Është pothuajse e pamundur të krijohet një model universal që do të plotësonte aspekte të ndryshme të zbatimit të tij. Për të marrë informacion që pasqyron veçori të caktuara të objektit të menaxhuar, është e nevojshme të klasifikohen modelet. Klasifikimi bazohet në veçoritë e operatorit φ. E gjithë shumëllojshmëria e objekteve të kontrollit, bazuar në karakteristikat kohore dhe hapësinore, mund të ndahet në klasat e mëposhtme: statike ose dinamike; lineare ose jolineare; të vazhdueshme ose diskrete në kohë; të palëvizshme ose jo të palëvizshme; procese gjatë të cilave parametrat e tyre ndryshojnë në hapësirë, dhe procese pa ndryshime hapësinore në parametra. Meqenëse modelet matematikore janë një pasqyrim i objekteve përkatëse, të njëjtat klasa janë karakteristike për to. Emri i plotë i modelit mund të përfshijë një kombinim të veçorive të listuara. Këto karakteristika shërbyen si bazë për emrat e llojeve përkatëse të modeleve.
Në varësi të natyrës së proceseve të studiuara në sistem, të gjitha modelet mund të ndahen në llojet e mëposhtme:
Modele përcaktuese- shfaqni procese përcaktuese, domethënë procese në të cilat supozohet mungesa e ndonjë ndikimi të rastësishëm.
Modele stokastike- të shfaqë procese dhe ngjarje probabilistike; në këtë rast analizohen një sërë realizimesh të procesit të rastësishëm dhe vlerësohen karakteristikat mesatare.
Stacionare dhe modele jo të palëvizshme. Një model quhet i palëvizshëm nëse forma e operatorit φ dhe parametrat e tij p nuk ndryshojnë në kohë, domethënë kur është e vërtetë.
φ = φ, d.m.th. y = φ (p, x).
Nëse parametrat e modelit ndryshojnë me kalimin e kohës, atëherë modeli është
parametrikisht jo-stacionare
Forma më e përgjithshme e jostacionaritetit është kur forma e një funksioni varet edhe nga koha. Pastaj një argument tjetër i shtohet rekordit të funksionit
Modele statike dhe dinamike. Kjo ndarje e llojeve të modeleve bazohet në veçoritë e lëvizjes së objektit në studim si sistem material.
Duke folur për modelet nga pikëpamja e problemeve të kontrollit, duhet theksuar se hapësira këtu nuk kuptohet si një hapësirë gjeometrike, por si një hapësirë e gjendjeve - koordinatat e gjendjeve të variablave të prodhimit. në... Elementet vektoriale y Zakonisht monitorohen parametrat e procesit (rrjedha, presioni, temperatura, lagështia, viskoziteti, etj.). Përbërja e elementeve vektoriale y sepse vetë objekti mund të jetë më i gjerë se sa për modelin e këtij objekti, pasi modelimi kërkon studimin e vetëm një pjese të vetive të një sistemi real. Lëvizja e objektit të kontrollit në hapësirën e gjendjes dhe në kohë vlerësohet duke përdorur procesin vektorial y (t).
Modeli i sistemit quhet statike, nëse gjendja e sistemit nuk ndryshon, pra sistemi është në ekuilibër, por lëvizja shoqërohet me gjendjen statike të objektit në ekuilibër. Përshkrimi matematik në modelet statike nuk përfshin kohën si variabël dhe përbëhet nga ekuacione algjebrike ose ekuacione diferenciale në rastin e objekteve me parametra të shpërndarë. Modelet statike zakonisht janë jolineare. Ato pasqyrojnë me saktësi gjendjen e ekuilibrit të shkaktuar nga kalimi i një objekti nga një mënyrë në tjetrën.
Dinamik modeli pasqyron ndryshimin e gjendjes së objektit me kalimin e kohës. Përshkrimi matematikor i modeleve të tilla përfshin domosdoshmërisht një derivat kohor. Modelet dinamike përdorin ekuacione diferenciale. Zgjidhjet e sakta të këtyre ekuacioneve njihen vetëm për një klasë të caktuar ekuacionesh diferenciale. Më shpesh është e nevojshme të përdoret përdorimi i metodave të përafërta numerike.
Për qëllime kontrolli, modeli dinamik përfaqësohet si një funksion transferimi që lidh variablat hyrëse dhe dalëse.
Modele lineare dhe jolineare. Funksioni matematikor L (x) - lineare nëse
L (λ 1 x 1 + λ 2 x 2) = λ 1 L (x 1) + λ 2 L (x 2).
Në mënyrë të ngjashme për funksionet e disa variablave. Një funksion linear është i natyrshëm në përdorimin vetëm të operacioneve të mbledhjes algjebrike dhe shumëzimit të një ndryshoreje me një koeficient konstant. Nëse shprehja për modelin e operatorit përmban operacione jolineare, atëherë modeli është jolineare, ndryshe modeli eshte lineare.
Modele me parametra të grumbulluar dhe të shpërndarë. Duhet të theksohet se, duke marrë parasysh terminologjinë e paraqitur, do të ishte më e saktë të përdoret koncepti i "koordinatës së gjendjes" në emër të modelit në vend të fjalës "parametra". Sidoqoftë, ky është një emër i vendosur që shpesh gjendet në të gjitha punimet për modelimin e proceseve teknologjike.
Nëse variablat kryesore të procesit ndryshojnë si në kohë ashtu edhe në hapësirë (ose vetëm në hapësirë), atëherë modelet që përshkruajnë procese të tilla quhen modele me të shpërndara parametrave. Në këtë rast futet hapësira gjeometrike z = (z 1, z 2, z 3) dhe ekuacionet kanë formën:
y (z) = φ, p (z) = ψ.
Përshkrimi i tyre matematikor zakonisht përfshin ekuacione diferenciale të pjesshme, ose ekuacione diferenciale të zakonshme në rastin e proceseve stacionare me një koordinatë hapësinore.
Nëse është e mundur të neglizhohet jo uniformiteti hapësinor i vlerave të koordinatave të gjendjeve të objektit, d.m.th. gradient, atëherë modeli përkatës është një model me e fokusuar parametrave. Për ta, masa dhe energjia janë, si të thuash, të përqendruara në një pikë.
Tredimensionaliteti i hapësirës nuk kërkohet gjithmonë. Për shembull, modeli i një spirale me një lëng pune të ndezur dhe një guaskë me mure të hollë zakonisht rrjedh nga njëdimensionaliteti i objektit - merret parasysh vetëm gjatësia e spirales. Në të njëjtën kohë, procesi i transferimit të nxehtësisë në një vëllim të kufizuar të lëngut të punës përmes një muri të trashë mund të përshkruhet nga një model njëdimensional që merr parasysh vetëm trashësinë e guaskës, etj. Për objekte specifike, forma e ekuacioneve përkatëse kërkon justifikim.
Modelet janë të vazhdueshme dhe diskrete në kohë. Modelet e vazhdueshme pasqyrojnë proceset e vazhdueshme në sisteme. Modele që përshkruajnë gjendjen e objekteve në lidhje me kohën si një argument i vazhdueshëm - e vazhdueshme(nga koha):
y (t) = φ, p (t) = ψ.
Modele diskrete shërbejnë për të përshkruar procese që supozohen të jenë diskrete. Një model diskret nuk mund të parashikojë sjelljen e një objekti në intervalin midis mostrave kohore diskrete. Nëse futim kuantizimin e kohës me hap ∆t, atëherë merret parasysh një shkallë diskrete, ku i = 0,1,2… - merr kuptimin e kohës relative. Dhe një model diskret:
y (i) = φ; p (i) = ψ.
Me zgjedhjen e duhur të hapit ∆t, mund të pritet rezultati nga modeli diskret me një saktësi të paracaktuar. Kur Δt ndryshon, duhet të rillogariten edhe koeficientët e ekuacionit të diferencës.
Modele diskrete-të vazhdueshme përdoren për rastet kur duan të vënë në pah praninë e proceseve diskrete dhe të vazhdueshme.
Kërkesat për modelet matematikore: saktësia - një veti që pasqyron shkallën e rastësisë së vlerave të parametrave të objektit të parashikuara duke përdorur modelin me vlerat e tyre të vërteta; kosto-efektiviteti i kohës së kompjuterit; universaliteti - zbatueshmëria për analizën e një grupi objektesh të të njëjtit lloj.
Prezantimi
model dinamik matematik
Një model dinamik është një ndërtim (model) teorik që përshkruan ndryshimin (dinamikën) e gjendjeve të një objekti. Një model dinamik mund të përfshijë një përshkrim të fazave ose fazave, ose një diagram të gjendjes së nënsistemeve. Shpesh ka një shprehje matematikore dhe përdoret kryesisht në shkencat sociale (për shembull, në sociologji) që kanë të bëjnë me sistemet dinamike, por paradigma moderne e shkencës kontribuon në faktin që ky model është gjithashtu i përhapur në të gjitha shkencat pa përjashtim, përfshirë. në natyrë dhe teknike.
Modelet ekonomike dhe matematikore përshkruajnë ekonominë në zhvillim (në krahasim me ato statike, të cilat karakterizojnë gjendjen e saj në një moment të caktuar). Ekzistojnë dy qasje për ndërtimin e një modeli dinamik:
optimizimi (përzgjedhja e trajektores optimale të zhvillimit ekonomik nga shumë të mundshme)
përshkrues, në qendër të së cilës është koncepti i një trajektoreje ekuilibri (d.m.th., rritje e ekuilibruar, e ekuilibruar).
Modele dinamike ndërsektoriale, modele ekonomike dhe matematikore të llogaritjeve të planifikuara, të cilat bëjnë të mundur përcaktimin e vëllimeve të prodhimit, investimeve kapitale (si dhe vënien në punë të aktiveve fikse dhe kapaciteteve prodhuese) sipas viteve të periudhës së ardhshme për degët e materialit. prodhimit në ndërlidhjen e tyre. Në modelet dinamike ndërsektoriale për çdo vit të periudhës së planifikimit, vëllimet dhe struktura e produktit final "neto" (konsumi personal dhe publik, akumulimi i kapitalit qarkullues dhe rezervave shtetërore, bilanci eksport-import, investimet kapitale që nuk shoqërohen me rritje të prodhimi në periudhën në shqyrtim) përcaktohen, si dhe vëllimi dhe struktura e aktiveve fikse në fillim të periudhës. Në modelet dinamike ndërsektoriale, përveç koeficientit të kostove direkte të qenësishme në modelet statike ndërsektoriale, futen koeficientë të veçantë që karakterizojnë strukturën materiale të investimeve kapitale.
Sipas llojit të aparatit matematikor të përdorur, modelet dinamike ndërsektoriale ndahen në ekuilibër dhe optimal. Modelet ndërindustriale dinamike të bilancit mund të paraqiten si në formën e një sistemi ekuacionesh lineare, ashtu edhe në formën e ekuacioneve diferenciale lineare ose të diferencës. Modelet ndërsektoriale dinamike të bilancit dallohen gjithashtu nga vonesa (hendeku kohor midis fillimit të ndërtimit dhe vënies në punë të objektit të ndërtuar). Modelet ndërsektoriale dinamike optimale karakterizohen nga prania e një kriteri të caktuar optimaliteti, zëvendësimi i një sistemi ekuacionesh lineare me një sistem pabarazish dhe futja e kufizimeve të veçanta për punën dhe burimet natyrore.
Objektet dinamike fizike dhe virtuale ekzistojnë objektivisht. Kjo do të thotë se këto objekte funksionojnë në përputhje me ligje të caktuara, pavarësisht nëse një person i njeh dhe i kupton ato apo jo. Për shembull, për të drejtuar një makinë nuk është aspak e nevojshme të dini se si funksionon motori, çfarë po ndodh në të dhe pse kjo bën që makina të lëvizë nëse shtypni gazin ose rrotulloni timonin. Por nëse një person nuk ka ndërmend të drejtojë një makinë, por të hartojë një sistem kontrolli për të, atëherë njohja dhe kuptimi i dinamikës së proceseve është tashmë absolutisht i nevojshëm.
Objektet dinamike dhe modelet e tyre lineare janë studiuar dhe analizuar nga afër për më shumë se dy shekuj nga shumë shkencëtarë dhe inxhinierë. Rezultatet e këtyre studimeve dhe analizave janë paraqitur më poshtë në mënyrë cilësore në formë të përqendruar, siç perceptohet nga autori. Para së gjithash, kjo i referohet modeleve lineare të sistemeve dinamike, klasifikimit të tyre, përshkrimit të vetive të tyre dhe fushës së konsistencës.
Përveç kësaj, disa veti të sistemeve jolineare janë diskutuar më poshtë. Fjalët, termat "dinamikë", "dinamikë" kanë hyrë fort dhe gjerësisht në fusha të ndryshme të njohurive njerëzore, përdoren në jetën e përditshme si një epitet emocional i lëvizjes energjike në kuptimin e gjerë të fjalës, një sinonim i ndryshimeve të shpejta. Në veprën e propozuar, termi "dinamik" do të përdoret në kuptimin e tij të ngushtë dhe të drejtpërdrejtë, që do të thotë "forcë", d.m.th. një objekt dinamik është një objekt që i nënshtrohet ndikimeve të jashtme që çojnë në lëvizje në kuptimin më të gjerë të fjalës.
1. Modelet dinamike: koncepti, llojet
Një objekt dinamik është një trup fizik, pajisje teknike ose proces që ka hyrje, pika të aplikimit të mundshëm të ndikimeve të jashtme dhe perceptimin e këtyre ndikimeve, dhe daljet, pikat, vlerat e sasive fizike në të cilat karakterizojnë gjendjen e objektit. Një objekt është në gjendje t'i përgjigjet ndikimeve të jashtme duke ndryshuar gjendjen e tij të brendshme dhe vlerat e daljes që karakterizojnë gjendjen e tij. Ndikimi në objekt dhe reagimi i tij në përgjithësi ndryshojnë me kalimin e kohës, ato janë të vëzhgueshme, d.m.th. mund të matet me instrumente të përshtatshme. Objekti ka një strukturë të brendshme të përbërë nga elementë dinamikë që ndërveprojnë.
Nëse lexoni dhe meditoni përkufizimin e lirshëm të mësipërm, mund të shihni se një objekt i veçantë dinamik në formën e tij "të pastër", si një gjë në vetvete, nuk ekziston: për të përshkruar objektin, modeli duhet të përmbajë gjithashtu 4 burime ndikimesh ( gjeneratorë):
mjedisi dhe mekanizmi i ushqyerjes së këtyre ndikimeve në të
objekti duhet të ketë një shtrirje në hapësira
funksionojnë në kohë
duhet të ketë pajisje matëse në model.
Një ndikim në një objekt mund të jetë një sasi fizike: forca, temperatura, presioni, tensioni elektrik dhe sasi të tjera fizike ose një kombinim i disa sasive, dhe reagimi, përgjigja e një objekti ndaj një goditjeje, mund të jetë lëvizje në hapësirë, për shembull, zhvendosja ose shpejtësia, ndryshimi i temperaturës, rrymës etj.
Për modelet lineare të objekteve dinamike vlen parimi i mbivendosjes (mbivendosjes), d.m.th. reagimi ndaj një grupi ndikimesh është i barabartë me shumën e reagimeve ndaj secilit prej tyre, dhe një ndryshim në shkallë të gjerë në ndikim korrespondon me një ndryshim proporcional në reagimin ndaj tij. Një ndikim mund të aplikohet në disa objekte ose disa elementë të një objekti.
Koncepti i një objekti dinamik përmban dhe shpreh marrëdhënien shkakësore midis ndikimit në të dhe përgjigjes së tij. Për shembull, midis një force të aplikuar në një trup masiv dhe pozicionit dhe lëvizjes së tij, midis një tensioni elektrik të aplikuar në një element dhe një rryme që rrjedh në të.
Në rastin e përgjithshëm, objektet dinamike janë jolineare, duke përfshirë ato mund të kenë diskrete, për shembull, ata mund të ndryshojnë shpejt strukturën kur veprimi arrin një nivel të caktuar. Por zakonisht, në shumicën e kohës së funksionimit, objektet dinamike janë të vazhdueshme në kohë dhe në sinjale të vogla janë lineare. Prandaj, më poshtë vëmendja kryesore do t'i kushtohet objekteve dinamike të vazhdueshme lineare.
Shembull i vazhdimësisë: drejtimi i makinës në rrugë -një objekt që funksionon vazhdimisht në kohë, pozicioni i tij varet vazhdimisht nga koha. Shumicën e kohës, një makinë mund të shihet si një objekt linear, një objekt që vepron në një mënyrë lineare. Dhe vetëm në rast aksidentesh, përplasjesh, kur, për shembull, një makinë shkatërrohet, kërkohet që të përshkruhet si një objekt jolinear.
Lineariteti dhe vazhdimësia në kohë e vlerës së daljes së një objekti është thjesht një rast i përshtatshëm i veçantë, por i rëndësishëm, i cili bën të mundur që thjesht të merret në konsideratë një numër i konsiderueshëm i vetive të një objekti dinamik.
Nga ana tjetër, nëse një objekt karakterizohet nga procese që ndodhin në shkallë të ndryshme kohore, atëherë në shumë raste është e lejueshme dhe e dobishme të zëvendësohen proceset më të shpejta me ndryshimet e tyre diskrete kohore.
Kjo punë i kushtohet, para së gjithash, modeleve lineare të objekteve dinamike nën ndikime deterministe. Veprime të buta përcaktuese të një lloji arbitrar mund të krijohen nga një veprim shtesë i veçantë, relativisht i rrallë në derivatet më të ulët të veprimit me delta të dozuar. -funksione. Modele të tilla janë në përputhje me ndikime relativisht të vogla për një klasë shumë të gjerë objektesh reale. Për shembull, kështu formohen sinjalet e kontrollit në lojërat kompjuterike që simulojnë kontrollin e një makine ose një aeroplan nga tastiera. Ndikimet aksidentale janë ende jashtë fushës së shqyrtimit.
Konsistenca e një modeli linear të një objekti dinamik përcaktohet, në veçanti, nga fakti se vlera e tij e daljes është mjaft e qetë, d.m.th. nëse ai dhe disa prej derivateve të tij më të ulëta kohore janë të vazhdueshme. Fakti është se vlerat e prodhimit të objekteve reale ndryshojnë mjaft mirë me kalimin e kohës. Për shembull, një aeroplan nuk mund të lëvizë menjëherë nga një pikë e hapësirës në tjetrën. Për më tepër, ai, si çdo trup masiv, nuk mund ta ndryshojë shpejtësinë e tij papritur; kjo do të kërkonte fuqi të pafundme. Por nxitimi i një aeroplani ose makine mund të ndryshojë papritur.
Nocioni i një objekti dinamik nuk përcakton aspak në mënyrë gjithëpërfshirëse një objekt fizik. Për shembull, përshkrimi i një makine si një objekt dinamik ju lejon t'u përgjigjeni pyetjeve, sa shpejt përshpejtohet dhe ngadalësohet, sa pa probleme lëviz në rrugë të pabarabarta dhe gunga, çfarë ndikimesh do të përjetojnë shoferi dhe pasagjerët e makinës kur ngasin në rrugë. , në cilin mal mund të ngjitet etj. P. Por në një model të tillë nuk ka rëndësi se çfarë ngjyre ka makina, çmimi i saj etj nuk është i rëndësishëm, për aq sa nuk ndikojnë në përshpejtimin e makinës. Modeli duhet të pasqyrojë vetitë kryesore të objektit të modeluar nga pikëpamja e ndonjë kriteri ose grupi kriteresh dhe të neglizhojë vetitë e tij dytësore. Përndryshe, do të jetë tepër komplekse, gjë që do të komplikojë analizën e vetive me interes për studiuesin.
Nga ana tjetër, nëse studiuesi është i interesuar pikërisht për ndryshimin e ngjyrës së makinës me kalimin e kohës, të shkaktuar nga faktorë të ndryshëm, për shembull, rrezet e diellit ose plakja, atëherë për këtë rast mund të hartohet dhe zgjidhet ekuacioni diferencial përkatës.
Objektet reale, si dhe elementët e tyre, të cilët mund të konsiderohen edhe si objekte dinamike, jo vetëm që perceptojnë ndikime nga një burim i caktuar, por edhe vetë ndikojnë në këtë burim, e kundërshtojnë atë. Vlera e daljes së objektit të kontrolluar në shumë raste është hyrja për një objekt tjetër dinamik të mëvonshëm, i cili, nga ana tjetër, mund të ndikojë gjithashtu në mënyrën e funksionimit të objektit. Se. lidhjet e një objekti dinamik me botën e jashtme, në raport me të, janë dydrejtimshe.
Shpesh, kur zgjidhen shumë probleme, sjellja e një objekti dinamik merret parasysh vetëm në kohë dhe karakteristikat e tij hapësinore, në rastet kur ato nuk janë drejtpërdrejt me interes për studiuesin, nuk merren parasysh dhe nuk merren parasysh, me përjashtim. të një konsiderate të thjeshtuar të vonesës së sinjalit, e cila mund të jetë për shkak të kohës së përhapjes së ndikimit në hapësirë nga burimi në marrës.
Objektet dinamike përshkruhen me ekuacione diferenciale (një sistem ekuacionesh diferenciale). Në shumë raste praktikisht të rëndësishme, ky është një ekuacion diferencial linear, i zakonshëm (ODE) ose një sistem ODE. Shumëllojshmëria e llojeve të objekteve dinamike përcakton rëndësinë e lartë të ekuacioneve diferenciale si një aparat matematikor universal për përshkrimin e tyre, gjë që bën të mundur kryerjen e hulumtimit (analizës) teorike të këtyre objekteve dhe, mbi bazën e një analize të tillë, ndërtimin e modeleve. dhe të ndërtojmë sisteme, pajisje dhe pajisje të dobishme për njerëzit, për të shpjeguar strukturën e botës përreth nesh, sipas të paktën në shkallën e makrokozmosit (jo mikro- dhe jo mega-).
Modeli i një objekti dinamik është konsistent nëse është adekuat, korrespondon me një objekt real dinamik. Kjo korrespondencë është e kufizuar në një zonë të caktuar hapësinore-kohore dhe një gamë ndikimesh.
Një model i një objekti dinamik është i realizueshëm nëse është e mundur të ndërtohet një objekt real, sjellja e të cilit nën ndikimin e ndikimeve në një fushë të caktuar hapësirë-kohore dhe për një klasë dhe një gamë të caktuar veprimesh hyrëse korrespondon me sjelljen e model.
Gjerësia e klasave, shumëllojshmëria e strukturave të objekteve dinamike mund të çojë në supozimin se të gjitha së bashku kanë një grup të panumërt të vetive. Sidoqoftë, një përpjekje për të kuptuar dhe kuptuar këto veti dhe parimet e funksionimit të objekteve dinamike, në të gjithë diversitetin e tyre, nuk është aspak aq e pashpresë.
Fakti është se nëse objektet dinamike përshkruhen në mënyrë adekuate nga ekuacionet diferenciale, dhe pikërisht ky është rasti, atëherë grupi i vetive që karakterizojnë një objekt dinamik të çdo lloji përcaktohet nga grupi i vetive që karakterizojnë ekuacionin e tij diferencial. Mund të argumentohet se, të paktën për objektet lineare, ekziston një numër mjaft i kufizuar dhe relativisht i vogël i vetive të tilla themelore, dhe për këtë arsye grupi i vetive themelore të objekteve dinamike është gjithashtu i kufizuar. Bazuar në këto veti dhe duke kombinuar elementët që i zotërojnë ato, ju mund të ndërtoni objekte dinamike me një shumëllojshmëri të gjerë karakteristikash.
Pra, vetitë kryesore të objekteve dinamike rrjedhin teorikisht nga ekuacionet e tyre diferenciale dhe lidhen me sjelljen e objekteve reale përkatëse.
Objekti dinamik -është një objekt që percepton ndikimet e jashtme që ndryshojnë në kohë dhe reagon ndaj tyre duke ndryshuar vlerën e daljes. Objekti ka një strukturë të brendshme të përbërë nga elementë dinamikë që ndërveprojnë. Hierarkia e objekteve kufizohet nga poshtë nga modelet më të thjeshta dhe bazohet në vetitë e tyre.
Ndikimi në objekt, si dhe reagimi i tij, janë sasi fizike, të matshme, mund të jetë gjithashtu një grup madhësish fizike, të përshkruara matematikisht nga vektorët.
Kur përshkruhen objekte dinamike duke përdorur ekuacione diferenciale, supozohet në mënyrë implicite se çdo element i një objekti dinamik merr dhe konsumon aq energji (fuqi të tillë) sa i nevojitet për funksionimin normal në përputhje me qëllimin e tij në përgjigje të ndikimeve hyrëse. Objekti mund të marrë një pjesë të kësaj energjie nga veprimi i hyrjes dhe kjo përshkruhet nga ekuacioni diferencial në mënyrë eksplicite, pjesa tjetër mund të vijë nga burime të jashtme dhe të mos shfaqet në ekuacionin diferencial. Kjo qasje thjeshton shumë analizën e modelit pa shtrembëruar vetitë e elementeve dhe të gjithë objektit. Nëse është e nevojshme, procesi i shkëmbimit të energjisë me mjedisin e jashtëm mund të përshkruhet në detaje në një formë të qartë, dhe këto do të jenë gjithashtu ekuacione diferenciale dhe algjebrike.
Në disa raste të veçanta, burimi i gjithë energjisë (fuqisë) për sinjalin dalës të objektit është veprimi i hyrjes: një levë, nxitimi i një trupi masiv me forcë, një qark elektrik pasiv, etj.
Në rastin e përgjithshëm, ndikimi mund të konsiderohet si kontrolli i rrjedhës së energjisë për të marrë fuqinë e kërkuar të sinjalit të daljes: një përforcues i një sinjali sinusoidal, thjesht një përforcues ideal, etj.
Objektet dinamike, si elementët e tyre, të cilët gjithashtu mund të konsiderohen si objekte dinamike, jo vetëm që e perceptojnë ndikimin nga burimi i tij, por edhe veprojnë në vetë këtë burim: për shembull, në mekanikën klasike kjo shprehet me parimin e formuluar në ligjin e tretë të Njutonit. : veprimi është i barabartë me reaksionin, në inxhinierinë elektrike, voltazhi i burimit është rezultat i ekuilibrit dinamik midis burimit dhe ngarkesës. Se. lidhjet e një objekti dinamik me botën e jashtme, në raport me të, janë dydrejtimshe.
Në thelb, të gjithë elementët e një objekti dinamik janë dydrejtues, siç është edhe vetë objekti në lidhje me objektet e jashtme. Kjo rrjedh nga përgjithësimi i ligjit të tretë të Njutonit, i formuluar prej tij për mekanikën: kundërforca e një trupi është e barabartë me forcën e veprimit mbi të nga një trup tjetër dhe është e drejtuar drejt tij, dhe në kimi është formuluar gjithashtu në formën të parimit të Le Chatelier. Duke përmbledhur, mund të themi: ndikimi i një elementi dinamik në një tjetër takohet me kundërshtime të një lloji. Për shembull, ngarkesa elektrike e një burimi të tensionit e kundërshton atë me rrymë, duke ndryshuar vlerën e tensionit në daljen e burimit. Në rastin e përgjithshëm, kundërveprimi i ngarkesës ndikon në mënyrën e funksionimit të burimit, dhe sjellja e tyre përcaktohet si rezultat, nëse është e mundur, nga një kalim në një ekuilibër dinamik.
Në shumë raste, fuqia e burimit të ndikimit është shumë më e lartë se fuqia e kërkuar hyrëse e marrësit, i cili është një objekt dinamik. Në këtë rast, objekti dinamik praktikisht nuk ndikon në mënyrën e funksionimit të burimit (gjeneratorit) dhe lidhja mund të konsiderohet si e njëanshme nga burimi në objekt. Një model i tillë i njëanshëm i një elementi, i bazuar në strukturimin racional fizik të një objekti, thjeshton shumë përshkrimin dhe analizën e sistemit. Në fakt, shumë objekte teknike, megjithëse larg nga të gjitha, janë ndërtuar pikërisht sipas këtij parimi, veçanërisht kur dizajnohen sisteme për zgjidhjen e problemeve të kontrollit. Në raste të tjera, për shembull, kur zgjidhet një problem kur kërkohet të merret efikasiteti maksimal i motorit, kundërshtimi nuk mund të neglizhohet.
Duke detajuar strukturën e një objekti dinamik, mund të arrihet tek objektet elementare, konvencionalisht jo të thjeshtuara. Objekte të tilla përshkruhen nga ekuacionet më të thjeshta algjebrike dhe diferenciale. Në fakt, elementë të tillë, nga ana tjetër, mund të kenë një strukturë komplekse, por është më e përshtatshme kur modeloni t'i perceptoni ato si një tërësi e vetme, vetitë e të cilave përcaktohen nga këto ekuacione relativisht të thjeshta që lidhin reagimin me ndikimin.
1.1 Modelet fizike
Ky është emri i një përshkrimi të zmadhuar ose të reduktuar të një objekti ose sistemi. Një karakteristikë dalluese e një modeli fizik është se, në një farë kuptimi, duket si një integritet i modeluar.
Shembulli më i famshëm i një modeli fizik është një kopje e një avioni në ndërtim, e bërë në respekt të plotë të përmasave, le të themi 1:50. Në një nga fazat e zhvillimit të një avioni të një dizajni të ri, bëhet e nevojshme të kontrollohen parametrat e tij bazë aerodinamikë. Për këtë qëllim, kopja e përgatitur fryhet në një tunel të posaçëm (tunel me erë), dhe leximet e marra më pas shqyrtohen me kujdes. Përfitimet e kësaj qasjeje janë të qarta. Kjo është arsyeja pse të gjithë prodhuesit kryesorë të avionëve përdorin modele fizike të këtij lloji në zhvillimin e çdo avioni të ri.
Shpesh, kopje më të vogla të ndërtesave shumëkatëshe vendosen në një tunel me erë, duke simuluar trëndafilin e erës karakteristike të zonës ku supozohet të ndërtohen. Ata gjithashtu përdorin modele fizike në ndërtimin e anijeve.
1.2 Modele matematikore
Ky është emri i modeleve që përdorin simbole dhe metoda matematikore për të përshkruar vetitë dhe karakteristikat e një objekti ose ngjarjeje. Nëse një problem mund të transferohet në gjuhën e formulave, atëherë ai thjeshtohet shumë. Qasja matematikore është gjithashtu e thjeshtë sepse i bindet rregullave të ngurta të përcaktuara mirë. ,të cilat nuk mund të anulohen me dekret ose ndryshe. Kompleksiteti i jetës sonë qëndron pikërisht në faktin se shumë gjëra që ndodhin në të janë shpesh të lira nga konvencionet. Matematika merret me një përshkrim të thjeshtuar të dukurive. Në thelb, çdo formulë (ose grup formulash) përfaqëson një fazë të caktuar në ndërtimin e një modeli matematikor. Përvoja ka treguar se është mjaft e lehtë të ndërtosh një model (të shkruash një ekuacion). Është e vështirë në këtë model dhe për rrjedhojë formë të thjeshtuar të arrish të përcjellësh thelbin e fenomenit në studim.
Çdo element funksional i një objekti real ka strukturën e vet, ai, si i gjithë objekti, mund të ndahet mendërisht ose fizikisht në elementë ndërveprues. Një objekt dinamik elementar është një element i zgjedhur në mënyrë racionale i një objekti real, i konsideruar konvencionalisht i pandashëm, që zotëron, në tërësi, disa veti themelore, për shembull, inercinë dhe me një shkallë të mjaftueshme saktësie të përshkruar nga ekuacioni më i thjeshtë algjebrik ose diferencial.
Vetia më e rëndësishme, themelore e objekteve dinamike është inercia e tyre. Fizikisht, inercia shprehet në faktin se objekti nuk reagon menjëherë, por gradualisht reagon ndaj ndikimeve të jashtme, dhe në mungesë të ndikimeve të jashtme kërkon të ruajë gjendjen dhe sjelljen e tij. Matematikisht, inercia shprehet në faktin se vlera e daljes së një objekti real është e vazhdueshme në kohë. Për më tepër, disa derivate më të ulët të sasisë së prodhimit duhet të jenë gjithashtu të vazhdueshme; ato nuk mund të ndryshojnë befas nën ndikimet e kufizuara në fuqi, duke përfshirë ato që ndryshojnë papritur, hap pas hapi në kohë.
Objektet më të thjeshta dinamike inerciale -kinedin .Këto janë objekte elementare, të izoluara mendërisht ose fizikisht nga struktura e një objekti kompleks dhe me një shkallë të mjaftueshme saktësie që u binden ekuacioneve më të thjeshta diferenciale të rendit të ndryshëm. Modele të tilla janë të qëndrueshme, të paktën në disa fusha hapësirë-kohë dhe në një gamë të kufizuar të madhësive të sinjalit.
Përshkrimi matematik i inercisë së një objekti dinamik, një objekti që korrespondon me një ekuacion të caktuar diferencial, është se ndikimi ndikon në reagimin e objektit në mënyrë indirekte, ai ndikon drejtpërdrejt në një ose një derivat tjetër të reagimit në lidhje me kohën, ose disa prej tyre. ato menjëherë. Kjo çon në faktin se reagimi manifestohet vetëm me kalimin e kohës.
Në të vërtetë, një përshkrim i tillë korrespondon me sjelljen e objekteve reale. Për shembull, me një furnizim të menjëhershëm të disave, relativisht të vogla, që nuk ndryshon pas aplikimit të një ndikimi në një objekt elementar të rendit të dytë, për shembull, një forcë në një masë inerciale, objekti mbetet për disa kohë, megjithëse i vogël. në të njëjtën gjendje si para furnizimit, ka të njëjtën shpejtësi, si më parë.
Por derivati i dytë, d.m.th. nxitimi, kërcen befas, në raport me madhësinë e forcës së aplikuar. Dhe, për rrjedhojë, vetëm me kalimin e kohës, dhe jo menjëherë, prania e derivatit të dytë manifestohet në ndryshimin e shpejtësisë, dhe për rrjedhojë, në atë të mëvonshme dhe në pozicionin e trupit në hapësirë.
1.3 Modele analoge
Ky është emri i një modeli që paraqet objektin nën hetim si një analog që sillet si një objekt real, por nuk duket i tillë.
Këtu janë dy shembuj mjaft tipikë.
Shembull 1. Një grafik që ilustron marrëdhënien ndërmjet përpjekjes dhe rezultateve është një model analog. Grafiku në Fig. 1.1 tregon se si sasia e kohës që merr një student për t'u përgatitur për provimin ndikon në rezultatin.
Oriz. 1.1. Grafiku që tregon lidhjen midis përpjekjes dhe rezultateve
Shembulli 2. Supozoni se ju duhet të gjeni mënyrën më ekonomike për dërgesat e rregullta të njohura të mallrave në tre qytete, duke ndërtuar vetëm një magazinë për këtë. Kërkesa kryesore: vendi për magazinë duhet të jetë i tillë që kostot totale të transportit të jenë më të ulëtat (konsiderohet se kostoja e çdo transporti është e barabartë me produktin e distancës nga magazina në destinacion me peshën totale të mallrat e transportuara dhe matet në ton-kilometra).
Ne do të ngjitim hartën e zonës në një fletë kompensatë. Më pas, në vendndodhjen e secilit qytet, ne presim vrima, kalojmë nëpër to fijet dhe u vendosim pesha në përpjesëtim me kërkesat e mallrave në këtë qytet (Fig. 1.2). Lidhni skajet e lira të fijeve në një nyjë dhe lironi. Nën ndikimin e gravitetit, sistemi do të vijë në një gjendje ekuilibri. Vendi në fletën e kompensatës, të cilin do ta zë nyja dhe do të korrespondojë me vendndodhjen optimale të magazinës (Fig. 1.3).
Komentoni. Për hir të thjeshtësisë, ne nuk marrim parasysh koston e rrugëve që do të duhet të rindërtohen.
Oriz. 1.2. Harta e terrenit në një fletë kompensatë
Oriz. 1.3. Vendndodhja optimale e magazinës
2. Ndërtimi i modeleve matematikore të objekteve diskrete
2.1 Modeli i popullsisë
Është interesante se ndërtimi i një modeli matematik shpesh nuk është aspak i vështirë. Shpesh, supozimet më të thjeshta dhe më lehtësisht të shpjeguara përdoren për këtë. Le të përshkruajmë se si mund të bëhet kjo duke përdorur një shembull pothuajse real. Le të imagjinojmë foton e mëposhtme. Mesi i shekullit të 18-të Evropa Qendrore ,një famulli në krahina, një kishë, famullitarë - banorë të fshatrave përreth, famullitari vëren se tempulli është bërë i ngushtë për shërbimet hyjnore: numri i famullitarëve është rritur. Prifti reflekton: nëse numri i famullitarëve vazhdon të rritet në të ardhmen, atëherë do të duhet të ndërtohet një kishë e re, e cila do të kërkojë fonde të konsiderueshme.
Prifti e kupton se koha gjatë së cilës duhet të ndërtohet tempulli dhe madhësia e tij varet kryesisht nga mënyra se si do të ndryshojë numri i banorëve përreth. Dhe ai vendos të përpiqet dhe ta llogarisë atë. Le të përpiqemi dhe të përcaktojmë rrjedhën e mundshme të arsyetimit të tij, duke përdorur emërtime dhe gjuhë moderne.
Le të shënojmë me x numrin e famullitarëve deri në fund të vitit të nëntë. Numri i tyre në një vit, d.m.th. në fund të vitit (n + 1) është e natyrshme të shënohet me x n + 1 .Pastaj ndryshimi në numër për këtë vit mund të përshkruhet nga diferenca
Ndodh për dy arsye natyrore - njerëzit lindin dhe vdesin (për thjeshtësi, do të supozojmë se virusi i migracionit nuk e goditi këtë zonë në atë kohë). Nuk është e vështirë të përcaktohet numri i lindjeve dhe numri i vdekjeve në vit duke përdorur librat e famullisë. Duke numëruar numrin e lindjeve dhe vdekjeve në vite të ndryshme, prifti vendos të krahasojë numrat e fituar dhe d1, ..., dk me numrin e përgjithshëm të famullitarëve për këto vite x1, .., xk dhe vëren se raportet x1, ..., xk janë nga vitet ndryshojnë shumë pak. E njëjta gjë vlen edhe për marrëdhëniet.
Për thjeshtësi të llogaritjeve, ne do t'i konsiderojmë këto marrëdhënie konstante dhe do t'i shënojmë me? dhe? përkatësisht. Kështu, numri i lindjeve në vitin e nëntë rezulton i barabartë, numri i vdekjeve është i barabartë me?Xn dhe ndryshimi i numrit për arsye natyrore është +?Xn -?Xn.
Si rezultat, arrijmë në relacionin?Xn =?Xn -?Xn ose më në detaje:
xn + 1 = xn + xn-? xn
Vendos? = 1 +? -?. Atëherë formula me interes për ne do të marrë formën
Modeli është ndërtuar.
Tani le të përpiqemi të kuptojmë se çfarë ndodhi, domethënë të analizojmë modelin e ndërtuar. Tre raste janë të mundshme:
1)?>1(?=?-?>0 -më shumë lindin sesa vdesin) dhe numri i famullitarëve po rritet nga viti në vit,
2)?=1 (?=?-?=0 -aq sa lindin vdesin) dhe numri i famullitarëve mbetet i pandryshuar nga viti në vit,
3)?<0 (?=?-?<0 -më shumë vdes se sa lindin) dhe numri i famullitarëve është në rënie të vazhdueshme.
Meqenëse motivimi për ndërtimin e modelit ishte dëshira për të ditur se sa shpejt do të rritet numri i famullitarëve, le të fillojmë me rastin 1.
Rasti 1. Pra, numri i famullitarëve po rritet. Por si, sa shpejt? Këtu është koha për të kujtuar shkurtimisht historinë paralajmëruese (shëmbëlltyrën e trishtuar) për shpikësin e panjohur të shahut. Ata thonë se loja u pëlqye shumë nga maharaja e pasur dhe e plotfuqishme, e cila vendosi menjëherë të shpërblente shpikësi dhe ofroi bujarisht të zgjidhte shpërblimin për veten e tij. Ai, siç thonë ata, pasi fshiu copat nga tabela e shahut, vendosi një kokërr gruri në qelizën e parë, në të 2-tën -dy kokrra, në datën 3 -katër kokrra, në datën 4 -tetë kokrra (Fig. 2.1) dhe i sugjeroi Maharaxhës që t'u jepte urdhër shërbëtorëve që të shpërndanin kokrrat e grurit në qelizat e tjera të tabelës së shahut sipas ligjit të propozuar, pra kështu: 1,2,4,8 ,16, ..., 263.
Oriz. 2.1. Problemi i tabelës së shahut dhe shpërblimi maharajah
Maharaj pothuajse e ofendoi këtë kërkesë të thjeshtë dhe ai pranoi. do të duhet shumë kohë për ta përfunduar atë. Por shpikësi këmbënguli. urdhëroi Maharaja. Dhe shërbëtorët nxituan menjëherë për të kryer këtë "dritë" ushtrim. Eshtë e panevojshme të thuhet se ata nuk arritën të zbatonin urdhrin e Maharaja. Fakti është se numri i përgjithshëm i kokrrave të grurit në tabelën e shahut duhet të ishte e barabartë me 2 64 - 1,e cila është shumë më e lartë se ajo që tani rritet në të gjithë botën në një vit. Le ta përfundojmë shëmbëlltyrën shumë shkurt: Maharaxha e gjeti veten në një pozicion të panjohur. -ai bëri publikisht një premtim dhe nuk mundi ta përmbushte. Megjithatë, fajtori u gjet menjëherë. Ndoshta kjo është arsyeja pse historia nuk e ka ruajtur emrin e shpikësit të shahut. Megjithatë, le të përpiqemi të përshkruajmë në një grafik se sa shpejt rritet numri i kokrrave në çdo qelizë tjetër, për qartësi më të madhe, duke lidhur pikat ngjitur (Fig. 2.2).
Oriz. 2.2-2.3. Ndryshimi eksponencial i popullsisë
Rregulli i propozuar nga shpikësi i shahut është X n + 1 = 2x n është një rast i veçantë i formulës (1) për ?= 2 dhe, si ai, përshkruan ligjin, pas të cilit marrim një sekuencë numrash që formojnë një progresion gjeometrik. Për çdo ?>1foto që ilustron ndryshimin e x n ,ka një formë të ngjashme - x n do të rritet në mënyrë eksponenciale. Në 1820 në Londër T.R. Malthus botoi veprën "Parimet e ekonomisë politike të konsideruara me qëllim zbatimin e tyre praktik" (në përkthim rusisht -"Përvoja në lidhje me ligjin e popullsisë ..." T. 1-2. SPb., 1868), në të cilën, në veçanti, thuhej se për shkak të karakteristikave biologjike të njerëzve, popullsia tenton të shumëzohet sipas ligjit të progresionit gjeometrik,
x n = 1 =?x n, ?>1,
ndërsa mjetet e jetesës mund të rriten vetëm sipas ligjit të progresionit aritmetik, y n + 1 = y n + d ,d> 0. Ky ndryshim në shkallën e ndryshimit të sasive lidhet drejtpërdrejt me problemet e mbijetesës së popullsisë (Fig. 2.3) ,nuk mund të qëndronte pa u vënë re dhe shkaktoi kritika mjaft të ashpra dhe polemika tejet të politizuara në qarqet përkatëse. Le të përpiqemi të nxjerrim nga vetë fakti i kritikës një përfundim të dobishëm për përshtatshmërinë e modelit të ndërtuar (1). Natyrisht, kur përpiqemi të thjeshtojmë përshkrimin e situatës, disa rrethana duhet të neglizhohen, duke i konsideruar ato të parëndësishme. Megjithatë, duket se nuk ka një pikëpamje të unifikuar se çfarë është thelbësore dhe çfarë jo. Për shembull, mund të mos i kushtoni vëmendje faktit që shiu ka filluar. Por duhet ta pranoni se është një gjë të vraposh njëqind metra në shiun që pikon dhe krejt tjetër -një orë ecje në këtë shi pa ombrellë. Ne vërejmë diçka të ngjashme këtu: kur llogaritet për 3-4 vjet përpara, formula (1) funksionon mjaft mirë, por parashikimi afatgjatë i bazuar në të rezulton i gabuar.
Një përfundim i rëndësishëm. Kur propozoni një model që ndërtoni ose zgjidhni, duhet patjetër të tregoni kufijtë brenda të cilëve mund të përdoret dhe të paralajmëroni se shkelja e këtyre kufijve mund të çojë (dhe me shumë gjasa do të çojë) në gabime serioze. Me pak fjalë, çdo model ka burimin e vet. Kur blejmë një bluzë apo këmishë, jemi mësuar me praninë e etiketave që tregojnë temperaturën maksimale të lejueshme të hekurosjes, llojet e lejuara të larjes, etj. Kjo, natyrisht, në asnjë mënyrë nuk do të thotë se ju ndalohet të merrni një hekur të nxehtë. për të ecur nëpër të një herë -tjetër në pëlhurë. Ju mund ta bëni atë. Por a dëshironi të vishni një bluzë apo këmishë pasi të keni hekurosur kështu? Rasti 2. Madhësia e popullsisë nuk ndryshon (Fig. 2.4). Rasti 3. Popullsia po shuhet (Fig. 2.5).
Oriz. 2.4. Grafiku i popullsisë me një popullsi konstante
Oriz. 2.5. Grafiku i popullsisë me numra në rënie
Me qëllim u ndalëm me shumë detaje në përshkrimin e modelit të popullsisë, së pari, sepse është një nga modelet e para të këtij lloji, dhe së dyti, për të treguar përmes shembullit të tij se cilat faza kryesore zgjidhet problemi i ndërtimit të një kalon modeli matematik.
Vërejtje 1. Shumë shpesh, kur përshkruhet ky model popullsie, bazohet në versionin e tij diferencial: x =?x (këtu x = x (t) -Madhësia e popullsisë në varësi të kohës, x " -derivati i kohës, ?-konstante).
Vërejtje 2. Për vlerat e mëdha të x, konkurrenca për mjetet e jetesës çon në uljen e ?,dhe ky model i ngurtë duhet të zëvendësohet me një model më të butë: x =?(x) x ,në të cilën koeficienti ?varet nga madhësia e popullsisë. Në rastin më të thjeshtë, kjo varësi përshkruhet si më poshtë:
? (x) = a-bx
ku a dhe b -janë numra konstante, dhe ekuacioni përkatës merr formën
x = sëpatë-bx 2
Dhe arrijmë në një model më kompleks, të ashtuquajtur logjistik, i cili tashmë përshkruan mjaft mirë dinamikën e popullsisë. Analiza e kurbës logjistike (Figura 2.6) është udhëzuese dhe mund të jetë interesante për lexuesin. Modeli i logjistikës përshkruan mirë edhe procese të tjera, siç është efektiviteti i reklamimit.
Oriz. 2.6. Kurba logjistike
2.2 Modeli grabitqar-pre
Më sipër foli për riprodhimin e papenguar të popullsisë. Megjithatë, në rrethana reale, një popullsi bashkëjeton me popullatat e tjera, duke qenë me to në një sërë marrëdhëniesh. Këtu hedhim një vështrim të shpejtë në çiftin antagonist të grabitqarëve -viktimë (mund të jetë një palë rrëqebulli -lepur dhe një palë mollëkuqe -afid) dhe përpiquni të gjurmoni se si numri i të dy palëve ndërvepruese mund të ndryshojë me kalimin e kohës. Popullata e gjahut mund të ekzistojë më vete, ndërsa popullata grabitqare mund të ekzistojë vetëm në kurriz të gjahut. Le të shënojmë madhësinë e popullsisë së gjahut përmes x, dhe madhësinë e popullsisë së grabitqarëve përmes y. Në mungesë të një grabitqari, gjahu riprodhohet sipas ekuacionit x = sëpatë ,a> 0 ,dhe grabitqari në mungesë të gjahut vdes sipas ligjit y =-y ,?>0.Grabitqari ha sa më shumë pre, aq më shumë është dhe aq më i shumtë është. Prandaj, në prani të një grabitqari, numri i gjahut ndryshon sipas ligjit
x = sëpatë- xy, ?>0
Sasia e gjahut të ngrënë kontribuon në riprodhimin e grabitqarit, i cili mund të shkruhet kështu: y =-y +xy , ?>0.
Kështu, marrim sistemin e ekuacioneve
x = sëpatë- xy
y = - y +xy
për më tepër, x? 0, y? 0.
Modeli i grabitqarit -sakrifica është ndërtuar.
Ashtu si në modelin e mëparshëm, me interes më të madh për ne është pika e ekuilibrit (x *, y *), ku x * dhe y * -zgjidhje jozero e sistemit të ekuacioneve
sëpatë-?xy =0
Y + xy =0
Ose x (a- y ) = 0, y (- ?+x )=0
Ky sistem përftohet nga kushti i qëndrueshmërisë së numrit të të dy popullatave x = 0, y =0
Koordinatat e pikave të ekuilibrit -është pika e prerjes së drejtëzave
a - y =0 (2)
?+? x =0 (3)
lehtë për t'u llogaritur:
, (fig. 2.7).
Oriz. 2.7. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh
Origjina e koordinatave O (0,0) qëndron në gjysmëplanin pozitiv në lidhje me vijën horizontale të dhënë nga ekuacioni (2), dhe në lidhje me vijën vertikale të dhënë nga ekuacioni (3), në gjysmëplanin negativ (Fig. 2.8). Kështu, tremujori i parë (dhe ne jemi të interesuar vetëm për të, pasi x> 0 dhe y> 0) ndahet në katër rajone, të cilat shënohen me lehtësi si më poshtë: 1 - (+, +), 2 - (-, + ), 3- ( -, -), 4 - (+, -).
Oriz. 2.8. Ndarja e domenit të zgjidhjes në kuadrante
Le të jetë gjendja fillestare Q (x0, y0) në rajonin IV. Atëherë pabarazitë? -?Y0> 0, -? +?X0<0? из которых следует, что скорости x" и у" в этой точке должны быть разных знаков, x>0, y<0 и, значит, величина х должна возрастать, а величина убывать.
Duke analizuar sjelljen e x dhe y në rajonet 2, 3 dhe 4 në mënyrë të ngjashme, përfundojmë me figurën e treguar në Fig. 2.9.
Oriz. 2.9. Ndryshimi i x dhe y sipas kuadranteve
Kështu, gjendja fillestare Q çon në luhatje periodike të numrit si të gjahut ashtu edhe të grabitqarit, kështu që pas njëfarë kohe sistemi kthehet përsëri në gjendjen Q (Fig. 2.10).
Oriz. 2.10. Luhatjet ciklike në numrin e grabitqarëve dhe gjahut
Siç tregojnë vëzhgimet, megjithë thjeshtësinë e tij, modeli i propozuar pasqyron në mënyrë cilësore saktë natyrën osciluese të bollëkut në sistemin grabitqar-pre (Fig. 2.11).
Oriz. 2.11. Lëkundjet e sistemeve Hare - Lynx dhe Aphids - Ladybug
Vëzhgime reale. Ndonjëherë është mjaft e rrezikshme të ndërhyjmë në veprimet e ligjeve të natyrës që ne nuk i kuptojmë. -përdorimi i insekticideve (përveç nëse ata pothuajse plotësisht i vrasin insektet) përfundimisht çon në një rritje të popullatës së atyre insekteve, numri i të cilave është nën kontrollin e insekteve të tjera grabitqare. Një afid që ka hyrë aksidentalisht në Amerikë ka rrezikuar të gjithë prodhimin e agrumeve. Së shpejti armiku i saj natyror u soll atje. -mollëkuqe, e cila menjëherë filloi biznesin dhe reduktoi shumë popullsinë e afideve. Për të përshpejtuar procesin e shkatërrimit, fermerët përdorën DDT, por si rezultat u rrit numri i afideve, të cilat, duke parë orizin. 2.11 ,nuk është e vështirë të parashikohet.
2.3 Modeli i mobilizimit
Termi mobilizim politik ose social nënkupton përfshirjen e njerëzve në një parti ose në mesin e mbështetësve të saj, në çdo lëvizje shoqërore, etj. Për faktin se niveli aktual i mobilizimit është i lidhur ngushtë me nivelin e tij të kaluar, dhe mobilizimi i ardhshëm varet mbi sukseset e fushatës propagandistike të sotme, është e qartë se kur ndërtohet një model i përshtatshëm, duhet të merret parasysh faktori kohë. Me fjalë të tjera, duhet të kuptoni se modeli i dëshiruar duhet të jetë dinamik.
Formulimi i problemit .Reflektoni logjikën e ndryshimeve në nivelin e mobilizimit në një rajon të caktuar midis dy pikave të afërta në kohë, të themi, për një muaj (për një vit, një javë, një ditë, etj.).
Ndërtimi i modelit .Le të marrim si njësi atë pjesë të popullsisë për të cilën ka kuptim mobilizimi i këtij lloji. Le të M n -pjesa e popullsisë së mobilizuar në kohën t n = n .Atëherë përqindja e popullsisë së pamobilizuar do të jetë e barabartë me 1-Mn (fig. 2.12).
Oriz. 2.12. Raporti i popullsisë së mobilizuar dhe të pamobilizuar
Niveli i mobilizimit mund të ndryshojë gjatë një muaji për dy arsye kryesore:
) një pjesë e popullsisë u tërhoq shtesë; është e qartë se sa më e madhe të jetë kjo vlerë, aq më e lartë është përqindja e popullsisë ende të pandryshuar në kohën t n = n ,dhe për këtë arsye mund të konsiderohet e barabartë me ?(1-M n ),(këtu ?>0- koeficienti i fushatës, konstant për një rajon të caktuar);
2) një pjesë e popullsisë është larguar (për arsye të ndryshme); është e qartë se kjo e zvogëlon sa më shumë përqindjen e popullsisë së sagituar, aq më i lartë ishte ky raport në kohën tn = n, dhe për këtë arsye humbjet që lidhen me daljen në pension mund të konsiderohen të barabarta (këtu?> 0 është një normë konstante e daljes në pension) . Le të theksojmë se parametrat numerikë? dhe? pasqyrojnë një ndryshim proporcional në interesat, pikëpamjet dhe synimet e pjesëve përkatëse të popullsisë së rajonit në shqyrtim. Kështu, ndryshimi në nivelin e mobilizimit për njësi të kohës është i barabartë me diferencën midis pjesës së popullsisë së tërhequr shtesë dhe pjesës së popullsisë së pensionuar të sagituar:
Ky është ekuacioni i procesit të mobilizimit. Modeli i mobilizimit është ndërtuar.
Raporti i fundit mund të konvertohet lehtësisht në formën e mëposhtme:
Komentoni. Një parametër ndihmës? nuk mund të jetë më shumë se 1 për faktin se parametrat fillestarë? dhe? pozitive. Ekuacioni që rezulton (4) quhet ekuacion i diferencës lineare me koeficientë konstante.
Ekuacione të këtij lloji mund të hasen në versione të ndryshme, në pjesën më të madhe, më të thjeshta.
Njëri prej tyre (për? = 1) përshkruan rregullin sipas të cilit secili anëtar i sekuencës, duke filluar nga i dyti, merret nga ai i mëparshmi duke mbledhur me një numër konstant: Mn + 1 =? + Mn, domethënë, një progresion aritmerik.
E dyta (për? = 0) përshkruan rregullin sipas të cilit secili anëtar i sekuencës, duke filluar nga i dyti, merret nga ai i mëparshmi duke shumëzuar me një numër konstant: Mn + 1 =? Mn, domethënë një gjeometrik progresion.
Supozoni se dihet pjesa fillestare e popullsisë së tërhequr M0. Atëherë ekuacioni (4) mund të zgjidhet lehtësisht (për definicion, supozojmë se). Ne kemi:
Aplikimi i modelit.
Le të përpiqemi të analizojmë aftësitë e këtij modeli (të ndërtuar mbi bazën e konsideratave më të thjeshta).
Le të fillojmë me rastin |? |<1.
Për ta bërë këtë, ne rishkruajmë raportin e fundit në formën, ku vlera e mëposhtme shënohet me M *:
Komentoni. I njëjti rezultat fitohet nëse në ekuacionin (4) vendosim Mn + 1 = Mn = M *.
Në të vërtetë, atëherë marrim M * =? +?M *, prej nga
Vlera e gjetur M * nuk varet nga vlera fillestare e M0, shprehet në termat e parametrave fillestarë? dhe? sipas formulës
dhe për këtë arsye i bindet kushtit 0 Për ta bërë formulën që rezulton më përshkruese, do të përdorim përsëri metodën e koordinatave. Në fig. 2.13 tregon gamën e vlerave të mundshme të parametrit ndihmës?, Në Fig. 2.14 - parametrat fillestarë? dhe?, dhe në Fig. 2.15-17 - grupet përkatëse të vlerave Mn për n, M0 dhe M * të ndryshëm (për lehtësinë e perceptimit, pikat ngjitur (n, Mn) dhe (n + l, Mn + 1) lidhen me segmente të vijës së drejtë) . Po ndodh?<1 проиллюстрирован на рис. 2.18. Sigurisht, këto shifra japin një pasqyrë të mirë. Por asgjë nuk na pengon të marrim vlera mjaft specifike të sasive M0,? dhe? dhe llogarisni në detaje situatën përkatëse. Oriz. 2.13 Fushat e vlerave të mundshme? 2.14 Parametrat fillestarë? dhe? Oriz. 2.15 - 2.16 Oriz. 2,17 2,18. Po ndodh?<1 Për shembull, për, ne kemi , ... (fig. 2.19) Oriz. 2.19. Mobilizimi kur, Është interesante të theksohet se modeli i ndërtuar, pavarësisht thjeshtësisë së qasjeve dhe arsyetimit, pasqyron mjaft mirë proceset reale. Kështu, modeli i propozuar i mobilizimit u përdor për të studiuar dinamikën e numrit të votave të dhëna për Partinë Demokratike në Vendin e Liqenit (SHBA) në vitet 1920-1968 dhe rezultoi se përshkruan mjaft mirë karakteristikat cilësore të procesit të mobilizimit. 2.4 Modeli i garës së armëve Merrni parasysh një situatë konflikti në të cilën dy vende mund të gjenden; për hir të qartësisë, le t'i quajmë vendet X dhe Y. Le të shënojmë me x = x (t) kostot e armatosjes së vendit X dhe me y = y (t) kostot e armatosjes së vendit Y në momentin kohor. Supozimi 1. Armatosja e vendit X, duke pasur frikë nga kërcënimi i mundshëm i luftës nga vendi Y, i cili, nga ana tjetër, duke ditur për rritjen e shpenzimeve për armatimin e vendit X, rrit edhe shpenzimet e tij për armatim. Secili vend e ndryshon ritmin e rritjes (ose reduktimit) të armatimeve në raport me nivelin e shpenzimeve të tjetrit. Në rastin më të thjeshtë, mund të përshkruhet si më poshtë: ku ?dhe ?-konstante pozitive. Sidoqoftë, ekuacionet e shkruara kanë një pengesë të dukshme - niveli i armëve nuk kufizohet me asgjë. Prandaj, anët e djathta të këtyre ekuacioneve kanë nevojë për korrigjim natyror. Supozimi 2. Sa më i lartë të jetë niveli aktual i shpenzimeve për mbrojtjen e një vendi, aq më i ngadalshëm është ritmi i rritjes së tij. Kjo ju lejon të bëni ndryshimet e mëposhtme në sistemin e mëparshëm: x = y -x y = x -y nëse ky vend nuk kërcënon ekzistencën e këtij. Le të shënojmë pretendimet përkatëse me a dhe b (a dhe b janë konstante pozitive). Nëse konstantet a dhe b janë negative, ato mund të quhen koeficientë të emrit të mirë. Bazuar në të tre supozimet, rezultati është sistemi i mëposhtëm i ekuacioneve: x =?y-?x + a y = x-?y + b Modeli i garës së armëve është ndërtuar. Zgjidhja e sistemit që rezulton është funksionet x (t) dhe y (t), të përcaktuara për kushtet fillestare të dhëna x 00 dhe y 0? 0 (gjendja fillestare e garës së armatimeve). Le të analizojmë sistemin që rezulton, duke supozuar se nivelet e shpenzimeve për armët e të dy vendeve nuk varen nga koha (ato janë të palëvizshme). Kjo do të thotë se x = 0, y = 0, ose ndryshe: Y- x + a = 0 X- y + b = 0 Le të shohim një shembull specifik. Shembull. Le të jetë sistemi i garës së armëve si më poshtë: x = 3y-5x + 15 y = 3x-4y + 12 Nëse ritmet e ndryshimit të sasive x dhe y janë të barabarta me zero, atëherë këto sasi janë domosdoshmërisht të lidhura me kushtet: Secili prej këtyre ekuacioneve përshkruan një vijë në rrafshin (x, y), dhe pika e kryqëzimit të këtyre drejtëzave qëndron në tremujorin e parë (Fig.2.20) Vija e drejtë e dhënë nga ekuacioni (a) ndan rrafshin dhe pika e fillimit O (0,0) shtrihet në gjysmëplanin pozitiv. Në rastin në shqyrtim, e njëjta gjë vlen edhe për drejtëzën e dhënë nga ekuacioni (b) (Fig. 2.21). Kështu, tremujori i parë (dhe ne jemi të interesuar vetëm për të, pasi gjithmonë x? 0 dhe y? 0) ndahet në katër rajone, të cilat janë përcaktuar me lehtësi si më poshtë: I - (+, +), II - (-, +), III- (-, -), IV - (+, -). Lëreni gjendjen fillestare (x 0, në 0) është në domenin I. Atëherë mbahen pabarazitë e mëposhtme: (a): 3y0 -5x 0+15>0,
(b): 3x 0-4 vjet 0+12>0,
nga ku del se shpejtësitë x "dhe y" në këtë pikë janë pozitive: x "> 0, y"> 0 dhe, për rrjedhojë, të dyja madhësitë (x dhe y) duhet të rriten (Fig. 2.22). Oriz. 2.22 .duke rritur x dhe y Kështu, me kalimin e kohës në rajonin I, zgjidhja vjen në një pikë ekuilibri. Në mënyrë të ngjashme, duke analizuar vendndodhjet e mundshme të gjendjes fillestare në rajonet II, III dhe IV, në fund konstatojmë se arrihet një gjendje e qëndrueshme (balanca e forcave) pavarësisht nga nivelet fillestare të armëve të vendeve X dhe Y. I vetmi ndryshim është se nëse kalimi në një gjendje të palëvizshme nga zona I shoqërohet me një rritje të njëkohshme të niveleve të armatimit, atëherë nga zona III. -zvogëlimi i njëkohshëm i tyre; për rajonet II dhe IV situata është e ndryshme -njëra palë ndërton armatimet e saj, ndërsa tjetra çarmatoset. Janë të mundshme edhe raste të tjera (fig. 2.23). Oriz. 2.23 ... raste të tjera Është interesante të theksohet se aftësitë e modelit të ndërtuar u testuan në një situatë reale. -gara e armatimeve para Luftës së Parë Botërore. Studimet kanë treguar se, pavarësisht nga thjeshtësia e tij, ky model përshkruan në mënyrë mjaft të besueshme gjendjen e punëve në Evropë në vitet 1909-1913. Për të përfunduar këtë pjesë, le të citojmë deklaratën e T. Saaty për këtë model: “Modeli duket të jetë shumë më bindës nëse, në vend të armëve, përdoret për të studiuar problemet e kërcënimit, pasi njerëzit reagojnë ndaj nivelit absolut të armiqësisë. ndaj tyre nga të tjerët dhe përjetojnë një ndjenjë të një shkalle proporcionale me nivelin e armiqësisë që ata vetë ndjejnë. konkluzioni Në ditët e sotme, shkenca i kushton gjithnjë e më shumë vëmendje çështjeve të organizimit dhe menaxhimit, kjo çon në nevojën për të analizuar proceset komplekse të qëllimshme nga pikëpamja e strukturës dhe organizimit të tyre. Nevojat e praktikës krijuan metoda të veçanta që mund të kombinohen lehtësisht nën emrin "kërkim operacional". Ky term i referohet përdorimit të metodave matematikore, sasiore për të justifikuar vendimet në të gjitha fushat e veprimtarisë së qëllimshme njerëzore. Qëllimi i kërkimit operacional është të identifikojë rrugën më të mirë të veprimit në zgjidhjen e një problemi të caktuar. Roli kryesor në këtë i është caktuar modelimit matematik. Për të ndërtuar një model matematikor, është e nevojshme të keni një kuptim të rreptë të qëllimit të funksionimit të sistemit në studim dhe të keni informacion për kufizimet që përcaktojnë gamën e vlerave të lejueshme. Qëllimi dhe kufizimet duhet të paraqiten në formën e funksioneve. Në modelet e kërkimit operacional, variablat nga të cilët varen kufizimet dhe funksioni objektiv mund të jenë diskrete (më shpesh numër i plotë) dhe i vazhdueshëm (i vazhdueshëm). Nga ana tjetër, kufizimet dhe funksioni objektiv ndahen në lineare dhe jolineare. Ekzistojnë metoda të ndryshme për zgjidhjen e këtyre modeleve, më të famshmet dhe më efektivet prej tyre janë metodat e programimit linear, kur funksioni objektiv dhe të gjitha kufizimet janë lineare. Metodat e programimit dinamik (të cilat u diskutuan në këtë projekt kursi), programimi me numra të plotë, programimi jolinear, optimizimi multiobjektiv dhe metodat e modeleve të rrjetit kanë për qëllim zgjidhjen e modeleve matematikore të llojeve të tjera. Pothuajse të gjitha metodat e kërkimit të operacioneve gjenerojnë algoritme llogaritëse që janë përsëritëse në natyrë. Kjo nënkupton që problemi zgjidhet në mënyrë sekuenciale (përsëritëse), kur në çdo hap (përsëritje) marrim një zgjidhje që gradualisht konvergon në zgjidhjen optimale. Natyra përsëritëse e algoritmeve zakonisht çon në llogaritje voluminoze të të njëjtit lloj. Kjo është arsyeja që këto algoritme janë zhvilluar kryesisht për implementim duke përdorur kompjuterë. Ndërtimi i modelit bazohet në një thjeshtësim të ndjeshëm të situatës së studiuar dhe ,prandaj, konkluzionet e nxjerra në bazë të tij duhet të trajtohen me mjaft kujdes. -modelja nuk mund të bëjë gjithçka. Në të njëjtën kohë, edhe një idealizim në dukje shumë i papërpunuar shpesh e lejon dikë të thellohet në thelbin e problemit. Duke u përpjekur të ndikojmë disi në parametrat e modelit (zgjedhni ato, kontrolloni ato), ne kemi mundësinë t'i nënshtrojmë fenomenin e studiuar në një analizë cilësore dhe të nxjerrim përfundime të përgjithshme. Programimi dinamik është një aparat matematikor që lejon planifikimin optimal të proceseve me shumë hapa të varur nga koha. Meqenëse proceset në problemet e programimit dinamik varen nga koha, për secilën fazë gjenden një sërë zgjidhjesh optimale, të cilat sigurojnë zhvillimin optimal të të gjithë procesit në tërësi. Duke përdorur planifikimin me faza, programimi dinamik bën të mundur jo vetëm thjeshtimin e zgjidhjes së problemeve, por edhe zgjidhjen e atyre për të cilat metodat e analizës matematikore nuk mund të zbatohen. Sigurisht ,vlen të theksohet ,se kjo metodë kërkon mjaft kohë gjatë zgjidhjes së problemeve me një numër të madh variablash. Bibliografi 1.Akulich I.L. Programimi matematikor në shembuj dhe problema: Teksti mësimor. manual. - M .: Shkolla e lartë, 2009 .Berezhnaya E.V., Berezhnoy V.I. Metodat e modelimit matematik. - M .: Delo dhe Shërbimi, 2009 .Intriligator M. Metodat matematikore të optimizimit dhe teoria ekonomike. - M .: Iris-Press, 2008 .Kurbatov V.I., Ugolnitsky G.A. Metodat matematikore të teknologjive sociale. - M .: Libri universitar, 2011 .A.V. Monakhov Metodat matematikore të analizës ekonomike. - SPb .: Peter, 2007 .Orlova I.V., Polovnikov V.A. Metodat dhe modelet ekonomike dhe matematikore. - M .: Libër shkollor universitar, 2008 .Popov I.I., Partyka T.L. Metodat matematikore. - M .: INFRA-M, 2007 .Popova N.V. Metodat matematikore. - M .: Ankil, 2007 Keni nevojë për ndihmë për të eksploruar një temë?
Ekspertët tanë do të këshillojnë ose ofrojnë shërbime tutoriale për tema me interes për ju. Modele të vazhdueshme dhe diskrete E vazhdueshme modelet pasqyrojnë procese të vazhdueshme që ndodhin, në veçanti, në kohë. Vlerat e ndryshores së pavarur (argumenti) i përkasin një grupi të vazhdueshëm. Një grup i vazhdueshëm ka vetinë që, ndërmjet çdo pikë të afërt arbitrarisht të grupit, mund të gjenden gjithmonë pika edhe më të afërta. Shumë shpesh ky karakter ndryshimi i atribuohet kohës. Modelet e vazhdueshme përshkruajnë me mjaft saktësi procese të tilla reale si një ndryshim në fuqinë aktuale në një pikë të caktuar në qarkun elektrik, një ndryshim në shpejtësinë këndore në daljen e një disku elektrik, një rritje lineare të shpejtësisë gjatë përshpejtimit të një makine, daljen. gazi ose lëngu nga një rezervuar etj. Diskret modelet përshkruajnë diskrete, d.m.th. proceset me ndërprerje. Procese të tilla ndodhin, për shembull, në sistemet diskrete të kontrollit që përmbajnë një element impuls (çelës) që mbyll periodikisht qarkun pas një periudhe ore konstante. T. Modelet diskrete përshkruajnë mjaft saktë procese të tilla reale si stampimi i pjesëve, shitja e mallrave të vogla duke përdorur një makinë automatike, funksionimi i një mikroprocesori, etj. Ka gjithashtu të kombinuara- modele diskrete-vazhduese, në të cilat zakonisht është e mundur të ndahet pjesa e vazhdueshme nga ajo diskrete. Statike quhet modeli i një objekti që pasqyron origjinalin në një moment të caktuar kohor, d.m.th. "Pamografi" e objektit. Për shembull, fjalë për fjalë një fotografi ose një diagram. Me fotografinë (Fig. 1.11), gjithçka është e qartë, sa i përket qarkut, edhe nëse ky është një diagram strukturor që tregon funksionet e transferimit të lidhjeve, nuk është qartë e dukshme prej saj se si ndryshon modeli me kalimin e kohës (Fig. 1.12 ). Figura 1.11. Fotografia si shembull i një modeli statik Oriz. 1.12. Diagrami i bllokut të sistemit Një shembull tjetër i dukshëm dhe i njohur i një modeli statik është karakterizimi statik, d.m.th. varësia e variablës dalëse të objektit (sistemit) nga ndryshorja hyrëse në gjendje të qëndrueshme, d.m.th. në t®∞: y (∞) = F(fig. 1.13) .
Oriz. 1.13. Karakteristika statike e sistemit " Sistemi” Dinamik modeli, në ndryshim nga ai statik, merr parasysh ndryshimet që ndodhin në sistem me kalimin e kohës. Kjo mund të shprehet në varësinë e ndryshoreve hyrëse, dalëse dhe të ndërmjetme nga koha. Një shembull janë funksionet kalimtare - përgjigja e sistemeve ndaj një veprimi të hyrjes me një hap (Fig. 1.14). Oriz. 1.14. Funksioni kalimtar h (t) sistemet " Sistemi” Zakonisht, funksionet kalimtare fitohen si rezultat i: 1) zgjidhjes analitike; 2) integrimi numerik i ekuacioneve diferenciale që përshkruajnë sistemin në studim; 3) transformimi i anasjelltë i Laplasit i funksionit të transferimit të sistemit të ndarë me s... Modeli i ekuacionit diferencial (DE) është një model dinamik i përhapur. Shembull. Le të përshkruhet sistemi nga një model në formën e një ekuacioni diferencial: veprimi i hyrjes x (t) = 1[t]- hapi i njësisë (si në Fig. 1.14), dhe kushtet fillestare janë: y (t = 0) =
0, d.m.th. procesi fillon nga origjina. Zgjidhje analitike. Është një ekuacion diferencial linear i rendit të parë me koeficientë konstant (stacionar). Zgjidhja e tij përbëhet nga dy terma - një zgjidhje e përgjithshme dhe një zgjidhje e veçantë: Zgjidhja e përgjithshme kërkohet në formën: ku A- koeficienti i panjohur i përcaktuar nga kushtet fillestare; l- rrënja e ekuacionit karakteristik, i cili në këtë rast duket kështu: ku l = - 2. Në formë standarde, ekuacioni origjinal duhet të ketë në y (t) koeficienti i barabartë me një. Për ta bërë këtë, ndani ekuacionin origjinal me 4 dhe merrni: Një zgjidhje e veçantë varet nga lloji i anës së djathtë të sistemit të kontrollit; në këtë shembull, sepse x (t) = 1[t], një zgjidhje e veçantë do të jetë e barabartë me një konstante: Zgjidhja e përgjithshme do të duket si kjo: Tani, duke zëvendësuar në zgjidhje y (t) kushti fillestar (për një ekuacion të rendit të parë është një), mund të gjeni vlerën e koeficientit A: ku A = - 1,25.
Zgjidhja përfundimtare është: Meqenëse veprimi i hyrjes ishte një hap njësi, zgjidhja që rezulton është një funksion kalimtar dhe shënohet, si zakonisht, h (t)... Grafiku i këtij funksioni është paraqitur në Fig. 1.15. Oriz. 1.15. Funksioni kalimtar h (t)- zgjidhja e DE nga shembulli si h (t) procese të tilla si nxitimi i një makine, ngrohja e një lëngu, grumbullimi i njohurive në një fushë të caktuar lëndore, rritja e popullsisë së kafshëve, rritja e prodhimit (në kushte të caktuara) dhe shumë të tjera kanë një karakter (me gabime të ndryshme) . Kjo është një nga vetitë më të rëndësishme të modeleve matematikore - universaliteti i tyre. Studentët, studentët e diplomuar, shkencëtarët e rinj që përdorin bazën e njohurive në studimet dhe punën e tyre do t'ju jenë shumë mirënjohës. Postuar në http://www.allbest.ru/ Zhvillimi i rrjeteve nervore, inxhinieria e mikrosistemeve, nanoteknologjia ka prezantuar shumë metoda thelbësisht të reja për modelimin e proceseve dhe sistemeve, të cilat gjithashtu kanë ofruar një mjet efektiv për zgjidhjen paraprake të problemeve të projektimit në formë matematikore në modele dhe studimin numerik të tyre në kompjuter. Përdorimi i modelimit është veçanërisht efektiv në studimin e sistemeve të projektuara për të studiuar dhe parashikuar fenomene dhe procese të ndryshme në këto sisteme. Përafrimi me kushtet reale të funksionimit të sistemeve të projektuara kryhet në modelimin stokastik, kur kushteve të modelimit shtohen ndryshime të rastësishme në parametrat e sistemit, shqetësime dhe zhurma të matjeve të sasive fizike. Në inxhinierinë e instrumenteve, është e rëndësishme të modelohen detyrat e kontrollit, marrjes, transmetimit dhe transformimit të informacionit. Për më tepër, modelet moderne kudo përdorin ekuacione diferenciale dhe transformime lineare të matricës për të përshkruar proceset dhe sistemet. Zhvillimi i metodave moderne të modelimit ka krijuar parakushtet për krijimin dhe kërkimin e sistemeve shumë efikase, të cilat, si rregull, fokusohen në algoritmet e përpunimit të informacionit dixhital, duke përdorur mikroprocesorë modernë, neurokompjuterë, përpunues të logjikës fuzzy dhe përparime të tjera moderne teknologjike. 1
.
Pjesa teorike
Sistemet dinamike janë sisteme që ndryshojnë gjendjen e tyre në kohë nën ndikimin e forcave të jashtme dhe të brendshme. Koncepti i sistemeve dinamike u ngrit si një përgjithësim i konceptit të një sistemi mekanik, sjellja e të cilit përshkruhet nga ligjet e dinamikës së Njutonit. Në shkencën moderne, koncepti i një sistemi dinamik mbulon sisteme të pothuajse çdo natyre: fizike, kimike, biologjike, ekonomike, sociale, etj. Për më tepër, sistemet karakterizohen nga organizime të ndryshme të brendshme, të përcaktuara në mënyrë të ngurtë, stokastike, jolineare, sisteme me elemente të vetëorganizim, vetëorganizim. Vetia më e rëndësishme e sistemeve dinamike është qëndrueshmëria e tyre, domethënë sistemi ruan strukturën e tij bazë dhe funksionet bazë të kryera për një kohë të caktuar dhe nën ndikime të jashtme relativisht të vogla dhe të ndryshme dhe shqetësime të brendshme. Stabiliteti është një veti e brendshme e sistemeve, dhe jo rezultat i ndikimeve të jashtme. Idetë për zhvillimin e këtyre sistemeve pasqyrojnë ndryshime të tilla në organizimin e tyre strukturor, të cilat çojnë në një performancë më efikase të sistemit të funksioneve të tij kryesore. Rirregullimet cilësore të sistemeve analizohen në teorinë e katastrofave, e cila konsiderohet si një degë e teorisë së përgjithshme të sistemeve dinamike. Zhvillimi i ideve për sistemet dinamike shoqërohet me kalimin në njohjen e sistemeve gjithnjë e më komplekse. Në këtë rast, studimi i dinamikës së vetive të brendshme të sistemeve merr një rol të veçantë. Në rastin e sistemeve mekanike, veprimi i faktorëve të brendshëm u reduktua në forca inerciale. Ndërsa sistemet bëhen më komplekse, rëndësia e faktorëve të brendshëm rritet. Problemet e studimit të burimeve të veprimtarisë së brendshme të sistemeve dhe natyrës së funksionimit dhe sjelljes së tyre të qëllimshme dalin në pah. Është zakon të quajmë një model matematikor të një sistemi dinamik një grup simbolesh matematikore që përcaktojnë në mënyrë unike zhvillimin e proceseve në sistem, d.m.th. lëvizjen e saj. Në të njëjtën kohë, në varësi të simboleve të përdorura, dallohen modelet analitike dhe grafiko-analitike. Modelet analitike ndërtohen duke përdorur simbole alfabetike, ndërsa modelet grafike-analitike lejojnë përdorimin e simboleve grafike. Modelet e vazhdueshme dhe diskrete të sistemeve dallohen në varësi të llojit të sinjaleve. Në varësi të operatorëve të përdorur - lineare dhe jolineare, si dhe modelet e kohës dhe frekuencës. Modelet kohore përfshijnë modele në të cilat argumenti është koha (e vazhdueshme ose diskrete). Këto janë ekuacione diferenciale dhe diferenciale të shkruara në mënyrë eksplicite ose në formë operatori. Modelet e frekuencës parashikojnë përdorimin e operatorëve, argumenti i të cilëve është frekuenca e sinjalit përkatës, d.m.th. Operatorët Laplace dhe Fourier etj. Në matematikën moderne, përdoret paraqitja e proceseve dhe sistemeve dinamike me ekuacione diferenciale në hapësirën e gjendjes. Një përshkrim i tillë i proceseve dhe sistemeve e bën të lehtë kryerjen e modelimit të tyre dixhital duke përdorur një paraqitje me diferencë të fundme dhe hartimin e algoritmeve universale për përpunimin e informacionit me qëllim të vlerësimit të mëtejshëm optimal të parametrave të sistemeve dhe proceseve. Vlerësimet optimale janë të nevojshme për organizimin e kontrollit në sistemet e kontrollit automatik duke përdorur metoda moderne, dhe në sistemet e matjes së informacionit për të marrë të dhëna të besueshme për sasitë fizike të matura, për të parashikuar sjelljen e fenomeneve dhe sistemeve të studiuara dhe për të rritur tolerancën ndaj gabimeve të përpunimit të informacionit. . Një nga metodat për marrjen e një modeli matematikor të një sistemi ose procesi është identifikimi. Identifikimi i një sistemi dinamik quhet marrja ose përsosja e të dhënave eksperimentale të modelit matematikor (parametrat numerikë) të këtij sistemi ose procesi, të shprehura me anë të një ose një aparati tjetër matematikor. Përdoren modelet themelore matematikore të mëposhtme në hapësirën e gjendjes. Një sistem dinamik stokastik përcaktues i vazhdueshëm (DS) është një sistem i përshkruar nga ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë të gjendjes dhe një ekuacion linear dalës. Në formë matrice: X "(t) = A * X (t) + B * U (t) + D * V (t), Y (t) = CX (t), ku X "(t) është vektori n-dimensional i gjendjes së sistemit; V (t) është vektori r-dimensional i zhurmës Gaussian me mesataren zero dhe matricën e korrelacionit E = Q (t) modelimi i trajektores së fazës së matricës (E - operatori i pritjes matematikore); Y (t) - vektor i daljes m-dimensionale; A, B, D - matricat e gjendjes (matricat e koeficientit); C është një matricë transformimi lineare me madhësi m x n. Një sistem dinamik stokastik diskret përcaktues (DS) është një sistem i përshkruar nga ekuacionet e diferencës së rendit të parë të gjendjes dhe një ekuacion diskret i daljes. Pamja e matricës korrespondon me ekuacionet: X (k + 1) = F * X (k) + G * U (k) + T * V (k), Y (k) = CX (k), ku F, G, T, janë matrica kalimtare. Matricat F, G, T llogariten në terma A, B, D në formën: F = I + A * y * dt, G = y * B * dt, T = y * D * dt, ku unë jam matrica e identitetit; dt është periudha e diskretitetit të sistemit (procesit). Periudha e kampionimit dt zgjidhet bazuar në gjerësinë e brezit të DS në përputhje me teoremën e impulsit. Deterministik është një DS, e cila nuk ka zhurmë shqetësimi dhe nuk ka procese stokastike (ose të gjithë këta faktorë mund të neglizhohen). Një DS thjesht stokastike nuk ka një vektor determinist të sinjaleve hyrëse. Sistemi përcaktues-stokastik përmban si ndikime përcaktuese ashtu edhe procese stokastike. Objektet e vëzhgimit të sistemeve dinamike janë: proceset informative (IP), objektet e kontrollit (OU), sensorët e informacionit parësor (DPI), pajisjet ekzekutive (IU). Funksioni spektral ose i korrelacionit është modeli primar i objektit të vëzhgimit të tipit IP. Modeli primar i një objekti vëzhgimi të tipit OA, DPI dhe IU është një ekuacion diferencial (ose një funksion transferimi ekuivalent) që lidh hyrjen dhe daljen. Një sensor parësor informacioni është një element i një pajisjeje që konverton informacionin rreth një sasie fizike në një sinjal që është i përshtatshëm për përdorim dhe përpunim. Ai jepet nga një ekuacion diferencial ose funksion transferimi. Funksioni i transferimit të DPI është raporti i transformimit Laplace të procesit të prodhimit të DP me transformimin Laplace të procesit të hyrjes me kushte fillestare zero. Lëvizja e një sistemi është procesi fizik i ndryshimit të variablave të tij në kohë dhe hapësirë. Variablat e daljes Y (t), veprimet e hyrjes së kontrollit U (t) dhe veprimet hyrëse shqetësuese V (t) konsiderohen në formën e vektorëve përkatës, të cilët shkruhen në formën e matricave kolone: 1.
3
Modelimi i një sistemi kontrolli të vazhdueshëm Sistemi i kontrollit është krijuar për të matur dhe lëshuar informacion në lidhje me procesin e kontrolluar h (t), i cili përmban komponentin mesatar (përcaktues) dhe g (t) stokastik (të rastësishëm). Matja bëhet nën ndikimin e zhurmës shtesë n (t). Sensori, me ndihmën e të cilit bëhen matjet, është një lidhje dinamike (në këtë rast të rendit të dytë). Një diagram ekuivalent i sistemit të kontrollit është paraqitur në Figurën 1. Figura 1 - Diagrami i sistemit të kontrollit Komponenti i rastësishëm g (t) i procesit të matur jepet nga dendësia spektrale Sg (w); përcaktues - nga sinjali u (t); h (t) = g (t) + u (t) - procesi i plotë i informacionit; f (t) = h (t) + n (t) - matja e procesit h (t) me zhurmë shtesë n (t) (dendësia spektrale e zhurmës është vendosur - Sn (w)); h (t) -sinjali dalës i DPI (sensori i informacionit primar); W (S) është funksioni i transferimit të DRI. Veprimi i hyrjes përcaktuese jepet nga shuma e funksionit hap dhe harmonik. Për të simuluar sistemin e kontrollit në Matlab, është hartuar një skemë simulimi, e cila tregohet në Figurën 2. Figura 2 - Skema e simulimit të sistemit të kontrollit 1.4 Përshkrimi matematikor i një sistemi monitorimi të vazhdueshëm Dendësia spektrale e procesit të kontrolluar është vendosur: Funksioni i transferimit të objektit të vëzhgimit: Intensiteti i zhurmës së matjes R = 17 (kur matni sinjalin dalës të objektit të vëzhguar). Duke faktorizuar nga modeli në formën e densitetit spektral, marrim funksionin e transferimit të filtrit të formësimit të procesorit të hyrjes: Modeli i matricës së objektit të vëzhguar gjendet me metodën e ndryshores ndihmëse. Ekuacioni i gjendjes në këtë rast: Procesi h (t) në daljen e objektit të vëzhgimit llogaritet në formën e matricës: Në këtë shembull, marrim formën e mëposhtme të matricave: Modeli i matricës së sensorit: Dalja e objektit të vëzhgimit h = C 0 * X 0. Ekuacioni i plotë i objektit të kontrolluar përmban ekuacionin e gjendjes së procesit të hyrjes dhe ekuacionin e gjendjes së objektit: ku matricat A, B dhe D janë përpiluar mbi bazën e ekuacioneve diferenciale të procesit dhe objektit të kontrollit, të cilat kanë formën: Ose një vektor relativisht i plotë: Matricat A, B, C, D në këtë rast kanë formën e mëposhtme: 2
.
Pjesa praktike 2.1 Përfundimi i detyrës 1 Algoritmi për kryerjen e punës në mjedisin Simulink. 1. Hapni Matlab (versioni R2012b) dhe zgjidhni artikullin "New> Simulink Model" nga menyja (Figura 3). Figura 3 - Procesi i krijimit të një modeli të ri në Simulink 2. Hapni bibliotekën e bllokut të funksionit "Simulink". Për ta bërë këtë, kliko me të majtën në ikonën "Simulink Library" në panelin e kontrollit (Figura 4). Figura 4 - Procesi i krijimit të një modeli të ri në Simulink 3. Kjo do të hapë menynë e bibliotekës Simulink, pamja kryesore e së cilës është paraqitur në figurën 5. Figura 5 - Dritarja kryesore e "Bibliotekës Simulink" 4. Ekstraktoni të gjitha blloqet e funksioneve të nevojshme nga biblioteka Simulink. Për ta bërë këtë, përdorni kërkimin në panelin e sipërm të dritares "Simulink Lybrary Browser", i cili tregohet në Figurën 6. Figura 6 - Kërkoni për një bllok në "Bibliotekën Simulink" 5. Për të simuluar një sistem kontrolli të vazhdueshëm, do të na duhen blloqet e mëposhtme: Blloqet "Sine Wave", "Step" dhe "Random number" nga skeda "Burimet"; Tre blloqe "Nënsistem" dhe një bllok "Scope" nga skeda "Blloqe të përdorura zakonisht"; Blloku "Sum" nga skeda "Math Operacionet"; Blloko "Fcn" nga skeda "Përcaktimi i Funksionit të Përdoruesit"; Blloko "State-space" nga skeda "Continuous". 6. Le të ndërtojmë diagramin e nivelit të lartë të modelit të sistemit të kontrollit të vazhdueshëm (Figura 7), duke përdorur blloqet funksionale të renditura në pikën 5: Figura 7 - Skema e nivelit të sipërm të sistemit të kontrollit 7. Le të shqyrtojmë më në detaje blloqet "Nënsistemi": "Objekt", "Sensor", "Filter". 8. Blloku "Object" është një objekt vëzhgimi i sistemit dhe është një sistem dinamik që përmban një proces stokastik (blloku "State-Space") dhe një sensor (blloku "State-Space 1"). Diagrami funksional i sistemit dinamik "Objekt" është paraqitur në figurën 8. Figura 8 - Sistemi dinamik "Objekt" 9. Vendosja e blloqeve të ekuacionit të gjendjes "State-Space" dhe "State-Space 1" është paraqitur përkatësisht në figurat 9 dhe 10. Figura 9 - Vendosja e parametrave të bllokut "State-Space". Figura 10 - Vendosja e parametrave të bllokut "State-Space 1". 10. Blloqet funksionale h (t) = C 0 X dhe g (u) = C g X vendosen nga funksionet e paraqitura në dritaren e parametrave (Figura 11). Figura 11 - Vendosja e blloqeve funksionale h (t) dhe g (u) 11. Blloku "Sensor" (sensori) mat sinjalin e hyrjes dhe është një kombinim i sinjalit të dobishëm h (t) dhe ndërhyrjes n (t): Modeli i sensorit është paraqitur në figurën 12. Blloku "Random Number" përdoret si gjenerator i zhurmës së bardhë me intensitet 0.4. Figura 12 - Modeli i sensorit 12. Blloku (filtri) "Filter", bazuar në matjet e sensorit, jep një vlerësim të parametrit dalës të objektit të vëzhgimit - h ^ (t). Matricat A, B, C korrespondojnë me matricat e modelit të plotë. Matrica C në bllokun "State Space" është e vetme. Modeli i filtrit është paraqitur në Figurën 13. Figura 13 - Modeli i filtrit Vendosja e parametrave të bllokut "State Space" dhe bllokut të funksionit f (u) është paraqitur në Figurën 14. Figura 14 - Vendosja e parametrave të blloqeve "State-Space" dhe "f (u)" 13. Rezultatet e proceseve të sistemit regjistrohen me një oshiloskop (blloku "Scope"). Le të konfigurojmë parametrat e bllokut "Scope". Për ta bërë këtë, klikoni me të djathtën mbi bllokun dhe zgjidhni artikullin "Blloko Parametrat" në kutinë e dialogut. Tjetra, në zonën e dritares që shfaqet, kliko me të djathtën dhe zgjidhni artikullin "Vetitë e Boshteve" (Figura 15). Në kutinë e dialogut që shfaqet, vendosni gamën e vlerave (Y) për secilin nga tre grafikët (Figura 16). Figura 15 - Vendosja e parametrave të bllokut "Scope". Figura 16 - Vendosja e diapazonit të vlerave Y 14. Në shiritin e veglave të Matlab në krye të ekranit, mund të vendosni numrin e cikleve të punës të sistemit, pas së cilës Matlab do të ndalojë së punuari. Vendosja e këtij parametri është paraqitur në Figurën 17. Figura 17 - Vendosja e cikleve të punës së sistemit 15. Kjo përfundon konfigurimin e modelit të sistemit të monitorimit të vazhdueshëm. Më pas, filloni sistemin duke klikuar me të majtën në ikonën "Run" në shiritin e veglave në krye të ekranit (Figura 18). Figura 18 - Nisja e sistemit për ekzekutim 16. Rezultatet e funksionimit të sistemit janë pasqyruar në bllokun "Scope" dhe janë paraqitur në figurën 19. Figura 19 - Rezultatet e funksionimit të sistemit 2.2 Përfundimi i detyrës 2 Lëkundjet e një oshilatori jolinear përshkruhen nga ekuacioni i mëposhtëm: Duke përdorur këtë ekuacion diferencial, është e nevojshme: 1. Krijoni një model të një sistemi mekanik; 2. Llogaritni vlerën numerike të koordinatës së oshilatorit në kohën t = 5 dhe nxirrni rezultatin për t'u shfaqur; 3. Të ndërtojë grafikët e varësisë së koordinatave dhe shpejtësisë nga koha; 4. Ndërtoni trajektoren fazore të sistemit. Le të shkruajmë ekuacionin origjinal në formën e një sistemi ekuacionesh të rendit të parë. Le ta zgjidhim këtë sistem duke përdorur paketën Simulink, duke ndërtuar një model blloku. Një bllok i veçantë në modelin e përgjithshëm do të formojë një nënmodel (blloku i nënsistemit): (Biblioteka e porteve dhe nënsistemeve). Një nënmodel është një fragment i një modeli, i projektuar si një bllok i veçantë. Përdorimi i një nënmodeli gjatë përpilimit të një modeli ka këto aspekte pozitive: 1) zvogëlon numrin e blloqeve të shfaqura njëkohësisht në ekran, gjë që e bën më të lehtë perceptimin e modelit; 2) ju lejon të krijoni dhe korrigjoni fragmente të modelit veçmas, gjë që rrit aftësinë e prodhimit të krijimit të një modeli; 3) bën të mundur sinkronizimin e nënsistemeve paralele. Duke përdorur nënmodelin e krijuar, vlerat dhe në modelin kryesor lidhen me hyrjet përkatëse të nënmodelit, dhe dalja e nënmodelit lidhet me grumbulluesin. Sinjali nga dalja e grumbulluesit futet në hyrjen e integratorit të parë, duke mbyllur qarkun e integrimit. Në Simulink, procedura e përshkruar tregohet në figurat 20 dhe 21: Figura 20 - Modeli bazë Figura 21 - Nënmodel Nëse klikoni dy herë në bllok Fushëveprimi(y (t)) në bllok diagramin e oshilatorit, atëherë do të shfaqet një dritare grafike me një grafik të koordinatës y kundrejt kohës. Rezultati i leximeve të bllokut "Scope" është paraqitur në Figurën 22. Figura 22 - Treguesit e bllokut Scope Në këtë model, për të ndërtuar trajektoren fazore të sistemit, përdoret një bllok plotter, i cili paraqet grafikun e një sinjali në funksion të një tjetri (grafiku i formës Y (X)). Blloku ka dy hyrje. Hyrja e sipërme është për furnizimin e një sinjali që është një argument (X), hyrja e poshtme është për furnizimin e vlerave të funksionit (Y). Varësia e X nga Y është paraqitur në Figurën 23. Figura 23 - Varësia e X nga Y Analiza e proceseve dinamike në sistem bazuar në përdorimin e modelit analitik të ndërtuar. Simulimi duke përdorur paketën shtesë Symbolic Math Tolbox. Ndërtimi i një modeli në formën e një sistemi ekuacionesh diferenciale të shkruara në formën Cauchy. punim termi shtuar 21.06.2015 Ndërtimi i një grafiku sinjalizues dhe një bllok diagrami i një sistemi kontrolli. Llogaritja e funksionit të transferimit të sistemit duke përdorur formulën Mason. Analiza e stabilitetit sipas kriterit Lyapunov. Formimi i sintezës së filtrit. Vlerësimi i cilësisë së qarkut ekuivalent nga funksioni kalimtar. punim afatshkurtër, shtuar 20.10.2013 Modelet matematikore të objekteve teknike dhe metodat e zbatimit të tyre. Analiza e proceseve elektrike në një qark të rendit të dytë duke përdorur sistemet kompjuterike matematikore MathCAD dhe Scilab. Modelet matematikore dhe modelimi i një objekti teknik. punim afatshkurtër, shtuar 03/08/2016 Simulimi i sinjalit të synuar në hyrje, vizatimi, amplituda dhe spektri fazor. Modelimi i zhurmës me shpërndarjen e probabilitetit të Rayleigh, vlerësimi i variancës së mostrave të zhurmës dhe kontrollimi i përshtatshmërisë së modelit të zhurmës me kriterin e Pearson. punim afatshkurtër, shtuar 25.11.2011 Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale të një modeli matematikor të një sistemi me dhe pa absorbues. Llogaritja statike e izolimit të vibrimit. Përcaktimi i frekuencave natyrore të sistemit, ndërtimi i karakteristikave amplitudë-frekuencë dhe varësia e zhvendosjeve nga koha. test, shtuar 22.12.2014 Blloku i modelit Karaaslan, sistemi i ekuacioneve diferenciale, metodat e zgjidhjes. Blloqet dhe ligjet biokimike të sistemit Solodyannikov, kalimi midis fazave. Modelimi i patologjive, grafika e eksperimenteve. Ndërtimi i një modeli kompleks hemodinamik. punim, shtuar 24.09.2012 Zhvillimi i një projekti për një sistem kontrolli automatik për një bogi që lëviz në një plan anësor. Përshkrimi dhe analiza e një sistemi të vazhdueshëm, krijimi i modeleve të tij matematikore në hapësirën e gjendjes dhe modeli "input-output". Hartimi i reagimeve të objektit. punim afatshkurtër, shtuar 25.12.2010 Modelimi matematikor i detyrave të veprimtarisë tregtare në shembullin e modelimit të procesit të zgjedhjes së një produkti. Metodat dhe modelet e programimit linear (përcaktimi i një plani ditor për prodhimin e produkteve që sigurojnë të ardhurat maksimale nga shitjet). test, shtuar më 16.02.2011 Disa pyetje matematikore në teorinë e servisimit të sistemeve komplekse. Organizimi i shërbimit me informacion të kufizuar në lidhje me besueshmërinë e sistemit. Algoritmet për kohën e funksionimit të sistemit dhe gjetjen e kohës për mirëmbajtjen e planifikuar parandaluese të sistemeve. abstrakt, shtuar 19.06.2008 Operatorët e transformimit të ndryshueshëm, klasat, metodat e ndërtimit dhe veçoritë e modeleve strukturore të sistemeve të kontrollit. Modelet dhe karakteristikat lineare dhe jolineare të sistemeve të kontrollit, modelet hyrëse-dalëse, ndërtimi i karakteristikave të tyre kohore dhe frekuencës. Prezantimi ................................................. ................................................ .. 3 1. Modeli i bilancit input-output .......................................... .. 4 1. 1. Modeli Dinamik Leontief .......................................... ......... 7 1. 2. Ndërtimi i modelit dinamik Leontief ............................. 12 2. Modeli Neumann .............................................. ................................. gjashtëmbëdhjetë konkluzioni................................................ .............................................. njëzet Referencat ................................................ . ............................ 21 Modelet dinamike të ekonomisë janë modele që përshkruajnë ekonominë në zhvillim (në krahasim me ato statike që karakterizojnë gjendjen e saj në një moment të caktuar). Një model është dinamik nëse të paktën një nga variablat e tij i referohet një periudhe kohore të ndryshme nga koha në të cilën janë caktuar variablat e tjerë. Në përgjithësi, modelet dinamike të ekonomisë reduktohen në përshkrimin e fenomeneve ekonomike të mëposhtme: gjendja fillestare e ekonomisë, metodat teknologjike të prodhimit (secila "metodë" thotë se një grup produktesh y mund të prodhohen nga një grup burimesh x brenda një njësi kohe), si dhe një kriter optimaliteti. Përshkrimi matematik i modeleve dinamike të ekonomisë kryhet duke përdorur sisteme ekuacionesh diferenciale (në modelet me kohë të vazhdueshme), ekuacionet e diferencës (në modelet me kohë diskrete), si dhe sisteme të ekuacioneve të zakonshme algjebrike. Me ndihmën e modeleve dinamike, në veçanti, zgjidhen detyrat e mëposhtme të planifikimit dhe parashikimit të proceseve ekonomike: përcaktimi i trajektores së sistemit ekonomik, gjendjeve të tij në momente të caktuara kohore, analizimi i sistemit për stabilitet, analizimi i zhvendosjeve strukturore. Nga pikëpamja e analizës teorike, modeli dinamik i von Neumann-it ka marrë një rëndësi të madhe. Për sa i përket zbatimit praktik të modeleve dinamike të ekonomisë, ai është ende në një fazë të hershme: llogaritjet e bazuara në një model që është të paktën disi afër realitetit janë jashtëzakonisht komplekse. Por zhvillimi në këtë drejtim vazhdon. Përdoren, në veçanti, modelet dinamike shumësektoriale (multisektoriale) të zhvillimit ekonomik, të cilat përfshijnë modele dinamike të bilancit input-output, si dhe funksionin e prodhimit, teorinë e rritjes ekonomike. Modelimi ndërsektorial është pjesë e makroekonomisë modelimi dhe shërben për të analizuar dhe vlerësuar gjendjen e ekuilibrit të përgjithshëm ekonomik të ekonomisë kombëtare. Kombëtare ekonomia në balancën ndërsektoriale përfaqësohet nga një sërë industrish të pastra, flukset financiare të ndërlidhura nga shitja e produkteve, punët dhe shërbimet. Industritë e pastra janë industri të kushtëzuara që përfaqësojnë prodhimi i një ose më shumë produkteve homogjene. Modelet dinamike të bilancit input-output - një rast i veçantë i modeleve dinamike të ekonomisë; bazohen në parimin e bilancit ndërsektorial, në të cilin paraqiten gjithashtu ekuacione që karakterizojnë ndryshimet në marrëdhëniet ndërsektoriale me kalimin e kohës bazuar në tregues individualë: për shembull, investimet kapitale dhe aktivet fikse (që ju lejon të krijoni vazhdimësi midis bilanceve të periudhave individuale). Supozimet kryesore të modelit të bilancit input-output: Çdo industri prodhon saktësisht një produkt Çdo produkt prodhohet pikërisht nga një industri Numri i produkteve është i barabartë me numrin e industrive Intensiteti i industrisë mund të matet me vëllimin e prodhimit të produktit përkatës. Kostot e çdo produkti në çdo industri janë drejtpërdrejt proporcionale me intensitetin e tij Bilanci input-output është një model ekonomik dhe matematikor i formuar nga mbivendosja e rreshtave dhe kolonave të tabelës, domethënë balancave të shpërndarjes së produkteve dhe kostove të prodhimit të tyre, të lidhura sipas rezultateve. Treguesit kryesorë këtu janë raportet e kostove totale dhe direkte. Modeli dinamik i bilancit input-output karakterizon marrëdhëniet e prodhimit të ekonomisë kombëtare për disa vite, pasqyron procesin e riprodhimit në dinamikë. Sipas modelit të bilancit input-output, kryhen dy lloje llogaritjesh: lloji i parë, kur një vëllim i balancuar i prodhimit dhe shpërndarjes së produkteve llogaritet sipas një niveli të caktuar të konsumit përfundimtar; lloji i dytë, i cili përfshin llogaritjet e përziera, kur bilanci i prodhimit dhe shpërndarjes së produkteve llogaritet plotësisht për vëllime të dhëna prodhimi për një industri (produkt) dhe një konsum përfundimtar të caktuar në industri të tjera. Më i përhapuri është modeli ekonomik dhe matematikor i matricës i bilancit input-output. Është një tabelë (matricë) drejtkëndëshe, elementët e së cilës pasqyrojnë marrëdhënien e objekteve ekonomike. Vlerat sasiore të këtyre objekteve llogariten sipas rregullave të përcaktuara në teorinë e matricës. Modeli i matricës pasqyron strukturën e kostove të prodhimit dhe shpërndarjes dhe vlerën e krijuar rishtazi. Tabela e bilancit input-output të prodhimit dhe shpërndarjes produkte, punë dhe shërbime Kuadranti i parë pasqyron të dhënat për dërgesat reciproke të produkteve, punët, shërbimet ndërmjet industrive. Kuadranti i parë quhet kuadrant konsumi i ndërmjetëm dhe karakterizon konsumin e ndërmjetëm (kostot) ose kërkesa e ndërmjetme e industrive në prodhimin e produkteve, punime, sherbime: X
ij- kostoja e produktit i-të industrisë dorëzuar në j industria në gjatë vitit, ose koston e prodhimit i-industria e konsumuar j th industria gjatë gjithë vitit; i-linja - konsumi i ndërmjetëm i produkteve i industria nga të gjithë industritë; j-kolona e - konsumi (kostot) në j industria e të gjithave industritë në prodhimin e produkteve të tyre; X
i- kostoja e produktit bruto të prodhuar i industria në gjatë gjithë vitit. Kuadranti i dytë quhet kuadranti i përdorimit përfundimtar. (konsumi) ose kërkesa përfundimtare. Ai paraqet përdorimin përfundimtar të produkteve të industrive, të alokuara për konsumin përfundimtar ( ME
i), investimet ( Unë
i), eksport ( E
i) dhe importi ( M
i), bilanci i tregtisë së jashtme ( E
i
– M
i). Konsumi final përfshin konsumin nga familjet (popullsia), qeveria dhe organizatat jofitimprurëse. Kuadranti i tretë quhet kuadranti i vlerës së shtuar. .
Në të paraqet vlerën e shtuar të kostove në industri produkte të industrive të tjera në prodhimin e produkteve, punimeve, shërbimeve. Vlera e shtuar e prodhuar në sektorët e ekonomisë kombëtare përfshin: pagat ( V
j), amortizimi (konsumi i kapitalit fiks) (C
j), të ardhurat neto ( m
j). Kuadranti i katërt nuk plotësohet. Degët e MOB përfshijnë degët e prodhimit material: industria (energjia, inxhinieria mekanike, drita dhe ushqimi industria, ndërtimi, bujqësia) dhe industritë shërbimet e paprekshme (shërbimet e banimit dhe komunale, bankat, kujdesi shëndetësor, arsimi, shkenca, etj.). Bilanci real input-output përfshin rreth 30 industri. Bilanci input-output për vitin e kaluar quhet bilanci raportues input-output. Bilanci input-output njihet në shkencë dhe praktikë si metoda "input-output" e zhvilluar nga V.V. Leontiev. Kjo metodë reduktohet në zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare, ku parametrat janë koeficientët e kostove të prodhimit. Koeficientët shprehin marrëdhëniet ndërmjet sektorëve të ekonomisë (koeficientët e kostove aktuale materiale), janë të qëndrueshëm dhe të parashikueshëm. Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve ju lejon të përcaktoni se cili duhet të jetë prodhimi dhe kostot në secilën industri në mënyrë që të sigurohet prodhimi i produktit përfundimtar të një vëllimi dhe strukture të caktuar. Për këtë, përpilohet një tabelë e flukseve ndërindustriale të mallrave. Të panjohurat janë prodhimi dhe kostot e mallrave të prodhuara dhe të përdorura në çdo industri. Llogaritja e tyre me ndihmën e koeficientëve dhe nënkupton vëllimin e prodhimit, duke siguruar ekuilibër të përgjithshëm. Në rast se identifikohen disbalanca, duke marrë parasysh porositë e konsumatorëve, përfshirë ato shtetërore, hartohet një plan matricë për çlirimin e të gjitha llojeve të të mirave materiale dhe kostot e prodhimit të tyre. Metoda input-output është bërë një metodë universale e parashikimit dhe planifikimit si në ekonomitë e tregut ashtu edhe në ato direktiva. Përdoret në sistemin e OKB-së, në Shtetet e Bashkuara dhe në vende të tjera për parashikimin dhe planifikimin e ekonomisë, strukturën e prodhimit dhe marrëdhëniet ndërsektoriale. Modelet dinamike pasqyrojnë procesin e zhvillimit ekonomik. Në to investimet kapitale të prodhimit janë të ndara nga ato finale produkteve, hulumton strukturën dhe ndikimin e tyre në rritjen e prodhimit. Skema e bilancit dinamik input-output është paraqitur në tabelë Tabela përmban dy matrica. Elementet e matricës së dytë tregojnë sa produkte i-industria e orientuar në periudhën aktuale në j industria si investimet kapitale të prodhimit në asete fikse dhe në qarkullim. Në një skemë dinamike, produkti përfundimtar në
i përfshin produkte i- industria që shkon në konsum personal dhe publik, akumulim sfere joprodhuese, ndertim ne vazhdim, per eksport. Gjithçka treguesit jepen në terma vlere. Raportet e bilancit të mëposhtëm plotësohen në tabelë: Flukset e investimeve kapitale ndërindustriale i referohen periudhës (t-
1,t). Dinamika përcaktohet nga marrëdhënie shtesë: Kuptimi ekonomik i koeficientëve ϕ
ij = Кij / ΔХj tjetër: ata tregoni sa produkte i-duhet investuar në industrinë e saj j industria për të rritur prodhimin e produkteve të saj për njësi në njësitë në fjalë. Shanset ϕ
ij quhen raportet e investimeve kapitale ose në rritje intensiteti i kapitalit. Sistemi i ekuacioneve (1) duke marrë parasysh (2) mund të shkruhet si: Ne përfaqësojmë (3) në formën e matricës: Nga (4) rezulton se Modeli (3) quhet modeli dinamik diskret i Leontiev-it të balancës hyrje-dalje. Sistemi i ekuacioneve (3) është një sistem i ekuacioneve të diferencës lineare të rendit të parë. Për të studiuar këtë model, është e nevojshme të vendosen në kohën fillestare vektorët X
(0
) dhe Y
(t) për t
= 1, 2, …, T. Zgjidhja e modelit do të jenë vlerat e vektorëve X
(t), K
(t), t
= 1, 2, …, T. Kushti për zgjidhshmërinë e sistemit (3) në lidhje me vektorin X
(t) është kërkesa det ( E
− A
− F) ≠ 0 Në këtë model supozohet se rritja e prodhimit në periudhën (t
– 1, t) është për shkak të investimeve të bëra në të njëjtën periudhë. Për periudha të shkurtra, ky supozim është joreal, pasi ekziston vonesat kohore (kohore vonesat) ndërmjet investimeve në asetet e prodhimit dhe një rritje e prodhimit. Modelet, duke marrë parasysh vonesat e investimeve kapitale, formojnë një grup të veçantë modelet dinamike të bilancit hyrje-dalje. Nëse shkojmë në kohë të vazhdueshme, atëherë ekuacionet (3) do të rishkruhen si një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të parë me koeficientë konstante: Për ta zgjidhur, përveç matricave të koeficientëve të vijave aktuale kostot materiale A =
(a
ij) dhe koeficientët e kostove kapitale F
= (ϕ ij) është e nevojshme të njihen nivelet e prodhimit bruto në momentin fillestar të kohës t
= 0 (x(0)) dhe ligji i ndryshimit të vlerave të produktit përfundimtar y
(t) në segment .
Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (6) do të jenë vlerat e funksionit vektor x
(t) në segment .
Kushti i zgjidhshmërisë për sistemin (6) është det F
≠ 0 . Një model më i përgjithshëm dinamik ndërsektorial është ai që duke marrë parasysh kapacitetin prodhues të industrive. Ai është paraqitur më poshtë në formën e raporteve të mëposhtme: Gjendja e ekonomisë në një vit t karakterizohet në dinamikë nga sa vijon variablat: X
t- kolona vektoriale e prodhimit bruto të industrive; v
t–Vektori i vënies në punë të kapaciteteve të degëve; γ është matrica diagonale e daljes në pension të kapacitetit; x
t- kolona vektoriale e kapaciteteve sektoriale (produktet maksimale të mundshme); l
t
=
(l 1
, l 2
,..., l
n)t vektori i intensitetit të punës së prodhimit industrial mund të varet nga koha; L
t
–
vëllimi i burimeve të punës në ekonomi. Koha në model është diskrete dhe ndryshon në intervale të barabarta me një vit (t
= 1, 2, …, T).
Koeficientët e matricës së kostos direkte А = ║аij║ dhe matricat intensiteti kapital i rritjes së kapacitetit prodhues Ф = ║фij║ mund varen nga koha. Funksioni vektor është dhënë në mënyrë ekzogjene Y
t dhe funksioni numerik L
t
.
Zgjidhja e modelit është vektorët X
t dhe x
t plotësimi i sistemit të pabarazive (7) - (10). Pabarazitë (7) tregojnë se vektori i produktit bruto X
t duhet ofrojnë kosto të vazhdueshme të prodhimit sëpata
t, kostot e prodhimit për vënia në punë e objekteve të prodhimit ФV
t dhe për konsum jo produktiv Y t. Pabarazitë (8) kufizojnë prodhimin bruto të industrive me kapacitete të disponueshme, pabarazitë (9) përfaqësojnë balancat sektoriale të ndryshimeve në kapacitetet prodhuese duke marrë parasysh daljen dhe inputin e tyre, pabarazitë (10) tregojnë se punësimi total është i kufizuar nga burimet e disponueshme të punës. Le të përcaktojmë vlerat që karakterizojnë ndryshimet në prodhimin bruto të 5 industrive në 7 intervale kohore. Tani le të riprodhojmë matricën D. Koeficienti d ij e matricës D është e barabartë me numrin e produkteve në industri i kërkuar për të rritur stokun e industrisë j me një njësi (në terma vlerës). Shanset d ij quhen koeficientët e intensitetit të kapitalit të rritjeve të OPF. Produkti përfundimtar Y Prodhimi bruto Le të ndërtojmë një matricë K të koeficientëve të shpenzimeve kapitale ose raporteve kapitale. Tani le të përcaktojmë Le të jetë Ф 0 = 0, Pra, kemi vektorin e parë Tabelat për t = 2, 3, 4, 5, 6 janë marrë në mënyrë të ngjashme. Modeli Neumann paraqet n produkteve dhe m mënyrat e tyre prodhimit. Secili j- Metoda e th është dhënë nga vektori i kolonës së kostove të produktit a
j dhe një vektor kolone të lëshimeve të produktit b
j për njësi intensiteti i procesit: Kjo do të thotë se në intensitetet njësi j th procesi i prodhimit produktet vektoriale të konsumuara a
j dhe produkteve të prodhuara b
j... Vektorët (1) konsiderohen në njësi natyrore ose në çmime konstante. Matricat e kostos formohen nga vektorët e inputeve dhe outputeve A dhe çështjet V me raporte kostoje jo negative a
ij dhe çështjet b
ij
: Matricat A dhe V kanë vetitë e mëposhtme: 1) 2) që do të thotë: në secilën prej m mënyrat 3) që do të thotë: çdo produkt prodhuar me të paktën një metodë prodhimi; Kështu, çdo kolonë e matricës A dhe çdo rresht të matricës V duhet të ketë të paktën një element pozitiv. Përtej X
(t) shënojmë vektorin e kolonës së intensiteteve Pastaj sëpata
(t) Është vektor i kostos, Bx
(t) Është një vektor i rezultateve për një të dhënë vektoriale X
(t) intensitetet e proceseve. Modeli i Neumann-it është një përgjithësim i modelit dinamik bilanci input-output i Leontyev, pasi lejon prodhimin e një produkti me disa metoda prodhimi, dhe përkon me të nëse B = E. Në modelin Neumann, relacionet e mëposhtme ndodhin: Marrëdhëniet (2) nënkuptojnë se në prodhimin e produkteve në një vit (t+ 1) konsumohen produktet e prodhuara në një vit t. Vektor fq
(t)=(fq
1 (t), fq
2 (t),..., fq
n
(t)) ≥0 quhet vektor i çmimit produkte të prodhuara në vit t nëse plotëson marrëdhëniet e mëposhtme: Nëse koeficientët e matricave A dhe V Janë vlerat në çmime konstante, pra R
(t) do të jetë një vektor i indekseve të çmimeve. Pabarazia e parë vektoriale në (3) do të thotë se kostoja e prodhimit produkte për çdo metodë teknologjike të prodhimit në vit t+ 1 nuk mund të jetë më shumë se kostoja e kostove në çmimet e vitit t. Nga (2) dhe (3) rrjedh se relacionet e mëposhtme ekzistojnë: Lidhja e parë në (4) do të thotë se çmimi i produktit në vit t barazohet me zero nëse prodhimi i tij në një vit t do të jetë më shumë se kostot e tij në vit ( t
+ 1).
Lidhja e dytë (4) do të thotë se j-të procesit teknologjik në vit t nuk do të zbatohet (intensiteti është zero) nëse kostoja e kostove të tij në një vit t më shumë se kostoja e lëshimit të tij në vit ( t
+ 1).
Përkufizimi. Vektorët X
(t) dhe fq
(t), t
= 1, 2, …, T quhen trajektore rritja e balancuar në modelin Neumann nëse kënaqin kushtet: Këtu λ është norma, ρ është përqindja e balancuar e rritjes. Nga (5) rrjedh se në një gjendje rritjeje të ekuilibruar, vlerat e përbërësve të vektorit X
(t) rriten proporcionalisht, dhe vektorët fq
(t) ulet. Në këtë rast, marrëdhëniet e mëposhtme zhvillohen: ku X(0) dhe R(0) - vlerat fillestare të vektorëve në një vit t
= 0. Nga (5), (6) rrjedh se në trajektoren e rritjes së ekuilibruar marrëdhëniet duhet të përmbushen. Është duke u trajtuar çështja e ekzistencës së trajektoreve të rritjes së ekuilibruar nga teoremat e mëposhtme. Teorema e parë e Neumann-it... Nëse matricat A dhe B kënaqin vetitë 1-3, atëherë sistemi i pabarazive (7) ka një zgjidhje X (t), p (t), λ, ρ, ato. ka trajektore të balancuara rritjeje në modelin Neumann. Teorema e dytë e Neumann-it. Ka një zgjidhje X
* (t), fq
* (t),λ * ,ρ * sistemi (7), i cili do të ketë shpejtësinë maksimale të rritjes λ * ≥ λ dhe përqindja minimale e përqindjes ρ * ≤ ρ në krahasim me tretësirat e tjera. Në këtë rast, raporti plotësohet: Kjo zgjidhje quhet autostradë, ose trajektore Rritja maksimale e balancuar në modelin Neumann. Modeli i Neumann-it është një model i pallogaritshëm, thjesht teorik. Qasja në rezultatet praktike kryhet përmes modelit dinamik të V. Leont'ev, i cili është një rast i veçantë i modelit Neumann. Çmimet e marra në bazë të bilancit dinamik kanë vetitë e çmimeve të modelit Neumann. Modeli Leontief përdor të dhëna nga balanca dinamike hyrje-dalje. Bazuar në balancën dinamike, është gjithashtu e mundur të ndërtohet një rreze Neumann e rritjes ekonomike maksimale të balancuar dhe të llogariten çmimet që korrespondojnë me këtë rreze, të cilat pasqyrojnë koston oportune. Dallimi midis modelit dinamik ndërsektorial dhe modelit Neumann është se ai bazohet në supozimin se në çdo industri një dhe vetëm një proces prodhimi është i mundur. Kështu, zgjedhja e një zgjidhjeje për secilën industri reduktohet vetëm në përcaktimin e intensitetit të metodës së prodhimit. Si përfundim, vërejmë se me ndihmën e bilancit ndërsektorial ato zgjidhin detyrat e mëposhtme: 1. Duke përdorur tabelën e bilancit input-output, gjeni një matricë të kostove direkte dhe totale. 2. Pasi të keni vendosur vektorin e prodhimit përfundimtar, përcaktoni vektorin e prodhimit bruto. 3. Pasi të keni dhënë vektorin e prodhimit bruto, përcaktoni vektorin e produktit përfundimtar. 4. Me vlera të reja të vlerës së shtuar, gjeni indekset e çmimeve dhe ndërtoni një tabelë të re të bilancit input-output. 5. Gjeni vektorët e prodhimit bruto, vlerës së shtuar, kostove, pjesës së kostove dhe vlerës së shtuar në produktin bruto, ndërsektoriale furnizimi i produkteve, hartoni një tabelë të bilancit input-output. Metoda analitike "input-output" mbushi teorinë e ekuilibrit të përgjithshëm ekonomik me përmbajtje praktike, kontribuoi në përmirësimin e aparatit matematikor. Metoda e Leontief dallohet nga qartësia dhe thjeshtësia, universaliteti dhe globaliteti, me fjalë të tjera, përshtatshmëria për ekonominë e vendeve dhe rajoneve individuale, për ekonominë botërore në tërësi. Modeli input-output i Leontief bazohet në skemën e bilancit input-output nën supozimin se çdo industri prodhon një dhe vetëm produktin e saj duke përdorur produktet e industrive të tjera dhe përmes teknologjisë lineare. Ndihmon për të analizuar fluksin e mallrave midis industrive dhe i përgjigjet pyetjes: a është e mundur, në kushtet e kësaj teknologjie, të plotësohet kërkesa përfundimtare e popullsisë për mallra? Trajektorja kryesore është rrezja Neumann. Çështja kryesore e teorisë së shtyllës kurrizore është analiza e afërsisë së trajektoreve të modeleve të optimizimit me shtyllat kurrizore përkatëse. Trajektoret optimale në modelet dinamike Leontiev dhe Neumann kanë veti të tilla në kushte të caktuara shtesë. 1. Kolemaev V.A. "Modelimi ekonomik dhe matematikor" UNITY-DANA, 2005 295 f. 2. Pottosina S. A., Zhuravlev V. A. "Modelet dhe metodat ekonomiko-matematikore" Libër mësuesi për studentët e specialiteteve ekonomike, 2003. - 94 f. 3. Modelet dhe metodat ekonomike dhe matematikore / Ed. A.V. Kuznetsova. - Minsk: BSEU, 2000. 4.http: //slovari.yandex.ru/dict/lopatnikov/article/lop/lop-0879.htm 5.http: //www.sseu.ru/edumat/v_mat/course2/razd10_2/par10_4k2.htm
Tutoring
Dërgo një kërkesë me tregimin e temës tani për të mësuar në lidhje me mundësinë e marrjes së një konsultimi.
Dërgoni punën tuaj të mirë në bazën e njohurive është e thjeshtë. Përdorni formularin e mëposhtëm
1.1 Koncepti i sistemeve dinamike
1.2 Modelet e sistemeve dhe proceseve dinamike
konkluzioni
Gjatë kryerjes së kësaj pune, u zgjidhën detyrat e mëposhtme:
1) është modeluar një sistem kontrolli i vazhdueshëm bazuar në modelin e matricës së objektit të vëzhgimit;
2) është marrë dhe ndërtuar funksioni i transferimit të filtrit formues të procesit të hyrjes;
3) janë përpiluar dhe ndërtuar modeli i matricës së sensorit dhe funksioni i daljes për objektin e vëzhgimit;
4) në bazë të ekuacioneve diferenciale të procesit dhe objektit të kontrollit, formohet një ekuacion i plotë i objektit të kontrollit;
5) janë ndërtuar grafikët për parametrin dalës të filtrit h (t), për daljen e objektit të vëzhgimit h (t) dhe daljen e sensorit (sensorit) y (t);
6) është projektuar një model i një sistemi mekanik;
7) është paraqitur grafiku i koordinatës dhe shpejtësisë kundrejt kohës, si dhe trajektorja fazore e sistemit.
Lista e burimeve të përdorura
1. Volkov, V.L. Modelimi i proceseve dhe sistemeve. Libër mësuesi. shtesa / V.L. Volkov. - N. Novgorod; NSTU, 1997.-80 f.
2. Lebedev, A.N. Modelimi në kërkimin shkencor dhe teknik. - M .: Radio dhe komunikim, 1989.
3. Prokhorov, S.A. Përshkrimi dhe modelimi matematik i proceseve të rastësishme. - Samara. Shteti Samara hapësirës ajrore un-t, 2001.-209 f.
4. Modelimi i proceseve dhe sistemeve. Sistemet dinamike stokastike dhe deterministe dhe proceset e informacionit. Punime laboratorike. Udhëzime Metodike / Përpiluar nga: Volkov V.L., Gushchin O.G., Pozdyaev V.I. - N. Novgorod. NSTU, 1998. -32 f.
Postuar në Allbest.ru
Dokumente të ngjashme
(4)
(6)
(7)
(9)Rybnaya
-25056
-46023
-27579
-9222
18357
-22098
-79866
Logjistika
101607
-1499
56461
8932
226650
-181033
-583399
Riparimi i anijes
-7076
29510
9728
55934
-35028
15280
-432869
Ushqimi
10100
11822
39809
-54373
12350
35889
-532456
Makina dhe instrumente
11706
2156
16085
-97206
36989
9201
-543768
Prodhimi i produkteve, B
Konsumi i produktit
Rybnaya
Logjistika
Riparimi i anijes
Ushqimi
Makina dhe instrumente
Rybnaya
1
5,5
1,5
5
6
56700
101964
Logjistika
6
1
5
4,5
3
56430
204324
Riparimi i anijes
4,5
5
1
6
6
390860
508326
Ushqimi
5
5
5
1
6
787890
1289754
Makina dhe instrumente
4
4
5
4
1
323630
734563
Prodhimi i produkteve, B
Konsumi i produktit
Produkti përfundimtar Y
Prodhimi bruto
Rybnaya
Logjistika
Riparimi i anijes
Ushqimi
Makina dhe instrumente
Rybnaya
0,8
4,4
1,2
4
4,8
56700
101964
Logjistika
4,8
0,8
4
3,6
2,4
56430
204324
Riparimi i anijes
3,6
4
0,8
4,8
4,8
390860
508326
Ushqimi
4
4
4
0,8
4,8
787890
1289754
Makina dhe instrumente
3,2
3,2
4
3,2
0,8
323630
734563
(Matrica A - matrica e kostove direkte)Industrisë
x në t = 1
Ф në t = 1
y në t = 1
Rybnaya
191487
-20044,8
-3,601*10^4
Logjistika
372281
81285,6
7,575*10^4
Riparimi i anijes
364521
-5660,8
2,697*10^3
Ushqimi
476859
8080
1,824*10^4
Makina dhe instrumente
564837
9364,8
-8,428*10^3
Industrisë
x në t = 2
Ф në t = 2
y në t = 2
Rybnaya
166431
-56863,2
-6,808*10^4
Logjistika
473888
80086,4
-6,632*10^3
Riparimi i anijes
357445
17947,2
2,495*10^4
Ushqimi
486959
17537,6
2,816*10^4
Makina dhe instrumente
576543
11089,6
5,698*10^3
Industrisë
x në t = 3
Ф në t = 3
y në t = 3
Rybnaya
120408
-78926,4
-4,702*10^4
Logjistika
472389
125255,2
2,757*10^4
Riparimi i anijes
386955
25729,6
8,966*10^3
Ushqimi
498781
49384,8
3,867*10^4
Makina dhe instrumente
578699
23957,6
-3,451*10^3
Industrisë
x në t = 4
Ф në t = 4
y në t = 4
Rybnaya
92829
-86304
-4,489*10^4
Logjistika
528850
132400,8
5,323*10^4
Riparimi i anijes
396683
70476,8
3,166*10^4
Ushqimi
538590
5886,4
-3,038*10^4
Makina dhe instrumente
594784
-53807,2
-6,271*10^4
Industrisë
x në t = 5
Ф në t = 5
y në t = 5
Rybnaya
83607
-71618,4
8,141*10^3
Logjistika
537782
313720,8
1,671*10^5
Riparimi i anijes
452617
42454,4
-2,388*10^4
Ushqimi
484217
15766,4
-2,626*10^3
Makina dhe instrumente
497578
-24216
-2,208*10^4
Industrisë
x në t = 6
Ф në t = 6
y në t = 6
Rybnaya
101964
-89296,8
-9,557*10^3
Logjistika
764432
168894,4
-1,595*10^5
Riparimi i anijes
417589
54678,4
1,239*10^4
Ushqimi
496567
44477,6
3,563*10^4
Makina dhe instrumente
534567
-16855,2
3,836*10^4
(1)
a
ij
≥0 ,b
ij≥0, d.m.th. të gjithë elementët e matricës janë jonegativë;
prodhimi konsumon të paktën një produkt;
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
