столбец, сформированный из столбцов исходного массива. В рассматриваемом примере А(12) - это другой способ ссылки на значение 15, соответствующее элементу А(4, 3).
Если будет сделана попытка обратиться к элементу вне матрицы, то программа выдаст ошибку:
t = A(4, 5)
??? Index exceeds matrix
dimensions. Индекс превышает размерность матрицы.
Если же выполняется присвоение значения элементу с индексами, выходящими за пределы массива, то система MATLAB автоматически увеличивает размер матрицы.
Пример :
X = A;
X (4, 5) = 17
X =
| 16 | 2 | 3 | 13 | 0 |
| 5 | 11 | 10 | 8 | 0 |
| 9 | 7 | 6 | 12 | 0 |
| 4 | 14 | 15 | 1 | 17 |
Выделение подблоков массива . Если в индексных выражениях использовать двоеточие, то можно ссылаться на подблоки массива. Так индексное выражение A(1:k, j) ссылается на блок из k элементов столбца j.
Пример :
A(1:4,3)
ans =
| 3 |
| 10 |
| 6 |
| 15 |
Здесь выделен столбец 3 матрицы magic(4).
Оператор
sum(A(1:4, 3))
ans =
34
вычисляет сумму элементов столбца 3.
Однако существует способ лучше. Поскольку двоеточие само по себе ссылается на все элементы строки или столбца, то последнюю сумму можно вычислить так
sum(A(:,3))
ans = 34
Кроме того, начиная с версии 5.0, на последнюю строку или столбец массива можно ссылаться с помощью ключевого слова end. Таким образом, оператор
sum(A(:, end))
ans =
34
вычисляет сумму элементов в последнего столбца матрицы A.
Объдинение подблоков в массив. Операция объединения отдельных подблоков в массив называется конкатенацией. Даже при формировании исходной матрицу, когда объдиняются отдельные элементы, осуществляется операция конкатенации.Оператор конкатенации - это пара квадратных скобок , внутри которых указываются отдельные элементы или блоки массива.
Пример
.
Используя матрицу A, равную magic(4), образуем новую
матрицу B размера 8x8
B =
B =
| 16 | 2 | 3 | 13 | 48 | 34 | 35 | 45 |
| 5 | 11 | 10 | 8 | 37 | 43 | 42 | 40 |
| 9 | 7 | 6 | 12 | 41 | 39 | 38 | 44 |
| 4 | 14 | 15 | 1 | 36 | 46 | 47 | 33 |
| 64 | 50 | 51 | 61 | 32 | 18 | 19 | 29 |
| 53 | 59 | 58 | 56 | 21 | 27 | 26 | 24 |
| 57 | 55 | 54 | 60 | 25 | 23 | 22 | 28 |
| 52 | 62 | 63 | 49 | 20 | 30 | 31 | 17 |
Эта матрица состоит из четырех блоков размера 4x4
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Эта матрица есть половина другого волшебного квадрата, элементы которого находятся в диапазоне целых чисел 1:64. Суммы по столбцам уже имеют правильное значение для волшебного квадрата размера 8х8:
sum(B)
ans = 260
260 260 260 260 260 260 260
Однако сумма строк
sum
(B")
ans = 196
196 196 196 324 324 324 324
совсем не та.
Попробуйте найти те перестановки элементов, которые приводят матрицу B к истинному волшебному квадрату порядка 8.
Удаление строк и столбцов . Используя понятие пустого массива, можно легко удалять строки, столбцы и целые подблоки.
Допустим,
X
= A
X =
| 16 | 2 | 3 | 13 |
| 5 | 11 | 10 | 8 |
| 9 | 7 | 6 | 12 |
| 4 | 14 | 15 | 1 |
Чтобы удалить второй столбец массива X достаточно применить оператор
X
(:, 2) =
X =
| 16 | 3 | 13 |
| 5 | 10 | 8 |
| 9 | 6 | 12 |
| 4 | 15 | 1 |
При попытке улалить отдельный элемент массива возникает ошибка, поскольку результат не является массивом:
X (1,
2) =
??? Indexed
empty matrix assignment is not allowed.
Запрещено присвоение пустой матрицы индексному
выражению
.
Однако использование единственного индекса позволяет удалить одиночный элемент или последовательность элементов, при этом остающиеся элементы преобразуются в вектор-строку.
X = A;
X(:, 2) =
X =
| 16 | 3 | 13 |
| 5 | 10 | 8 |
| 9 | 6 | 12 |
| 4 | 15 | 1 |
X(2:1:12) =
X =
16
или
X = A;
X(:, 2) =
X =
| 16 | 3 | 13 |
| 5 | 10 | 8 |
| 9 | 6 | 12 |
| 4 | 15 | 1 |
X(2: 2: 10) =
X = 16 9 3
6 13 12 1
Индексация многомерных массивов . В системе MATLAB принято хранить каждый массив, независимо от его размерности, как вектор-столбец. Этот вектор образован объединением (конкатенацией) столбцов исходного массива.
Пример
.
Система MATLAB хранит массив A
A =
в виде следующего вектора-столбца
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 6 |
| 2 |
| 0 |
| 9 |
| 8 |
| 1 |
При обращении к массиву А с указанием единственного индекса происходит непосредственное обращение к этому вектору-столбцу. Обращение A(3) ссылается на третье значение в столбце; А(7) - на седьмое и так далее.
Если количество индексов массива больше 1, то MATLAB вычисляет индекс в столбце хранения, используя значения размерностей массива. Если двумерный массив А имеет размер , где d1 - число строк, а d2 - число столбцов, то для элемента с номером (i, j) его позиция в векторе хранения определяется как (j-1)*d1+i.
Пример
Для элемента A(3, 2) MATLAB вычисляет следующую
позицию в векторе хранения (2-1)*3+3 = 6. Элементу с
номером 6 соответствует значение 0.
Этот способ хранения и индексная схема
распространяются и на многомерные массивы. В
этом случае MATLAB использует схему постраничного
объединения, чтобы создать столбец хранения.
Использование единственного индекса приводит к
непосредственному обращению к вектору хранения.
Если задано два индекса (i, j), то MATLAB вычисляет
позицию описанным выше способом, причем только
для первой страницы многомерного массива и при
условии, что эти индексы находятся внутри
диапазона размерностей исходного массива.
Если задано более двух индексов, схему
индексации усложняется. Если задано четыре
индекса (i, j, k, l) для четырехмерного массиву
размера d1xd2xd3xd4, то позиция элемента в векторе
хранения вычисляется следующим образом
s = (l-1)(d3)(d2)(d1)+(k-1)(d2)(d1)+(j-1)(d1)+i.
Общая формула для позиции элемента в векторе
хранения, соответствующего элементу (j1 j2 ... jn-1 jn)
n-мерного массива размера d1xd2xd3x ... xdn, имеет вид
s = (jn-1)(dn-1)(dn-2)...(d1)+(jn-1-1)(dn-2)...(d1)+...+(j2-1)(d1)+j1.
Пример
Рассмотрим многомерный массив C размера 5х4х3х2. На рис. 3.2 показаны форматы вывода на экран и хранения.
| Вывод на экран | Способ хранения |
page(1,1) =
Все данные MatLab представляет в виде массивов. Очень важно правильно понять, как использовать массивы. Без этого невозможна эффективная работа в MatLab, в частности построение графиков, решение задач линейной алгебры, обработки данных, статистики и многих других. В данном подразделе описаны вычисления с векторами. Массив - упорядоченная, пронумерованная совокупность однородных данных. У массива должно быть имя. Массивы различаются по числу размерностей или измерений: одномерные, двумерные, многомерные. Доступ к элементам осуществляется при помощи индекса. В MatLab нумерация элементов массивов начинается с единицы. Это значит, что индексы должны быть больше или равны единице. Важно понять, что вектор, вектор-строка или матрица являются математическими объектами, а одномерные, двумерные или многомерные массивы - способы хранения этих объектов в компьютере. Всюду дальше будут использоваться слова вектор и матрица, если больший интерес представляет сам объект, чем способ его хранения. Вектор может быть записан в столбик (вектор-столбец) и в строку (вектор-строка). Вектор-столбцы и вектор-строки часто будут называться просто векторами, различие будет сделано в тех случаях, если важен способ хранения вектора в MatLab. Векторы и матрицы обозначаются курсивом, а соответствующие им массивы прямым моноширинным шрифтом, например: "вектор а
содержится в массиве а", "запишите матрицу R в массив r". Ввод сложение и вычитание векторов Работу с массивами начнем с простого примера - вычисления суммы векторов: Для хранения векторов используйте массивы а и b. Введите массив а в командной строке, используя квадратные скобки и разделяя элементы вектора точкой с запятой: » a = Так как введенное выражение не завершено точкой с запятой, то пакет MatLab автоматически вывел значение переменной а. Введите теперь второй вектор, подавив вывод на экран » b = ; Для нахождения суммы векторов используется знак +. Вычислите сумму, запишите результат в массив с и выведите его элементы в командное окно: » с = а + b Узнайте размерность и размер массива а при помощи встроенных функций ndims и size: » ndims(a) Итак, вектор а хранится в двумерном массиве а размерностью три на один (вектор-столбец из трех строк и одного столбца). Аналогичные операции можно проделать и для массивов b и c . Поскольку числа в пакете MatLab представляются в виде двумерного массива один на один, то при сложении векторов используется тот же знак плюс, что и для сложения чисел. Ввод вектор-строки осуществляется в квадратных скобках, однако элементы следует разделять пробелами или запятыми. Операции сложения, вычитания и вычисление элементарных функций от вектор-строк производятся так же, как и с вектор-столбцами, в результате получается вектор-строка того же размера, что и исходные. Например: » s1 = Замечание 1 Если размеры векторов, к которым применяется сложение или вычитание, не совпадают, то выдается сообщение об ошибке. Естественно, для нахождения разности векторов следует применять знак минус, с умножением дело обстоит несколько сложнее. » v1 = ; Операция.* (не вставляйте пробел между точкой и звездочкой!) приводит к поэлементному умножению векторов одинаковой длины. В результате получается вектор с элементами, равными произведению соответствующих элементов исходных векторов: » u = v1.*v2 При помощи.^ осуществляется поэлементное возведение в степень: » р = v1.^2 Показателем степени может быть вектор той же длины, что и возводимый в степень. При этом каждый элемент первого вектора возводится в степень, равную соответствующему элементу второго вектора: » p = vl.^v2 Деление соответствующих элементов векторов одинаковой длины выполняется с использованием операции./ » d = v1./v2 Обратное поэлементное деление (деление элементов второго вектора на соответствующие элементы первого) осуществляется при помощи операции.\ » dinv = vl.\v2 Итак, точка в MatLab используется не только для ввода десятичных дробей, но и для указания того, что деление или умножение массивов одинакового размера должно быть выполнено поэлементно. » v = ; Умножать вектор на число можно как справа, так и слева: » v = ; Делить при помощи знака / можно вектор на число: » р = v/2 Попытка деления числа на вектор приводит к сообщению об ошибке: » р = 2/v Если требуется разделить число на каждый элемент вектора и записать результат в новый вектор, то следует использовать операцию./ » w = ; Все вышеописанные операции применимы как к вектор-строкам, так и к вектор-столбцам. » d = sin(с) Итак, встроенные в MatLab элементарные функции приспосабливаются к виду аргументов; если аргумент является массивом, то результат функции будет массивом того же размера, но с элементами, равными значению функции от соответствующих элементов исходного массива. Убедитесь в этом еще на одном примере. Если необходимо найти квадратный корень из элементов вектора d со знаком минус, то достаточно записать: » sqrt(-d) Оператор присваивания не использовался, поэтому пакет MatLab записал ответ в стандартную переменную ans. Для определения длины вектор-столбцов или вектор-строк служит встроенная функция length: » length(s1) Из нескольких вектор-столбцов можно составить один, используя квадратные скобки и разделяя исходные вектор-столбцы точкой с запятой: » v1 = ; Для сцепления вектор-строк также применяются квадратные скобки, но сцепляемые вектор-строки отделяются пробелами или запятыми: » v1 = ; Работа с элементами векторов Доступ к элементам вектор-столбца или вектор-строки осуществляется при помощи индекса, заключаемого в круглые скобки после имени массива, в котором хранится вектор. Если среди переменных рабочей среды есть массив v, определенный вектор-строкой » v = ; то для вывода, например его четвертого элемента, используется индексация: » v(4) Появление элемента массива в левой части оператора присваивания приводит к изменению в массиве » v(2) = 555 Из элементов массива можно формировать новые массивы, например » u = Для помещения определенных элементов вектора в другой вектор в заданном порядке служит индексация при помощи вектора . Запись в массив w четвертого, второго и пятого элементов v производится следующим образом: » ind = ; MatLab предоставляет удобный способ обращения к блокам последовательно расположенных элементов вектор-столбца или вектор-строки. Для этого служит индексация при помощи знака двоеточия. Предположим, что в массиве w , соответствующем вектор-строке из семи элементов, требуется заменить нулями элементы со второго по шестой. Индексация при помощи двоеточия позволяет просто и наглядно решить поставленную задачу: » w = ; Присваивание w(2:6) = 0 эквивалентно последовательности команд » w - ; Составьте массив w2, содержащий элементы w кроме четвертого. В этом случае удобно использовать двоеточие и сцепление строк: » w2 = Элементы массива могут входить в выражения. Нахождение, например среднего геометрического из элементов массива u , можно выполнить следующим образом: » gm = (u(l)*u(2)*u(3))^(l/3) Конечно, этот способ не очень удобен для длинных массивов. Для того чтобы найти среднее геометрическое, необходимо набрать в формуле все элементы массива. В MatLab существует достаточно много специальных функций, облегчающих подобные вычисления. Применение функций обработки данных к векторам Перемножение элементов вектора-столбца или вектора-строки осуществляется при помощи функции prod: » z = ; Функция sum предназначена для суммирования элементов вектора. С ее помощью нетрудно вычислить среднее арифметическое элементов вектора z: » sum(z)/length(z) В MatLab имеется и специальная функция mean для вычисления среднего арифметического: » mean(z) Для определения минимального и максимального из элементов вектора служат встроенные функции min и max: » m1 = max(z) Часто необходимо знать не только значение минимального или максимального элемента в массиве, но и его индекс (порядковый номер). В этом случае встроенные функции min и max необходимо использовать с двумя выходными аргументами, например » = min(z) В результате переменной m будет присвоено значение минимального элемента массива z, а номер минимального элемента занесен в переменную k. » r = ; Можно упорядочить вектор по убыванию, используя эту же функцию sort : » R1 = -sort(-r) Упорядочение элементов в порядке возрастания их модулей производится с привлечением функции abs: » R2 = sort(abs(r)) Вызов sort с двумя выходными аргументами приводит к образованию массива индексов соответствия элементов упорядоченного и исходного массивов: » = sort(r) Урок №13. Многомерные массивы Понятие о многомерных массивах Применение оператора «:» в многомерных массивах Доступ к отдельному элементу многомерного массива Удаление размерности в многомерном массиве Создание страниц, заполненных константами и случайными числами Объединение массивов Вычисление числа размерностей массива и определение размера размерностей Перестановки размерностей массивов Сдвиг размерностей массивов Удаление единичных размерностей В этом уроке мы коснемся вопросов, связанных с более сложными типами данных, к которым относятся многомерные массивы. Понятие о многомерных массивах В MATLAB двумерный массив является частным случаем многомерного массива. Многомерные массивы характеризуются размерностью более двух. Таким массивам можно дать наглядную интерпретацию. Так, матрицу (двумерный массив) можно записать на одном листе бумаги в виде строк и столбцов, состоящих из элементов матрицы. Тогда блокнот с такими листками можно считать трехмерным массивом, полку в шкафу с блокнотами - четырехмерным массивом, шкаф со множеством полок - пятимерным массивом и т. д. В этой книге практически нигде, кроме этого раздела, мы не будем иметь дело с массивами, размерность которых выше двух, но знать о возможностях MATLAB в части задания и применения многомерных массивов все же полезно. В нашей литературе понятия «размер» и «размерность» массивов являются почти синонимами. Однако они имеют явно разный смысл в данной книге, как и в документации и литературе по системе MATLAB. Под размерностью массивов понимается число измерений в пространственном представлении массивов, а под размером - число строк и столбцов (mxn) в каждой размерности массива. Применение оператора «:» в многомерных массивах При обычном задании массивов (с помощью символа точки с запятой «;») число рядов (строк) массива получается на 1 больше, чем число символов «:», но массив остается двумерным. Оператор «:» (двоеточие) позволяет легко выполнять операции по увеличению размерности массивов. Приведем пример формирования трехмерного массива путем добавления новой страницы. Пусть у нас задан исходный двумерный массив М размером 3x3: » М= М = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Для добавления новой страницы с тем же размером можно расширить М следующим образом: » М(:.:.2)= M(:.:.l) = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 М(:.:.2) = 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Посмотрим, что теперь содержит массив М при явном его указании: » М М(:,:.1)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 М(:.:.2) = 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Как можно заметить, числа в выражениях М(:.:, 1) и М(:,: ,2) означают номер страницы. Доступ к отдельному элементу многомерного массива Чтобы вызвать центральный элемент сначала первой, а затем второй страницы, надо записать следующие выражения: » М(2.2,1) Ans = » МС2.2.2) Ans = Таким образом, в многомерных массивах используется то же правило индексации, что и в одномерных и двумерных. Произвольный элемент, например, трехмерного массива задается как М(1 .j.k), где 1 - номер строки, j - номер столбца и k - номер страницы. Этот элемент можно вывести, а можно присвоить ему заданное значение х: М(1 ,j,k)=x. Удаление размерности в многомерном массиве Мы уже отмечали возможность удаления отдельных столбцов присвоением им значений пустого вектора-столбца . Этот прием нетрудно распространить на страницы и вообще размерности многомерного массива. Например, первую страницу полученного массива М можно удалить следующим образом: » М(:.:.1)= М = 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Нетрудно заметить, что в этом массиве осталась только вторая страница и что размерность массива уменьшилась на 1 - он стал двумерным. Создание страниц, заполненных константами и случайными числами Если после знака присваивания стоит численная константа, то соответствующая часть массива будет содержать элементы, содержащие данную константу. Например, создадим из массива М (см. пример выше) массив, у которого вторая страница содержит единицы: »M(:.:..2)=1 М(:.:,1) = 10 11 12 13 14 15 16 17 18 М(:.:.2) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 А теперь заменим первую страницу массива на страницу с нулевыми элементами: »M(:.:.1)=0 M(:.:.1)= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 М(:.:,2) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Использование функций ones, zeros, rand и randn Функции ones (создание массивов с единичными элементами), zeros (создание массивов с нулевыми элементами) и rand или randn (создание массивов с элементами - случайными числами с соответственно равномерным и нормальным распределением) могут также использоваться для создания многомерных массивов. Примеры приводятся ниже: » E=ones(3.3.2) E(:.:.1)= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 E(:.:,2) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 » Z=zeros(2,2,3) Z(:,:.l) = Z(:.:.2) = Z(:.:,3) = » R=randn(3,2.2) R(:.:.l) = 1.6656-1.1465 0.1253 1.1909 0.2877 1.1892 R(:.:,2) = 0.0376-0.1867 0.3273 0.7258 0.1746 -0.5883 Эти примеры достаточно очевидны и не требуют особых комментариев. Обратите, однако, внимание на легкость задания размеров массивов для каждой размерности. Кроме того, следует отметить, что если хотя бы одна размерность массива равна нулю, то массив будет пустым: » A=randn(3,3,3,0) А = Empty array: 3-bу-3-bу-3-by-0 Как видно из данного примера, пустой массив возвращается с соответствующим комментарием. Объединение массивов Для создания многомерных массивов служит описанная ранее для матриц специальная функция конкатенации cat: cat(DIM,A,B) - возвращает результат объединения двух массивов А и В вдоль размерности DIM; cat(2.A.B) - возвращает массив [А.В], в котором объединены ряды (горизонтальная конкатенация); cat(1, А.В) - возвращает массив [А:В], в котором объединены столбцы (вертикальная конкатенация); B=cat(DIM.Al,A2,...) - объединяет множество входных массивов Al, A2,... вдоль размерности DIM. Функции cat(DIM,C{:}) и cat(DIM.C.FIELD) обеспечивают соответственно конкатенацию (объединение) ячеек массива ячеек (см урок 15) или структур массива структур (см. урок 14), содержащих числовые матрицы, в единую матрицу. Ниже приводятся примеры применения функции cat: » М1= » М2= М2 = » catd.Ml.M2) Ans = 5 б » cat(2.Ml.M2) ans= 1 2 5 6 3 4 7 8 » M-cat(3.Ml.M2) M(:,:.l) = М(:,:,2) = Работа с размерностями Вычисление числа размерностей массива Функция ndims(A) возвращает размерность массива А (если она больше или равна двум). Но если входной аргумент - массив Java или массив массивов Java, то независимо от размерности массива эта функция вернет 2. Следующий пример иллюстрирует применение функции ndims: » M=rand(2:3:4:5): » ndims(M) Ans = 4
Для вычисления размера каждой размерности массива используется функция size: М = size(A.DIM) возвращает размер размерности, указанной скаляром DIM, в виде вектора-строки размером 2. Для двумерного или одномерного массива А size(A.l) возвращает число рядов, a size (А, 2) - число столбцов; Для N-мерных массивов А при n>2 size(A) возвращает N-мерный вектор-строку, отражающий страничную организацию массива, последняя составляющая этого вектора равна N. В векторе отсутствуют данные о единичных размерностях (тех, где расположены вектор-строка или вектор-столбец, т. е. size(A,DIM)==l). Исключение представляют N-мерные массивы Java массивов javaarray, которые возвращают размер массива самого высокого уровня. Вообще, когда входным аргументом size является javaarray, то возвращаемое число столбцов всегда 1, а число рядов (строк) равно размеру (длине) javarray. Si ze(A) возвращает размер первых N размерностей массива А; D = size (А), для mxn матрицы А возвращает двухэлементный вектор-строку, в котором первая составляющая - число строк т, а вторая составляющая - число столбцов n; Size(A) возвращает число рядов и столбцов в разных выходных параметрах (выходных аргументах в терминологии MATLAB) тип. Перестановки размерностей массивов Если представить многомерный массив в виде страниц, то их перестановка является перестановкой размерностей массива. Для двумерного массива перестановка часто означает транспонирование - замену строк столбцами и наоборот. Следующие функции обобщают транспонирование матриц для случая многомерных массивов и обеспечивают перестановку размерностей многомерных массивов: Permute (A, ORDER) - переставляет размерности массива А в порядке, определяемом вектором перестановок ORDER. Вектор ORDER - одна из возможных перестановок всех целых чисел от 1 до N, где N - размерность массива А; ipermuteCA, ORDER) - операция, обратная permute: permute(permute(A. ORDER), ORDER)=A Ниже приводятся примеры применения этих функций и функции size: » А=: » В=; » С=; » D=cat(3.A,B.C) D(:,:,l) = 9 10 11 12 » size(D) Ans = 2 2 3 » size(permute(D.)) ans= 3 2 2 »size(ipermute(D.)) Ans= 2 2 3 » ipermute(permute(D,),) Ans(:. :,2) = ans(:.:,3) = 9 10 11 12 Сдвиг размерностей массивов Сдвиг размерностей реализуется функцией shiftdim: B=shiftdim(X,N) - сдвиг размерностей в массиве X на величину N. Если М>0, то сдвиг размерностей, расположенных справа, выполняется влево, а N первых слева размерностей сворачиваются в конец массива, т. е. движение размерностей идет по кругу против часовой стрелки. Если М<0, сдвиг выполняется вправо, причем N первых размерностей, сдвинутых вправо, замещаются единичными размерностями; Shiftdim(X) - возвращает массив В с тем же числом элементов, что и у массива X, но с удаленными начальными единичными размерностями. Выходной параметр NSHIFTS показывает число удаленных размерностей. Если X - скаляр, функция не изменяет X , В, NSHIFTS. Следующий пример иллюстрирует применение функции shiftdim: » A=randn(1.2.3,4): » =shiftdim(A) B(:.:.l) = 2.1707-1.01060.5077 0.05920.6145 1.6924 B(:.:,2) = 0.5913 0.3803 -0.0195 0.6436-1.0091-0.0482 B(:.:.3) = 0.0000 1.0950 0.4282 0.3179-1.87400.8956 В(:.:,4) = 0.7310 0.0403 0.5689 0.5779 0.6771 -0.2556 Удаление единичных размерностей Функция squeeze(A) возвращает массив, в котором удалены все единичные размерности. Единичной называется размерность, в которой size(A. dim) == 1. Но если А - одномерный или двумерный массив (матрица или вектор), то функция вернет тот же самый массив А. Следующий пример поясняет работу squeeze: » A=randn(1.2.1.3.1): » B=squeeze(A) 0.6145 1.6924 -0.6436 0.5077 0.5913 0.3803 Обратите внимание на то, что пятимерный массив А превращается в массив с размерностью 2 и размером 2x3. Что нового мы узнали? В этом уроке мы научились: Создавать многомерные массивы. Применять оператор «:» в многомерных массивах. Получать доступ к отдельным элементам многомерных массивов. Удалять размерности у многомерного массива. Создавать массивы, заполненные константами и случайными числами. Осуществлять объединение массивов. Вычислять число размерностей массива и определять размер каждой размерности. Переставлять, сдвигать и удалять единичные размерности в многомерных массивах. Массивы являются основными объектами в системе MATLAB : в версиях 4.х допускаются только одномерные массивы - векторы - и двумерные массивы - матрицы; в версии 5.0 возможно использование многомерных массивов - тензоров. Ниже описаны функции формирования массивов и матриц, операции над матрицами, специальные матрицы в рамках системы MATLAB версий 4.х. Формирование массивов специального вида
Операции над матрицами
Специальные матрицы
Синтаксис: Z = conv(x, y) Описание: Если заданы одномерные массивы x и y длины соответственно m = length(x) и n = length(y), то свертка z - это одномерный массив длины m + n -1, k-й элемент которого определяется по формуле Функция z = conv(x, y) вычисляет свертку z двух одномерных массивов x и y. Рассматривая эти массивы как выборки из двух сигналов, можно сформулировать теорему свертки в следующей форме: Иначе говоря, свертка двух сигналов эквивалентна умножению преобразований Фурье этих сигналов. Функция = deconv(z, x) выполняет операцию, обратную операции свертки. Эта операция равносильна определению импульсной характеристики фильтра. Если справедливо соотношение z = conv(x, y), то q = y, r = 0. Сопутствующие функции: Signal Processing Toolbox . 1. Signal Processing Toolbox Users Guide. Natick: The MathWorks, Inc., 1993. Установка шаблона матриц и векторов (Matrix...) Операция Matrix... (Матрицы) обеспечивает задание векторов или матриц Как известно, матрица является заданным своим именем объектом в виде массива данных MathCAD использует одномерные массивы векторы и двумерные собственно матрицы Матрица характеризуется числом строк (Rows) и числом столбцов (Columns). Таким образом, число элементов матрицы или ее размерность равны Rows x Columns Элементами матриц могут быть числа, константы, пере менные и даже математические выражения Соответственно матрицы могут быть численными и символьными Если использовать операцию Matrix..., то в текущем окне появится не большое окошко, позволяющее задать размерность вектора или матрицы (см рис 515 справа) Для этого нужно указать число строк Rows и число сголбцов Columns Нажав клавишу Enter или указав курсором мыши на изображение клавиши Insert (Вставить) в окошке, можно вывести шаблон матрицы или вектора (вектор имеет один из параметров размерности, равный 1) Шаблон содержит обрамляющие скобки и темные маленькие прямоугольники, обозначающие места ввода значений (числовых или символьных) для элементов вектора или матрицы. Один из прямоугольников можно сделать активным (отметив его курсором мыши). При этом он заключается в уголок. Это указывает на то, что в него будут вводиться значения соответствующего элемента. С помощью клавиш перемещения курсора можно по горизонтали пробежаться по всем прямоугольникам и ввести все элементы вектора или матрицы.
Пока идет ввод элементов векторов или матриц, пустые шаблоны отображаются без каких-либо комментариев. Однако, если закончить ввод до полного заполнения шаблонов, система выведет сообщение об ошибке незаполненный шаблон приобретет красный цвет. Вывод несуществующей матрицы или ошибочное указание ее индексов также отображается красным цветом. Если использовать операцию Insert (Включение) при уже выведенном шаблоне матрицы, то матрица расширяется и ее размер увеличивается. Кнопка Delete (Стирание) позволяет убрать расширение матрицы, вычеркнув из нее строку или столбец. Каждый элемент матрицы характеризуется индексированной переменной, и его положение в матрице обозначается двумя индексами: один указывает номер строки, другой номер столбца. Для набора индексированной переменной прежде надо ввести имя переменной, а затем перейти к набору индексов нажатием клавиши, вводящей символ]. Прежде указывается индекс строки, а затем через запятую индекс столбца. Примеры вывода индексированных переменных (элементов матрицы М) также даны на рис. 5. 14. Вырожденная в одну строку или в один столбец матрица является вектором. Его элементы индексированные переменные с одним индексом. Нижняя граница индексов задается значением системной переменной ORIGIN. Обычно ее значение задают равным 0 или 1. Лучшие статьи по теме |
