Tabela 10.9 Perpendikulariteti i zgjidhjes së drejtëzës dhe planit. Drejtëza dhe plani pingul, shenja dhe kushtet e pingulitetit të drejtëzës dhe rrafshit

6.1 Përcaktimi i pingulitetit të drejtëzës dhe rrafshit

Ideja e vijave të drejta ose, më saktë, e segmenteve pingul me rrafshin, jepet nga shtyllat që qëndrojnë vertikalisht (ato janë pingul me sipërfaqen e tokës), një kordon i shtrirë në të cilin varet llamba (është pingul me tavani), këmbët e tavolinës (ato janë pingul me dyshemenë). Shtylla vertikale e derës është pingul me dyshemenë, dhe buza e poshtme e derës, ngjitur me dyshemenë, është pingul me prizën në të gjitha pozicionet e derës (Fig. 73, a). Kjo veti përcakton pingulitetin e një drejtëze dhe një rrafshi.

Përkufizimi. Një drejtëz quhet pingul me rrafshin nëse e pret këtë rrafsh dhe është pingul me çdo drejtëz në këtë rrafsh që kalon nëpër pikën e kryqëzimit (Fig. 73, b).

Oriz. 73

Ata gjithashtu thonë se rrafshi është pingul me një vijë të drejtë ose se ato janë pingul reciprokisht. Për drejtëzën reciproke pingule a dhe rrafshin a, përdoren emërtimet a ⊥ α ose α ⊥ a.

Një segment ose rreze është pingul me një rrafsh nëse shtrihet në një vijë të drejtë pingul me këtë rrafsh. Nëse një segment është pingul me rrafshin dhe fundi i tij qëndron në këtë rrafsh, atëherë ai quhet pingul me këtë rrafsh.

6.2 Perpendikulare dhe e zhdrejtë

Një segment që ka një pikë të përbashkët me një rrafsh - fundi i segmentit, por jo pingul me këtë plan, quhet i prirur nga rrafshi.

Le të vizatohen nga një pikë A, jo e shtrirë në rrafshin a, një AB pingul dhe një AC i zhdrejtë (Fig. 74). Segmenti BC quhet projeksion i AC të pjerrët në rrafshin α.

Oriz. 74

AB pingul është më i shkurtër se AC i zhdrejtë, pra AB< АС. Действительно, в прямоугольном треугольнике ABC катет АВ короче гипотенузы АС. Итак, перпендикуляр короче наклонной, если они проведены из одной и той же точки к одной плоскости.

Mund të thuhet kështu: pingulja AB nga pika A në rrafshin α është më e shkurtra nga segmentet që lidhin pikën A me pikat e rrafshit α.

Vetia e pingules të jetë drejtëza më e shkurtër është një veti karakteristike. Kjo do të thotë se e kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse AB është segmenti më i shkurtër nga pika A në rrafshin α, atëherë AB është pingul me rrafshin α.

Dëshmi. Le ta vërtetojmë këtë me kontradiktë. Le të supozojmë se AB nuk është pingul me α. Pastaj nëpër pikën B në rrafshin α kalon drejtëza a, jo pingul me AB (Fig. 75). Le të hedhim pingulën AM nga A në drejtëzën a. Në një trekëndësh kënddrejtë AVM, këmba AM është më e vogël se hipotenuza AB: AM< АВ. Но тогда отрезок АВ не будет кратчайшим из всех отрезков, идущих из точки А до плоскости а. Получили противоречие. Следовательно, АВ ⊥ α.

Oriz. 75

Gjatësia e pingules, e ulur nga pika më e lartë e objektit në bazën e saj, mat lartësinë e objektit. Pra, lartësia e piramidës është gjatësia e pingules së ulur nga maja e piramidës në rrafshin e bazës së saj, si dhe vetë pingulja (në figurën 76, a, b - ky është segmenti RO).

Oriz. 76

6.3 Rreth kuptimit të pingules

Perpendikularja me rrafshin luan një rol shumë të rëndësishëm dhe përveç faktit se është më e shkurtra ndër të gjitha segmentet nga një pikë e caktuar në pikat e rrafshit. Le të shpjegojmë edhe kuptimin e tij. Pozicioni i rrafshit në hapësirë ​​mund të vendoset duke specifikuar një drejtëz pingul me të dhe pikën në të cilën ai e pret këtë vijë.

Vetia më e rëndësishme e pingules është se rrafshi ndodhet në mënyrë simetrike në raport me të. Çfarë do të thotë? Të gjitha rrezet që shtrihen në një plan të caktuar formojnë kënde të barabarta me të - kënde të drejta, por për një të pjerrët nuk është kështu (Fig. 77, a). Kur rrotullohet rreth pingulit, rrafshi përafrohet me vetveten: rrota duhet të montohet në bosht në mënyrë që rrafshi i saj të jetë pingul me boshtin. Një drejtkëndësh me një anë pingul me rrafshin mund të rrotullohet rreth asaj ane, dhe ana tjetër do të rrëshqasë përgjatë planit. Kjo mund të shihet qartë në një derë të varur siç duhet. Nëse skaji i saj nuk është vertikal, dera nuk do të hapet lirshëm dhe do të fërkohet me dyshemenë.

Oriz. 77

Duke marrë shembuj nga fizika, mund të vërehet se presioni i një lëngu ose gazi në murin e enës drejtohet pingul me murin, ashtu si presioni i ngarkesës në mbështetëse drejtohet pingul me të (Fig. 77, b dhe 78, a).

Oriz. 78

Perpendikularja me sipërfaqen shfaqet në ligjet e reflektimit dhe thyerjes së dritës. Pra, ligji i reflektimit thotë: "Rrezja rënëse dhe rrezja e reflektuar ndodhen në të njëjtin rrafsh me pingulën me sipërfaqen e pasqyrës në pikën e rënies dhe formojnë kënde të barabarta me të". "Këndi i rënies" dhe "këndi i reflektimit" janë këndet midis pingulës së specifikuar dhe rrezes rënëse dhe rrezes së reflektuar (Fig. 78, b).

Por kuptimi kryesor i pingules është roli i saj në teknologji dhe në të gjithë jetën tonë.

Mund të themi se jemi të rrethuar me pingulë: këmbët e tavolinës janë pingul me dyshemenë, buza e kabinetit është pingul me murin etj.

Vertikali është pingul me rrafshin horizontal. Vertikaliteti kontrollohet me një vijë plumbash (shih foton). Perpendikulariteti luan një rol të madh në ndërtim: tavanet e dyshemesë janë vendosur pingul me shtyllat e kornizës së ndërtesës.

Siç do të shohim më vonë, paralelizmi i rrafsheve shoqërohet me praninë e pingulave të përbashkëta. Perpendikulariteti dhe paralelizmi i drejtëzave dhe rrafsheve është një element thelbësor në ndërtim, kështu që doktrina e pingulave dhe paraleleve mund të quhet baza e "gjeometrisë së ndërtimit".

Pyetje për vetëkontroll

1. Cili është ndryshimi midis pingul në plan dhe prirje ndaj planit?
2. Çfarë përkufizimi të pingulit me një plan dini?
3. Cili është kuptimi i pingules me rrafshin?

Kthehu përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha opsionet e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Klasa: 10.

Tutorial bazë: Gjeometria 10-11: nivelet bazë dhe profili / L.S. Atanasyan dhe të tjerët - M .: Arsimi, 2009.

Mësimi shoqërohet me një prezantim, një test të bërë në Microsoft Excel për verifikimin kompjuterik të njohurive të nxënësve ( Shtojca 1), moduli i trajnimit të Qendrës Federale për Burimet e Informacionit dhe Arsimit ( Shtojca 2), i përbërë nga 5 detyra të niveleve të ndryshme të vështirësisë. Të gjitha detyrat e këtij moduli janë të parametrizuara, gjë që ju lejon të formoni detyra individuale. Detyrat janë krijuar për të praktikuar aftësitë e zgjidhjes së problemeve duke përdorur shenjën e pingulitetit në një vijë të drejtë dhe një plan. Për të punuar me modulin e trajnimit, duhet të instaloni një program të veçantë, ai ndodhet në Shtojca 3... Në prezantimin për mësimin ka një punë të pavarur për temën në studim. Kështu, sasia e materialit të propozuar është e tepërt, gjë që lejon që ai të dozohet dhe të ndryshojë në varësi të nivelit të gatishmërisë së klasës.

Lloji i mësimit: mësim në zbatimin krijues të njohurive.

Forma e kryerjes: punëtori për zgjidhjen e problemeve kryesore.

Shpenzimi i kohës: 45 minuta.

Vendi i mësimit në seksion: Mësimi i 4-të.

Qëllimet:

Edukative:

• "Hap" konceptin e pingul dhe të prirur ndaj planit;
• për të formuar aftësi:
  shikoni konfigurimet që plotësojnë kushtet e specifikuara;
  të zbatojë përkufizimin e drejtëzës pingul me një rrafsh, kriterin e pingulitetit të drejtëzës dhe rrafshit për vërtetimin e problemave;
• të zhvillojë aftësi në zgjidhjen e problemave bazë për pingulitetin e drejtëzës dhe rrafshit.

Zhvillimi:

• zhvilloni imagjinatën hapësinore, të menduarit logjik;
• të zhvillojë pavarësinë e studentëve dhe një qëndrim krijues ndaj kryerjes së detyrave;
• organizojnë kuptimin e rezultateve të marra nga studimi i temës dhe mënyrat për t'i arritur ato.

Edukative:

• sille lart:
  vullnet dhe këmbëngulje për të arritur rezultate përfundimtare në zgjidhjen e problemeve;
  kulturën e informacionit dhe kulturën e komunikimit.

Metodat: kërkim i pjesshëm, hulumtim.

Format e organizimit të aktiviteteve: punë ballore, grupore, individuale, e pavarur.

Pajisjet: orë kompjuteri, projektor multimedial, ekran, prezantim kompjuterik mbi temën, test (Shtojca 1), karta për punë individuale (Slide 9), karta me pyetje teorike, ESM me një detyrë praktike të parametrizuar (Shtojca 2).

Gjatë orëve të mësimit

Momenti organizativ - kontrollimi i gatishmërisë së klasës për mësimin.

I. Pjesa motivuese dhe treguese.

1. Aktualizimi i njohurive.

- Sot vazhdojmë të punojmë me temën "Perpendikulariteti i drejtëzës dhe rrafshit". Në mësimet e mëparshme, ne "zbuluam" përkufizimin e një drejtëze pingul me një rrafsh, një shenjë e pingulitetit të një drejtëze dhe një rrafshi, dhe analizuam detyrat më të thjeshta. Si detyrë shtëpie, secili prej jush mori një fletë me pyetje teorike, ju kërkuan të përgatisni përgjigje për këto pyetje.

Le të kontrollojmë se si e keni përballuar këtë detyrë.

Një sondazh frontal është në proces. (rrëshqitje 6-8).

Përmblidhen rezultatet e punës me gojë, vlerësohen përgjigjet e nxënësve.

2. Paraqitja e problemit arsimor.

Sot do të vazhdojmë të zhvillojmë aftësinë për të zbatuar pohime të njohura në problemet e vërtetimit dhe në zgjidhjen e problemeve tipike.

1. Faza tjetër e punës - dy studentë thirren në tabelë për punë individuale në karta, ndërsa pjesa tjetër e studentëve kryhet puna ballore në vizatimet e përfunduara. Kartat për punë individuale:

Detyrat për punë gojore në vizatimet e përfunduara:

- Djema, në detyrat 4-6 po flasim për të prirur nga avioni. Çfarë mendoni se nënkuptohet?

A ka këtu një analogji me konceptet pingul dhe të prirur drejt drejtë, të studiuara në planimetri?

Nxënësit inkurajohen të studiojnë rrëshqitjen 10 të prezantimit dhe të zgjidhin këto probleme.

2. Punë në dyshe - detyrat zgjidhen sipas vizatimeve të gatshme.

Zgjidhjet po diskutohen. Vlerësohen përgjigjet e nxënësve individualë.

Faza tjetër e mësimit është zbatimi i një detyre praktike në kompjuter, puna me EOR.

III. Pjesa reflektuese-vlerësuese.

1. Rezultati i punës mësimi është punë testuese në formën e një testi.

Rezultatet e mësimit përmblidhen, jepen notat.

2. Detyrë shtëpie:№ 130, 131, 145, 148. (Shënim: përdorni shenjën e pingulitetit të një drejtëze dhe një plani).

Në këtë mësim, ne do të përsërisim teorinë e kaluar dhe do të vazhdojmë të zgjidhim probleme tipike për pingulitetin e një drejtëze dhe një rrafshi.
Së pari, ne përsërisim teoremën e kriterit për pingulitetin e një drejtëze dhe një rrafshi. Dhe më tej ne do të zgjidhim problemet duke përdorur këtë veçori.

Tema: Perpendikulariteti i drejtëzave dhe rrafsheve

Mësimi: Përsëritja e teorisë dhe zgjidhja e problemeve tipike në

pinguliteti i drejtëzës dhe rrafshit (vazhdim)

Në këtë mësim, ne do të shqyrtojmë teorinë që kaluam dhe do të vazhdojmë zgjidhjen e problemave tipike për pingulitetin e drejtëzës dhe rrafshit.

Nëse një drejtëz është pingul me dy drejtëza të kryqëzuara që shtrihen në një rrafsh, atëherë ajo është pingul me këtë rrafsh.

Le të na jepet një plan α. Ky plan përmban dy vija të drejta fq dhe q, duke u kryqëzuar në një pikë O(fig. 1). Drejt a pingul me një vijë të drejtë fq dhe drejt q... Sipas atributit, drejtëza a pingul me rrafshin α, pra pingul me çdo vijë të drejtë që shtrihet në këtë rrafsh.

3. Faqja e internetit për një mësues matematike ()

1. Formuloni një shenjë të pingulitetit të një drejtëze dhe një rrafshi.

2. Jepet një rreth me qendër në një pikë O... Drejt MO pingul me rrafshin e rrethit. Vërtetoni se vija e drejtë MO pingul me çdo rreze të rrethit.

3. Në një trekëndësh ABC lartësia e mbajtur CH... Drejt MA pingul me rrafshin ABC... A është drejtëza pingule CH aeroplan AMV?

4. Drejtpërdrejt MA pingul me rrafshin e katrorit ABCD... Gjeni gjatësinë e segmenteve ZNJ,MB, MD nëse ana e katrorit është a, AM = b.

Në këtë artikull, ne do të flasim për pingulitetin e një linje dhe një rrafshi. Së pari, jepet një përkufizim i një drejtëze pingul me një plan, jepet një ilustrim grafik dhe një shembull, tregohet përcaktimi i vijave pingule dhe një plan. Pas kësaj, u formulua një shenjë e pingulitetit të një vije të drejtë dhe një plani. Më tej, fitohen kushte që bëjnë të mundur vërtetimin e pingulitetit të drejtëzës dhe rrafshit, kur një drejtëz dhe një rrafsh jepen me disa ekuacione në një sistem koordinativ drejtkëndor në hapësirën tredimensionale. Në përfundim, tregohen zgjidhje të detajuara të shembujve dhe problemeve tipike.

Navigimi i faqes.

Vija dhe plani pingul - informacioni bazë.

Ne rekomandojmë që fillimisht të përsërisni përkufizimin e drejtëzave pingule, pasi përkufizimi i një drejtëze pingul me një plan jepet përmes pingulitetit të drejtëzave.

Përkufizimi.

Ata thonë se drejtëz pingul me rrafshin nëse është pingul me ndonjë drejtëz që shtrihet në këtë rrafsh.

Mund të thuash gjithashtu se rrafshi është pingul me vijën, ose vija dhe rrafshi janë pingul.

Për të treguar pingulitetin përdorni ikonën e formës "". Kjo do të thotë, nëse drejtëza c është pingul me rrafshin, atëherë mund të shkruhet shkurt.

Një shembull i një vije të drejtë pingul me një plan është një vijë e drejtë përgjatë së cilës kryqëzohen dy mure ngjitur të një dhome. Kjo vijë është pingul me rrafshin dhe me rrafshin e tavanit. Një litar në një palestër mund të konsiderohet gjithashtu si një segment i drejtë pingul me rrafshin e dyshemesë.

Në përfundim të këtij paragrafi të artikullit, vërejmë se nëse një drejtëz është pingul me rrafshin, atëherë këndi midis vijës së drejtë dhe rrafshit konsiderohet i barabartë me nëntëdhjetë gradë.

Perpendikulariteti i drejtëzës dhe rrafshit është shenjë dhe kushte për pingulësinë.

Në praktikë, shpesh lind pyetja: "A janë drejtëza dhe rrafshi i dhënë pingul?" Për t'iu përgjigjur, ka kusht i mjaftueshëm për pingulitetin e drejtëzës dhe rrafshit, pra një kusht i tillë, përmbushja e të cilit garanton pingulitetin e drejtëzës dhe rrafshit. Ky kusht i mjaftueshëm quhet shenja e pingulitetit të drejtëzës dhe rrafshit. Le ta formulojmë atë në formën e një teoreme.

Teorema.

Për pingulitetin e drejtëzës dhe rrafshit të dhënë, mjafton që drejtëza të jetë pingul me dy drejtëza të kryqëzuara që shtrihen në këtë rrafsh.

Vërtetimin e shenjës së pingulitetit të drejtëzës dhe rrafshit mund ta shikoni në tekstin e gjeometrisë për klasat 10 -11.

Gjatë zgjidhjes së problemeve të përcaktimit të pingulitetit të një drejtëze dhe një rrafshi, shpesh përdoret edhe teorema e mëposhtme.

Teorema.

Nëse njëra nga dy drejtëzat paralele është pingul me rrafshin, atëherë drejtëza e dytë është pingul me rrafshin.

Shkolla shqyrton shumë probleme, për zgjidhjen e të cilave përdoret kriteri i pingulitetit të drejtëzës dhe rrafshit, si dhe teorema e fundit. Këtu nuk do të ndalemi në to. Në këtë paragraf të artikullit do të përqendrohemi në zbatimin e kushtit të nevojshëm dhe të mjaftueshëm të mëposhtëm për pingulitetin e drejtëzës dhe rrafshit.

Ky kusht mund të rishkruhet si më poshtë.

Le është vektori i drejtimit të drejtëzës a, dhe është vektori normal i rrafshit. Për pingulitetin e drejtëzës a dhe rrafshit është e nevojshme dhe e mjaftueshme që dhe : , ku t është një numër real.

Vërtetimi i këtij kushti të nevojshëm dhe të mjaftueshëm për pingulitetin e drejtëzës dhe rrafshit bazohet në përcaktimet e vektorit të drejtimit të drejtëzës dhe vektorit normal të rrafshit.

Natyrisht, ky kusht është i përshtatshëm për t'u përdorur për të vërtetuar pingulësinë e një drejtëze dhe një rrafshi, kur është e lehtë të gjesh koordinatat e vektorit drejtues të vijës së drejtë dhe koordinatat e vektorit normal të planit në një treshe fikse. -hapësirë ​​dimensionale. Kjo është e vërtetë për rastet kur koordinatat e pikave nëpër të cilat kalon rrafshi dhe drejtëza, si dhe për rastet kur drejtëza përcaktohet nga disa ekuacione të një drejtëze në hapësirë, dhe rrafshi jepet nga një ekuacion i një rrafshi të një lloji.

Le të shqyrtojmë zgjidhjet e disa shembujve.

Shembull.

Vërtetoni pingulitetin e drejtëzës dhe aeroplan.

Zgjidhje.

Ne e dimë se numrat në emëruesit e ekuacioneve kanonike të një drejtëze në hapësirë ​​janë koordinatat përkatëse të vektorit të drejtimit të kësaj drejtëze. Në këtë mënyrë, - vektor drejtues i një drejtëze .

Koeficientët për ndryshoret x, y dhe z në ekuacionin e përgjithshëm të rrafshit janë koordinatat e vektorit normal të këtij rrafshi, d.m.th. është vektori normal i rrafshit.

Le të kontrollojmë plotësimin e kushtit të nevojshëm dhe të mjaftueshëm për pingulitetin e drejtëzës dhe rrafshit.

Sepse , pastaj vektorët dhe janë të lidhur me relacionin , pra janë kolineare. Prandaj, vija e drejtë pingul me rrafshin.

Shembull.

A është drejtëza pingule dhe aeroplan.

Zgjidhje.

Le të gjejmë vektorin e drejtimit të drejtëzës së dhënë dhe vektorin normal të rrafshit për të kontrolluar plotësimin e kushtit të nevojshëm dhe të mjaftueshëm për pingulitetin e drejtëzës dhe rrafshit.

Vektori i drejtimit të drejtëzës eshte nje

Shenjat e pingulitetit:

Vijë e drejtë pingul me planin , nëse ________________________________________

Vijat e drejta janë pingul , nëse _________________________________________________

Planet janë pingul , nëse ________________________________________________

_______________________________________________________________________________.

Objektivi 1. Ndërtoni një top me qendër në pikën A, tangjent me një plan të caktuar.

Algoritmi:

Objektivi 2. Vizatoni një pikë në një distancë prej 20 mm nga avioni.

Algoritmi:

Objektivi 3. Përcaktoni distancën nga një pikë në një vijë të drejtë.

Algoritmi:

Detyra 4: Plotësoni projeksionin që mungon të trekëndëshit, nëse këndi V drejt.

Algoritmi:

Problemi 5 : Ndërtoni një katror me anën BC në një vijë të drejtë l.

Algoritmi:

Problemi 6 : Plotësoni projeksionin e trekëndëshit nëse ai është pingul me rrafshin e dhënë.

Algoritmi:

Pyetje për vetëkontrollin e njohurive

Në cilin rast një kënd i drejtë projektohet në rrafshin e projektimit pa shtrembërim?

Si quhet vija e pjerrësisë më të madhe?

Si ndodhet vija e pjerrësisë më të madhe në aeroplan?

Si të përcaktohet këndi i pjerrësisë së aeroplanit në planin horizontal, ballor, të projeksionit të profilit?

Si formulohet shenja e pingulitetit të drejtëzës dhe rrafshit nga pikëpamja e gjeometrisë elementare?

Nëse një drejtëz dihet se është pingul me rrafshin, sa drejtëza mund të vizatohen që shtrihen në rrafshin pingul me të?

Cilat dy drejtëza të kryqëzuara në rrafsh duhet të zgjidhen nga grupi i drejtëzave në mënyrë që këndi i duhur i vendosur ndërmjet tyre dhe një drejtëze e caktuar të projektohet në rrafshin e projeksionit pa shtrembërim?

Bazuar në këtë, formuloni një shenjë të pingulitetit të një drejtëze dhe një rrafshi nga pikëpamja e gjeometrisë përshkruese.

Si të ndërtohet një pingul me rrafshin në pozicionin e përgjithshëm në CP?

Si të ndërtohet një vijë e drejtë pingul me planin e projektimit në CP?

Si parashikohet këndi i drejtë në rrafshin e projeksionit ndërmjet drejtëzave të kryqëzuara, nëse asnjëra prej tyre nuk është paralel me këtë plan projeksioni?

Formuloni një kriter për pingulitetin e drejtëzave në pozicionin e përgjithshëm.

Formuloni shenjën e pingulitetit të rrafsheve.

Tema 11: Mënyra e zëvendësimit të planeve të projeksionit

Katër detyrat kryesore të gjeometrisë përshkruese janë:

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Mbetet e pandryshuar në QK _________________________________________________

________________________________________________________________________________