Shembuj të mbivendosjes së funksioneve. Shihni se çfarë është "Superpozicioni i funksioneve" në fjalorë të tjerë

Një funksion f i marrë nga funksionet f 1 , f 2 ,...f n duke përdorur operacionet e zëvendësimit dhe riemërtimit të argumenteve quhet mbivendosje funksione.

Çdo formulë që shpreh një funksion f si një mbivendosje të funksioneve të tjera, specifikon një metodë për llogaritjen e tij, d.m.th., formula mund të llogaritet nëse llogariten vlerat e të gjitha nënformulave të saj. Vlera e një nënformule mund të llogaritet nga një grup i njohur i vlerave të variablave binare.

Duke përdorur secilën formulë, mund të rivendosni tabelën e një funksioni logjik, por jo anasjelltas, sepse Çdo funksion logjik mund të përfaqësohet nga disa formula në baza të ndryshme

Quhen formulat F i dhe F j që përfaqësojnë të njëjtin funksion logjik f i ekuivalente . Pra, formulat ekuivalente janë:

1. f 2 (x 1 ; x 2)=(x 1 ×`x 2)=ù(`x 1 Úx 2)= ù(x 1 ®x 2);

2. f 6 (x 1 ; x 2)=(`x 1 ×x 2 Úx 1 ×`x 2)= ù(x 1 “x 2)=(x 1 Åx 2);

3. f 8 (x 1 ; x 2)=(`x 1 ×`x 2)= ù(x 1 Úx 2)=(x 1 ¯x 2);

4. f 14 (x 1 ;x 2)=(`x 1 Ú`x 2)= ù(x 1 ×x 2)=x 1 ½x 2 ;

5. f 9 (x 1 ;x 2)=((`x 1 ×`x 2)Ú(x 1 ×x 2))=(x 1 “x 2) ;

6. f 13 (x 1 ;x 2)= (`x 1 Úx 2) = (x 1 ®x 2).

Nëse ndonjë formulë F përmban një nënformulë F i, atëherë zëvendësimi i F i me një F j ekuivalente nuk e ndryshon vlerën e formulës F për çdo grup vektorësh Boolean, por ndryshon formën e përshkrimit të saj. Formula e sapo përftuar F` është ekuivalente me formulën F.

Për të thjeshtuar shprehjet komplekse algjebrike, kryhen funksionet e Bulit transformimet ekuivalente duke përdorur ligjet e algjebrës së Bulit dhe rregullat e zëvendësimit Dhe zëvendësim ,

Kur shkruani formulat e algjebrës së Bulit, mbani mend:

· numri i kllapave të majta është i barabartë me numrin e kllapave të djathta,

· Nuk ka dy lidhje logjike ngjitur, d.m.th. duhet të ketë një formulë midis tyre,

· Nuk ka dy formula ngjitur, d.m.th. duhet të ketë një lidhje logjike midis tyre,

· lidhja logjike "×" është më e fortë se lidhja logjike "Ú",

· nëse "ù" i referohet formulës (F 1 ×F 2) ose (F 1 Ú F 2), atëherë para së gjithash këto transformime duhet të kryhen sipas ligjit të De Morganit: ù(F 1 ×F 2) = ` F 1 Ú` F 2 ose ù(F 1 ÚF 2)=`F 1 ×`F 2 ;

· Operacioni " × " është më e fortë se "Ú", e cila ju lejon të hiqni kllapat.

Shembull: kryej transformime ekuivalente të formulës F=x 1 ×x 2 ×x 3 ×`x 4 Ú`x 1 ×x 3 Ú`x 2 ×x 3 Úx 3 ×x 4 .

· sipas ligjit të komutativitetit:

F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×`x 1 Úx 3 ×`x 2 Úx 3 ×x 4 ;

· sipas ligjit të shpërndarjes:

F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×`x 1 Úx 3 ×(`x 2 Úx 4);

· sipas ligjit të shpërndarjes:

F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×(`x 1 Ú`x 2 Úx 4);

· sipas ligjit të shpërndarjes:

F=x 3 ×((x 1 ×x 2 ×`x 4)Ú(`x 1 Ú`x 2 Úx 4));

· sipas ligjit të De Morgan:

F=x 3 ×((x 1 ×x 2 ×`x 4)Úù(x 1 ×x 2 ×`x 4));

· sipas ligjit të kontradiktës:

Kështu x 1 ×x 2 ×x 3 ×`x 4 Ú`x 1 ×x 3 Ú`x 2 ×x 3 Úx 3 ×x 4 =x 3 .

Shembull: kryejnë transformimet e formulës

F=(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×x 2)Ú(x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2 );

· sipas ligjit të De Morganit

F=(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×(`x 1 Ú`x 2)Ú(x 1 ×x 2)×(`x 1 Úx 2)×(x 1 Ú`x 2);

· sipas ligjit të shpërndarjes:

F=x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2 Úx 1 ×x 2 ;

· sipas ligjeve të ndërrueshmërisë dhe shpërndarjes:

F= `x 1 ×x 2 Úx 1 ×(`x 2 Úx 2);

· sipas ligjit të kontradiktës:

F= `x 1 ×x 2 Úx 1 ;

· sipas ligjit të Poretsky

Kështu (x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×x 2)Ú(x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2 ) = (x 2 Úx 1).

Shembull: transformoni formulën F=ù(`x 1 Úx 2)Ú((`x 1 Úx 3)×x 2).

· sipas ligjit të De Morgan:

F= ù(`x 1 Úx 2)×ù((`x 1 Úx 3)×x 2);

· sipas ligjit të De Morgan:

F=x 1 ×`x 2 ×(ù(`x 1 Úx 3)Ú`x 2);

· sipas ligjit të De Morgan:

F=x 1 ×`x 2 ×(x 1 ×`x 3 Ú`x 2);

· sipas ligjit të shpërndarjes:

F=x 1 ×`x 2 ×`x 3 Úx 1 ×`x 2 ;

· sipas ligjit të përthithjes:

Kështu ù(`x 1 Úx 2)×((`x 1 Úx 3)×x 2)= x 1 ×`x 2 .

Shembull: Konvertoni formulën:

F=ù(x 1 ®x 2)×(`x 3 Ú`x 4)Ú(x 1 ¯x 2)×ù(x 3 ×x 4).

1) transformoni formulën në një bazë të algjebrës së Bulit:

F=ù(`x 1 Úx 2)×(`x 3 Ú`x 4)Úù(x 1 Úx 2)× ù(x 3 ×x 4);

2) Hiqni shenjën “`” përpara variablave binare:

F=(x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ú`x 4)Ú(`x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ú`x 4);

3) transformoni formulën sipas ligjit shpërndarës:

F=x 1 ×`x 2 ×`x 3 Úx 1 ×`x 2 ×`x 4 Ú`x 1 ×`x 2 ×`x 3 Ú`x 1 ×`x 2 ×`x 4 ;

4) vendosni `x 2 jashtë kllapave sipas ligjit shpërndarës:

F=`x 2 ×(x 1 ×`x 3 Úx 1 ×`x 4 Ú`x 1 ×`x 3 Ú`x 1 ×`x 4);

5) transformoni sipas ligjit të shpërndarjes:

F=`x 2 ×(`x 3 ×(x 1 Ú`x 1)Ú`x 4 ×(x 1 Ú`x 1));

6) përdorni ligjin e kontradiktës:

F=`x 2 ×(`x 3 Ú`x 4)

Vetitë e Funksioneve Boolean

Shpesh lind pyetja: a përfaqësohet çdo funksion Boolean nga një mbivendosje e formulave f 0, f 1,..f 15? Për të përcaktuar mundësinë e formimit të ndonjë funksioni Boolean duke përdorur një mbivendosje të këtyre formulave, është e nevojshme të përcaktohen vetitë dhe kushtet e tyre për përdorimin e një sistemi funksionalisht të plotë.

Funksionet Boolean të vetë-dyfishta

vetë-dyfishe , nëse f(x 1 ;x 2 ;…x n)=`f(`x 1 ;`x 2 ;…`x n).

Për shembull, funksionet f 3 (x 1 ; x 2) = x 1 , f 5 (x 1 ; x 2) = x 2 , f 10 (x 1 ; x 2) =` x 2 dhe f 12 (x 1 ;x 2)=`x 1 janë vetë-dyfishe, sepse kur vlera e argumentit ndryshon, ato ndryshojnë vlerën e tyre.

Çdo funksion i marrë nga operacionet e mbivendosjes nga funksionet e vetë-dyfishta Boolean është në vetvete vetë-dyfish. Prandaj, grupi i funksioneve të vetë-dyfishta Boolean nuk lejon formimin e funksioneve jo të dyfishta.

Funksionet monotonike Boolean

Funksioni f(x 1 ; x 2 ;…x n) thirret monotone , nëse për secilin vektor s 1i £s 2i Boolean (s 11 ; s 12 ;……;s 1n) dhe (s 21 ;s 22 ;……;s 2n) plotësohet kushti i mëposhtëm: f(s 11 ;s 12 ;… ;s 1i ;…;s 1n) £f(s 21 ;s 22 ;…;s 2i ;…;s 2n).

Për shembull, për funksionet f(x 1 ; x 2) funksionet monotonike janë:

nëse (0; 0) £ (0; 1), atëherë f(0; 0) £ f (0; 1),

nëse (0; 0)£(1; 0), atëherë f(0; 0)£f(1; 0),

nëse (0; 1) £ (1; 1), atëherë f (0; 1) £ f (1; 1),

nëse (1; 0) £ (1; 1), atëherë f(1; 0) £ f(1; 1).

Funksionet e mëposhtme plotësojnë këto kushte:

f 0 (x 1 ; x 2) = 0; f 1 (x 1 ; x 2) = (x 1 × x 2); f 3 (x 1 ; x 2) = x 1 ; f 5 (x 1 ; x 2) = x 2 ; f 7 (x 1 ; x 2) = (x 1 Úx 2); f 15 (x 1 ; x 2) = 1.

Çdo funksion i përftuar duke përdorur veprimin e mbivendosjes nga funksionet monotonike të Booleanit është në vetvete monoton. Prandaj grupi i funksioneve monotonike nuk lejon formimin e funksioneve jo monotonike.

Funksionet lineare Boolean

Algjebra Zhegalkin, e bazuar në bazën F 4 =(×; Å; 1), lejon që çdo funksion logjik të përfaqësohet nga një polinom, secili term i të cilit është një lidhje e variablave I Boolean të një vektori Boolean brenda 0£i£ n:

P(x 1 ; x 2 ;…x n)=b 0 ×1 Å b i ×x i Å 1 £ j ¹ k £ n b j ×x j ×x k Å……Å b 2n-1 ×x 1 ×x 2 ×... ×x n.

Për shembull, për funksionet logjike f 8 (x 1 ; x 2)

Polinomi Zhegalkin ka formën: P(x 1; x 2)=1Å x 1 Å x 2 Å x 1 ×x 2.

Përparësitë e algjebrës Zhegalkin janë “aritmetizimi” i formulave logjike, ndërsa disavantazhet janë kompleksiteti, veçanërisht me një numër të madh variablash binare.

Polinomet Zhegalkin që nuk përmbajnë lidhëza të ndryshoreve binare, d.m.th. P(x 1 ; x 2 ;…;x n)=b 0 ×1Åb 1 ×x 1 Å…Åb n ×x n quhet lineare .

Për shembull, f 9 (x 1 ; x 2) = 1Åx 1 Åx 2, ose f 12 (x 1 ; x 2) = 1Åx 1 .

Karakteristikat kryesore të modulit 2 të veprimit të mbledhjes janë dhënë në tabelën 1.18.

Nëse një funksion logjik specifikohet nga një tabelë ose formulë në çfarëdo baze, d.m.th. Nëse i dini vlerat e një funksioni Boolean për grupe të ndryshme variablash Boolean, atëherë mund të llogaritni të gjitha

koeficientët b i të polinomit Zhegalkin, duke përpiluar një sistem ekuacionesh për të gjitha grupet e njohura të ndryshoreve binare.

Shembull: jepet një funksion Boolean f(x 1 ;x 2)=x 1 Úx 2. Vlerat e këtij funksioni janë të njohura për të gjitha grupet e variablave Boolean.

F(0;0)=0=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×0 Å b 3 ×0×0;

f(1;0)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×0Å b 3 ×1×0;

f(1;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×1Å b 3 ×1×1;

Ku e gjejmë b 0 =0; b 1 = 1; b 2 =1; b 3 =1.

Prandaj, (x 1 Úx 2)=x 1 Åx 2 Åx 1 ×x 2, d.m.th. disjunksioni është një funksion jolinear Boolean.

Shembull: jepet një funksion Boolean f(x 1 ;x 2)=(x 1 ®x 2). Vlerat e këtij funksioni janë gjithashtu të njohura për të gjitha grupet e variablave binare.

F(0;0)=1=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×0 Å b 3 ×0×0;

f(0;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×1Å b 3 ×0×1;

f(1;0)=0=b 0 ×1Åb 1 ×1Åb 2 ×0Åb 3 ×1×0;

f(1;1)=1=b 0 ×1Åb 1 ×1Åb 2 ×1Åb 3 ×1×1;

Ku gjejmë b 0 =1; b 1 = 1; b 2 =0; b 3 =1.

Prandaj, (x 1 ®x 2) = 1Å x 2 Å x 1 ×x 2.

Tabela 1.19 tregon polinomet Zhegalkin për përfaqësuesit kryesorë të funksioneve Boolean nga Tabela 1.15.

Nëse jepet një shprehje analitike për një funksion logjik dhe vlerat e saj janë të panjohura për grupe të ndryshme variablash binare, atëherë është e mundur të ndërtohet një polinom Zhegalkin bazuar në bazën konjuktive të algjebrës Boole F 2 =(` ; ×) :

Le të jetë f(x 1 ; x 2) = (x 1 Úx 2).

Pastaj (x 1 Úx 2)=ù(`x 1 ×`x 2)=((x 1 Å 1)×(x 2 Å 1))Å 1=x 1 ×x 2 Å x 1 ×1Å x 2 × 1Å 1×1Å1=

(x 1 Åx 2 Åx 1 × x 2).

Le të jetë f(x 1 ;x 2)=(x 1 ®x 2).

Pastaj (x 1 ®x 2)=(`x 1 Úx 2)=ù(x 1 ×`x 2)=x 1 ×(x 2 Å 1)Å 1=x 1 ×x 2 Å x 1 ×1Å 1 = =(1Åx 1 Åx 1 ×x 2).

Le të jetë f(x 1 ;x 2)=(x 1 “x 2).

Pastaj (x 1 “x 2)=(`x 1 ×`x 2 Úx 1 ×x 2)=ù(ù(`x 1 ×`x 2)×ù(x 1 ×x 2))=((( x 1 Å1)×(x 2 Å1))Å1)× ×(x 1 ×x 2 Å)Å1=(x 1 ×x 2 Åx 1 Åx 2 Å1Å1)×(x 1 ×x 2 Å1)Å1=x 1 ×x 2 Åx 1 ×x 2 Åx 1 ×x 2 Åx 1 Å

x 1 × x 2 Åx 2 Å1=(1Åx 1 Åx 2).

Çdo funksion i marrë duke përdorur operacionin e mbivendosjes nga funksionet logjike lineare është në vetvete linear. Prandaj grupi i funksioneve lineare nuk lejon formimin e funksioneve jolineare.

1.5.6.4. Funksionet që ruajnë "0"

Funksioni f(x 1 ; x 2 ;...x n) quhet ruajtja e “0” nëse për grupet e vlerave të variablave binare (0; 0;...0) funksioni merr vlerën f(0; 0;…0)=0.

Për shembull, f 0 (0; 0)=0, f 3 (0; 0)=0, f 7 (0; 0)=0, etj.

Çdo funksion i marrë duke përdorur operacionin e mbivendosjes nga funksionet që ruajnë "0" është në vetvete një funksion që ruan "0". Prandaj, grupi i funksioneve që ruajnë "0" nuk lejon formimin e funksioneve që nuk ruajnë "0".

1.5.6.5. Funksionet që ruajnë "1"

Funksioni f(x 1 ; x 2 ;…x n) quhet ruajtja e “1” nëse për grupet e vlerave të variablave binare (1; 1;…1) funksioni merr vlerën f(1;1;…1 )=1.

Për shembull, f 1 (1; 1)=1, f3 (1; 1)=1, f 5 (1; 1)=1, etj.

Çdo funksion i marrë duke përdorur operacionin e mbivendosjes nga funksionet që ruajnë "1" është në vetvete duke ruajtur "1". Prandaj, grupi i funksioneve që ruajnë "1" nuk lejon formimin e funksioneve që nuk ruajnë "1".

Korrespondenca G ndërmjet grupeve A Dhe NË quhet nëngrup. Nëse , atëherë ata thonë atë b

korrespondon A. Kompleti i të gjithë elementëve përkatës

I thirrur mënyrë elementi a. Bashkësia e të gjithave me të cilat korrespondon elementi quhet

prototip element b.

Shumë çifte (b, a) e tillë që quhet e anasjelltë

drejt G dhe është caktuar. Konceptet e imazhit dhe prototipit për

"G dhe janë reciprokisht të kundërta.

Shembuj. 1) Le ta përputhim me një numër natyror P

grup numrash realë . Imazhi i numrit 5

do të ketë një gjysmë interval

(kjo do të thotë numri i plotë më i madh, më i vogël ose i barabartë me X). Prototipi i numrit 5 në këtë korrespondencë është një grup i pafund: gjysmë-interval.

Për sa i përket mbylljes, mund të japim përkufizime të tjera për mbylljen dhe plotësinë (ekuivalente me ato origjinale):

K është një klasë e mbyllur nëse K = [K];

K është një sistem i plotë nëse [K] = P 2 .

Shembuj.

* (0), (1) - klasa të mbyllura.

* Një grup funksionesh të një ndryshoreje është një klasë e mbyllur.

* - klasë e mbyllur.

* Klasa (1, x+y) nuk është një klasë e mbyllur.

Le të shohim disa nga klasat më të rëndësishme të mbyllura.

1. T 0- klasa e funksioneve që ruajnë 0.

Le të shënojmë me T 0 klasën e të gjitha funksioneve të algjebrës logjike f(x 1 , x 2 , ... , x n) duke ruajtur konstanten 0, pra funksionet për të cilët f(0, ... , 0 ) = 0.

Është e lehtë të shihet se ka funksione që i përkasin T 0 dhe funksione që nuk i përkasin kësaj klase:

0, x, xy, xÚy, x+y О T 0 ;

Nga fakti që Ï T 0 rrjedh, për shembull, se nuk mund të shprehet me disjunksion dhe lidhëz.

Meqenëse tabela për funksionin f nga klasa T 0 përmban vlerën 0 në rreshtin e parë, atëherë për funksionet nga T 0 mund të vendosni vlera arbitrare vetëm në 2 n - 1 grup vlerash të ndryshueshme, d.m.th.

,

ku është bashkësia e funksioneve që ruajnë 0 dhe varen nga n ndryshore.

Le të tregojmë se T 0 është një klasë e mbyllur. Meqenëse xÎT 0 , atëherë për të justifikuar mbylljen mjafton të tregohet mbyllja në lidhje me veprimin e mbivendosjes, pasi që operacioni i ndryshimit të ndryshoreve është një rast i veçantë i mbivendosjes me funksionin x.

Le . Atëherë mjafton të tregohet se. Kjo e fundit rrjedh nga zinxhiri i barazive

2. T 1- klasa e funksioneve që ruan 1.

Le të shënojmë me T 1 klasën e të gjitha funksioneve të algjebrës logjike f(x 1, x 2, ... , x n) duke ruajtur konstanten 1, pra funksionet për të cilat f(1, ... , 1 ) = 1.

Është e lehtë të shihet se ka funksione që i përkasin T 1 dhe funksione që nuk i përkasin kësaj klase:

1, x, xy, xÚy, xºy О T 1 ;

0, , x+y Ï T 1 .

Nga fakti se x + y Ï T 0 rrjedh, për shembull, se x + y nuk mund të shprehet në terma të disjunksionit dhe lidhëzës.

Rezultatet rreth klasës T 0 transferohen në mënyrë të parëndësishme në klasën T 1 . Kështu kemi:

T 1 - klasë e mbyllur;

.

3.L- klasa e funksioneve lineare.

Le të shënojmë me L klasën e të gjitha funksioneve të algjebrës së logjikës f(x 1 , x 2 , ... , x n) që janë lineare:

Është e lehtë të shihet se ka funksione që i përkasin L dhe funksione që nuk i përkasin kësaj klase:

0, 1, x, x+y, x 1 º x 2 = x 1 + x 2 + 1, = x+1 О L;

Le të vërtetojmë, për shembull, se xÚy Ï L .

Le të supozojmë të kundërtën. Ne do të kërkojmë një shprehje për xÚy në formën e një funksioni linear me koeficientë të pacaktuar:

Për x = y = 0 kemi a=0,

për x = 1, y = 0 kemi b = 1,

për x = 0, y = 1 kemi g = 1,

por atëherë për x = 1, y = 1 kemi 1v 1 ¹ 1 + 1, që vërteton jolinearitetin e funksionit xy.

Vërtetimi i mbylljes së klasës së funksioneve lineare është mjaft i dukshëm.

Meqenëse një funksion linear përcaktohet në mënyrë unike duke specifikuar vlerat n+1 të koeficientit a 0, ..., a n, numri i funksioneve lineare në klasën L (n) të funksioneve në varësi të n variablave është i barabartë me 2. n+1 .

.

4.S- klasa e funksioneve të dyfishta vetë.

Përkufizimi i klasës së funksioneve të dyfishta bazohet në përdorimin e të ashtuquajturit parimi i dualitetit dhe funksioneve të dyfishta.

Funksioni i përcaktuar nga barazia quhet i dyfishtë ndaj funksionit .

Natyrisht, tabela për funksionin e dyfishtë (me renditjen standarde të grupeve të vlerave të ndryshueshme) merret nga tabela për funksionin origjinal duke përmbysur (d.m.th., duke zëvendësuar 0 me 1 dhe 1 me 0) kolonën e vlerave të funksionit. dhe duke e kthyer atë.

Është e lehtë ta shohësh këtë

(x 1 Ú x 2)* = x 1 Ù x 2,

(x 1 Ù x 2)* = x 1 Ú x 2 .

Nga përkufizimi del se (f*)* = f, pra funksioni f është i dyfishtë me f*.

Le të shprehet një funksion duke përdorur mbivendosje përmes funksioneve të tjera. Pyetja është, si të ndërtohet një formulë që zbaton ? Le të shënojmë me = (x 1, ..., x n) të gjitha simbolet e ndryshme të variablave që gjenden në grupe.

Teorema 2.6. Nëse funksioni j fitohet si mbivendosje e funksioneve f, f 1, f 2, ..., f m, d.m.th.

një funksion i dyfishtë ndaj një mbivendosjeje është një mbivendosje e funksioneve të dyfishta.

Dëshmi.

j*(x 1,...,x n) = ` f(`x 1,...,`x n) =

Teorema është vërtetuar. ð

Parimi i dualitetit rrjedh nga teorema: nëse një formulë A realizon funksionin f(x 1 , ... , x n), atëherë formula e përftuar nga A duke zëvendësuar funksionet e përfshira në të me ato të dyfishta realizon funksionin e dyfishtë f. *(x 1 , ... , xn).

Le të shënojmë me S klasën e të gjitha funksioneve të dyfishta nga P 2:

S = (f | f* = f )

Është e lehtë të shihet se ka funksione që i përkasin S dhe funksione që nuk i përkasin kësaj klase:

0, 1, xy, xÚy Ï S .

Një shembull më pak i parëndësishëm i një funksioni vetë-dual është funksioni

h(x, y, z) = xy Ú xz Ú ​​yz;

Duke përdorur teoremën mbi funksionin e dyfishtë në mbivendosje, kemi

h*(x, y, z)= (x Ú y)Ù(x Ú z) Ù (y Ù z) = x y Ú x z Ú y z; h = h* ; h О S.

Për një funksion të dyfishtë, identiteti qëndron

kështu me radhë setet dhe , që do ta quajmë të kundërt, funksioni i vetë-dyfishtë merr vlera të kundërta. Nga kjo rrjedh se funksioni i vetë-dyfishtë përcaktohet plotësisht nga vlerat e tij në gjysmën e parë të rreshtave të tabelës standarde. Prandaj, numri i funksioneve të vetë-dyfishta në klasën S (n) të funksioneve në varësi të n variablave është i barabartë me:

.

Le të vërtetojmë tani se klasa S është e mbyllur. Meqenëse xÎS , atëherë për të justifikuar mbylljen mjafton të tregohet mbyllja në lidhje me veprimin e mbivendosjes, pasi që operacioni i ndryshimit të ndryshoreve është një rast i veçantë i mbivendosjes me funksionin x. Le . Atëherë mjafton të tregohet se. Ky i fundit është instaluar drejtpërdrejt:

5. M- klasa e funksioneve monotonike.

Para përcaktimit të konceptit të një funksioni monoton në algjebrën e logjikës, është e nevojshme të prezantohet një lidhje renditjeje në grupin e grupeve të ndryshoreve të tij.

Ata thonë se grupi vjen para se të vendoset (ose "jo më shumë se", ose "më pak se ose e barabartë me"), dhe përdorni shënimin nëse a i £ b i për të gjitha i = 1, ... , n. Nëse dhe , atëherë do të themi se grupi i paraprin rreptësisht grupit (ose "rreptësisht më pak", ose "më pak se" grupi), dhe përdorim shënimin . Bashkësitë dhe quhen të krahasueshme nëse njëra , ose .Në rastin kur asnjëra nga këto marrëdhënie nuk vlen, bashkësitë dhe quhen të pakrahasueshme. Për shembull, (0, 1, 0, 1) £ (1, 1, 0, 1), por grupet (0, 1, 1, 0) dhe (1, 0, 1, 0) janë të pakrahasueshme. Kështu, relacioni £ (shpesh quhet relacion i përparësisë) është një rend i pjesshëm në bashkësinë B n. Më poshtë janë diagramet e grupeve të renditura pjesërisht B 2, B 3 dhe B 4.

Marrëdhënia e rendit të pjesshme e prezantuar është një koncept jashtëzakonisht i rëndësishëm që shkon përtej qëllimit të kursit tonë.

Tani kemi mundësinë të përcaktojmë konceptin e një funksioni monoton.

Funksioni i algjebrës logjike quhet monotone, nëse për çdo dy grupe dhe , të tillë që , pabarazia vlen . Bashkësia e të gjitha funksioneve monotone të algjebrës së logjikës shënohet me M, dhe bashkësia e të gjitha funksioneve monotone në varësi të n ndryshoreve shënohet me M(n).

Është e lehtë të shihet se ka funksione që i përkasin M dhe funksione që nuk i përkasin kësaj klase:

0, 1, x, xy, xÚy О M;

x+y, x®y, xºy Ï M .

Le të tregojmë se klasa e funksioneve monotone M është një klasë e mbyllur. Meqenëse xОМ, atëherë për të justifikuar mbylljen mjafton të tregohet mbyllja në lidhje me veprimin e mbivendosjes, pasi operacioni i ndryshimit të ndryshoreve është një rast i veçantë i mbivendosjes me funksionin x.

Le . Atëherë mjafton të tregohet se.

Le të jenë bashkësi variablash, përkatësisht funksionet j, f 1 , ... , f m , dhe bashkësia e ndryshoreve të funksionit j përbëhet nga ato dhe vetëm ato ndryshore që shfaqen në funksionet f 1 , ... , f m . Le të jenë dhe dy grupe vlerash të ndryshores, dhe . Këto grupe përcaktojnë grupet vlerat e ndryshueshme , sikurse . Për shkak të monotonitetit të funksioneve f 1 , ... , f m

dhe për shkak të monotonitetit të funksionit f

Nga këtu marrim

Numri i funksioneve monotonike në varësi të n variablave nuk dihet saktësisht. Kufiri i poshtëm mund të merret lehtësisht:

ku - është pjesa e plotë e n/2.

Gjithashtu rezulton të jetë shumë i lartë një vlerësim nga lart:

Përpunimi i këtyre vlerësimeve është një detyrë e rëndësishme dhe interesante e kërkimit modern.

Kriteri i plotësisë

Tani jemi në gjendje të formulojmë dhe vërtetojmë një kriter të plotësisë (teorema e Postit), i cili përcakton kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për plotësinë e një sistemi funksionesh. Le ta paraprijmë formulimin dhe vërtetimin e kriterit të plotësisë me disa lema të nevojshme që kanë interes të pavarur.

Lema 2.7. Lemë rreth funksionit jo të dyfishtë.

Nëse f(x 1 , ... , x n)Ï S , atëherë prej saj mund të merret një konstante duke zëvendësuar funksionet x dhe `x.

Dëshmi. Që nga fÏS, atëherë ekziston një grup vlerash të variablave
=(a 1 ,...,a n) i tillë që

f(`a 1,...,`a n) = f(a 1,...,a n)

Le të zëvendësojmë argumentet në funksionin f:

x i zëvendësohet me ,

dmth le të vendosim dhe konsiderojmë funksionin

Kështu, ne kemi marrë një konstante (edhe pse nuk dihet se cila konstante është: 0 ose 1). ð

Lema 2.8. Lemë për funksionin jo monotonik.

Nëse funksioni f(x 1 ,...,x n) është jo monotonik, f(x 1 ,...,x n) Ï M, atëherë prej tij mund të merret një mohim duke ndryshuar variablat dhe duke zëvendësuar konstantet 0 dhe 1.

Dëshmi. Meqenëse f(x 1,...,x n) Ï M, atëherë ekzistojnë grupe vlerash të ndryshoreve të tij, , , e tillë që , dhe për të paktën një vlerë i, a i< b i . Выполним следующую замену переменных функции f:

x i do të zëvendësohet nga

Pas një zëvendësimi të tillë marrim një funksion të një ndryshoreje j(x), për të cilën kemi:

Kjo do të thotë se j(x)=`x. Lema është e vërtetuar. ð

Lema 2.9. Lemë rreth funksionit jolinear.

Nëse f(x 1 ,...,x n) Ï L , atëherë prej tij duke zëvendësuar konstantet 0, 1 dhe duke përdorur funksionin `x mund të marrim funksionin x 1 &x 2 .

Dëshmi. Le të paraqesim f si një DNF (për shembull, një DNF perfekt) dhe të përdorim marrëdhëniet:

Shembull. Le të japim dy shembuj të zbatimit të këtyre transformimeve.

Kështu, një funksion i shkruar në formë normale disjunktive, pas aplikimit të marrëdhënieve të treguara, hapjes së kllapave dhe transformimeve të thjeshta algjebrike, bëhet një polinom mod 2 (polinom Zhegalkin):

ku A 0 është një konstante, dhe A i është një lidhje e disa ndryshoreve nga numri x 1,..., x n, i = 1, 2, ..., r.

Nëse çdo lidhëz A i përbëhet nga vetëm një ndryshore, atëherë f është një funksion linear, i cili bie ndesh me kushtin e lemës.

Për rrjedhojë, në polinomin Zhegalkin për funksionin f ka një term që përmban të paktën dy faktorë. Pa humbur përgjithësinë, mund të supozojmë se midis këtyre faktorëve ka variabla x 1 dhe x 2. Atëherë polinomi mund të transformohet si më poshtë:

f = x 1 x 2 f 1 (x 3 ,..., x n) + x 1 f 2 (x 3 ,..., x n) + x 2 f 3 (x 3 ,..., x n) + f 4 (x 3 ,..., x n),

ku f 1 (x 3 ,..., x n) ¹ 0 (përndryshe polinomi nuk përfshin një lidhëz që përmban lidhëzën x 1 x 2).

Le të jetë (a 3 ,...,a n) i tillë që f 1 (a 3 ,...,a n) = 1. Atëherë

j(x 1 ,x 2) = f(x 1 ,x 2 , a 3 ,...,a n) = x 1 x 2 +ax 1 +bx 2 +g ,

ku a, b, g janë konstante të barabarta me 0 ose 1.

Le të përdorim veprimin e mohimit që kemi dhe të konsiderojmë funksionin y(x 1 ,x 2) të marrë nga j(x 1 ,x 2) si më poshtë:

y(x 1,x 2) = j(x 1 +b, x 2 +a)+ab+g.

Është e qartë se

y(x1,x2) =(x1 +b)(x2 +a)+a(x 1 +b)+b(x2 +a)+g+ab+g = x 1 x 2.

Prandaj,

y(x 1,x 2) = x 1 x 2 .

Lema është plotësisht e vërtetuar. ð

Lema 2.10. Lema kryesore e kriterit të plotësisë.

Nëse klasa F=( f) e funksioneve të algjebrës logjike përmban funksione që nuk ruajnë unitetin, nuk ruajnë 0, janë jo-vetë-dyfishtë dhe jo monotonikë:

atëherë nga funksionet e këtij sistemi, me operacionet e mbivendosjes dhe zëvendësimit të ndryshoreve, mund të fitohen konstantet 0, 1 dhe funksioni.

Dëshmi. Le të shqyrtojmë funksionin. Pastaj

.

Ekzistojnë dy raste të mundshme të konsideratave të mëvonshme, të përcaktuara në prezantimin e mëposhtëm si 1) dhe 2).

1). Funksioni në grupin e njësisë merr vlerën 0:

.

Le të zëvendësojmë të gjitha variablat e funksionit me ndryshoren x. Pastaj funksioni

ka, sepse

Dhe .

Le të marrim një funksion jo të dyfishtë. Meqenëse tashmë kemi marrë funksionin, atëherë nga lema mbi një funksion jo-vetë-dyfishtë (lema 2.7. ) ju mund të merrni një konstante nga. Konstanta e dytë mund të merret nga e para duke përdorur funksionin. Pra, në rastin e parë të konsideruar, fitohen konstantet dhe mohimi. . Rasti i dytë dhe bashkë me të edhe lema kryesore e kriterit të plotësisë janë vërtetuar plotësisht. ð

Teorema 2.11. Një kriter për plotësinë e sistemeve të funksioneve në algjebrën e logjikës (teorema e Postit).

Në mënyrë që sistemi i funksioneve F = (f i) të jetë i plotë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të mos përfshihet plotësisht në asnjë nga pesë klasat e mbyllura T 0, T 1, L, S, M, domethënë për secila nga klasat T 0 , T 1 , L , S, M në F ka të paktën një funksion që nuk i përket kësaj klase.

Domosdoshmëri. Le të jetë F një sistem i plotë. Le të supozojmë se F përmbahet në një nga klasat e treguara, le ta shënojmë me K, d.m.th. F Í K. Përfshirja e fundit është e pamundur, pasi K është një klasë e mbyllur që nuk është një sistem i plotë.

Përshtatshmëria. Le të mos përfshihet i gjithë sistemi i funksioneve F = (f i ) në asnjë nga pesë klasat e mbyllura T 0 , T 1 , L , S , M . Le të marrim funksionet e mëposhtme në F:

Më pas, bazuar në lemën kryesore (lemë 2.10 ) nga një funksion që nuk ruan 0, një funksion që nuk ruan 1, funksione jo të dyfishta dhe jo monotonike, mund të merren konstantet 0, 1 dhe funksioni mohues:

.

Bazuar në lemën e funksioneve jolineare (lema 2.9 ) nga konstantet, mohimi dhe një funksion jolinear mund të marrim lidhjen:

.

Sistemi i funksionit - një sistem i plotë sipas teoremës për mundësinë e paraqitjes së çdo funksioni të algjebrës së logjikës në formën e një forme normale të përsosur disjunktive (vini re se disjunksioni mund të shprehet përmes lidhjes dhe mohimit në formë ).

Teorema është plotësisht e vërtetuar. ð

Shembuj.

1. Le të tregojmë se funksioni f(x,y) = x|y formon një sistem të plotë. Le të ndërtojmë një tabelë vlerash të funksionit x½y:

x	y	x|y

f(0,0) = 1, pra x | yÏT 0.

f(1,1) = 0, pra x | po 1 .

f(0,0) = 1, f(1,1) = 0, pra x | yÏM.

f(0,1) = f(1,0) = 1, - në grupe të kundërta x | y merr të njëjtat vlera, prandaj x | po .

Së fundi, çfarë do të thotë jolineariteti i funksionit?
x | y.

Bazuar në kriterin e plotësisë, mund të themi se f(x,y) = x | y formon një sistem të plotë. ð

2. Le të tregojmë se sistemi i funksioneve formon një sistem të plotë.

Vërtet,.

Kështu, ndër funksionet e sistemit tonë kemi gjetur: një funksion që nuk ruan 0, një funksion që nuk ruan 1, funksione jo-vetë-dyfishe, jo monotonike dhe jolineare. Bazuar në kriterin e plotësisë, mund të argumentohet se sistemi i funksioneve formon një sistem të plotë. ð

Kështu, ne jemi të bindur se kriteri i plotësisë ofron një mënyrë konstruktive dhe efektive për të përcaktuar plotësinë e sistemeve të funksioneve në algjebrën e logjikës.

Le të formulojmë tani tre konkluzionet nga kriteri i plotësisë.

Përfundimi 1. Çdo klasë e mbyllur K e funksioneve të algjebrës së logjikës që nuk përkon me të gjithë grupin e funksioneve të algjebrës së logjikës (K¹P 2) përfshihet në të paktën një nga klasat e mbyllura të ndërtuara.

Përkufizimi. Klasa e mbyllur K quhet para-plotë, nëse K është jo e plotë dhe për çdo funksion fÏ K klasa K È (f) është e plotë.

Nga përkufizimi del se klasa e paraplotësuar është e mbyllur.

Përfundimi 2. Në algjebrën e logjikës ekzistojnë vetëm pesë klasa të paraplotësuara, përkatësisht: T 0, T 1, L, M, S.

Për të vërtetuar përfundimin, ju vetëm duhet të kontrolloni që asnjë nga këto klasa të mos përmbahet në tjetrën, gjë që konfirmohet, për shembull, nga tabela e mëposhtme e funksioneve që i përkasin klasave të ndryshme:

	T0	T 1	L	S	M
	+	-	+	-	+
	-	+	+	-	+
	-	-	+	+	-

Përfundimi 3. Nga çdo sistem i plotë funksionesh mund të zgjidhni një nënsistem të plotë që përmban jo më shumë se katër funksione.

Nga vërtetimi i kriterit të plotësisë rezulton se nuk mund të dallohen më shumë se pesë funksione. Nga vërtetimi i lemës kryesore (Lemma 2.10 ) pason se është ose jo e dyfishtë ose nuk ruan unitetin dhe nuk është monoton. Prandaj, nuk nevojiten më shumë se katër funksione.

Le të njihemi me konceptin e mbivendosjes (ose imponimit) të funksioneve, i cili konsiston në zëvendësimin e një funksioni nga një argument tjetër në vend të argumentit të një funksioni të caktuar. Për shembull, një mbivendosje e funksioneve jep një funksion, dhe funksionet fitohen në mënyrë të ngjashme

Në përgjithësi, supozojmë se një funksion është përcaktuar në një domen të caktuar dhe funksioni është përcaktuar në një domen dhe vlerat e tij janë të gjitha të përfshira në domen. Atëherë ndryshorja z, siç thonë ata, përmes y, është vetë një funksion i

Duke pasur një vlerë të dhënë, ata së pari gjejnë vlerën y që i korrespondon asaj (sipas rregullit të karakterizuar nga një shenjë), dhe më pas vendosin vlerën përkatëse y (sipas rregullit

e karakterizuar nga një shenjë, vlera e saj konsiderohet se korrespondon me x-in e zgjedhur. Funksioni që rezulton nga një funksion ose një funksion kompleks është rezultat i një mbivendosjeje të funksioneve

Supozimi se vlerat e funksionit nuk shkojnë përtej kufijve të rajonit Y në të cilin është përcaktuar funksioni është shumë domethënës: nëse ai hiqet, atëherë mund të rezultojë absurditet. Për shembull, duke supozuar se mund të konsiderojmë vetëm ato vlera të x për të cilat përndryshe shprehja nuk do të kishte kuptim.

Ne e konsiderojmë të dobishme të theksojmë këtu se karakterizimi i një funksioni si kompleks nuk lidhet me natyrën e varësisë funksionale të z nga x, por vetëm me mënyrën se si specifikohet kjo varësi. Për shembull, le për y në për Pastaj

Këtu funksioni doli të specifikohej si një funksion kompleks.

Tani që koncepti i mbivendosjes së funksioneve është kuptuar plotësisht, ne mund të karakterizojmë me saktësi më të thjeshtat nga ato klasa funksionesh që studiohen në analizë: këto janë, para së gjithash, funksionet elementare të renditura më sipër dhe më pas të gjitha ato që përftohen prej tyre. duke përdorur katër operacione aritmetike dhe mbivendosje, aplikuar në mënyrë të njëpasnjëshme një numër të kufizuar herë. Thuhet se ato shprehen përmes elementit në formën e tyre përfundimtare; ndonjëherë quhen edhe elementare.

Më pas, pasi kemi zotëruar një aparat analitik më kompleks (seritë e pafundme, integrale), do të njihemi me funksione të tjera që luajnë gjithashtu një rol të rëndësishëm në analizë, por tashmë shkojnë përtej klasës së funksioneve elementare.

Tema: “Funksioni: koncepti, metodat e caktimit, karakteristikat kryesore. Funksioni i anasjelltë. Mbivendosje e funksioneve."

Epigrafi i mësimit:

“Studioni diçka dhe mos mendoni për të

i mësuar - absolutisht i padobishëm.

Të mendosh për diçka pa e studiuar atë

lënda paraprake e mendimit -

Konfuci.

Qëllimi dhe objektivat psikologjike e pedagogjike të orës së mësimit:

1) Qëllimi i përgjithshëm edukativ (normativ).: Rishikoni me nxënësit përkufizimin dhe vetitë e një funksioni. Prezantoni konceptin e mbivendosjes së funksioneve.

2) Objektivat e zhvillimit matematikor të nxënësve: përdorimi i materialit arsimor dhe matematikor jo standard për të vazhduar zhvillimin e përvojës mendore të studentëve, strukturën kuptimplotë njohëse të inteligjencës së tyre matematikore, duke përfshirë aftësitë për të menduarit logjik-deduktiv dhe induktiv, analitik dhe sintetik të kthyeshëm, të menduarit algjebrik dhe figurativ-grafik. , përgjithësim dhe konkretizim kuptimplotë, deri te reflektimi dhe pavarësia si aftësi metakognitive e nxënësve; për të vazhduar zhvillimin e kulturës së të folurit të shkruar dhe gojor si mekanizma psikologjikë të inteligjencës arsimore dhe matematikore.

3) Detyrat edukative: të vazhdojë edukimin personal te nxënësit me interes njohës për matematikën, përgjegjësinë, ndjenjën e detyrës, pavarësinë akademike, aftësinë komunikuese për të bashkëpunuar me grupin, mësuesin, shokët e klasës; aftësia autogogjike për veprimtari konkurruese edukative dhe matematikore, duke u përpjekur për rezultate të larta dhe më të larta (motivi akmeik).

Lloji i mësimit: mësimi i materialit të ri; sipas kriterit të përmbajtjes kryesore matematikore - një mësim praktik; sipas kriterit të llojit të ndërveprimit të informacionit ndërmjet nxënësve dhe mësuesit - një mësim bashkëpunimi.

Pajisjet e mësimit:

1. Literatura edukative:

1) Kudryavtsev i analizës matematikore: Libër mësuesi. për studentët e universitetit dhe universitetit. Në 3 vëllime T. 3. – Botimi i 2-të, i rishikuar. dhe shtesë - M.: Më e lartë. shkollë, 1989. – 352 f. : i sëmurë.

2) Probleme dhe ushtrime Demidovich në analizën matematikore. - botimi i 9-të. – M.: Shtëpia botuese “Nauka”, 1977.

2. Ilustrime.

Gjatë orëve të mësimit.

1. Shpallja e temës dhe qëllimit kryesor edukativ të orës së mësimit; stimulimi i ndjenjës së detyrës, përgjegjësisë dhe interesit njohës të studentëve në përgatitjen për sesionin.

2.Përsëritje e materialit bazuar në pyetje.

a) Përcaktoni një funksion.

Një nga konceptet themelore matematikore është koncepti i funksionit. Koncepti i një funksioni shoqërohet me vendosjen e një marrëdhënieje midis elementeve të dy grupeve.

Le të jepen dy grupe jo bosh. Një përputhje f që përputhet me çdo element me një dhe vetëm një element quhet funksionin dhe shkruan y = f(x). Ata thonë gjithashtu se funksioni f shfaq shumë mbi shumë.

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> quhet grup kuptimesh funksioni f dhe shënohet me E(f).

b) Funksionet numerike. Grafiku i funksionit. Metodat për specifikimin e funksioneve.

Le të jepet funksioni.

Nëse elementet e bashkësive dhe janë numra realë, atëherë thirret funksioni f funksioni numerik . Ndryshorja x quhet argument ose ndryshore e pavarur, dhe y – funksionin ose ndryshore e varur(nga x). Për sa i përket vetë sasive x dhe y, thuhet se janë në varësia funksionale.

Grafiku i funksionit y = f(x) është bashkësia e të gjitha pikave të rrafshit Oxy, për secilën prej të cilave x është vlera e argumentit dhe y është vlera përkatëse e funksionit.

Për të specifikuar funksionin y = f(x), është e nevojshme të specifikohet një rregull që lejon, duke ditur x, të gjejë vlerën përkatëse të y.

Tre mënyrat më të zakonshme për të specifikuar një funksion janë: analitike, tabelare dhe grafike.

Metoda analitike: Një funksion specifikohet si një ose më shumë formula ose ekuacione.

Për shembull:

Nëse domeni i përkufizimit të funksionit y = f(x) nuk është specifikuar, atëherë supozohet se përkon me grupin e të gjitha vlerave të argumentit për të cilin formula përkatëse ka kuptim.

Metoda analitike e specifikimit të një funksioni është më e avancuara, pasi përfshin metoda të analizës matematikore që bëjnë të mundur studimin e plotë të funksionit y = f(x).

Metoda grafike: Vendos grafikun e funksionit.

Avantazhi i një detyre grafike është qartësia e saj, disavantazhi është pasaktësia e saj.

Metoda tabelare: Një funksion specifikohet nga një tabelë me një seri vlerash argumentesh dhe vlerash funksioni përkatës. Për shembull, tabela të njohura të vlerave të funksioneve trigonometrike, tabela logaritmike.

c) Karakteristikat kryesore të funksionit.

1. Funksioni y = f(x), i përcaktuar në bashkësinë D, thirret madje , nëse plotësohen kushtet dhe f(-x) = f(x); i çuditshëm , nëse plotësohen kushtet dhe f(-x) = -f(x).

Grafiku i një funksioni çift është simetrik në lidhje me boshtin Oy, dhe një funksion tek është simetrik në lidhje me origjinën. Për shembull, – edhe funksionet; dhe y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> - funksione të formës së përgjithshme, d.m.th., as çift as tek.

2. Le të përcaktohet funksioni y = f(x) në bashkësinë D dhe le të . Nëse për ndonjë vlerë të argumenteve vijon pabarazia e mëposhtme: , atëherë thirret funksioni në rritje në set; Nëse , atëherë thirret funksioni jo në rënie në https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src=">atëherë thirret funksioni. në rënie më ; - jo në rritje .

Funksionet rritëse, jo-rritëse, zvogëluese dhe moszvogëluese në grup https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">Vlera D (x +T)D dhe vlen barazia f(x+T) = f(x).

Për të vizatuar një grafik të një funksioni periodik të periudhës T, mjafton ta vizatoni atë në çdo segment me gjatësi T dhe ta vazhdoni periodikisht në të gjithë domenin e përkufizimit.

Le të vëmë re vetitë kryesore të një funksioni periodik.

1) Shuma algjebrike e funksioneve periodike që kanë të njëjtën periudhë T është një funksion periodik me periudhën T.

2) Nëse funksioni f(x) ka periudhë T, atëherë funksioni f(ax) ka periudhë T/a.

d) Funksioni i anasjelltë.

Le të jepet një funksion y = f(x) me një domen të përkufizimit D dhe një grup vlerash E..gif" width="48" height="22">, pastaj një funksion x = z(y) me një domen të përkufizimit E dhe një grup vlerash është përcaktuar D Një funksion i tillë z(y) quhet e kundërta në funksionin f(x) dhe shkruhet në formën e mëposhtme: . Funksionet y = f(x) dhe x = z(y) thuhet se janë reciprokisht të anasjellta. Për të gjetur funksionin x = z(y), të anasjelltë me funksionin y = f(x), mjafton të zgjidhet ekuacioni f(x) = y për x.

Shembuj:

1. Për funksionin y = 2x funksioni i anasjelltë është funksioni x = ½ y;

2. Për funksionin funksioni i anasjelltë është funksioni .

Nga përkufizimi i një funksioni të anasjelltë rezulton se funksioni y = f(x) ka një të anasjelltë nëse dhe vetëm nëse f(x) specifikon një korrespondencë një-për-një midis bashkësive D dhe E. Nga kjo rrjedh se çdo një funksion rreptësisht monoton ka një të anasjelltë . Për më tepër, nëse një funksion rritet (zvogëlohet), atëherë funksioni i anasjelltë gjithashtu rritet (zvogëlohet).

3. Studimi i materialit të ri.

Funksion kompleks.

Le të përcaktohet funksioni y = f(u) në bashkësinë D, dhe funksioni u = z(x) në bashkësinë dhe për vlerën përkatëse . Atëherë në bashkësinë përcaktohet funksioni u = f(z(x)), i cili thirret funksion kompleks nga x (ose mbivendosje funksionet e specifikuara, ose funksion nga funksioni ).

Thirret ndryshorja u = z(x). argument i ndërmjetëm funksion kompleks.

Për shembull, funksioni y = sin2x është një mbivendosje e dy funksioneve y = sinu dhe u = 2x. Një funksion kompleks mund të ketë disa argumente të ndërmjetme.

4. Zgjidhja e disa shembujve në tabelë.

5. Përfundimi i orës së mësimit.

1) rezultatet teorike dhe aplikative të mësimit praktik; vlerësim i diferencuar i nivelit të përvojës mendore të nxënësve; niveli i zotërimit të temës, kompetenca, cilësia e të folurit matematikor me gojë dhe me shkrim; niveli i kreativitetit të demonstruar; niveli i pavarësisë dhe reflektimit; niveli i iniciativës, interesi njohës për metodat individuale të të menduarit matematik; nivelet e bashkëpunimit, konkurrenca intelektuale, dëshira për nivele të larta të aktivitetit edukativo-matematikor etj.;

2) shpallja e notave të arsyetuara, pikët e mësimit.