Sinjalet e moduluara nga amplituda dhe spektri i tyre

Me modulimin e amplitudës (AM), amplituda e sinjalit bartës ndikohet nga sinjali i mesazhit. Vlera e menjëhershme e lëkundjes AM me një bartës harmonik mund të shkruhet si

ku U m (t) - "amplitudë e ndryshueshme" ose mbështjellje amplitude;

- frekuenca rrethore e sinjalit bartës;

- faza fillestare e sinjalit bartës.

"Amplituda e ndryshueshme" U m (t) është proporcionale me sinjalin e kontrollit (sinjali i mesazhit) U c (t):

, (2.17)

ku U m 0 - amplituda e sinjalit bartës para modulimit të amplitudës, domethënë mbërritja në modulator;

- koeficienti i proporcionalitetit.

Kur moduloni një sinjal bartës me një sinjal mesazhi, është e nevojshme të siguroheni që U m (t) të jetë pozitiv. Kjo kërkesë plotësohet me zgjedhjen e koeficientit.

Për të eliminuar ndikimin e proceseve kalimtare në qarkun elektronik të modulatorit dhe qarqeve të tjera për konvertimin e sinjalit të moduluar në spektrin e sinjalit të mesazhit, duhet të plotësohet kushti i mëposhtëm: komponenti spektral i frekuencës më të lartë në spektrin e kufizuar të sinjalit të mesazhit. duhet të ketë një frekuencë, e cila sigurohet duke zgjedhur frekuencën e sinjalit bartës.

Në fig. 2.10 dhe 2.11 tregojnë dy shembuj të ndërtimit të grafikëve të lëkundjeve AM. Shifrat tregojnë grafikët e mëposhtëm:

a - sinjal mesazh u c (t);

b - sinjali bartës u 0 (t);

c - mbështjellës i amplitudave U m (t);

d - sinjal AM u (t).

Për të kuptuar formimin e spektrit të sinjalit AM, merrni parasysh një rast të thjeshtë: një lëkundje të moduluar nga amplituda me një ton. Në këtë rast, sinjali modulues është harmonik (një ton):

me amplitudë U mc, frekuencë dhe fazë fillestare.

Zarfi i amplitudave të një lëkundjeje AM me një ton është si më poshtë:

ku është rritja maksimale e amplitudës. Vlera e menjëhershme e lëkundjes AM me një ton

Marrëdhënia quhet raporti i thellësisë së modulimit ose thjesht faktori i modulimit... Që nga U m (t) > 0, pastaj 0 < m < 1. Shpesh m matet si përqindje, pastaj 0 < m < njeqind%. Duke marrë parasysh futjen e koeficientit të modulimit, luhatja e moduluar me një ton mund të shkruhet në formën:

Grafikët që shpjegojnë procesin e modulimit të amplitudës me një ton janë paraqitur në Fig. 2.12.

Oriz. 2.12. Modulimi i amplitudës me një ton

Për të gjetur spektrin e një sinjali të moduluar me amplitudë me një ton, është e nevojshme të bëhen transformimet e mëposhtme:

(2.20)

Gjatë nxjerrjes së shprehjes (2.20), është përdorur formula trigonometrike

Kështu, me modulimin e amplitudës me një ton të sinjalit bartës, spektri përmban tre komponentë: një në frekuencën bartëse ka një amplitudë U m 0 dhe dy në frekuencat anësore me amplituda mU m 0/2, në varësi të koeficientit të modulimit; në m < 1, amplituda e tyre nuk është më shumë se gjysma e amplitudës së harmonikës së bartësit. Fazat fillestare të lëkundjeve të komponentëve spektralë anësore ndryshojnë nga faza fillestare për një vlerë. Në fig. 2.13 tregon grafikët e ASF dhe PFC të një lëkundjeje të moduluar nga amplituda me një ton.

Oriz. 2.13. Spektri i një vibrimi të moduluar nga amplituda me një ton

Nga analiza e spektrit, rezulton se ASF është çift në lidhje me frekuencën, dhe PSF është tek në lidhje me pikën me koordinatat (,).

Me kusht që të gjithë komponentët e spektrit të jenë me frekuencë të lartë, prandaj, një sinjal i tillë mund të transmetohet në mënyrë efektive duke përdorur EMW.

Konsideroni parametrat e energjisë të një sinjali AM me një ton. Fuqia mesatare për periudhën e sinjalit bartës, e ndarë në rezistencën e njësisë,

Në mungesë të modulimit, kjo fuqi është

dhe gjatë modulimit ndryshon nga

.

Nëse m = 100%, atëherë, dhe P min = 0. Fuqia mesatare e sinjalit gjatë periudhës së modulimit do të jetë shuma e fuqive të komponentëve spektralë

Në rastin e m = 100% P cf = 1,5 P 0.

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë rastin e përgjithshëm të të ashtuquajturit sinjal AM me shumë ton. Sinjali modulues, domethënë sinjali i mesazhit, ka një spektër të formës (1.22)

.

Zarfi i amplitudës duket si:

ku është rritja maksimale e amplitudës së harmonikës n-të të sinjalit modulues.

Shprehja për një sinjal AM me shumë ton do të marrë formën e mëposhtme:

(2.23)

ku është faktori i modulimit të harmonikës n-të të sinjalit modulues. Duke aplikuar transformime të ngjashme trigonometrike, siç është bërë për modulimin e amplitudës me një ton, marrim

(2.24)

Shprehja (2.24) paraqet spektrin e një sinjali të moduluar nga amplituda. Në lidhje me lëkundjet me frekuencë, ekzistojnë dy rreshta përbërësish me frekuenca anësore të larta dhe të ulëta. Këta komponentë formojnë të ashtuquajturat brezat anësore të sipërme dhe të poshtme të spektrit.

Është e pamundur të transmetohet i gjithë spektri i sinjalit AM përmes kanalit të informacionit për arsyet e mëposhtme. Së pari, është e pamundur të krijohet një qark linear ideal në fushën e frekuencës, shih seksionin 1.4. Së dyti, me rritjen e gjerësisë së brezit të qarkut linear, raporti i fuqisë së sinjalit me fuqinë e zhurmës mund të ulet (shih seksionin 1.5). Së treti, gjerësia e brezit, nëse është e mundur, duhet të jetë minimale në mënyrë që të punojnë sa më shumë linja radio (kanale radio) në një gamë të caktuar frekuencash, të cilat nuk ndikojnë njëra-tjetrën, domethënë nuk ndërhyjnë me njëra-tjetrën. Prandaj, spektri i sinjalit është i kufizuar në frekuencën më të largët nga frekuenca e sinjalit bartës. Në fig. 2.14 tregohet spektri i amplitudës së sinjalit AM. Gjerësia e spektrit përcaktohet nga frekuenca maksimale në spektrin e sinjalit modulues dhe është 2. Vlerat e përafërta të gjerësisë së spektrit për disa sinjale AM ​​janë paraqitur në tabelë. 1.1.

Në këtë artikull, ne do të përqendrohemi në spektrin e një sinjali të moduluar nga këndi. Së pari, merrni parasysh modulimin këndor me një ton dhe më pas merrni parasysh një rast më të përgjithshëm me një sinjal modulues arbitrar. Duhet të theksohet se një shprehje për spektrin mund të merret në një formë analitike vetëm në rastin e modulimit këndor me një ton.

Paraprakisht, ne paraqesim disa marrëdhënie matematikore nga teoria e funksioneve të Besselit dhe numrave kompleksë që do të na nevojiten në analizën tonë.

Në matematikë, është vërtetuar se një funksion mund të zgjerohet në një seri të pafundme:

(1)

Ku është funksioni Bessel i llojit të parë të rendit të plotë të argumentit, është njësia imagjinare. Në mënyrë të ngjashme, funksioni përfaqësohet pranë:

Le të kujtojmë nga teoria e funksioneve komplekse se:

Ku është sinjali modulues, është indeksi i modulimit të fazës, është frekuenca e bartësit, është faza fillestare e rastësishme e valës bartëse. Le të shqyrtojmë rastin e modulimit të fazës me një ton, kur ku është frekuenca e sinjalit modulues, është faza fillestare e sinjalit modulues. Pastaj

Le të ndajmë në tre shuma:

Le të marrim pjesën reale tani:

(12)

Analiza e spektrit të një sinjali të moduluar me kënd të vetëm

Tani e kuptojmë. Spektri është i pafund dhe përbëhet nga harmonikë që janë shumëfish të frekuencës së brezit bazë në të djathtë dhe në të majtë të frekuencës qendrore. Amplituda e harmonikëve varen nga indeksi i modulimit. Në këtë rast, pesë terma tregojnë sjelljen e spektrit.

Termi i parë tregon se amplituda e harmonikëve çift nën frekuencën qendrore janë , ndërsa faza e këtyre harmonikave është , ndërsa çdo harmonikë e katërt, duke filluar nga e dyta (2,6,10,14,18 ... harmonike), merr një zhvendosje për shkak të faktorit. Amplituda dhe spektri i fazës për termin e parë të sinjalit janë paraqitur në Fig. 1 në ngjyrë të kuqe.

Termi i dytë tregon amplitudat dhe fazat e harmonikave teke nën frekuencën qendrore. Amplituda e harmonikave teke nën frekuencën qendrore janë , dhe fazat. Zhvendosja e fazës është për faktin se shuma e dytë përfshin sinuset, jo kosinuset. Ashtu si në termin e parë, çdo harmonik i katërt, duke filluar nga i pari (1,5,9,13,17 ...), merr një zhvendosje për shkak të faktorit. Amplituda dhe spektri i fazës për termin e dytë të sinjalit janë paraqitur në Fig. 1 me ngjyrë blu.

Termi i tretë tregon harmoninë e frekuencës bartëse. Amplituda e saj, faza. Në figurën 1, harmonika e frekuencës qendrore është e zezë.

Termi i katërt tregon amplitudat dhe fazat e harmonikëve çift mbi frekuencën qendrore. Amplituda janë të njëjta si për harmonikat çifte nën frekuencën qendrore, dhe fazat janë të barabarta , dhe faktori tashmë i njohur zhvendoset çdo fazë të katërt, duke filluar nga e dyta. Në figurën 1, harmonikët e termit të katërt janë paraqitur me të kuqe.

Dhe së fundi, termi i pestë i fundit korrespondon me harmonikat teke mbi atë qendrore. Amplitudat janë të njëjta si për harmonikat teke nën frekuencën qendrore, fazat janë të barabarta. Zhvendosja fazore është për faktin se shuma përfshin sinuset, jo kosinuset, dhe natyrisht çdo harmonik i katërt zhvendoset duke u nisur nga i pari. Në figurën 1, harmonikët e termit të pestë janë paraqitur me ngjyrë të gjelbër.

Figura 1: Amplituda dhe spektri fazor i një sinjali të moduluar fazor në m = 10

Disa komente për Figurën 1. Gjerësia e brezit të sinjalit të moduluar me kënd 0,5 (-3 dB) varet nga indeksi i modulimit dhe frekuenca e brezit bazë:

(13)

Ku është devijimi i frekuencës. Sa më e lartë të jetë frekuenca e brezit bazë dhe sa më i lartë të jetë indeksi i modulimit, aq më i gjerë është gjerësia e brezit të sinjalit. Figura 1 tregon qartë se saktësisht në 10 harmonikë djathtas dhe majtas kanë një amplitudë mbi gjysmën e maksimumit. Spektri fazor tregon vija të drejta paralele të tërhequra përmes spektrit fazor, duke prekur çdo harmonik të katërt dhe duke treguar zhvendosjen e fazës kur ndryshon numri harmonik. Duhet të theksohet se spektri fazor i paraqitur në figurën 1 nuk merr parasysh periodicitetin e fazës. Spektri fazor, duke marrë parasysh periodicitetin e fazës, është paraqitur në Figurën 2.

Figura 2: Spektri fazor duke marrë parasysh periodicitetin e fazës

Në këtë rast, spektri i marrë me modulim fazor me një ton në frekuencën e sinjalit modulues dhe indeksit të modulimit korrespondon me spektrin e sinjalit me modulim të frekuencës me një ton në devijimin e frekuencës. Kështu, modulimi i fazës me një ton dhe modulimi i frekuencës janë të padallueshëm. Dallimet do të vërehen nëse ndryshon frekuenca e sinjalit modulues. Le ta shqyrtojmë këtë me një shembull specifik.

Le të ketë një sinjal modulues me një frekuencë prej 10 kHz.

(14)

Konsideroni dy sinjale - sinjalin PM dhe - sinjalin FM. Vendosni devijimin e fazës në PM, vendosni devijimin e frekuencës në FM. Frekuenca bartëse e të dy sinjaleve është vendosur e barabartë me

Spektrat e amplitudës së sinjaleve FM dhe PM me këto parametra janë paraqitur në Figurën 3.

Figura 3: Spektrat e sinjaleve FM dhe PM në një frekuencë të brezit bazë prej 10 kHz

Spektri i amplitudës doli të jetë i njëjtë, pasi për parametrat e dhënë të sinjalit FM, marrim devijimin e fazës së sinjalit FM si në PM. Kështu, ne morëm sinjale në një brez 200 kHz me të njëjtin numër harmonike në të djathtë dhe në të majtë të bartësit.

Tani le të zvogëlojmë frekuencën e sinjalit modulues me 2 herë, domethënë Ne nuk e ndryshojmë frekuencën e bartësit, si dhe frekuencën dhe devijimin e fazës. Spektrat e amplitudës në këtë rast janë paraqitur në Figurën 4.

Figura 4: Spektri i sinjaleve FM dhe PM në një frekuencë të brezit bazë prej 5 kHz

Spektrat kanë ndryshuar. Le ta kuptojmë. Hapi ndërmjet harmonikave është ulur me 2 herë (krahasuar me Figurën 3), pasi hapi ndërmjet harmonikave është i barabartë me frekuencën e sinjalit modulues dhe është ulur me 2 herë.

Meqenëse devijimi i frekuencës është vendosur për FM, gjerësia e brezit të sinjalit FM nuk ka ndryshuar në krahasim me gjerësinë e brezit të sinjalit FM në figurën 3. Meqenëse devijimi i frekuencës dhe devijimi i fazës lidhen nga marrëdhënia atëherë devijimi i fazës në FM është rritur me 2 herë për shkak të uljes së frekuencës së sinjalit modulues (devijimi i frekuencës në FM nuk mund të ndryshojë).

Në të vërtetë, numri i harmonikëve në brezin e sinjalit FM është dyfishuar. Në PM, përkundrazi, vendoset devijimi i fazës, domethënë numri i harmonikëve në spektër, prandaj, me zvogëlimin e distancës midis harmonikave, devijimi i frekuencës së sinjalit PM zvogëlohet, në këtë rast, 2 herë krahasuar në figurën 3. Spektri PM duket se është i ngjeshur përgjatë boshtit të frekuencës, duke mos ndryshuar formën, dhe spektri FM, përkundrazi, fiton më shumë harmonikë. Nëse zvogëlojmë më tej frekuencën e lëkundjes moduluese, për shembull, në 2 kHz, atëherë spektri FM do të mbetet i njëjtë i gjerë, pasi devijimi i frekuencës nuk ka ndryshuar, por do të jetë edhe më i ngopur me harmonikë, që nga devijimi i fazës do të jetë i barabartë me spektrin PM, dhe do të jetë edhe më i "ngjeshur" numri i harmonikëve. Devijimi i frekuencës në PM do të jetë vetëm. Kjo mund të verifikohet duke parë Figurën 5.

Figura 5: Spektri i sinjaleve FM dhe PM në një frekuencë të brezit bazë prej 2 kHz

Rasti i përgjithshëm i një spektri sinjali të moduluar nga këndi

Në rastin e modulimit këndor me një ton, spektri i sinjalit është simetrik, megjithatë, në përgjithësi, spektri i sinjalit të moduluar këndor nuk është simetrik. Simetria e spektrit ndodh kur forma e sinjalit modulues sipër dhe poshtë është e njëjtë.Figura tregon një shembull të një sinjali modulues, modulimi këndor i të cilit do të çojë në një spektër asimetrik në lidhje me frekuencën qendrore. Në të dyja rastet, frekuenca qendrore është 200 kHz.

Figura 6: Spektri i pabalancuar i sinjalit FM dhe PM

Figura tregon qartë se spektrat e sinjaleve FM dhe PM janë të pabalancuara në lidhje me 200 kHz, dhe format e spektrave janë qartësisht të ndryshme. Asimetria e spektrave të sinjaleve me modulimin e këndit çon në faktin se është e pamundur të kryhet modulimi i këndit të një brezi anësor të vetëm.

konkluzionet

Kështu, ne morëm një shprehje analitike për spektrin e një sinjali me modulim këndor, ekzaminuam ndryshimin midis sinjaleve FM dhe PM kur ndryshonte frekuenca e sinjalit modulues, dhe gjithashtu treguam asimetrinë e spektrit të sinjalit me modulim këndor në një sinjal arbitrar modulues.

Leksioni numër 6 Sinjalet e moduluara

Modulimi kuptohet si një proces (i ngadalshëm në krahasim me periudhën e valës bartëse) në të cilin një ose më shumë parametra të valës bartëse ndryshohen sipas ligjit të mesazhit të transmetuar. Lëkundjet e fituara në procesin e modulimit quhen sinjale radio.Në varësi se cili nga parametrat e emërtuar të lëkundjes së bartësit i nënshtrohet ndryshimit, dallohen dy lloje kryesore të modulimit analog: amplituda dhe këndore. Lloji i fundit i modulimit, nga ana tjetër, ndahet në frekuencë dhe fazë.Në sistemet moderne të transmetimit të informacionit dixhital, modulimi kuadratik (faza-amplitudë, ose amplituda e fazës - SPM; modulimi i fazës së amplitudës) është bërë i përhapur, në të cilin të dyja amplituda dhe ndryshimi i fazës sinjalizon njëkohësisht. Ky lloj modulimi i referohet të dyja mënyrave analoge dhe dixhitale.

Në sistemet e radios, shpesh përdoren dhe do të përdoren lloje të ndryshme të modulimit pulsi dhe dixhital, në të cilat sinjalet e radios paraqiten në formën e të ashtuquajturave pulsime radio.

Sinjalet e radios me modulim analog Gjatë modulimit të amplitudës së valës bartëse (1)

amplituda e saj duhet të ndryshojë sipas ligjit: (2)

ku U H - amplituda e bartësit në mungesë të modulimit; ω 0 - frekuenca këndore; φ 0 - faza fillestare; ψ (t) = ω 0 + φ 0 - faza bartëse e plotë (aktuale ose e menjëhershme); k А - koeficienti pa dimension i proporcionalitetit; e (t) - sinjal modulues. U H (t) në inxhinierinë radio zakonisht quhet mbështjellja e një sinjali të moduluar nga amplituda (sinjali AM).

Duke zëvendësuar (2) në (1), marrim formulën e përgjithshme të sinjalit AM (3)

Modulimi i amplitudës me një ton nëse sinjali modulues është një lëkundje harmonike (4)

ku E 0 është amplituda; Ω = 2π / Т 1 = 2πF - frekuenca e modulimit këndor; F -

frekuenca e modulimit ciklik; T 1 - periudha e modulimit; θ 0 - faza fillestare.

Duke zëvendësuar formulën (4) në relacionin (3), marrim shprehjen për sinjalin AM (5)

O duke treguar me ∆U = k A E 0 - devijimin maksimal të amplitudës së sinjalit AM nga amplituda e bartësit U H dhe duke kryer llogaritjet e thjeshta, marrim (6)

Raporti ose thellësia e modulimit të amplitudës.

Spektri i sinjalit AM... Duke zbatuar në shprehjen (5) formulën trigonometrike të prodhimit të kosinusit, pas llogaritjeve të thjeshta marrim (7)

Nga formula (7) mund të shihet se me modulimin e amplitudës me një ton, spektri i sinjalit AM përbëhet nga tre komponentë me frekuencë të lartë. E para prej tyre është dridhja origjinale e bartësit me amplitudë konstante U H dhe frekuencë me ω 0. Komponenti i dytë dhe i tretë karakterizojnë lëkundjet e reja harmonike që shfaqen gjatë procesit të modulimit të amplitudës dhe pasqyrojnë sinjalin e transmetuar. Lëkundjet me frekuenca ω 0 + Ω dhe ω 0 - Ω quhen përkatësisht përbërësit anësor të sipërm (banda anësore - USB) dhe të poshtëm ( brezi anësor i poshtëm - LSB).

Gjerësia reale e spektrit të sinjalit AM me modulim me një ton (8)

Në praktikë, sinjalet AM me një ton përdoren për qëllime mësimore ose kërkimore. Sinjali i vërtetë modulues ka një përbërje komplekse spektrale. Matematikisht, një sinjal i tillë i përbërë nga N harmonikë mund të përfaqësohet nga seria trigonometrike N (10)

Këtu amplituda e harmonikëve të sinjalit kompleks modulues E i janë arbitrare, dhe frekuencat e tyre formojnë një spektër të renditur Ω 1< Ω 2 < ...< Ω i < ...< Ω N . В отличие от ряда Фурье частоты Ω i не обязательно кратны друг другу. Подставляя (10) в (3), после несложных преобразований, получим выражение АМ-сигнала с начальной фазой несущего ф0 = О (11)

(12)

Një grup koeficientësh të modulimit të pjesshëm (të pjesshëm) Këta koeficientë karakterizojnë ndikimin e komponentëve harmonikë të sinjalit modulues në ndryshimin e përgjithshëm të amplitudës së lëkundjes me frekuencë të lartë. Duke përdorur formulën trigonometrike të prodhimit të dy kosinuseve dhe duke kryer shndërrime të thjeshta, shkruajmë (11) në formën (13)

Oriz. 2. Diagramet spektrale për modulimin me një sinjal kompleks:

a - sinjal modulues; b - sinjal AM

Gjerësia e spektrit të një sinjali kompleks AM është e barabartë me dyfishin e vlerës së frekuencës më të lartë në spektrin e sinjalit modulues Ω N, d.m.th., (14)

Modulimi i frekuencës

Me modulimin e frekuencës (FM), vlera e menjëhershme e frekuencës bartëse ω (t) lidhet me sinjalin modulues e (t) nga varësia (15)

këtu k H është koeficienti dimensional i proporcionalitetit midis frekuencës dhe tensionit, rad / (V-s).

Faza totale e sinjalit FM në çdo moment kohor t përcaktohet duke integruar frekuencën e menjëhershme, të shprehur përmes formulës (15),

Oriz. 3. Modulimi i frekuencës me një ton:

a - mbartëse dridhjeje; b - sinjal modulues; c - sinjal FM

Devijimi maksimal i frekuencës nga vlera ω 0, ose devijimi i frekuencës me modulim të frekuencës;

Devijimi maksimal nga faza aktuale ω 0 t ose devijimi fazor i valës bartëse quhet indeksi i modulimit të frekuencës. Ky parametër përcakton intensitetin e lëkundjeve të fazës fillestare të sinjalit të radios.

Duke marrë parasysh marrëdhëniet e marra (1) dhe (16), sinjali i moduluar nga frekuenca do të shkruhet në formën e mëposhtme:

Spektri i sinjalit FM me modulim me një ton. Ne transformojmë shprehjen që rezulton (17)

Spektri i sinjalit FM në m"1 (ky modulim këndor quhet brez i ngushtë). Në këtë rast, ka barazi të përafërta: (18)

Duke zëvendësuar formulat (18) në shprehjen (17), pas transformimeve të thjeshta matematikore, marrim (në fazat fillestare të lëkundjeve moduluese dhe bartëse θ 0 = 0 dhe φ 0 = 0): (19)

Ne shohim që, sipas të dhënave analitike, spektri i sinjalit FM me modulim me një ton i ngjan spektrit të sinjalit AM dhe gjithashtu përbëhet nga një dridhje bartëse dhe dy komponentë anësor me frekuenca (ω 0 + Ω) dhe (ω 0 - Ω), dhe amplituda e tyre llogaritet në mënyrë të ngjashme (vetëm në vend të faktorit të modulimit të amplitudës M, indeksi i modulimit këndor m) shfaqet në formulën për sinjalin FM. Por ka edhe një ndryshim thelbësor që e shndërron modulimin e amplitudës në modulim të frekuencës, shenjën minus përpara njërit prej komponentëve anësor.

Spektri i sinjalit FM nëm> 1 ... Dihet nga matematika (20) (21)

ku J n (m) është funksioni Bessel i llojit të parë të rendit të n-të.

V
nga teoria e funksioneve Bessel, vërtetohet se funksionet me indeks pozitiv dhe negativ lidhen me njëri-tjetrin me formulën (22)

Ne zëvendësojmë seritë (20) dhe (21) në formulën (17), dhe më pas zëvendësojmë prodhimin e kosinuseve dhe sinuseve me gjysmën e shumave të kosinuseve të argumenteve përkatëse. Pastaj, duke marrë parasysh (22), marrim shprehjen e mëposhtme për sinjalin FM (23)

Pra, spektri i një sinjali FM me modulim me një ton në indeks

modulimi m> 1 përbëhet nga shumë harmonikë me frekuencë të lartë: lëkundje bartëse dhe një numër i pafund komponentësh anësor me frekuenca ω 0 + nΩ. dhe ω 0 -nΩ, të vendosura në çifte dhe në mënyrë simetrike në lidhje me frekuencën bartëse ω 0.

Në këtë rast, bazuar në (22), mund të vërehet se fazat fillestare të lëkundjeve anësore me frekuenca ω 0 + nΩ. dhe ω 0 -nΩ përputhen nëse m është numër çift, dhe ndryshojnë me 180 ° nëse m është tek. Spektri i sinjalit FM (dhe gjithashtu sinjali FM) është teorikisht i pafund, por në raste reale është i kufizuar. Gjerësia praktike e spektrit për sinjalet e moduluara me kënd

Sinjalet FM dhe PM të përdorura në praktikë në radio inxhinierinë dhe komunikimin kanë një indeks modulimi m >> 1, prandaj

P Gjerësia e brezit të një sinjali FM me një ton është dyfishi i devijimit të frekuencës dhe është i pavarur nga frekuenca e modulimit.

Krahasimi i imunitetit të sistemeve radio me amplitudë dhe modulim këndor. Duhet të theksohet se sinjalet e radios të moduluara nga këndi kanë një sërë avantazhesh të rëndësishme ndaj lëkundjeve të moduluara nga amplituda.

1. Meqenëse gjatë modulimit këndor amplituda e lëkundjeve të moduluara nuk mbart asnjë informacion dhe nuk kërkon qëndrueshmërinë e tij (ndryshe nga modulimi i amplitudës), atëherë praktikisht çdo ndryshim jolinear i dëmshëm në amplituda e sinjalit radio gjatë procesit të komunikimit nuk çon në shtrembërim i dukshëm i mesazhit të transmetuar.

2. Qëndrueshmëria e amplitudës së sinjalit të radios gjatë modulimit këndor lejon përdorimin e plotë të aftësive energjetike të gjeneratorit të frekuencës bartëse, i cili funksionon me një fuqi mesatare konstante lëkundjeje.

Pyetja 14, 16

Në modulimin e frekuencës (FM), frekuenca e sinjalit harmonik ndryshon sipas pozicionit të rëndësishëm të sinjalit të të dhënave. Elementet e njësisë që korrespondojnë me simbolet e të dhënave 1 dhe 0 janë paraqitur si (Figura 3.7):

ku

Dallimi quhet devijimi i frekuencës, raporti është indeksi i modulimit dhe dhe janë frekuencat karakteristike. Spektri i sinjalit FM zë një brez shumë më të madh të frekuencës sesa me DM (natyrisht, me të njëjtën shpejtësi transmetimi).

Për shkak të kufizimit të spektrit, një proces kalimtar ndodh si në amplitudë ashtu edhe në frekuencë. Kohëzgjatja e vendosjes së frekuencës nga në varet nga raporti ku është vendosur brezi i kërkuar i frekuencës për transmetimin e një sinjali binar FM. Kompromisi midis shtrembërimit të pranueshëm dhe gjerësisë së brezit të kërkuar arrihet me vlera.

Kështu, brezi i kërkuar i frekuencës për transmetimin e një sinjali binar FM me shtrembërim të lejueshëm përcaktohet nga shprehja

Shpejtësia specifike e transmetimit për m> 1 është afër 0,5 bit / s * Hz

U konstatua se për m<1 основная энергия сигнала сосредоточена вблизи несущей частоты , поэтому можно достичь удельной скорости передачи 1бит/с*Гц. Например, при

Pastaj

Për të formuar sinjalin FM, përdoret një oshilator i kontrolluar (UG), frekuenca e të cilit mund të ndryshojë pa kërcime fazore dhe me kërcime fazore. Zbatimi i FM pa ndërprerje fazore kryhet nga veprimi i drejtpërdrejtë i sinjalit primar A (t) në frekuencën e oshilatorit bartës. Faza-gap FM fitohet duke përdorur oshilatorë të pavarur të akorduar në frekuencat e dëshiruara dhe spektri i amplitudës së sinjalit të moduluar zë një gjerësi brezi më të gjerë sesa pa formësimin e hendekut fazor.

Demodulimi i sinjaleve FM mund të kryhet në një metodë koherente dhe jokoherente. Ky i fundit përdoret gjerësisht për transmetimin e të dhënave me shpejtësi specifike të ulët. Parimi i përgjithshëm i demodulimit është zbulimi i frekuencës (FD) duke përdorur diskriminues që konvertojnë një ndryshim në frekuencë në një ndryshim në amplitudë.

Meqenëse parametri i ndryshueshëm i sinjalit është frekuenca, kufizuesit e amplitudës Ogr përdoren për të zvogëluar ndikimin e ndërhyrjes, gjë që rrit ndjeshëm imunitetin e zhurmës së FM në krahasim me AM. Figura 3.8 tregon një bllok diagram të një modemi FM.

Sinjali i të dhënave kontrollon frekuencën e gjeneratorit të valëve bartëse. Shuarja e nënprodukteve të modulimit në transmetim dhe ndërhyrjes në pritje kryhet përkatësisht nga filtrat e transmetimit Φ për dhe marrës Φ pr. Kufizuesi Ogr zvogëlon shtrembërimet e amplitudës. Diskriminuesi D konverton ndryshimet në frekuencën e sinjalit në ndryshime në amplitudë. Filtri i kalimit të ulët LPF shtyp përbërësit e sinjalit të konvertuar sipas frekuencave, etj. Vendimi për sinjalin e marrë merret nga pajisja vendimtare e RU.

Modemët me FM, për shkak të zbatimit të tyre të thjeshtë teknik dhe imunitetit relativisht të lartë të zhurmës, rekomandohen nga CCITT për transmetimin e të dhënave përmes kanaleve standarde PM me një shpejtësi deri në 1200 bit / s.

Modulimi i frekuencës ka një disavantazh - ndjeshmëri e lartë ndaj ndryshimeve në frekuencën e sinjalit gjatë transmetimit përmes kanalit PM

Ashtu si në diskriminues, sinjali FM shndërrohet në sinjal AM, pastaj me një prag konstant regjistrimi, zhvendosja e frekuencës kthehet në një zhvendosje kohëzgjatjeje, d.m.th. të ashtuquajturat shtrembërime të tipit dominues shfaqen “kur kohëzgjatja e mesazheve të njërit polaritet e kalon kohëzgjatjen e mesazheve të polaritetit tjetër. Figura 3.9 tregon vijën e ndërprerë për transmetimin e një sekuence sinjali të dhënash me dy pol ("pika") mbi kanal pa ndryshuar frekuencën e sinjalit dhe vijën e fortë për kanalin me frekuencën e sinjalit që ndryshon me. Në figurë, kohëzgjatja e një elementi sinjali të të dhënave njësi është frekuenca karakteristike.

Për të eliminuar këtë lloj shtrembërimi në procesin e akordimit të një kanali diskret me FM, rregullimi për neutralitetin kryhet gjithmonë.

Modulimi i fazës

Me modulimin fazor, bartës i informacionit është ndryshimi në fazën e lëkundjes harmonike. Elementet e njësisë përfaqësohen si:

ku është indeksi i modulimit të fazës;

Faza fillestare.

Korrespondenca e sinjalit PM me simbolet dhe sinjalet e të dhënave është paraqitur në figurën 3.10.

Siç mund ta shihni në figurën 3.10, një ndryshim fazor ndodh sa herë që ndryshon polariteti i sinjalit të të dhënave.

Vini re se në FM, është thelbësore që të përputhen rreptësisht fazat fillestare të marrësit dhe transmetuesit. Megjithatë, kur sinjali PM kalon nëpër kanalin PM për shkak të një ndryshimi në fazën e sinjalit të transmetuar (ndërrimi i pajisjes gjeneruese të pajisjes formuese të kanalit), ndodh i ashtuquajturi "operacion i kundërt", kur në vend të transmetimit simboli 1, merret simboli 0. Prandaj në praktikë nuk përdoret PM, por përdoret modifikimi i tij. Shkencëtari sovjetik K.T. Petrovich propozoi modulimin e fazës relative (OFM).

Me OFM, parametri që përfaqëson informacionin që mbart sinjalin është ndryshimi i fazës gjatë transmetimit të çdo njësie intervali të vetëm një polariteti, për shembull, siç tregohet në Fig. 3.11, pozitiv. Pra, me transmetimin afatgjatë të vetëm mesazheve pozitive, frekuenca e ndryshimit të fazës do të korrespondojë me shpejtësinë e transmetimit të elementeve të vetme.

Për zbatimin e OFM, është e nevojshme një korrespondencë uniforme midis vlerave të polaritetit të mesazheve dhe vlerave të diferencës së fazës për transmetuesin dhe marrësin.

Nëse simboli i të dhënave 1 korrespondon me një mesazh pozitiv, dhe simboli 0 korrespondon me një negativ, atëherë algoritmi i modulimit për OFM formulohet si më poshtë: kur transmetohet mesazhi i-të që korrespondon me 1, faza e valës bartëse ndryshon befas me 180 ° në lidhje me fazën e parcelës së mëparshme (i-1) -të, dhe kur transmetoni një parcelë që korrespondon me 0, ajo mbetet e njëjtë si në parcelën (i-1) -të.

Figura 3.12 tregon diagramet e transmetuesit dhe marrësit që shpjegojnë parimin e formimit dhe përpunimit të sinjaleve OFM.

Një këmbëz me një transistor që kontrollon hyrjen e tij përdoret si kodues. Në çdo mesazh pozitiv (Rtrans. - i lartë), aktivizohet këmbëza dhe ndërron diodat e modulatorit të fazës (d.m.th. ndryshon faza e lëkundjes së bartësit).

Marrja e sinjalit OFM është e mundur me dy mënyra:

• krahasimi i fazave;
• krahasimi i polariteteve,

Metoda e parë përdoret më shpesh, pasi në këtë rast, shtrembërimi i një elementi të vetëm çon në një gabim, dhe me metodën e krahasimit të polariteteve, nëse mesi i një elementi të vetëm shtrembërohet, atëherë dy gabime janë të mundshme.

Në metodën e krahasimit të fazave në një detektor fazor (PD), fazat e elementeve të njësisë i-të dhe (i-1) -të krahasohen në frekuencën bartëse. Ky krahasim kryhet duke përdorur një element memorie të linjës së vonesës (LZ), i cili krijon një vonesë të barabartë me kohëzgjatjen e elementit. Kjo metodë nuk kërkon njohuri për fazën fillestare të sinjalit.

Spektri i sinjalit OFM zë të njëjtin brez frekuence si në AM-DBP (Fig. 3.6), por ndryshon në vlerat e frekuencës së mbartjes së amplitudës dhe frekuencave anësore. Prandaj, shpejtësia maksimale specifike e transmetimit është 1 bit / s Hz.

Me OFM, mund të përdorni gjithashtu kufizimin e njërit prej brezave anësor dhe në këtë mënyrë të merrni një OFM me një brez anësor të OFM-SSB me një shpejtësi maksimale specifike transmetimi prej 2 bit / s * Hz.

Modemët me OFM në krahasim me AM dhe FM janë teknikisht më të vështirë për t'u zbatuar, por kanë imunitet më të lartë ndaj zhurmës me të njëjtën shpejtësi transmetimi.

Sidoqoftë, avantazhi më i rëndësishëm i OFM, i cili çoi në përdorimin e tij të gjerë, është mundësia e përdorimit të shumë vlerave (kohëve) të fazave dhe marrja e OFM të shumëfishtë, për shembull, dyfish - DPM, trefish - TDFM, dhe duke rritur kështu shpejtësinë e transmetimit me një faktor herë.

Pyetja numër 14

Baskakov f. 100 - 101

Pyetja numër 16

Pyetja numër 17

Quhen pajisjet që gjenerojnë vetëlëkundje sisteme vetëlëkundëse ose autogjeneruesit.

amplituda, frekuenca ose faza e lëkundjes mund të shkaktojnë ndërhyrje në kanalin e radio komunikimit. Kërkesa për monokromatikitet përfshin gjithashtu kërkesën për qëndrueshmëri të frekuencës së vetëlëkundjes.

Pyetja numër 18

Baskakov fq 374-376.

Gonorovsky 1986:

Pyetja numër 19

Baskakov f. 122 - 124

Pyetja numër 20

Proceset e rastësishme, përkufizimet bazë.

Sinjale të rastësishme (procese) quhen sinjale, përshkrimi matematikor i të cilave janë funksione të rastësishme të kohës. Një proces i rastësishëm është një ndryshim në kohë i çdo sasie fizike që nuk mund të parashikohet paraprakisht.

E rastësishme thirrur funksionin , vlerat e të cilave për secilën vlerë të argumentit janë vlera të rastësishme. Një funksion i rastësishëm i kohës, që përshkruan një proces të rastësishëm, si rezultat i përvojës, mund të marrë një ose një formë tjetër specifike, të panjohur paraprakisht (Fig. 1). Këto forma të mundshme të një funksioni të rastësishëm quhen realizime të një procesi të rastësishëm.Në një moment të caktuar kohor, vlerat e një procesi të rastësishëm janë një ndryshore e rastësishme me një shpërndarje probabiliteti të caktuar. Proceset e rastësishme mund të jenë të vazhdueshme dhe diskrete. Realizimet e të parës janë funksione të vazhdueshme të kohës

Karakteristikat e probabilitetit.

Nëse marrim parasysh jo secilin zbatim veç e veç, por agregatin e një numri të madh të tyre, rezulton se disa rezultate mesatare janë statistikisht të qëndrueshme, d.m.th. mund të kuantifikohet. Stabiliteti i rezultateve mesatare është i natyrës probabiliste.

Le të ketë një proces të rastësishëm, i cili jepet nga grupi N zbatimi (Fig. 2). Le të bëjmë një pjesë të një procesi të rastësishëm në një kohë të caktuar t... Le të zgjedhim nga numri i përgjithshëm N ato realizime, vlerat e të cilave për momentin janë më të vogla se një nivel i caktuar. Me një mjaft të madhe N do të ketë peshën relative të shitjeve që janë nën nivelin në një kohë stabiliteti statistikor, ato. do të mbetet afërsisht konstante, duke u luhatur gjatë ndryshimit N dhe rreth disa të thotë. Kjo vlerë mesatare përcakton probabilitetin që vlerat e procesit të rastësishëm të jenë nën nivelin. Funksioni që përcakton probabilitetin e gjetjes së vlerave të një procesi të rastësishëm në një moment në kohë nën nivelin quhet njëdimensionale funksioni integral i shpërndarjes së probabilitetit të një procesi të rastësishëm. Derivati ​​i tij, nëse ekziston, quhet një funksion njëdimensional i densitetit të probabilitetit ose shpërndarjes diferenciale të një procesi të rastësishëm.

Funksionet e prezantuara, dhe, japin një ide të procesit vetëm për momente kohore të izoluara nga njëra-tjetra. Për një karakterizim më të plotë të procesit, është e nevojshme të merret parasysh marrëdhënia statistikore midis vlerave të procesit të rastësishëm në momente të ndryshme kohore. Kjo lidhje për dy pika në kohë merret parasysh nga funksioni dydimensional i shpërndarjes së probabilitetit kumulativ, i cili përcakton probabilitetin që vlerat e një procesi të rastësishëm në një moment në kohë të jenë nën nivelin, dhe në një pikë në koha - nën nivelin. Derivat i pjesshëm i rendit të dytë

quhet dendësia dydimensionale e probabilitetit të një procesi të rastësishëm. Këto funksione tashmë varen nga katër argumente.

Funksionet shumëdimensionale të shpërndarjes integrale dhe diferenciale të një procesi të rastësishëm përcaktohen në mënyrë të ngjashme

të cilat varen nga 2 n-argumentet.

Nëse vlerat e procesit të rastësishëm në çdo vlerë t varur, atëherë funksioni i shpërndarjes shumëvariate është i barabartë me produktin e njëdimensionale

1. Karakteristikat numerike të sinjaleve të rastit.

Karakteristika më e thjeshtë e një procesi të rastësishëm është vlera mesatare ose pritshmëria e tij matematikore

Varianca e një procesi të rastësishëm është një funksion jo i rastësishëm, vlerat e të cilit për çdo moment të kohës t janë të barabartë, d.m.th. pritshmëria matematikore e katrorit të devijimit të një procesi të rastësishëm nga vlera mesatare e tij:

Rrjedhimisht, varianca përcakton shkallën e shpërndarjes së vlerave të një procesi të rastësishëm rreth mesatares. Mesatarja dhe varianca karakterizojnë sjelljen e një procesi të rastësishëm në momente të caktuara kohore. Funksioni i korrelacionit (përndryshe, autokorrelacioni) i procesit të rastësishëm përdoret si një karakteristikë që merr parasysh varësinë statistikore midis vlerave të një procesi të rastësishëm në periudha të ndryshme

përkufizohet si pritshmëri matematikore e produktit të vlerave të procesit në dy pika të ndryshme në kohë. Funksioni i korrelacionit përcakton shkallën e varësisë lineare midis vlerave të një procesi të rastësishëm në pika të ndryshme kohore. Në fig. 3.5 dhe 3.6, respektivisht, tregohen dy procese të rastësishme me një varësi statistikore të fortë dhe të dobët të vlerave të tyre herë pas here dhe.

Nga përkufizimi i funksionit të korrelacionit rrjedh

ato. është simetrik për origjinën e kohës.

Për një grup prej dy të rastësishëm dhe varësia statistikore midis vlerave të tyre në kohë të ndryshme përcaktohet nga funksioni i ndërlidhjes

Në disa raste, në vend të funksionit të korrelacionit, futet një funksion korrelacioni i normalizuar ose, shkurt, koeficienti i korrelacionit.

Karakteristikat e densitetit të probabilitetit dhe funksionet e shpërndarjes.

Rruga Baskakov 144

P.21

Spektri energjetik i një procesi të rastësishëm, teorema Khinchin-Wiener.

Baskakov fq 164-166

Gjerësia e spektrit efektiv, marrëdhënia e tij me intervalin e korrelacionit.

Baskakov fq 169-170

Proceset e rastësishme me brez të gjerë dhe me brez të ngushtë.

Një proces i rastësishëm me brez të ngushtë është një proces i tillë i vazhdueshëm i spektrit, i cili është i përqendruar rreth një frekuence të caktuar të caktuar ω 0.

Δω<< ω 0 Если данное условие не выполняется, то спектр называется широкополосным.

Funksionet e korrelacionit të spektrave të tillë do të ndryshojnë ndjeshëm nga njëri-tjetri.

Zhurma e bardhë, funksioni i saj i korrelacionit.

Baskakov f. 170.

Pyetja numër 22

Kalimi i sinjaleve të rastit nëpër qarqe inerciale lineare

Konsideroni një sistem inercial linear me një funksion të njohur transferimi ose përgjigje impulsi. Lëreni që një proces i palëvizshëm i rastësishëm me karakteristika të dhëna: densiteti i probabilitetit, funksioni i korrelacionit ose spektri i energjisë të arrijë në hyrjen e një sistemi të tillë. Le të përcaktojmë karakteristikat e procesit në daljen e sistemit:, dhe.

Mënyra më e thjeshtë është gjetja e spektrit energjetik të procesit në daljen e sistemit. Në të vërtetë, zbatimet individuale të procesit në hyrje janë deterministe.

funksionon dhe për to aplikohet aparati Fourier. Le të jetë një zbatim i cunguar i kohëzgjatjes T një proces i rastësishëm në hyrje, dhe

(3.4.1)

Dendësia e saj spektrale. Dendësia spektrale e realizimit në dalje të sistemit linear do të jetë e barabartë me

Spektri energjetik i procesit të prodhimit sipas (3.3.3) do të përcaktohet nga shprehja

(3.4.3)

ato. do të jetë i barabartë me spektrin energjetik të procesit në hyrje, i shumëzuar me katrorin e përgjigjes së frekuencës së sistemit dhe nuk do të varet nga përgjigja fazore.

Funksioni i korrelacionit të procesit në daljen e një sistemi linear mund të përkufizohet si transformimi Furier i spektrit të energjisë:

(3.4.4)

Rrjedhimisht, kur një proces stacionar i rastësishëm vepron në një sistem linear, prodhimi është gjithashtu një proces i rastësishëm stacionar me një spektër energjetik dhe një funksion korrelacioni të përcaktuar nga shprehjet (3.4.3) dhe (3.4.4). Fuqia e procesit në daljen e sistemit do të jetë e barabartë me

(3.4.5)

Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit dhe karakteristikat numerike të sinjalit në daljen e një qarku jolinear pa inerci.

Baskakov f. 300 - 302

Kalimi i sinjaleve të rastit nëpër qarqe jolineare pa inerci.

Le të shqyrtojmë tani problemin e kalimit të një procesi të rastësishëm përmes një sistemi jolinear. Në rastin e përgjithshëm, ky problem është shumë i vështirë, por thjeshtohet shumë kur sistemi jolinear është pa inerci. Në sistemet jolineare pa inerci, vlerat e procesit të daljes në një moment të caktuar në kohë përcaktohen nga vlerat e procesit të hyrjes në të njëjtin moment në kohë. Për transformimet jolineare pa inerci, një detyrë më e thjeshtë është të përcaktohen funksionet e shpërndarjes së daljes në një funksion shumë më kompleks - të përcaktohet funksioni i korrelacionit ose spektri i energjisë.

Siç u përmend më lart, funksioni i shpërndarjes n-dimensionale të një procesi të rastësishëm është, në fakt, një funksion i shpërndarjes së n ndryshoreve të rastësishme, të cilat janë vlerat e një procesi të rastësishëm në n pika të ndryshme në kohë. Përcaktimi i ligjeve të shpërndarjes së funksionalisht ndryshoret e rastësishme të transformuara është një detyrë relativisht e thjeshtë.

Sinjalet e moduluara nga këndi, si AM, mund të përfaqësohen si një shumë e lëkundjeve harmonike. Kjo mund të bëhet relativisht lehtë për modulimin e tonit. Me modulimin e tonit, spektri FM dhe FM janë të njëjta nëse, për rrjedhojë, marrim parasysh vetëm spektrin e sinjalit FM.

Ne e transformojmë (2.15) sipas formulës së kosinusit të shumës së dy argumenteve:

ku është funksioni Bessel i rendit të th të argumentit. Duke zëvendësuar (2.17) në (2.16), duke kryer transformimet e zakonshme algjebrike dhe duke zgjeruar produktin e funksioneve trigonometrike, marrim:

.

Kështu, spektri, edhe për modulimin këndor me një ton, është mjaft kompleks. Në formulën (2.18), termi i parë është komponenti harmonik me frekuencën bartëse. Grupi i komponentëve harmonikë me frekuenca përcakton brezin e sipërm anësor të frekuencave dhe grupin e komponentëve me frekuenca brezi i poshtëm anësor. Numri i harmonikëve të brezit anësor të lartë dhe të ulët është teorikisht i pafund. Dridhjet harmonike anësore janë të vendosura në mënyrë simetrike në lidhje me distancën. Amplituda e të gjithë komponentëve të spektrit, duke përfshirë ato me frekuencë, janë proporcionale me vlerat e funksioneve Bessel.

Formula (2.18) mund të paraqitet në një formë më kompakte. Me të vërtetë e dhënë , marrim:

.

Për të ndërtuar diagrame spektrale, është e nevojshme të njihen funksionet Bessel për vlera të ndryshme të dhe. Ky informacion është i disponueshëm në librat e referencës matematikore. Në fig. 2.6 tregon grafikët e funksioneve Bessel për. Vlerat e funksioneve Bessel që mungojnë në grafikë mund të gjenden duke përdorur formulën rekursive:

.

Shembulli 2.1. Përcaktohet një shprehje analitike për sinjalin e moduluar. Ndërtoni një diagramë spektrale të këtij sinjali.

Nga ekuacioni matematikor i sinjalit rezulton se ky është një modulim këndor me një ton me një indeks. Komponentët spektralë të sinjalit përcaktohen nga ekuacioni (2.18), duke marrë, derisa amplituda e komponentëve të specifikohet, për shembull, më pak se 2% e. Bazuar në rezultatet e llogaritjeve, u ndërtua një diagram spektral (Fig. 2.7).

Një analizë e grafikëve të funksioneve Bessel tregon se sa më i madh të jetë rendi i funksionit Bessel, aq më shumë vërehet maksimumi i tij për argumente të mëdha, megjithatë, për vlerat e funksioneve Bessel, ato rezultojnë të jenë të vogla. Rrjedhimisht, komponentët përkatës të spektrit do të jenë gjithashtu të vegjël; ato mund të neglizhohen. Prandaj, gjerësia e spektrit të sinjaleve me modulim këndor mund të përcaktohet afërsisht nga formula.