Ata që marrin Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe më shumë...
Është e çuditshme që në mësimet e shkencave kompjuterike në shkolla zakonisht u tregojnë nxënësve mënyrën më komplekse dhe të papërshtatshme për të kthyer numrat nga një sistem në tjetrin. Kjo metodë konsiston në ndarjen sekuenciale të numrit origjinal me bazën dhe mbledhjen e mbetjeve nga pjesëtimi në rend të kundërt.
Për shembull, ju duhet të konvertoni numrin 810 10 në binar:
Ne e shkruajmë rezultatin në rend të kundërt nga poshtë lart. Rezulton 81010 = 11001010102
Nëse keni nevojë të konvertoni numra mjaft të mëdhenj në sistemin binar, atëherë shkalla e ndarjes merr madhësinë e një ndërtese shumëkatëshe. Dhe si mund të mbledhësh të gjitha njësitë dhe zerot dhe të mos humbasësh një të vetme?
Programi i Provimit të Unifikuar të Shtetit në shkenca kompjuterike përfshin disa detyra që lidhen me konvertimin e numrave nga një sistem në tjetrin. Në mënyrë tipike, ky është një konvertim midis sistemeve oktal dhe heksadecimal dhe binar. Këto janë seksionet A1, B11. Por ka edhe probleme me sistemet e tjera të numrave, si për shembull në seksionin B7.
Si fillim, le të kujtojmë dy tabela që do të ishte mirë t'i njihnin përmendësh ata që zgjedhin informatikën si profesionin e tyre të ardhshëm.
Tabela e fuqive të numrit 2:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Përftohet lehtësisht duke shumëzuar numrin e mëparshëm me 2. Pra, nëse nuk i mbani mend të gjithë këta numra, pjesa tjetër nuk është e vështirë për t'u marrë në mendjen tuaj nga ata që mbani mend.
Tabela e numrave binarë nga 0 në 15 me paraqitje heksadecimal:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Vlerat që mungojnë janë gjithashtu të lehta për t'u llogaritur duke shtuar 1 në vlerat e njohura.
Konvertimi i numrave të plotë
Pra, le të fillojmë duke konvertuar drejtpërdrejt në sistemin binar. Le të marrim të njëjtin numër 810 10. Ne duhet ta zbërthejmë këtë numër në terma të barabartë me fuqitë e dy.
- Ne po kërkojmë fuqinë e dy më afër 810 dhe të mos e kalojmë atë. Kjo është 2 9 = 512.
- Zbrisni 512 nga 810, marrim 298.
- Përsëritni hapat 1 dhe 2 derisa të mos mbeten 1 ose 0.
- E kemi marrë kështu: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.
Metoda 1: Organizoni 1 sipas renditjes së treguesve të termave. Në shembullin tonë, këto janë 9, 8, 5, 3 dhe 1. Vendet e mbetura do të përmbajnë zero. Pra, morëm paraqitjen binar të numrit 810 10 = 1100101010 2. Njësitë vendosen në vendet e 9-të, 8-të, 5-të, 3-të dhe 1-të, duke numëruar nga e djathta në të majtë nga zero.
Metoda 2: Le t'i shkruajmë termat si fuqi të dyve nën njëri-tjetrin, duke filluar nga më i madhi.
810 =
Tani le t'i shtojmë këto hapa së bashku, si palosja e një ventilatori: 1100101010.
Kjo eshte e gjitha. Në të njëjtën kohë, problemi "sa njësi janë në shënimin binar të numrit 810?" zgjidhet gjithashtu thjesht.
Përgjigja është aq sa ka terma (fuqitë e dyve) në këtë paraqitje. 810 ka 5 prej tyre.
Tani shembulli është më i thjeshtë.
Le ta kthejmë numrin 63 në sistemin e numrave 5-ar. Fuqia më e afërt prej 5 me 63 është 25 (katrori 5). Një kub (125) tashmë do të jetë shumë. Kjo do të thotë, 63 shtrihet midis katrorit 5 dhe kubit. Pastaj do të zgjedhim koeficientin për 5 2. Kjo është 2.
Marrim 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.
Dhe, së fundi, përkthime shumë të lehta midis sistemeve 8 dhe heksadecimal. Meqenëse baza e tyre është fuqia e dy, përkthimi bëhet automatikisht, thjesht duke zëvendësuar numrat me paraqitjen e tyre binar. Për sistemin oktal, çdo shifër zëvendësohet me tre shifra binare, dhe për sistemin heksadecimal, katër. Në këtë rast, kërkohen të gjitha zerat kryesore, me përjashtim të shifrës më domethënëse.
Le ta kthejmë numrin 547 8 në binar.
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Një tjetër, për shembull 7D6A 16.
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | A |
Le ta kthejmë numrin 7368 në sistemin heksadecimal. Fillimisht, numrat shkruajmë në treshe dhe më pas i ndajmë në katërfish nga fundi: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Le ta kthejmë numrin C25 16 në sistemin oktal. Së pari, i shkruajmë numrat në katër dhe më pas i ndajmë në tre nga fundi: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Tani le të shohim konvertimin në dhjetor. Nuk është e vështirë, gjëja kryesore është të mos bëni gabime në llogaritjet. Ne e zgjerojmë numrin në një polinom me fuqitë e bazës dhe koeficientët për to. Pastaj shumëzojmë dhe shtojmë gjithçka. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .
Konvertimi i numrave negativë
Këtu duhet të keni parasysh që numri do të paraqitet në kodin plotësues të dy. Për të kthyer një numër në kod shtesë, duhet të dini madhësinë përfundimtare të numrit, domethënë në çfarë duam ta vendosim - në një bajt, në dy bajt, në katër. Shifra më domethënëse e një numri nënkupton shenjën. Nëse ka 0, atëherë numri është pozitiv, nëse 1, atëherë është negativ. Në të majtë, numri plotësohet me një shifër shenje. Ne nuk i konsiderojmë numrat e panënshkruar; ata janë gjithmonë pozitivë dhe pjesa më e rëndësishme në to përdoret si informacion.
Për të kthyer një numër negativ në plotësues binar, duhet të shndërroni një numër pozitiv në binar, më pas t'i ndryshoni zerot në njëshe dhe ato në zero. Pastaj shtoni 1 në rezultat.
Pra, le ta kthejmë numrin -79 në sistemin binar. Numri do të na marrë një bajt.
Shndërrojmë 79 në sistemin binar, 79 = 1001111. Shtojmë zero në të majtë në madhësinë e bajtit, 8 bit, marrim 01001111. Ndryshojmë 1 në 0 dhe 0 në 1. Marrim 10110000. Shtojmë 1 në rezultati, marrim përgjigjen 10110001. Gjatë rrugës, ne i përgjigjemi pyetjes së Provimit të Unifikuar të Shtetit "sa njësi janë në paraqitjen binar të numrit -79?" Përgjigja është 4.
Shtimi i 1 në inversin e një numri eliminon ndryshimin midis paraqitjeve +0 = 00000000 dhe -0 = 11111111. Në kodin e plotësimit të dy do të shkruhen njësoj si 00000000.
Shndërrimi i numrave thyesorë
Numrat thyesorë konvertohen në mënyrë të kundërt të pjesëtimit të numrave të plotë me bazën, të cilën e pamë që në fillim. Kjo do të thotë, përdorimi i shumëzimit sekuencial me një bazë të re me mbledhjen e pjesëve të tëra. Pjesët e plota të marra gjatë shumëzimit mblidhen, por nuk marrin pjesë në veprimet e mëposhtme. Shumëzohen vetëm thyesat. Nëse numri origjinal është më i madh se 1, atëherë pjesët e plota dhe të pjesshme përkthehen veçmas dhe më pas ngjiten së bashku.
Le ta kthejmë numrin 0.6752 në sistemin binar.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
Procesi mund të vazhdohet për një kohë të gjatë derisa të marrim të gjitha zerot në pjesën fraksionale ose të arrihet saktësia e kërkuar. Le të ndalemi në shenjën e 6-të tani për tani.
Rezulton 0,6752 = 0,101011.
Nëse numri ishte 5.6752, atëherë në binar do të jetë 101.101011.
Le të shohim një nga temat më të rëndësishme në shkencën kompjuterike -. Në kurrikulën shkollore, ajo zbulohet mjaft "modeste", ka shumë të ngjarë për shkak të mungesës së orëve të caktuara për të. Njohuri mbi këtë temë, veçanërisht për përkthimi i sistemeve të numrave, janë parakusht për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe pranimin në universitete në fakultetet përkatëse. Më poshtë diskutojmë në detaje koncepte të tilla si sistemet e numrave pozicional dhe jopozicional, jepen shembuj të këtyre sistemeve të numrave, janë paraqitur rregullat për shndërrimin e numrave dhjetorë të plotë, thyesat dhjetore të duhura dhe numrat dhjetorë të përzier në çdo sistem tjetër numrash, konvertimin e numrave nga çdo sistem numrash në dhjetor, shndërrimin nga sistemet e numrave oktal dhe heksadecimal në numra binar. sistemi. Ka shumë probleme për këtë temë në provime. Aftësia për t'i zgjidhur ato është një nga kërkesat për aplikantët. Së shpejti: Për secilën temë të seksionit, përveç materialit të detajuar teorik, do të prezantohen pothuajse të gjitha opsionet e mundshme detyrat për vetë-studim. Për më tepër, do të keni mundësinë të shkarkoni plotësisht falas nga një shërbim i mbajtjes së skedarëve zgjidhje të gatshme të detajuara për këto probleme, duke ilustruar mënyra të ndryshme për të marrë përgjigjen e saktë.
sistemet e numrave pozicional.
Sistemet e numrave jopozicionalë- sistemet e numrave në të cilat vlera sasiore e një shifre nuk varet nga vendndodhja e saj në numër.
Sistemet e numrave jo-pozicionalë përfshijnë, për shembull, romake, ku në vend të numrave ka shkronja latine.
| I | 1 (një) |
| V | 5 (pesë) |
| X | 10 (dhjetë) |
| L | 50 (pesëdhjetë) |
| C | 100 (njëqind) |
| D | 500 (pesëqind) |
| M | 1000 (mijë) |
Këtu shkronja V qëndron për 5, pavarësisht nga vendndodhja e saj. Megjithatë, vlen të përmendet se megjithëse sistemi romak i numrave është një shembull klasik i një sistemi numrash jopozicional, ai nuk është plotësisht jopozicional, sepse Numri më i vogël përpara atij më të madhi zbritet prej tij:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
sistemet e numrave pozicional.
Sistemet e numrave pozicional- sistemet e numrave në të cilat vlera sasiore e një shifre varet nga vendndodhja e saj në numër.
Për shembull, nëse flasim për sistemin e numrave dhjetorë, atëherë në numrin 700 numri 7 do të thotë "shtatëqind", por i njëjti numër në numrin 71 do të thotë "shtatë dhjetëra", dhe në numrin 7020 - "shtatë mijë". .
Secili sistemi i numrave pozicional ka të vetin bazë. Si bazë zgjidhet një numër natyror më i madh ose i barabartë me dy. Është e barabartë me numrin e shifrave të përdorura në një sistem numrash të caktuar.
- Për shembull:
- Binar- sistemi i numrave pozicional me bazën 2.
- Kuaternare- sistemi i numrave pozicional me bazën 4.
- Pesëfish- sistemi i numrave pozicional me bazën 5.
- oktal- sistemi i numrave pozicional me bazën 8.
- Heksadecimal- sistemi i numrave pozicional me bazën 16.
Për të zgjidhur me sukses problemet në temën "Sistemet e numrave", studenti duhet të dijë përmendësh korrespondencën e numrave binar, dhjetorë, oktalë dhe heksadecimal deri në 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Është e dobishme të dihet se si fitohen numrat në këto sisteme numrash. Ju mund ta merrni me mend se në oktal, heksadecimal, tresh dhe të tjerë sistemet e numrave pozicional gjithçka ndodh në të njëjtën mënyrë si sistemi dhjetor me të cilin jemi mësuar:
Një i shtohet numrit dhe fitohet një numër i ri. Nëse vendi i njësive bëhet i barabartë me bazën e sistemit të numrave, ne e rrisim numrin e dhjetësheve me 1, etj.
Ky "kalim i një" është ajo që frikëson shumicën e studentëve. Në fakt, gjithçka është mjaft e thjeshtë. Kalimi ndodh nëse shifra e njësive bëhet e barabartë me bazën e numrave, e rrisim numrin e dhjetësheve me 1. Shumë, duke kujtuar sistemin e mirë të vjetër dhjetor, ngatërrohen menjëherë për shifrat në këtë tranzicion, sepse dhjetëshja dhe, për shembull, dhjetëshja binare janë gjëra të ndryshme.
Prandaj, studentët e shkathët zhvillojnë "metodat e tyre" (çuditërisht... duke punuar) kur plotësojnë, për shembull, tabela të së vërtetës, kolonat e para (vlerat e ndryshueshme) të të cilave, në fakt, janë të mbushura me numra binarë në rend rritës.
Për shembull, le të shohim futjen e numrave sistemi oktal: Numrit të parë (0) i shtojmë 1, marrim 1. Më pas i shtojmë 1 në 1, marrim 2 etj. në 7. Nëse i shtojmë një me 7, fitojmë një numër të barabartë me bazën e sistemit të numrave, d.m.th. 8. Pastaj ju duhet të rrisni vendin e dhjetëra me një (marrim dhjetën oktal - 10). Më tej, padyshim, janë numrat 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...
Rregullat për konvertimin nga një sistem numrash në tjetrin.
1 Konvertimi i numrave dhjetorë me numra të plotë në çdo sistem tjetër numrash.
Numri duhet të ndahet me baza e re e sistemit të numrave. Pjesa e parë e mbetur e pjesëtimit është shifra e parë e vogël e numrit të ri. Nëse herësi i pjesëtimit është më i vogël ose i barabartë me bazën e re, atëherë ai (herësi) duhet të ndahet përsëri me bazën e re. Ndarja duhet të vazhdohet derisa të marrim një herës më të vogël se baza e re. Kjo është shifra më e lartë e numrit të ri (duhet të mbani mend se, për shembull, në sistemin heksadecimal, pas 9 ka shkronja, d.m.th. nëse pjesa e mbetur është 11, duhet ta shkruani si B).
Shembull ("pjestimi sipas këndit"): Le ta kthejmë numrin 173 10 në sistemin e numrave oktal.
Kështu, 173 10 = 255 8
2 Shndërrimi i thyesave dhjetore të rregullta në çdo sistem tjetër numrash.
Numri duhet të shumëzohet me bazën e sistemit të ri të numrave. Shifra që është bërë pjesë e plotë është shifra më e lartë e pjesës thyesore të numrit të ri. për të marrë shifrën tjetër, pjesa thyesore e produktit që rezulton duhet përsëri të shumëzohet me një bazë të re të sistemit të numrave derisa të ndodhë kalimi në të gjithë pjesën. Ne vazhdojmë shumëzimin derisa pjesa thyesore të jetë e barabartë me zero, ose derisa të arrijmë saktësinë e specifikuar në problem (“...llogaritni me një saktësi, për shembull, dy shifra dhjetore”).
Shembull: Le ta kthejmë numrin 0.65625 10 në sistemin e numrave oktal.
Metodat për konvertimin e numrave nga një sistem numrash në tjetrin.
Konvertimi i numrave nga një sistem numrash pozicional në një tjetër: konvertimi i numrave të plotë.
Për të kthyer një numër të plotë nga një sistem numrash me bazë d1 në një tjetër me bazë d2, duhet ta ndani në mënyrë sekuenciale këtë numër dhe herësit që rezultojnë me bazën d2 të sistemit të ri derisa të merrni një herës më të vogël se baza d2. Herësi i fundit është shifra më domethënëse e një numri në sistemin e ri të numrave me bazë d2, dhe shifrat pas tij janë mbetje nga pjesëtimi, të shkruara në rendin e kundërt të marrjes së tyre. Kryen veprime aritmetike në sistemin e numrave në të cilin është shkruar numri që përkthehet.
Shembulli 1. Shndërroni numrin 11(10) në sistemin e numrave binar.
Përgjigje: 11(10)=1011(2).
Shembulli 2. Shndërroni numrin 122(10) në sistemin e numrave oktal.
Përgjigje: 122(10)=172(8).
Shembulli 3. Shndërroni numrin 500(10) në sistem numrash heksadecimal.
Përgjigje: 500(10)=1F4(16).
Shndërrimi i numrave nga një sistem numrash pozicional në një tjetër: konvertimi i thyesave të duhura.
Për të kthyer një thyesë të duhur nga një sistem numrash me bazë d1 në një sistem me bazë d2, është e nevojshme të shumëzoni në mënyrë sekuenciale thyesën origjinale dhe pjesët fraksionale të produkteve që rezultojnë me bazën e sistemit të ri të numrave d2. Pjesa e saktë e një numri në sistemin e ri të numrave me bazën d2 formohet në formën e pjesëve të plota të produkteve që rezultojnë, duke filluar nga e para.
Nëse përkthimi rezulton në një fraksion në formën e një serie të pafundme ose divergjente, procesi mund të përfundojë kur të arrihet saktësia e kërkuar.
Gjatë përkthimit të numrave të përzier, është e nevojshme të përkthehen veçmas pjesët e plota dhe thyesore në një sistem të ri sipas rregullave për përkthimin e numrave të plotë dhe thyesave të duhura, dhe më pas të kombinohen të dy rezultatet në një numër të përzier në sistemin e ri të numrave.
Shembulli 1. Shndërroni numrin 0.625(10) në sistemin e numrave binar.
Përgjigje: 0,625(10)=0,101(2).
Shembulli 2. Shndërroni numrin 0.6(10) në sistemin e numrave oktal.
Përgjigje: 0.6(10)=0.463(8).
Shembulli 2. Shndërroni numrin 0.7(10) në sistem numrash heksadecimal.
Përgjigje: 0.7(10)=0.B333(16).
Konvertoni numrat binar, oktal dhe heksadecimal në sistemin e numrave dhjetorë.
Për të kthyer një numër nga sistemi P-ary në një dhjetor, duhet të përdorni formulën e mëposhtme të zgjerimit:
anan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .
Shembulli 1. Shndërroni numrin 101.11(2) në sistemin e numrave dhjetorë.
Përgjigje: 101.11(2)= 5.75(10) .
Shembulli 2. Shndërroni numrin 57.24(8) në sistemin e numrave dhjetorë.
Përgjigje: 57.24 (8) = 47.3125 (10) .
Shembulli 3. Shndërroni numrin 7A,84(16) në sistemin e numrave dhjetorë.
Përgjigje: 7A.84(16)= 122.515625(10) .
Shndërrimi i numrave oktal dhe heksadecimal në sistemin e numrave binar dhe anasjelltas.
Për të kthyer një numër nga sistemi i numrave oktal në binar, çdo shifër e këtij numri duhet të shkruhet si një numër binar treshifror (triadë).
Shembull: shkruani numrin 16.24(8) në sistemin e numrave binar.
Përgjigje: 16.24(8)= 1110.0101(2) .
Për të kthyer një numër binar përsëri në sistemin e numrave oktal, duhet ta ndani numrin origjinal në triada në të majtë dhe të djathtë të pikës dhjetore dhe të përfaqësoni çdo grup me një shifër në sistemin e numrave oktal. Triada ekstreme jo të plota plotësohen me zero.
Shembull: shkruani numrin 1110.0101(2) në sistemin e numrave oktal.
Përgjigje: 1110.0101(2)= 16.24(8) .
Për të kthyer një numër nga sistemi i numrave heksadecimal në sistemin binar, duhet të shkruani çdo shifër të këtij numri si një numër binar katërshifror (tetrad).
Shembull: shkruani numrin 7A,7E(16) në sistemin e numrave binar. 
Përgjigje: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .
Shënim: zerat kryesore në të majtë për numrat e plotë dhe në të djathtë për thyesat nuk shkruhen.
Për të kthyer një numër binar përsëri në sistemin e numrave heksadecimal, duhet ta ndani numrin origjinal në tetrada majtas dhe djathtas të pikës dhjetore dhe të përfaqësoni secilin grup me një shifër në sistemin e numrave heksadecimal. Triada ekstreme jo të plota plotësohen me zero.
Shembull: shkruani numrin 1111010.0111111(2) në sistemin heksadecimal të numrave.
Rezultati tashmë është marrë!
Sistemet e numrave
Ekzistojnë sisteme numrash pozicionalë dhe jopozicionalë. Sistemi i numrave arab, të cilin ne përdorim në jetën e përditshme, është pozicional, por sistemi romak i numrave nuk është. Në sistemet e numrave pozicional, pozicioni i një numri përcakton në mënyrë unike madhësinë e numrit. Le ta shqyrtojmë këtë duke përdorur shembullin e numrit 6372 në sistemin e numrave dhjetorë. Le ta numërojmë këtë numër nga e djathta në të majtë duke filluar nga zero:
Atëherë numri 6372 mund të përfaqësohet si më poshtë:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Numri 10 përcakton sistemin e numrave (në këtë rast është 10). Vlerat e pozicionit të një numri të caktuar merren si fuqi.
Konsideroni numrin dhjetor real 1287.923. Le ta numërojmë duke filluar nga pozicioni zero i numrit nga pika dhjetore majtas dhe djathtas:
Atëherë numri 1287.923 mund të përfaqësohet si:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
Në përgjithësi, formula mund të përfaqësohet si më poshtë:
C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
ku C n është një numër i plotë në pozicion n, D -k - numri thyesor në pozicionin (-k), s- sistemi i numrave.
Disa fjalë për sistemet e numrave Një numër në sistemin e numrave dhjetor përbëhet nga shumë shifra (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), në sistemin e numrave oktal përbëhet nga shumë shifra. (0,1, 2,3,4,5,6,7), në sistemin binar të numrave - nga një grup shifrash (0,1), në sistemin heksadecimal të numrave - nga një grup shifrash (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), ku A,B,C,D,E,F korrespondojnë me numrat 10,11, 12,13,14,15.Në tabelën Tab.1 janë paraqitur numrat në sisteme të ndryshme numrash.
| Tabela 1 | |||
|---|---|---|---|
| Shënimi | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Shndërrimi i numrave nga një sistem numrash në tjetrin
Për të kthyer numrat nga një sistem numrash në tjetrin, mënyra më e lehtë është që fillimisht të konvertohet numri në sistemin e numrave dhjetorë dhe më pas të konvertohet nga sistemi i numrave dhjetorë në sistemin e numrave të kërkuar.
Shndërrimi i numrave nga çdo sistem numrash në sistemin e numrave dhjetorë
Duke përdorur formulën (1), ju mund të konvertoni numrat nga çdo sistem numrash në sistemin e numrave dhjetorë.
Shembull 1. Shndërroni numrin 1011101.001 nga sistemi i numrave binar (SS) në SS dhjetore. Zgjidhja:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
Shembull2. Shndërroni numrin 1011101.001 nga sistemi i numrave oktal (SS) në SS dhjetore. Zgjidhja:
Shembull 3 . Shndërroni numrin AB572.CDF nga sistemi i numrave heksadecimal në SS dhjetore. Zgjidhja:
Këtu A-zëvendësuar me 10, B- në 11, C- në 12, F- deri në 15.
Shndërrimi i numrave nga sistemi i numrave dhjetorë në një sistem tjetër numerik
Për të kthyer numrat nga sistemi i numrave dhjetorë në një sistem tjetër numrash, duhet të konvertoni veçmas pjesën e plotë të numrit dhe pjesën thyesore të numrit.
Pjesa e plotë e një numri konvertohet nga SS dhjetore në një sistem tjetër numrash duke e ndarë në mënyrë sekuenciale pjesën e plotë të numrit me bazën e sistemit të numrave (për SS binar - me 2, për SS 8-ar - me 8, për 16 -ary SS - nga 16, etj. ) derisa të merret një mbetje e tërë, më e vogël se CC bazë.
Shembull 4 . Le ta kthejmë numrin 159 nga SS dhjetore në SS binar:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Siç mund të shihet nga Fig. 1, numri 159 kur pjesëtohet me 2 jep herësin 79 dhe mbetja 1. Më tej, numri 79 kur pjesëtohet me 2 jep herësin 39 dhe mbetja 1, etj. Si rezultat, duke ndërtuar një numër nga mbetjet e ndarjes (nga e djathta në të majtë), marrim një numër në SS binar: 10011111 . Prandaj mund të shkruajmë:
159 10 =10011111 2 .
Shembull 5 . Le ta kthejmë numrin 615 nga SS dhjetore në SS oktal.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Kur konvertoni një numër nga një SS dhjetor në një SS oktal, duhet ta ndani në mënyrë sekuenciale numrin me 8 derisa të merrni një mbetje numër të plotë më të vogël se 8. Si rezultat, duke ndërtuar një numër nga mbetjet e pjesëtimit (nga e djathta në të majtë) marrim një numër në SS oktal: 1147 (shih Fig. 2). Prandaj mund të shkruajmë:
615 10 =1147 8 .
Shembull 6 . Le ta kthejmë numrin 19673 nga sistemi i numrave dhjetorë në SS heksadecimal.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Siç mund të shihet nga figura 3, duke pjesëtuar në mënyrë të njëpasnjëshme numrin 19673 me 16, mbetjet janë 4, 12, 13, 9. Në sistemin e numrave heksadecimal, numri 12 i përgjigjet C, numri 13 me D. Prandaj, numri heksadecimal është 4CD9.
Për të kthyer thyesat dhjetore të rregullta (një numër real me një pjesë të plotë zero) në një sistem numrash me bazë s, është e nevojshme të shumëzojmë me radhë këtë numër me s derisa pjesa thyesore të përmbajë një zero të pastër, ose të marrim numrin e kërkuar të shifrave. . Nëse, gjatë shumëzimit, fitohet një numër me një pjesë të plotë të ndryshme nga zero, atëherë kjo pjesë e plotë nuk merret parasysh (ato përfshihen në mënyrë sekuenciale në rezultat).
Le të shohim sa më sipër me shembuj.
Shembull 7 . Le ta kthejmë numrin 0.214 nga sistemi i numrave dhjetorë në SS binar.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Siç mund të shihet nga Fig. 4, numri 0.214 shumëzohet në mënyrë sekuenciale me 2. Nëse rezultati i shumëzimit është një numër me një pjesë të plotë të ndryshme nga zero, atëherë pjesa e plotë shkruhet veçmas (në të majtë të numrit). dhe numri shkruhet me një pjesë të plotë zero. Nëse nga shumëzimi rezulton një numër me një pjesë të plotë zero, atëherë një zero shkruhet në të majtë të tij. Procesi i shumëzimit vazhdon derisa pjesa thyesore të arrijë një zero të pastër ose të marrim numrin e kërkuar të shifrave. Duke shkruar numra me shkronja të zeza (Fig. 4) nga lart poshtë, marrim numrin e kërkuar në sistemin e numrave binar: 0. 0011011 .
Prandaj mund të shkruajmë:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Shembull 8 . Le ta kthejmë numrin 0.125 nga sistemi i numrave dhjetorë në SS binar.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Për të kthyer numrin 0.125 nga SS dhjetore në binar, ky numër shumëzohet në mënyrë sekuenciale me 2. Në fazën e tretë, rezultati është 0. Për rrjedhojë, rezulton rezultati i mëposhtëm:
0.125 10 =0.001 2 .
Shembull 9 . Le ta kthejmë numrin 0.214 nga sistemi i numrave dhjetorë në SS heksadecimal.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Duke ndjekur shembujt 4 dhe 5, marrim numrat 3, 6, 12, 8, 11, 4. Por në heksadecimal SS, numrat 12 dhe 11 korrespondojnë me numrat C dhe B. Prandaj, kemi:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Shembull 10 . Le ta kthejmë numrin 0,512 nga sistemi i numrave dhjetorë në SS oktal.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Mora:
0.512 10 =0.406111 8 .
Shembull 11 . Le ta kthejmë numrin 159.125 nga sistemi i numrave dhjetorë në SS binar. Për ta bërë këtë, ne përkthejmë veçmas pjesën e plotë të numrit (Shembulli 4) dhe pjesën e pjesshme të numrit (Shembulli 8). Duke kombinuar më tej këto rezultate marrim:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Shembull 12 . Le ta kthejmë numrin 19673.214 nga sistemi i numrave dhjetorë në SS heksadecimal. Për ta bërë këtë, ne përkthejmë veçmas pjesën e plotë të numrit (Shembulli 6) dhe pjesën e pjesshme të numrit (Shembulli 9). Më tej, duke kombinuar këto rezultate marrim.
