Shembuj të metodës Lagranzh. Optimizimi i kushtëzuar

Klasifikimi i problemeve të programimit matematik

PROGRAMIMI

METODAT PËR ZGJIDHJEN E PROBLEMEVE JOLINEARE

Pyetjet e testit për pjesën 4

Skema për zgjidhjen e problemit të transportit

Le të rendisim fazat kryesore të zgjidhjes së problemit të transportit.

1. Kontrolloni gjendjen e mbyllur. Nëse detyra është e hapur, tabela e transportit plotësohet ose me një kolonë të një pike fiktive të konsumit ose një rresht të një furnizuesi fiktiv.

2. Ndërtoni një plan referencë.

3. Kontrolloni planin e mbështetjes për mosdegjenerim. Nëse nuk ka mjaft qelizë të zënë për të përmbushur kushtin e mosdegjenerimit, një nga qelizat e tabelës së transportit mbushet me një furnizim të barabartë me zero. Nëse është e nevojshme, lejohet të regjistrohen zero dërgesa në disa qeliza.

4. Plani kontrollohet për optimalitet.

5. Nëse nuk plotësohen kushtet e optimalitetit, kaloni në planin tjetër duke rishpërndarë furnizimet. Procesi llogaritës përsëritet derisa të merret plani optimal.

1. Cili është kuptimi i funksionit objektiv në modelin matematikor të problemit të transportit?

2.Cili është kuptimi i kufizimeve në modelin matematikor të problemit të transportit?

3. A është e mundur të aplikohet metoda potenciale për zgjidhjen e një problemi të transportit të hapur (të pambyllur)?

4. Çfarë ndryshimesh duhen bërë në tabelën origjinale të transportit në mënyrë që problemi të zgjidhet me metodën e mundshme?

5.Cili është thelbi i metodës së elementit minimal? Cila fazë e zgjidhjes së problemit të transportit do të përfundojë si rezultat i aplikimit të kësaj metode?

6. Si e dini nëse plani i transportit është optimal?

7. Në cilin rast dhe si është i nevojshëm rishpërndarja e furnizimeve në drejtim të transportit?

8. Supozoni se plani i ndërtuar i transportit është i degjeneruar. A është e mundur të vazhdohet zgjidhja e problemit duke përdorur metodën e mundshme dhe çfarë duhet bërë për këtë?

Problemi i përgjithshëm i programimit matematikor u formulua në seksionin 1.1. Në varësi të llojit të funksioneve të përfshira në modelin (1.1)-(1.3), problemi klasifikohet si një ose një lloj tjetër programimi matematikor. Ka programim linear (të gjitha funksionet janë lineare), numër i plotë (zgjidhja përfaqësohet me numra të plotë), kuadratik (funksioni objektiv është një formë kuadratike), jolinear (të paktën një nga funksionet e problemit është jolinear) dhe programim stokastik ( janë përfshirë parametrat që kanë natyrë probabiliste).

Klasa e problemeve të programimit jolinear është më e gjerë se klasa e modeleve lineare. Për shembull, kostot e prodhimit në shumicën e rasteve nuk janë proporcionale me vëllimin e prodhimit, por varen prej tij në mënyrë jolineare, të ardhurat nga shitja e produkteve të prodhimit rezultojnë të jenë një funksion jolinear i çmimeve, etj. Kriteret në problemet e planifikimit optimal janë shpesh fitimi maksimal, kosto minimale dhe kosto minimale kapitale. Sasitë e ndryshueshme janë vëllimet e prodhimit të llojeve të ndryshme të produkteve. Kufizimet përfshijnë funksionet e prodhimit që karakterizojnë marrëdhëniet midis prodhimit të produktit dhe kostove të punës dhe burimeve materiale, vëllimi i të cilave është i kufizuar.

Ndryshe nga programimi linear, i cili përdor një metodë universale të zgjidhjes (metoda simplex), për zgjidhjen e problemeve jolineare ekziston një gamë e tërë metodash në varësi të formës së funksioneve të përfshira në model. Nga shumëllojshmëria e metodave, ne do të shqyrtojmë vetëm dy: metodën e Lagranzhit dhe metodën e programimit dinamik.

ME Thelbi i metodës së Lagranzhit është reduktimi i problemit të ekstremit të kushtëzuar në zgjidhjen e problemit të ekstremit të pakushtëzuar. Konsideroni modelin e programimit jolinear:

(5.2)

Ku - funksionet e njohura,

A – koeficientët e dhënë.

Vini re se në këtë formulim të problemit, kufizimet specifikohen nga barazitë dhe nuk ka asnjë kusht që variablat të jenë jonegativë. Përveç kësaj, ne besojmë se funksionet janë të vazhdueshme me derivatet e tyre të parë të pjesshëm.

Le të transformojmë kushtet (5.2) në mënyrë që në anën e majtë ose të djathtë të barazive të ketë zero:

(5.3)

Le të kompozojmë funksionin Lagranzh. Ai përfshin funksionin objektiv (5.1) dhe anën e djathtë të kufizimeve (5.3), të marra përkatësisht me koeficientët . Do të ketë aq koeficientë të Lagranzhit sa ka kufizime në problem.

Pikat ekstreme të funksionit (5.4) janë pikat ekstreme të problemit fillestar dhe anasjelltas: plani optimal i problemit (5.1)-(5.2) është pika ekstreme globale e funksionit të Lagranzhit.

Vërtet, le të gjendet një zgjidhje problemet (5.1)-(5.2), atëherë kushtet (5.3) janë të plotësuara. Le të zëvendësojmë planin në funksion (5.4) dhe verifikoni vlefshmërinë e barazisë (5.5).

Kështu, për të gjetur planin optimal për problemin origjinal, është e nevojshme të ekzaminohet funksioni i Lagranzhit për ekstremin. Funksioni ka vlera ekstreme në pikat ku derivatet e tij të pjesshme janë të barabarta zero. Pika të tilla quhen stacionare.

Le të përcaktojmë derivatet e pjesshme të funksionit (5.4)

,

.

Pas barazimit zero derivatet marrim sistemin m+n ekuacionet me m+n i panjohur

, (5.6)

Në rastin e përgjithshëm, sistemi (5.6)-(5.7) do të ketë disa zgjidhje, të cilat do të përfshijnë të gjitha maksimumet dhe minimumet e funksionit Lagranzh. Për të nxjerrë në pah maksimumin ose minimumin global, vlerat e funksionit objektiv llogariten në të gjitha pikat e gjetura. Më e madhja nga këto vlera do të jetë maksimumi global, dhe më i vogli do të jetë minimumi global. Në disa raste është e mundur të përdoret kushte të mjaftueshme për një ekstrem të rreptë funksionet e vazhdueshme (shih problemin 5.2 më poshtë):

le të jetë funksioni i vazhdueshëm dhe dy herë i diferencueshëm në ndonjë lagje të pikës së tij të palëvizshme (d.m.th. )). Pastaj:

A) Nëse,(5.8)

atëherë është pika e maksimumit strikte të funksionit;

b) Nëse,(5.9)

atëherë është pika minimale strikte e funksionit;

G ) Nëse,

atëherë çështja e pranisë së një ekstremi mbetet e hapur.

Përveç kësaj, disa zgjidhje të sistemit (5.6)-(5.7) mund të jenë negative. Që është në kundërshtim me kuptimin ekonomik të variablave. Në këtë rast, duhet të konsideroni zëvendësimin e vlerave negative me vlera zero.

Kuptimi ekonomik i shumëzuesve Lagrange. Vlera optimale e shumëzuesit tregon se sa do të ndryshojë vlera e kriterit Z kur burimi rritet ose zvogëlohet j me një njësi, pasi

Metoda e Lagranzhit mund të përdoret gjithashtu në rastin kur kufizimet janë pabarazi. Kështu, gjetja e ekstremit të funksionit sipas kushteve

,

kryhet në disa faza:

1. Përcaktojnë pikat stacionare të funksionit objektiv, për të cilat zgjidhin një sistem ekuacionesh

.

2. Nga pikat e palëvizshme zgjidhni ato, koordinatat e të cilave plotësojnë kushtet

3. Duke përdorur metodën e Lagranzhit, zgjidhni problemin me kufizimet e barazisë (5.1)-(5.2).

4. Pikat e gjetura në fazën e dytë dhe të tretë ekzaminohen për maksimumin global: krahasohen vlerat e funksionit objektiv në këto pika - vlera më e madhe korrespondon me planin optimal.

Problemi 5.1 Le të zgjidhim problemin 1.3, të shqyrtuar në pjesën e parë, duke përdorur metodën e Lagranzhit. Shpërndarja optimale e burimeve ujore përshkruhet nga një model matematikor

.

Le të kompozojmë funksionin Lagranzh

Le të gjejmë maksimumin e pakushtëzuar të këtij funksioni. Për ta bërë këtë, ne llogarisim derivatet e pjesshme dhe i barazojmë me zero

,

Kështu, kemi marrë një sistem të ekuacioneve lineare të formës

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve paraqet një plan optimal për shpërndarjen e burimeve ujore nëpër zonat e ujitura

Vlerat maten në qindra mijëra metra kub. - shuma e të ardhurave neto për njëqind mijë metër kub ujë vaditës. Prandaj, çmimi margjinal prej 1 m 3 ujë vaditës është i barabartë me strofull. njësive

Të ardhurat neto shtesë maksimale nga ujitja do të jenë

160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=

172391.02 (den. njësi)

Problemi 5.2 Zgjidhja e një problemi të programimit jolinear

Le të paraqesim kufizimin në formën:

.

Le të hartojmë funksionin Lagranzh dhe të përcaktojmë derivatet e tij të pjesshme

.

Për të përcaktuar pikat stacionare të funksionit të Lagranzhit, derivatet e tij të pjesshëm duhet të vendosen të barabartë me zero. Si rezultat, marrim një sistem ekuacionesh

Metoda e shumëzuesit të Lagranzhit.

Metoda e shumëzuesit Lagranzh është një nga metodat që ju lejon të zgjidhni problemet e programimit jolinear.

Programimi jolinear është një degë e programimit matematik që studion metodat për zgjidhjen e problemeve ekstremale me një funksion objektiv jolinear dhe një rajon zgjidhjesh të realizueshme të përcaktuara nga kufizime jolineare. Në ekonomi, kjo korrespondon me faktin se rezultatet (efikasiteti) rriten ose zvogëlohen në mënyrë disproporcionale me ndryshimet në shkallën e përdorimit të burimeve (ose, e njëjta gjë, shkallën e prodhimit): për shembull, për shkak të ndarjes së kostove të prodhimit në ndërmarrjet në variabël dhe gjysmë fikse; për shkak të ngopjes së kërkesës për mallra, kur çdo njësi pasuese është më e vështirë për t'u shitur se ajo e mëparshme, etj.

Problemi i programimit jolinear shtrohet si problemi i gjetjes së optimumit të një funksioni të caktuar objektiv

F(x 1,…x n), F (x) → maksimumi

kur plotësohen kushtet

g j (x 1,…x n)≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0

Ku x-vektori i variablave të kërkuar;

F (x) -funksioni objektiv;

g (x) - funksioni i kufizimit (vazhdimisht i diferencueshëm);

b - vektori i konstanteve të kufizimeve.

Zgjidhja për një problem programimi jolinear (maksimumi ose minimumi global) mund t'i përkasë ose kufirit ose brendësisë së grupit të pranueshëm.

Ndryshe nga një problem i programimit linear, në një problem programimi jolinear optimumi nuk qëndron domosdoshmërisht në kufirin e rajonit të përcaktuar nga kufizimet. Me fjalë të tjera, detyra është të zgjidhni vlera të tilla jo negative të ndryshoreve, që i nënshtrohen një sistemi kufizimesh në formën e pabarazive, sipas të cilave arrihet maksimumi (ose minimumi) i një funksioni të caktuar. Në këtë rast nuk specifikohen as format e funksionit objektiv dhe as të pabarazive. Mund të ketë raste të ndryshme: funksioni objektiv është jolinear, por kufizimet janë lineare; funksioni objektiv është linear dhe kufizimet (të paktën njëri prej tyre) janë jolineare; si funksioni objektiv ashtu edhe kufizimet janë jolineare.

Problemi i programimit jolinear gjendet në shkencat natyrore, inxhinieri, ekonomi, matematikë, marrëdhënie biznesi dhe qeveri.

Programimi jolinear, për shembull, lidhet me një problem bazë ekonomik. Kështu, në problemin e shpërndarjes së burimeve të kufizuara, ose efiçenca ose, nëse studiohet konsumatori, konsumi maksimizohet në prani të kufizimeve që shprehin kushtet e mungesës së burimeve. Në një formulim të tillë të përgjithshëm, formulimi matematikor i problemit mund të jetë i pamundur, por në aplikime specifike forma sasiore e të gjitha funksioneve mund të përcaktohet drejtpërdrejt. Për shembull, një ndërmarrje industriale prodhon produkte plastike. Efikasiteti i prodhimit këtu matet me fitimin dhe kufizimet interpretohen si fuqia e disponueshme, hapësira e prodhimit, produktiviteti i pajisjeve, etj.

Metoda e kosto-efektivitetit gjithashtu përshtatet në skemën e programimit jolinear. Kjo metodë u zhvillua për t'u përdorur në vendimmarrje në qeveri. Një funksion i përbashkët i efikasitetit është mirëqenia. Këtu lindin dy probleme të programimit jolinear: i pari është maksimizimi i efektit me kosto të kufizuara, i dyti është minimizimi i kostove me kusht që efekti të jetë mbi një nivel të caktuar minimal. Ky problem zakonisht modelohet mirë duke përdorur programim jolinear.

Rezultatet e zgjidhjes së një problemi të programimit jolinear janë të dobishëm në marrjen e vendimeve të qeverisë. Zgjidhja që rezulton, natyrisht, rekomandohet, kështu që është e nevojshme të shqyrtohen supozimet dhe saktësia e problemit të programimit jolinear përpara se të merret një vendim përfundimtar.

Problemet jolineare janë komplekse; ato shpesh thjeshtohen duke çuar në ato lineare. Për ta bërë këtë, supozohet në mënyrë konvencionale se në një zonë të caktuar funksioni objektiv rritet ose zvogëlohet në proporcion me ndryshimin në variablat e pavarur. Kjo qasje quhet metoda e përafrimeve lineare pjesë-pjesë; megjithatë, ajo është e zbatueshme vetëm për disa lloje të problemeve jolineare.

Problemet jolineare në kushte të caktuara zgjidhen duke përdorur funksionin Lagranzh: duke gjetur pikën e shalës së saj, zgjidhja e problemit gjendet në këtë mënyrë. Ndër algoritmet llogaritëse për kërkimin shkencor, një vend të madh zënë metodat e gradientit. Nuk ka asnjë metodë universale për problemet jolineare dhe, me sa duket, mund të mos ketë, pasi ato janë jashtëzakonisht të ndryshme. Problemet multiekstremale janë veçanërisht të vështira për t'u zgjidhur.

Një nga metodat që ju lejon të reduktoni një problem programimi jolinear në zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh është metoda Lagrange e shumëzuesve të pacaktuar.

Duke përdorur metodën e shumëzuesit të Lagranzhit, në thelb krijohen kushtet e nevojshme për të lejuar identifikimin e pikave optimale në problemet e optimizimit me kufizime barazie. Në këtë rast, problemi i kufizuar shndërrohet në një problem ekuivalent të optimizimit të pakushtëzuar, i cili përfshin disa parametra të panjohur të quajtur shumëzues Lagrange.

Metoda e shumëzuesit të Lagranzhit konsiston në reduktimin e problemeve në një ekstrem të kushtëzuar në problemet në ekstremin e pakushtëzuar të një funksioni ndihmës - të ashtuquajturat. Funksionet e Lagranzhit.

Për problemin e ekstremit të një funksioni f(x 1, x 2,..., x n) sipas kushteve (ekuacionet e kufizimit) φ i(x 1, x 2, ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., m, funksioni Lagranzh ka formën

L(x 1, x 2… x n, λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Shumëzuesit λ 1 , λ 2 , ..., λm thirrur Shumëzuesit e Lagranzhit.

Nëse vlerat x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm thelbi i zgjidhjeve të ekuacioneve që përcaktojnë pikat stacionare të funksionit të Lagranzhit, përkatësisht, për funksionet e diferencueshme janë zgjidhjet e sistemit të ekuacioneve

atëherë, sipas supozimeve mjaft të përgjithshme, x 1 , x 2 , ..., x n japin një ekstrem të funksionit f.

Merrni parasysh problemin e minimizimit të një funksioni prej n variablash që i nënshtrohen një kufizimi në formën e barazisë:

Minimizo f(x 1, x 2… x n) (1)

sipas kufizimeve h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

Sipas metodës së shumëzuesit të Lagranzhit, ky problem shndërrohet në problemin e mëposhtëm të optimizimit të pakufizuar:

minimizo L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

ku funksioni L(x;λ) quhet funksion i Lagranzhit,

λ është një konstante e panjohur, e cila quhet shumëzues i Lagranzhit. Nuk ka kërkesa për shenjën e λ.

Le të arrihet, për një vlerë të dhënë λ=λ 0, minimumi i pakushtëzuar i funksionit L(x,λ) në lidhje me x në pikën x=x 0 dhe x 0 të plotësojë ekuacionin h 1 (x 0)=0. . Pastaj, siç mund të shihet lehtë, x 0 minimizon (1) duke marrë parasysh (2), pasi për të gjitha vlerat e x të kënaqshme (2), h 1 (x)=0 dhe L(x,λ)=min f(x).

Natyrisht, është e nevojshme të zgjedhim vlerën λ=λ 0 në atë mënyrë që koordinata e pikës minimale të pakushtëzuar x 0 të plotësojë barazinë (2). Kjo mund të bëhet nëse, duke e konsideruar λ si një variabël, gjeni minimumin e pakushtëzuar të funksionit (3) në formën e një funksioni λ, dhe më pas zgjidhni vlerën e λ në të cilën plotësohet barazia (2). Le ta ilustrojmë këtë me një shembull specifik.

Minimizo f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

nën kufizimin h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

Problemi përkatës i optimizimit të pakufizuar është shkruar si më poshtë:

minimizo L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Zgjidhje. Duke barazuar dy komponentët e gradientit L me zero, marrim

→ x 1 0 =λ

→ x 2 0 =λ/2

Për të kontrolluar nëse pika e palëvizshme x° korrespondon me minimumin, ne llogarisim elementet e matricës Hessian të funksionit L(x;u), të konsideruara si funksion të x,

e cila rezulton e caktuar pozitive.

Kjo do të thotë se L(x,u) është një funksion konveks i x. Rrjedhimisht, koordinatat x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 përcaktojnë pikën minimale globale. Vlera optimale e λ gjendet duke zëvendësuar vlerat x 1 0 dhe x 2 0 në ekuacionin 2x 1 + x 2 =2, nga i cili 2λ+λ/2=2 ose λ 0 =4/5. Kështu, minimumi i kushtëzuar arrihet në x 1 0 =4/5 dhe x 2 0 =2/5 dhe është i barabartë me min f(x) = 4/5.

Gjatë zgjidhjes së problemit të shembullit, ne e konsideruam L(x;λ) si funksion të dy variablave x 1 dhe x 2 dhe, përveç kësaj, supozuam se vlera e parametrit λ u zgjodh në mënyrë që kufizimi të plotësohej. Nëse zgjidhja e sistemit

J=1,2,3,…,n

λ nuk mund të merret në formën e funksioneve eksplicite, atëherë vlerat e x dhe λ gjenden duke zgjidhur sistemin e mëposhtëm të përbërë nga n+1 ekuacione me n+1 të panjohura:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

Për të gjetur të gjitha zgjidhjet e mundshme për një sistem të caktuar, mund të përdorni metodat numerike të kërkimit (për shembull, metoda e Njutonit). Për secilën prej zgjidhjeve (), duhet të llogarisim elementet e matricës Hessian të funksionit L, të konsideruar si funksion i x, dhe të zbulojmë nëse kjo matricë është e përcaktuar pozitive (minimumi lokal) ose negative (maksimumi lokal). ).

Metoda e shumëzuesit të Lagranzhit mund të shtrihet në rastin kur problemi ka disa kufizime në formën e barazive. Konsideroni një problem të përgjithshëm që kërkon

Minimizo f(x)

sipas kufizimeve h k =0, k=1, 2, ..., K.

Funksioni Lagranzh merr formën e mëposhtme:

Këtu λ 1 , λ 2 , ..., λk-Shumëzuesit e Lagranzhit, d.m.th. parametra të panjohur, vlerat e të cilëve duhet të përcaktohen. Duke barazuar derivatet e pjesshme të L në lidhje me x me zero, marrim sistemin e mëposhtëm të n ekuacioneve me n të panjohura:

Nëse rezulton të jetë e vështirë të gjesh një zgjidhje për sistemin e mësipërm në formën e funksioneve të vektorit λ, atëherë mund ta zgjerosh sistemin duke përfshirë kufizime në formën e barazive

Zgjidhja e sistemit të zgjeruar, i përbërë nga n + K ekuacione me n + K të panjohura, përcakton pikën e palëvizshme të funksionit L. Më pas zbatohet një procedurë për kontrollimin e një minimumi ose maksimal, i cili kryhet në bazë të llogaritjes elementet e matricës Hessian të funksionit L, të konsideruara si funksion i x, i ngjashëm me atë që është bërë në rastin e një problemi me një kufizim. Për disa probleme, një sistem i zgjeruar n+K ekuacionesh me n+K të panjohura mund të mos ketë zgjidhje dhe metoda e shumëzuesit të Lagranzhit rezulton të jetë e pazbatueshme. Sidoqoftë, duhet të theksohet se detyra të tilla janë mjaft të rralla në praktikë.

Le të shqyrtojmë një rast të veçantë të problemit të përgjithshëm të programimit jolinear, duke supozuar se sistemi i kufizimeve përmban vetëm ekuacione, nuk ka kushte për mosnegativitetin e variablave dhe dhe dhe janë funksione të vazhdueshme së bashku me derivatet e tyre të pjesshme. Prandaj, duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve (7), marrim të gjitha pikat në të cilat funksioni (6) mund të ketë vlera ekstreme.

Algoritmi për metodën e shumëzuesit të Lagranzhit

1. Hartoni funksionin Lagranzh.

2. Gjeni derivatet e pjesshme të funksionit të Lagranzhit në lidhje me ndryshoret x J ,λ i dhe barazojini me zero.

3. Zgjidhim sistemin e ekuacioneve (7), gjejmë pikat në të cilat funksioni objektiv i problemës mund të ketë një ekstrem.

4. Ndër pikat e dyshimta për një ekstrem, gjejmë ato në të cilat arrihet ekstremi dhe llogarisim vlerat e funksionit (6) në këto pika.

Shembull.

Të dhënat fillestare: Sipas planit të prodhimit, kompania duhet të prodhojë 180 produkte. Këto produkte mund të prodhohen në dy mënyra teknologjike. Kur prodhoni produkte x 1 duke përdorur metodën e parë, kostot janë 4x 1 +x 1 2 rubla, dhe kur prodhohen x 2 produkte duke përdorur metodën e dytë, ato janë 8x 2 +x 2 2 rubla. Përcaktoni sa produkte duhet të prodhohen duke përdorur secilën metodë në mënyrë që kostoja e prodhimit të jetë minimale.

Funksioni objektiv për problemin e deklaruar ka formën
® min në kushtet x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Hartoni funksionin Lagranzh
.
2. Ne llogarisim derivatet e pjesshme në lidhje me x 1, x 2, λ dhe i barazojmë me zero:

3. Duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve që rezulton, gjejmë x 1 =91,x 2 =89

4. Pasi kemi bërë një zëvendësim në funksionin objektiv x 2 =180-x 1, marrim një funksion të një ndryshoreje, përkatësisht f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2

Ne llogarisim ose 4x 1 -364=0,

prej nga kemi x 1 * =91, x 2 * =89.

Përgjigje: Numri i produkteve të prodhuara me metodën e parë është x 1 = 91, me metodën e dytë x 2 = 89, ndërsa vlera e funksionit objektiv është e barabartë me 17,278 rubla.

Metoda e shumëzuesitLagranzhit(në literaturën angleze "metoda e LaGrange e shumëzuesve të papërcaktuar") ˗ është një metodë numerike për zgjidhjen e problemeve të optimizimit që ju lejon të përcaktoni ekstremin "i kushtëzuar" të funksionit objektiv (vlera minimale ose maksimale)

në prani të kufizimeve të specifikuara në variablat e tij në formën e barazive (d.m.th., përcaktohet diapazoni i vlerave të lejueshme)

˗ këto janë vlerat e argumentit të funksionit (parametrat e kontrollueshëm) në domenin real në të cilin vlera e funksionit priret në një ekstrem. Përdorimi i emrit "ekstrem i kushtëzuar" është për faktin se një kusht shtesë vendoset në variablat, i cili kufizon gamën e vlerave të lejueshme kur kërkoni për ekstremin e funksionit.

Metoda e shumëzuesit Lagrange lejon që problemi i kërkimit të një ekstremi të kushtëzuar të një funksioni objektiv në një grup vlerash të pranueshme të shndërrohet në problemin e optimizimit të pakushtëzuar të një funksioni.

Në rast se funksionet Dhe janë të vazhdueshme së bashku me derivatet e tyre të pjesshme, atëherë ka variabla të tillë λ që nuk janë njëkohësisht të barabartë me zero, në të cilat plotësohet kushti i mëposhtëm:

Kështu, në përputhje me metodën e shumëzuesit Lagrange, për të gjetur ekstremin e funksionit objektiv në grupin e vlerave të pranueshme, unë kompozoj funksionin Lagranzh L(x, λ), i cili optimizohet më tej:

ku λ˗ është një vektor i variablave shtesë të quajtur shumëzues të pacaktuar të Lagranzhit.

Kështu, problemi i gjetjes së ekstremit të kushtëzuar të funksionit f(x) është reduktuar në problemin e gjetjes së ekstremit të pakushtëzuar të funksionit L(x, λ).

Dhe

Kushti i nevojshëm për ekstremin e funksionit Lagranzh jepet nga një sistem ekuacionesh (sistemi përbëhet nga ekuacione "n + m"):

Zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh na lejon të përcaktojmë argumentet e funksionit (X) në të cilin vlera e funksionit L(x, λ), si dhe vlera e funksionit të synuar f(x) korrespondojnë me ekstremin.

Madhësia e shumëzuesve të Lagranzhit (λ) është me interes praktik nëse kufizimet paraqiten në formën me një term të lirë në ekuacion (konstante). Në këtë rast, ne mund të shqyrtojmë më tej (rrisim/ulim) vlerën e funksionit objektiv duke ndryshuar vlerën e konstantës në sistemin e ekuacioneve. Kështu, shumëzuesi Lagranzh karakterizon shkallën e ndryshimit në maksimumin e funksionit objektiv kur ndryshon konstanta kufizuese.

Ka disa mënyra për të përcaktuar natyrën e ekstremit të funksionit që rezulton:

Metoda e parë: Le të jenë koordinatat e pikës ekstreme dhe vlera përkatëse e funksionit objektiv. Merret një pikë afër pikës dhe llogaritet vlera e funksionit objektiv:

Nëse , atëherë ka një maksimum në pikë.

Nëse , atëherë ka një minimum në pikë.

Metoda e dytë: Një kusht i mjaftueshëm nga i cili mund të përcaktohet natyra e ekstremumit është shenja e diferencialit të dytë të funksionit të Lagranzhit. Diferenciali i dytë i funksionit të Lagranzhit përcaktohet si më poshtë:

Nëse në një pikë të caktuar minimale, nëse , atëherë funksioni objektiv f(x) ka një kusht maksimale.

Metoda e tretë: Gjithashtu, natyra e ekstremit të funksionit mund të përcaktohet duke marrë parasysh Hessian-in e funksionit Lagranzh. Matrica Hessian është një matricë katrore simetrike e derivateve të dyta të pjesshme të një funksioni në pikën në të cilën elementët e matricës janë simetrike në lidhje me diagonalen kryesore.

Për të përcaktuar llojin e ekstremit (maksimumi ose minimumi i një funksioni), mund të përdorni rregullin e Sylvester-it:

1. Në mënyrë që diferenciali i dytë i funksionit të Lagranzhit të jetë me shenjë pozitive është e nevojshme që minoret këndore të funksionit të jenë pozitive. Në kushte të tilla, funksioni në këtë pikë ka një minimum.

2. Në mënyrë që diferenciali i dytë i funksionit të Lagranzhit të jetë negativ në shenjë , është e nevojshme që minorët këndorë të funksionit të alternohen dhe elementi i parë i matricës duhet të jetë negativsv. Në kushte të tilla, funksioni në këtë pikë ka një maksimum.

Me minor këndor nënkuptojmë minorin e vendosur në k rreshtat dhe k kolonat e para të matricës origjinale.

Rëndësia kryesore praktike e metodës Lagrange është se ju lejon të kaloni nga optimizimi i kushtëzuar në optimizimin e pakushtëzuar dhe, në përputhje me rrethanat, të zgjeroni arsenalin e metodave të disponueshme për zgjidhjen e problemit. Sidoqoftë, problemi i zgjidhjes së sistemit të ekuacioneve tek i cili reduktohet kjo metodë, në rastin e përgjithshëm, nuk është më i thjeshtë se problemi fillestar i gjetjes së një ekstremi. Metoda të tilla quhen indirekte. Përdorimi i tyre shpjegohet me nevojën për të marrë një zgjidhje për një problem ekstrem në formë analitike (për shembull, për llogaritje të caktuara teorike). Gjatë zgjidhjes së problemeve specifike praktike, zakonisht përdoren metoda të drejtpërdrejta, bazuar në proceset përsëritëse të llogaritjes dhe krahasimit të vlerave të funksioneve që optimizohen.

Mënyra e llogaritjes

1 hap: Ne përcaktojmë funksionin Lagranzh nga funksioni i dhënë objektiv dhe sistemi i kufizimeve:

Përpara

Për të shtuar komentin tuaj në artikull, ju lutemi regjistrohuni në sit.

METODA LAGRANGE

Një metodë për reduktimin e një forme kuadratike në një shumë katrorësh, e treguar në 1759 nga J. Lagrange. Le të jepet

nga variablat x 0 , x 1 ,..., x f. me koeficientë nga fusha k karakteristikat Kërkohet që kjo formë të sillet në atë kanonike. mendjen

duke përdorur një transformim linear jo të degjeneruar të ndryshoreve. L. m. përbëhet nga sa vijon. Mund të supozojmë se jo të gjithë koeficientët e formës (1) janë të barabartë me zero. Prandaj, dy raste janë të mundshme.

1) Për disa g, diagonale Pastaj

ku forma f 1 (x) nuk përmban një ndryshore x g. 2) Nëse gjithçka Por Se

ku forma f 2 (x) nuk përmban dy ndryshore x g Dhe x h . Format nën shenjat katrore në (4) janë linearisht të pavarura. Me aplikimin e transformimeve të formës (3) dhe (4), forma (1) pas një numri të caktuar hapash reduktohet në shumën e katrorëve të formave lineare të pavarura lineare. Duke përdorur derivate të pjesshëm, formulat (3) dhe (4) mund të shkruhen në formë

Ndezur.: G a n t m a k h e r F. R., Theory of matrices, 2nd ed., M., 1966; K u r o sh A. G., Kursi i Algjebrës së Lartë, botimi i 11-të, M., 1975; Alexandrov P. S., Ligjërata mbi gjeometrinë analitike ..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.

Enciklopedi matematikore. - M.: Enciklopedia Sovjetike. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Shihni se çfarë është "METODA LAGRANGE" në fjalorë të tjerë:

Metoda e Lagranzhit- Metoda e Lagranzhit është një metodë për zgjidhjen e një numri klasash të problemeve të programimit matematik duke gjetur pikën e shalës (x*, λ*) të funksionit Lagranzh, e cila arrihet duke barazuar me zero derivatet e pjesshme të këtij funksioni në lidhje me ... ... Fjalor ekonomiko-matematikor

Metoda e Lagranzhit- Një metodë për zgjidhjen e një numri klasash të problemeve të programimit matematik duke gjetur pikën e shalës (x*, ?*) të funksionit Lagranzh, e cila arrihet duke barazuar derivatet e pjesshme të këtij funksioni në lidhje me xi dhe?i në zero. . Shih Lagranzhian. )